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7/23/2019 Fr Integrales

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ING. JULIO MAMANI GUAYGUA CALCULO I

Tablas de integrales

1.- .Caxdxaadx∫ ∫ +==

2.- .1nsi,C1n

xdx x1n

n

∫ −≠++

=+

3.- ( )[ ] ( ) ( )[ ]

.1nsi,C1n

xfdx xf xf

1nn

∫ −≠++

=′+

4.-( )( )

( )[ ] .C xfLdx xf

xf+=

′∫

5.-∫ += .Cedxe x x

6.- ( ) ( ) ( )∫ +=′ .Cedx xfe xf xf

7.- ( ) ( )( )

∫ ≠>+=′ .1a,0asi,CLa

adx xfa

xf xf

8.-∫ +−= .C xcossenxdx

9.- ( )[ ] ( ) ( )[ ] .C xfcosdx xf xfsen +−=′∫

10.-∫ += .sencos C x xdx

11.- ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +=′ .C xfsendx xf xfcos

12.-( )

( )[ ] ( )[ ]∫ +=

′.C xftgdx

xfcos

xf2

13.-

( )

( )[ ] ( )[ ]∫ +−=

′.C xfgcotdx

xfsen

xf2

14.- ( )

( )[ ]( )[ ]∫ +=

−

′.C xfarcsendx

xf1

xf2


15.-

( )

( )[ ] ( )[ ]∫ +=−

′−

.C xfarccosdx xf1

xf

2

1




16.-( )

( )[ ] ( )[ ] .C xfarctgdx

xf1

xf2

+=+

′∫

17.- ( )∫ +−= .C xcosLtgxdx

18.- ( )∫ += .CsenxLgxdxcot

19.-

( )

∫

+

π

+

++=

.C42

xtgL

.Ctgx xsecL

xdxsec

20.- ( )∫

+

+−=

.C2

xtgL

.CgxcotecxcosLecxdxcos

21.-∫ += .Ctgx xdxsec2

22.-∫ +−= .Cgxcot xdxeccos 2

23.-∫ += .C xsec xtgxdxsec

24.-∫ +−= .Cecxcosgxdxcotecxcos

25.- ∫ += .C xsecdx xcos

senx2

26.-∫ +−= .Cecxcosdx xsen

xcos2

27.-( )

( )[ ]( ) ( )[ ]∫ +

−+=

−′ .Ca xf xfL

a xf

dx xf 22

22


28.-( )

( )[ ]( ) ( )[ ]∫ +

++=

+

′.Ca xf xfL

a xf

dx xf 22

22

29.-∫ +=

−

.C xsecarc

1 x x

dx

2

2




30.-( )

( ) ( )[ ]

( ).C

a

xfsecarc

a

1

a xf xf

dx xf

22+=

−

′∫

31.-∫ +=

−

−.Cecxarccos

1 x x

dx

2

32.- ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )

∫ ++−

=− .C2

a

xfarcsena

2

xfa xfdx xfa

222

22

33.- ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

.C2

a xf xfLa

2

a xf xfdxa xf

22222

22 +

−+

−−

=−∫

34.- ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

∫ +

++

++

=+ .C2

a xf xfLa

2

a xf xfdxa xf

22222

22

35.-INTEGRACIÓN POR PARTES:

Siu y v son funciones de x tales que [u = f(x), v = g(x)], por la fórmula dela diferencial de un producto de funciones, tendremos:

d(u·v) = u·dv + v·du⇒ u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en

ambos miembros:

u·dv = d(u·v) - v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integraciónpor partes:

.

NOTA: Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las

reglas siguientes:


( ) ( )

ALPES

ricatrigonomét

función xcos

senx

..

onencialexpfuncióna

..

polinómicafunción xf

.......

xlog xlogLx

x...arc

arctgx xarccos

arcsenx

SE

xf

PL

b

A

−= · v v·udv·u

3




36.- INTEGRALES RACIONALES:

Son de la forma ∫ ,dx) x(Q

) x(P siendo ( ) ( ), xQ y xP polinomios de

coeficientes reales y exponentes naturales.

Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral

inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser deeste tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:

A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:

Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

( ) xQpormiembrosambosdividiendo.divisiónladestoRe xR.divisiónladeCociente xC

xR xC xQ xP ⇒

==+=

∫ ∫ ∫ += → += dx) x(Q

) x(Rdx) x(Cdx

) x(Q

) x(P

) x(Q

) x(R) x(C

) x(Q

) x(P miembrosambosenIntegrando

B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:

Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices.

Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes: 1)RAICES REALES SIMPLES→ ( RRS ).

2)RAICES REALES MÚLTIPLES→ ( RRM ).

3)RAICES IMAGINARIAS SIMPLES→ ( RIS ).

4)RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES→ ( RIM ).

Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos aseguir así como las operaciones a realizar.

1)RAICES REALES SIMPLES:( RRS ).-Supongamos que resolvemos Q(x)=0:

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )∫ ∫ ∫

+

−+

−+

−=

−−−=

===

= dx...c xC

b xB

a x A

dx...c x b xa x

xPdx

xQ xP

....c x b xa x

0 xQ

NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los pasos siguientes:

4





36.- INTEGRALES RACIONALES:(Continuación)

1) Descomposición de( )( ) xQ xP

en suma de fracciones simples ( )

( ) ...c xC b xBa x A xQ

xP

+++= −−−

2) Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).3) Se multiplican ambos miembros por Q(x).4) Se calculan los coeficientes A, B, C, ...mediante la identificación de los numeradores.5) Una vez obtenidos estos coeficientes, se integra en ambos miembros, quedando finalmente:

2)RAICES REALES MÚLTIPLES:( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )∫ ∫ ∫ =−−

=−−

=

===

= dx... b xa x

xPa1

dx... b xa xa

xPdx

xQ xP

.... b x b xa x

0 xQ2

02

0

( )

dx... b x

C

b x

B

a x

A

a

12

o∫

+

−+

−+

−=

NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los mismos pasos que en el

caso de ( RRS ).

a0es el coeficiente de la variable de mayor grado.

Finalmente, quedará:

3)RAICES IMAGINARIAS SIMPLES:( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación

Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose unaRRS, dosRRM, y unpolinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :

( )∫ ∫ ∫ ∫ +

−+

−+

−= dx

Cdx

Bdx

Adx

xP

( )

(∫ ∫ ∫ ∫

+−

+−

+−

= .dx b x

Cdx

b x

Bdxa x

A

a

1dx

xQ

xP2

5




( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−

++

−+

−+

−=

−=

+====

=

4

21

3

21

2

1

1

1

2

1

1

1

1

z xz xdxNMx

b x

Cdx b xBdx

a x Adx

dx xQ xP

biaz

biaz b x b xa x

0 xQ

→ CONTINUA


36.- INTEGRALES RACIONALES: (Continuación)

3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES:( RIS ).- (Continuación) Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la

última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación deltipo siguiente:

(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .

Con lo cual, la 4, nos queda así:

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

==+−

=+−

=+−

=+−

−

=+−

=+−=

+−

+

32222

222

122

2222

22

I....................................... ba x

dxNdx

ba x

N

Idx ba x

a2

2

M

Idx ba x

a2 x2

2

M

dx ba x

xMdx

ba x

Mx

ba x

dxNMx

4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES:( RIM ).- Método de HERMITE:

( )a xLMI 2OLOGARÍTMIC TIPOINMEDIATA1 +−= →

( ) ( ) (

∫ −+

=−

+= → + b

xarctg

b

NMadxNMaII

22 TANGENTE ARCO TIPO

32

6




La descomposición de)(

)(

xQ

x P según HERMITE, es tal como sigue:

1) − Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea,

coeficiente indeterminado entre x menos la raiz. − Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin

tener en cuenta el grado de multiplicidad). − Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto

anteriormente. − Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen

simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener encuenta su grado de multiplicidad).

− El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:

La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará eldenominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial

de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes

que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.

A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de

coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese

resultado en el denominador.


36.- INTEGRALES RACIONALES: Método de HERMITE.-(Continuación)

2) − Se deriva a continuación este último término con respecto a x.

3) − Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).3

4) − Se multiplican ambos miembros por Q(x),

5) − Se calculan los coeficientes indeterminados.

6)− Se integra en la expresión de la descomposición inicial.

Notas: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó correctamente, nopueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.

El desarrollo de este método se ampliará en cursos superiores.

37.- INTEGRALES IRRACIONALES:

Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:

1.Si 0a> ⇒ se efectua el cambio: t x.ac bxax2 +=++ .

++ c bxax, xR 2

7




2.Si 0a< ⇒ ( )( ) ( )

α−=β−α−=++⇒<

+=++⇒>

. xt x xac bxax:cambio0c

;c x.tc bxax:cambio0c2

2

Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del

número14.

38.-INTEGRALES BINOMIAS:

Son de la forma donde m, n, p∈ Q. Pueden ocurrir los casossiguientes:

1. Si p∈ Z⇒

α=⇒<

>α

.n ymdeadoresmindenolosde.m.c.melsiendo,t xCambio:0p .Newtonde binimioelporrDesarrolla:0p

De este modo se reduce el problema a una integral racional.

2. Si .pdeadormindenoelsiendo,t bxa:CambioZn

1m n α=+⇒∈

+ α

3. Si

α=+⇒∈

++ α

.pdeadormindenoelsiendo, x.t bxa:CambioZp

n

1m nn


39.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:


1. La funciónR(senx, cosx) esIMPAR en senx, es decir, si la función cambia de signo alsustituir (senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:

( )+ bxa x pnm

( ) xcos,senxR

−

−=

−=⇒= dt

dx

1senxt xcos

2

8




2. La funciónR(senx, cosx)esIMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo alsustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:

3.La funciónR(senx, cosx) esPAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera alsustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces,podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:

4. La funciónR(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces,

podemos realizar el cambio siguiente:


RECORDATORIO:

.)(tg1

)(tg2

)(sen)(cos

)cos()(sen2senx

2 x2

2 x

2 x2

2 x2

2 x

2 x

+=

+=

.)(tg1

)(tg1

)(sen)(cos

)(sen)(cos xcos

2 x2

2 x2

2 x2

2 x2

2 x2

2 x2

+

−=+

−=

−=

−=

⇒= dtdx

1 xcos

tsenx2

=

+=

+

=

⇒=

.dt

dx

t1

1 xcos

t1

tsenx

ttgx

2

+=

+

−=

+=

⇒=

t1

dt2dx

t1

t1 xcos

t1

t2senx

t2

xtg

2

9




40.-INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:


1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio:

=−=

.dtsenxdx.t xcos

2.Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio:

==

.dt xdxcos.tsenx

3.Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :

=

=

.dt xcos

dx.ttgx

2

Notas: No siempre, en este tipo y mediante los cambios anteriores, se llega a una integral racional sencilla,

siendo entonces preciso resolverlas mediante fórmulas de integración por REDUCCIÓN. Veámoslas:

4.Cuando (m+n) 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:

(A)Reduciendo el exponente del seno:

∫ −

+−

+−

++

−== n,2m

1n1mnm

n,m Inm

1m

nm

xcos. xsendx. xcos. xsenI

(B)Reduciendo el exponente del coseno:

∫ −

−+

+−

++

== 2n,m

1n1mnm

n,m Inm

1n

nm

xcos. xsendx. xcos. xsenI

. xcos. xsen nm

10

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