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Colegios y Academia “PITÁGORAS”

Siempre primeros entre los mejores… 170

ANÁLISIS DIMENSIONAL

CONCEPTO Desde que la palabra “Física” proviene del término “Physis”, que significa “Naturaleza”, en sus inicios, más o menos hasta principios del siglo XIX, la Física se consideró como una Ciencia que estudiaría todos los fenómenos naturales. Pero a partir del siglo XIX, se redujo su campo, limitándola al estudio de los llamados “Fenómenos Físicos”, el resto de fenómenos pasaron a formar parte de otras ciencias naturales. La física es una ciencia natural encargada de estudiar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza, sistematizándolos a través de leyes físicas determinadas. Fenómeno Físico: Es todo cambio y/o transformación que experimentan ciertos cuerpos sin alterar su estructura íntima. Es decir, son cambios reversibles. Por ejemplo:

Los cambios de estado

El movimiento de los cuerpos

La dilatación de los cuerpos, etc. Análisis Dimensional Magnitud Física Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida. Las magnitudes físicas, se clasifican en: I. SEGÚN SU ORIGEN 1. Magnitudes Fundamentales Son aquellas magnitudes que sirven de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes. 2. Magnitudes Derivadas Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales. II. SEGUN SU NATURALEZA 1. Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un número real y su correspondiente unidad de medida.

Ejemplo: -10ºC; 5kg; etc. 2. Magnitudes Vectoriales Son aquellas que además de conocer su valor, se requiere de su dirección y sentido para quedar perfectamente definidas.

Ejemplo:

La Velocidad

La Aceleración

La Fuerza, etc.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

Considera siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares.

Magnitud Símb. Unidad Abreviatura

Longitud L Metro m

Masa M Kilogramo Kg

Tiempo T Segundo s

Intensidad de Corriente Eléctrica

I

Ampere

A

Temperatura Kelvin K

Intensidad Luminosa

J Candela cd

Cantidad de Sustancia

N Mol mol

Ecuación Dimensional Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es o no correcta, dimensionalmente. Notación: Se usa un par de corchetes, así:

se lee “Ecuación Dimensional De” Ejemplo:

B : Ecuación dimensional de la magnitud física B

ECUACIONES DIMENSIONALES MAS CONOCIDAS

1. AREA = L²

2. VOLUMEN= L3

3. VELOCIDAD= LT-1

4. ACELERACION= LT-2

5. FUERZA= MLT-2

6. TRABAJO= ML²T-2

7. POTENCIA= ML2T-3

8. PRESION= ML-1T-2

9. CALOR= ML²T-2

10. ENERGIA= ML²T-2

11. TORQUE= ML²T-2

12. MOMENTUM LINEAL= MLT-1

13. IMPULSO= MLT-1

14. CAUDAL= L3T-1

15. VELOCIDAD ANGULAR = T-1

16. ACELERACION ANGULAR= T-2

17. CARGA ELECTRICA = IT

18. RESISTENCIA ELECTRICA= ML²T-3I-2

19. POTENCIAL ELÉCTRICO= ML²T-3I-1

20. CAPACIDAD ELÉCTRICA=M-1L-2T4I²

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES 1º Todo número expresado en cualquiera de sus formas

tiene como dimensión a la unidad. Ejemplo:

Cos 74º = 1 5 = 1

2 = 1

12

3

UNIDAD 1



2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud.

Ejm.: 3m + 2m = 5m

3m + 2m = 5m

L + L = L

Ejemplo: 8S – 5S = 3S

85 - 5S = 3S

T – T = T 3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u

homogénea, todos los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales.

Así: sea la fórmula física: P + Q = R – S

P = Q = R = S Ejemplos de Aplicación 1. Si: x = 8mg log 12 Donde

m: masa g: aceleración de la gravedad

¿Qué dimensiones tendrá x?

Solución:

x = 8mg log 12 Recordemos que:

8 = 1 log 12 = 1 Luego, tendremos:

x = mg

x = MLT-2 2. Si:

X =

cosvt

A

2

1

Dónde: A = área; t = período; v = volumen. Hallar las dimensiones de “x” Solución:

cos.vt

A

2

1x

Recuerde:

12

1

= 1

cos = 1 Luego:

x = T.L

L

vt

A3

2

x = 13

3TLL

TL

L x = L-2T-1

3. Si:

P = 5

2

log)v6v(

)aa3(3

Dónde: a = aceleración; v = velocidad Hallar las dimensiones de “P” Solución: De la 2º propiedad:

3a - a = a = LT-2

6v - v = v = LT-1 Luego:

P =

1

42

1

222

LT

TL

LT

LT

v

a

P = LT-3

Observación Importante Los exponentes de una magnitud siempre son números Ejemplos: * Son correctas: h²; F2t-4; t5; Lcos 30º * No son correctas:

hm; Fq, Mt gF; n * Las siguientes expresiones podrían ser correctas, siempre y

cuando “x” sea un número - M3x - F4xL; será correcta si “XL” es un número En éste caso se cumple:

XL = 1 x = L

1= L-1

Luego: M2xL = M² 4. Halle las dimensiones de “K” en la siguiente ecuación

dimensionalmente correcta.

3AK = g

f.A

h

. cos . v Dónde: h : altura ; f : frecuencia g : gravedad; v : velocidad Solución:

* Analizamos el exponente

f

gA1

g

f.A

1

1

2

LTT

LTA



Luego, en la expresión inicial: Ak = h-1 . v

LT-1 K = L-1 . LT-1

K = L-1

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar x y z en la siguiente ecuación D.C.

x)gseng(

3z)2logww(tg

Dónde: w : peso; g = gravedad Solución Aplicamos la 1º propiedad:

1 = gx

zw

x)gg(

z)ww(

Luego: gx = w + z

gx = w = z (1) De (1):

z = MLT-2 Además :

gx = w

x = 2

2

LT

MLT

g

w

x = M 2. ¿Qué valor tiene (x-y), si la siguiente ecuación es D.C.?

yx2 g.kf2

Dónde:

: longitud; g: gravedad k : constante numérica

Solución

f = yx2 g.k

2

T-1 = 1 . 2x2

L

. (LT-2)-y

T-1 = L2x2

. L-y T2y

T-1 = L2x2

-y . T2y Completamos el primer miembro para tener las mismas magnitudes del segundo miembro, así:

LºT-1 = L2x2

-y T2y Igualamos exponentes: De T : 2y = -1 Y = - ½

De L :

-2x² - y = 0 - 2x² = y - 2x² = - ½ x² = ¼ x = ½ Luego

x – y = ½ -

2

1

(x - y) = 1

3. La ecuación mostrada es D.C. Hallar (x + y)

g = Vtx (4 + k y-x) Dónde: t = tiempo; v = velocidad g = gravedad Solución

Como es D.C., tenemos: [4] = [Ky-x] = 1

Es decir: y – x = 0 y = x Entonces: [g] = [ Vtx] LT-2 = LT-1 Tx = LTx-1

Igualando exponentes:

x – 1 = -2 x = -1 Luego y = -1

(x + y) = -2

4. Hallar “” si la ecuación mostrada es D.C.

sen1

aa y3xyx

vt

Dónde: t = tiempo; v = velocidad;

= aceleración angular Solución

* [x] = [3 ] = T -2

* 2

1

T

LT]y[]y[

x

v

[y] = LT

Luego, en la expresión original:

ta a y = ()-1 y sen

Ta a

1

y = (T-2)-1 y sen

Ta a

1

y = T2 ysen



21

hV

MM

h

Igualando exponentes:

a = 2 ; 2

1= sen

= 30º

1. En la ecuación dimensional. Calcular .X

;at

XV

;

a : Aceleración; t: tiempo V: velocidad

a) L

b) LT-1

c) L0

d) L1/2

2. ¿Qué magnitud representa “y”?

Log PA

ymCos

P: presión; m: masa ; A. área

a) Fuerza.

b) Aceleración.

c) Trabajo

d) Velocidad.

e) Caudal

3. Calcular X , en la siguiente ecuación dimensionalmente

correcta.Q = P x + W

P: potencia; W: trabajo

a) L

b) T

c) M

d) 1LT

e) 2LT

4. En la expresión dimensional. Calcular [ ].

2 XCos

V

V: velocidad

a) LT

b) 1LT

c) 2LT

d) 3LT

e) 1

5. Si M1 y M2 son dimensionales. Calcular la relación entre [M1]

y [M2].

h: altura; V: velocidad

a) L

b) LT-1

c) T

d) M

e) L-1

6. La expresión siguiente es dimensionalmente correcta:

y = am + bn/m + c/n

Dónde: “y” se mide en metros. Entonces la ecuación

dimensional de abc será.

a) L

b) L2

c) L3

d) L-2

e) L-3

7. La siguiente expresión física es dimensionalmente

homogénea:

2Z ASen ax bx c

Donde “x” se mide en metros y A en m/s. Halle la dimensión

de Za/bc.

a) L-1

b) T-1

c) LT-1

d) L-1T

e) L-1T-1

8. L a potencia de una hélice de un aeroplano es proporcional al

radio de la hélice R, a su velocidad angular y a la

densidad del aire D. Calcular la expresión que permita

evaluar dicha persona.

a) 4 3KR D

b) 4KR D

c) 3 5KR D

d) 5 3KR D

e) 4 4KR D

9. Se dan a continuación tres afirmaciones:

I) Dos magnitudes que han de sumarse deben tener las

mismas unidades.

II) Dos magnitudes que han de multiplicarse deben tener

las mismas unidades.

III) Dado: 2

AxDN

FxV , donde “N” es la velocidad, “D”

densidad, “F” fuerza y “V” volumen, entonces

3 11.A L T

De ellas podemos indicar:



a) Todas las afirmaciones son correctas.

b) I y II son correctas.

c) I y III son correctas.

d) II y III son correctas.

e) Sólo I es correcta.

10. La energía por unidad de longitud de una cuerda vibrante

depende de un coeficiente 22 Z , de la masa por unidad de

longitud, de la frecuencia y de la amplitud del movimiento.

Determinar los exponentes que deben tener las 3 variables

físicas para establecer una igualdad dimensionalmente

correcta.

a) 1; 1; 1

b) 1; 2; 1

c) 1; 2; 2

d) 2; 2; 2

e) 2; 2: 1

11. Halle la ecuación dimensional de C en la expresión: 2

20 1

mv

CTEe

Donde:

V= velocidad; m=masa

E=energía; t=temperatura;

P=potencia

a) L

b) T

c) 1θ

d) θ

e) M

12. La ecuación: S Vt at es dimensionalmente

correcta, donde S = desplazamiento, V = velocidad, t =

tiempo, a = aceleración y b = adimensional, calcular: .y

a) 1; 2

b) 1; 3

c) 2; 3

d) 1; 4

e) 2; 4

13. La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene

dado por la siguiente fórmula: X Y ZP KR W D

Donde: K: es un número. ;R: radio de la hélice en metros. W: velocidad angular en rad/s. D: densidad del aire Kg/m3

Calcular: x, y, z. a) X=5, y=2, z=1

b) X=6, y=3, z=2

c) X=4, y=2, z=3

d) X=1, y=3, z=5

e) X=5, y=3, z=1

14. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I) Si uno de los términos en una ecuación dimensionalmente

correcta se multiplica por xe , la ecuación deja de ser

dimensionalmente correcta.

II) La expresión 2Ln V , donde V es velocidad, es

adimensional.

III) La ecuación x ASen t BCos t ; A y B tienen la

misma dimensión.

a) FVV

b) FFV

c) FFF

d) FVF

e) FFF

15. La ecuación empírica: 2

n VP a b RT

V n

Don de: P: presión

V: volumen

n: # de moles

Representa la ecuación de estado de muchos gases reales.

Las constantes a y b se expresan respectivamente en las

siguientes unidades.

a)

2

2 2

Kgm my

mol s mol

b)

3 2

2

Kgm my

mols mol

c)

5 2

2

Kgm my

mols mol

d)

5 3

2 2

Kgm my

mol s mol

e)

2 7

2 2

Kgm my

mol s mol

16. La expresión:

25

x ym ymnghF

z log y

, es una

ecuación homogénea, donde F = fuerza, m = masa, h =

altura, g= aceleración y “n” es adimensional; determinar:

YZ

X

.

a) L

b) L-1

c) ML

d) ML2

e) ML-1



17. Considere la siguiente ecuación:

2 x A Bt Ct

Donde:

X: espacio (metros), t: tiempo (segundos) y A, B, C son

constantes no nulas.

Indique el tipo de movimiento, M.R.U. o M.R.U.V., que es

descrito por esta ecuación y escoja entre las expresiones F,

G y H, la que es dimensionalmente correcta:

2 2 2

; ; A C B

F B G A H CC B A

M.R.U.= Movimiento rectilíneo uniforme.

M.R.U.V= Movimiento rectilíneo uniformemente variado.

a) M.R.U.V.; H

b) M.R.U.V.; F

c) M.R.U.; F

d) M.R.U.; H

e) M.R.U.V.; G

18. Si la siguiente ecuación dimensionalmente correcta:

2V ah S C

Donde: C = constante, V = velocidad, a = aceleración y h =

altura, se multiplica por volumen se obtiene una relación de

energías, determinar la dimensión de

a)

b) ML-1

c) ML-3

d) ML-4

e) T-4

19. ADMISIÓN SAN MARCOS: En la ecuación

2AB BC AC P , donde P es la presión, la

dimensión del producto ABC es:

a) 3 3 3M L T

b) 3 2 3M L T

c) 3 3 6M L T

d) 3 2 6M L T

e) 3 3 6M LT

20. ADMISIÓN UNI: Experimentalmente se encuentra que la

presión (P en Pa) que ejerce un flujo de agua sobre una placa

vertical depende de la densidad ( d en Kg/m3) del agua del

caudal (Q en m3/s) y del área (S en m2) de la placa. Si k es

una constante adimensional, una fórmula apropiada para

calcular la presión es:

a) P k Q d / s

b) 2

P k Q d / s

c) 2

P k Q d / s

d) 2 2P k Q d / s

e) 2P k Q d / s



ANÁLISIS VECTORIAL

Vector: Es un ente matemático que se caracteriza porque tiene módulo, dirección y sentido. Un vector sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Los vectores se pueden representar gráficamente mediante un segmento de recta orientado. Así: Notación:

* v

: se lee “vector v”

* v

: se lee “módulo del vector v”

OPERACIONES BASICAS CON LOS VECTORES Debemos tener presente que para realizar operaciones con vectores, estos deben ser de la misma naturaleza. I. Suma de Vectores Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por uno solo

llamado vector resultante ( R

). ¿Cómo determinamos la resultante de dos vectores? Rpta. Se debe tener en cuenta los siguientes casos: 1. Para dos vectores con el mismo sentido:

La resultante se obtiene sumando los módulos de los vectores Ejemplo:

A esta resultante se le conoce como Resultante Máxima (Rmax)

R = A + B

2. Para dos vectores con sentidos opuestos

R = A - B

En este caso se obtiene restando los módulos de los vectores A esta resultante se le conoce como “RESULTANTE MINIMA” (RMIN) 3. Para dos vectores perpendiculares:

R = 22 BA

R = 22 43

R = 5u

En este caso la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

R = 22 BA

4. Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera

Observe que en este caso se trazan paralelas a los vectores por sus extremos. La unión del origen de los vectores con la intersección de las paralelas es el vector resultante. El módulo de éste vector resultante se obtiene así:

R = CosAB2BA 22

Método del Polígono Nos permite determinar la resultante de varios vectores: Procedimiento 1. Trasladamos los vectores y los colocamos uno a continuación

de otro (extremo de un vector en el origen del otro)

2. El vector resultante ( R

) se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector Por ejemplo: Para los vectores dados, halle el módulo de la resultante.

Mod

ulo: I

vI

Dirección

Sentido

Línea de acción

x

y

v

A = 4u R = 7u

B = 3u

A = 4u R = 1u

B = 3u

RA = 3u

B = 4u

A R

B

B=2A=10

37º

c = 6

UNIDAD 2



Solución Colocamos los vectores uno a continuación de otro.

El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. Luego:

R = 8

Diferencia de dos Vectores

Los vectores que se van a restar se unen en un origen común, luego el vector diferencia se obtiene uniendo los extremos de los vectores. El vector diferencia señala hacia el minuendo.

BAD

Su módulo:

cosAB2BAD 22

Ejemplos de Aplicación 1. La resultante máxima de dos vectores de módulos iguales es

20. Hallar la nueva resultante cuando dichos vectores estén formando 120º entre sí.

Solución:

Sea los vectores bya

Tales que: mba

Luego, Rmax = a + b Rmax = 2m Por dato: 2m = 20 m = 10

Luego, cuando forman 120º:

R = º120cos)10)(10(21010 22

R =

2

1)10(21010 222

R = 10

Conclusión Dos vectores de igual módulo que formen 120º entre si originan una resultante de igual módulo que los vectores.

2. La figura mostrada es un hexágono regular de lado 2u. Halle

el módulo del vector resultante. Solución Trasladamos los vectores hacia los lados que son paralelos a dichos vectores, así:

Luego; sumamos: ADCDAC

ADEDAE

R = 2 (AD) Pero AD = 4u Luego R = 8u

3. Dados los vectores mostrados, determinar Q2P

Solución. Unimos los vectores por sus orígenes.

D = º53Cos)6)(5(265 22

D = 363625 D = 5

B = 2A =

10

C = 6

R

37º6 2

A

B B

A D

R

120º10

10

B C

D

EF

A

68º

P =

5

Q = 3

15º

53ºP =

5

15º 2Q = 6

B C

D

EF

A



1. Dos vectores de módulos 10N y 6N forman entre sí un ángulo

de 60°. Hallar el módulo del vector resultante.

a) 7N

b) 10N

c) 12N

d) 14N

e) 16N

2. La máxima resultante de dos vectores es 14 y su mínima

resultante es 2. ¿Cuál será la resultante cuando formen un

ángulo de 90°?

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

3. La máxima resultante de dos vectores es 8 y su mínima

resultante es 2. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando

formen un ángulo de 60°?

a) 7

b) 6

c) 5

d) 4

e) 3

4. El número mínimo de vectores de diferentes magnitudes,

cuya resultante es cero, es:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) No se sabe

5. La magnitud de la resultante del siguiente sistema de

vectores es:

a) 2T

b) 4T

c) 20

3

T

d) 2

3

T

e) T

6. Cuatro fuerzas , , A B C y D actúan sobre una masa

colocada en O como es mostrada en la figura. La fuerza

resultante tiene en siguiente módulo y dirección (con respecto

a la dirección C)

a) 2 2 2 2 ; 90A B C D

b) 17 / 2 ; 1/ 4C ArcTan

c) ; 45A B C D

d) 5 / 2 ; 30C

e) 17 / 2 ; 45C

7. Determina la suma de todos los vectores que se muestran en

la figura:

a) E

b) 2D

c) 2 E

d) E

e) D

8. En el triángulo, determinar el vector “X” en función de los

vectores A y B, si se cumple que PQ = QR/2.

a) 2 / 3X A B

b) 2 / 3X B A

c) 2 / 3X B A

d) 2 / 3X A B

e) 2 / 3X B A

9. Determinar el módulo de la suma de los vectores,

,A B yC , mostrados en la figura donde:

8 , 3 , 5A m B m C m

a) 3 m

b) 4 m

c) 6 m

d) 8 m

e) 9 m

10. A partir del gráfico exprese al vector ⃗ en función de los

vectores ⃗ ⃑ .

a) 2

2A B

b) 2

6A B

c) 2 2

3A B

d) 2

4A B

e) 3

4A B

11. En sistema de vectores mostrados, determina la magnitud (en

u) de:

R A B C D E F G ; si se sabe qué

10B E G y A B G u .

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

𝐴 �⃑⃗�

�⃗�

O



12. Determine el módulo de la resultante del siguiente sistema:

a) 3 3

b) 7 7

c) 8

d) 13

e) 0

13. La figura muestra un cilindro recto de radio R y altura H.

Desde el centro de la base inferior se construye 12 vectores

que terminan en los 12 puntos A, B, C, … equidistantes entre

sí de la cara superior. Hallar el módulo del vector resultante

de éstos.

a) 10 H

b) 11 H

c) 12 H

d) 13 H

e) 14 H

14. Determinar la resultante en función de A y B en:

a) 2A B

b) 2 5

3

A B

c) 2 5

3

A B

d) 5A B

e) 5 8

6

A B

15. Dos vectores A y B de igual módulo forman un ángulo .

¿En qué relación están los módulos de los vectores

A B y A B ?

a) 2

sen

b) 2

cos

c) 2

tan

d) 2

cot

e) 2

sec

16. Se tiene dos vectores de módulo constante dispuestos sobre

un plano, se sabe que el mayor y el menor valor de su

resultante es 32u y 6u, respectivamente. ¿Qué módulo tiene

A B , cuando A y B forman 60°?

a) 2 28 u

b) 3 76 u

c) 1, 5

d) 0,5 76 u

e) 283 u

17. Se muestra un hexágono regular ABCDEF de lado 24 u.

Determine el módulo de FO BC OD .

a) 12 u

b) 18 u

c) 40 3u

d) 30 3u

e) 36u

18. Halle el módulo de la fuerza resultante; si

1 230 ; 18 ,F N F N en el sistema de vectores

mostrado.

a) 7(K+1) N

b) 14(K+1) N

c) 21(K+1) N

d) 12(K+1) N

e) 28(K+1) N

19. EXTRAORDINARIO UNDAC: Utilizando los vectores

mostrados, indica el número de proposiciones verdaderas:

( ) 8 A B N

( ) 7 C D N

( ) 7 A D N

( ) 8 A B N

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

20. CEPRE UNDAC: Para 2 vectores se conoce que la máxima

resultante que forman, tiene magnitud igual a 17 y cuando

forman un ángulo de 60° la resultante tiene una magnitud de

229 . Determina el valor de la mínima resultante que

forman.

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

30° 30°

A=5N B=3N

C=4N

D=3N

E

A

C F

D

B

60°

K divisiones iguales



DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

Consiste en reemplazar un vector por otros dos, de tal forma que éstos sean mutuamente perpendiculares.

Vx = cosV Vx = V Cos

Vy = V

sen Vy = V sen

Además: Tag= Vy Vx Ejemplos de Aplicación 1. Hallar el módulo de la resultante. Solución: * Hallamos “RH”

RH = 120 cos 53º - 90 cos 37º

RH = 120 x 5

3- 90 x

5

4

RH = 0

* Hallamos “RV”

RV = 90 Sen 37º + 120 sen 53º

RV = 90 x 5

3+ 120 x

5

4

RV = 150

Luego la resultante total se obtiene así:

R = 2

v

2

H RR

R = 22 1500 R = 150

2. Halle la medida del ángulo “” para que la resultante se encuentre en el eje “x”

Solución

Como la resultante está ubicada sobre el eje “x”, entonces en el eje vertical, la resultante debe ser igual a cero:

Luego: Ry = 0

10 sen - 16 cos 60º = 0

5 sen = 8 cos 60º

5 sen = 8 x ½ = 4

sen = 5

4 = 53º

1. Dado el vector A de módulo 20 unidades, hallar sus

componentes rectangulares, (X,Y):

a) (9; 16)

b) (16; 12)

c) (20; 0)

d) (0; 20)

e) (15; 9)

2. En el sistema vectorial mostrado, halle el módulo del vector

resultante.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

y

x

vv

y

xv

x

vy

53º

90

37º

120

53º37º

90 sen 37º

120 Cos 53º90 Cos 37º

120 Sen 53º

30º6

10

16

1010 sen

10 cos 16 cos 60º

6

16 sen 60º

60º

Y

53°

X

Y

53°

6

8

UNIDAD 3



3. Halle la medida del ángulo , sabiendo que el módulo del

vector resultante es igual a cero.

a) 30°

b) 37°

c) 45°

d) 53°

e) 60°

4. En el sistema vectorial mostrado, hallar la medida del ángulo

“ ”, tal que el vector resultante se encuentra en el eje x.

a) 0°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 90°

5. Sabiendo que el vector resultante se encuentra en el eje

vertical, hale el módulo del vector resultante.

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25

6. Si la resultante de los vectores se encuentra en el eje vertical

“y”, halle el módulo del vector “C”.

10 2A , 10B

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

7. Calcular “ ”, si la resultante del sistema se encuentra sobre

la línea de acción de 27 N.

a) 10°

b) 20|

c) 36°

d) 37°

e) 8°

8. Un clavo empotrado en el techo es jalado por las fuerzas 1F

de módulo 120 N y 2F según muestra el gráfico. Determina

el módulo de 2F , de tal manera que dicho clavo salga

verticalmente. Asimismo, determina el módulo de la fuerza

resultante debido a 1 2 y .F F

a) 7,5 N

b) 12,5 N

c) 23 N

d) 50 N

e) 75 N

9. La figura representa una placa sobre el cual actúan cuatro

fuerzas coplanares. Determine el módulo de la resultante de

estas cuatro fuerzas.

a) 5 17 0 N

b) 40 17 N

c) 30 17 N

d) 120 N

e) 20 N

10. Sobre un clavo incrustado en un plano inclinado actúan dos

fuerzas que se representan mediante los vectores 1 2 y .F F

Si su resultante está en la vertical y 2 30 F N , determine

los módulos de las componentes de 1 F en una dirección

paralela y perpendicular al plano inclinado respectivamente.

a) 48N y 36N

b) 36.15N y 36N

c) 48N y 48N

d) 48N y 48N

e) 25.75N y 16.14N

11. En el gráfico se muestra dos vectores que representan

aceleraciones y una tangente a una curva. Si la pendiente de

la recta tangente es 0,75, determine el módulo de la

X

Y

53°

30

35

37°

X

Y

37°

35

45°

37°

X

Y

8

6

10

60° 37°

15N

50N

X

Y

15

20

20

60°

23°

X

Y

17°

15 N 17°

27 N

25 N



aceleración resultante en la dirección tangente y normal a la

curva para cada caso.

a) 2 26 / 1 7 /m s y m s

b) 2 23 / 2,53 /m s y m s

c) 2 22,3 / 6 /m s y m s

d) 2 21,41 / 1 7 /m s y m s

e) 2 22,71 / 1 7 /m s y m s

12. En la figura, los vectores dados están relacionados entre sí

por C mA n B , donde m y n son números reales.

Determine m y n.

a) 3 2

; 11 11

b) 4 2

; 5 15

c) 5 3

; 11 11

d) 8 2

; 5 15

e) 8 5

; 15 8

13. La figura que se muestra es un rectángulo. Determine el

módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.

a) 8u

b) 10u

c) 12u

d) 15u

e) 18u

14. Si la resultante del sistema de vectores es

2 3 1 j u , determine el módulo del vector D , si

verifica.

3 1

5D C P

a) 2u

b) 4u

c) 2 5u

d) 4 5u

e) 5u

15. Se muestra tres vectores , A B yC , que verifican

2

cA B . Si la resultante de los tres vectores toma

su menor valor, determine el valor del ángulo y el valor de

la resultante.

a) 16° y 24 cm

b) 14° y 25 cm

c) 14° y 20 cm

d) 16° y 25 cm

e) 14° y 50 cm

16. En la figura se muestra a tres vectores , P Q y S ; donde

3 2 10P u y Q u . Determine el valor de m si

se verifica 3mP Q nS (m y n son números reales).

Considere tan = 1/3

a) 14

3

b) 5

c) 11

3

d) 16

3

e) 17

3

Recta

tangente

curva

2u

6u

8u

8u

X

Y

37°

60°

16u

10u

44°

(24; 7)

O

X

Y



17. Se muestra un vector A constante. ¿Cuál es el menor valor

de un vector B que hay que sumarle al vector A tal que la

resultante esté sobre el eje X?

a) 1 cm

b) 2 cm

c) 1,5 cm

d) 2,5 cm

e) 1,2 cm

18. Al realizar algunas operaciones con los vectores con los

vectore A y B s se logró obtener los vectores siguientes:

Donde los módulos de los vectores son:

4 10 2 10 3 A B u y A B u

Determine el módulo de 7 4A B

a) 10 19 u

b) 9 7 u

c) 7 5 u

d) 3 14 u

e) 5 51 u

19. CEPRE UNDAC: Si en el siguiente grupo de fuerzas, la

resultante es vertical. Halla

a) 37°

b) 60°

c) 53°

d) 30°

e) 45°

20. CEPRE UNDAC: En el diagrama se muestran cuatro

vectores, determina el módulo del vector resultante y su

respectiva dirección.

a) 8 2;135

b) 2 5;120

c) 13;60

d) 61;45

e) 37;150

53°

2

30°

X

Y

60°

10

37°

4

4

10 25

60°

45°

X

Y



ESTÁTICA I

Es una rama de la Mecánica, cuyo objetivo es analizar las condiciones que deben de reunir un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema para que lo mantenga en equilibrio. ¿A qué llamamos interacción? Para entender este concepto analicemos el siguiente caso: Se lanza una pelota para que golpee al bloque, en reposo. Luego del golpe, el bloque que se encontraba en reposo adquiere movimiento mientras que el movimiento de la pelota es frenado. De esto podemos deducir que cuando un cuerpo actúa sobre otro, puede modificar su estado mecánico. A esta acción mutua entre dos cuerpos se denomina “interacción”. La interacción mecánica puede efectuarse entre cuerpos en contacto directo, así como entre cuerpos separados. ¿Qué es una fuerza? Veamos, en el ejemplo anterior, si quisiéramos saber con que intensidad interactúan los cuerpos entonces usaremos una magnitud vectorial denominada “Fuerza” (F). La fuerza tiene como unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) el Newton (N). Observación: El movimiento mecánico de un cuerpo es consecuencia de la interacción con otros cuerpos. Según sea la naturaleza de las interacciones, las fuerzas se clasifican en: 1. Fuerzas Gravitacionales

Tienen como origen o causa a la masa de los cuerpos y son siempre de atracción. Por ejemplo el peso.

2. Fuerzas Electromagnéticas

Tienen como origen a las cargas eléctricas de los cuerpos en reposo o en movimiento.

Las fuerzas son eléctricas si las cargas eléctricas están en reposo, y serán magnéticas si las cargas están en movimiento.

3. Fuerzas Nucleares.

Estas fuerzas unen los protones y los neutrones en el núcleo atómico y es de corto alcance.

4. Fuerzas Débiles:

Están fundamentalmente asociadas a la descomposición de núcleos radiactivos. Las fuerzas que con frecuencia usaremos en estática están comprendidas entre las dos primeras de la clasificación. FUERZAS USUALES:

1. Fuerza de Gravedad (Fg)

Llamada también fuerza gravitacional, es aquella con la cual se atraen dos cuerpos en el universo, esto se debe a la interacción gravitatoria entre los cuerpos.

Por ejemplo, si soltamos una piedra, notaremos que ésta cae

dirigiéndose hacia la tierra. De esto deducimos que la tierra atrae a la piedra (lo jala hacia su centro) ejerciéndole una fuerza a la que llamaremos “Fuerza de Gravedad”.

m : masa del cuerpo g : aceleración de la gravedad

Cuando el cuerpo está próximo a la superficie terrestre, el valor de la fuerza de gravedad se calcula así:

Fg = m.g

La fuerza de gravedad se grafica vertical y hacia abajo, en un

punto llamado centro de gravedad (C.G.) el cual, para cuerpos homogéneos coincide con su centro geométrico. 2. Fuerza de Tensión (T) Se manifiesta en las cuerdas, usadas para colgar o suspender cuerpos en el aire, para jalar cuerpos, etc.

Reposo

La esferaimpacta enel bloque

F2

F1

Interaccióng

mF

g

V = 0

T

T

UNIDAD 4



La fuerza de tensión tiene la misma dirección de la cuerda sobre la que actúa. Para una cuerda ideal (de masa despreciable), el modulo de la tensión es el mismo en cualquier punto de la cuerda.

Ejemplo: Una caja de 3 kg es sostenida mediante una cuerda tal como se muestra. Grafique la fuerza de tensión y determine su módulo (g = 10 m/s²)

Solución.

Dado que la caja no cae, entonces concluimos que la fuerza hacia arriba y hacia abajo deben ser igual módulo; luego:

T = 40N

3. Fuerza Normal (FN) Llamada también fuerza de contacto, es una fuerza de reacción que se manifiesta siempre que haya contacto entre dos superficies. La línea de acción de ésta fuerza es perpendicular a las superficies de contacto.

4. Fuerza Elástica (Fe) Es una fuerza interna que se manifiesta en un cuerpo elástico (Resorte, liga) cuando es deformado por estiramiento o compresión. Por ejemplo, suspendemos un bloque de un resorte.

Experimentalmente se demostró que: A mayor “x”, mayor “Fe” A menor “x”, menor “Fe”

Kctex

Fe

Fe = KX

K = Constante elástica del resorte (N/m; N/cm) X = Elongación del resorte Lo = Longitud natural del resorte (cuando no está deformado) Nota: el valor de “K” depende del material del resorte y de su longitud natural. 5. Fuerza de Rozamiento o de Fricción (fr) Seguramente alguna vez usted habrá intentado arrastrar un bloque de cierto material, y habrá notado que no resbale.

Esto se debe a que tanto la superficie del bloque como el piso presentan asperezas (rugosidades) y por ello se manifiesta una oposición al deslizamiento del bloque, surgiendo así una fuerza que recibe el nombre de “fuerza de rozamiento”.

En el ejemplo: FN : fuerza normal R : Reacción del piso sobre el bloque Luego:

2

N

2

r FfR

Nota: Cuando un bloque resbala o intenta resbalar sobre una superficie, la fuerza total (R) sobre el cuerpo es inclinada respecto de la superficie de contacto y para facilitar el análisis se descompone en una fuerza normal (FN) y una de rozamiento (fr).

CASOS PARTICULARES

1. Fuerza de Rozamiento Estático (fs) Esta fuerza se manifiesta cuando las superficies intentan resbalar pero no lo logran. Por ejemplo; si analizamos al bloque apoyado sobre el plano inclinado rugoso:

Aumentamos el ángulo de inclinación

Inicialmente

T

Fg = 40N

FN

FN

FN

FeX

Lo

V = 0

El bloque noresbala

fr

T

FN

V = 0

FN

fs

V = 0

FN

fs´



El bloque aumenta su tendencia a resbalar luego, también aumenta “fs” de modo que en algún momento el bloque estará a punto de deslizar (Movimiento inminente). En este instante, la fuerza de rozamiento estático alcanza su valor máximo (fsmáx) Luego:

fsmax = µs . FN

Donde: µs : Coeficiente de rozamiento estático (Adimensional) Además:

µs = tg

Donde:

: Angulo máximo que se puede inclinar la superficie de modo que el bloque aún no deslice. 2. Fuerza de Rozamiento Cinético (fc) Esta fuerza se manifiesta cuando las superficies en contacto deslizan una respecto de la otra. Su valor es prácticamente constante.

fc = µc . FN

µc = Coeficiente de rozamiento cinético (adimensional) Nota: Entre dos superficies en contacto existen dos coeficientes de rozamiento (µs y µc) de modo que: µs > µc.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.)

Llamado también “Diagrama de Fuerzas” es aquel donde se grafica todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema. Para efectuar un D.C.L. tenga en cuenta lo siguiente:

1. Aísle el cuerpo del sistema. 2. Grafique la fuerza de gravedad 3. Si el cuerpo está suspendido de cuerdas, grafique la

tensión. 4. Si el cuerpo está en contacto con alguna superficie,

grafique la fuerza normal (FN) por cada contacto. 5. Si el cuerpo está en equilibrio y solamente actúa 3

fuerzas, éstas deben ser concurrentes, necesariamente. Ejemplos:

Efectúe el D.C.L. de la esfera mostrada.

Efectúe el D.C.L. de la barra

En este caso, por facilidad de análisis, es conveniente en la articulación “B” descomponer la reacción en dos, una componente horizontal “FBx” y otra vertical “FBy”. Así:

Equilibrio de Traslación Es cuando un cuerpo se encuentra en reposo o moviéndose con velocidad constante, es decir sin aceleración. Luego: Equilibrio de * Reposo Traslación * M.R.U. Primera Condición de Equilibrio Si un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación y sobre el actúa un conjunto de fuerzas, se cumplirá que:

FR = F = 0 Forma práctica

F () = F ()

F () = F () Aplicaciones 1. Halle la fuerza que debe aplicar la persona para mantener el

bloque de 10 kg en la posición mostrada. Masa de la polea=2 kg; g=10 m/s

Solución: La fuerza que hace la persona en el extremo de la cuerda es el mismo en toda la cuerda.

V

FN

fc

FN

Fg

T

LisoA

Articulación

B

FNA

Fg

FB

FNA

Fg

FB

B

A

FBx

FBy



Fy = 0 2T – 120 = 0 2T = 120

T = 60 N

2. Hallar el coeficiente de rozamiento (µ) si el bloque “A” de 10

kg, está a punto de deslizar (mB = 7.5 kg; g = 10m/s²)

Solución: De la figura observamos que la fuerza que intenta poner en movimiento al bloque A, es el peso del bloque B.

Esto ocasiona que entre el bloque A y la superficie se manifieste la fuerza de rozamiento estático máximo. Luego: fs max = 75N

µs . FN = 75N µs . 100N = 75N

µs = 0.75 1. ¿Cuál es la gráfica que mejor representa el diagrama de

cuerpo libre de la barra homogénea en equilibrio, mostrada en la figura?

2. Hacer el DLC de la barra no homogénea en equilibrio.

a) b)

c) d)

e)

3. Hallar la tensión en la cuerda AO, si el bloque que pesa 48 N y la tensión en la cuerda OB es de 20 N.

a) 52 n

b) 48 n

c) 28 n

d) 36 n e) 12 n

4. Si el bloque mostrado se mueve con velocidad constante.

¿Cuál es el módulo de la fuerza de reacción que le ejerce el

piso a éste?

a) 5 n

b) 12 n

c) 13 n

d) 7 n

e) 8 n

A) B) C)

D) E)

A

B

FN

100 Nfsmax

75N

T T

20N

100N

.



5. Calcule el módulo de la tensión en la cuerda horizontal.

a) 10 n b ) 20 n

c) 20 2N

d) 10 2N

e) 30 n

6. Hallar el módulo de la tensión en la cuerda, si los cilindros

pesan 80 N y 30 N los cilindros son lisos y están en

equilibrio.

a) 137,5 n

b) 200 n

c) 175,5 n

d) 112,5 n

e) 215,5 n

7. Determine el valor del ángulo “ ” que define el equilibrio de

las esferas lisas A y B de 25 y 40 N de peso respectivamente.

Las esferas son de igual radio.

a) 30° b) 37° c) 45° d) 60° e) 74°

8. Hallar “F” de tal manera que los cuerpos lisos, de peso w

cada uno, se encuentren en reposo.

a) tan

b) Sen

c) Sen

d) Sec

e) Ctg

9. La barra homogénea mostrada se mantiene en equilibrio las

reacciones en A y B son 7 N y 15 N. Hallar el peso de la

barra. Despreciar el rozamiento y considere:

53 .

a) 20 N b) 21 N c) 19 N d) 22 N e) 18 N

10. El bloque A de 4 Kg se apoya sobre otro B y permanece en reposo, siendo todas las superficies lisas. Calcule la suma de las deformaciones de los resortes, si sus constantes de rigidez son iguales y de valor k = 64 N/m. (La deformación del resorte vertical y la deformación del resorte horizontal están en relación de 4 a 3)

a) 0,3 m b) 0,7 m c) 0,4 m d) 0,8 m e) 0,5 m

11. En el sistema que se muestra en la figura, el cuerpo de masa m = 0,5 kg está sobre el plato de una balanza, en esta situación la balanza indica 0,2 kg. ¿Cuál es la masa del bloque P (en kg) si el sistema se encuentra en equilibrio?

a) 0,8 b) 0,6 c) 0,5 d) 0,3 e) 0,2

12. Los bloques A y B se encuentran en equilibrio en la forma mostrada en la figura. Halle la relación de sus masas, si las poleas son ingrávidas. a) 3/5 b) 3/10 c) 1/4 d) 2/5 e) 1/2

13. Si las esferas idénticas de masa m = 27 kg se mantienen en

equilibrio en la posición mostrada en la figura. Calcule la deformación que experimenta el resorte de constante de rigidez k = 1800N/m que se encuentra en posición vertical.

(g = 10 m/s2)

a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm

14. Un cable flexible y homogéneo, de masa M y 13 m de

longitud, se encuentra en equilibrio en la posición mostrada

30°

P

m

Polea liso

g

g

53° B

A

= 0

= 0

A B

53°



en la figura. Si no hay rozamiento, calcule la longitud “x “(en metros). a) 2 b) 5 c) 8 d) 7 e) 6

15. Un joven de masa m = 60 kg se encuentra sujeto de una

cuerda inextensible de 5 m de longitud, a través de una

argolla lisa, tal como se muestra en la figura. Si las paredes

están separadas 4 m entre si, halle la magnitud de la tensión

en la cuerda.

(g = 10 m/s2)

a) 375 N b) 600 N c) 300 N d) 450 N e) 500 N

16. Calcule la magnitud de las tensiones (en N) en las cuerdas A

y B respectivamente, si el bloque de masa m = 6 kg se

encuentra en equilibrio, en la figura mostrada.

(g = 10 m/s2)

a) 40; 30 b) 48; 36 c) 36; 16 d) 35; 50 e) 60; 30

17. En la figura se muestra una barra de masa m = 3 kg en posición vertical y apoyada sobre una cuña de masa “M”. Halle la magnitud de la fuerza F (en N) para mantener el sistema en equilibrio. Despreciar todo tipo de rozamiento.

(g = 10 m/s2) a) 20 b) 10 c) 0 d) 7,5 e) 15

18. Para el sistema en equilibrio que se muestra en la figura,

hallar la deformación del resorte que está en posición vertical. La constante elástica es K = 300 N/m. La masa de la esfera homogénea y de las barras es m = 6 kg, (g = 10 m/s2) a) 15cm b) 20cm c) 25cm d) 30cm e) 35cm

19. ADMISIÓN UNDAC: ¿Cuál es el peso del bloque suspendido, si la tensión en la cuerda “B” es de 40 N; estando en equilibrio el sistema? a) 48 N b) 38 N c) 50 N d) 60 N e) 58 N

20. ADMISIÓN UNDAC: De la figura, determina el peso del

cuerpo P si la longitud del resorte sin alargar es de 3 cm. El sistema está en equilibrio. a) 100 N b) 130 N c) 140 N d) 135 N e) 120 N

30° 53°

X

53° 37°

m

A B

F

m

30°

= 30°

53°

B A

37°

P

A

3 cm 4 cm

3 cm

C

B



ESTÁTICA II

Momento de una Fuerza (FoM

)

Anteriormente hemos estudiado el efecto de deformación de un cuerpo debido a una fuerza. En esta parte analizaremos el efecto de rotación causada por dicha fuerza y las condiciones para el equilibrio de rotación.

Momento de una fuerza (FM

)

Es una magnitud vectorial que sirve para medir la intensidad con que una fuerza causa o tiende a causar un efecto de rotación, sobre un cuerpo, respecto de un punto o eje de giro. Matemáticamente:

d.FMFo

F : módulo de la fuerza F

d : distancia o brazo de palanca unidad: (N.m) Convención de signos: (+): sentido de rotación, antihorario (-) : sentido de rotación, horario Nota: Es posible producir un mismo momento de fuerza con una fuerza de módulo pequeño, cuyo brazo sea grande; y con una fuerza de módulo grande pero de brazo pequeño.

)m1)(N10(MF

o )m2)(N5(M f

o

m.N10MF

o m.N10M f

o

Ejemplo: Calcular el momento de la fuerza F = 15N

Solución

)m4)(N15(M

d.FM

F

A

F

A

m.N60MF

A

Observación: Cuando la línea de acción de una fuerza pasa por el centro de giro, su momento de fuerza respecto de dicho punto es cero.

0MF

A

Equilibrio de Rotación: Es el estado mecánico en el cual un cuerpo no gira o lo hace uniformemente. 2º Condición de Equilibrio: Cuando un cuerpo, sometido a varias fuerzas no gira, se encuentra en equilibrio de rotación y se cumple que el momento resultante respecto del centro de giro, es nulo.

MR = 0 Forma práctica

M(+) = M(-) Ejemplo: Determine si la barra de la figura está en equilibrio rotacional.

dF

Línea deacción de F

OCentro de

giro

F = 10N

1 mo

F = 5N

2 mo

5m

37ºA

F = 15N

5m

37ºA

F = 15N

4m

A F

2m

F1=15N

1m

F2=30N

A

UNIDAD 5



Solución: Hallamos el momento resultante.

21F

A

F

A

R

A MMM

)2x30()3x15(MR

A

6045MR

A

m.N15MR

A

Observe que el momento resultante no es nulo, por lo tanto la barra no está en equilibrio de rotación. En este caso, la barra gira en sentido antihorario.

Ejemplo: Hallar el momento resultante. Solución:

21FFR

A MMM

)5x12()3.20(MR

A

0MR

A

La barra está en equilibrio de rotación. Equilibrio Mecánico Llamado simplemente “Equilibrio”, es aquella situación en la que un cuerpo o sistema cumple las dos condiciones de equilibrio: (de traslación y rotación)

F = FR = 0

M = MR = 0

1. En la figura se muestra una barra de masa despreciable

sometida atres fuerzas. Determine el momento resultante

respecto de A.

a) -25 N.cm

b) 12,5 N.cm

c) 13,8 N.cm

d) 75 N.cm

e) 1,25 N.cm

2. En la figura el peso de la barra homogénea es de 30 N y el

valor de la fuerza “P” es 80 N. Calcular el peso del bloque “Q”

para mantener el peso en equilibrio.

a) 25 N b) 40 N c) 50 N d) 75 N e) 100 N

3. Una barra homogénea de 40 N es articulada en “B” y se

mantiene en equilibrio como se muestra. Si el bloque “P” pesa

50 N, calcular el módulo de la tensión en la cuerda.

a) 25 N b) 20 N c) 30 N d) 35 N e) 15 N

4. Determinar “x” de tal forma que el sistema se encuentre en

equilibrio, si las superficies son lisas y a = 1. Considere la

barra homogénea.

a)

b)

c)

d)

e)

2 2 /3

3 3 /3

3 2 /3

2 3 /3

4 3 /3

40cm

F

37°

15cm

A 15cm

EQUILIBRIO MECÁNICO

2m

F1 1m

F2

F1=20N

3m

A

2m

F2=12N



F T

3m 2m

50N

5. Una carga de 200 N cuelga del extremo libre de una varilla

homogénea y uniforme cuyo peso es de 40 N, una cuerda

sujeta la estructura articulada desde su punto medio,

encuéntrese el módulo de la tensión en esta cuerda.

a) 140 N

b) 240 N

c) 340 N

d) 440 N

e) 540 N

6. La barra homogénea pesa 50 N y mide 16 m. Hallar el módulo

de la reacción en la articulación. (M: punto medio)

a) 28 N b) 70 N c) 50 N d) 130 N e) 80 N

7. Calcular el momento resultante (en N.m) respecto del punto O en la barra homogénea y horizontal de 3m de longitud y masa m = 5 kg, (g = 10 m/s2)

a) +155

b) +75

c) -25

d)-155

e) -75

8. Una barra homogénea en posición horizontal de masa m = 3

kg se encuentra en equilibrio, como se muestra en la figura.

Hallar la magnitud de la diferencia de las fuerzas F T

a) 50 N

b) 40 N

c) 30 N

d) 20 N

e) 10 N

9. El sistema mostrado en la figura está en equilibrio. Determine la magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo O sobre la varilla. El peso de las poleas y varilla se desprecia.

a) 20 N b) 10 N c) 30 N d) 40 N e) 100 N

10. Calcule la magnitud de la fuerza de reacción en la articulación sobre la varilla en equilibrio y de peso despreciable. Desprecie el rozamiento. (g = 10 m/s2) a) 40 N b) 42 N c) 36 N d) 24 N e) 20 N

11. Para el sistema en equilibrio que se muestra en la figura, halle la magnitud de la fuerza de reacción en el punto de apoyo O, si los pesos de los bloques A y B se diferencian en 15N y la barra de peso despreciable se mantiene horizontal. a) 2 N b) 6 N c) 5 N d) 3 N e) 9 N

12. Un alambre rígido homogéneo de 18 cm de longitud es

doblado como se indica. Determine la longitud “x” para el

equilibrio de dicha barra.

a) 4 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 10 cm e) 12 cm

13. El sistema mostrado está en reposo. Determina las

reacciones de A y B. 26 10 /barram kg y g m s

a) 12 N; 17 N

b) 23 N; 25 N

c) 40 N; 50 N

d) 29 N; 31 N

e) 30 N; 31 N

14. Determine el módulo de la fuerza que ejerce el plano

inclinado sobre la placa homogénea de 60 N que se mantiene

en equilibrio.

a) 7 N

b) 9 N

c) 12 N

d) 11/3 N

e) 20 N 80N

2m 4m

O

liso

2 kg

74°

B

2m 1m o

A

g g

10N

1m

2m

40N

20N

g

O

A BN

3 Kg

b

Homogénea

2b b



15. Se muestra una barra homogénea de 13 Kg en reposo.

Determine el módulo de la tensión. (g = 10 m/s2)

a) 20 N

b) 30 N

c) 50N

d) 35 N

e) 44 N

16. La barra lisa se encuentra en reposo cuando se le aplica una

fuerza horizontal F . Determine el módulo de F . (g = 10

m/ ; tan = 2/3)

a) 7 N

b) 14 N

c) 22,5 N

d) 44,5 N

e) 24 N

17. Se muestra una barra homogénea de 150 N en reposo.

Determine la deformación del resorte cuya constante de

rigidez es igual a 850 N/m (g = 10 m/s2)

a) 10 cm

b) 5 cm

c) 2,5 cm

d) 1 cm

e) 7,5 cm

18. En el sistema de fuerzas que actúan sobre la barra, ¿A qué

distancia de A actúa su resultante? (AB = L)

a) 1,5 L

b) 2 L

c) 2,5 L

d) 3 L

e) 3,5

19. ADMISIÓN UNDAC: Una barra homogénea de 6Kg se

mantine en equilibrio debido a al cuerda AB. Determina la

magnitud de la fuerza de tensión de dicha cuerda. (g = 10

m/s2)

a) 8 N

b) 12 N

c) 20 N

d) 22 N

e) 25 N

20. ADMISIÓN UNDAC: Si el sistema físico mostrado en la figura

se encuentra en equilibrio, determina la fuerza de reacción en

el apoyo “A” . Considerar el peso de las barras despreciables.

Q = 10 N

a) 30 N

b) 35 N

c) 40 N

d) 45 N

e) 50 N

3,6 Kg

L

L F

R

𝜃

C.G.

53°

C.G. A

g

a 3a

g

4Kg

45°

53°

B

A

O

A B

C D

Q

4m 2m

3m 2m



dVm

t

CINEMÁTICA

CINEMÁTICA: Parte de la mecánica que estudia la geometría del movimiento mecánico sin analizar sus causas. ESPACIO: Lo ocupa todo sin tener fronteras. TIEMPO: Idea que va ligado al espacio, una noción del paso del tiempo es el cambio.

SISTEMA DE REFERENCIA Esta descripción se hace por medio de coordenadas. En

general, un sistema de coordenadas es usado para especificar posiciones en el espacio y se compone de:

* Un punto de referencia fijo denominado origen. * Un conjunto de ejes especificados con escalas y

leyendas apropiadas sobre los ejes. * Instrucciones sobre cómo marcar un punto en el espacio,

en relación con el origen y los ejes.

Es común que el observador se encuentra asociado a la tierra

Posición de un cuerpo ó

MOVIMIENTO MECANICO Es el continuo cambio de posición de un cuerpo con respecto

al S.R.. Elementos

Móvil: Cuerpo que experimenta movimiento mecánico.

Trayectoria: Línea formada al unir los puntos por donde

pasa el móvil.

Desplazamiento : Magnitud vectorial que expresa

el cambio de posición.

Recorrido (e): Es la medida de la trayectoria.

Distancia (d): Es el módulo del desplazamiento

VELOCIDAD MEDIA

RAPIDEZ PROMEDIO

MOVIMIENTO RELATIVO

El movimiento del cuerpo depende del S.R., por lo tanto, la posición, la velocidad y la aceleración dependen también de él.

Ecuaciones

Posición de la particula “B” con respecto a la particula “A”

Velocidad de la particula “B” con respecto a la particula “A”

Aceleración de la particula “B” con respecto a la particula “A”

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

Características:

La velocidad permanece constante en magnitud y dirección.

En tiempos iguales se recorren distancias iguales.

La distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

FÓRMULA: d = distancia recorrida V = rapidez constante del movimiento t = tiempo transcurrido Algo más: TA= Tiempo de alcance TE= Tiempo de encuentro V1 ,V2= Velocidades de los móviles.

MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME VARIADO (M.R.U.V.)

El movimiento de una partícula es rectilíneo, cuando su trayectoria es una recta. si el movimiento rectilíneo, tiene una aceleración constante o uniforme se dice que el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado.

Es importante tener en cuenta que si la aceleración de una partícula permanece constante, su magnitud y dirección permanecen invariables durante el movimiento.

En el movimiento unidimensional, con aceleración constante, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, en consecuencia la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento.

( ; )r x y r xi yj

( )d

B B AA

r r r

B B AA

V V V

B B AA

a a a

d

V

t

V

d = V . t

Si la velocidad y aceleración

tienen direcciones iguales,

se dice que el movimiento

es " ".acelerado

Si la velocidad y la aceleración

tienen direcciones opuestas, el

m o vim ien to se d e n o m in a

" ".retardado

Movimiento ace lerado Movimiento desacelerado

o retardado

a

V V

a a

V V

a

dVm

t

eVp

t

1 2

A

DT

V V

1 2

E

DT

V V

UNIDAD 6



Movimiento Acelerado:

Movimiento Desacelerado o Retardado:

Ecuaciones cinemáticas para movimiento en una línea recta bajo aceleración constante: Cuando la aceleración es constante la posición xF y la velocidad V en cualquier instante tF=t se

relacionan con la aceleración a, la posición inicial xi y la velocidad

inicial Vi (ambas en ti=0).

Por las ecuaciones:

(sólo con aceleración constante)



(sólo con aceleración constante) Nota: El movimiento es a lo largo del eje x. Otra forma muy conocida de escribir las ecuaciones es (ecuaciones escalares)

Dónde: (+) movimiento acelerado

(-) movimiento retardado

Para utilizar estas ecuaciones, se necesita como mínimo "tres

datos".

CUIDADO * El hecho de que un objeto esté en la posición

correspondiente a x=0 no implica que su velocidad o su aceleración sean cero.

* En determinado instante, la partícula puede tener una

velocidad nula y sin embargo, puede experimentar una

aceleración diferente de cero o igual a cero.

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE (MVCL) CARACTERÍSTICAS La caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión

* Si puede ignorarse el efecto del aire, Galileo está en lo cierto; todos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración, sea cual sea su tamaño o peso.

* Si la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio terrestre, la aceleración es constante.

CAÍDA LIBRE VERTICAL

a = 3 i m/s2

t0

= 0 s t1

= 1 s t2 = 2 s t3

= 3 s

V0

= 15 m/s i V1

= 18 m/s i V2

= 21 m/s i V3

= 24 m/s i

t = 1 s t = 1 s t = 1 s

a = -4 i m/s2

t0

= 0 s t1

= 1 s t2

= 2 s t3

= 3 s

V0

= 28 m/s i V1

= 24 m/s i V2

= 20 m/s i V3

= 16 m/s i

t = 1 s t = 1 s t = 1 s

a

Vi

xi0

origen

ti VFtF

xF

taVV iF

221

iiF tatVxx

t)VV(xx iF21

iF

)xx(a2VV iF2

i2

F

a

Vi Vf

d

a

. . . . . .

1 s 1 s 1 s 1 s

d1°d2° d3° dn°

)1n2(aVd21

on i

Vi

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

tsubir

tbajar

g

o

2

0

2

2 2

0

o

N FÓRMULA

V V a t1ro.

12do. V t a t

21

3er. V t a t2

4 to. V V 2a d

V V

5to. 2

f

f

f

f

d

d

d t



* (tiempo)

* ; ; (velocidad) V1=V7 ; V2=V6 ; V3=V5 (rapidez)

* V4 = 0 (altura máxima)

TIEMPO DE VUELO

ALTURA MÁXIMA

ECUACIONES DE LA CAÍDA LIBRE

ECUACIONES ESCALARES

NÚMEROS DE GALILEO Lo que es notable en el caso de Galileo es que avanzó

mucho más que las observaciones cualitativas o semicuantitativas de sus predecesores, y pudo describir el movimiento de los cuerpos con bastante detalle matemático.

Para un cuerpo que cae desde el reposo, las distancias recorridas durante intervalos iguales de tiempo, se relacionan entre sí de la misma forma que los números impares comenzado por la unidad.

Esta relación es válida para g = 10m/s2.

1. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si la trayectoria es rectilínea, necesariamente la

velocidad es constante. II. Si la velocidad es constante; entonces necesariamente

la trayectoria es rectilínea III. Cuando la rapidez de un móvil es constante

necesariamente experimenta un M.R.U. a) VVV b) VFV c) FVF d) FFF e) FVV

2. A partir del instante mostrado, determine cuántos segundos transcurren hasta que el auto A pase completamente al auto B. Considere que los autos se mueven en vías paralelas realizando un M.R.U.

a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s

3. Sobre las aguas de un río de orillas paralelas se desplaza

una lancha con una rapidez constante. Si en ir de un punto a otro del río tarda 100 s (cuando viaja en la dirección de la corriente) y cuando regresa al punto de partida tarda 200 s. Determine la rapidez de la lancha en aguas tranquilas y la

bajarsubir tt

71 VV 62 VV 71 VV V3 V5

Vi

g

goV2

vuelot

goV

subirt i

i

Vi

V= 0

Hmáxg2

2oV

má xH i

gth h

tVi

Vf

Vf

g

Baja (+ ) Sube (-)

Vi

221

i tgtVh

tgVV if

hg2VV 2i

2f

2fViV

th

)1n2(Vh21

in

V= 0 m/s

V= 10 m/s

V= 20 m/s

V= 30 m/s

V= 40 m/s

V= 50 m/s

5 m = 5(1) m

15 m

25 m = 5(5) m

35 m = 5(7) m

45 m

1 s

1 s

1 s

1 s

1 s

g

= 5(3) m

= 5(9) m

(A) (B)12 m/s 4 m/s

3m 10 m 3 m



distancia entre los dos puntos, si las aguas del río tienen una rapidez de 5 m/s. a) 10 m/s ; 2 000 m b) 15 m/s ; 2 000 m c) 20 m/s ; 2 000 m d) 11 m/s ; 1 600 m e) 15 m/s ; 1 500 m

4. Desde el poste se emite un sonido durante 0,7 s. Determine durante que intervalo de tiempo el atleta que experimenta un M.R.U. escuchará el sonido.

(Vsonido = 340 m/s)

a) 0,17 s b) 0,34s c) 0,68 s d) 1 s e) 1,02 s

5. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, las cuales

tienen una duración de T1 = 4 horas y T2 = 3 horas, emitiendo energía luminosa. Si las velas empiezan a emitir luz al mismo instante, ¿Después de cuánto tiempo el tamaño de una de ellas es el doble de la otra? a) 2 horas b) 2,4 horas c) 3,6 horas d) 4,8 horas e) 0,4 horas

6. Un automóvil parte del reposo y adquiere un MRUV. Si en el primer segundo recorre una distancia “x”. ¿En qué tiempo recorrerá la siguiente distancia “2x”?

(Aproximar: 3 1,73 )

a) 1,73 s b) 1,41 s c) 1,13 s d) 2 s e) 0,73 s

7. Un auto corre en una pista horizontal con una aceleración de 2

m/s2, después de 5 s de pasar por el punto “A” posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar al punto “A”? a) 6 m/s b) 7 m/s c) 8 m/s d) 9 m/s e) 10 m/s

8. Un cuerpo desciende por un plano inclinado. Al pasar por A tiene una rapidez de 6 m/s, y 36 m más abajo logra pasar por

otro punto B. Si la aceleración fue constante y de 4 m/s2, ¿cuántos segundos duró el trayecto de A hacia B? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Durante el 6o segundo de su MRUV una pelota logró avanzar 6 m. Si su rapidez al inicio fue de 28 m/s. ¿Qué desaceleración

constante (en m/s2) mantuvo durante su movimiento? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Para un móvil que parte del reposo y que acelera constantemente. ¿En qué segundo de su movimiento recorrerá el triple del espacio recorrido durante el quinto segundo?

a) 10.mo b) 14.vo c) 8.vo

d) 12.vo e) 20.vo

11. Un observador está sentado a 2 m frente a una ventana de 50 cm de largo, la cual es paralela a una carretera que dista 500 m de ella. El observador puede ver un atleta que pasa por la carretera frente a su ventana durante 25,1 s. Determinar la rapidez constante del atleta. a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 7 m/s

12. Un niño con su patineta, se mueve uniformemente a razón de 5,5 m/s y debe recorrer 44 m en total. Si luego de avanzar rectilí-neamente 14 m, se desvía 53° para continuar en forma rectilínea hasta su meta. ¿Cuál es el valor de su velocidad media para todo el recorrido? a) 8 m/s b) 3 m/s c) 2 m/s d) 11 m/s e) 5 m/s

13. Paralelamente a una pared, se mueven en el mismo sentido, un atleta, con una velocidad de 5 m/s y un auto con faros encendidos, con una velocidad de 20 m/s. Si el atleta dista del auto en 4 m y en 3 m de la pared. ¿Con qué velocidad se moverá la sombra del atleta proyectada en la pared? a) 6,20 m/s b) 6,21 m/s c) 6,22 m/s d) 6,24 m/s e) 6,25 m/s

14. Desde el reposo, cierto gato puede acelerar uniformemente a

razón de 4 m/s2 durante 2 s y a lo más la velocidad adquirida puede mantenerla. En cierta ocasión, estando el gato quieto delante de él pasa un ratón con una rapidez uniforme de 4 m/s. ¿Qué espacio requiere el gato para alcanzar al ratón si el tiempo de reacción del gato es de 1 s? a) 12 m b) 14 m c) 16 m d) 18 m e) 20 m

15. Dos móviles siguen trayectorias rectilíneas que se cortan formando un ángulo de 106°. Si desde la intersección de las trayectorias se desplazan con rapidez constante de 40 m/s y 80 m/s. Hallar la rapidez de un tercer móvil que parte del mismo punto y se desplaza por la bisectriz de este ángulo, para que en todo instante equidiste de los otros dos. a) 80 m/s b) 90 m/s c) 100 m/s d) 120 m/s e) 140 m/s

16. Desde la azotea de un edificio de 80 m una persona suelta una pelota de fútbol con la intención de agarrar dicha pelota, otra persona distante 20 m de la base del edificio, presentando un MRU, se dirige hacia el lugar del impacto. ¿Cuál debe ser la rapidez V para que logre su propósito? Desprecie los efectos

del aire. (g = 10 m/s2) a) 6 m/s b) 8 m/s c) 4 m/s d) 5 m/s e) 10 m/s

17. Desde una altura de 20 m respecto a la superficie de un lago

se suelta un objeto, llegando hasta el fondo del lago en 7 s. Si consideramos que el objeto se mueve del lago, ¿qué

profundidad tiene el lago? (g = 10 m/s2)

a) 100 m b) 80 m c) 60 m

POSTE

10 m/s



d) 120 m e) 75 m

18. Dos cuerpos "P" y "Q" se colocan en la misma vertical tal como

se indica en la figura. El cuerpo "P" se lanza hacia arriba con una velocidad de 60 m/s y en el mismo instante "Q" se deja caer. ¿Desde qué altura "x" se tendrá que dejar caer "Q" para que ambos se encuentren en la máxima altura recorrida por

"P"? (g = 10 m/s2)

a) 450 m b) 360 m c) 620 m d) 210 m e) 870 m

19. Una pelota cae verticalmente al piso y rebota en el. La

velocidad justo antes del choque es V y justo después del

choque es 0,9V . Si la pelota se deja caer desde un metro

de altura, ¿a qué altura llegará después del primer bote? (g =

9,8 m/s2) a) 0,90 m b) 1,00 m c) 0,95 m d) 0,85 m e) 0,81 m

20. Un muchacho desde alimentar un delfin, colocándose un pescado a 3 m por encima del nivel del agua. ¿Qué módulo debe tener la velocidad vertical mínima con que debe empezar a subir el delfín que se encuentra a 4 m por debajo del nivel del agua, si se sabe que el agua le produce una

desaceleración de 10,5 m/s2? (g = 10 m/s2) a) 10 m/s b) 12 m/s c) 14 m/s d) 16 m/s e) 20 m/s

21. ADMISIÓN UNDAC: Un cuerpo lanzado verticalmente hacia

arriba regresa al punto de partida al cabo de 2 segundos. Entonces qué proposición (es) es (son) verdadera (s): (g = 10

m/s2). I. Su velocidad de lanzamiento fue de 10 m/s. II. En el punto más alto de su trayectoria, su velocidad y

aceleración son nulos. III. La altura máxima fue de 10 m.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III

22. ADMISIÓN UNDAC: Una partícula se lanza verticalmente

hacia arriba con una velocidad de 0 40 /V m s . Determina

la altura máxima que alcanza la partícula. (210 /g m s )

a) 35 m b) 60 m c) 75 m d) 80 m e) 90 m

fisica 1 - 6

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