integrales polares
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8/19/2019 Integrales polares
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INTEGRALES DOBLES POLARES
Algunas integrales dobles son muchos más fáciles de calcular en
forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto
para regiones circulares en forma de cardiode o de pétalos de curvas
rosa.
En esta sección se introduce la relación entre las coordenadas polares
(r, θ) las coordenadas rectangulares (!, ) de un punto, a saber las
ecuaciones"
x=rcos
θ y=rsin
θ
r2= x2+ y2 tanθ=
x
y
DEFINICIÓN" #upongamos que $ es una región acotada por las
grá%cas r=g1 (θ ) r=g2(θ) , por las rectas θ=α θ= β , que
f es una función de r θ que es continua sobre $. &on el %n de de%nir
la integral doble de f sobre $, empleamos raos c'rculos
concéntricos para dividir la región en una ret'cula de rectángulos
polares o subregiones $*, como aparece en la %gura a) b). El área
∆ A k de una subregión t'pica $*, que se muestra en la %gura c), es la
diferencia de áreas de dos sectores circulares"
∆ A k =1
2 r k +1
2∆ θk −
1
2 r k
2∆ θk =
1
2 (rk +1
2 −rk 2 )∆ θk =
1
2(rk +1+rk ) (rk +1−rk ) ∆ θk =rk
¿∆ rk ∆ θk
+onde ∆ rk =rk + 1−rk rk ¿
denota el radio promedio 12 (rk +1+r k )
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Eligiendo un punto muestrar
(¿¿k ¿
,θk ¿)
¿ en cada Rk , la integral
doble de f sobre R es
r
∑k =1
n
f (¿¿ k ¿ ,θ k ¿)rk
¿∆ rk ∆ θk =∬ f (r ,θ )dA .lim
|| P||→ 0¿
a integral doble se eval-a entonces por medio de la integral iterada"
∬ R
r
f ( r ,θ ) dA=∫α
β
∫g1 (θ )
g2 (θ )
f ( r ,θ )r d r d θ . (1 )
or otro lado, si la región R es como se indica en la %gura, la integral
doble de f sobre R es entonces
∬ R
r
f ( r ,θ ) dA=∫a
b
∫h1 ( r )
h2 ( r )
f ( r ,θ )r d θ d r . (2 )
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• Cambio de variables : de coordenadas rectangulares a polares.
En algunos casos una integral doble ∬ R
z
f ( x , y ) dA que es dif'cil o
incluso imposible de evaluar utili/ando coordenadas rectangulares
puede evaluarse fácilmente cuando se recurre a un cambio de
variables. #i suponemos que f es continua sobre la región $, si $
puede describirse en coordenadas polares como 0≤ g1 (θ ) ≤r ≤ g2 (θ ) ,
α ≤ θ ≤ β , 0
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∫ R
s
∫ ( x2+ y ) dA=∫0
2
∫1
√ 5
[ (r cosθ )2+r sinθ ] rdrdθ=∫0
2
∫1
√ 5
( r2cos2θ+rsinθ ) rdrdθ=∫0
2
∫1
√ 5
(r3 cos3 θ+
INTEGRALES TRIPLES CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
+ependiendo de la geometr'a de una región en el espacio
tridimensional, la evaluación de una integral triple en esa región
puede ser más fácil utili/ando un nuevo sistema de coordenadas.
I. INTEGALE! TIPLE! EN COODENADA! CIL"NDICA!
El sistema de coordenadas cil'ndricas combina la descripción polar de
un punto en el plano con la descripción rectangular de la componente
/ de un punto en el espacio. &omo se advierte en la %gura a), lascoordenadas cil'ndricas de un punto se denotan mediante la triada
ordenada (r, θ, /) a palabra cil'ndricas surge del hecho de que un
punto en el espacio está determinado por la intersección de los
planos / 2 constante, θ 2 constante, con un cilindro r 2 constante,
como se ve en la %gura b).
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• Co#versi$# de %oorde#adas %ildri%as a %oorde#adas
re%'a#()lares.
+e la %gura a), también vemos que las coordenadas rectangulares (!, ,
/) de un punto se obtienen de las coordenadas cil'ndricas (r, θ, /)
mediante las ecuaciones.
x=r cosθ y=r sinθ z= z
• Co#versi$# de %oorde#adas re%'a#()lares a %oorde#adas
%ildri%as.
ara e!presar coordenadas rectangulares (!, , /) como coordenadas
cil'ndricas, se emplean.
r2= x2+ y2 tanθ=
y
x z= z
• I#'e(rales 'ri*les e# %oorde#adas %ildri%as
$ecuerde de la sección de 3ntegrales dobles polares que el área de un
rectángulo polar es ∆ A=r¿∆ r ∆ θ , en donde r* es el radio medio.
+e la %gura a) vemos que el volumen de una cu4a cil'ndrica es
simplemente.
∆ V = (área dela base )∗( altura )=r¿ ∆ r ∆ θ ∆ z.
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DEFINICIÓN" Entonces, si f (r , θ , z) es una función continua sobre la
región +, como se ilustra en la %gura b), la integral triple de 5 sobre +
está dada por"
f (r , θ , z ) dV =¿∬ R
0
[ ∫h1(r , θ)
h2 (r , θ)
f (r , θ , z ) dz] dA=∫α
β
∫g1(θ)
g2(θ)
∫h1( r ,θ )
h2 ( r ,θ )
f ( r , θ , z ) r d z d r d θ . (4 )
∭
0
¿
II. INTEGALE! TIPLE! EN COODENADA! E!F+ICA!
&omo se ve en la %gura a), las coordenadas esféricas de un punto
están dadas por la triada ordenada ( ! ,ϕ , θ ¿ donde ! es la
distancia del origen a , ∅ es el ángulo entre el e6e / positivo el
vector "P , θ es el ángulo medido desde el e6e ! positivo hasta
la proección del vector "# de "P . El ángulo θ es el mismo
ángulo que en coordenadas polares cil'ndricas. a %gura b) muestra
que un punto en el espacio está determinado por la intersección de
un cono ϕ=¿ constante, un plano θ=¿ constante una esfera !
2 constante7 de ah' surge el nombre de coordenadas esféricas.
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• Co#versi$# de %oorde#adas es,-ri%as a %oorde#adas
re%'a#()lares.
ara transformar coordenadas esféricas ( ! ,ϕ ,θ) a coordenadas
rectangulares (!, , /), observamos de la %gura a) que
x=|⃗"#|cosθ , y=|⃗"#|senθ,z=|"P|cosϕ
uesto que |⃗"#|= ! senϕ |"P|= ! , las ecuaciones anteriores se
convierten en x= ! sen ϕcosθ , y= ! senϕ senθ , z= ! cosϕ
• Co#versi$# de %oorde#adas re%'a#()lares a %oorde#adases,-ri%as.
ara convertir las coordenadas rectangulares (!, , /) en
coordenadas esféricas ( ! ,ϕ ,θ) , usamos
!2= x2+ y2+ z2 , tan θ=
y
x , cosθ=
z
√ x2+ y2+ z2
• I#'e(rales 'ri*les e# %oorde#adas es,-ri%as
&omo se observa en la %gura, el volumen de una cu4a esférica
está dado por la apro!imación"
∆ V $ !2
senθ ∆ !∆ ϕ∆ θ .
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DEFINICIÓN" En una integral triple de una función continua en
coordenadas esféricas f ( ! ,ϕ , θ) la diferencial del volumen dV es
dV = !2 senϕ d !d ϕ d θ
or consiguiente una integral triple com-n en coordenadas esféricas
tiene la forma
∭
0
f ( ! ,ϕ , θ)dV =∫α
β
∫g
1(θ)
g2(θ)
∫h1 (ϕ ,θ )
h2 (ϕ ,θ )
f ( !, ϕ , θ) !2 sen ϕd ! d ϕ d θ . (5 )
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EJEMPLO APLICATIVO : 8allar el volumen de la región sólida
9 que corta en la esfera x2+ y2+ z2=4 (Esfera) el cilindro
r=2sin θ
Solución: &omo x2+ y2+ z2=r2+ z2=4 las
cotas para / es −√ 4−r2
≤ z ≤√ 4−r2
. #ea $
la proección del sólido sobre el plano rθ,
las cotas de $ son 0≤ r ≤2sinθ y 0≤ θ ≤ π .
or lo tanto el volumen de 9 es"
r d z d r d θ % s{ant%el &%lu'en de# es: ()le*%' deuna : mo coordenadas cilindricas
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EJEMPLO APLICATIVO /: 8allar el volumen de la región sólida 9
acotada por la ho6a superior del cono /: 2 !: ; : por arriba de la
esfera !: ; : ; /: 2 <
Solución: En coordenadas esféricas la
ecuación de la esfera es
!2= x2+ y2+ z2=*−→ !=3
Además la esfera el cono se corta
cuando
(!
:
;
:
) ; /
:
2 /
:
; /
:
2 <
z=
3
√ 2
1 como / 2 = cos >, se sigue que
( 3√ 2 )(1
3 )=cosϕ−→ϕ=π 4
!2
senϕd ! d ϕd θ % s{ant%el &%lu'en de# es : ()le *%' deuna:mocoordenadascilindricas}=intfrom{0}to{2π}{intfrom{0}to{{π}over{4}}{*sin{ ϕ
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BIBLIOGRAFÍA
Cálculo con Geometría Analítica. Zill, ennis G. !dición "#$%.
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Cálculo con Geometría Analítica. Roland !. +arson , &. ostetler -
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Cálculo de Varias Varia4les. Zill, ennis G. 5rig6t, 5arren 7ta
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