física – nivelación universitaria

8/18/2019 Física – Nivelación Universitaria

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Nivelación Emblemática

Fí sica

Introducción a la f í sica hasta

Cinemática

Universidad Regional Amazónica Ikiam

28 de marzo de 2016 a 19 de agosto de 2016

Libro de trabajo: Parte 1

Escrito por Anthony Day

Gracias por la ayuda de José Serrano, Nelson Granja, Edison Salazar, David Lazo

y mucho caf é

Km. 7 Ví a a Muyuna – Parroquia Muyuna

Tena – Napo – EcuadorT: (06) 3700040


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www.ikiam.edu.ec

Información sobre el libro de trabajo

El libro de trabajo fue escrito para los estudiantes de la nivelació

n de la universidadIKIAM en la materia f í sica para el periodo: 28 de marzo de 2016 a 29 de agosto de 2016. El

libro de texto que se sigue es “F í sica Universitaria – Sears - Zemansky - 12ava Edición –

Volumen 1- capí tulos 1 a 8”.

Es muy importante que este libro de trabajo sea completado ya que el contenido del

mismo será evaluado en pruebas, laboratorios, proyectos, examen parcial y el examen final.

La siguiente lista es una sugerencia para todas las tutorí as:

1. Tomando en cuenta otras tareas, dedicar un tiempo fijo para completar cada sección

del libro.

2. Leer todas las instrucciones y entenderlas.

3. Tomar mucho cuidado en comprender los ejemplos.

4. Intentar los ejercicios como un examen adentro este tiempo.

5. Comparar tus resultados con otro compañero.

6. Intentar darse cuenta de tus errores y de sus errores.

7. Si ves errores de tu compañero, explicarle como hacer el ejercicio y/o al revés.

8. Corregir los errores.

9. Cuando las soluciones sean subidas a Canvas, comparar tus resultados con las

soluciones.

10. En caso de tener preguntas interesantes o que tus respuestas no son las mismas que las

mostradas en Canvas, acercarse al Técnico Docente (contacto:

[email protected])

11. Aprender de tus errores y si encuentras un error en este libro, se puede ganar puntos

extra al mostrarlo a Anthony.

12. Tomar la prueba de la tutorí a con confianza en si mismo.

http://www.ikiam.edu.ec/mailto:[email protected]:[email protected]://www.ikiam.edu.ec/


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Planificación por semana

Nota: Los proyectos depender án de las necesidades de cada clase.

20% 20% 20% 20% 20%

Pruebas Labs Proyectos Parciales Final

Semana Mes dias EnCasa

1 Mayo 28a3 Introducción+Metodo

cientifico

Proyecto enclase-

Recetadepastel. ar

pistadedensidad.

E!cel"#sicopara

proyecto

E!cel"#sicopara

proyecto 1.$umerosy%nidades

2 &a1'

Clase- %nidades(

SistemaInternacionaly

)n#lisis imensional

*aller deeerciciosde

con,ersión deunidades aoratorio1/ Medidas Pruea01

2.*rionometray plano

cartesiano

3 11)ril 4ectores 4ectores )cti,idadpara,ectores )cti,idadpara,ectores 3.4ectores

& 18a2& Sumade,ectores 5ueo/$omraal ,ector aoratorio2/Sumade

,ectores Pruea02(3(& &. Sumade ,ectores

6 26 a'1 Multiplicaciónde

,ectores

Multiplicaciónde

,ectores

Proyecto/ Elilemade

Mario 7art Pruea06 6. Productopunto ycru

9 2a8

Introduccióna la

Cinem#tica.Mo,imiento

yReposo

Eercicios( acti,idado

proyecto deMR% aoratorio 3/4elocidad Pruea09

9. Mo,imiento

Rectilneo%niforme

0MR%

: ; a16 MR%4 MR%4 aoratorio &/ caida lire aoratorio &/ caida lire:. Mo,imiento

Rectilneo%niforme

4ariado 0MR%4

8 19a22 aoratorio&/caidalire Pruea0:

; 23 a2; repaso repaso

1' 3'a6

11 9a12

Introducción al

mo,imiento endos

dimensiones.

educción defórmulas

dets( t,(


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Tabla de Contenidos

FÍSICA................................................................................................I

INFORMACIÓN SOBRE EL LIBRO DE TRABAJO........................................IIPLANIFICACIÓN POR SEMANA.............................................................III

CAPÍTULO 1: UNIDADES Y MEDIDAS.....................................................1MEI)S...............................................................................................................1

Incertidumbre, precisión y exactitud..............................................................2Las cifras signicativas...................................................................................2Formato de escritura de tablas para este curso.............................................3Suma y resta de medidascon cifras signicativas!........................................3"romedio........................................................................................................ 3#ultiplicación y división de medidas considerando cifras signicativas.........$%ransformación de unidades.......................................................................... $

*)RE) 1/..............................................................................................................6-)"BR)*BRIB 1/ E*ERMI$)R -) E$SI) E S-IBS D -F%IBS...............................9

&b'etivos(....................................................................................................... )*l pie de rey................................................................................................... +olumen y -ensidad(......................................................................................Los errores(.................................................................................................... *rror absoluto y relativo(................................................................................/esultados(.....................................................................................................0

PR%E") 01......................................................................................................... 1'

CAPÍTULO 2: TRIGONOMETRÍA Y PLANO CARTESIANO..........................11 *RIGB$BME*R)................................................................................................... 11

Identidades trigonom1tricas(........................................................................"lano cartesiano...........................................................................................2

*)RE) 2............................................................................................................. 16

CAPÍTULO 3: VECTORES....................................................................19 *EBR)............................................................................................................... 1;

oordenadas para vectores..........................................................................24. oordenadas polares(...............................................................................242. oordenadas rectangulares(.....................................................................23. #ódulo 5 ector 6nitario...........................................................................22$. oordenadas 7eogr8cas(.......................................................................23

*)RE) 3............................................................................................................. 29

CAPÍTULO 4: SUMA DE VECTORES......................................................30 *EBR)............................................................................................................... 3'

8lculo de propagación de errores...............................................................3$ *)RE) &............................................................................................................. 39-)"BR)*BRIB 2/..................................................................................................3;

&b'etivo........................................................................................................ 30Instrucciones................................................................................................30Introducción................................................................................................. $4/esultados( $,9 puntos!..............................................................................$

PR%E") 02(3(&...................................................................................................&1

CAPÍTULO : MULTIPLICACIÓN DE VECTORES......................................42 *EBR)............................................................................................................... &2

. 6n vector multiplicado por un escalar resulta un vector..........................$2


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2. *l producto punto entre dos vectores nos resulta un escalar. %ambi1n se loconoce como producto escalar.....................................................................$23. "roducto cru: o vectorial! entre vectores...............................................$$

*)RE) 6/............................................................................................................ &:PR%E") 06......................................................................................................... 62

CAPÍTULO !: CINEM"TICA..................................................................3elocidad media(..........................................................................................93La velocidad instant8nea es(........................................................................93elocidad promedio......................................................................................9$-eniciones b8sicas de la cinem8tica(.........................................................9$

MB4IMIE$*B REC*I-$EB %$I>BRMEME$*E 0MR%......................................................6& *)RE) 9............................................................................................................. 6;-)"BR)*BRIB 3/ CI$EMH*IC) 1...............................................................................93

Funciones de un l;der(..................................................................................)3&b'etivos(.....................................................................................................)3#ateriales(....................................................................................................)3#onta'e sugerido(.........................................................................................)3/esultados de las medidas( $,9 puntos!......................................................)$

PR%E") 09......................................................................................................... 99

CAPÍTULO #: M"S CINEM"TICA..........................................................!#MB4IMIE$*B REC*I-$EB %$I>BRMEME$*E 4)RI)B 0MR%4.......................................9:

Las ecuaciones


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Tabla 1: E jemplo de una medida con un número, una potencia de 10, un prefijo y una unidad.

5x102 km

5 102 k m

Número Potencia de 10 Prefijo Unidad

Se puede escribir esta cantidad en otras maneras, por ejemplo:

= 500 km = 500 x 103 m = 500 000 m

La Tabla 2 tiene algunos prefijos comunes.

Tabla 2: Relación entre prefijos y potencias.

Potencia de 10 Número Prefijo Abreviatura10-9 0,000000001 nano n

10-6 0,000001 micro µ

10-3 0,001 mili m

10-2 0,01 centi c

103 1000 kilo k

106 1000000 mega M

109 1000000000 giga G


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Incertidumbre, precisión y exactitud

En f í sica cuando se mide algo con un instrumento (por ejemplo una regla) es

necesario tomar en cuenta la incertidumbre, la precisión y la exactitud. De los incrementos de

un instrumento es posible aprender su precisión, por ejemplo, una regla tiene incrementos de

1 mm, que es la cantidad más pequeña que se puede medir con la regla, y por eso cualquier

medida de una regla debe tener una precisión en milí metros. La incertidumbre o error es la

máxima diferencia probable entre el valor real y el valor medido, depende mucho del método

usado para medir (por ejemplo, una medición con un reloj de arena tendrá mayor

incertidumbre que una medición hecha con un cronómetro). La exactitud de una medición se

expresa con el número, el sí mbolo ± y la cantidad más pequeña que puede medir el

instrumento utilizado. La relación entre estos términos está escrito en tabla 3 con un ejemplo

en la Tabla 3.

Tabla 3: La relación entre exactitud, precisión e incertidumbre de una medición de 20 cm hecha con una regla

común.

Exactitud

20,0 ±0,1 cm

20,0 ±0,1

Precisión Incertidumbre

En Tabla 3 se puede ver que es 20,0 (no solo 20) porque la regla común tiene

incrementos de 1 mm. Este número tiene 3 cifras significativas y puede (no siempre) ser

usado para indicar la exactitud, precisión e incertidumbre (Tabla 4).

Las cifras significativas

Tabla 4: Medición de 20 cm hecha con una regla común (se muestra la cantidad de decimales y cifras

significativas)

Unidad Medida Decimales Cifras significativas

mm 200 0 1

mm 2,00x102 2 3

cm 20,0 1 3

m 0,200 3 3


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Formato de escritura de tablas para este curso

Para tener consistencia entre todas sus actividades que requieran tablas, se pide que sigan las

instrucciones presentadas a continuación para tener una tabla ordenada y fácil de entender

(Tabla 5).

Tabla 5: Un ejemplo que muestra como anotar una medida de una regla común.

Mal escrito Bien escrito

mm cm m mm cm m

300.0 30 0.3 300 ±1 30,0 ±0,1 0,300 ±0,001Usando cifras significativas 3,00 x 102 30,0 0,300

Reglas para llenar las tablas:1. Etiquetar la tabla con un referencia encima de la tabla (Tabla 5)2. Poner las unidades en el tí tulo de la columna y no junto al número.

3. Ubicar la tabla cerca de donde se la menciona y referenciarla (i.e.: No serí a correcto

referirse a la Tabla 1 en la página 1 y poner la Tabla 1 en la página 5).

Suma y resta de medidas(con cifras significativas)

La respuesta tiene la misma cantidad de decimales que la medida con el menor

cantidad de decimales (Tabla 6).

Tabla 6: Ejemplos de sumar y restar medidas

Medidas (cm)

5+6=11 5,1+6=11 5,12+6,4=11,55,12+6,9=12,0 5,12+6,88=12,00 3+5,11+6,258=14

Promedio

Promediode los resulatdos=´ x=1

n∑i=0

n

x i

´ x=11+11+11,5+12,0+12,00+14

6 =12


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Multiplicación y división de medidas considerando cifras significativas

Al multiplicar medidas, la respuesta debe tener la misma cantidad de cifras

significativas que la medida con la menor cantidad de cifras significativas (Tabla 7).

Tabla 7: Ejemplos de Multiplicar y dividir medidas

Medidas (cm)

5 ∙6=30 5,0 ∙6,0=3,0 x 101 5,12∙ 6,4=33

5,12 ∙ 6,91=35,4 3 ∙5,12 ∙6,88=100 3,0 ∙5,11 ∙ 6,258=96

Transformación de unidades

Ejemplo: Se sabe que: 1 hr=60 min; 1 min=60 seg; 1 km=1000 m

Transformar(80 kmhr )a(m

s )80

km

hr ∙( 1 hr60min )∙(

1 min

60 seg) ∙(1000 m

1 km )=22,2 2́m

s

Este número viene de otroque tiene 1 cifrasignificativa , por lo que

el resultadodebemantener unacifrasignificativa=20 m

s

Transformar(0,0052 K !cm3

g2 )a( ! m

3

kg2 )

0,0052 K !cm

3

g2

∙(1000 g)2

(1kg)2 ∙

(1m)3

(100cm)3 ∙(1000 )1

(1k )1 =5,2

∙ m3

kg2


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Tarea 1:

Instrucción: Llenar la tabla que est á abajo correctamente y leer el laboratorio 1.

Santiago quiere medir el tiempo que un objeto demora en caer una distancia definida. Él realizó el siguiente

experimento:a) Colocó dos sensores1, uno al inicio de la caí da y otro al final de la caí da.

o Los sensores pueden medir tiempo con una presión de 0,001 s.

b) Se midió la distancia entre los sensores con una regla común.

c) Se colocó un objeto de acero en el sensor superior.

d) Se prendó la máquina para los sensores y dejó caer el objeto.

e) Se anotó el tiempo de caí da que se registra en el lector de los sensores.

Ayudar a Santiago anotar, correctamente2 , sus resultados y calcular la aceleración hacia

abajo.

Distancia de caí da: 20 cm

Intento Tiempo de caí da

1 0.204 s

2 0.2 s

3 0.21 s

4 0.208 s

5 1.22

- Calcular la aceleración del objeto usando la formula (1) ¿a=2 d

t 2

T í tulo de tabla: " ________________________________________________________

Intento Distancia (______) Tiempo de caí da (______) Aceleración (______)

1

2

3

4

5

- Calcular el promedio de las la aceleraciones

1 Los sensores de oviiento funcionan idiendo el tiepo que se deora una part!culadesde que cru"a el prier sensor #asta que cru"a el segundo sensor. $ste tiepo se uestraen un lector que se conecta a los sensores. %&%' dispone de estos sensores en su laboratoriode f!sica. *eferirse a la Tabla 5 para saber cóo #acerlo correctaente.


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Laboratorio 1: Determinar la densidad de sólidos y lí quidos

Poner la información pedida abajo (0,5 punto)

Aula:__________ Fecha:__________________ Código de caja:______________________

Miembros:__________________________________________________________________

Lí der:______________________________________________________________________

Es necesario terminar el laboratorio 30 min antes del fin de clase para tomar la prueba 1.

Objetivos:

Calcular la densidad de 3 objetos y contestar las preguntas.

a) Estudiar los 3 bloques de la caja provista.

b) Estudiar 2 cantidades de agua diferentes (20 ml y 45 ml de agua).

1. Medir su masa, solo con una balanza como de la figura 1.

2. Medir sus dimensiones, solo con el pie de rey.

3. Calcular su densidad, solo usar las medidas de parte 1 y 2.

4. Llenar la sección de resultados.

Figura 1: Instrumentos de la caja provista


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El pie de rey

El pie de rey es una regla con un nonio (Figura 2). La regla tiene incrementos de 1

mm y el nonio representa 1 mm con 20 incrementos que resultan en incrementos de 0,05 mm.

Se dice que la precisión de la regla es 1 mm y si se toma en cuenta la medida del nonio, la

precisión mejora a 0,05 mm.

Figura 2: Pie de Rey

Para usar el nonio, primero hay que usar la regla normalmente. Si la primera l í nea del

nonio coincide con una lí nea de la regla, esto es la medida con una exactitud de 0,05 mm. Por

ejemplo, 24,70 mm ±0,05 mm . Si la primera lí nea del nonio (lí nea cero) no coincide con la

regla, hay que anotar el valor de la lí nea anterior de la regla, por ejemplo, 24 mm (Figura

3). Para obtener una medida más precisa se usa el nonio. Se puede ver en la Figura 3 que, de

la escala del nonio, el número 7 coincide con una lí nea de la regla. Uno puede ver que hay 14

espacios de 0,05 mm detrás esta lí nea. Por eso a la medida de la regla hay que sumar

0,05 mm∙14=0,7 mm .

Figura 3: Ejemplo de medición con Pie de Rey

Línea cero del

nonio no coincide

con ninguna línea

de la regla. Estoindica que la

medida es 24 cm

solo usando la

regla


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#edida en cm :2,4 cm+0,07 cm=2,47 cm± 0,005 cm

Volumen y Densidad:

Densidad (p):

$=mv

m=masa;v=volumen

%olumendeunbloque= x ∙ & ∙ '

x & '=lados del ob(eto

%olumen de un cilindro=) r2 ∙ *

r=radio; * =altura

Los errores:

La mejor estimación de una magnitud es el punto medio A del intervalo, de tal forma

que el valor de la magnitud quede definido por +∈( +− + , ++ + )

-onde + es un intervalo de error que pede calculadode muchas maneras

En este experimento el error es del instrumento como el pie de rey ± 0,005 .

Error absoluto y relativo:

Errores absolutos : +± +(unidad )

error relativos :.= +| +|

ejemplo:

real (o teórico): 3,12 segundos

del experimento: 3,01 y 3,11 segundos

Tabla !: Ejemplos de errores absolutos y relativos

Medidas (s) Errores absolutos (s) Errores relativos (%)

3,01 3,01 / 3,12=−0,11 "± 0,11 −0,11

3,12=−0,036=−3,6 "3,6

3,11 3,11 / 3,12=−0,01 "± 0,01 −0,01

3,12=−0,003=−0,03 " 0,03


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Resultados: (6,5 puntos)

Llenar las tablas abajo tomando en cuenta la precisión del instrumento de medición

Instrucción para llenar las tablas:

1. Poner la masa (bloque o agua) en la balanza2. Poner las pesas en el otro lado de la balanza hasta que la balanza regrese a la

posición inicial.

3. Añadir y quitar pesas para deducir la precisión de la balanza. Por ejemplo:

±1 gr

Tabla ": Las masas de los bloques (medidos de la balanza).

Cuerpo Masa (1) (____) Masa (2) (____) Masa promedio (____)

Bloque de madera

Bloque de aluminio

Bloque de Hierro

Tabla 1#: Los volúmenes para el agua NO INCLUIR el peso del envase (medidos de la balanza).

Agua Masa (1) (____) Masa (2) (____) Masa promedio (____)

20 ml de agua

45 ml de agua

Instrucción para tabla 3, 4, 5 y 6: Medir las dimensiones de las masas con el pie de rey.

Tabla 11: Las dimensiones del bloque de madera.

X (____) Y (____) Z (____)

Persona 1

Persona 2 Volumen (____)

Promedio

Tabla 12: Las dimensiones del bloque de aluminio.

X (____) Y (____) Z (____)

Persona 1


Promedio

Tabla 13: Las dimensiones del bloque de hierro.


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X (____) Y (____) Z (____)

Persona 1 :


Promedio

Tabla 14: Las dimensiones del vaso de precipitación con 20 ml de agua.

Agua (20 ml) Radio (____) Profundidad (____)

Persona 1


Promedio

Tabla 15: Las dimensiones del vaso de precipitación con 45 ml de agua.

Agua (45 ml) Radio (____) (Profundidad) (____)

Persona 1


Promedio

Tabla 16: Las densidades (incluir un cálculo de densidad, como un ejemplo).

Objeto Masa promedio (____) Volumen (____) Densidad (____)

Bloque de madera

Bloque de aluminio

Bloque de hierro

Agua (de 20 ml)

Agua (de 45 ml)

Entregar la pr áctica 1 a Anthony y preparar el laboratorio para un examen 35 min antes de

acabar la sesión del laboratorio.

Prueba (1)

La prueba (1) incluye todos los conceptos anteriores. Será tomada después del laboratorio.

Capí tulo 2: Trigonometrí a y plano cartesiano

Trigonometrí a


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x2+ &2=r2

a+b+c=1800

sin a= & (opuesto )

r (hipotenusa )

cosa= x (ad&acente)r (hipotenusa)

tan a= & (opuesto )

x(ad&acente)

Figura 4: Triángulo rect ángulo

Identidades trigonométricas:

Tabla 17: Algunas identidades trigonométricas

cot∅=cos∅

sen∅tan∅=

sen∅

cos∅

cot∅=ad&acente

opuesto sec∅=

hipotenusa

ad&acente csc∅=

hipotenusa

opuesto

cot∅= 1

tan ∅sec∅=

1

cos∅csc∅=

1

sen∅

sen2∅+cos

2∅=1 cot

2∅+1=csc

2∅

tan2∅+1=sec

2∅

cos2 a=cos2 a−sin2 a=2cos2a=1−2sin2 a sin2 a=2sin a cosa

sin 1

2a=√

1−cos a2

cos 1

2a=√

1+cos a2

sin(−a)=−sin a cos(−a)=−cosa

sin(a± b)=sin a cosb ± cosa sin b cos(a ±b)=cosacosb ±sina sinb

sin a+sin b=2sin 1

2(a+b)cos

1

2(a−b)

cos a+sin b=2cos 1

2(a+b)cos

1

2(a−b)

x

y

r

A

B

C

a

b= 9 0 g r a d o s


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Plano cartesiano

Ø º

Y

X

b

a

r α º

,

Figura 5: Triángulo rectángulo en un plan cartesiano

Las flechas del plano cartesiano denotan la dirección positiva de los ejes X y Y

(Figura 5). Los signos de negativo y de positivo en el plano cartesiano simplemente denotan

la dirección, NO es un valor negativo. En la Figura 5, un triángulo es colocado en un plano

cartesiano. Todos los lados de este triángulo todaví a tienen magnitudes positivas. El signo

negativo es colocado en frente del valor para denotar su dirección, no es negativo. Alfa ( 1

) es un ángulo que empieza a medirse desde el eje x positivo, girando hacia el eje y positivo

hasta llegar a la hipotenusa (r).

a=r ∙ cos 1

b=r ∙ sin 1

Las unidades del siguiente ejemplo se llaman Newtons (N). Estas unidades miden fuerza. Así

como hay megabytes (Mb) pueden haber meganewtons (MN).

a=−460 ;b=0,00052 #

Ejemplo 1 de trigonometr í a:

+alcular las incógnitas r ,∅ & 1

a) Transformar lo necesario

b=0,00052 # =520

b) Calcular la hipotenusa

r=√ ( 460)2+ (520 )22 694,26

c) Calcular el ángulo adentro el triangulo ∅

tan∅= a(3puesto)b ( +d&acente)

=460520


20/115

∅=tan−1(460

520)2 41,50 0

d ¿calcular el 4ngulo1 1 =900+41.500 2 131,50 0

e¿%erificar que + ∙cos 1 = x & + ∙ sen 1 = &

x= + ∙cos1 =694,26 ∙ cos (131,500 )=−460

&= + ∙ sen 1 =694,26 ∙sen(131,50 0)=520


+alcular las incógnitas r ,∅ & 1 .

b=470 m; a=1 km

a) Transformar lo necesario

a=1 km∙

1000 m

1km =1000 m

b) Calcular la hipotenusa

r=√ ( 470)2+ (1000 )

22 1104,94 m

c) Calcular el ángulo adentro el triángulo ∅

tan∅= a(3puesto)b ( +d&acente)

=1000

470

∅=tan−1(1000

470

)2 64,82 0

d) Calcular el ángulo 1

1 =90 0+64,820 2 25,17 0


x= + ∙ cos1 =1104,94 ∙ cos (25,17 0)=1000 m

&= + ∙ sen 1 =1104,94 ∙sen (25,17 0)=470 m


+alcular las incógnitas + , 5 & 1 .

a=−56,7 ms

;∅=17,5 0

tan 17,5 0= a(3puesto)b( +d&acente)

= b56,7

b=56,7 ∙ tan (17,5 0 ) 2 17,88m

s

cos(17,50)=

56,7

r

Ø º

X

a

b

r

α º

Y

,

Figura 6: Ejemplo 2 de un triángulo rectángulo

en un plano cartesiano

Figura 7: E$em%lo 3


21/115

r= 56,7

cos(17,50)2 59,45

ms

1 =180 0−17,5 0 2 162,5 0


x= + ∙ cos 1 =59,45∙ cos(162,5 0)2−56,7 m

s

&= + ∙ sen 1 =59,45 ∙sen (162,5 0)2 17,88m

s


+alcular las incógnitas + ,∅ & 1 .

a=−673 cm

s ; r=8897mm

s

r=8897 mm

s ∙

1cm

10mm=889,7

cm

s

b=−√ (889,7 )2−(673)22−581.93

cm

s

sen∅= & (opuesto)

r (h&potenusa)=

673

889,7

∅=sen−1( 673

889,7)2 49,15 0

1 =270 0−49,150 2 220,850


x=r ∙ cos1 =889,7 ∙ cos(220,85 0 )2−673 cm

s

&=r ∙s e n 1 =889,7 ∙ sen(220,85 0)2−581,93cm

s

Y

a

b

r

α º

XØ º

Ø º

a

r

b

α º

Y

X

,

Figura 2,4: Ejemplo 4


22/115

Tarea 2

6alculara,b,r, ∅ & 1 para todaslas preguntasen la unidad pedida!

Todos los ángulos se medirán o calcularán en grados.

Pregunta1 : 7nidad : ms

; a=−36 kmhr

;∅=16,44 0

Y

X

a

b

r

α º

Ø º


23/115

Pregunta2 : 7nidad : ; a=−0,0253 k ;∅=17,5 0

Y

Xa

b

r

α º

Ø º


24/115

Pregunta3 : 7nidad : ; b=400 ; a=0,8 k

Ø º

Y

X

b

a

r

α º


25/115

Pregunta 4 : 7nidad : m

s2

; a=583200 km

hr2

;∅=87,110

Y

X

b

r

a

α º

Ø º


26/115

Capí tulo 3: Vectores

Teorí a

Un vector es una cantidad f í sica que necesita una magnitud y una dirección para ser

descrita como la velocidad o la fuerza. En cambio, un escalar solo necesita de una magnitud

como la hora o la temperatura. El vector es geométricamente representado en el plano X-Y

(dos dimensiones) o en el espacio X-Y-Z (tres dimensiones) por una flecha. La dirección de

la flecha es la dirección del vector y su longitud es proporcional a la magnitud. Solo la

longitud y dirección de la flecha son importantes, por eso es posible poner el vector en

cualquier lugar del plano X-Y.

Y

X

7 0 N

7 0 N

7 0 N

7 0 N

7 0 N

7 0 N

7 0 N

Figura !: &e%resentaci'n del %eso de una %ersona (7# )* %or un +ector

Si P y Q son puntos en un espacio de 2 dimensiones, P8 denota el vector de P a

Q. Un vector 9= P8 en el plano X-Y puede ser representado por:

⃗9=( 9 x î+ 9 & ̂( )unidad=(8 x− P x î+8 &− P & ̂( )unidad

9 x & 9 & soncompenentes del vector 9

Y

X

R

R x

R y

Q

P

P Q

Q x - P x

Q y - P y

Figura ": Representación de las componentes de un vector


27/115

Coordenadas para vectores

Hay distintas maneras de expresar un vector. Se usarán algunas maneras de

expresarlos.

1. Coordenadas polares:

: =(mdulo; direccin)

La dirección depende del sistema de referencia. El ángulo se mide desde el eje “x”

positivo con dirección hacia el eje “y” positivo hasta encontrar al vector. Una fuerza de 50 N

en la dirección 240º se verí a así (nótese la orientación de los ejes positivos “x” y “y”):

Y

X

5 0 N

X

Y

2 4 0 ºE ! " # a r " $ " %

" & " ' x ' ! o s ( ) (* o

+ r " $ % a d ( r " , , ( $d " % " & " ' y '

. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r 2 0 º

E ! " # a r " $ " %

" & " ' x ' ! o s ( ) (* o

+ r " $ % a d ( r " , , ( $

d " % " & " ' y '

. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r

5 0 N

⃗: =(50 ; 240 0 ) ⃗: =(50 ; 120 0 )

Figura 1#: Ejemplo de coordenadas polares

Y

X

Y

X

E ! " # a r " $ " %

" & " ' x ' ! o s ( ) (* o

+ r " $ % a d ( r " , , ( $

d " % " & " ' y '

. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r 1 0 0 º

0 º

E ! " # a r " $ " %

" & " ' x ' ! o s ( ) (* o

+ r " $ % a d ( r " , , ( $

d " % " & " ' y '. " d ( r / a s ) a " % * " , ) o r

5 0 N 5 0 N

⃗: =(50 ;3000 ) ⃗: =(50 ;60 0 )

Figura 11: Ejemplo de coordenadas polares


28/115

2. Coordenadas rectangulares:

$l vector se epresa en función de sus coponentes -. e utili"an los vectores unitarios (seeplica ás adelante este concepto) i, / y 0.

⃗: =( : x î+ : & ̂(+ : ' k̂ )unidad

Medir o calcular los componentes del vector.

Y

X X

Y

2 4 0 º

2 0 º

5 0 N 5 0 N

,

: x= : cos∅=50cos ( 240 0 )=−25

: &= : sin∅=50sin (240 0 )=−43,3

: '=es perpendicular a x e y=0

: x= : cos∅=50cos (1200 )=−25

: &= : sin∅=50sin (120 0 )=43,3


⃗: =(−25 î−43,3 ̂( ) ⃗: =(−25 î+43,3 ̂( )

Figura 12: Ejemplo para coordenadas rectangulares

Y

X

Y

X

1 0 0 º 0 º

5 0 N 5 0 N

,

Figura 13: Ejemplo para coordenadas rectangulares

: x= : cos∅=50cos ( 300 0 )=25

: &= : sin∅=50sin (300 0 )=−43,3 kg


: x= : ∙cos∅=50 ∙cos (600 )=25

: &= : ∙ sin∅=50 ∙sin (600 )=43,3 kg


- +oponentes son las proyecciones de un vector en un e/e deterinado. 's!, la coponenteen ser!a la proyección del vector en el e/e .


29/115

⃗: =(25 î−43,3 ̂() (¿

25 î+43,3 ¿̂¿

⃗: =¿

3. Módulo – Vector Unitario

$l vector se epresa coo una ultiplicación entre el ódulo del vector y su vector unitario.

+= + ∙⃗ u +

Vector unitario

$s un vector cuya agnitud es uno, no tiene unidades. $l nico propósito del vector

unitario es de indicar dirección. e obtiene dividiendo un vector en coordenadas

rectangulares para su iso ódulo. $l ódulo divide a cada coponente y el vector

resultante es el vector unitario.

⃗u += ⃗+

+=

+ x î+ + & ̂(+ + ' k̂

√ ( + x)2+( + & )

2+( + ')2

La 2igura 13 (nótese la orientación de los e/es positivos)

presenta el vector unitario del vector '. $ste vector

unitario, a escala, tendrá un ódulo igual a 1. Para

calcularlo se transfora el vector en coordenadasrectangulares4

+ x=50cos60 0=25

+ &=50sin 600=43,3

Figura 14: ,ector - su +ector unitario (indicado en ro$o*

⃗+= (25 î+43,3 ̂( )

$ste vector se lo divide para su ódulo. $s decir, cada coponente será dividida para

5 6.

⃗u +=(25 î+43,3 ̂( )

50

6ótese que las unidades se siplifican. $l vector unitario de ' es4

⃗u +=0,5 î+0,866 ̂(


30/115

+onociendo el vector unitario de ', se puede epresarlo en función de su ódulo y

unitario de la siguiente anera4

⃗+=50 ∙(0,5 î+0,866 ̂( )


31/115

4. Coordenadas Geográficas:

uy parecidas a las coordenadas polares pero los ángulos se iden utili"ando loscuatro puntos cardinales. Los ángulos siepre se epie"an a edir desde el 6orte o ur endirección #acia el $ste o el 7este #asta encontrar al vector.

⃗: =( : ; direccin[ orte o


32/115


33/115

Ejemplo 1: Poner el vector en coordenadas polares, rectangulares y geogr á ficas.

Ø º

Y

X

A

y

=

-

0

2

1

N

Ø º

Y

X

N o r ) " N o r ) "

A

y

=

-

0

2

1

N

Figura 17: Reubicación del vector (paso 1)

1. Poner el comienzo del vector en el centro del sistema de referencia.

2. Cálculos

a) Unidades

+=0,8 k ∙1000

1 k =800

+&=−123

b) 6alcular ∅ ,1 & + x

sen∅= opuesto

hipotenusa=

+ &

+ =(

123

800)

∅=sen−1(123

800)=8,84 0

1 =3600−8,84 0=351,160

Figura 1!: Cálculo de componente en x

==900−8,84 0=81,160

+2= + x

2+ + &2

8002= + x

2+(−123 )2

+ x=√ 8002−1232=790,49

c) Escribir las repuestas

Polares: ⃗+=(800 ; 351,160 )

Rectangulares: ⃗+= (790,49 î−123 ̂( )

Y

XØ º

α º

N o r ) "

; º

A

y

=

-

0

2

1

N

A x


34/115

Geográficas: ⃗+=(800 ; 81,16 0 E)

En la siguiente figura se muestra todo lo calculado en el ejemplo anterior.

X

8 0 0 N

X

N

E7 9 0 < 4 9 N

- 2 1 N

8 < º

8 0 0 N

Y Y1 5 < º

Figura 1": Respuestas del ejemplo 1

Polares Rectangulares Geográficas ⃗+=(800 ; 41 0) ⃗+= (790,49 î−123 ̂( ) ⃗+=(800 ; 81,16 0 E )

Ejemplo 2: Poner el vector + en coordenadas polares, rectangulares y geogr á ficas.

9=5 m ;∅=35 0; +=6,5 m

s2

XØ º

Y

X

N o r ) "

Ø º

Y

N o r ) "

α º

A

A

A x

A y

a P r " g > $ ) a P a s o

Figura 2#: Ejemplo 2 con reubicación del vector A.

Serí a posible calcular el

ángulo de vector A como es en la figura “La Pregunta” pero

es más f ácil moverlo al centro del sistema de referencia (figura “Paso 1”) para resolverlo.

b) Calcular el ángulo 1 ∅+1 =90 0

1 =90 0−∅=90 0−35 0=55 0

b) Escribir las repuestas

Polares: ⃗+=(6,5 m

s2

; 550)

Rectangulares:⃗

+=( 6,5cos(55 0 )î+6,5sin(55 0 )^ ()

m

s2=⃗

+=( 3,73 î+5,32^ ( )

m

s2


35/115

Geográficas: ⃗+=(6,5 m

s2

; [900−55 0 ] E)=⃗ +=(6,5m

s2

; 35 0 E)


36/115

Tarea 3

Escribir todos los vectores en coordenadas polares, rectangulares, geográficas y modulo-

unitario con las unidades pedidas.

Pregunta1 : ( > )= orte ; unidad=ms

2; + x=23

m

s2 ;∅=56,223 0

Y

X

A x

a ! r " g > $ ) a

N o r ) "

A

y

Ø º


37/115

Pregunta2 : ( > )= orte;unidad= ; + x=−430 ; + &=1,02 k

Ø º

Y

A x

A

y

X

a ! r " g > $ ) a 2

N o r ) "

α º


38/115


39/115

Pregunta3 : (? )= orte ; unidad=m

s ; + x=542

mm

s ; + &=−223,2

cm

s

Ø º

Y

A

y

A x

X

o & o a ? > @ < $ o s " o % * ( d " $

d " o * " r " % s ( s ) " a d "

r " " r " $ , ( a s a % ( $ ( , ( o d " %* " , ) o r

a ! r " g > $ ) a 1N o r ) "

A


40/115

Pregunta 4 : (? )= orte ; 7nidad=m; + x=−443,111∈!; el4ngulo=42,7 0

¿ != pulgadas; 1 m=39,3701∈!

A x

a ! r " g > $ ) a 5

AA y

4 7 < 1 º

RX

Y

N o r ) "


41/115

Capí tulo 4: Suma de vectores

Teorí a

Imagine una lancha en un rí o. El rí o tiene una velocidad de 550 cm/s en la dirección

N35ºE y hay un viento de 9000 mm/s en la dirección N70ºO. Se sabe que el viento afecta a la

lancha pero ¿cómo se puede cuantificar el resultado del efecto combinado de velocidades?

Con suma de vectores!

Para sumar los vectores

1. Transformar las unidades para que todas sean las mismas.

2. Poner los vectores en coordenadas rectangulares.

3. Sumar las componentes en los ejes “x”, “y” y “z”.

4. Transformar este nuevo vector a coordinadas polares (en caso de ser requerido).

Ejemplo 1: La lancha en el r í o con el viento.

N

E

1 5 º

C o r r ( " $ ) "

5 5 0 , s ( " $ ) o

9 0 0 0 s

7 0

r @ o

r @ o

Figura 21: E$em%lo de suma de +ectores

1. Transformar las unidades para que todas sean las mismas.

6orriente=% c=550 cms ∙ 1 m

100 cm=5,5 m

s


42/115

%iento=% v=9000mm

s ∙

1m100 cm

=9ms

1 5 º

" % o , (d a d = 5 < 5 s

Ø º

* ( " $ ) o

9 s

7 0

Y

X

Y

X

;

,

Figura 22: Vectores de velocidad por separado

2. Poner los vectores en coordenadas rectangulares.

⃗% c=(5,5m

s , 350 E )

∅=90 0−350=550

⃗% c=(5,5m

s , 55 0)

% cx=5,5cos550=3,15

% c&=5,5sin55 0=4,51

⃗% c=(3,15 î+4,51 ̂( ) m /s

⃗% v=(9 m

s , 70 0 3)

==900+70 0=160 0

⃗% v=(9 m

s ,160 0)

% vx=9cos160 0=−8,46

% v&=9sin1600=3,08

⃗% v=(−8,46 î+3,08 ̂( ) m/s

3. Sumar las componentes en los ejes “x”, “y” y “z”.

⃗% c+⃗% v=( [3,15−8,46 ] î+[4,51+3,08] ̂( ) m

s

⃗% c+⃗% v=⃗ 9=(−5,30 î+7,58 ̂( ) m

s

4. Transformar este nuevo vector a coordenadas polares (solo en caso de ser requerido).


43/115

92= 9x2+ 9&2

9=√ (−5,30)2+(7,58)2=9,25

m

s

tan∅

=

opuesto

ad&acente =

5,3

7,58

∅=tan−1( 5,3

7,58)=34,96 0

==900+34,96 0=1250

⃗9=(9,25 m

s ;125 0)

Figura 23: Respuestas del ejemplo 1 de suma de vectores

Ejemplo 2: Una part í cula est á afectada por 2 aceleraciones.

Sumar los vectores y escribirlos en coordenadas polares y rectangulares.

r=5 m ;∅=32 0;

+ 1=3 m

s2

; +2=6,3 m

s2

Sumar las aceleraciones!

Paso 1: Poner

todos los

vectores en la mitad

Ø º

; º

R x = - 5 < 1 s

R y = D 7 < 5 8 s

R =

Y

X

,

Y

XØ º

r A

A 2

Y

X

Ø º

r

A

A 2

FG

Figura 24: La %regunta %ara el e$em%lo 2 de suma de+ectores

Figura 25: /aso 1 %ara el e$em%lo 2 de suma de

+ectores


44/115

90 0= @+∅

@=90 0−∅=90 0−32 0=58 0

180 0=∅+A

A =180 0−32=1480

⃗+ 1=(3m

s2

; 58 0)

⃗+ 2=(6,3m

s2

; 148 0 )

⃗+1+⃗ +2=(3cos58 0+6,3cos1480 î+3sin580+6,3sin1480 ̂() m

s2

⃗ +1+⃗

+2=⃗ 9=(−3,75 î+5,88

^ ( )

m

s2

tan∅= 9 &

9 x=

5,88

3,75

∅=atan( 5,883,75 )=57,460 9=√ 3,752+5,882=6,99

m

s2

Figura 26: Respuesta del ejemplo 2 de suma de vectores

⃗9=(6,99m

s2

; 57,46 0)

Y

X

A

A 2

A D A 2 = R

R

R x

R y


45/115

Ejemplo 3: El movimiento de una part í cula

Esto fue medido con una regla común (tomar en cuenta la precisión de este instrumento)4

pero sus ángulos son exactos. Encontrar su desplazamiento total5 y expresarlo en coordenadas

polares.

Y

X

A B

C

H

,

a

b

,

d

Figura 27: Ejemplo 3 de suma de vectores

+=7,350 m 5=9,400 m 6 =14,900 m -=11,300 ma=610 b=530 c=67 0 d=68 0

1. Escribir los vectores en coordenadas polares ⃗+= (7,350m ;610 )

⃗5=(9,40 m ;(360 0−53 0))"⃗ 5=(9,400 m ;307 0 )

⃗6 =(14,9m ;(900−670 )) "⃗ 6 =(14,900m ;23 0 )

⃗-=(11,3 m;(680+90 0))"⃗ -= (11,300 m; 158 0 )

2. Transformar los vector a coordenadas rectangulares y sumarlos

++5+6 + -= 9

7,350cos (61)+9,400 cos (307 0 )+14,900 cos (23 0 )+11,300 cos (158 0 ) ̂i+¿¿¿¿

7,350sin (61)+9,400 sin(307 0 )+14,900sin ( 23 0 )+11,300 sin (158 0 ) ̂( ¿m

3.563+5.657+13.716−10.477 î ⃗9=¿

+6.429−7.507+5.822+4.233 ̂( ¿m

3 %nforación sobre esto se encuentra en la página - de este Libro de Traba/o.5 $l despla"aiento es un vector que va desde la posición inicial #asta la posición final quetuvo una part!cula sin toar en cuenta el caino que toó. e estudiará esto ás adelantedurante el curso.


46/115

⃗9=(12.459 î+8.976 ̂()m

3. Transformar en coordenadas polares.

tan∅= 8.976

12.459"∅=atan

8.976

12.459=35,772 0

9=√ 12.4592+8.9762=15,356 m

9=(15,356 m; 35,772 0)

Cálculo de propagación de errores

$l e/eplo anterior describe una situación donde se toaron ediciones, estas edicionesfueron #ec#as con un instruento que posee una precisión definida. La edida ás peque8aque la regla puede edir es 1 il!etro (,1 etros) entonces #ay que toar en cuenta que

toda edida tiene un error (o incertidubre). $ste error tiende a ser peque8o cuando elaparato usado para edir la cantidad es ás eacto. e denota el error usando la cantidadedida y epresando que 9podr!a variar: entre ás o enos la precisión del aparato deedición utili"ado.

Para presentar un resultado, incluyendo los valores de errores y propagación de los isos(en este caso se suan cantidades con error, por lo que el error tabi;n se sua) se procedeas!4

[ 3,5634 ±0,001 ]+ [ 5,6571± 0,001 ]+ [ 13,7155 ± 0,001 ]−[10,4772 ± 0,001]

3,5634+5,6571+13,7155−10,4772=12,4588 m0,001+0,001+0,001+0,001=0,004 m

9 x=12.4588± 0,004 m

[6.4285 ±0,001]−[7.5072±0,001 ]+[5.8219±0,001]+[ 4.2331±0,001]

6.4285−7.5072+5.8219+4.2331=¿

0,001+0,001+0,001+0,001=0,004 m

9 &=12.4588 ± 0,004 m

6onincertidumbre :⃗

9=(12.4588 ±0,004 î+8.9762±0,004^ ()m


47/115

3 ejemplos resueltos de propagación de errores

E(emplo 1: B=4,52∓0,02 cm,x=2,0∓0,2 cm, &=3,0∓0,6 cm !

6alcular '= x+ &−B & suincertidumbre !

'= x+ &−B=2,0+3,0−4,52=0,52 "0,5 cm

- '= - x+ - &+ -B=0,2+0,6+0,02=0,82" 0,8 cm

'=0,5∓0,8 cm

E(emplo 2 : el radiode un circulo es x=3,00∓0,20 cm!

6alcularla circunferencia & suincertidumbre !

6 =2 )x=2 ∙ 3,141∙ 3,00=18,8596 " 18,6 cm

-c=2 ) - x=2 ∙3,141 ∙0,20=1,257 "1,26 cm

6 =18,6∓1,26 cm" 18,6∓1,3 cm

E(emplo 3 : x=2,0∓0,2 cm, &=3,0∓0,6 cm !

6alcular '= x−2 & & suincertidumbre

'= x−2 &=2,0−2 (3,0 )=−4,0 cm

-C = - x+2 - &=0,2+2 (0,6 )=0,2+1,2=1,4 cm

'=−4,0∓1,4 cm


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Tarea 4

Pregunta 1

⃗+= (10000 mm ; 252 0 ) ;⃗ 5= (2,3 î−0,83 ̂( ) m;⃗ 6 =(22,5 cm;< 47 0 E)

Resuelve ++5+6 . Sumar los vectores y ponerlos en coordenadas polares, rectangulares y

módulo-unitario.

Pregunta 2

Dos puertos A y B se encuentran separados una distancia de 750,00 m. El rí o fluye de

Oeste a Este con una rapidez constante igual a 2,30 m/s. Un bote que quiere cruzar desde el

puerto A hacia B posee una rapidez constante igual a 4,20 m/s. ¿En qué dirección relativa al

norte (ángulo ), debe apuntar la velocidad del bote para que se mueva en l í nea recta

directamente hacia el Norte desde A hacia B?


49/115


50/115


51/115

Pregunta 4

Una partí cula está afectada por 2 aceleraciones. Sumar los vectores de aceleración y

escribirlos en coordenadas polares y rectangulares. La posición de la partí cula está dada por

el vector r, que es 5 m. + 1=2,5 m

s2

; +2=78,125 m

s2

Y

X

Ø ºr A

A 2


52/115


53/115

Laboratorio 2:

Un juego de puntos del piso a coordenadas


Aula:_______ Fecha:___________ Número de jugo de puntos:________________________

Miembros:__________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Objetivo

Convertir los puntos marcados que están en el piso a coordinadas polares y

coordinadas (ver el ejemplo en la figura 4,7).

2

1

4

5

x

y

Instrucciones

-Escoger un sistema de referencia lógica.

- Encontrar su manera de convertir

los puntos marcados en el piso a

coordinados.

- Leer la introducción con mucho

cuidado.

- Contestar las preguntas

Figura 4,7: Ejemplo de como usar un sistema de referencia para graficar puntos.


54/115

Figura 2!: Ejemplo de ser creativo para medir ángulos


55/115

Introducción

La medición es un proceso de cuantificar una experiencia del mundo exterior; son

técnicas por medio de las cuales se asigna un número a una propiedad f í sica como resultado

de compararla con otra similar, tomada como patrón, la cual se adopta como unidad. Lord

Kelvin, cientí fico escocés del siglo XIX, dijo: “Cuando uno puede medir aquello de lo que se

está hablando y expresarlo en números, sabes algo acerca de ello, pero cuando no puedo

medirlo, cuando no puede ser expresado en números, su conocimiento es escaso e

insatisfactorio; podrá ser un principio del conocimiento, pero dif í cilmente ha avanzado su

conocimiento a la etapa de una ciencia”.

Cuando se mide una cantidad f í sica, no se debe esperar que el valor obtenido sea

exactamente igual al “valor verdadero”. Al hacer mediciones y se informe de sus resultados,

se debe tener siempre en cuenta que, las medidas no son simples números exactos, sino que

consiste en intervalos, dentro de los cuales se tiene confianza de que se encuentra el valor

esperado. En general, es necesario dar indicaciones claras de qué tan cerca está el resultado

obtenido del “valor verdadero”; es decir algunas ideas de la exactitud o confiabilidad de las

mediciones; esto se alcanza incluyendo en el resultado una estimación de su error. Por

ejemplo, al medir la velocidad del sonido en el aire a la temperatura ambiente y dar el

resultado final como:

(339±2)(m/s)

Se entiende, que se cree que la velocidad del sonido esté en alguna parte dentro del

intervalo que va desde 337 hasta 341(m/s). En realidad, la expresión anterior es una

afirmación de la probabilidad; no significa que se esté seguro que el valor se encuentre entre

los lí mites indicados, sino que las mediciones señalan que hay cierta probabilidad de que esté

ahí .

En este experimento se usa una cinta métrica común para describir puntos en el piso y

expresarlos como coordenadas. Al medir los puntos del piso del aula, habrá una propagación

de error debido a que la precisión del instrumento y la percepción humana tienen sus lí mites.

Por eso, es imposible concluir que el resultado es exacto (cerca del valor verdadero) aunque

parece que no haya errores.


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Resultados: (4,5 puntos)

Llenar las tablas6 de abajo tomando en cuenta la precisión de cada instrumento (4,5 puntos)

Coordenadas polares Coordenadas rectangulares

Lí nea Longitud (______)Ángulo ( 1 ¿

(______)X (______) Y (______) Z (______)

1 a 2

2 a 3

3 a 4

4 a 5

5 a 6

6 a 1

Total

Calcular la propagación de errores.

Entregar la practica 2 a Anthony, limpiar el laboratorio y preparase para una examen de

comprensión del laboratorio.

Prueba (2,3,4)

La prueba (2,3,4) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en 2,3 y4.

< Toar en cuenta el forato sugerido en la página 3 ba/o el t!tulo4 2orato de escritura detablas para este curso


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Capí tulo 5: Multiplicación de vectores

Teorí a

Hay 3 tipos de multiplicación de vectores:

1. Un vector multiplicado por un escalar => resulta en un vector

2. El producto punto (o escalar) entre dos vectores => resulta en un número con unidad

3. Producto cruz (o vectorial) entre vectores => resulta en un vector

1. Un vector multiplicado por un escalar resulta un vector.

n +=n + x+n + &+n + '

Ejemplos:

1) ⃗ +=(2 î+ ̂(+3 k̂ ) 2) 2∙⃗ +=(4 î+2 ̂(+6 k̂ )

3) −3 ∙⃗ +=(−6 î−3 ̂(−9 k̂ ) 4)1

2∙⃗ +=(î+0,5 ̂(+1,5 k̂ )

2. El producto punto entre dos vectores nos resulta un escalar. También se lo

conoce como producto escalar.

El producto punto es la multiplicación de la proyección de un vector sobre otro vector o sobre

su lí nea de acción. Hay dos maneras de calcularlo:

En función de las componentes de ambos vectores:

+ ∙ 5= + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '

En función de los módulos de los dos vectores y el

ángulo que forman entre ellos:

⃗+ ∙⃗ 5=| +||5|cos =

==el 4nguloentre vectores & es menorque180 0

Recordando, los módulos de ambos vectores se

calculan con las siguientes expresiones:

| +|=√ + x2+ + &

2+ + '2

|5|=√ 5 x2+5 &

2+5 '2

a

a , o s 3 Ø º

Ø º

a

b

Figura 2": /roducto %unto


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Ejemplos:

1¿⃗ +=(2 î+ ̂(+3 k̂ ) m;⃗ 5=(−1,5 î+3 ̂(+1 k̂ ) m

+ ∙ 5= +x ∙ 5x+ +&∙ 5&+ +' ∙ 5'

⃗ + ∙⃗ 5=2∙(−1,5)+1∙3+3 ∙1=3m

2

2 ¿⃗ +=(5 m; 30 0) ;⃗ 5=(2 s−1 ; 1110)

⃗+ ∙⃗ 5=| +||5|cos ==5∙ 2 ∙cos (1110−30 0 )=10 ∙ cos ( 81 0 )=1,56 ms

B ! > $ ) o A = B I , o s 3 8 º x A= 2 3 s I , o s 3 8 º x 5

= 0 I , o s 3 8 º s

= < 5 s

A = 3 5 : 1 0

B = 3 2 s J 3 - :

Ø º = º - 1 0 º = 8 º

A ! > $ ) o B = A I , o s 3 8 º x B= 5 I , o s 3 8 º x 2 3 s

= 0 I , o s 3 8 º s

= < 5 s

y

x

y

1 0 º

º

Ø º

Ø º = º - 1 0 º = 8 º

1 0 º

º

Ø º

A = 3 5 : 1 0

x

B = 3 2 s J 3 - :

Figura 3#: Ejemplo 2 del producto punto

3¿ +=2 ;5=3,3 m; el 4ngulo entre ellos es22 grados

+ ∙⃗ 5=| +||5|cos ==2∙ 3,3 ∙cos (220 )=6.6∙ cos (22 0 )=6,12 !m

Ángulo entre dos vectores

'l igualar abas epresiones para encontrar el producto punto entre dos vectores y despe/ar el coseno del ángulo que foran estos vectores se puede obtener una epresión uy til paraencontrar el ángulo= entre dos vectores cualesquiera4

cos == + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '

| +|∙|5|

= La fórula resulta el coseno del ángulo que foran dos vectores. Para encontrar el ángulosolo #ace falta #acer la función inversa del coseno.


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3. Producto cruz (o vectorial) entre vectores

El producto cruz entre vectores resulta un vector perpendicular al plano que forman

los dos vectores que se multiplican. En otras palabras, el vector + x 5 será perpendicular a

+ y 5 simultáneamente. Se define con las siguientes expresiones:

En función del vector unitario de AxB (la dirección que sea perpendicular a ambos

vectores que se multiplican a la vez), el módulo de ambos vectores y el ángulo que forman

los dos vectores que se multiplican:

⃗+ x⃗ 5=⃗n ∙| +|∙|5|∙sin =

⃗n=vector unitario queindica ladireccin perpendicular a + & 5 (no ha& unidades)

| +| &|5|=mdulosde los vectores que semultiplican

== Dnguloque formanlos dosvectores que semultiplicanO en función de las componentes de ambos vectores que se multiplican:

⃗+ x⃗ 5=| î ̂( k̂

+ x + & + '5 x 5 & 5 '

|Esta última f órmula requiere de conocimiento en matrices y determinantes para su

resolución, en clase se explicará un poco más a detalle cómo resolver esta matriz. Al

resolverla queda la siguiente f órmula que es la que se usa para encontrar el vector + x⃗ 5 :

⃗+ x⃗ 5=( ( + & 5 '− + ' 5 & ) î−( + x 5 '−5 x + ' ) ̂(+( + x 5 &− + & 5 x) k̂ )unidad+∙unidad5

La f órmula anterior es la más práctica de usar. Es mucho más f ácil encontrar las

componentes de dos vectores que el ángulo que forman ambos8.

> e puede encontrar el ángulo entre dos vectores con la fórula descrita en la página 5- ba/oel t!tulo4 ?ngulo entre dos vectores.


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Ø º

$ I a I b s ( $ 3 Ø º

$ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r (o

K r " a = a I b s ( $ 3 Ø º

E x ! % ( , a , ( $ , o L $

Ø º

a

b

a

b s ( $ 3 Ø º

$ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r (o

K r " a = a I b s ( $ 3 Ø º

( s ) a 1 H

( s ) a 1 H

E x ! % ( , a , ( $ a % ) " r $ a ) ( * a

$ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r ( o

b

a

a

b

a

b s ( $ 3 Ø º

Ø º

( s ) a 1 H

Figura 31: Producto cruz

Ejemplos:

1¿⃗ +=(5m ;300) ;⃗ 5=(2 s−1 ;1110) ;⃗ n=1 k̂ por lareglade la mano derecha

calcular + x 5

⃗+ x⃗ 5=(+1 k̂ ) ∙ 5 m∙ 2 s−1 ∙ sin(1110−300 )

⃗+ x⃗ 5=(+1 k̂ ) ∙ 10 ms

∙ sin(81 0)

⃗+ x⃗ 5=([1∙ 10 ∙sin (81 0 ) ] k̂ ) ms

⃗+ x⃗ 5=( 9,88 k̂ ) ms

2 ¿⃗ +=(5 m; 30 0) ;⃗5=(2 s−1 ; 1110) ;⃗ n=−1 k̂ porlaregladelamanoderecha

calcular 5 x +

⃗5 x⃗ +=(−1 k̂ ) ∙ 5 m∙ 2 s−1 ∙sin (1110−30 0 )

⃗5 x⃗ +=(−1 k̂ ) ∙ 10 ms

∙ sin(81 0)

⃗5 x⃗ +=([−1 ∙ 10∙ sin ( 81 0 )] k̂ ) ms


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⃗5 x⃗ +=(−9,88 k̂ ) ms

3 ¿⃗ +=(2 î+ ̂(+3 k̂ ) m ;⃗ 5=(−1,5 î+3 ̂(+1 k̂ ) m

calcular + x 5

⃗+ x⃗ 5=( ( + & 5 '− + ' 5 & ) î−( + x 5 '−5 x + ' ) ̂(+( + x 5 &− + & 5 x) k̂ )unidad+∙unidad5

⃗+ x⃗ 5=( (1∙ 1−3 ∙ 3 ) ̂i− (2∙ 1−(−1,5 ) ∙3 ) ̂(+( 2∙ 3−1 ∙ (−1,5) ) k̂ )m∙ m

⃗+ x⃗ 5=( (−8 ) ̂i−(6,5 ) ̂(+(7,5 ) k̂ ) m2

⃗+ x⃗ 5=(−8 î−6,5 ̂(+7,5 k̂ ) m2

calcular el 4ngulo entre + & 5

+ ∙⃗ 5= + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '

⃗+ ∙⃗ 5=| +||5|cos =

+ x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '=| +||5|cos=

==cos−1( + x ∙ 5 x+ + & ∙ 5 &+ + ' ∙ 5 '

| +||5| )

==cos−1( 2 ∙−1,5+1 ∙3+3∙ 1

√ 22+12+32 ∙√ (−1,5)

2+32+12)=cos−1

3

√ 14 ∙√ 12,25=76,76 0

calcular el vectorunitario de⃗ + x⃗ 5

⃗n= ⃗ + x⃗ 5

| +||5|sin∅=

(−8 î−6,5 ̂(+7,5 k̂ ) m2

√ 14 m∙√ 12,25m ∙sin (76,76 0)=

(−8 î−6,5 ̂(+7,5 k̂ ) m2

12,75 m2

⃗n=( −812,75

î− 6,5

12,75 ̂(+

7,5

12,75k̂ )

⃗n=(−0,63 î−0,51 ̂(+0,59 k̂ )


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Tarea 5:

Pregunta 1

¿Qué denota un vector unitario? (No requiere explicación)

a) La magnitud (o módulo) y dirección de un vector

b) Solo la dirección

c) Solo la magnitud (o módulo)

Pregunta 2

¿Es un vector unitario el siguiente vector descrito por % : Justifique.

⃗% =( cos (82,4326 0 ) ̂i−sin (15,22110 ) ̂(+ tan ( 43,70810 ) k̂ )

Pregunta 3

Qué ángulo forma con respecto al eje +Z el producto + x 5 entre:

⃗+= (26,50î ) m

⃗5=(−13,20 ̂( ) m


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Pregunta 4

⃗+= (0,11 î+17,80 ̂( )m

⃗5=(18,20 î−21,00 ̂(+1,20 k̂ ) m

c=2,00d=−2,00

Calcular:

a¿c +

b¿d 5


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Escoge las respuestas que son correctas:

c) el vector c⃗ + tiene la misma magnitud y diferente dirección que el vector ⃗+ .

d) el vector c + tiene diferente magnitud y la misma dirección que el vector + .

e) el vector c + tiene diferente magnitud y dirección que el vector + .

f) el vector d 5 tiene la misma magnitud y diferente dirección que el vector 5 .

g) el vector d 5 tiene diferente magnitud y la misma dirección que el vector 5 .

h) el vector d⃗ 5 tiene diferente magnitud y dirección que el vector ⃗5 .


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Pregunta 5

⃗+=( 2,10 î+2,80 ̂(−3,00 k̂ ) m

⃗5=(−2,30 î+6,00 ̂(+2,80 k̂ ) m

a) Calcular + ∙ 5

b) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre los vectores + & 5 ?


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Pregunta 6

Se tienen los vectores

⃗+=( 15,00 î−8,00 ̂(−6,60 k̂ ) m

⃗5=(9,00 î−3,30 ̂(+4,40 k̂ ) ma) Calcular + x 5

b) Calcular el ángulo entre + & 5

c) Calcular el vector unitario usando está formula9: + x⃗ 5=⃗n ∙| +|∙|5|∙sin =

@ ugerencia4 e puede despe/ar el unitario ⃗n de esa fórula.


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Pregunta 7

Se tienen los vectores

⃗+= (−6,60 î+2,20 ̂( ) km

⃗5=(−1,10⃗i+q ̂(−1,00 k̂ ) km¿cuánto debe valer “q” para que ambos vectores sean perpendiculares (es decir, formen 90°)?

Pregunta 8

Encuentre un vector que sea perpendicular a los dos siguientes vectores:

⃗+= (5,50 î−2,10 ̂( )

⃗5=(2,30 î+22,00 ̂(+1,13 k̂ ) m


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Pregunta 9

Suponga que el vector ⃗5=(11,11 î+4,30 ̂( ) m forma un ángulo de 22 grados con un

vector + . Se conoce que ⃗+ ∙⃗ 5=17,75m

s. Calcule el módulo del vector + .

Prueba (5)

La prueba (5) incluye todos los conceptos anteriores pero con laénfasis en 5.


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Y

X

0 s 0 < 2 s 0 < 4 s 0 < s

0 5 0 5

Y

X

0 0 < 2 0 < 40

5

0

5

2 0

2 5

0 < 0 < 8

M ( " ! o 3 s

x

3

4

Capí tulo 6: Cinemática

La cinemática estudia el movimiento de las partí culas y encuentra f órmulas para

describir esos movimientos. La cinemática no estudia qu

é provoca el movimiento. En este

tema se usan cantidades escalares y vectores. Generalmente se usan vectores para describir

aceleración, velocidad y desplazamiento. Por ejemplo, metros (m) y metros por

segundo(m/s). Se deben identificar 3 elementos en cada problema de cinemática.

1. La partí cula (el cuerpo que mueve)

2. El sistema de referencia (los ejes x, y y/o tiempo (t))

3. El sentido del movimiento (la dirección que la partí cula mueve)

La Figura 32 muestra como estos tres elementos aparecen en gráficos.

Figura 32: Gr á ficas posición en x vs tiempo

De estos gráficos es posible calcular algunos tipos de velocidades:

Velocidad media:

vmed= ⃗x2−⃗ x1t 2−t 1

=⃗ x

t

El cambio en desplazamiento divido para el cambio en tiempo. Toma en cuenta un intervalo

de tiempo (i.e.: la velocidad media entre 0,2 y 0,6 segundos)

La velocidad instantánea es:

v x= lmt " 0

x t

=dxdt

La velocidad instantánea es el lí mite de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo

se acerca a cero; es igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. En

resumen, es la velocidad de una partí cula en un instante (i.e.: la velocidad a los 0,4

segundos).


70/115

Velocidad promedio

Promediode los resultados=´ x=1

n∑i=0

n

x i

v promedio= v́= v1+v2+v3Fn

Definiciones básicas de la cinemática:

Movimiento: Es el cambio de posición de una partí cula, con respecto a un sistema de

referencia, en un determinado intervalo de tiempo.

Reposo: Un cuerpo está en reposo cuando no cambia su posición con respecto a un sistema

de referencia.

Posición ( ⃗ r ): Es el lugar f í sico en el que se encuentra un cuerpo con respecto a un sistema

de referencia.

Distancia desde el origen ( r ): Es el módulo del vector posición.

Desplazamiento ( ⃗r ): Es la variación de posición (resta de la posición final menos la

inicial) sin importar el camino seguido o el tiempo empleado, tiene una relación estrecha con

el movimiento de un cuerpo.

Trayectoria: Es la lí nea que une las diferentes posiciones que a medida que pasa el tiempo

va ocupando un punto en el espacio o, de otra forma, es el camino que sigue el objeto dentro

de un movimiento.

Velocidad ( ⃗ v ): Desplazamiento que recorre un móvil por cada unidad de tiempo.

Rapidez ( v ): Es el módulo de la velocidad en un instante.

Existen algunos tipos de movimiento. Se empezará describiendo el más sencillo de todos.

Movimiento rectilí neo uniformemente (MRU)

Es un movimiento en lí nea recta con velocidad constante. Si se toma la definición de

velocidad media: ⃗vmed= ⃗x2−⃗ x1t 2−t 1

=⃗ x

t

Pero se conoce que la velocidad es constante ( % med=% ¿ . Despejando el desplazamiento,

se obtiene la única f órmula que describe este tipo de movimiento:

x=⃗v ∙ t


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Esta f órmula tiene una versión escalar10:

x=v ∙ t

Ejemplo 1 de MRU:

Un automóvil se desplaza con una rapidez de 50 km/hr. Calcule la distancia que

recorrerá en 11,38 segundos.

v=50kmhr

∙ 1 hr

3600 seg ∙

1000 m1 km

=13,89 mseg

; t =12 se g

x=v t =13,89 m

seg ∙ 12 se g=166,67 m

Ejemplo 2 de MRU:

¿Cuántos segundos demorará un automóvil en recorrer 3360 m si se mueve con una

rapidez constante de 77 km/hr?

x=3360 m∙ 1 km

1000 m=3,360 km

v=77km

hr

t = x

v =

3,360 km

77km

hr

=0,0436 hr ∙3600 seg

1 hr =157,09 seg

Ejemplo 3 de MRU:

Dos carros parten desde un mismo punto pero una hora aparte. El primer carro se

desplaza hacia el norte a 85 km por hora, y después de 1 hr el segundo carro parte hacia el

norte a 105 km por hora: Calcular la distancia que los separa después de 2,5 hr. ¿Medido

desde la partida de los carros, cuándo se encuentran los dos? ¿Medidos desde el punto de

partida de los carros, a qué distancia se encuentran los carros?

Calcular la distancia que los separa despué s de 2,5 hr.

x1=v ∙ t =85 kmhr

∙2,5 hr=212,5 km

x2=v ∙ t =105 km

hr ∙1,5 hr=157,5 km

212,5 km−157,5 km=55 km∴los carros tiene55 km de separacin

¿Medido desde la partida del segundo auto, cuándo se encuentran los dos?

x1=venta(a+v ∙ t =85 kmhr

∙ 1 hr+85 t =85+85 t

1 6ótese que en esta fórula, ya no se #abla de despla"aiento en ( x ) sino dedistancia en ( x ¿ . 'deás ya no se #abla de velocidad ( ⃗ v ) sino de rapide" ( v ).


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x2=v ∙ t =105 t ; 85+85 t =105 t

85=105 t −85 t

85=20 t

t =85

20=4,25hr

Los autos se encuentran 4,25 horas después de que el segundo carro empieza a

moverse.

¿Medidos desde el punto de partida de los carros, a qué distancia se encuentran los carros?

x1=85+85 t =85+85 ∙ 4,25=446,25 km

x2=105 t =105 ∙ 4,25=446,25 km

Los autos se encuentran a 446,25 km medidos desde el punto de partida de ambos.

Ejemplo 4 de MRU:

Una persona corrió 350 m recto en 2 min, luego se devolvió y trotó 75 m hacia el

punto de partida en 1 minuto con rapidez constante. ¿Cuál es la rapidez promedio del atleta al

recorrer ambas distancias? ¿Cuál es la rapidez media del atleta al recorrer los 425 metros?

t 1=2min;x1=350 m

v1= x1

t 1=

350 m

2 min =125

m

min

t 2=1min;x2=−75 m

v1= x1

t 1=−75 m1 min

=−75 m

min

v prom=125

m

min+75

m

min

2=100

m

min

x inicial=0 m

x final=350 m−75 m=275 m

vm= x t

= xfinal− x inicialt final−t inicial

=275−0

3−0=91,67

mmin


73/115

Ejemplo 5 de MRU:

Calcular: a) La velocidad media de todo el recorrido para cada persona.

vmedia tot ( p+)= xtot

t tot

=30 m−15 m

40 s−0 s =0,375

m

s

vmedia tot ( p5)= xtot t tot

=15m−(−30)m

40 s−0 s =1,125

ms

b) Las velocidades medias para cada uno de los

tramos de cada persona.

vmedia 1( p+)= x1 t 1

=−45 m−15 m

10 s−0 s =−6

ms

vmedia 2( p+)=

x2

t 2 =

−15 m−(−45)m15 s−10 s =6

m

s

vmedia 3( p+)= x3

t 3=−15 m−(−15)m

20 s−15 s =0

m

s

vmedia 4 ( p+)= x4

t 4=

45 m−(−15)m35 s−20 s

=4 m

s

vmedia 5( p+ )= x5 t 5

=30 m−45 m40 s−35 s

=−3ms

vmedia 1( p5)= x1

t 1=

30 m−(−30 m)10 s−0 s

=6 m

s

vmedia 2( p5)= x2

t 2=

30 m−30 m25 s−10 s

=0m

s

vmedia 3( p5)= x3

t 3=−30 m−30 m

30 s−25 s =−12

m

s

vmedia 4 ( p5)

= x4

t 4=−15 m−(−30)m

35 s−30 s =3

m

s

vmedia 5( p5)= x5

t 5=

15 m−(−15 m)40 s−35 s

=6 m

s

c) ¿En qué momento ambas personas se encuentran en reposo al mismo tiempo?

Entre 15 y 20 min

d) ¿Qué persona alcanza la mayor rapidez y en qué intervalo?

Figura 33: Grá fico de movimiento


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Persona B en intervalo 25 a 30 min.

Ejemplo 6 de MRU:

Dos personas empiezan a caminar desde el mismo punto y tiempo con las velocidades

mostradas en la Figura 34. Después de 20 min, ¿cuánta distancia hay entre ellos?

x

y

A = 3 2 < 5 s < 5 0 º

B = 3 < 5 s < 1 2 0 º

Figura 34: Ejemplo 6

Multiplicar ambos vectores por el tiempo transcurrido (20 minutos) para encontrar la posición

de cada persona (componentes Ax, Ay y Bx, By). La hipotenusa del triángulo rectángulo de

la Figura 35 será la distancia recta entre A y B después de los 20 minutos.

t =20 min∙ 60 min1 h

=1200 seg

+ x=2,5m

s ∙ cos (150 0 ) ∙ 1200 s=−2598 m

5 x=1,5 m

s ∙cos ( 3200 ) ∙1200 s=1379 m

+ &=2,5 m

s ∙ sin (150 0 ) ∙1200 s=1500 m

5 &=1,5 ms ∙ sin (320 0 ) ∙ 1200 s=−1157 m

9 x=5 x− + x=(1379 m )−(−2598 m)=3977 m

9 &= + &−5 &=(1500 m )−(−1157 m )=2657 m

9=√ 9 x2+ 9 &

2

9=√ (3977 m)2+(2657 m)2=4783 m

x

y

A = 2 < 5 s x 2 0 ( $

B = < 5 s x 2 0 ( $

B x - A x

A y - B y

H ( s ) a $ , ( a " $ ) r " A y B

5 0 º

1 2 0 º

Figura 35: Tri0ngulo rect0ngulo %ara encontrar

distancia entre -


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Tarea 6

Pregunta 1

Una partí cula ubicada en una posición inicial x1=0 se mueve en dirección Oeste

con una velocidad constante de 2,5 m/s durante 5,5 segundos. Luego disminuye

instantáneamente su velocidad a 1,7 m/s durante 10 segundos y finalmente se dirige al Este

con una rapidez de 15 m/s en 4,35 s.

Grafique x(t) y v(t).


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Pregunta 2

¿Qué magnitud permanece constante en un movimiento rectilí neo uniforme (MRU)?

a) Velocidad.

b) Posición.

c) Aceleración.

d) Tiempo.


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Pregunta 3

En un movimiento rectilí neo uniforme, con una rapidez, la gráfica posición-tiempo

puede tener la forma:

a) De parábola.

b) Recta inclinada.

c) Recta horizontal.

d) No se puede representar.

Pregunta 4

¿Cuál de las siguientes ecuaciones describe a un movimiento rectilí neo y uniforme:

a¿ x (t )=3 t 2

b¿ x (t )=20−2 t 2

c ¿ x (t )=1+4 t

d ¿ x (t )=24

Pregunta 5

El motor de una lancha se mueve con una velocidad descrita por el vector A, pero la

lancha se mueve con una velocidad de (2,83 m/s, 148,02º) por la corriente del r í o ¿Cuál es la

velocidad del rí o? ¿Cuánto tiempo en minutos demorará cruzar el rí o, desde A hasta B?


78/115


79/115

Pregunta 6

Dos personas empiezan a caminar del mismo punto y tiempo con los vectores de la

figura. Después de 4 segundos ellos tienen una distancia de 100 m entre ellos ¿Cuál es la

rapidez de la persona B en m/s?


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Laboratorio 3: Cinemática 1


Aula: _______Fecha:___________ Código de caja:________________________________

Lí der:__________________________Miembros:___________________________________

___________________________________________________________________________

Funciones de un lí der:

- Encontrar un espacio en el laboratorio para hacer la práctica.

- Apoyar a sus miembros cuando ellos necesiten.

- Manejar el tiempo.

- Entregar la práctica.

- Asegúrese de que las cajas sean devueltas en buen estado.

Objetivos:

1. Encontrar la velocidad del carrito con intensidad mí nima, media y máxima.

2. Calcular la distancia requerida y tiempo que demora para que:

el carrito con intensidad máxima supere el carrito con intensidad en la mitad y mí nima

con una distancia de ventaja dada.

el carrito con intensidad en la mitad para superar el carrito con intensidad mí nima con

una distancia de ventaja dada.

3. Llenar el cuestionario.

Materiales:

Las cajas “Mechanics 1” y “Linear Movement, with Timer 2-1”


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Montaje sugerido:

Figura 36: E jemplo de un montaje para realizar la pr áctica.

[Intensidad mí nima] [Intensidad en la mitad] [Intensidad máxima]

Resultados de las medidas: (4,5 puntos)

Montar el equipo para tener una distancia fija y medir el tiempo que demora el carrito

en moverse de un lado a otro lado con las intensidades mí nima, en la mitad y máxima. Hacer

esto de nuevo con otra distancia.

Intensidad

Mí nima

Distancia 1

x (_____)

Tiempo

t (______)

Velocidad media

x / t Prueba 1

Prueba 2

Promedio


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Intensidad

mitad

Distancia 1

x (_____)

Tiempo

t (______)

Velocidad media

x / t Prueba 1

Prueba 2

Promedio

Intensidad

Máxima

Distancia 1

x (_____)

Tiempo

t (______)

Velocidad media

x / t Prueba 1

Prueba 2

Promedio

Intensidad

Mí nima

Distancia 2

x (_____)

Tiempo

t (______)

Velocidad media

x / t Prueba 1

Prueba 2

Promedio

Intensidad

mitad

Distancia 2

x (_____)

Tiempo

t (______)

Velocidad media

x / t

Prueba 1Prueba 2

Promedio

Intensidad

Máxima

Distancia 2

x (_____)

Tiempo

t (______)

Velocidad media

x / t Prueba 1

Prueba 2

Promedio

1. Hacer un gráfico de x(t) para cualquier juego de datos de las tablas anteriores. (2 pts)


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2. (2,5 pts) Calcular el tiempo necesario para que el carrito A, con nivel de velocidad

máxima se encuentre con un carrito B que se mueve a menor velocidad. La distancia

dada es la ventaja que recibe el carrito B. Calcular también la distancia que se moverá

el carrito A hasta alcanzar al carrito B. Mostrar cálculos en una hoja aparte.

Carrito B: velocidad mí nima

Distancia de ventaja (cm) Distancia de A hasta alcanzar a B (cm) Tiempo

5

10

15

Carrito B: velocidad a la mitad


5

10

15

Carrito B: velocidad má xima


5

10

15


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H ( s ) a $ , ( a d " % a * " $ ) a & a

a d ( s ) a $ , ( a ! a r a a % , a $ # a r a % , a r r ( ) o K s % " $ ) o

Poner un ejemplo de un calculo aquí (0,5 pts)

Prueba (6)

La prueba (6) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en el capí tulo 6.


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Capí tulo 7: Más Cinemática

Aasta este punto se #a eplorado el oviiento ás sencillo que puede darse. in ebargo,no siepre la velocidad de una part!cula será constante. Bna variación de velocidad indica la

presencia de aceleración. La aceleración es el cabio de velocidad en un intervalo detiepo.


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En una gráfica velocidad vs tiempo, el área que se forma entre la gráfica y el eje del tiempo

representa el desplazamiento realizado por la partí cula. Si se tiene una partí cula que se mueve

con una velocidad que aumenta uniformemente con el tiempo (Figura 37) el área que se

forma entre la gráfica y el eje del tiempo puede ser calculada como el área de un trapecio.

0 2 1 4 5 7 8 9 0

2

( = 1

4

5

7

8

= 9

0

M ( " ! o 3 s

C

"

% o

,

( d

a

d

3

B s

4

" % o , ( d a d * s M ( " ! o

- (

(

)

2 I ) I 3 - (

) I (

Figura 37: Gr á fica v(t) de una part í cula con aceleración positiva constante

⃗ x=⃗v i t + t (⃗v f −⃗v i)

2

Reemplazando la Ecuación 1 y un poco de simplificación matemática resultará en la segunda

ecuación que describe el MRUV.

Ecuacin2:⃗

x=⃗vi t +1

2 ⃗a t 2

Hasta ahora se tienen dos ecuaciones que dependen del intervalo de tiempo. Sin embargo, de

no disponer de información del intervalo de tiempo, ya no se podrí an utilizar estas dos

ecuaciones. Es por esto que se deben generar otras que no dependan del tiempo.

Se despeja el tiempo de la ecuación 1 y reemplazar en la ecuación 2:

t =⃗v f −⃗v i

a

⃗ x=⃗vi t +1

2⃗a t 2=⃗v i

⃗vf −⃗via +

1

2⃗a⃗vf −⃗v i

a

2

=⃗v i⃗ vf −vi

2

a +

1

2a

v f 2−2⃗ v f ⃗vi+vi

2

a2

⃗ x=⃗v i⃗ v f −v i

2

a +

vf 2−2⃗ v f ⃗ vi+v i

2

2 a =

2⃗ v i⃗ v f −2 vi2+v f

2−2⃗ v f ⃗v i+v i2

2 a =

v f 2−v i

2

2 a

Con esto se obtiene la tercera ecuación que describe al MRUV:

Ecuacin3 : v f 2=vi

2+2 a x


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Las tres ecuaciones descritas dependen de la aceleración. Hay que generar una que no

dependa de esta y con eso se cubren todos los escenarios posibles de falta de datos. Para esto,

se despeja la aceleración de la ecuación 1 y se la reemplaza en la ecuación 2:

a=⃗

vf −⃗

v i t

⃗ x=⃗vi t +1

2⃗a t 2=⃗v i t +

1

2

⃗v f −⃗v i t

t 2

⃗ x=⃗vi t +0,5 t ⃗vf −0,5 t ⃗vi=(⃗ vi+0,5⃗ vf −0,5⃗ vi ) t =(⃗v f +⃗vi

2) t

Con esto se obtiene la última ecuación que describe el MRUV:

Ecuacin4 :⃗ x=(⃗vf +⃗vi

2

)t

Las ecuaciones que describen al MRUV:

⃗v f =⃗v i+⃗a t

⃗ x=⃗vi t +1

2⃗a t 2

v f 2=v i

2+2 a x

⃗ x=(⃗v f +⃗v i

2) t

Información extra y ejemplos de MRUV

En nuestra tierra gravedad es: g 2 9,8m

s2

A veces, la aceleración se expresa en términos de la gravedad

Ejemplo 1 de MRUV:

a=1,5 g=1,5 ∙ 9,8m

s2 =14,7

m

s2

Ejemplo 2 de MRUV:

Expresar la aceleracinde 888 m

s2entHrminosde la gravedad

a=

888 m

s2

9,8 m

s2

=90,61 g


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Mach es una manera de medir rapideces en términos de la rapidez del sonido. Muy

utilizada en aviación. Si un avión vuela con Mach 5 significa que vuela a 5 veces la velocidad

del sonido.

#ach= # = vvsonido= v

340,29 ms

Ejemplo 3 de MRUV:

v= #ach2,5=2,5 ∙ 340,29m

s =850,725

m

s

Ejemplo 4 de MRUV:

Expresar larapide' 88354 m

física – nivelación universitaria

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