FUNCIONES LOGARITMICAS Y

EXPONENCIALES

Modelos de Crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Desintegración de material radioactivo Vida media de una sustancia

EL MODELO EXPONENCIAL

El modelo exponencial es un modelo demográfico y ecológico para modelizar el crecimiento de las poblaciones y la difusión epidémica de un rasgo entre una población, basado en el crecimiento exponencial.

Descripción del modelo Sea P(t) el tamaño de la población al tiempo t, el modelo exponencial presupone que la tasa de aumento de la población es proporcional a la población en el instante:

Donde k es una constante de proporcionalidad y P es el tamaño de la población en el instante t. Esta ecuación puede resultar adecuada cuando el tamaño de la población es pequeño en relación a las dimensiones del ecosistema, y en ese caso k es la tasa de aumento de la población que iguala a la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad. Si el tamaño de la población en un instante t0 es P0, el modelo exponencial predice que en cualquier otro instante futuro (t > t0) la población viene dada, por la solución de la ecuación diferencial , e = 2,718281828459...

Crecimiento exponencial

Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde). El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud P tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor.

Algunos fenómenos con crecimiento exponencial

• El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.

• En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.

• El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.

• El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.

• El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria. • El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen

de predador.

Catástrofe malthusiana.

La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.

Catástrofe malthusiana.

Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:

Catástrofe malthusiana.

La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:

Donde P0 es la población inicial y A0 es la cantidad inicial de alimentos.

Ejercicios

Si e denotan la intensidad de la luz antes y después de pasar por un material y x es la distancia (en pies) que viaja la luz en el material, entonces de acuerdo con la ley de Beer- Lambert :

Donde k es una constante que depende del tipo de material.

a) De la ecuacion despeje .

b) Para cierto lago k= 0.025 y la intensidad luminosa es =14 lúmenes (lm) .

Encuentre la intensidad de la luz a una profundidad de 20 pies

EJERCICIOS

Se llama vida media de una sustancia radioactiva al tiempo necesario para que se desintegre la mitad de la cantidad de la sustancia presente. Sea x(t) la cantidad de una sustancia radioactiva en el instante t y sea x(0) =A . Si K es la vida media demostrar que

EJERCICIOS

1. Sea N(t) el número de bacterias en un cultivo, en un instante t. Suponga que inicialmente hay 150 bacterias y que N aumenta a una velocidad proporcional al número de bacterias presentes. Si al cabo de una hora hay 1500 bacterias, halle el numero de bacterias que hay en el cultivo al cabo de 2 horas.

2. En un momento dado están presentes 100 gr de una sustancia radioactiva. Después de 4 años, quedan 20 gr. ¿Qué cantidad de la sustancia quedará después de 8 años?

REFERENCIAS

• MacArthur, Geographical Ecology: Patterns in the distribution of species, 1972, p. http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_exponencial

• Para un tratamiento muy ágil y sencillo de la aplicación del crecimiento exponencial a las poblaciones biológicas y sus implicaciones ecológicas y evolutivas.

• MacArthur, Robert H. (1972): Geographical Ecology: Patterns in the distribution of species. Harper and Row. New York, NY. 269 . [Reeditado en rústica en 1984 por Princeton University Press].

• Stewart James , Precálculo, Matemáticas para el cálculo quinta ed.(2006)