funciones de varias variables · funciones de varias variables indice de quetelet o indice de masa...
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Funciones de Varias Variables
Indice de Quetelet o Indice de Masa Corporal
“El sobrepeso y la obesidad se definen como una acumulacion anormal o excesiva degrasa que puede ser perjudicial para la salud. El ındice de masa corporal (IMC)-peso enkilogramos dividido por el cuadrado de la talla en metros (kg/m2)- es un ındice utilizadofrecuentemente para clasificar el sobrepeso y la obesidad en adultos. La OMS (organiza-cion mundial de la salud) define el sobrepeso como un IMC igual o superior a 25, y laobesidad como un IMC igual o superior a 30.”Tomado de http://www.who.int/features/factfiles/obesity/facts/es/
Clasificacion del IMCInsuficiencia < 18.5
Intervalo normal 18.5-24.5Sobrepeso ≥ 25
Preobesidad 25-29.9Obesidad ≥ 30
Este ındice es un ejemplo de una funcion de varias variables que estudiaremos en elpresente curso. Una funcion de varias variables (campo escalar) es una regla que asignaa cada vector en un subconjunto de Rn un unico numero real. Para el ejemplo del IMC:el espacio es R2 (por lo tanto se trata de una funcion de dos variables), las variables(independientes) son peso y talla, la regla es P
T 2 y el IMC corresponde a la variable depen-diente. Para hallar el IMC, se debe especificar tanto el peso de la persona como la talla,el conjunto de todas las posibles combinaciones (parejas, vectores) de peso y talla (queson las variables independientes), en las cuales se podrıa calcular el IMC se conocen enmatematicas como el dominio de la funcion y los valores que puedan obtenerse del IMC(variable dependiente) se conocen como el rango de la funcion. Si asumimos el peso comola primera variable y la talla la segunda, vector o pareja (P, T ), el dominio(considerado deforma general) serıa {(P, T ) ∈ R2 : P > 0, T > 0}. Este corresponde al primer cuadranteen el plano.
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Grafica de una funcion de dos variables
La grafica de una funcion ayuda mucho para conocer el comportamiento de la misma.La grafica de una funcion de dos variables se realiza en el espacio R3 y la superficie que segenera es el conjunto de todos los puntos del dominio junto con su correspondiente valorasignado del rango.
Para el caso del IMC la grafica que se obtiene con ayuda del programa de Matlab es
Cuyo codigo es
[x,y]=meshgrid (5:0.1:80,0.3:0.01:2);z=x./y.∧2;mesh(x,y,z) otras opciones plot3(x,y,z) surf(x,y,z) surfc(x,y,z) xlabel(’Peso’)ylabel(’Talla’)zlabel(’IMC’)title(’Indice de Masa Corporal’)
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Curvas de nivel
Otra forma de visualizar el comportamiento de una funcion de dos variables es pormedio de las curvas de nivel. Una curva de nivel graficada en R2, reune en una curva,todas las parejas que generan un mismo valor (constante y predeterminado) para la fun-cion. Para el ejemplo del IMC es muy probable que varias personas tengan el mismo valordel IMC aunque difieran en sus pesos y tallas. Los valores (peso y talla) de esas personasaparecerıan en la misma curva de nivel.
Las curvas de nivel del ındice de masa corporal se muestran en Matlab y en Geogebra.
Curvas de Nivel
10 20 30 40 50 60 70 80
Peso
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Ta
lla
Cuyo codigo es
[x,y]=meshgrid(5:0.1:80,0.3:0.01:2);z=x./y.∧2;contour(x,y,z,25:1:40) %Grafica las curvas de nivel desde 25 al nivel 40.xlabel(’Peso’)ylabel(’Talla’)title(’Curvas de Nivel’)
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Otra opcion es mostrar el nivel sobre cada curva, generada en Matlab.
Curvas de Nivel
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
26
27
27
28
28
29
29
30
30
31
31
32
32
33
34
35
36
37
38
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Peso
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
Talla
Cuyo codigo es
[x,y]=meshgrid(40:0.1:90,1.5:0.01:1.8);z=x./y.∧2;contour(x,y,z,18:1:40,’ShowText’,’on’) % Muestra los nivelesxlabel(’Peso’,’FontSize’,12,’FontWeight’,’bold’,’Color’,’b’)ylabel(’Talla’,’FontSize’,12,’FontWeight’,’bold’,’Color’,’r’)title(’Curvas de Nivel’,’FontSize’,12,’FontWeight’,’bold’,’Color’,’black’)
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En Geogebra se puede presentar de la siguiente forma
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Ahora se trabajara la funcion f(x, y) =√
64− x2 − y2
El dominio de esta funcion es Dom = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 64}. La grafica de estedominio es
La zona sombreada representa todos las parejas en las cuales sı se puede reemplazar lafuncion, como por ejemplo el punto A. Sin embargo en aquellas parejas que no pertenezana esta zona si se reemplaza se genera una raız negativa, como es el caso del punto B. Porlo tanto al dibujar curvas de nivel, estas solo pueden estar dentro de este cırculo. Si segrafica la curva de nivel 4,79, esta debe pasar por el punto A.
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La curva de nivel 8 solo consta de la pareja (0, 0). La curva de nivel 0 corresponde alborde del dominio, x2 + y2 = 64.
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0.1. Ejercicios
1. La cafeterıa de la universidad Sergio Arboleda vende el tinto a $1200, el cafe corrientea $1800, el cafe gourmet a $2200 y el capuchino a $2000. Escribir la funcion de ingresoque obtiene la cafeterıa por la venta de estos productos.
2. Para una caja rectangular sin tapa, construir la base cuesta $120 por centımetrocuadrado y construir los lados cuesta $75 por centımetro cuadrado. Expresar elcosto de construccion de la caja en funcion de las medidas de los lados.
3. Modelo de filas. La cantidad de tiempo promedio que un cliente espera en una filapara recibir un servicio es W (x, y) = 1
x−y con x > y donde y es el ritmo o tasamedia de llegadas, expresada como numero de clientes por unidad de tiempo, y x esel ritmo o tasa media de servicio, expresada en las mismas unidades.
0.1. EJERCICIOS 9
A. Determinar el dominio y graficarlo.
B. Dibujar algunas curvas de nivel.
C. Graficar la funcion.
4. La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circularde acero de 10 metros de radio es T (x, y) = 600− 0,75x2 − 0,75y2 , donde x y y semiden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas.
5. El coeficiente de inteligencia de una persona se mide con la funcion I(m, a) = 100ma
donde a es la edad real de la persona y m es su edad mental.
A. Trazar la grafica de varias curvas de nivel.
B. ¿Que describen estas curvas?
C. Trazar la grafica de la funcion.
6. Pediatras e investigadores medicos usan a veces la siguiente formula empırica
S(W,H) = 0,0072W 0,425H0,725
que relaciona el area de la superficie corporal S medida en m2 de una persona, conel peso W en kg de la persona y con la estatura H en cm.
A. Encuentrar la curva de nivel que pasa por (70, 160).
B. Si una persona pesa 18.37 kg y tiene un area superficial de 0.648 m2 , ¿queestatura se espera que tenga?
7. Para las siguientes funciones hallar su dominio, grafıcarlo y graficar la funcion:
A. f(x, y) = 2x+3y5x−2y
B. f(x, y) =√
x2 + y2 − 64
C. f(x, y) = xy
D. f(x, y) = 2xx2+y2+3
E. f(x, y) = ln(2x + y − 1)
F. f(x, y) = x+yln(2x−y+4)
G. f(x, y) =√
x2 − y2 + 4y
8. Tigo ofrece un plan a sus usuarios por un valor de $45000 que incluye 300 minutosy 120 mensajes de texto, a todo destino. El minuto adicional a cualquier destinotiene un valor de $250 y el mensaje de texto adicional a cualquier destino $200. Siun usuario toma este plan, determinar la funcion de costo del plan. Graficar la curvade nivel para los valores c = 30000, 45000, 50000, 60000.
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9. A continuacion se presenta las curvas de nivel de una funcion f . Estimelos valoresde f(3, 4), f(1, 1) y f(0, 3) donde sea posible.
A.
Curvas de Nivel
-4
-2
-2
0
0
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
10
10
12
12
12
12
14
14
14
14
16
16
16
16
18
18
18
18
20
20
20
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
0.1. EJERCICIOS 11
B.
Curvas de Nivel
-10
-10
-8
-8
-6
-6
-4
-4
-2
-2
0
0
0
2
2
2
44
4
4
6
6
6
68
8
8
8
10
10
10
101
2
12
12
12
14
14
14
14
16
16
16
16
18
18
18
18
20
20
20
20
22
22
22
24
24
26
26
28
28
30
30
32
32
34
34
36
36
38
40
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5y
12
C.
Curvas de Nivel
-4-4
-4-4
-3.5-3
.5
-3.5-3
.5
-3
-3
-3
-3
-2.5-
2.5
-2.5-2
.5
-2 -
2
-2
-2-
2
-2
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1.5
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1
1
1
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
2
2
2
2
2
2
2.5
2.5
2.5
2.5
3
3
3
3
3.5
3.5
3.5
3.5
44
44
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y