formula rio 2

Prof. Julio C. Cern Velsquez

37

53

35

445

45

1

12

30

60

1

2

3

ACADEMIA

30 60 45 37 53

1 3 2 3 4sen

2 2 2 5 5

3 1 2 4 3cos

2 2 2 5 5

3 3 4tg 3 1

3 4 3

3 4 3ctg 3 1

3 3 4

2 3 5 5sec 2 2

3 4 3

2 3 5 5csc 2 2

3 3 4

FORMULARIO DE TRIGONOMTRIA

TRIANGULOS NOTABLES

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE NGULOS NOTABLES

IDENTIDADES

TRIGONOMTRICAS

PITAGORICAS

xcscxctg

xsecxtg

xcosxsen

22

22

22

11

1

=+

=+

=+

POR COCIENTE RECPROCAS

111

=

=

=

ctgx.tgx

xsec.xcos

xcsc.senx

tgxctgx

xcosxsec

senxxcsc

1

1

1

=

=

=

IDENTIDADES AUXILIARES

IDENTIDADES PARA ARCOS COMPUESTOS

senx.seny cosx.cosy= y)cos(x

cosx.seny senx.cosy=y)sen(x

m

tgy.tgx

tgytgx)yx(tg

m1

=

1

1

1

1

22

22

22

22

=

=

=

=

xctgxcsc

xtgxsec

xsenxcos

xcosxsen

xcos

senxtgx =

senx

xcosctgx =

14

76

117

4

8

82

1

7

16

74

725

24

5 2

2 +1

17

28

62

817

15

1

31

59

3

5

17

452

31

75

53 3715

5 4

1 1

2 3 6 +

2 2

10

2

6 - 2

127 2

153 2


IDENTIDADES AUXILIARES PARA COMPUESTOS

PROPIEDADES

1) asenxbcosx= 22 ba + .sen(x) tal que:

y

2) x R se cumple que: - 2222 babcosxasenxba ++

(MINIMO) (MAXIMO)

AUXILIARES PARA TRES ANGULOS

1) Si A + B + C = 180 Se cumple:

tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC

ctgA.ctgB+ctgA.ctgC+ctgB.ctgC=1

2) Si: A+B+C=90 Se cumple:

ctgA+ctgB+ctgC=ctgA.ctgB.ctgC

TgA.tgB+tgAtgC+tgB.tgC=1

IDENTIDADES PARA ARCO DOBLE

2senx.cosx=sen2x

xsenxcos=cos2x 22

AUXILIARES

xtg-1

2tgx=tg2x

2

Triangulo del ngulo doble

1 tg x2

1 + tg

x2

2 tg x

2x

sen2x=1 + tg x2 2tg x2

cos2x=1 + tg x21 tg x2

IDENTIDADES PARA ARCO MITAD

AUXILIARES

Donde el signo depender del cuadrante en el que se

ubique 2

x

22 ba

bsen

+=

22 ba

acos

+=

)yx(tgy).tgx.tgytg(xtgytgx

seny.senx

)yxcos(ctgy.ctgx

ycos.xcos

)yxcos(tgy.tgx

seny.senx

)xy(senctgyctgx

ycos.xcos

)yx(sentgytgx

ysenxcosy)-y).cos(xcos(x

ysenxseny)-y).sen(xsen(x

=

=

=

=

=

=+

=+

1

1

22

22

m

m

tgx.xtg1sec2x

ctgx.xtg1sec2x

2ctg2xtgxctgx

2csc2xtgxctgx

cos2x-1xsen

cos2xx2cos

2

2

22

21

=

=+

=

=+

=

+=xsen1=cos2x

1-x2cos=cos2x

2

2

2

2

xtg=ctgxcscx

2

xctg=ctgxcscx

+

xcos

xcos=

2

xtg

xcos

=2

xcos

xcos=

2

xsen

+

+

11

21

21


2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)

2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y)

2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)

2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y)

( )( ) ( )nrSen 2 P USen Sen( r) Sen( 2r) ..... Sen

2rSen n trminos 2

+ + + + + + =14444444244444443

( )( ) ( )nrSen 2 P UCos Cos ( r) Cos ( 2r) ..... Cos

2rSen n trminos 2

+ + + + + + =1444444442444444443

( ) ( ) ( )3 5 1Cos Cos Cos .... n tr min os2n 1 2n 1 2n 1 2pi pi pi+ + + =+ + +

( ) ( ) ( )2 4 6 1Cos Cos Cos .... n trmin os2n 1 2n 1 2n 1 2pi pi pi+ + + = + + +

+=

+=+

+

=

+=+

2

BA enS

2

BA Sen2CosACosB

2

BA Cos

2

BA Cos2CosBCosA

2

BA Cos

2

BA Sen2SenBSenA

2

BA Cos

2

BA Sen2SenBSenA

IDENTIDADES PARA ARCO TRIPLE

x3tg-1

xtg-3tgx=tg3x

3cosx -x4cos=cos3x

x 4sen-3senx=sen3x

2

3

3

3

AUXILIARES

TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS

1. IDENTIDADES PARA LA SUMA Y

PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.

CASO II Para el producto de dos trminos, Senos y/o

Cosenos a suma o diferencia.

Siendo : x > y

2. SERIES TRIGONOMETRICOS Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ngulos estn en progresin aritmtica.

P : primer ngulo; U : ltimo ngulo r = razn

3. SERIE ESPECIAL DE COSENOS

Propiedad + Zn

Propiedad + Zn

12cos2x

12cos2xtgx=tg3x

1)xsenx(2cos2=cos3x

1)xsenx(2cos2=sen3x

+

+

+

xtg)x(tg)x(tgtgx

xtg)x(tg).x(tg.tgx

xcos)xcos().xcos(.xcos

xsen)x(sen).x(sen.senx

331206036060

360604360604

=++++

=+

=+

=+


( )( )( )( )( )( )

A Btg 2a bI. =

a + b A + Btg 2

B Ctg 2b cII. =

b + c B + Ctg 2

A Ctg 2a cIII. =

a + c A + Ctg 2

( ) ( ) ( ) ( ) n2n 12 3 nSen Sen Sen ....Sen2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 +pi pi pi pi =+ + + +( ) ( ) ( ) ( ) n2 3 n 1Cos Cos Cos .... Cos2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2pi pi pi pi =+ + + +

A

A

CC

B

B

b

ac

( ) ( ) ( ) ( )2 3 nTg Tg Tg ... Tg 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1pi pi pi pi = ++ + + +

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a = b + c 2bc cos A .......... (1)

b = a + c 2ac cos B .......... (2)

.......... (3)c = a + b 2ab cos C

a b c = = = 2Rsen A sen B sen C

A C

B

b

A

ac

2 2 2b + c acos A = 2bc

A

B

O

C

c a

b

R

a = 2R sen A

b = 2R sen B

c = 2R sen C

Tambin:

A

A

b cos Ac cos B

BB

b

C

a

C

4. PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUOS

1. TEOREMA DE SENOS

En todo tringulo ABC de circunradio R se verifica (O: centro).

2. TEOREMA DE COSENOS En todo tringulo ABC

Se cumple:

Si de (1) se despeja cos A obtenemos:

3. TEOREMA DE TANGENTES Dado un tringulo ABC

Se cumple:

4. TEOREMA DE PROYECCIONES

Se cumple:

C = b cos A + c cos B Tambien:

a = b cos C + c cos B

b = a cos C + c cos A

formula rio 2

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