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SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

FASCÍCULO DE APRENDIZAJE

Técnico de Nivel Medio.

RESISTENCIA DE MATERIALES II

DISEÑO DE MÁQUINAS

Código: 89000985

MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO

FAM. OCUPACIONAL : METALMECÁNICA. ESPECIALIDAD : DISEÑO DE MÁQUINAS NIVEL : TÉCNICO MEDIO. Con la finalidad de facilitar el aprendizaje en el desarrollo de la formación y capacitación en la especialidad de DISEÑO DE MÁQUINAS a nivel nacional y dejando la posibilidad de un mejoramiento y actualización permanente, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN de material didáctico escrito referido a RESISTENCIA DE MATERIALES II. Los Directores Zonales y Jefes de Unidades Operativas son los responsables de su difusión y aplicación oportuna. Registro de derecho de autor:

DOCUMENTO APROBADO POR EL GERENTE TÉCNICO DEL SENATI

N° de Páginas…..........82…...........……… Firma..………………………………….….. Lic. Jorge Chávez Escobar Fecha: …………2009-05-22…………….

AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN

1


DISEÑO DE MAQUINAS 2

CONTENIDO:

. OBJETIVO..............................................................................................................3 . INTRODUCCIÓN.................................................................................................. ..3

1.VIGAS: GENERALIDADES........................................................................................4 2.VIGAS SOMETIDAS A DIFERENTES CONDICIONES DE APOYO Y CARGAS . ....................................................................................... ..4 3.FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR..................................................... ..7 4.DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA....................................................... 11 5.VIGAS: NOTAS DESCRIPTIVAS............................................................................ 15 6.DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES. MÉTODO ANALÍTICO...................................................................... 18 7.DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES. MÉTODO SEMIGRÁFICO............................................................... 24 8.MOMENTOS INTRÍNSECOS.................................................................................. 28 9.DIAGRAMAS DE F.C. Y M.F. EN VIGAS EMPOTRADAS...................................... 29 10.CONSIDERACIONES GENERALES DE UNA VIGA PARA SU SELECCIÓN CORRESPONDIENTE............................................................... 31 11.SELECCIÓN DE VIGAS POR RESISTENCIA.......................................................37 12.INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA..................................................... 42 13.DEFORMACIÓN EN VIGAS: MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN. SELECCIÓN POR RIGIDEZ....................................................... 44 14.ECUACIÓN CÚBICA.............................................................................................. 51 15.MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN: VIGAS HIPERESTÁTICAS................ 53 16.VIGAS CONTINUAS HIPERESTÁTICAS : ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS............................................................. 55 17.COLUMNAS. DEFINICIÓN Y ALCANCES............................................................ 63 18.CARGA CRÍTICA................................................................................................... 64 19.FÓRMULA DE EULER........................................................................................... 65 20.APLICACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Y JONSON................................ 66 21.FORMULAS DE RANKINE, LINEAL, AREA, AISC................................................ 66 22.RELACIÓN DE CARGA CRÍTICA PARA COLUMNAS CON DIFERENTES TIPOS DE APOYOS Y LONGITUDES.................................. 68 23.LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER..................................................... 69 24.TABLAS................................................................................................................. 74 25.BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 82



OBJETIVO Proporcionar los conocimientos para que dadas las cargas que actúan sobre vigas y columnas con diferentes tipos de apoyos podamos seleccionarlas, utilizando para ello métodos de cálculo o tablas; basados en la resistencia y rigidez. Así mismo se determinarán las reacciones en vigas con más de dos apoyos resolviendo la hiperestaticidad INTRODUCCIÓN En el presente manual de Resistencia de materiales II, se utilizan los conceptos de estática , álgebra; aplicados en las fórmulas y cálculos correspondientes, también se utiliza el concepto de derivada e integral pero sólo para funciones polinómicas cuya aplicación es muy sencilla. Como en todo diseño, existe necesidad de seleccionar adecuadamente los elementos para lograr seguridad , economía, funcionalidad; y siendo resistencia de materiales II parte del diseño cumple también con este objetivo. Es así que vamos a utilizar fórmulas y tablas cuya finalidad es la selección de vigas y columnas que cumplan con los requisitos del diseño. La publicación técnica que aquí se presenta está dirigida a personas que tengan conocimiento de estática y de resistencia de materiales I, ya que la matemática superior que se necesita se explica en forma muy sencilla en este manual. Tanto en vigas como en columnas, utilizamos los conceptos de esfuerzo normal y esfuerzo cortante aprendidos en el curso anterior pero ahora aplicado a los pórticos estructurales. Actualmente existen software, que utilizados en diseño nos permiten seleccionar las partes estructurales de una edificación, en forma muy rápida, pero cuya seguridad de uso se basa en el conocimiento de los conceptos de resistencia que son la base del diseño; y que deben ser bien manejados por quienes utilizan estos software. Es decir primero es el conocimiento de la teoría y principio del diseño, que sumado con la experiencia de cada diseñador le da el juicio competente, para tomar las decisiones del caso y manejar así los software de la manera más óptima.



1.Vigas: generalidades El problema fundamental de la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones entre las tensiones y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o una estructura. En el estudio realizado de las fuerzas axiales, y de la torsión, no se ha tenido dificultad alguna en la aplicación de las relaciones entre tensiones y deformaciones, ya que en la mayoría de los casos las fuerzas y sus efectos, los esfuerzos internos, o bien eran constantes en el conjunto de la estructura o su distribución entre las partes componentes se conocía perfectamente. Sin embargo, el estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son dos tipos claramente diferenciados, la fuerza cortante y el momento flector, al que con frecuencia se llama simplemente momento. Estos dos efectos producen dos tipos distintos de tensiones en las secciones transversales de la viga:

- una tensión normal, directamente proporcional al momento flector - una tensión cortante que depende de la fuerza cortante.

En esta primera parte se determinará la distribución y calculo de la fuerza cortante y del momento flector en vigas sometidas a distintas combinaciones de cargas en diferentes condiciones de sujeción o apoyo y, concretamente, la determinación de sus valores máximos. 2.VIGAS SOMETIDAS A DISTINTAS COMBINACIONES DE CARGAS EN DIFERENTES CONDICIONES DE SUJECIÓN O APOYO.

a)Viga simplemente apoyada en sus extremos o viga simple .

Tiene una articulación en un extremo y un apoyo móvil sobre rodillos en el otro. Fig. 1

b)Viga en voladizo o ménsula.

Se sujeta en un solo extremo, a través de un empotramiento que impide el giro en dicho extremo.



Fig.2

c)Viga apoyada con voladizos.

Está soportada mediante una articulación y un apoyo de rodillos, pero uno o los dos extremos sobresalen de los soportes; debido a la necesidad de cargas que actúan sobre ellos

Fig.3 Todas estas vigas arriba mencionadas, son estáticamente determinadas ya que sus reacciones pueden determinarse directamente mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio estático. Vigas con otras condiciones de sujeción a) Viga empotrada apoyada.

Está soportada mediante un apoyo de rodillos en un extremo y un empotramiento en el otro.

Fig.4



b) Viga doblemente empotrada. Está soportada por empotramiento en ambos extremos. Fig.5

a)Viga continua.

Es aquella que está soportada sólo por apoyos articulados.

Fig.6 Estas tres últimas vigas que acabamos de describir, tienen más reacciones que las estrictamente necesarias para su sustentación estática a estas se les denomina hiperestáticas o estáticamente indeterminadas. En este caso las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes; y se requieren ecuaciones adicionales. Estas ecuaciones resultan de considerar las deformaciones elásticas de la viga. Tipo de cargas

a)Carga concentrada o puntual.- Actúa sobre una superficie tan pequeña de la viga que puede suponerse que lo hace sobre un punto.



Fig.7 b)Carga repartida.- Actúa sobre una longitud finita de la viga pueden ser:

-Uniformemente distribuida Fig.8

-Uniformemente variable Fig.9

-No uniformemente variable. Fig.10

3.Fuerza cortante y momento flector En la figura 11a se representa una viga simplemente apoyada, en equilibrio bajo la acción de una fuerza concentrada F y de sus reacciones R1 Y R2. Por el momento se desprecia el peso propio de la viga y solamente se tiene en cuenta el efecto de la carga F. Supongamos que se corta la viga por una sección a-a a una distancia x de R1, quedando la viga dividida en dos partes. En el diagrama del sólido aislado de la porción izquierda Fig. 11b, se observa que la fuerza exterior aplicada es R1. Para mantener el equilibrio, en la sección de corte a-a deben aparecer unas fuerzas resistentes, necesarias para satisfacer las condiciones de la estática, fuerzas que representan la acción de la parte derecha suprimida sobre la porción izquierda considerada. En este caso y como la fuerza exterior aplicada es vertical, se satisface directamente la condición 0X , siendo el eje X horizontal .



Para satisfacer la condición ,0Y las fuerzas interiores en la sección a-a deben originar

una fuerza resistente que se oponga a R1. esta fuerza es Vr, de la figura 11b, a la que se puede llamar fuerza resistente cortante. En caso que se considera, Vr es numéricamente igual a R1, pero si hubiese otras fuerzas aplicadas entre R1 y la sección como en las figuras 13 y 14, la resultante no equilibrada de todas ellas (que ha de ser igual y opuesta a la fuerza resistente cortante), se obtendría como suma de sus componentes verticales. Esta resultante no equilibrada de las fuerzas exteriores es la que se define como fuerza cortante en una sección y se representa por V, siendo su valor la suma de las componentes verticales de las fuerzas exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección. Sin embargo es mas sencillo sumar las fuerzas que actúan en la porción de viga a la izquierda de la sección. Esta definición y determinación del valor de la fuerza cortante, o fuerza de corte vertical, conduce a la expresión analítica

IZQYV )( (1)

en donde el subíndice izq. Pone de manifiesto que en la suma de las componentes verticales solo se consideran las fuerzas o cargas que actúan en la porción de viga a la izquierda de la sección en estudio. La fuerza resistente cortante Vr, producida en cualquier sección por las tensiones interiores, es siempre igual y opuesta a la fuerza cortante V. Al calcular V, las fuerzas que actúan hacia arriba se consideran positivas. De acuerdo con este convenio de signos, en la figura 12 se observa el efecto de una fuerza cortante positiva que tiende a hacer resbalar hacia arriba la porción izquierda de la viga respecto de la porción derecha, y viceversa cuando es negativa. Fig.12 Fuerza constante Fuerza constante Positiva negativa



Para completar el equilibrio en el diagrama del sólido aislado de la figura 11. b, la suma de momentos también debe ser nula. En este caso, R1 y Vr son iguales y de sentido contrario, por lo que producen un par M igual a R1 . x que se llama momento flector, porque tiende a curvar o flexar la barra. Las tensiones interiores en la sección a-a deben originar un par resistente igual y opuesto que, actuando como se indica en la fig. 11 b, restablezca el equilibrio de momentos. En la mayoría de los casos, el diagrama del sólido aislado tiene varias fuerzas exteriores aplicadas, como se observa en la figura 13, por lo que es necesario una definición más completa del momento flector y su determinación. Definición de Momento flector.- El momento flector es la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan en la porción de viga a la izquierda o a la derecha de una sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y que pasa por el centro de gravedad de la sección considerada. Analíticamente viene dado por :

DERIZQ MMM )()(

en donde el subíndice izq. Pone de manifiesto que el momento se evalúa con las fuerzas de la izquierda y el subíndice der. que se refiere a las fuerzas de la derecha. Signo del momento flector. El criterio mas extendido es que el momento flector es positivo si la flexión que produce en la viga presenta la concavidad hacia arriba, como se observa en la figura 15. Un criterio equivalente es que las fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección producen momentos flectores positivos y las fuerzas que actúan hacia abajo dan lugar a momentos flectores negativos. Considerando la porción izquierda de la viga figura 11b, este convenio equivale a que los momentos de sentido horario sean positivos, como el producido por R1, pero considerando la porción derecha, como en la figura 11c, el convenio indica que el momento de la reacción R2 es positivo, en sentido antihorario. Fig.15



Este criterio tiene la ventaja de que permite calcular el momento flector sin posibilidad de confusión de signos, en función de las fuerzas a la izquierda, o a la derecha, de la sección, según donde sea más cómodo o fácil el calculo, por haber menos fuerzas, o por ser estas más sencillas, por ejemplo. No se necesita pensar si el momento es a derechas o a izquierdas, y sólo recordar que las fuerzas positivas, hacia arriba, producen momento flector positivo, ya actúen a la izquierda o a la derecha de la sección. Se pueden resumir las definiciones de fuerza cortante y momento flector en las expresiones analíticas :

.)( IZQYV (1)

.. )()( DERIZQ MMM (2)

en donde los signos son positivos cuando las fuerzas tienen sentido hacia arriba y negativos en caso contrario. Recordemos que los subíndices izq. Y der. Se refieren a la porción de la viga a la izquierda o a la derecha de la sección de exploración. En resumen las fuerzas cortantes y los momentos que estas originen sobre la viga serán considerados como positivos o negativos, según sea el estado de corte o flexión al que se le halla asignado como positivo o negativo respectivamente. Es decir si una fuerza produce un estado de corte positivo, ésta será considerada como positiva, independientemente de su sentido. Lo mismo sucederá con el momento flector, que será asignado como positivo cuando flexe a la viga con concavidad hacia arriba independientemente de su sentido de giro. Los signos de las fuerzas cortantes y los momentos flectores que acabamos de resumir se pueden expresar mediante una simbología gráfica muy didáctica como la siguiente: Fig. 16 esta simbología es aplicada para obtener a todo lo largo de la viga los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, y poder así determinar sus valores máximos que nos permitan más adelante seleccionar una viga por resistencia. Las fuerzas originan a lo largo de una viga, diferentes valores de fuerzas cortantes y momentos flectores que se expresan mediante funciones graficables en los ejes X e Y ; esto exige conocer los valores máximos de ambos parámetros, para verificar si la viga seleccionada no fallará ante las cargas actuantes. Por tal motivo y como las gráficas que se obtienen, pueden ser funciones de líneas: rectas, parábolas, cúbicas es necesario conocer un concepto matemático denominado la derivada de una función que ayuda a determinar los valores máximos de las fuerzas cortantes y momentos flectores. La aplicación de la derivada que vamos a utilizar, en función a las cargas que vamos a evaluar; originan a lo largo de la viga funciones poli-nómicas cuya derivada es sumamente sencilla; y los cálculos se reducen a utilizar el álgebra que aprendimos en el colegio.



4. Derivada de una función polinómica Dada una función se dice que su derivada, en un punto de esta función viene a ser la tangente trigonométrica de la tangente geométrica en ese punto. A la función la vamos a representar por )(xf , y cualquier punto de la función está representado por los pares

ordenados (x, y) , donde x representa el dominio de la función y se le conoce como las abscisas, y las ordenadas el rango de la función y están representados por “y”. La relación que existe entre la función y su derivada es la misma relación que existe entre la fuerza cortante y el diagrama de cargas, y es la misma relación existe entre el diagrama de momento flector y el diagrama de fuerza cortante. Esquematizando esta función tendremos: Fig. 17

tg derivada de f(x) en el punto (x, y)

Si trazamos las tangentes geométricas en el punto A y B de la función f(x); siendo estos puntos el más alto y el mas bajo de la función f(x) ,observamos que dichas tangentes son horizontales y el ángulo es en este caso igual a cero, por lo tanto la tangente

trigonométrica también es igual a cero, consecuentemente la derivada en los puntos A y B es igual acero. Puntos críticos .- Los puntos A y B se conocen como puntos críticos y las abscisas de estos puntos críticos se encuentran igualando a cero la derivada de la función f(x); una vez obtenida estas abscisas, se reemplazan en la función f(x) para determinar las ordenadas de los puntos A y B. Para determinar la concavidad de la curva en estos puntos se emplea el criterio de la primera o segunda derivada. Punto de inflexión.- Es aquel punto donde la función cambia de concavidad, su abscisa se obtiene igualando a cero la segunda derivada de la función f(x); una vez obtenida esta abscisa se reemplaza en la función f(x) para determinar la ordenada del punto de



inflexión. Ubicados estos puntos y evaluada la concavidad podemos ahora esquematizar la función f(x) en el plano x-y Ejemplo Graficar la función: f(x) = 3 X 1. Ubicación de las abscisas de los puntos críticos. Determinamos la derivada de f(x) en forma práctica:

f (x) = derivada de f(x) = 0152633 111213 XxXxXx 5129)( 2 XXxf

la igualamos a cero:

05129 2 XX empleando el método del aspa obtenemos:

3

1,

3

521 XX

determinamos las ordenadas de los puntos críticos

1,92)3/5(5)3/5(6)3/5(3)3/5( 23xf

8,22)3/1(5)3/1(6)3/1(3)3/1( 23xf

2. Concavidad de la función en los puntos críticos

Hay dos formas : Criterio de la primera derivada .- para ello se toman dos valores muy cercanos a las abscisas uno menor y otro mayor a –1/3 y a 5/3 , por ejemplo si tomamos –1/3 podemos tomar –0,4 y –0,2; estos valores arbitrarios se evalúan en la derivada de la función :

24,25)2,0(12)2,0(9)2.0(

24,15)4,0(12)4,0(9)4,0(

2

2

xf

xf

Fig. 18



Observamos que en X = -0,4 la función tiene derivada positiva es decir 90; en cambio en

X = -0,2 la función tiene derivada negativa es decir 090 de todo esto se deduce que en X

= -1/3 la función es cóncava hacia abajo y estamos frente a un punto máximo. Para el caso de 5/3 tomamos los valores arbitrarios de1,5 y 1,7 y los reemplazamos en la derivada de la función para evaluar su concavidad correspondiente:

61,05)7,1(12)7,1(9)7,1(

75,25)5,1(12)5,1(9)5,1(

2

2

xf

xf

Fig. 19

Observamos que en X = 1,5 la función tiene derivada negativa, es decir 90; en cambio en

X = 1,7 la función tiene derivada positiva es decir 90; de esto se deduce que en X =5/3 la función es cóncava hacia arriba y estamos frente a un punto mínimo. Con el análisis anterior vamos determinando la forma esquemática de la función. La otra forma para determinar también la concavidad de la función en los puntos críticos es utilizar el criterio de la segunda derivada; así tenemos :

)(1218)(

011229)(

)(5129)(

0152633)(

2563)(

1112

2

111213

23

DERIVADASEGUNDAXxf

XxXxxf

DERIVADAPRIMERAXXxf

XxXxXxxf

XXXxf

En la segunda derivada se reemplaza las abscisas de los puntos críticos :

01812)3/1(18)3/1(xf en X =-1/3 la función es cóncava hacia abajo y por lo

tanto estamos frente a un punto máximo

01812)3/5(18)3/5(xf en X =5/3 la función es cóncava hacia arriba y por lo

tanto estamos frente a un punto mínimo Determinación del punto de inflexión .



Para determinar la abscisa del punto de inflexión la segunda derivada se iguala a cero :

01218)( Xxf de esta ecuación se obtiene X = 2/3;por lo tanto en X =2/3 la curva

cambia de concavidad . Para determinar la ordenada del punto de inflexión se reemplaza la abscisa encontrada en la función dada :

1,32)3/2(5)3/2(6)3/2(3)3/2( 23xf

ahora ya podemos esquematizar la gráfica de la función : 2563)( 23 XXXxf

Fig.20

Así como hemos graficado la función cúbica : 2563)( 23 XXXxf también podemos

graficar su derivada :

5129)( 2 XXxf , que representa una función cuadrática conocida como parábola.

Siguiendo el mismo procedimiento y haciendo : f (x) = g(x) tendremos:

g(x) = 9X 2 -12X-5 1. Ubicamos la abscisa de su punto crítico para ello determinamos su primera derivada:

g (x)= 18X-12 y la igualamos a cero: 18X-12 = 0 de aquí obtenemos X = 2/3 ; esto significa que en este punto la parábola tiene su punto crítico ; y su ordenada es:

95)3/2(12)3/2(9)3/2(2

xg

2. Para determinar su concavidad: utilizamos el criterio de la segunda derivada: 018)(xg como la segunda derivada es mayor que cero entonces en X = 2/3 la curva es

cóncava hacia arriba. Observamos que ahí donde la parábola tiene ordenada cero, la cúbica tiene en esas mismas abscisas, las ordenadas correspondientes a sus puntos críticos.



Y ahí donde la parábola tiene su punto crítico la cúbica tiene en esa misma abscisa la ordenada correspondiente a su punto de inflexión.

Así como hemos graficado la función cuadrática (parábola) 5129)()( 2 XXxgxf

también podemos graficar su derivada:

1218)()( Xxfxg que representa la función lineal conocida como la recta. Siguiendo

el mismo procedimiento para realizar su gráfica correspondiente, llamaremos 18)(1218)()( xHXxfxH que es una derivada positiva y su grafica será :

Fig. 21

Pendiente =18= tg Fig.22 5.Vigas: notas descriptivas Las fuerzas actuantes sobre una viga originan en ésta; “momentos flectores” y “fuerzas cortantes”; que son funciones que se grafican en los ejes X-Y.; además se establece una analogía entre ambas funciones: Función Momento Flector es a Función Fuerza Cortante



Como: Función Cúbica es a Función Parábola. Ó : Función Momento Flector es a Función Fuerza Cortante Como: Función Parábola es a Función recta. Según estas analogías observamos que la función fuerza cortante, es la derivada de la función momento flector. Para seleccionar una viga por resistencia, es necesario conocer el momento flector máximo, que estará representado siempre por una función; que tendrá que derivarse e igualar a cero dicha derivada para localizar los puntos donde esta función presentará el momento flector máximo; que viene a ser el más peligroso cuando la sección de la viga es constante a lo largo de su luz. Observando la figura 22, que representa la gráfica de una función cúbica junto con su primera y segunda derivada; que vienen a ser la parábola y la recta respectivamente; trazaremos una vertical que corte a la recta en el punto 1 y a la parábola en el punto 2, y tendremos que la ordenada en el punto 1 de la recta será igual al valor de la derivada en el punto 2 de la parábola. La misma relación se puede establecer entre la ordenada de la parábola y la derivada de la cúbica para una misma vertical que corte a ambas funciones en los puntos correspondientes. Consecuentemente esta relación también se cumple entre las funciones fuerza cortante y momento flector; cuya aplicación se utiliza en el método semigráfico. Aquí observamos que la física se vale de la matemática para poder expresar el comportamiento de los cuerpos ante las diferentes formas de acción de las fuerzas sobre ellos; por ejemplo la flexión que como en todo diseño origina que el cuerpo responda ante la resistencia y rigidez para la selección correspondiente. Veremos más adelante, que para seleccionar una viga por rigidez nos planteamos el método de la doble integración, basado en la deformación geométrica de la elástica de la viga. De la misma manera el método semigráfico se basa en la aplicación de la función y su derivada, para dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Las diferentes formas geométricas que presentan las vigas y columnas, y que vienen tabuladas; nacen de un análisis teórico, basado por ejemplo en que parte de la viga debido a la aplicación de las cargas; soportará los mayores esfuerzos, considerando la periferia o el núcleo y según esto se puede retirar aquella parte que soporta los menores esfuerzos para quedarnos con una geometría que responda con seguridad ante las cargas aplicadas sobre los pórticos u otros. El diseño de vigas se basa como todo diseño en la economía y seguridad de sus partes; la funcionalidad para las características del medio y la definición de lo óptimo para cada caso. Todo lo anterior demanda de conocimientos como la física, la estadística, proyectos, entre otros que se resume como la memoria descriptiva y que da las pautas para otros trabajos relacionados en las que interviene el diseño estructural y sus correspondientes. El conocimiento del diseño de vigas demanda tener presente las siguientes consideraciones:



Las secciones de la viga en las que varían las condiciones de carga se denominan puntos de cambio o puntos de discontinuidad. Fig.23 El análisis entre estas secciones es importante para observar como varían las fuerzas cortantes y los momentos flectores en cada sección de la viga. Por lo tanto el análisis de fuerzas cortantes y momentos flectores siempre se tienen que realizar entre sección y sección. La derivada de la función momento flector nos da la ley correspondiente de la función fuerza cortante. Esto se cumple cuando en la viga se ingresa por la izquierda para realizar los diagramas correspondientes; sin embargo al ingresar por la derecha, los signos de la función fuerza cortante que se obtienen al derivar la función momento flector son invertidos; debido a la definición de los ejes positivos para las abscisas en el lado derecho de la viga. Como el momento flector y la fuerza cortante, son como función y derivada; entonces ahí donde la fuerza cortante es cero aparecerá un momento flector máximo, cuyo valor se utilizará para seleccionar la viga por resistencia. Debido a que el momento flector y la fuerza cortante son como función y derivada; el grado de la función que describe la curva del momento flector es siempre uno más que el grado de la curva de la función que representa a la fuerza cortante. Dependiendo del tipo de cargas que actúan sobre una viga, la función momento flector y la función fuerza cortante pueden ser una función recta, una función parabólica, una función cúbica u otra. Como resultado del análisis realizado en las vigas, para determinar los valores de los momentos flectores, los valores de las fuerzas cortantes y la flecha a todo lo largo de la viga se grafican las siguientes funciones:

- Diagrama de cargas - Diagrama de fuerzas cortantes - Diagrama de momentos flectores - Curva elástica.



El punto donde la curva elástica cambia de concavidad es el punto donde el momento flector se hace cero. Desde este punto de vista el momento flector viene a ser la segunda derivada de la curva elástica, quedando como la primera derivada de la elástica la ecuación de la pendiente. El momento flector máximo será siempre el más peligroso, cuando la sección de la viga es constante. En el caso de árboles con secciones transversales diferentes el momento flector máximo puede no ser el más peligroso. Los estados considerados como positivos y negativos en corte y flexión son los que determinaran los signos positivos y negativos de las fuerzas cortantes y momentos flectores. Es decir si una fuerza cortante produce un estado positivo de corte esta será positiva; lo mismo sucede para el caso del momento flector . No debemos confundir momento flector con momento estático en un mismo punto de una viga; ya que pudiendo ser el momento estático cero en ese punto el momento flector sin embargo puede ser diferente de cero. El momento estático significa que toda la viga no gira alrededor de ese punto; sin embargo se puede deformar esa parte de la viga originando un giro de una sección con respecto a otra; esto último define al momento flector. Fig.24 Estos parámetros definidos en este esquema sirven para demostrar las fórmulas por resistencia y rigidez, que utilizaremos en la selección de perfiles. Y recuerden una viga no basta que no se rompa; sino mas bien no debe deformarse mas de. 6.Diagramas de Fuerzas cortantes y Momentos flectores Método Analítico. – Se evalúa sección por sección, considerando los intervalos definidos por la variable x, y determinando las funciones de la fuerza cortante y del momento flector para ser graficadas reemplazando los valores de x en ese intervalo.



1. Carga Puntual Fig. 25

Si en la sección 2-2 se hubiese ingresado por la derecha tendríamos: Sección 2-2 (derecha)

.58,10282

0029,514

.29,514

20

KgmMsiX

MsiXXM

KgF

MX

En el método analítico para determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores se puede ingresar por la derecha o por la izquierda de la viga considerando la ley de signos correspondientes para los estados de corte y flexión. El orden a seguir en los cálculos es.

1. calculo de las reacciones. 2. establecer la ley de signos 3. ingresar sección por sección 4. evaluar cada sección entre sus dos puntos de discontinuidad 5. evaluar las fuerzas cortantes y los momentos flectores en cada sección.

Calculo de las reacciones:

0AM

1200 (1,5) -R B (3,5) = 0

fKgRB 29,514

fKgRA 71,685

Sección 1-1 : (izq)

.56,10285,1

0071,685

71,685

5,10

KgmMsiX

MsiXXM

KgfF

X

Sección 2-2 : (izq)

05,3

.56,10285,1

)5,1(120071,685

.29,514120071,685

5,35,1

MsiX

KgmMsiX

XXM

fKgF

X



6.Graficar sección por sección los diagramas de fuerza cortante y momentos flectores.

Una vez establecidos estos diagramas; nos permiten determinar en forma continua y a todo lo largo de la viga los diferentes valores de fuerza cortante y momento flector. 2.Carga uniformemente distribuida Fig. 26

Para conocer su concavidad se emplea El criterio de la segunda derivada:

3002

2

dX

Md como la segunda derivada

es negativa entonces la función es cóncava hacia abajo y hay un Máximo se puede emplear también el criterio de la primera derivada. Sección 3-3 (izq)

96 X


.2,16006.

.4,1333

2.)2(1507,666

2

)2()2(3007,666

.3,5336.

7,666

2.)2(3007,666

62

).(22:

.4,13332

007,666

7,666

20

)(11:

7,666

3,5330)4)(4(300)9(

0

2

KgmMXsi

KgmM

XsiXX

XXXM

KgFXsi

KgfF

XsiXF

X

izqSección

KgmMsiX

MsiXXM

KgfF

X

izqSección

KgfR

KgfRR

M

A

BB

A

como en la sección 2 el D.F.C. biseca al eje X, en esa misma vertical en el D.M.F. se encuentra un momento flector máximo. Evaluaremos su punto crítico y su concavidad:

.2,2074

)222,4(150)22,4(7,666

.22,40)2(3007,666

2

KgmM

M

mXXdX

dM

MAX

MAX



.09.

.2,16006.)4)(4(3007,666

3,533)4(3007,666

MXsi

KgmMXsiXXM

KgfXF

3. Carga uniformemente variable Fig. 27

Igualando a cero la función fuerza cor- Tante:

95,24-100(X-4) 2 =0 resolviendo esta ecuación se obtiene para X=4,98m.

3

. )498,4(3

100)98,4(24,95MAXM

M MAX =442,92 Kgm.

Aplicando el criterio de la segunda derivada se obtiene que la curva es cóncava hacia abajo; originando un momento flector máximo.


2

)4.(24,95

64

).(22:

.96,3804.

00.24,95

24,95

40

).(11:

76,304

24,95

0)3/5(400)7(

0)123

1.(

2

2400)7(

0

XF

X

izqSección

KgmMXsi

MXsiXM

KgfF

X

izqSección

KgfR

KgfR

R

xx

R

M

B

A

A

A

B

para relacionar con X , aplicamos

semejanza de triángulos:

)4(2002

)4(X

X

X

.77,3046.

.96,380

4.)4(3

10024,95

32

)4.(1).4(24,95

.76,3046.

.24,95

4.2

)4(20024,95

3

2

KgmMXsi

KgmM

XsiXXM

x

XXXM

KgfFXsi

KgfF

XsiX

F



4.Fuerzas combinadas Fig. 28


).(11:

5,212

5,132

0)25,3)(5,1(60)3()2(90)5,13

2(

2

)5,1(60)1(120

0

izqSección

KgfR

KgfR

Rx

M

A

B

B

A



10 X

..1201.

00.120

120

KgmMXsi

MXsiXM

KgfF

)(66:

.

0.605,13260)1(5,13230

.25,15,1.

.301.)1(5,1322

.60

.5,425,1.

.5,721.5,13260

5,11

)(55:

.202.

25,15,1.)1(5,132)5,0)(5,160(

.5,425,1325,160

25,1

)(44:

.200,3.

.75,35,2.

)1(5,212)2(45120)1(5,212))5,13

21((45120

5,47455,212120

)(0,35,2

)(33:

.0)1(40

.75,35,2.

.1201.)1(3

20)1(5,212120

.5,475,2.

5,921.)1(205,92)1(40

5,1

60

1

2

)1(5,212120

5,21

).(22:

2

3

2

derechaSección

ABAJO

HACIACÓCAVAMXMXXM

KgmMXsi

KgmMXsiXX

XM

KgfFXsi

KgfFXsiXF

X

derechaSección

KgmMXsi

MXsiXXxM

KgfxF

X

derechaSección

KgmMXsi

KgmMXsi

XXXXxXXM

F

IZQX

izqSección

ABAJOHACIACÓNCAVAXY

KgmMXsi

KgmMXsiXXXM

KgfFXsi

KgfFXsiXFXq

X

q

XqF

X

izqSección

10 X



.301.

00.302

60

.601.

00.60

22

KgmMXsi

MXsiXX

M

KgfFXsi

FXsiXF

El método analítico se resume: -Se calculan las reacciones -se coloca a un costado de la viga el estado positivo de fuerzas cortantes y momentos flectores, en un recuadro que considera el ingreso por la izquierda o por la derecha de la viga. -Determinar entre puntos de discontinuidad sección por sección el valor de la fuerza cortante y momento flector. -Graficar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, en cada punto de la viga a través de las funciones obtenidas. -El valor de la variable X varía siempre desde el inicio de la viga hasta la sección que se analiza, ya que los momentos flectores y las fuerzas cortantes dependen de todas las fuerzas y momentos existentes desde el inicio de la viga hasta la sección analizada, entrando tanto por la derecha como por la izquierda. Las cargas triangulares (triángulos rectángulos) de preferencia deben ser evaluadas, ingresando por el ángulo agudo del triángulo; de lo contrario el calculo se vuelve más tedioso; también se puede en este caso hacer un artificio considerando una carga rectangular y otra triangular cuya resultante de estas últimas den por resultado el triángulo inicial considerado. El otro artificio que se puede hacer en estos casos es mirar la viga por la parte de atrás, lo que equivale a voltearla en el papel de trabajo. 7. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Método Semigráfico Este método se basa en la función y su derivada; como la derivada de una función, viene a ser la tangente trigonométrica de la tangente geométrica en un punto de la función; entonces se cumple que: La ordenada en el D.C. viene a ser igual a la derivada en el D.F.C. entre los mismos puntos de discontinuidad. De la misma forma podemos decir que: La ordenada del D.F.C. viene a ser igual a la derivada del D.M.F. entre los mismos puntos de discontinuidad. Lo que hace aún más práctico este método es que: Como la tangente trigonométrica se define, como el cociente de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente; y como en los diagramas conocemos el cateto adyacente y el valor de la ordenada, que viene a ser la tangente trigonométrica; nos falta conocer sólo el valor del cateto opuesto. Formada la relación despejamos la variable que representa el cateto opuesto y en el otro miembro nos queda el producto de la base del triángulo por la tangente trigonométrica este producto equivale al área del D.C. en el caso que estemos trabajando DC. Con D.F.C. o equivale al área del D.F.C. en el caso que estemos trabajando D.F.C. con D.M.F. En resumen éste método se define como la suma de las áreas de los diagramas de cargas, o la suma de áreas de los diagramas de fuerzas cortantes según sea el caso.



Los diagramas de cargas que vamos a utilizar se restringen a rectángulos o triángulos, lo que hace que éste método semigráfico sea mas sencillo de aplicar; ya que las áreas de estas figuras geométricas son conocidas. De no ser áreas conocidas se realizan algunos cálculos que nos permiten aplicar en forma sencilla este método. Consideremos las mismas aplicaciones que hemos realizado en el método analítico pero ahora le aplicaremos el método semigráfico; esto con la finalidad de comparar ambos métodos. CARGA PUNTUAL. Fig.29

Se calculan las reacciones.

.29,514

.71,685

KgfR

KgfR

B

A

Se empieza el diagrama de fuerzas cortantes, ingresando preferiblemente por la izquierda, con el valor de la reacción en A de 685,71Kgf . observamos que entre el apoyo A y la fuerza de 1200 Kgf; la viga no presenta cargas, es decir la ordenada de cargas es cero. Si la ordenada de cargas es cero entonces la derivada de la fuerza cortante en ese mismo tramo también es cero. la única línea que tiene derivada cero es la horizontal; por lo tanto en el D.F.C. a partir de 685,71 trazamos una línea horizontal. Para trazar el D.M.F. decimos si la ordenada en el D.F.C. es constante y positiva, entonces la derivada del momento flector en ese mismo tramo también es constante y positiva. La única línea que tiene derivada constante es la recta y si es positiva su inclinación es menor de 90 grados. De la misma forma se analiza el otro tramo : .



Si entre la fuerza de 1200Kgf. y el apoyo B la ordenada de cargas es cero, entonces en ese mismo tramo la derivada del D.F.C. también es cero. La única línea que tiene derivada cero es la recta horizontal. Como la fuerza de 1200 Kgf. es puntual y negativa, su valor se resta de 685,71 Kgf. lo que nos da -514,29 Kgf. y a partir de este valor se traza la horizontal correspondiente en el D.F.C. Observamos que este valor debe coincidir con el valor de la reacción en B. Para trazar el D.M.F. decimos si la ordenada en el D.F.C. es constante y negativa, entonces la derivada del momento flector en ese mismo tramo también es constante y negativa la única línea que tiene derivada constante es la recta, y si es negativa su ángulo es mayor de 90 grados. Observamos también que al valor del momento flector máximo 1028,58 kg.m le restamos el área del rectángulo obtenido en el diagrama de fuerzas cortantes cuyo valor es 1028,58 lo que origina que el resultado del momento flector en el apoyo articulado B de cero. De esta manera hemos concluido la aplicación de este método semigráfico cuando estamos frente a cargas puntuales. CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA. Fig.30

Calculo de las reacciones: Ra=666,7 kgf Rb= 533,3 kgf Se empieza de preferencia por la izquierda, empezando con la fuerza de 666,7 kgf; observamos que en el diagrama de cargas desde el apoyo A hasta el inicio de la carga distribuida, la ordenada de cargas es cero; lo que implica que en el diagrama de fuerzas cortantes para ese mismo tramo la derivada sea cero ; y como ya hemos visto la única línea que tiene derivada cero es la recta horizontal. A continuación tenemos una carga distribuida uniformemente, es decir la ordenada de cargas es constante y en este caso negativa; lo que implica que la derivada del diagrama de fuerzas cortantes en ese tramo es constante y negativa . En el diagrama de fuerzas cortantes al valor de 666,7 kgf. le restamos el área de 4x300 lo que da por resultado -533,3 kgf.



El punto donde el diagrama de fuerzas cortantes biseca al eje X se ubica restándole a 666,7-300X = 0, de esta ecuación se obtiene el valor de X = 2,22m. Para graficar el diagrama de momento flector en este tramo, se tiene que en un primer momento las ordenadas de las fuerzas cortantes son cada vez menos positivas hasta hacerse cero de ahí las ordenadas del diagrama de fuerzas cortantes son cada vez mas negativas; esto implica que el diagrama de momentos flectores tienen derivada en un primer momento cada vez menos positivas hasta alcanzar su punto máximo y de ahí las derivadas del diagrama de momentos flectores son cada vez mas negativas. Para obtener el punto máximo del momento flector a 1333,4 se le suma el área del triángulo (2,22x 666,7)/2 lo que nos da el momento flector máximo de 2074,2 kgf.m a este valor se le resta el área del triángulo (533,3x 1,78)/2 lo que resulta 1600,2 kgf.m. finalmente en el último tramo la ordenada del diagrama de fuerza cortante es constante y negativa por lo tanto la derivada del momento flector en el último tramo es también constante y negativa hasta hacerse cero en el extremo articulado B. CARGA UNIFORMEMENTE VARIABLE Fig.31

Casos que se presentan en los gráficos en la relación ordenada-derivada.

Se calculan las reacciones y luego se empieza a graficar de acuerdo al método semigrafico que se viene explicando la carga triangular presenta ordenadas cada vez mas negativas, lo que implica que el diagrama de fuerzas cortantes debe tener derivadas cada vez más negativas. Observamos también que el diagrama de momentos flectores presenta también en este tramo su momento flector máximo que se obtiene calculando el momento flector en ese punto. Esto se hace debido a que no podemos sumar el área del diagrama de fuerzas cortantes ya que no es figura geométrica conocida. Analíticamente se puede determinar el área por integración pero no es el caso de este método. Observamos que el método semigráfico cambia la palabra ordenada por derivada en su variación correspondiente.



Ordenada cada vez menos negativa Fig.32 Equivale a derivada cada Vez menos Negativa: Por ejemplo tg138= -0,9 Tg172=-0,1 Ordenada cada vez menos positiva Fig.33 Equivale a derivada cada vez menos Positiva: Por ejemplo tg70=2,7 Tg24=0,4 Ordenada cada vez mas positiva Fig34 Equivale a derivada cada vez mas positiva : Por ejemplo tg30=0,5 Tg80=5,7 Ordenada cada vez mas negativa Fig.35 Equivale a derivada cada vez mas Negativa: Por ejemplo tg170= -0,17 Tg120= -1,7 8.Momentos intrínsecos Una viga puede estar sometida a momentos puntuales debido por ejemplo, a ejes soldados a la viga que sirven como elementos intermediarios de transmisión compuesta para accionar en una parte alta digamos un ventilador . O pueden estar soldados a la viga palancas angulares en cuyos extremos sostienen alguna fuerza. En ambos casos estos torsores que actúan en los ejes soldados , se transmiten como un momento flector puntual en la viga. El cálculo de las reacciones en estos casos se determina también aplicando las condiciones de equilibrio , pero haciendo las consideraciones de cómo se toman estos momentos intrínsecos en ambas condiciones de equilibrio, ya sea tomando para el caso de momentos la reacción en A o la reacción en B. Grafica de momentos intrínsecos.



Fig. 36 9.Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores en vigas empotradas Las vigas empotradas son aquellas mantenidas en uno o ambos extremos de tal manera que la tangente a la curva elástica conserve su dirección fija. Se diseñan en un extremo empotradas con rodillos para permitirles el libre movimiento horizontal. Los dos casos mas comunes de vigas empotradas es con empotramiento en ambos lados; o empotradas en un lado y articuladas en el otro. Una viga empotrada es más rígida que una viga simple del mismo material, a causa de la modificación del momento por un momento resistente en el extremo. En las vigas empotradas o en voladizo, no es preciso determinar previamente las reacciones como en los otros casos de vigas con apoyos articulados. En estos casos es recomendable para facilitar mejor el calculo, que el empotramiento se ubique hacia la derecha. Observamos que en una viga empotrada en cantilever ; es en el empotramiento donde se tiene el momento flector máximo, sin embargo es ahí donde la flecha se hace cero, y más bien en el extremo voladizo se tiene la flecha máxima sin embargo aquí el momento flector es cero; la relación que existe entre la función momento flector y la función ordenada de la flecha es como la función y su segunda derivada. También se puede observar que es en el empotramiento donde la fuerza cortante y el momento flector adquieren su valor máximo, aparentemente en contradicción con el hecho de que ahí donde la fuerza cortante es igual a cero aparece el momento flector máximo.



Aplicación Determinar las leyes de fuerza cortante y momento flector en la ménsula de la figura, que soporta una carga uniformemente variable (triangular) y otra concentrada, como se indica. Trazar los diagramas correspondientes. Fig. 37

Empezando el calculo por la izquierda, se determinan las expresiones de la fuerza cortante y momento flector en cada tramo entre dos puntos de cambio o puntos de discontinuidad. En AB en donde X varía de 0 a 6m, se tiene:

25XF

32

3

5)

3(5 XX

XM

Pasado B, la resultante de la carga triangular, igual a su área, es constante y tiene un valor de : (1/2) 60 x 6 = 180 kgf. que actúa en el centro de gravedad del diagrama triangular de carga, a 4m. De A. Por tanto, para BC, en donde X varía de 6 a 8 se tiene:

720180)4(180

180

XXM

Fp

ara una sección entre C y D en la que X varía entre 8 y 10, resulta:

.1480)2(200)6(180

2320380

)8(200)4(180

380200180

kfmM

X

XXM

F

obsérvese cómo los valores máximos de F y M tienen lugar en el empotramiento.



10.Consideraciones generales de una viga para su selección correspondiente. Los estudios realizados sobre una viga se basan en considerarla como geométricamente prismática, que tiene una longitud igual a por lo menos 10 veces su altura, y que las fuerzas externas son todas normales al eje de la viga y contenidas en un plano de simetría, y finalmente que la flexión es pequeña. Otras suposiciones son: Que cada una de las capas de que se considera formado el material, tienen libertad para alargarse y contraerse longitudinalmente y lateralmente por la acción del esfuerzo como si tuviera separada de las demás capas. Que la sección transversal sigue siendo una superficie plana después de deformada la viga. La suposición de las secciones transversales planas sólo es estrictamente cierta, cuando el esfuerzo cortante es constante o nulo en la sección transversal, y cuando el esfuerzo cortante es constante en toda la longitud de la viga. Para obtener la relación entre momento flector, esfuerzo normal y momento axial resistente se hacen las siguientes hipótesis: -Las secciones planas perpendiculares al eje de la pieza, permanecen planas y perpendiculares al eje de la pieza después de la flexión. -Las tensiones son inferiores al límite de proporcionalidad, y el material es homogéneo; por lo que se cumple la ley de Hooke. -Las deformaciones son pequeñas respecto a las dimensiones del cuerpo. -Los módulos de elasticidad a la tracción y compresión son iguales. -La viga es inicialmente recta y de sección constante. -El eje de la pieza debe ser recto, no curvado como por ejemplo el gancho de una grúa. -Las cargas P se encuentran en un plano que pasa por el eje de la barra, cuyo plano es el mismo en que actúa el momento de flexión. -El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella.

(estas condiciones sólo cumplen los hierros y los aceros). Bajo las consideraciones descritas en los párrafos anteriores se deduce la fórmula siguiente:



W

M donde M= Momento flector máximo

W= Momento axial resistente. = Esfuerzo normal admisible.

Nota.- Si el cuerpo no tiene sección constante, puede suceder que la máxima tensión no se presente en la sección para la cual el momento flector es máximo, por lo que deberán calcularse por separado, los distintos trozos en que la pieza tiene la sección constante.

Cuerpos de igual resistencia a la flexión

Generalmente, los cuerpos se hacen de sección constante, por facilidad de construcción, en cuyo caso dicha sección debe ser suficiente para resistir el máximo momento flector que se presente, si bien en las restantes secciones habrá un exceso de material. En el caso, muy raro, que se desee construir un cuerpo de igual resistencia a la flexión, se debe cumplir la ecuación:

teConsW

Mtan

En la que, por ser variable M a lo largo del cuerpo, debe serlo igualmente W, siguiendo la ley :

WM

Y como M es una función de las cargas y sus distancias, las dimensiones de las secciones también lo serán. Cuando las fórmulas que nos proporcionan W, en función de las dimensiones geométricas son sencillas, también acostumbra a serlo la forma del cuerpo, pero en caso contrario resulta muy complicada su construcción, por lo que en general, sale más caro el cuerpo que si se hace todo él de igual sección.

En la flexión la sección transversal ha de soportar una fuerza transversal Q y un momento de flexión M. Este momento es el que grava más intensamente la sección y origina la tensión de flexión .

En las barras largas la influencia de la fuerza transversal es pequeña, es decir, la tensión cortante es pequeña con relación a la flexión. La cortante es, por tanto, prescindible en la

mayoría de los casos. No obstante, debemos comprobar su influjo en las barras cortas, pero gruesas.

Los materiales que reaccionan diferenciadamente a la tracción y a la compresión son la fundición gris.

Si la barra tiene una sección transversal constante, es decir tiene igual momento resistente W, entonces la zona de la máxima tensión de flexión, de la sección más peligrosa; es allí donde el momento de flexión M alcanza su valor máximo.

En la flexión experimentan las fibras extremas la solicitación más intensa, el lecho neutro,



en cambio, está libre de tensión. Taladrados en las inmediaciones del centro de gravedad no perjudican, por lo tanto, en nada. Las tensiones de flexión son de tracción y de compresión (tensiones normales). Se distribuyen linealmente sobre la superficie de la sección transversal. Distribución de tensiones en una sección transversal asimétrica En una sección transversal asimétrica; por ejemplo un perfil “T “ las fibras extremas están

desigualmente distantes 1(C < )2C .

Calcularemos, pues, dos momentos resistentes 1W y 2W distintos, y por consiguiente dos

también diferentes tensiones periféricas. Veamos la figura adjunta: Fig.38

Se tiene : 1

1C

IW y

2

2C

IW 21 WW

Tensión de tracción máxima : 1W

MMAXIMA

Tensión de compresión máxima: 2W

MCOMPRESIÓN

Como el momento M es el mismo entonces:

12 W

M

W

M



La fórmula W

M es muy empleada en vigas de sección constante y muestra como la

tensión máxima se produce en la sección de momento flector máximo. En una sección rectangular, dado que la suma de las fuerzas, horizontales en la sección debe ser nula, la fuerza total de compresión C, en la mitad superior de la sección recta ha de ser igual a la fuerza total de tracción T en la mitad inferior. Por tanto el momento

resistente RM está constituido por el par que forman las fuerzas C y T iguales y

opuestas. El módulo de cada una de estas fuerzas es igual al producto de la tensión media por el área. Por consiguiente, como la tensión media en una distribución lineal es la mitad de la tensión máxima, se tiene:

2

.).

2

1()).((

hbAREACT MEDIO

Las fuerzas C y T actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a una distancia k de la línea neutra, y como k=2/3 x C = 2/3 (1/2 h) , el brazo del par resistente es e = 2k = 2/3 h, igualando el momento flector al momento resistente resulta:

eeR TCMM

6

..

6

..)

3

2).(

2

.).(

2

1(

2

2

hbM

hbh

hbM

para vigas rectangulares

b = ancho h= altura.

Si aplicamos para una sección rectangular: W

M tendremos )

6

.(

2hbxWM

Módulos resistentes: rectángulo, circulo macizo, tubo, triángulo. Dibujos y fórmulas correspondientes.



Fig.39 Fig.40 Fig.41 Fig.42

Ejercicios de aplicación. Una viga de sección rectangular de 15 x 25 cm. Soporta la carga que indica la figura. Determinar la máxima tensión de flexión producida. Solución: Se comienza por determinar el máximo momento flector. El diagrama de fuerza cortante indica que ésta se anula para X=1,80 m. Figura de viga y fuerza cortante.

6

2bhZ

324

33 drZ

)(4

44 rRR

Z

24

2bhZ



Fig.43 Fig.44

Fig.45 El momento flector en dicho punto, calculado por el área del diagrama de fuerza cortante, es, para X= 1,8m.

...1368)80,1)(2

2201300( mkgMMAXIMO

Observen que no es necesario dibujar el diagrama de momentos. Apliquemos ahora la fórmula de la flexión, multiplicando previamente el momento por 100 para que pueda expresarlo en kg.m. De la tabla obtenemos el módulo resistente para la

sección rectangular, W= 6

. 2hbcon lo que :

2.

.6

hb

M

W

M 2

2/5,87

)25(15

)136800(6cmKgMAXIMO



11.Selección de vigas por resistencia

Para seleccionar perfiles por resistencia se debe aplicar la fórmula : W

MMAXIMOADM

En la cual el valor de M MAXIMO , lo calculamos por los métodos ya estudiados, el valor del

esfuerzo admisible es dato de cada material y se encuentra tabulado; el valor de W que es el momento axial resistente lo obtenemos despejándolo de la fórmula:

ADMISIBLE

MAXIMOCALCULADO

MW , con este valor calculado de W nos dirigimos a la tabla para

seleccionar un perfil cuyo momento axial resistente sea el inmediatamente superior al

W calculado entonces CALCULADOTABLA WW

Considerando el peso propio de la viga seleccionada de la tabla, como una carga uniformemente distribuida; graficamos el diagrama del momento flector por peso propio de la viga en la parte inferior del diagrama de momento flector obtenido previamente debido a las fuerzas externas que actúan sobre la viga. Considerando una línea vertical, que pase por el momento flector máximo debido a las fuerzas externas que actúan sobre la viga; esta línea vertical cortara también al diagrama de momento flector por peso propio de la viga; determinando así un valor que se sumará al

anterior entonces : PROPIOPESOMAXTOTAL MMM .. ; en la misma vertical. Obtenido este

momento flector total; volvemos a aplicar la fórmula para seleccionar por resistencia:

ADMISIBLE

TOTALCALCULADO

MW si TABLACALCULADO WW entonces se acepta el perfil seleccionado, de

lo contrario se debe escoger en la tabla otro perfil con mayor momento axial resistente que el previamente seleccionado. Secciones económicas En una viga de sección recta rectangular o circular las fibras situadas en las proximidades de la línea neutra, tienen una tensión muy pequeña comparada con la tensión en la parte superior o la inferior. El hecho de que una gran parte de la sección esté poco aprovechada las hace poco apropiadas para trabajar a flexión.

La fórmula de la flexión ; C

IM

., muestra que si el área de la sección rectangular de la

figura (a) Fig.46



Pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo el mismo canto, pero con la forma indicada en la figura (b), el momento de inercia aumentaría, por lo que el momento flector que podría soportar sería mucho mayor. Físicamente, el incremento del momento resistente es debido a que hay muchas más fibras a mayor distancia de la línea neutra; fibras que soportarán una tensión mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto de la línea neutra. Sin embargo la sección de la figura (b) no es realizable; las dos partes en que ha quedado dividida no pueden estar aisladas. Es necesario emplear parte del área en la sujeción, como indica la figura (c). En este perfil I de ala ancha, es el alma el que soporta prácticamente la totalidad de la fuerza cortante vertical. El perfil I de ala ancha es uno de los perfiles más eficientes, ya que no sólo tiene gran resistencia a la flexión, sino también para utilizarlo como columna. Otro perfil laminado es el I normal figura (d) más antiguo que el de ala ancha y que al no ser tan eficiente tiende a ser reemplazado por aquel. En Europa sin embrago se utiliza muchísimo el I normal, y las disponibilidades del I de ala ancha son mucho menores que en el mercado norteamericano, en el que existe una gran variedad de perfiles de este tipo. La denominación del I normal I20 significa, 20 cm. De altura con una sección normalizada para cada altura (en Europa). En el mercado norteamericano, 24I120, o 24WF100 por ejemplo, indica perfiles de 24 pulgadas de altura, el primero no0rmal con 120 lb. por pie, y el segundo de ala ancha de peso 100 lb. por pie de longitud. Las tablas dan las dimensiones y otras características, tales como el peso, área, momentos de inercia, módulo resistente y radio de giro respecto de cada eje principal. Flexión lateral en las vigas Las alas sometidas a compresión tienden a flexar transversalmente en sentido horizontal si la viga es demasiado larga. Se trata de un efecto de pandeo. Cuando esta flexión lateral está impedida por el forjado del piso o porque las alas sometidas a compresión estén arriostradas mediante varillas espaciadas a intervalos apropiados, se puede emplear la tensión admisible total. En caso contrario, debe reducirse la tensión. Esta reducción en la tensión admisible puede hacerse de distintas maneras, y, por ejemplo, el AMERICAN INSTITUTE OF STELL CONSTRUCTION (AISC) aconseja:

Para eb

hL

.

. < 600, empléese 2/.1400 cmkgf

Para eb

hL

.

.> 600, empléese 2/

.

.

840000cmkgf

eb

hL

L = longitud entre arriostramientos



H = altura de la viga B = ancho de las alas E = espesor del ala comprimida. Ejercicio Seleccionar un perfil I que pueda soportar la carga indicada en la figura sin exceder la

Tensión admisible de 1400 2/cmkgf . Determinar la tensión real en el perfil escogido y

comprobar si es apropiado por el pandeo lateral.

Fig.47

MW M

= 7200

kgfm.

35141400

1007200cm

xW

En la tabla buscamos un momento axial :

3514cmW

; en general existen varias soluciones, bien con perfiles I normales o I de ala ancha, o incluso con dos U unidas formando una I . observamos que la vertical que pasa por el momento máximo de 7200 kgf.m. pasa también por el momento flector de 288 kgf.m. originado por el peso propio de la viga



Entre los perfiles normalizados en Europa no existe tanta variedad como en los mercados norteamericanos, en los que, dentro de un mismo canto o altura de la sección existe una gran variedad de tipos con anchos y espesores distintos de alas, lo que hace que un determinado módulo resistente pueda encontrarse con muy distintos tamaños de I de ala ancha; por ejemplo (perfiles WF). Dentro de un mismo valor del módulo resistente, la viga es más ligera y, por tanto, más económica en este sentido cuanto mayor sea su altura. La razón de que no siempre se adopte esta es que en numerosas ocasiones la altura libre de los pisos impone un límite al canto de la viga, y entonces hay que escoger no la más ligera, sino la que aconsejan las razones constructivas. En nuestro caso se puede elegir un I

normal de 28 cm., con W =542 cm 3 y peso de 48 kgf/m. o bien una I de ala ancha de 20 x20

cm., con W= 569 cm 3 , pero que pesa 62,8 kgf/m. Incluso otra solución podría ser dos U de

25 x 8 cm. Adosadas, lo que daría W= 604 cm 3 y un peso de 68 kgf/m. Realmente la mas apropiada y económica es la I normal de 28 por su menor peso. La elección del perfil no está completo todavía, ya que se ha de incluir el peso de la viga. El

momento que puede resistir la viga, M R , debe ser igual o mayor que la suma del momento

M u , producido por la carga útil y el momento M pp producido por su propio peso.

PPUR MMM PPUR MMM

En donde sustituyendo M

por el módulo resistente W se obtiene la ecuación de condición

W R PPU MM . En esta aplicación el peso de la viga no es suficientemente grande para

cambiar la posición del punto del máximo momento flector combinado. Calculemos el valor

de PPM para X=6m., que vale por definición de momento:

DERECHAPP MM )( entonces .2881)248(2192 kgfmxxxM PP o por el área rayada del

diagrama de fuerza cortante

.2882)2

96192( kgfmxMPP

Por tanto, el módulo resistente necesario para este momento es:

3.6,201400

)100.(288cmWPP

Aplicando la ecuación de condición:



6,20514542

PPUR WWW

Se desprende que la sección elegida es suficiente. La tensión real en la viga se determina fácilmente por la relación del módulo resistente necesario en la viga al del perfil elegido, es decir:

)).(( PPU WWxWM

542

)6,20514(1400

21381

cm

Kgf

Para comprobar si requiere arriostramiento transversal, como ,5,152,19,11

28

. xcb

h para que

600.

.

cb

hL se necesita L= 400 cm.= 4m. como la viga tiene 8 m. habrá que arriostrarla en el

centro. También es costumbre en el diseño utilizar ejes para soportar cargas, como es el caso de los talleres donde se utilizan aparejos diferenciales o tecles para levantar motores u otros elementos mecánicos para su reparación o mantenimiento. El cálculo de ejes según la definición europea soporta solamente cargas de flexión y se seleccionan bajo las mismas condiciones que una viga estructural. Selección de ejes por resistencia

Considerando la fórmula para seleccionar vigas por resistencia W

M…(.1) y el

momento axial resistente para ejes 10

3dW …..(2) ; se despeja previamente W de la fórmula

(1) y se reemplaza en la fórmula (2); luego despejamos el diámetro en la fórmula (2) y este valor lo aproximamos a un valor de tabla mayor o igual que el diámetro calculado. Con este eje seleccionado y considerando su peso como una carga uniformemente distribuida se procede a encontrar el momento flector por peso según análisis que se hizo en la selección de perfiles, para luego determinar el momento flector total; según esto se acepta o se busca un eje de mayor diámetro. Ejercicio de aplicación Fig.48



12.Integral de una función polinómica Si deseamos determinar el área bajo la curva de una función, debemos utilizar la integral de la función entre las abscisas Xi definidas en el eje X. A la integral también se le conoce como la antiderivada.



Ejemplo:

6243)( 23 XXXxf

La derivada de 289)()( 2 XXxfxf

La integral de la función )(xf es igual :

1

2

1

2

)243)289()( 232 X

X

x

xXXXdxXXdxxf

)243()243( 2

2

2

3

21

2

1

3

1 XXXXXX = valor numérico que nos da el área bajo la curva,

de la función que hemos integrado y cuyo significado físico lo podemos encontrar por ejemplo, en el gráfico de la velocidad versus el tiempo, cuya área del rectángulo así obtenido representa el espacio recorrido. Así mismo muchos procesos termodinámicos u otros necesitan conocer la cantidad de calor, trabajo, o energía interna para la evaluación del proceso. Esto se logra integrando las funciones que representan a dichas energías. Para determinar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores, de una viga a lo largo de toda su longitud y entre puntos de discontinuidad; nos hemos basado en la función y su derivada tanto para el método analítico como para el método semigráfico El momento flector es una función que al derivarla obtenemos la función fuerza cortante. Es decir si definimos a la integral como una antiderivada, también podemos decir que si integramos la función fuerza cortante obtenemos los valores del momento flector. Recordando el método semigráfico, los valores del momento flector a lo largo de la viga se pueden obtener sumando las áreas que originan los diagramas de la función fuerza cortante; es decir aquí observamos que si integramos la función fuerza cortante encontramos las áreas que vienen a representar los valores de la función momento flector. Lo mismo sucede con la deformación geométrica de una viga debido a las cargas que soporta. Esta deformación se representa por la curva elástica de la viga, cuya segunda derivada nos da la función momento flector. Por lo tanto así como sumando áreas o derivando pudimos determinar los momentos

flectores máximos para luego aplicando la fórmula W

M, seleccionar una viga por

resistencia; de la misma forma integrando la función momento flector, podemos determinar la función curva elástica de la viga, que nos permite obtener la flecha que viene a ser la deformación que tiene la viga respecto al eje horizontal, y que es producido por las cargas que actúan sobre ella a todo lo largo de la viga, de esta manera podemos seleccionar la viga por rigidez, y así se cumple con la finalidad del diseño “no basta que no se rompa sino además, no debe deformarse mas de”. Es decir en diseño siempre seleccionamos por resistencia y rigidez, además de considerar la indeformabilidad.

La integral de una función )(xf que se representa por dxxf )( , significa geométricamente la

sumatoria de áreas de rectángulos con base d(x), y altura f(x). El símbolo nos indica una



suma infinitesimal, y se deriva justamente de la letra S; ya que si idealmente jaláramos esta letra al inicio y final de ella, obtenemos el símbolo de integral utilizado. Si el área bajo la curva se divide en rectángulos cada vez más delgados, nos acercaremos cada vez más al valor exacto del área en cuestión; es así como llegamos a un rectángulo con una base tan pequeña que en el análisis se representa por d(x). Dibujo de área dividida en rectángulos con bases cada vez más pequeñas. Fig. 49 La integral indefinida, origina siempre una constante C, cuyo valor en nuestro caso queda determinado por el tipo de apoyo. Pudiendo ser articulado o empotrado. Esta constante aparece por ejemplo:

Si 7524)( 23 xxxxf su derivada es 5412)( 2 xxxf si integramos ésta última

función denominada derivada, debemos obtener la función dada f(x)

Así resulta: )(xf dxxx )5412( 2 = cxxx 52423 , que no nos da exactamente la

función f(x) ya que c representa cualquier número y no necesariamente 7. Es por este motivo que algunos matemáticos no toman a la integral como a la antiderivada, sin embargo otros la aceptan como tal. 13.Deformación en vigas Comentábamos que en el diseño es necesario determinar la resistencia y la rigidez. La

resistencia la hemos analizado al seleccionar las vigas utilizando la fórmula de W

M, la



rigidez la evaluaremos considerando la deformación de las vigas. Frecuentemente, el proyecto o diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de máquina para trabajos de precisión, tales como tornos, prensas, limadoras, etc., las deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Así mismo, en las vigas de pisos que tengan por debajo cielo raso de yeso o escayola, se suele limitar la flecha máxima a 1/360 de la luz, para que no aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes aplicaciones del estudio de la deformación de las vigas es, por otra parte, la obtención de ecuaciones de deformación que, junto con las condiciones de equilibrio estático, permiten resolver las vigas estáticamente indeterminadas. Se utilizan varios métodos para determinar la deformación de las vigas. Aunque basados en los mismos principios, difieren en su técnica y en sus objetivos inmediatos. Así tenemos: -método de la doble integración -método del área de momentos -método de la viga conjugada -método de la superposición. Método de la doble integración La perspectiva lateral de la superficie neutra de una viga flexada se llama curva elástica, o simplemente elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerado en la figura 1. Fig. 50 Tomemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin flexar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy tensa y su pendiente en cualquier punto es también muy pequeña. El valor de esta pendiente, tg =dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a , por consiguiente,



).........(

)....(..........

2

2

bdx

yd

dx

d

adx

dy

Considerando la variación de en una longitud diferencial ds producida por la flexión de la

viga, es evidente que ds= d ..........©

Siendo el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica es muy

tensa, ds es prácticamente igual a dx. En estas condiciones, de las ecuaciones (b) y (c) se obtiene:

)....(1

,.,1

2

2

ddx

ydó

dx

d

ds

d

Al deducir la fórmula de la flexión se obtuvo la relación:

EI

M1............(e)

y, por tanto, igualando los valores 1/ de las ecuaciones (d) y (e) resulta:

)(..........2

2

fMdx

ydEI

Esta última ecuación es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión, es normalmente constante a lo largo de la viga. Integrando la ecuación (f), suponiendo EI constante, resulta

1CMdxdx

dyEI .........(g)

que es la ecuación de la pendiente, y que permite determinar el valor de la misma, o dy/dx en cualquier punto. Conviene observar que en esta ecuación, M no es un valor del momento,

sino la ecuación del momento flector en función de x y C 1 es una constante a determinar por

las condiciones de apoyo. Integrando de nuevo la ecuación (g),

21 CXCMdxdxEIy

que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y

en cualquier valor de x. C 2 es otra constante de integración a determinar también por las

condiciones de sujeción de la viga.



Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momentos también tendrá la variación correspondiente. Esto requeriría una ecuación de momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramo y, por consiguiente, dos constantes para cada tramo también. La determinación de estas constantes se hace muy laboriosa y se está expuesto a errores. Afortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos válida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga. Fig.51

Consideremos por ejemplo, la viga de la figura 50. Aplicando la definición .)( IZQMM , se

deduce que las ecuaciones de los momentos entre cada dos puntos de discontinuidad de cargas son:

2)6(2

60)3(120180

)3(120180

180

xxxM

xxM

xM

CD

BC

AB

Obsérvese que la ecuación para el tramo CD también es válida en los otros dos, AB y BC, si

los términos (x-3) y (x-6) 2 no se tienen en cuenta para valores de x menores que 3 y 6

respectivamente. En otras palabras, si los términos (x-3) y (x-6) 2 no tienen existencia para valores de x que hagan negativo al paréntesis. Veamos otro ejemplo. Consideremos la viga de la figura 51, en la que la carga distribuida se extiende solamente en el segmento BC. Se puede crear. sin embargo, una continuidad suponiendo que la carga distribuida se extiende desde B hasta E y añadiendo una carga igual y opuesta, que la anule, a partir de C, como se indica en la figura 3b. La ecuación general de momentos, escrita Fig.52



Para el tramo DE es:

)12(330)8(2

60)2(

2

60150 22 xxxxM

en donde los términos entre paréntesis no tienen existencia para valores de x que hagan negativo al paréntesis. Ejemplo 1 Una carga concentrada de 30kgf. está soportada como se indica en la figura 4. Determinar las ecuaciones de la elástica entre cada dos puntos de discontinuidad de carga y la máxima flecha. Fig.53 Solución: Escribiendo la ecuación general de momentos para el último tramo BC de la viga, aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces, se obtienen las siguientes expresiones para la pendiente y las ordenadas:

)2(30102

2

xxMdx

ydEI Ecuación diferencial de la elástica.... (a)

1

22 )2(155 Cxxdx

dyEI Ecuación de la pendiente................... (b)



21

33 )2(53

5CxCxxEIy Ecuación de la ordenada de la elástica. ©

Para determinar las dos constantes de integración, que son físicamente iguales a la pendiente y ordenada en el origen, se aplican las condiciones de contorno siguientes:

1. En A, para x=0, la ordenada y=0 . Sustituyendo estos valores en la ecuación © se

obtiene C2=0. Recordemos que 3)2(x no existe para valores de x menores que 2,

que harían negativo al paréntesis.

2. En el otro apoyo, para x=3, la ordenada también es nula. Conocido C 2 =0 y

sustituyendo en la expresión ©, se obtiene

0 = 1

33 3)23(5)3(3

5C o C

3

401

Determinadas las constantes de integración y sustituidos sus valores en (b) y (C), se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de las ordenadas de la elástica en su forma convencional, Tramo AB )20( X Tramo BC (2 )3X

(d) 3

405 2x

dx

dyEI (f)

3

40)2(155 22 xx

dx

dyEI

(e) xxEIy3

40

3

5 3 (g) xxxEI3

40)2(5

3

5 33

Calculemos ahora la máxima flecha, para lo cual se supone que se encuentra en el tramo AB. Su posición se puede determinar derivando la ecuación (e) respecto de x e igualando a cero esta derivada o bien igualando a cero la expresión (d) de la pendiente, es decir,

hallando el punto de pendiente nula. Por tanto, 03

405 2x o x = 1,63 m.

Puesto que este valor de x pertenece al tramo AB se confirma la hipótesis de que la máxima flecha estaba en este tramo. Ahora, para obtener su valor, se sustituye x = 1,63 en la ecuación (e), lo que da:

kgfmyEI .5,14. 3

max

El valor negativo obtenido indica que la ordenada “ y “ está por debajo del eje X. Con frecuencia solo interesa el valor de la flecha, sin indicación de signo y entonces se representa por , reservando la y para las ordenadas.

El producto EIy se expresa en m 3 . Kgf. ya que proviene de la doble integración de la

ecuación diferencial de la elástica, en la que M se expresa en m. Kgf. La primera integración

da m 2 . Kgf, como unidades de EI correspondiente a la pendiente, y la segunda integración

da, en efecto, m 3 .kgf. Conviene en la práctica, hasta el momento en que quiera obtener el



valor numérico de una pendiente o de una ordenada, mantener estas unidades, es decir, m y kgf, ya que de este modo los valores numéricos que vayan apareciendo, las integraciones, etc., serán mas pequeños.

Expresando E en kgf/cm 2 , I en cm 4 , se debe multiplicar el valor obtenido de EIy, que venía

dado en m 3 .kgf, por 10 6 cm 3 /m 3 ,para obtener y en cm. Por ejemplo, si E = 10 5 kgf/cm 2 e I =

1200 cm 4 , el valor de y en cm es

(1 x 10 5 ) (1200)y = -14,5 x 10 6 de donde y = -0,121 cm. Ejemplo 2. Hallar el valor de EIy en el punto medio entre apoyos y en el extremo volado de la viga de la figura 54. Fig.54 Solución: Es la misma viga de la figura 51, para la que ya se había escrito la ecuación general de momentos. Aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces resulta:

)12(330)8(2

60)2(

2

60150 22

2

2

xxxxMdx

ydEI

1

2332 )12(165)8(10)2(1075 Cxxxxdx

dyEI

21

3443 )12(3

165)8(

4

10)2(

4

1025 CXCXXxxEIy

Para determinar C 2 observemos que para x = 0, y = 0, lo que da C 2 =. No se tiene en cuenta

los términos entre paréntesis si son negativos. Aplicando la otra condición de apoyo, para x = 12, y = 0, resulta:

0 = 25(12) 3 - 1

44 12)4(4

10)10(

4

10C o C 1 = -1570

Para obtener la flecha en el punto medio se hace x = 6 en la ecuación del tramo BC, en la

que no se consideran los términos (x-8) 4 y (x-12) 3 , lo que da



.4660)6(1570)4(4

10)6(25 343 kgfmEIy

Análogamente, en la ecuación del tramo DE en la que se tiene en cuenta todos los términos, se hace x = 18, con lo que el valor de la ordenada en el extremo es

.9420)18(1570)6(3

165)10(

4

10)16(

4

10)18(25 33443 kgfmEIy

Cuando tenemos vigas con cargas uniformemente distribuidas o uniformemente variables, nos encontramos también con la necesidad de seleccionarlas por rigidez; para ello es necesario ubicar la abscisa de la flecha máxima, que se obtiene igualando a cero la ecuación de la pendiente. Esta ecuación resulta ser de tercer grado o de cuarto grado; en el primer caso existe una fórmula para determinar las soluciones correspondientes y verificar si estas pertenecen al tramo analizado; en el segundo caso cuando las ecuaciones son de cuarto grado sólo se hace un cambio de variable para reducirla a una ecuación de segundo grado y aplicar la fórmula ampliamente conocida. Por lo tanto es importante en esta parte conocer la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas. 14.Ecuación Cúbica

Ecuaciones de tercer grado sin término en x 2

Solución: Después de dividir toda entre el coeficiente de x 3 , cualquier ecuación de este tipo

puede escribirse x 3 = Ax + B. Sea p =A/3 y q =B/2. La solución general es como sigue:

Caso 1. 32 pq es positiva. Una raíz es real, a saber,

3 323 32

1 pqqpqqX

las otras dos raíces son imaginarias.

Otra forma de determinar X 1 es trabajando con el coseno hiperbólico de u así tenemos:

Si cosh u = ppq / X 1 = 2 P cosh (u/3)

Caso 2. 32 pq = 0. Se tiene entonces tres raíces reales, pero dos de ellas iguales.

X 1 = 2 3 q X 2 = - 3 q X 3 = - 3 q

Caso 3. 32 pq es negativo. Las tres raíces son reales y distintas. Determínese un ángulo u

entre 0 y 180 0 tal que cos u =q/ )( pp . Se tiene entonces



)2403/cos(2

)1203/cos(2

)3/cos(2

0

3

0

2

1

upX

upX

upX

Ecuaciones de tercer grado (caso general) Solución: La ecuación cúbica general, después de ser dividida entre el coeficiente de su

mayor potencia, puede escribirse 023 cbXaXX . Para eliminar el término en X 2 , se

hace X = X 1 -a/3. La ecuación queda entonces ,1

3

1 BAXX donde A = 3 (a/3) 2 -b y B = -2

(a/3) 3 +b(a/3)-c. Despéjese X 1 en esta ecuación según el procedimiento indicado antes y

luego encuéntrese la propia X de X = X 1 -(a/3).

Ejemplo:

Resolver la ecuación 0436244 23 XXX

Para aplicar el método dividimos todos los términos de la ecuación entre 4 entonces la ecuación cúbica queda:

0196 23 XXX identificando los parámetros en la ecuación correspondiente tenemos: a = 6 ; b = 9 ; c = -1.

A = 39)3

6(3)

3(3 22 ba

B = 31)3

6(9)

3

6(2)

3()

3(2 33 c

ab

a

Entonces tenemos: A = 3 ; B = 3

P = 13

3

3

A p =1

2232 )1()5,1(pq > 0 (positivo)

5,12

3

2

Bq q = 1,5 pertenece al primer caso; tendremos una raíz real y dos

imaginarias. Lógicamente en nuestro caso sólo nos interesa la raíz real.

3 323 32

1 1)5,1(5,11)5,1(5,1X ; X 1 = 1,378240773 + 0,725562302

X 1 = 2,103803403 luego la variable solución es X = X3

1

a =2,103803403 -

3

6 =

0,103803403 X = 0,103803403 (solución) Otra forma de resolver esta ecuación dado que estamos en el caso 1 es:

5,111

5,1cosh

pp

qu cosh u =1,5 u = 0,9624236501

X 1 =2 p )3

cosh(u

=2 1 cosh )3

9624236501,0( X 1 =2,103803402



X = X 1 - 3

a = 2,103803402 -

3

6 X = 0,103803402

15.Método de la doble integración: vigas hiperestáticas Ya habíamos dicho que utilizando el método de la doble integración u otros métodos relacionados nos permitían, además de determinar la flecha, determinar también la solución de vigas hiperestáticas.; es así como utilizando ahora el método de la doble integración vamos a determinar las reacciones de una viga apoyada empotrada : Determinar las reacciones en la viga empotrada apoyada de la figura, utilizando el método de la doble integración. Fig.55 Solución Consideremos como origen de ejes coordenados al extremo empotrado C. Por conveniencia de cálculo se da la vuelta a la viga, de manera que el extremo empotrado quede a la izquierda, como en la figura página 273 del Singer. En este extremo fijo la flecha y la

pendiente son nulas, por lo que las dos constantes de integración C 1 y C 2 que físicamente

representan la tangente y la flecha en el origen, también lo serán. Escribiendo la ecuación diferencial de la elástica en función de la ecuación general de momentos e integrando dos veces se obtiene:



).......(..........)2(1062

).....(..........)2(302

).......(..........).........2(60

2

332

1

22

2

2

cCxxVxM

EIy

bCxxV

xMdx

dyEI

axxVMdx

ydEI

CC

CC

CC

.

Obsérvese que aunque se haya dejado en la ecuación V C y M C como incógnitas, sólo una

de ellas es sobrante, ya que la otra es función de la primera según el equilibrio estático. Como ya se han aplicado las dos condiciones en C, se aplican ahora las condiciones en A, es decir, que el momento es cero (ecuación de la estática), y que la flecha también es nula (ecuación de la deformación). Así, pues, poniendo en (a) y en (c) x =3 resulta :

M C + 3V C - 60 (1) = 0

0)1(10)3(6

)3(2

332 CC VM

de este sistema se obtiene:

V C = 28,89 kgf y M C = -26,67 kgf. m.

Un aspecto importante de este procedimiento, aplicado precisamente en esta forma, es que si la viga hubiera sido doblemente empotrada servirían las ecuaciones (a), (b) y (c); únicamente se tendrían que variar las condiciones en A, ya que entonces lo nulo sería la pendiente y la flecha, es decir, (b) y (c) para x = 3. Sustituyendo y resolviendo el sistema, se

obtendrían V C =15,5 kgf. y M C = -13,3 kgf.m

Una viga doblemente empotrada de 4m. De longitud soporta una carga uniformemente distribuida sobre parte de su longitud, como indica la figura página 274 singer, Calcular las reacciones aplicando el método de la doble integración. Fig.56



Solución Aunque por la forma que va a tomar la elástica se deduce que el momento en A ha de ser negativo, se trazará como positivo, para ver de que manera la solución proporciona el valor y signo del mismo. La forma de la elástica, tal como se ha dibujado en la figura, indica que la pendiente y la flecha en A son nulas. Por tanto, considerando el origen de ejes en este punto, las

constantes C 1 y C 2 son nulas. Escribiendo la ecuación diferencial de la elástica en función de

la ecuación general de momentos, e integrando dos veces, se tiene:

)....(........................................)1(562

)(........................................)1(202

).......(........................................)1(2

120

2

4

32

1

3

2

22

cCxxVxM

EIy

bCxxV

xMdx

dyEI

axxVMdx

ydEI

AA

A

A

AA

Ahora existen dos reacciones desconocidas o sobrantes en la ecuación de la elástica y

pendiente, V A y M A . Para determinarlas se aplican otras dos condiciones de deformación.

Como se observa en B, o sea para x = 4, la flecha y la pendiente también son nulas, por lo que sustituyendo en las ecuaciones (b) y (c) se obtiene:

4M A +(4) 2

2

AV-20(3) 3 = 0...........(d)

(4) 0)3(56

)4(2

432 AA VM (e)

cuya solución es:

V A = 126,7 kgf y M A = - 118,3 Kgf.m.

16.Vigas continuas hiperestáticas Son vigas con tres o más apoyos, dos o mas tramos o vanos, y que, por tanto, disponen de uno o mas apoyos sobrantes en los que las reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la estática. Es posible calcular los valores de estas reacciones hiperestáticas aplicando las condiciones de deformación existentes, de acuerdo con las ecuaciones de deformación por ejemplo, flecha nula en los apoyos cuyas reacciones son desconocidas. Estas condiciones dan las ecuaciones adicionales necesarias a las del equilibrio estático. Sin embargo, es más conveniente considerar, como desconocido o hiperestáticos, los



momentos flectores en los apoyos. Una vez determinados estos momentos, que se suelen llamar momentos de continuidad, es sumamente sencillo el cálculo de las reacciones. Se explica el método de calculo de tales momentos; conocido como ecuación de los tres momentos, y que se escribe fácilmente aplicando los teoremas de las áreas de momentos. Ecuación de los tres momentos

)(666

)(.22

3

1

1

2

22

1

11

2321211L

h

L

hEI

L

bA

L

aALMLLMLM

Esta ecuación expresa una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos. Si la viga está en posición horizontal es decir no pertenece por ejemplo a bases de fajas

transportadoras que vienen a ser vigas inclinadas; entonces h 1 y h 3 son nulas y por lo tanto

el segundo miembro de la ecuación de los tres momentos también será nula. Esta suele ser la condición normal de aplicación de la ecuación de los tres momentos a la determinación de los momentos de continuidad. Los tres puntos que se escogen para aplicar la ecuación a una viga continua son tres apoyos, que se suelen suponer rígidos o situados a la misma altura, y entonces mediante la ecuación se determinan los momentos en los apoyos. Si se quiere aplicar la ecuación de los tres momentos para calcular las ordenadas de la elástica, se consideran dos de los puntos sobre dos apoyos y el tercero en el punto donde se quiere hallar la ordenada. En este caso, evidentemente, es necesario calcular de antemano los valores de los momentos en los tres puntos. Veamos ahora los términos que intervienen en la ecuación de los tres momentos La utilidad de la ecuación de los tres momentos depende de la facilidad con que se puedan

calcular los términos 6A a /L y 6ab /L. Como se ha dicho, estos términos se refieren al área de momentos flectores que resulta de aplicar las cargas en el tramo sobre una viga apoyada en sus extremos de la misma longitud. Las expresiones generales de la tabla se han determinado por el procedimiento que se indica a continuación. Fig.57



El caso tres de la tabla contempla la carga uniformemente variada. La carga sobre un tramo de la viga continua varía uniformemente. Supuesto el tramo apoyado en sus extremos, en la figura 4b se tiene el diagrama de momentos por partes, trazado de izquierda a derecha. El momento del área de este diagrama de momentos respecto del extremo derecho viene dado por:

4422

360

7)

20

1

6

1(

6).

5

1).(.

6(

4

1)

3

1).(.

6(

2

1qL

qLLL

qLLL

qLbA

Multiplicando por 6/L se obtiene el siguiente valor general para este tipo de carga,

3

60

76qL

L

bA

Cargas especiales. Para casos que no figuren en la tabla, o cuando no se dispone de la tabla, el siguiente ejemplo puede servir de guía. Supóngase una viga continua cargada como indica la figura 57 (página 299 del Singer). Se

trata de calcular el valor de 6 222 /LbA para el vano 2. Consideremos el vano 2 como una viga

simplemente apoyada en sus extremos, y tracemos el diagrama de momentos por partes de

derecha a izquierda, por ser más conveniente en este caso. Como bA es el momento del área de momentos respecto del extremo derecho, se tiene Fig.58

)45

42)(

4

4120()6

3

2)(

2

6120(

6

66

2

22 xx

xx

L

bA

= 62414406

6 = 816 sol.



Ejemplo. 1 Calcular los momentos en los apoyos en la viga continua de la figura. Se supone que los apoyos son rígidos, o que bajo la acción de las cargas todos experimentan el mismo descenso. Esta hipótesis se aplicará a todos los problemas mientras no se diga lo contrario. Fig.59 Solución: Apliquemos la ecuación de los tres momentos a los puntos sobre los apoyos. Como los tres están al mismo nivel, las alturas h1 y h3 son nulas, y la ecuación de los tres momentos se escribe:

066

)(22

22

1

11

2321211L

bA

L

aALMLLMLM ..............(a)

El momento flector en el apoyo 1 producido por la carga a la izquierda de R 1 es M1 = -30 x 2

= -60 kgf.m. , mientras que en el apoyo R 3 el momento M 3 es nulo. El signo menos de M 1 se

debe mantener al sustituir su valor en la ecuación de los tres momentos. Los términos de las áreas de momentos de la ecuación (a) se obtiene de la tabla. La carga del tramo 1 es la del caso 3. Por tanto,

kgfmqLL

aA 233

2

1 1000)5).(60(60

8

60

86

Para el tramo 2, el término se haya por la suma de los casos 1 y 5. Se tiene:

)2(4

)(6 22

222

2

2 dLL

qdbL

L

Pb

L

bA=

= )16362()6(4

)4(30)436(

6

)2(45 2

x

=480 +1120 = 1600 m 2 kgf. sustituyendo estos valores en la ecuación (a) resulta:



-60 (5) +2 M 2 (5+6) + 1000 +1600 = 0

de donde se obtiene:

M 2 = 5,10422

2300 kgf.m.

Determinar los momentos y las reacciones en los apoyos de la viga continua de la figura página 304 del Singer Fig.60 Solución. Aplicando la ecuación de los tres momentos a los tramos 1 y 2 y después a los tramos o vanos 2 y 3 se tiene:

)....(..............................066

)(2

).......(..............................066

)(2

3

33

2

22

3432322

2

22

1

11

2321211

bL

bA

L

aALMLLMLM

aL

bA

L

aALMLLMLM

De acuerdo con la definición de momento flector, M 1 y M 4 son nulos, por lo que las

ecuaciones (a) y (b) forman un sistema con dos incógnitas M 2 y M 3 , que puede despejarse

si se conocen los valores de 6A a /L y 6Ab /L para cada tramo, correspondiente a las cargas

dadas. Utilizando la tabla se calculan estos valores como sigue:

1120)16362(64

1630)2(

4

6 222

1

11 xx

xbL

L

qb

L

aA

10001256060

8

60

86 3

2

22 xxqLL

bA



8751256060

7

60

76 3

2

2 xxqLL

aA

182525,111675,708)25,636(6

5,290)25,2036(

6

5,460)(

6 22

3

33 xxbL

L

Pb

L

bA

Sustituyendo los valores calculados en las ecuaciones (a) y (b) :

2M 2 (6+5)+5M 3 +1120 +1000 = 0

5M 2 +2M 3 (5+6) + 875 + 1825 = 0

Simplificando:

22M 2 +5M 3 +2120 = 0

5M 2 +22M 3 +2700 = 0

Resolviendo el sistema se obtiene M 2 = -72,25 kgf.m. y M 3 =-106,50 kgf.m

Calculo de las reacciones: Tomamos momentos en el apoyo (2), entrando por la izquierda:

R 1 (6) – 30 x 4(2+2) = - 72,25 R 1 = 6

75,407 67,96 R 1 = 67,96 kgf.

Tomamos momentos en el apoyo (3), entrando por la derecha:

R 4 (6) – 90 (3,5) – 60 (1,5) = - 106,5 R 4 = 6

5,298 = 49,75 R 4 = 49,75 kgf.

Tomamos momentos en el apoyo (2), entrando por la derecha:

R 3 (5) + 49,75 (11) – 90 (8,5 ) – 60 (6,5) - )53

1(

2

560x

x= - 72,25

R 3 = 5

5,785 =157,1 R 3 = 157,1 kgf.

Para determinar la magnitud de la reacción en el apoyo (2),podemos considerar la primera condición de equilibrio es decir Fverticales = o :

-120 –150 – 150 + 274,81 + R 2 = 0 R 2 =145,19 kgf.



Vigas continuas con los extremos empotrados En las vigas continuas con los extremos empotrados, como se demuestra seguidamente, el empotramiento se puede suponer equivalente a un tramo o Fig.61 Vano imaginario, con una carga asimismo imaginaria. La ecuación de los tres momentos se aplica exactamente igual, incluso al tramo imaginario, pero teniendo en cuenta que todos los términos que se refieren a este último son nulos. En la figura se representa el último tramo de una viga continua cuyo extremo B está

empotrado. Los valores M 1 y V 1 son debidos a las cargas que actúan en el resto de la viga a

la izquierda de V 1 . El extremo B se supone empotrado horizontalmente, es decir, la tangente

a la elástica en B es horizontal. El efecto de un empotramiento se puede sustituir por el efecto de otra viga simétrica y simétricamente cargada, como si B fuera un espejo, como se indica en la figura (b). En efecto, debido a la simetría de forma y carga, la tangente a la elástica en B sería horizontal sobre el apoyo, lo mismo que si se tratase del empotramiento real existente. Aplicando la ecuación de los tres momentos a los vanos 1 y 2 de la figura 8-13 se obtiene,

)...(....................066

)(22

22

1

11

2321211 aL

bA

L

aALMLLMLM

Sustituyendo los valores que aparecen en la figura,

066

)(21

11

1

11

121L

aA

L

aALMLLMLM

o bien

2 06

241

11

21L

aAxLMLM

dividiendo por 2,



06

21

11

21L

aALMLM ..........................................(b)

Esta ecuación (b) se hubiera podido obtener directamente de la ecuación (a) anulando los términos que se refieren al tramo imaginario 2. Aplicación: Determinar los momentos en los apoyos de la viga estáticamente indeterminada de la figura 60 en la que el extremo B está perfectamente empotrado. Fig.62 Solución. Este problema, aunque se puede resolver por el método de las áreas de momentos, se va a hacer más fácil y rápido considerándolo como viga continua con un extremo empotrado. La ecuación de los tres momentos aplicada a los tramos 1 y 2 cuyos soportes están al mismo nivel permite escribir:

066

)(22

22

1

11

2321211L

bA

L

aALMLLMLM

El momento en R 1 debido al voladizo es

M1 = -(20 x 2) x 1 = - 40 kgf.m.

Anulando todos los términos que se refieren al vano 2, y teniendo en cuenta que, según la

tabla 8-1, 4//6 3

111 qLLaA , la ecuación (a) se reduce a la siguiente.

-40 x 5 + 2 M 2 x 5 + 04

520 3x

de donde

M 2 = -42,5 kgf.m.

Resumen La forma general de la ecuación de los tres momentos es



)(666

)(22

3

1

1

2

22

1

11

2321211L

h

L

hEI

L

bA

L

aALMLLMLM ........................( )

Los términos de la forma A La / se encuentran, para varios tipos corrientes de cargas

tabulados.

Para las vigas continuas en las que los apoyos están al mismo nivel, h 1 y h 3 son nulos, y

mediante la ecuación de los tres momentos se determinan fácilmente los momentos en los apoyos. Si un extremo está empotrado se puede tratar como si a continuación siguiera un tramo imaginario. Para determinar flechas, se escribe la ecuación de los tres momentos entre tres puntos 1,2 y

3, de manera que una (o las dos) de h 1 y h 3 sean igual a la flecha pedida. Generalmente

dos de los puntos se eligen sobre apoyos, y el tercero en el punto cuya flecha se trata de hallar. Hay que conocer o calcular previamente los valores de los momentos en estos tres puntos. Otro método de determinación de los momentos de continuidad, tanto en vigas continuas como en cualquier estructura, es el de distribución de momentos o método de Cross. Para aplicarlo, cada vano se considera primero como perfectamente empotrado en sus extremos, y se calculan los valores de los momentos de empotramiento. Se deja libre entonces cada nudo, y el momento no equilibrado que resulta se distribuye entre las barras que concurren en él y, se transmiten unos momentos al otro extremo de cada barra. Una vez calculados los momentos de continuidad es muy fácil trazar el diagrama de fuerza cortante del que se deduce el valor máximo y más peligroso del momento flector y de la fuerza cortante. 17.COLUMNAS Una columna es un elemento sometido a compresión, lo suficientemente delgado respecto de su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual, aunque está cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es mas de diez veces su dimensión transversal menor. Las columnas se suelen dividir en dos grupos. -Largas -intermedias A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo dentro de las columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas rompen por pandeo o flexión lateral, las intermedias por una combinación de aplastamiento y pandeo, y las cortas por aplastamiento.



18.Carga crítica Coloquemos una viga muy esbelta verticalmente, y articulada en sus extremos mediante rotulas que permiten la flexión en todas direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio, de manera que produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad, como se indica en la figura 1(a). Como las tensiones de flexión son proporcionales a la flecha, no experimentaran variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, como en la figura 1(b) y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la flecha

Fig.63 en el centro no varíe. En estas condiciones, el momento flector en el centro es:

PLH

M )2

(2

Y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,

)( CRPM

Entonces, como se indica en la figura 1(c) P cr es la carga crítica necesaria para mantener la

columna flexada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la flecha , lo que incrementará M, con lo que volverá a aumentar

y así sucesivamente hasta que la columna rompa por pandeo. Por el contrario, si P

disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la flecha, lo que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir , etc.y la columna termina por enderezarse por

completo. Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que flexe y quede flexada, como en la figura 61 – c.



19.Fórmula de Euler Esta fórmula es para columnas tan delgadas, que predomina la acción de la flexión o pandeo, y los esfuerzos de compresión no se toman en consideración.

2

2...

L

EINP = carga total de rotura.

N = 4 Extremos empotrados N = 2 un extremo empotrado y el otro articulado N = 1 ambos extremos articulados N = ¼ un extremo empotrado y el otro libre. De acuerdo con una serie de experimentos, las fórmulas de Euler deben ser empleadas si los valores de l/r sobrepasan los siguientes límites: Acero de construcción con extremos planos,195 Con extremos articulados,155 Con extremos redondos, 120 Con extremos articulados, 100 Con extremos redondeados, 75. La relación crítica de esbeltez que marca la línea divisoria entre las columnas mas cortas y las suficientemente delgadas para justificar el empleo de la fórmula de Euler, depende del material de la columna y de las condiciones de sus extremos. Si se aplica la fórmula de Euler cuando la relación l/r es demasiado pequeña, la resistencia a la rotura calculada sobrepasará el límite elástico aparente del material y, evidentemente, será incorrecta. Columnas cargadas excéntricamente En las fórmulas para el calculo de columnas que hemos dado anteriormente, se supone que la acción de la carga coincide con el eje de la columna. En caso distinto, se dice que la columna se halla cargada excéntricamente, y sus resistencia se calcula entonces

modificando la fórmula de Rankine, a la cual se le agrega la cantidad 2/ rcz al denominador. Esta fórmula modificada es aplicable a columnas que tengan una relación l/r que varíe de 20 a 30 hasta cerca de 100. Elementos de máquina sujetos a carga de compresión. En el caso de elementos estructurales sometidos a compresión, un elemento de máquina sin arriostramiento que sea relativamente esbelto, es decir, que su longitud sea superior a seis veces su menor dimensión perpendicular a su eje longitudinal, se diseña normalmente como una columna, puesto que su fallo debido a una sobrecarga (suponiendo una carga de compresión aplicada centralmente en dirección axial) puede producirse por pandeo o una combinación de pandeo y compresión antes que por la compresión directa exclusivamente. En el diseño de columnas de maquinas de acero, no arriostradas, que tienen que soportar cargas de compresión aplicadas a lo largo de sus ejes longitudinales, hay dos fórmulas de uso general.



(Euler) 2

22

L

NEI

Q

ArSP Y

CR

(J.B.Johnson) En

lSQdondeen

r

QASp Y

Ycr 2

2

2 .:),

41(

En estas fórmulas:

crp = carga crítica (daría lugar al fallo de la columna)

A = área de la sección transversal

YS = punto de fluencia del material

R = radio de giro mínimo de la sección transversal E = módulo de elasticidad L = longitud de la columna Para el caso del coeficiente n = coeficiente para las condiciones de los extremos: n=4 ambos extremos empotrados

n= 0,25 un extremo empotrado y el otro libre.

n= 2 un extremo empotrado y el otro libre pero guiado. n=1 para extremos redondeados o sobre rodillos libres pero guiados. Debe tenerse en cuenta que estos valores de n representan condiciones ideales que raramente son alcanzadas en la práctica; por ejemplo, para ambos extremos fijos, un valor de n de 3 a 3,5 es más ajustado a la realidad que n=4. 20.Aplicación de las fórmulas Euler y Johnson. Para determinar si es aplicable la fórmula de Euler o la de Johnson en un caso particular, es necesario determinar el valor de la

magnitud Q/r 2 . Si Q/r 2 es mayor que 2, debe utilizarse la fórmula de Euler ; si es inferior a 2, debe utilizarse la fórmula de J. B. Johnson. La mayoría de los elementos en el diseño de máquinas se encuentran en la gama de proporciones cubiertas por la fórmula de Johnson. Por este motivo, un buen procedimiento es diseñar los elementos de máquinas sobre la

base de las fórmulas de Johnson y después, como comprobación, calcular Q/r 2 para determinar si es aplicable la fórmula de Johnson o bien debía haber sido utilizada la de Euler. 21.Fórmula de Rankine o Gordon .- Esta fórmula se aplica por lo general, cuando la relación l/r oscila entre 20 y 100, y a veces para relaciones que llegan hasta 120



2)(1r

LK

P C Carga de rotura

El factor k puede establecerse mediante pruebas efectuadas con un material dado y condiciones definitivas, así como para la posible variación de l/r . Si se determina por

calculo, k = EC 2/ . El factor C es igual a 1 para extremos de columnas articulados , a 4 para extremos empotrados y de 1 a 4 para extremos rectos y planos. Los factores 25000, 12500, etc. , en las fórmulas de Rankine, son iguales a 1/k y se han empleado extensamente. Fórmula lineal.- Este tipo general de fórmula se emplea frecuentemente para calcular piezas comprimidas para edificios, puentes o trabajos de construcción similares. Es conveniente en especial cuando se calcula un número de columnas fabricadas con el mismo material, pero de distinto tamaño, y se supone que el factor B es conocido. Este factor se determina mediante pruebas.

P= )(r

lBSY = carga de rotura en kgf/cm 2

S y es igual al límite elástico aparente, y el factor B oscila entre 50 y 100. Coeficiente de

trabajo de seguridad =p/factor de seguridad. Fórmulas de la Asociación Norteamericana de Ingeniería Ferroviaria.- Las fórmulas dadas a continuación se aplican a aceros de construcción que posean una resistencia a la

rotura de 4218 kgf/cm 2 . Para las columnas de edificios con extremos remachados, o para una columna continua, la

carga de seguridad es igual a 1265-4,2l/r , con un esfuerzo máximo limitado a 1054 kgf/cm 2 , y para relaciones l/r hasta de 120. Para piezas de puentes con elementos remachados, la carga de seguridad resulta igual a :

1054-0,017 2)(r

l , para relaciones l/r hasta de 140.

Instituto Norteamericano de Construcciones en Acero (American Institute of steel Construction).- Para piezas principales a la compresión y relaciones l/r hasta de 120, la

carga de seguridad =119,5 - 0,034 22 / rl . Para columnas y refuerzos u otras piezas

secundarias con relaciones l/r > 120 .

Carga de seguridad =

2

2

.180001

1265

r

lkgf/cm 2

Columnas de tubo. Las cargas concéntricas admisibles para columnas de tubo de acero basadas en las fórmulas anteriores se dan en la tabla.



22.Relación de carga crítica para columnas con diferente tipo de apoyo y longitud La carga crítica, para una columna articulada en sus extremos, es como ya hemos visto:

PCRÍTICO

= 2

2..

L

IE esta fórmula se considera como el caso fundamental ya que nos

permite relacionar, el Pcrìtico de las columnas con diferentes condiciones de apoyo a igualdad de longitud o relacionar las longitudes entre ellas para un mismo P crítico . Fig.64 Observando el esquema anterior, vemos que en la columna doblemente empotrada, por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos de la luz , y como el momento flector es nulo en estos, los diagramas del sólido aislado de la figura (b) indican que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremos, de

longitud L e =L/2, introduciendo en el caso fundamental esta longitud equivalente, la carga

crítica que se obtiene para este tipo de columna es:

2

2

2

2

2

2 ..4

)2

(

....

L

IE

L

IE

L

IEP

e

(I)

Esta igualdad anterior nos indica que si la columna doblemente empotrada, tuviera la misma longitud que la doblemente articulada, resistiría un Pcrítico cuatro veces mayor que esta última. Es decir: Pcrítico (D.E) = 4 Pcrítico (D.A.) a igualdad de longitud. E.A = empotrada articulada D.E. = doblemente empotrada D.A. = doblemente articulada. La figura (a) permite determinar también la carga crítica para una columna empotrada en un extremo y libre en el otro (tipo mástil). Las cargas críticas en este tipo, figura (b), y en la



doblemente empotrada figura (a), son iguales, pero teniendo en cuenta que esta última es cuatro veces más larga que la primera. En otras palabras, en la ecuación (I) hay que poner una longitud Le igual a cuatro veces la longitud real de la columna tipo mástil, con lo que la carga crítica para este tipo de columna viene dada por:

2

2

2

2

2

2 ..

4

1

)4(

..4..4

L

IE

L

IE

L

IEP

e

Que es una cuarta parte de la correspondiente al caso fundamental, doblemente articulada. Es decir a igualdad de longitud el Pcrítico de una doblemente articulada es cuatro veces el Pcrítico de una mástil. Otro tipo de columna que suele presentarse es la empotrada en un extremo y articulada en el otro, como se indica en la figura (página 415 singer). El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a 0,7L del extremo articulado, por lo que introduciendo en la ecuación del caso fundamental una longitud Le =0,7L, da como valor de la carga crítica:

2

2

2

2

2

2 ..2

)7,0(

....

L

IE

L

IE

L

IEP

e

(muy aproximadamente)

Esto significa que a igualdad de longitud entre una doblemente articulada y una articulada empotrada, el Pcrítico de la primera es el doble que el Pcrítico de la segunda. En resumen si las cuatro columnas con diferentes condiciones de apoyo, tienen la misma longitud entonces la relación entre sus Pcríticos es: Pcrítico de la mástil = P Pcrítico de la D.A. = 4P Pcrítico de la E.A. = 8P Pcrítico de la D.E. = 16P 23.Limitaciones de la fórmula de Euler Una columna tiende a pandear siempre en la dirección en la que es más flexible. Como la resistencia a la flexión varía con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia a pandear tiene lugar, pues respecto del eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler demuestra también que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo elástico. Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, pandearán bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son



muy diferentes tienen prácticamente el mismo módulo elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia respecto de los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible. Para que la fórmula de Euler sea aplicable, la tensión que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar esta tensión, se sustituye en la

fórmula el momento de inercia I por 2Ak , donde A es el área de la sección recta y k el radio de giro mínimo. Para el caso fundamental se tiene:

2

2

)(k

L

E

A

P (II)

Para los otros casos, se pondrá en lugar de L la longitud equivalente: También es costumbre en el diseño utilizar ejes para soportar cargas, como es el caso de los talleres donde se utilizan aparejos diferenciales o tecles para levantar motores u otros elementos mecánicos para su reparación o mantenimiento. El cálculo de ejes según la definición europea soporta solamente cargas de flexión y se seleccionan bajo las mismas condiciones que una viga estructural.

Le (D.A)= .... 7,02

2AEMASTIL

ED LLL

Fig.65 El valor P/A es la tensión media en la columna cargada con su carga crítica, y se llama tensión crítica. Su límite superior es la tensión en el límite de proporcionalidad. La relación L/k se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez, de la columna. Como una columna cargada axialmente tiende a pandear respecto del eje I mínimo, para hallar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva por el radio de giro mínimo de la sección recta. Por convenio, se define como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de aplicación de la fórmula de Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación (II) los valores conocidos del límite de proporcionalidad y del módulo elástico de cada material, de forma que el límite

2

2

)(k

L

E

A

P



mínimo de la esbeltez varía con el material y también con los diferentes tipos dentro de cada material.

Como ejemplo, para un acero que tenga un límite de proporcionalidad de 2100 kgf/cm 2 ,

como E= 2,1 x 10 6 kgf/cm 2

. , el límite mínimo de la esbeltez mecánica con el que puede

aplicarse la fórmula de Euler es:

100002100

)101,2()(

262 x

k

L o sea 100

k

L

Por debajo de este valor, como se indica en la figura 3, en la parte de trazos de la curva de Euler la tensión que daría la carga de Euler excedería al límite de proporcionalidad, por lo que para L/k < 100 la fórmula de Euler no es aplicable, y hay que considerar como tensión crítica el límite de proporcionalidad. La curva muestra también que la tensión crítica en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea lo menor posible. Finalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga crítica por el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 2 a 3 según el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible. Ejemplo Elegir el perfil I más económico para trabajar como columna de 5,50 m. de altura que ha de soportar una carga axial de 42000kgf. Con un factor de seguridad igual a 3. Supóngase a) extremos articulados, y b) un extremo empotrado y el otro articulado. Solución:

a) Para un acero con límite de proporcionalidad de 2100kgf/cm 2 , la aplicación de la fórmula de Euler para el caso fundamental requiere que la esbeltez L/k sea mayor de 100. Si es menor, se tomará como tensión limite la del límite de proporcionalidad. La carga de trabajo, multiplicada por el factor de seguridad 3, da una carga crítica de 126000 kgf. Aplicando la fórmula de Euler y despejando I se obtiene:

2

2..

L

IEP 4

26

2

2

2

1839)101,2(

)550(126000cm

xE

PLI

Ahora bien, la esbeltez L/k 100. Por tanto, el radio de giro mínimo ha de ser:

.5,5100

550

100cm

cmLk

Así, pues, con arreglo a estos criterios, la sección debe tener un momento de inercia

mínimo mayor que 1839 cm 4 y un radio de giro mínimo menor de 5,5 cm. Se puede

elegir un perfil I de ala ancha de 20 cm., que tiene 42068cmIMIN y un radio de giro

mínimo de 5,08 cm.



Si la elección del perfil se hiciera con arreglo al límite de proporcionalidad, la sección

debería tener un área mínima de 60 cm 2 (126000 kgf divididos por 2100 kgf/cm 2 ) y su valor del radio de giro mínimo superior a 5,5 cm. Estas condiciones serían satisfechas por un perfil I de ala ancha de 22 cm. Cuyas características geométricas

son: A = 93cm 2 y .6,5min cmk

La sección más ligera y, por tanto, más económica, es el perfil I de ala ancha de 20cm.

b) La carga crítica de Euler es; como antes, de 126000 kgf. Con un extremo fijo y el otro articulado la longitud efectiva de una columna equivalente del tipo fundamental es 0,7L = 3,85 m. Teniendo en cuenta esta longitud efectiva en lugar de la real , los criterios de elección según la fórmula de Euler son:

4

26

2

2

2

891)101,2(

)385(126000cm

xE

PLI

..85,3100

385

100cm

Lk

Se podría elegir un perfil I normal de 38 cm., con 4975cmIMIN y .02.3min cmk

Con arreglo al criterio del límite de proporcionalidad,

2602100

12600cmA y k > 3,85 cm.

Se necesitaría un perfil de ala ancha de 18 cm., con A = 67,5 cm 2 y .56,4min cmk

Comparando ambas soluciones, se deduce que la más económica es la segunda, que pesa 53 kgf/m. mientras que la primera pesa 84 kgf/m. Si se hubiera basado la elección en el valor de I, sin comprobar k, se podría elegir un perfil I

de ala ancha de 16 cm. Con I min = 922 cm 4 > 891. Pero como para esta sección 06,4mink y

A= 56 cm 2 , la tensión resultante excedería al límite de proporcionalidad de 2100 kgf/cm 2 , lo cual no es aceptable ya que entonces no se cumpliría la proporcionalidad tensión-deformación en la que se basa la fórmula de Euler. Estos problemas muestran la importancia de la esbeltez en el análisis de las columnas. En la parte a) la elección de la sección ha quedado determinada por la estabilidad elástica, es decir, por la fórmula de Euler, mientras que en la parte b), lo ha sido por el límite de proporcionalidad.



En los mecanismos de transmisión de fuerza, como por ejemplo elementos compuestos por vástagos ; la carga admisible para grandes carreras, debido al esfuerzo de pandeo, es inferior a la que resulta de la presión de trabajo y la superficie del émbolo dada. La carga no debe sobrepasar en este caso de determinados valores máximos, que dependen de la carrera y del diámetro del vástago. Los diagramas muestran esta dependencia según la fórmula de Euler. Observamos entonces que en la mecánica, hay necesidad de verificar por pandeo elementos de transmisión de fuerzas cuyas longitudes determinaran la geometría de las partes para soportar las cargas correspondientes.



24. TABLAS.



DIN 671 DIN 178 DIN 176 (mayo 59) (jun. 69) (feb. 72) d 5...200 a 2...100 s 1,5...100 Diámetro d Long. del lado a

Entre caras s Peso en kg. por m de longitud 5 0.154 0.196 0.170 6 0.222 0.283 0.245 7 0.302 0.385 0.333 8 0.395 0.502 0.435 9 0.499 0.636 0.551 10 0.617 0.785 0.680 11 0.746 0.950 0.823 12 0.888 1.13 0.979 14 1.21 1.5. 4 1.33 16 1.58 2.01 1.74 18 2.00 2.54 (17) ... (1.96) 20 2.47 3.14 (19) ...(2.45) 22 2.98 3.80 3.29 25 3.85 4.91 (24) ... (3.92) 28 4.83 6.15 (27) ... (4.96) 32 6.13 8.04 6.96 36 7.99 10.2 8.81 40 9.86 12.6 (41) ... (11.4) 45 12.5 15.9 (46) ... (14.4) 50 15.4 19.6 17.0 56 19.3 - (55) ... (20.6) 63 24.5 31.2 (65) ... (28.7) 70 30.2 38.5 33.3 80 39.5 50.2 43.5 90 49.5 - 55.1 100 61.7 78.5 68.0 125 96.3 - - 140 121.0 - - 160 158. - - 180 200.0 - - 200 247.0 - -



TIPO DE CARGA SOBRE EL TRAMO

L

aA6

L

bA6

)( 22 aLL

Pa)( 22 bL

L

Pb

44

23 QLqL

44

23 QLqL

23

30

8

60

8QLqL 23

30

7

60

7QLqL

22

30

7

60

7QLqL

23

30

8

60

8QLqL

)2()2(4

222222 aLabLbL

q)2()2(

4

222222 cLcdLdL

q

23

16

5

32

5QLqL

23

16

5

32

5QLqL

)3( 22 LaL

M)3( 22 Lb

L

M

1

2

3

4

5

6

7



Bibliografía Resistencia de materiales. Ferdinand Singer. Mecánica de materiales. Luis Paretto. Resistencia de materiales. Colección Schaum. Resistencia de materiales. Jorge Díaz Mosto. Resistencia de materiales Timoschenko. Resistencia de materiales Miroliubov. Resistencia de materiales Popov. Manual del Ingeniero Mecánico Marks. Teodoro Baumister y Eugene Avallone.

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