integrales multiples

Integración Múltiple de Ecuaciones Diferenciales

MÓDULO DE CÁLCULO VECTORIAL.

Nivel y Paralelo: 4° “B” Electrónica

Docente: Ing. Freddy Robalino.

INTEGRANTES:

Abigail Aldas

Christian Guaman

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014

Título: Integración Múltiple de Ecuaciones Diferenciales

Carrera: Electrónica y Comunicaciones.

Área Académica: Análisis matemático.

Ciclo Académico y Paralelo: Cuarto “B” Electrónica

Alumnos participantes: Abigail Aldas Christian Guamán

Módulo: Cálculo Vectorial

Docente: Ing. Freddy Robalino.

2013-2014

FACULTAD

DE F . I . S .



I. INFORME DEL PROYECTO1. PP2. YY

2.1 Título

Integración Múltiple Ecuaciones Diferenciales

2.2 Objetivos:

Objetivo General:

Conocer y entender las principales aplicaciones de las integrales múltiples.

Objetivos Específicos:

Aprender el uso de las integrales dobles en aplicaciones geométricas de uso cotidiano

Aprender el uso de las integrales triples en aplicaciones geométricas de uso cotidiano

2.3 Resumen

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x , y ) ó f (x , y , z).

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

2.4 Palabras clave:

Integración parcial, Integración sucesiva

2.5 Introducción

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x , y ) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y

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el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x , y , z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x , y , z) el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

2.6 Marco teórico.

Teniendo una expresión diferencial que contiene dos o mas variables independientes, la integramos considerando en primer lugar que una sola de ella varia, y que todas las otras son constantes. Entonces integramos el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes, y así sucesivamente. Tales Integrales se llaman dobles, triples,etc.

Según el número de variables, y en general integrales múltiples.En la resolución de este problema no hay nada nuevo excepto que la constante de integración tiene una forma nueva.Ilustraremos esto por medio de ejemplos, supongamos que deseamos hallar u dado.

dudx

=2 x+ y+3

Integrando con respecto a x, considerando y como constante, tenemos

u=x2+xy+3 x+∅En donde ∅ representa la constante de integración. Pero, puesto que durante esta integración y se consideró como constante, ∅ puede contener y.Indicaremos que ∅ depende de y, reemplazando ∅por el símbolo ∅ ( y ).En consecuencia, la forma mas general de u es

u=x2+xy+3 x+∅ ( y).Ejemplo:

u=∬ (x2+ y2 )dydxEsto quiere decir que deseamos hallar u, dado

d2udxdy

=x2+ y2

Integrando en primer lugar con respecto a y, considerando x como constante, obtenemos

dudx

=x2 y+ y2

3+∅ (x )

En donde ∅ (x) es una función arbitraria de xIntegrando ahora este resultado con respecto a x, considerando y como constante, tenemos

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u= x3 y3

+ x y3

3+φ ( x )+∅ ( y)unción

En donde ∅ ¿) es una función arbitraria de y, yφ ( x )=∫φ(x)dx

Aplicaciones de las integrales dobles. Área de una figura plana. Volumen de un sólido en el espacio. Masa de una figura plana. Momentos estáticos de una figura plana. Centro de masa de una figura plana Momentos de Inercia de una figura plana

Aplicaciones de las integrales triples.

Volumen de un sólido en el espacio. Masa de un sólido en el espacio. Momentos estáticos de un sólido en el espacio. Centro de masa de un sólido en el espacio. Momentos de inercia de un sólido en el espacio.

2.7 Procedimiento

1. Chequear el número de variables independientes en la ecuación.

2. Aplicar la definición de integral múltiple de ecuaciones diferenciales.

3. Integrar parcialmente con respecto a “x”.

4. Integrar parcialmente con respecto a “y”.

5. Se determina la solución de la ecuación diferencial.

a. Resultados y Discusión.

Ejemplo:Hallar el valor de la integral doble

∫0

a

∫0

√a2− x2

(x+ y )dydx

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¿∫0

a

∫0

√a2−x2

(x+ y)dydx

¿∫0

a

¿¿

¿∫0

a

[xy+ y2

2]√a

2+x2

0dx

¿∫0

a

( x√a2−x2+ a2−x22 )dx¿ 2a

3

3

Interpretando geométricamente el resultado, hemos determinado el volumenDel solido de la forma cilíndrica (fig. 219) cuya base es OAB y limitado en su parte superior por el plano z=x+ y.

Ejemplo Integral dobleEncuentre el centro de masa de un solido de densidad que esta acotado por el cilindro parabólico x= y2 y los planos x=z , z=0 y x=1.

Entonces, si la densidad es p ( x , y , z )=p, la masa es

m=∭ pdV=∫−1

1

∫y2

1

∫0

x

p dzdxdy

m=p∫−1

1

∫y2

1

xdxdy=p∫−1

1

[ x2

2] x=1x= y2

dy

m= p2∫−1

1

(1− y4 )dy=∫0

1

(1− y 4 )dy

m=[ y− y5

5 ]=4 p5b. Conclusiones

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Las integrales múltiples son ideales para resolver problemas con centros de masa en sólidos, ya que permite incluir sus tres variables que lo definen(x,y,z).

Las integrales triples permiten calcular la resistencia que presenta un solido al querer adquirir una aceleración rotacional.

Podemos integrar una ecuación diferencial cierto número de veces dependiendo del número de variables independientes que existan.

c. Referencias bibliográficas.

Granville, William Anthony, Calculo Diferencial e Integral, México, Limusa, 2009

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