8 funcion expo y log sead uaem pga 01 enero 2013
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Funcion Exponencial y Logaritmica
Ing. Pedro Napoleon Guerrero Arizmendi
1
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE
MORELOS
SISTEMA DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA
SEAD CUERNAVACA
Temas
• 4-1: Funciones Exponenciales
• 4-2: Funciones logarítmicas
• 4-3: Leyes de los logarítmos
• 4-4: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
• Examen
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Funciones Exponenciales
4-1
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Esquema del capítulo
• Se estudia una nueva forma de funciones
llamadas funciones exponenciales.
• Las funciones exponenciales son apropiadas
para modelar el crecimiento poblacional para
los seres vivos.
4© copywriter
Ejemplos:
5© copywriter
xxf 2)(
Es una función exponencial con base 2.
82)3( 3 f
Veamos con la rapidez que crece:
10242)10( 10 f
824,741,073,12)30( 30 f
Si se compara con:
90030)30(,)( 22 gdondexxg
Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se
define para todos los números reales x por:
6© copywriter
xaxf )(
donde 0;0 aa
Ejemplos de funciones exponenciales:
xxf 2)( xxh 3)(
xxq 10)(
Base 2 Base 3 Base 10
Ejemplo 1:Evaluación de funciones exponenciales
7© copywriter
Sea y evalúe lo siguiente: xxf 3
2) fa
3
2) fb
2) fc
932
4807.03 32
7288.43 2
Ejemplo 2:Graficación de funciones exponenciales y logaritmicas
mediante el trazo de puntos
8© copywriter
Dibuje la gráfica de cada función.
xxfa 3)()
x
xgb
3
1)()
Solución: Traza la gráfica de cada una:
x
xg
3
1)(
xxa 3)(
(0, 1)
Puntos a observar
9© copywriter
)(33
1
3
1)( xfxg x
x
x
Aplicaciones de exponentes con radicales:
Si se aplica la definición de Exponentes con Radicales obtenemos:
n
n
xx
1No exponentes negativos
Funciones exponenciales de las gráficas
10
La función exponencial
xaxf )( )1,0( aa
tiene dominio y rango . La recta y = 0 (el eje x)
es una asíntota horizontal de . La gráfica de tiene diferentes funciones;
),0(
f f
paraaxf x ,)( 1aparaaxf x ,)( 10 a
(0, 1)
© copywriter
Ejemplo estructural
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El arco Gateway en San Luis, Missouri, tienela forma de la gráfica de una combinación defunciones exponenciales, no una parábolacomo pareceria. Es una función de la forma:
)( bxbx eeay
Se eligió esta forma porque es óptimo paradirtibuir las fuerzas estructurales internas delarco.
De ser necesario ver ejemplos 3 y 4; libro de texto.
Función Exponencial Natural
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La función exponencial natural es la función exponencial
xexf )(
con base e. Es común referirse a ella como la función exponencial.
xexf )(
Ejemplo:Evaluar la función exponencial
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Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales.
Solución:
8.4
53.0
3
)
2)
)
ec
eb
ea
51042.121
17721.1
08554.20
Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminación de un virus
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Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, elnúmero de personas que ha sucumbido al virus se modelamediante la función:
tetv
97.012455
10000)(
Contesta:
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de undía y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
Solución:Ejemplo anterior
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a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
81250
10000
12455
10000)(
0
etv
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y
cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días Personas infectadas
1 21
2 54
5 678
Solución:Ejemplo anterior (cont)
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c) Grafique la función y describa el comportamiento.
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
0 12
3000
Interes compuestos
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El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
nt
n
rPtA
1)(
donde: A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
EjemploCálculo del interés compuesto
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Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12%anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después detres años si el interés se compone anualmente, cada medio año,por trimestre, mensualmente o diario.
Solución:
Datos
P = 1000
r = 12% = 0.12
t = 3
EjemploCálculo del interés compuesto
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Capitalización n Cantidad después de tres años
Anual 1
Semianual 2
Trimestral 4
Mensual 12
Diaria 365
93.14041
12.011000
)3(1
52.14182
12.011000
)3(2
76.14254
12.011000
)3(4
77.143012
12.011000
)3(12
24.1433365
12.011000
)3(365
Interés
compuesto en forma continua
• El interés compuesto en forma continua se
calcula mediante la fórmula
donde A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años
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rtPetA )(
EjemploCalcular el interés compuesto de manera continua
• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten
$1000 a una tasa de interés de 12% por año,
capitalizado de forma continua.
• Solución:
Datos: P = 1000
r = 0.12
t = 3
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Sección 4.1
1 – 4, 5 – 10, 11 – 14, 25 – 38, 64 – 67
33.143310001000)3( 36.03)12.0( eeA
PetA )( rt
Se puede comparar con el ejemplo anterior.
Funciones Logarítmicas4-2
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Definición
de la función logarítmica
• Sea a un número positivo con . La
función logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debe
elevar la base a para dar x.
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1a
alog
xayx y
a log
xalog
Comparación
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Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
xa y
Exponencial: Logarítmica:
yxa log
Base
Exponente
Base
Exponente
En ambas formas la base es la misma.
EjemploFormas logarítmicas y exponenciales
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Forma Logarítmica Forma Exponencial
5100000log10
38log 2
32
1log 2
rs 5log
100000105
823
8132
sr 5
Evaluación de logarítmos
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31000log10
532log 2
11.0log10
2
14log16
1000103
3225
1.010
110 1
416 21
Propiedad de los logarítmos
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Propiedad Razón
Se debe elevar a a la potencia 0
para obtener 1.
Se debe elevar a a la potencia 1
para obtener a.
Se debe elevar a a la potencia x
para obtener .
es la potencia a la cual se
debe elevar a para obtener x.
xa
xalog
01log a
1log aa
xa x
a log
xaxa
log
EjemploAplicación de las propiedades logarítmicas
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125
85log
15log
01log
12log
8
5
5
5
5
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Propiedad 4
EjemploGraficación de funciones logarítmicas
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xxf 2log)(
Traza la gráfica de
Solución:
xxf 2log)(
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
x2log
32
22
12
120 12
22
32
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad suslogaritmos.
Familia de Funciones
Logarítmicas
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xy 2log
xy 3log
xy 10log
xy 5log
EjemploReflexión de gráficas de funciones logarítmicas
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Bosqueje la gráfica de cada función.
xxga 2log)()
Solución: Se comienza con la gráfica de y se
refleja en el eje de x para obtener la gráfica .
xxf 2log)(
xxg 2log)(
xxf 2log)(
xxg 2log)( xLa -y2 :es grafica
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EjemploReflexión de gráficas de funciones logarítmicas
Bosqueje la gráfica de cada función.
)(log)() 2 xxgb
Solución: Se comienza con la gráfica de y se
refleja en el eje de x para obtener la gráfica .
xxf 2log)(
)(log)( 2 xxg
xxf 2log)( xxxg
y
2
1)(log)( 2
EjemploDesplazamiento de gráficas de funciones logarítmicas
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Encuentre el dominio de cada función y bosqueje su gráfica.
xxga 5log2)() 3log)() 10 xxhb
La gráfica de g se obtiene de la gráfica de . El dominio
de f es .
xy 5log
,0
xxf 5log)(
xxg 5log2)(
xxga 5log2)()
EjemploDesplazamiento de gráficas de funciones logarítmicas
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xxf 10log)(
x
xxh
y
310
)3(log)( 10
3log)() 10 xxhb
La gráfica de h se obtiene de la gráfica .xy 10log
Asíntota x = 3
Logarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10
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Definición:
Logarítmo común
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se
denota omitiendo la base:
xx 10loglog
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De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
log 10 = 1
log 100 = 2
Cómo se calcula log 50?
No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 es demasiado grande.
5010 y
250log1 5
Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los valores de manera directa de los logaritmos comunes.
EjemploEvaluación de logarítmos comunes
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Use una calculadora para hallar los valores apropiados de
f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica.
x Log x
0.01
0.1
0.5
1
4
5
10
-2
-1
-0.30
0
0.602
0.699
1
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
xxf log)(
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Logarítmo natural
El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota
por ln:
xx elogln
La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la
función exponencial, :xey xeyx y ln
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
xy ln
6 5 4 3 2 1
xey
xy
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Propiedades de los logarítmos naturales
Propiedad Razón
xe
xe
e
x
x
ln
ln
1ln
01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.
ln x es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x.
Se tiene que elevar e a la potencia x para obtener .
xe
EjemploElevar la función logaritmo natural
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5ln)
1ln)
ln)
2
8
c
eb
ea
8
2ln 2 e
609.1
Definición de
logarítmo natural
Definición de
logarítmo natural
Uso de la
calculadora
© copywriter 41
Funciones Logarítmicas4-3
Leyes de los logarítmos
© copywriter 42
En esta sección se estudian las propiedades de los logarítmos. Estas propiedades dan a lasfunciones logarítmos una amplia variedad de aplicaciones.
Ya que los logarítmos son exponentes, lasleyes de los exponentes dan lugar a las leyesde los logarítmos.
Leyes de los logarítmos
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Leyes de los logarítmos
Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números
reales cualesquiera con .
Ley Descripción
1a00 yBA
ACA
BAB
A
BAAB
a
c
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1
El logarítmos de un producto denúmeros es la suma de loslogarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente denúmeros es la diferencia de loslogarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia deun número es el exponentemultiplicado por el logarítmo denúmero.
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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Evalúe cada expresión:
8log3
1)
5log80log)
32log2log)
22
44
c
b
a
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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364log
)32.2(log
4
4
32log2log) 44 a
BAAB aaa loglog)(log)1
Propiedad utilizada:
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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5log80log) 22 b
416log
5
80log
2
2
BAB
Aaaa logloglog)2
Propiedad utilizada:
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
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8log3
1)c
301.0
)2log()1log(2
1log
2
1
2
1
8
1
8
1log
8log
3 3331
31
ACA a
c
a loglog)3
Propiedad utilizada:
EjemploExpandir expresiones logarítmicas
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Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión.
3
63
5
2
ln)
log)
)6(log)
c
abc
yxb
xa
cba
cba
cab
yx
yx
x
ln3
1lnln
lnlnln
ln)ln(
log6log3
loglog
log6log
31
3
55
3
5
3
5
22
Ley 1
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3
EjemploCombinar expresiones logarítmicas
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)1log(2
1log3) xxa
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
213
213
)1(log(
)1log(log
xx
xx
)1ln(4ln2
1ln3) 2 ttsb
42
3
42213
42213
1ln
)1ln()ln(
)1ln(lnln
t
ts
tts
tts
Cambio de base
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
© copywriter 50
xy blog
xb y
xb a
y
a loglog
xby aa loglog
b
xy
a
a
log
log
Fórmula de cambio de base
© copywriter 51
b
xy
a
a
log
log
Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmula se convierte en:
1log aa
ba
a
blog
1log
Fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base
© copywriter 52
20log)
5log)
9
8
b
aSe usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
77398.08log
5log5log
10
108
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
36342.19ln
20ln20log9
Nota: Se tiene la misma respuesta si se usa ó ln.
10log
Fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base
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Uso de la calculadora gráfica para gráficar:
6ln
lnlog)( 6
xxxf
xxf 6log)(
xxf 6log)(
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
4-4
© copywriter 54
Ecuacionesexponenciales y logarítmicas
• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en el
exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en
cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
© copywriter 55
72 x
Ecuacionesexponenciales y logarítmicas
© copywriter 56
7ln2ln
7ln2ln
x
x
807.22ln
7lnx
72 x
Recuerde la regla 3
Normas para resolver ecuaciones exponenciales
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
57© copywriter
EjemploResolver una ecuación exponencial
© copywriter 58
Encuentre la solución de:
Solución:
73 2 x
7log)3log( 2 x
73 2 x
7log3log)2( x
3log
7log)2( x
228756.023log
7logx
Si verificas en tu calculadora:
73 2)228756.0(
EjemploResolución de una ecuación exponencial
© copywriter 59
Resuelva la ecuación:
Solución:
208 2 xe
208 2 xe
8
202 xe
5.2lnln 2 xe
5.2ln2 x
458.02
5.2lnx
Ojo:
El, ln e = 1
Si verificas en tu calculadora:
208)458.0(2 e
© copywriter 60
EjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz
la gráfica
Resuelva la ecuación: Algebraicamente
Solución (1):
423 xe
423 xe
4lnln 23 xe
4lnln23 ex
1
4ln23 x
4ln32 x
807.0)4ln3(2
1x
© copywriter 61
EjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz
la gráfica
Resuelva la ecuación:
Solución (2):
Se gráfican las ecuaciones, y
423 xe
xey 23 4y
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
4y
xey 23
© copywriter 62
EjemploUna ecuación exponencial de tipo cuadrático
Resuelva la ecuación:
Solución:
062 xx ee
062 xx ee
06)( 2 xx ee
0)2)(3( xx ee
03xe o 02 xe
3xe 2xe
© copywriter 63
EjemploResolver una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación:
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
03 2 xx exxe
0)3( xxex
03 2 xx exxe
0)3( xx
Se divide entre xe
0x 03 x3x
Las soluciones son:
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Ecuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la variable.
5)2(log2 x
3023222 5 x
Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada la de ecuación.
5)2(log22 2
x
522 x
30232 x
Los pasos se resumen a continuación.
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Normas para resolver ecuaciones
logarítmicas
1) Aísle el término logarítmico en un lado de la
ecuación; podría ser necesario combinar
primero los términos logarítmicos.
2) Escriba la ecuación en forma exponencial
(o eleve la base a cada lado de la
ecuación).
3) Despeje la variable.
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EjemploResolver ecuaciones logarítmicas
De cada ecuación despeje x.
3)25(log)
8ln)
2
xb
xa
8ln x8ex
2981x
32725
825 x
17825 x
© copywriter 67
EjemploResolver una ecuacion logarítmica
Resuelva la ecuación: 16)2log(34 x
Solución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permiteescribir la ecuación en forma exponencial.
16)2log(34 x
416)2log(3 x
12)2log(3 x
4)2log( x4102 x
100002 x5000x
© copywriter 68
EjemploResolver una ecuación logarítmica de manera
algebraica y gráfica
Resuelva la ecuación (1): 1)1log()2log( xx
1)1)(2(log xx
10)1)(2( xx
1022 xx
0122 xx
0)3)(4( xx
3,4 xx
© copywriter 69
EjemploResolver una ecuación logarítmica de manera
algebraica y gráfica
Resuelva la gráfica (2): 01)1log()2log( xx
1)1log()2log( xxy
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
© copywriter 70
EjemploResolver una ecuación de manera gráfica
Resuelva la ecuación: )2ln(22 xx
Solución: Primero se mueven todos los términos a un lado de la ecuación.
0)2ln(22 xxLuego se hace la gráfica: )2ln(22 xxy
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 64 3 2 1