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Institución de Educación SuperiorInstitución de Educación Superior

ENTRESALTOSENTRESALTOS

Fortalecimiento Académico al Estudiante

FAEFAE

En esta ayudarán a mejorar tu rendimiento académico en diferentes aéreas

tales como matemáticas, contabilidad, entre otras.

cartilla encontrarás guías, talleres y algunas técnicas que te

Ejercicio n° 39)

Ejercicio n° 40)

Ejercicio n° 41)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno

Ejercicio n° 42)

Ejercicio n° 43)

Ejercicio n° 44)

Ejercicio n° 45)

Ejercicio n° 46)

f ’(x) (2x+7) arc tg (x +3x +x-2)+32(x +7x-2)(4x +6x+1)24

4 21+(x +3x +x-2)2

f ’(x) (4x +e ) arc tg (3x +x+5)+x4(x +e +1)(6x+1)2x3

21+(3x +x+5)2

f ’(x) (3x +4) arc tg (x +e +1)+2x3(x +4x+3)(2x+2e )22 2x

21+(x +e +1)22x

2x(x+3)f ’(x) arc sen (x +2)+2

1-(x +2)2 2

f ’(x) (2x+4) arc sen (x +3x +1)+4 2 (x +4x+2)(4x +6x)2 3

1-(x +3x +1)4 2 2

f ’(x) (3x +2e ) arc sen (3x -2x+2)+2 2x 2

1-(3x -2x+2)2 2

(x +e +3)(6x-2)3 2x

f ’(x) (2e +3•4 +1) arc sen (3x -4x+1)+2x 3x 2 (e +4 +x+2)(6x-4)2x 3x

1-(3x -4x+1)2 2

f ’(x) (5x -8x+3) arc sen (e +4 +2)+4 2x 3x (x -4x +3x+2)(2e +3•4 ln4)5 2x 3x2

1-(e +4 +2)2x 23x




Contenido de interés

Matemáticas I 5

Matemáticas II 21

Respuestas 36

Bibliografía 60

Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 1).


Reducción de términos semejantes. (Guía de trabajo no. 1).

Productos notables. (Guía de trabajo no. 1).

Factorización. (Guía de trabajo No 1).


Simplificación de fracciones algebraicas. (Guía de trabajo no. 1).

6

9

10

1

14

18

20

Derivadas de 1er nivel.

Derivadas de 2do nivel.


Derivadas de 4to nivel.

22

26

29

32



Reducción de términos semejantes.(Guía de trabajo no. 1).

Productos notables. (Guía de trabajo no. 1).



Simplificación de fracciones algebraicas. (Guía de trabajo no. 1).


Derivadas de 2do nivel.


Derivadas de 4to nivel.

36

37

38

39

39

42

44

44

48

52

55

Ejercicio n° 28)

Ejercicio n° 29)

Ejercicio n° 30)

Ejercicio n° 31)

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente

Ejercicio n° 32)

Ejercicio n° 33)

Ejercicio n° 34)

Ejercicio n° 35)

Ejercicio n° 36)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente

Ejercicio n° 37)

Ejercicio n° 38)

f’(x) (8x -3)cos(3x -5)-6x(4x -3x+1)sen(3x -5)2 22

f’(x) (24x +3x +1)cos(x +7x)-(4x +x +x-2)(4x +3x +1)sen(x +7x)2 65 4 3 3 2 4

f’(x) (-3x +2)cos(x -3)-5x (-x +2x-3)sen(x -3)54 32 5

f’(x) (3-3•5 ln5)cos(4x +2 )-(3x-5 )(4x +4•2 ln2)sen(4x +2 )24x 3x3x 3 4x 3 4x

f ’(x) -2(-40x + x )cos(8x +3x )sen(8x +3x )-5-6 95

-25

35 -5

35

f ’(x) 68xtg(4x +7)+24x (4x -5)[1+tg (4x +7)] 5 2 2 6

f ’(x) 2tg(x +3x+1)+(x+2)(2x+3)[1+tg (x +3x+1)] 2 2

f ’(x) 4(5x +3x )tg(3x +2x+1)+(x +x +2)(6x+2)[1+tg (3x +2x+1)] 2 2 5 3 2

f ’(x) (2x+8e )tg(x +3x+1)+(x +2e )(3x +3)[1+tg (x +3x+1)] 4x 3 2 4x 2 32

f ’(x) (12x +9e )tg(x -2x+3)+(2x +3e +2)(2x-2)[1+tg (x -2x+3)] 3x 2 6 2 23x5

f ’(x) (2x arc tg(x +5)+2

3

2

23 3x (x +1)

1+(x +5)

f ’(x) (3x +8x) arc tg(6x +8)+22312x(x +4x -5)

2 21+(6x +8)

2

Ejercicio n° 14)

Ejercicio n° 15)

Ejercicio n° 16)

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e

Ejercicio n° 17)

Ejercicio n° 18)

Ejercicio n° 19)

Ejercicio n° 20)

Ejercicio n° 21)

Derivada de una función trigonométrica tipo seno

Ejercicio n° 22)

Ejercicio n° 23)

Ejercicio n° 24)

Ejercicio n° 25)

Ejercicio n° 26)

Derivada de una función trigonométrica tipo coseno

Ejercicio n° 27)




BIENVIENID@S al mejor espacio cognitivo y de esparcimiento académico que te ofrece la Tecnológica FITEC. En esta sección pondrás a prueba todos tus conocimientos sobre matemáticas empleando el razonamiento lógico y deductivo de una manera

didáctica y divertida que te servirá para fortalecer tus conocimientos. Adelante…

f ’(x) 3e4

4(x + x + x+6)2 3

(x + x + x+6) (4x + x+ )2 234

25 3

425

3 32

25

f ’(x) 5e4

4(- x +6x + x +8x-3)3 2 5

(- x +6x + x +8x-3) (- x +18x + x)3 217

73 1

773

4 47

143

3 2

f ’(x) e (5x +2x)x5 6

f ’(x) 43

4(8x +5x +2x +x+4)24

6(8x +5x +2x +x+1) (32x +15x +4x+1)ln(4)3 56

2 3 2

f ’(x) 53

4(2x +4x +3x +x+4)24

7(2x +4x +3x +x+4) (8x +12x +6x+1)ln(5)3 67

2 3 2

f ’(x) 52

4(2x +x +x +2x+3)-25

2(2x +x +x +2x+3) (10x +4x -2x +2)ln(3)-2 75 4 34

-3

f ’(x) 6 6(-3x +x +2)-36

(-4)(-3x +x +2) (-18x -6x )ln(6)-6 5 -7-6

-4

f ’(x) 25

5( x +4x + x-3)3 6

6(- x +4x + x -3) (- x +12x + )ln(2)3 529

75 2

975

109

75

4 2

f ’(x) 3sen(4x +5)+8x(3x+4)cos(4x +5)2 2

f ’(x) (12x +1)sen(x +4x-1)+(3x +x+2)(2x+4)cos(x +4x-1)3 2 4 2

f ’(x) (3x -4e )sen(3x +3e )+(x -2e )(6x+12e )cos(3x +3e )2 2 3 2x 4x2x 4x 4x2

f ’(x) (10x -6e )sen(4x -5)+12x (2x -3e )cos sen(4x -5)4 3 2 5 2x2x 3

f ’(x) (12x+3•2 ln 2)sen(2x -3e )+(6x 2 )(10x -3e )cos(2x -3e )5 x 2 3x3x 4 x 5 x

f ’(x) 14xcos(3x -3)-12x (7x +12)sen(3x -3)2 44 3




Ejercicio n° 4)

Ejercicio n° 5)

Derivada de una función logarítmica

Ejercicio n° 6)

Ejercicio n° 7)

Ejercicio n° 8)

Ejercicio n° 9)

Ejercicio n° 10)

Derivada de una función exponencial con base el número e

Ejercicio n° 11)

Ejercicio n° 12)

Ejercicio n° 13)

f ’(x)

f’(x)

5(4x +2x +3x+-4) (12x -4x +3)

-7(-3x +4x +3x +-3) (-18x -4x -18x )

3

6

-2

-1

-6

-6

-3

5

2

-2-8 -7

f ’(x)6(12x +2x+3)2

4x +x +3x+523

f ’(x)5(12x - 12x-14x )3 -5

3x -6x + x +644 -4

2

7

f ’(x)7(21x - x -14x )3 -3-2

7x + x +7x +3-13 -2

8

38

3

f’(x)-5(15x -6x +4)2

5x +3x +4x-4-23

-3

f ’(x)-2(-12x -16x +48x)3

-3x +8x +24x +6-24

-3

2

f ’(x) 3e5

5(x +x +x+8)2 3

(x +x +x+8) (5x +2x+1)2 2 4

f ’(x) 5e4

4(2x +4x +7x+4)2 5

(2x -4x +7x+4) (8x -8x+7)2 4 3

f ’(x) 2e3

3(-5x +4x -3x-8)2 2

(-5x +4x -3x -8)(-15x +8x-3)2 2


CUADROS MÁGICOSGUÍA DE TRABAJO No. 1

Ø

¿Cuántos escribiste?

UN POCO DE HISTORIA

Grabado del libro de Agrippa: Tabula Saturni

ü

1

Ejercicio nº 31)

Ejercicio nº 32)

Ejercicio nº 33)

Derivada de una función exponencial con base e: forma compuesta

Ejercicio nº 34)

Ejercicio nº 35)

Ejercicio nº 36)

Ejercicio nº 37)

Ejercicio nº 38)

Ejercicio nº 49)

Derivadas de 4to nivel

Derivada de una función potencial

Ejercicio n° 1)

Ejercicio n° 2)

Ejercicio n° 3)

f ’(x) (20x +6x +1)ln(6x -x+8)+4 2

6x -x+855 (30x -1)(4x +2x +x+1)4 5 3

f ’(x) (-6x+10)ln(x +4x-5)+(-3x +10x-1)(6x +4)2 5

x +4x-566

f ’(x) (7x +21x +3)ln(4x -3x-1)+4x -3x-12

6 2 2 (x +7x +3x+1)(8x-3)37

f ’(x) 2e2x

f ’(x) 7e7x

f ’(x) -e -x(-1)e-x

f ’(x) -4e -4x(-4)e-4x

f ’(x)23

2x

3e

f ’(x) 3 4e4x 12e 4x

f ’(x)

f’(x)

5(x +x +x+5) (3x +2x+1)

2(2x -6x + x +5)(8x -12x- x )

3

4

2

2

4

-3

2

3 -47

2

21

2

f ’(x) 8(8x + x +7x +4) (24x - x -14x )3 -1 7 -229

-2 2 -329




Practica:

1. Completa el siguiente cuadro mágico de 3x3 empleando los números de 1 a 9, de masus columnas, filas y diagonales sumen 15.

nera que

2. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24.

Otras variaciones de los cuadros mágicos, son:

3. Escriba una letra diferente en cada casilla, de tal manera que:

Ø En cada casilla, en cada fila y en cada columna no se repita letra.Ø En cada región demarcada de no se repita letra.

Así en la fila sombreada, de izquierda a derecha, se podrá completar una palabra.

4. Ubique en cada casilla los números de: 1, 2, 3 o 4, cumpliendo las siguientes indicaciones:

Ø En cada columna y en cada fila no debe repetirse número.

SL

A

5

2

9

7

Ejercicio nº 21)

Ejercicio nº 22)

Ejercicio nº 23)

Ejercicio nº 24)

Ejercicio nº 25)

Ejercicio nº 26)

Ejercicio nº 27)

Ejercicio nº 28)

Ejercicio nº 29)

Ejercicio nº 30)

f’(x)

f’(x)

-sen(x)

cos(x)

cos(x)

sen(x)

-tg(x)

ctg(x)

f’(x)

1

arc tg(x)1+x2 1

(1+x ) arc tg (x)2

f’(x)-6x +30x + cos(x)2

-x +15x + sen(x)23

f’(x)3x +4x2

6x +4

f’(x)-10x -sen(x)-3

-x +4 cos(x)-2

f’(x)9x -4x +e2 -5 x

3x +x +e +13 -4 x

f’(x)20x +6x +2x +3e4 2 -3 x

4x +3x -x +3e5 2 x-2

f’(x)3(x+4)

3x+51•ln(3x+5)+(x+4)

3

3x+5ln(3x+5)+

f’(x) (3x +2x+1)ln(5x -7)+2 2 10x(x +x +x+5)3 2

5x -72




Ø

> >

>>

3

10

6

15

2

11

7

14

13

8

12

1

16

9

5

4

2

2

Ejercicio nº 12)

Ejercicio nº 13)

Ejercicio nº 14)

Ejercicio nº 15)

Ejercicio nº 16)

Ejercicio nº 17)

Ejercicio nº 18)

Ejercicio nº 19)

Ejercicio nº 20)

f’(x)x-3

f(x)=-6ln12( (x =-6

2

1ln(x)= -3ln(x)

f(x)=5

4ln x

23( (= 5

4

3

2ln(x)=

15

8ln(x) f’(x)

15x8

f(x)=ln x3( (=ln x32( (= 2

3ln(x) f’(x)

2x3

f(x)=ln x3( (=ln x23( (= 3

2ln(x) f’(x)

3x22

f(x)=ln x3( (=ln x53( (= 3

5ln(x) f’(x)

3x55

f(x)=4ln x4( (=4ln x54( (= 4

5ln(x)=5ln(x)5 4 f ’(x)

x5

f(x)= x7( (= ln x57( (= 4

3ln(x)= ln(x)5 f’(x)

28x15

4

3ln

4

3

7

5

28

15

f(x)= 7x3( (54 ln f’(x)x4

f ’(x)7x2




CUADROS MÁGICOS

GUÍA DE TRABAJO No. 2

Hola, apreciados estudiantes, 4x4 con un grado de dificultad algo mayor a la que veníamos desarrollando…diviértanse…

Primero recordemos cómo se elabora un cuadro mágico 3x3 o de orden 3.

en esta nueva sesión trabajaremos una variación de los cuadrados mágicos de

2. Completar el cuadro mágico de 4x4 teniendo en cuenta que:

Ø Se utilizan los números del 1 al 16. Ø La suma de los números en cada fila, en cada columna y en cada diagonales 34.

Ø El número pequeño a los números en dicha región.

que se encuentra en cada región sombreada y demarcada corresponden

15

10

19

14 15

16

7

1. Para el 1 hasta el 9

resolver estos tipos de problemas de un cuadrado de orden 3, utilizamos los dígitos desde

a. ¿Cuál es la suma de los dígitos desde 1 hasta 9?

b. ¿Cómo podemos utilizar esta suma para establecer la “suma mágica” en el cuadrado mágico 3x3?

c. Utilizando los dígitos desde 1 hasta 9, haga una lista de todas las ternas de números diferentes cuyasuma es 15.

¿Cómo podemos utilizar la lista anterior para reconstruir el cuadrado mágico de orden 3?¿Cuál es la relación entre la suma mágica y el número del centro del cuadrado?

Derivadas de 3er nivel

Noción logarítmica: forma compuesta simple

Ejercicio nº 1)

Ejercicio nº 2)

Ejercicio nº 3)

Ejercicio nº 4)

Ejercicio nº 5)

Ejercicio nº 6)

Ejercicio nº 7)

Ejercicio nº 8)

Ejercicio nº 9)

Ejercicio nº 10)

Ejercicio n° 11)

f’(x)x2x12

f’(x)x3x

143

4

f’(x)x5x

125

2

f’(x)x3x

13

f ’(x)x5x45

4

f ’(x)7x 2x

373

2

f’(x)5x-43-4

5

2

3

2x

f(x)=ln(x ) = 2ln(x)2

f ’(x)x2

f(x)=ln(x ) = -5ln(x)-5 f’(x)x-5-5x

-6

x-5

-5x5

x6

f(x)=3ln(x ) =3•4ln(x)=12ln(x)4 f’(x) x12

12•x

1

f ’(x)5x

14f(x)=7ln2

5( (x =7•5

2ln(x)=

5

14ln(x)






3

Ejercicio nº 33)

La derivada de un cociente de funciones

Ejercicio nº 34)

Ejercicio nº 35)

Ejercicio nº 36)

Ejercicio nº 37)

Ejercicio nº 38)

Derivada de una función logarítmica: forma simple

Ejercicio nº 39)

Ejercicio nº 40)

f’(x) 120x +80x -78x -50x-54 23

f’(x)

f’(x) f(x)

6x (4x +7)-(2x +5)8x

(12x

2

2

3

2 2

2

(4x +7)2 2

(3x -4)2 2

24x +42x -16x -40x

36x -48x -30x +40x-24x +30x

4

4

4

3

2

2

(4x +7)2 2

(3x -4)2 2

8x +42x -40x4 2

(4x +7)2 2

2x(4x + 21x-20)3

(4x +7)2 2

-10x)(3x -4)-(4x -5x )6x3 4 3 12x -48x -40x4 2

(3x -4)2 2

4x(3x -12x+10)3

(3x -4)2 2

f ’(x) 3x +96x +54x -28x-187 34

x (4x+3)7 2

f ’(x) -2(3x -12x-7)2

(3x +7)22

f ’(x)(x +1) 27

x +24x +2x -18x +114 9 7 2

f ’(x)x5

f(x)5x3




Baldor, Aurelio (1990). Algebra de Baldor. Editorial Publicaciones Cultural. Bogotá.4

4

La derivada de una suma de funciones

Ejercicio nº 22)

Ejercicio nº 23)

Ejercicio nº 24)

Ejercicio nº 25)

Ejercicio nº 26)

Ejercicio nº 27)

Ejercicio nº 28)

Ejercicio nº 29)

La derivada de un producto de funciones

Ejercicio nº 30)

Ejercicio nº 31)

Ejercicio nº 32)

f’(x) 3x +2x+12

f’(x) 15x +6x+62

f’(x) -6x +6x-62

f’(x) -3x +2x-x-4 -2

f’(x)

x1

2

-1

2x8

3

-1

3

7

f’(x)

-20x 9x-6 x15

2

-7122

f’(x)

x6

5

2x1

25

f’(x) x32

3

3x10

9

-1

32x

-7

5

f’(x) 6x(2x +1)+(3x +3)4x=12x +6x+12x +12x=24x +18x= 6x(4x +3)2 2 3 3 3 2

f’(x) 12x (4x +4)+(4x -6)8x=48x +48x +32x -48x=

=80x +48x -48x= 16x(5x +3x-3)

2

4

3

3

4 22

2

4

f’(x) (-2x+4)(4x -3)+(-x +4x+5)16x = -8x +6x+16x -12-16x +64x +80x =

= -24x +80x +80x +6x-12)= -2(12x -40x -40x -3x+6)5

4 2

4 3

3 34545

5 4 3


(3a3 - 4)3

(2x - 8ya-1)3

a) (x + 5)2

b) (xa+1+ yb-2)2

c) (8 - a)2

d)

(3x4 -5y2)2

-

6)

e)

(xa+1

-

4xa-2)2

(4ab2

3)2

f)

(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)

g)

(x + 4)3

h)

(5x + 2y)3

i)

(2x2y + 4m)3

j) (1 - 4y)3

k) 7xy

l) a+4

m) (x + 5)(x + 3)

n) (a + 9)(a

o) + 6xy

p) (y -12)(y - 7)

q) (4x3+ 15)(4x3+ 5)

r) (5ya+1+ 4)(5y a+1- 14)

s) (7a + b)2

t) (5a + 10b)(5a -10b)

COCIENTES NOTABLES

1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de lascantidades. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador. Simplificamos.

2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la las cantidades.Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador. Simplificamos.

suma o diferencia de

3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades

Criterios de divisibilidad

a) Criterio 1: la por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible

Ejercicio nº 7)

Ejercicio nº 8)

Ejercicio nº 9)

Ejercicio nº 10)

Ejercicio nº 11)

Ejercicio nº 12)

Ejercicio nº 13)

Ejercicio nº 14)

Ejercicio nº 15)

Ejercicio nº 16)

Ejercicio nº 17)

Ejercicio nº 18)

Ejercicio nº 19)

Ejercicio nº 20)

Ejercicio nº 21)

f’(x) x9

2

9

2-1

x45

2

7

2

45 x2

7

5•

f’(x)

-18

x 73(-6)x -7 -18x -7

f’(x) x-3

7

-3

7-1

x-12

7

-124

-3 7

7 7-

x-12

7

-10

7 -12

7x10

7 x7 107

f(x) 4x -1 4x f ’(x)

-44(-1)x -4x x 2

-1-1 -2

f’(x)

f’(x)

x

x

-10

3

97

2

7

f’(x)-2

x

f’(x)3

x545

f’(x)6

x525

f’(x)3

x543

f ’(x)-3

x23

f’(x)-5

x676

f’(x)-3

x23

f’(x)-8

x575

f’(x)-40

x353




a) Criterio 2: 1sumacantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:

a diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la

b) Criterio 3: de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :

la suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por lasuma

c) Criterio 4 :

A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma

es divisible ni por la suma ni por

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no las cantidades. Es decir, cocientes de la forma:

es divisible por la suma de

Recuerda: se esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.

dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta,

2. EJERCICIOS PROPUESTOS

A continuación desarrolla los ejercicios en grupos colaborativos y orientados por el tutor.

a) (x + y)2 – 100 (x + y) – 10

b) 1 + x3

1 + x

c)

64x3 + 27y3 4x + 3y

d)

125a3 + 27b

3

5a + 3b

e) 8a12

- 125b15

2a4 - 5b5

f)

729x3y

6 - 512z

9

9xy2 - 8z

3

g) a2 – 16

a + 4

h) 25x2 - 49y 2 5x + 7y

i) 4a2 - 16x2y4

2a + 4xy2

j)

9 - 36x4

3 - 6x2

k) 16x 4 - 25y4

4x2 - 5y2

a - b = a - a b + ... + ab - b

mm

m-1 m-2 m-2 m-1

a + b

= a - a b + ... + a b - ab + ba + b

mm

m-1 m-2 m-3 m-2

a + b m-12

a + b , donde m es par, no son exactos mm

a - b , donde m es impar, no son exactos

a + b

mm

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: forma simple

Ejercicio nº 39)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: forma simple

Ejercicio nº 40)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: forma simple

Ejercicio nº 41)

Derivadas de 2do nivel

Derivada de una función potencial:forma simple

Ejercicio nº 1)

Ejercicio nº 2)

Ejercicio nº 3)

Ejercicio nº 4)

Ejercicio nº 5)

Ejercicio nº 6)

f’(x)cos

1

(x)2

f’(x)1-x

12

f’(x)1

1+x 2

f ’(x)

f’(x)

f’(x)

4

-5

2

5

f ’(x) 2

f ’(x) 24x28•3x

2

f’(x) 14x62•7x

6



Derivada de una función logarítmica: forma simple

Ejercicio nº 30)

Derivada de una función exponencial con base e: forma simple

Ejercicio nº 31)

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: forma simple

Ejercicio nº 32)

Ejercicio nº 33)

Ejercicio nº 34)

Ejercicio nº 35)

Ejercicio nº 36)


Ejercicio nº 37)


Ejercicio nº 38)




Factorización por diferencia de cuadradosa) Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.b) Se abren dos paréntesis.c) En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1.

()()()

25

1.8

81

49.7

2.6

4.5

9

14.4

49.3

12125.2

.1

42

1210

22

22

2

121062

42

282

−−

−−

+−+−

+−−

−−

−−−−

−−

nn

xn

n

ba

ba

xxa

yxx

x

azyx

yx

cba

f’(x) x1

f’(x) ex

f’(x)

f’(x)

9

2

x

x

1n

1n

9

2

f’(x)7

x

1n5

7

5

f’(x)1

x

1n2

1

2

f’(x) 0.25x1n(0.25)

f ’(x) cos(x)

f ’(x) -sen(x)


Ejercicio nº 22)

Ejercicio nº 23)

Ejercicio nº 24)

Ejercicio nº 25)

Ejercicio nº 26)

Ejercicio nº 27)

Ejercicio nº 28)

Ejercicio nº 29)

f(x) xx4

55

f’(x)

x4

5

4

5-1

x4

5

4 5

5 5-

x4

5

1

5-

4

5x1

5

4

x55

4

f(x) xx

5

454

f’(x)

f’(x)

x

x

5

11

4

4

5

11

4

4

-1

-1

x

x

5

11

4

4

5

11

4

4

4

4

4

4

-

-

x

x

5

11 11

4

4 4

1

7

4

4

4

4

x

xx

5

11x

4

44 7

f(x) xx11

41143

f(x)

f(x)

x

x

x

x

1

1

2

5

x

x

1

1

2

5

-

-

1

1

1

1

f’(x)

x1

2

1

2-1

x-1

2

3

2-

-1

2x32

-1

x23

-

5

f ’(x)

x1

5

1 5

5 5--

x1 -1 -1

55x

6

5 -1

x5x56

5 x5 65

f(x)xx

3

2

x 3

2-

1 13

f’(x)

x3

2

3

2-1-

x x3 3 -3 -3

2 2

3 52

2 22

-3

x2x2

2x52 x

52

f(x)x1

25

f ’(x) -2

x 533

f(x)

x1

73

f’(x)

x7

3

7

3-1-

x x7 7 -7 -7

3 3

7 103

3 33 -7

3x103 x

103 3

x3x3 3




5. a²+4ª+3 6. m²+5m-14 7. y²-9y+20 8. a²+42ª+432 9. m²-30m-675 10. y²+50y+336

1. a?+a²+1 2. m?+m²n²+n? 3. x8+3x?+4 4. a?+2a²+9 5. a?-3a²b²+b? 6. x?-6x²+1

Factorar una expresión que es el cubo de un binomio.El desarrollo del cubo de un binomio es:

Derivada de una función potencial: forma simple

Ejercicio nº 11)

Ejercicio nº 12)

Ejercicio nº 13)

Ejercicio nº 14)

Ejercicio nº 15)

Ejercicio nº 16)

Ejercicio nº 17)

Ejercicio nº 18)

Ejercicio nº 19)

Ejercicio nº 20)

Ejercicio nº 21)

f’(x)

f’(x)

f’(x)

6x

3x

5

6-1

3-1

5

6x 5

3x 2

x3

2x

2-1 5 5

2x

222 5 3

2x

2 5

2

5x x2

f ’(x) -7x-7-1

-7x-8 -7

x2

8

f’(x) 1x-1-1

11x0

f’(x)-4 -4

7x

7-1 -4

7x

-47

77 -4

7

-117

x-4

7x117

-4

x117 7

-4

x47x7

f(x) 1

x3 x-3 f ’(x) -3x-3-1

-3x-4 -3

x4

f(x) 1

x-4 x4f ’(x) 4x

4-14x

3

f’(x) x3

2

3

2-1-

x3

2

3 2

2 2- -

x3

2

5

2-

3

2x

5

2 -3

x52

f’(x) x12x

f’(x) x15x5

1

x2

1

x5 5 4

f’(x)12x1

2

-1 12x1

2

- 22 x1

2

-1

122x

12

f’(x)15x1

5

-1 15x1

5

- 55 x1

5

-1

455x

45






3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo.

4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado.

5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado.

6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis.

7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal.

1. a³+3a²+3a+1 2. 27-27x+9x²-x³ 3. m³+3m²n+3mn²+n³ 4. 1+3a²-3a-a³ 5. 8+12a²+6a?+a6 6. 125x³+1+75x²+15x

Simplificación de fracciones algebraicas (guía de trabajo no. 1).


Derivada de una constante

Ejercicio nº 1)

Ejercicio nº 2)

Ejercicio nº 3)

Ejercicio nº 4)

Ejercicio nº 5)

Ejercicio nº 6)

Ejercicio nº 7)

Ejercicio nº 8)

Ejercicio nº 9)

Ejercicio nº 10)

f ’(x)=

f’(x)=

f’(x)=

f’(x)=

f’(x)=

0

0

0

0

0

f’(x)=

f’(x)=

f’(x)=

f’(x)=

f’(x)=

0

0

0

0

0

1. 3ab 2a(x+a)

2. 1 3(x-y)

3. 2x 3y

4. x+1

5. x-2 5ª

6. 3x+5 x-2

7.

8.

9.

10.

3

n - m

x + 3x+4

a² - 2ª+ 4 a + 4

a + 2 m - n

FACTORIZACIÓN

GUÍA DE TRABAJO No.2

Trinomios cuadrados perfectos

01) x 2 + 6x + 9 11) 0.04x2 - 4x + 100

02) 16x2 + 8x +1 12) 400y 4 - 12y 2 + 0.09

03) y 2 + 10y + 25 13) a2/4 + 4a + 16

04) 4y2 - 24y + 36 14) x

2/9 - 16x /3

+ 64

05) 49x2 + 112x + 64 15) 25x2/4 + 20xy/3 + 16y2/9

06) 81y 2 - 180y + 100 16) x2 + 2x(a+b) + (a + b)2

07) 25x2 + 30xy + 9y2 17) 9 - 6(x + y) + (x + y)2

08) 81z2+ 108zw + 36w 2 18) 4(x + y)2 + 4(x + y)(x - y) + (x - y)2

09) 64x4y2 + 176x2y +121w6 19) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2

10) 144x8 - 24x4y5 + 5y3 20) 4(1 + a)2 - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2

Factor común por agrupación

1) xy2 - y

2w 11) - x - y + a(x + y)

2) 5xy 2 - 15y 12) (a + 5)(a + 1) - 2(a + 1)

3) 24a3b2 - 12a3b3 13) (a + b - 2)(a 2 + 2) - a2 - 2

4) 4xy - 8xy

2 - 12xy

3 14) (3x

2 + 8)(x + y - z) - (3x

2 + 8) - (x + y - 4)(3x

2 + 8)

5) 16a4b5 - 20a3b2 - 24a2b6 15) xm - ym + xn - yn

6) xa + 2

- 3xa + 3

- 5xa 16) a

2x

2 - 8bx

2 + a

2y

2 - 8by

2

7) 36x2ayb - 24xa + 1yb+1 + 12xay2b 17) 1 + a + 8ab + 8b

8) x(a + 7) - 5(a + 7) 18) 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b

9) 2x(a - 1) - 3y(a - 1) 19) a2b

3 - m

5 + a

2b

3x

2 - m

5 x

2 - 3a

2b

3x + 3m

5x

10) x(a + 9) - a - 9 20) (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5)

Diferencia de cuadrados

01) m2 - n2 09) x2n

b8n

- 1/169

02) x2 - 100 10) 0.81a6 - 1.21b8

03) 25a 2 - 144b2 11) 1.69x 8y 10 - 2.25z12

04) 9x2y 4 - 121z8 12) a4nb6n - c12x /64

05) 400x 14 - 1 13) (m - n)2 - (x + y)2

06) 1/4 - 16x2 14) (3x - 4)2 - (2x - 6)2

07) 1/16 - x4/25 15) (3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2

08) a6/36 - 49b4/100 16) 25a10 - (3a 2 + 4)2


Suma y diferencia de cubos

1) (1 + x)(1 - x + x2) 11) (5x3y6 - 8z9)(25x6y12 + 40x3y6z9 + 64z18)

2) (x + 10)(x 2 - 10x + 100) 12) (6x4 - 9y7a)(36x 8 + 54x 4y7a + 81y14a)

3) (3a + 5b)(9a 2 - 15ab + 25b 2) 13) (7xa - 8y2b)(49x 2a + 56xay2b + 64y4b)

4) (4xy2 + 6z3)(16x2y4 - 24xy2z3 + 36z 6) 14) (x + 2)(x2 + 10x + 28)

5) (8x2a + 9yb)(64x4a - 72x2a yb+ 81y2b) 15) a(19a2+ 3ab + 12b2)

6) (1/2 + 5x)(1 /4 - 5x/2 + 25x 2) 16) (4 - 3a2 )(9a4 + 21a2 + 31)

7) (1/3 + x 2/6)(1/9 - x2/18 + x4/36) 17) (x - 5y)(19x 2 - 10xy + 7y 2)

8) (a2/7 + 2b4/10)(a4/49 - 2a2b4/70 + 4b 8/100) 18) (0.3x - 0.2y2)(0.09x2 + 0.06xy2 + 0.04y2)

9) (10 - m)(100 + 10m + m 2) 19) (2/5x2 - 10z3/4y4)(4/25x4 + x2z3/y4 + 100z 6/16y8 )

10) (2a - 4b)(4a2 + 8ab + 16b2) 20) (7a - b)(13a2 - 14ab + 37b 2)

Trinomio de la forma x² + bx + c

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

09)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

(x + 1.8)(x - 1.2)

(y - 1.5)(y + 1.3)

(x + 20)(x + 15)

(y + 30)(y - 20)

(z - 33)(z + 21)

(w - 45)(w - 24)

(xy + 30)(xy + 4)

(z - 1.4)(z - 0.9)

(w + 0.3)(w + 0.5)

(x - 31)(x - 13)

Trinomio de la forma ax² + bx + c

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

09)

10)

( 2x + 1)(x + 3)

(2y + 1)(y + 4)

(z - 5)(3z + 1)

(4x - 1)(x - 7)

(5x - 3)(x + 3)

(3y + 4)(2y + 3)

(x - 7)(7x + 3)

(4y + 16)(2y - 2)

(3x - 20)(3x - 2)

(5x + 9)(2x - 10

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

(5x - 4)(4x + 20)

(6b + 7)(4b + 5)

(5x + 30)(2x + 10)

(3y - 20)(2y + 30)

(5z + 77)(3z - 9)

(3w + 2)(0.5w + 1)

(2xy + 4)(xy + 0.5)

(0.5z - 2)(0.4z - 1)

(0.5w - 1)(0.2w + 3)

(11x - 20)(x - 10)

( x + 5)(x + 3)

(n + 5)(n - 4)

(m - 9)(m - 3)

(x - 6)(x + 4)

(x +

15)(x

+

5)

(y + 20)(y - 4)

(x - 20)(x - 5)

(y - 12)(y

+ 6)

(y + 13

( (y + 12

(

(x + 14

( (x 15

(



Trinomio de la forma ax² + bx + c

11) x2 + 0.6x - 2.16

12) y2- 0.2y

- 1.95

13) x2 + 35x + 300

14) y2 + 10y - 600

15) z2 + 12z - 693

16) w2 - 69w + 1080

17)

x2y2 + 34xy + 120

18)

z2 -

2.3z + 1.26

19)

w2 + 0.8w + 0.15

20)

403 -

44x + x2

01) x 2 + 8x + 15

02) n2 + n - 20

03) m2 - 12m + 27

04) x 2 - 2x - 24

05) x 2 + 20x

+ 75

06) y2 + 16y -

80

07)

x 2 - 25x + 100

08)

y2 -

6y -

72

09)

10)

y2

+

5y+

1

66x2

+

x -

1

2020

Trinomio de la forma x² + bx + c

Suma y diferencia de cubos

11) 125x9y18 - 512z27

12) 216x12 - 729y

21a

13) 343x3a - 512y6b

14) (x + 4)3 - 8

15) (3a + 2b)3 - (2a + 2b)

3

16) 125 - (3a2 + 1)

3

17)

27(x -

y)3 -

8(x + y)3

18)

0.027x3

-

0.008y6

19)

8/125x6 -

1000z9/64y12

20)

64(a -

b)3

+ 27(a + b)3

01) 1 + x3

02) x3 + 1000

03) 27a3 + 125b3

04) 64x3y6 + 216z9

05) 512x6a

+ 729y3b

06) 1/8 + 125x3

07)

1/27 + x6/216

08)

a6/343

+

8b12

/1000

09)

1000 -

m3

10)

8a3 - 64b3

01) 2x2 + 7x + 3

02) 2y2 + 9y + 4

03) 3z2 - 14z - 5

04) 4x2 - 29x + 7

05) 5x2 + 12x

- 9

06) 6y2 + 21y +

12

07) 7x2 - 46x - 21

08)

8y2 +

24y -

32

09)

9x2 - 66x + 40

10)

10x2

- 32x -

90

11) 20x2 + 84x

-

80

12) 24b2 + 58b

- 35

13) 10x2 + 110x + 300

14) 6y 2 + 50y - 600

15) 15z2 + 186z - 693

16) 1.5w2 + 4w + 2

17) 2x 2y2 + 5xy + 2

18)

0.2z2 -

1.3z + 2

19)

0.1w2 + 13w -

3

20)

200 -

130x + 11x2


Factorización (guía de trabajo no. 2).

Trinomios cuadrados perfectos

Factor común por agrupación

Diferencia de cuadrados

1) = (m + n)(m - n) = (xnb

4n+ 1/13)(x

nb

4n- 1/13)

2) = (x + 10)(x - 10) = (0.9a3 + 1.1b4)(0.9a3 - 1.1b4)

3) = (5a + 12b)(5a - 12b) = (1.3x 4y5 + 1.5z 6)(1.3x4y5 - 1.5z 6)

4) = (3xy2 + 11z 4)(3xy 2 - 11z4) = (a2nb3n + c 6x /8)(a2nb3n - c6x /8)

5) = (20x7 + 1)(20x7 - 1) = (m - n + x + y)(m - n - x + y)

6) = (1/2 + 4x)(1 /2 - 4x) = (5x - 10)(x + 2)

7) = (1/4 + x2/5)(1/4 - x

2/5)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15) = (5a + 4b - c)(a - c)

8) = (a3/6 + 7b2/10)(a3/6 - 7b2/10)

11)

= (x + y)(a - 1)

12)

= (a + 1)(a + 3)

13)

= (a2 + 2)(a + b - 3)

14)

= (3x2

+ 8)(3 - z)

15)

= (x - y)(m + n)

16)

= (x2 + y2)(a2 - 8b)

17)

= (a + 1)(8b + 1)

18)

= (6a - 2b)(x + y - 2)

19)

= (a2b

3 - m

5)(1- 3x + x

2)

20) = (x + 5)(x + 3)2

1) ( x + 3)2

2) (4x + 1)2

3) (y - 5)2

4) (2y - 6)2

5) (7x + 8)2

6) (9y - 10)2

7) (5x + 3y)2

8) (9z - 6w)2

9) (8x2y + 11w

3)2

10) (12x4 - y5)2

1) =y2( x - w )

2) =5xy( y - 3 )

3) =12a3b2( 2 - b )

4) =4xy( 1 + 2y - 3y2 )

5) =4a2b4 ( 4a2b - 5a + 6b2 )

6) =xa (x2 + 3x3 + 5)

7) =12xayb ( 3xa - 2xy + y b )

8) =(a + 7)(x - 5)

9) =(a - 1)(2x - 3y)

10) =(a + 9)(x - 1)

(0.2x - 10)2

(20y2 + 0.3)2

(a/2 + 4)2

(x/3 - 8)2

(5x/2 + 4y/3)2

[x + (a + b)] 2

[3 - (x + y)]2

(x + y)2

(5x - y)2

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) (2a - b + 3)2

5




1° Simplificación de monomios:

2

3

52

42

8ab

ab

ba=

2° Simplificación de polinomios:

Ejemplo 1( )( )( )( )55

52

25

1072

2

=-+

++=

-

++

5-x

2+x

xx

xx

x

xx

Ejemplo 2( )( )

( )xx

xx

xx

x

x242

44

82

162

2 x 4-=

+

-+=

+

-

No te olvides: PRIMERO FACTORIZAR....... LUEGO SIMPLIFICAR.

1. 3ab 5. x²-4 8. 3y – 6x

2a²x+2a³

5ax+10a 2mx-my-2nx+ny

2. xy 6. 3x²-4x-15 9. 8 - a³

3x²y-3xy² -x² 5x+6 a²+2a-8

3. 2ax+4by 7. x² - x – 12 10. a² + a – 2

3ay+6by

16 - x² -an-m+am

4. x²-2x-3

x-3

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .Recuperado: Octubre 15 de 2009. www.sectormatematica.cl

6

6

Factorización por trinomio cuadrado perfecto

1. (a-b)² 2. (a+b)² 3. (x-1)² 4. (y²+1)² 5. (4+5x²)² 6. (a-5)² 7. (3-x²)²

Factorización de trinomios de la forma cbxx ++2

1. (x-3)(x-2)2. (x+5)(x-2)3. (x+5)(x+2)4. (x+2)(x+1)5. (a+3)(a+1)6. (m+7)(m-2)7. ((y-5)(y-4)8. (a+24)(a+18)9. (m-45)(m+15)10. (y+42)(y+8)

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

1. (a²+a+1)( a²-a+1)2. (m²+mn+n²)( m²-mn+n²)3. (x4+x²+2) (x4-x²+2)4. (a²+2ª+3)( a²-2ª+3)5. (a²+ab-b²)( a²-ab-b²)6. (a²+2a+3)( a²-2a+3)

Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio

1. (a+1)³2. (3-x)³3. (m+n)³4. (1-a)³5. (2+a²)³6. (5x+1)³






Derivadas1er. Nivel

Derivadas3er. Nivel

Derivadas2do. Nivel

MATEMATICASII

d. 3 + 6x2

e. 4x2 + 5y

2

f. (x + y) + 10

g. 1 - x + x2

h. 16x2 - 12xy +9y2

i. 25a2 - 15ab + 9b2

j. 4a8 + 10a

4b

5 + 25b

10

k. 81x2y4 + 72xy2z3 + 64z6

Factorización (guía de trabajo no. 1)

Factorización por factor común

1. 35m²(n³-2m) 2. x³(1+x²-4) 3. 3ª(3ª-4b+5a²b²-8b³) 4. 8x²y(2xy-1-3x²y-5y²) 5. 31a²x(3axy-2x²y²-4) 6. (x-2)(3x-2y)7. (1-x)(1+2ª) 8. Ab(3ª+6-5a²b+8ax+4bm)

Factorización por diferencia de cuadrados

1. (ab4+c)(ab4-c)

2. (5xy²+11)(5xy²-11)

3. 7xy³z5+a6)(7x³z5-a6)

4.

5. (3x+y)(x-y)

6. (a+2x+2)(a-2)

7.

8.

(2x n + 1

3)(2xn 1

3)

(7a 5n + b

9

6n)(7a 5n b

9

6n)

(a b2n + 15 )n (a b2n 1

5 )n

Tipo nº 1




DERIVADASGUÍA DE TRABAJO No. 1. Derivadas de 1er Nivel

Derivada de una constante Derivada de una función potencial: Forma simple

K = 0LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.

Tipo nº 2

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL

es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejercicio nº 1)

Ejercicio nº 2)

Ejercicio nº 3)

Ejercicio nº 4)

Ejercicio nº 5)

Ejercicio nº 6)

Ejercicio nº 7)

Ejercicio nº 8)

Ejercicio nº 9)

Ejercicio nº 10)

Ejercicio nº 11)

Ejercicio nº 12)

Ejercicio nº 13)

Ejercicio nº 14)

Ejercicio nº 15)

Ejercicio nº 16)

= rxxr r-1

EJERCICIOS DE DERIVADAS I, II, III Y IV NIVEL. Recuperado: Diciembre 12 de 2009 7

7

Productos notables (guía de trabajo no. 1).

1. Ejercicios

a. (x + 5)2 = x2 + 10x + 25

b. (xa+1 + yb-2)2 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4

c. (8 - a)2 = 64 - 16a + a2

d. (3x4 -5y

2)

2 = 9x

8 - 30x

4y

2 + 25y

4

e. (xa+1 - 4xa-2)2 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4

f. (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6

g. (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64

h. (5x + 2y)3 = 125x

3 + 150x

2y + 60xy

2 + 8y

3

i. (2x2y + 4m)3 = 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3

j. (1 - 4y)3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3

k. (3a3 - 7xy4)3 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12

l. (2xa+4

- 8ya-1

)3 = 8x

3a+12 - 96x

2a+8y

a-1 + 384x

a+4y

3a-3 - 512y

3a-3

m. (x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 15

n. (a + 9)(a - 6) = a2 + 3a - 54

o. (4ab2 + 6xy3)2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6

p. (y - 12)(y - 7) = y2 - 19y + 84

q. (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 16x6 + 80x3 + 75

r. (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) = 25y2a+2 - 50ya+1 - 56

s. (7a + b)2 = 49a2 + 14ab + b2

t. (5a + 10b)(5a - 10b) = 25a2 - 100b

2

2. Ejercicios

a. a – 4

b. 5x - 7y

c. 2a + 4xy2

f(x)=7

f(x)=-4

f(x)=e

f(x)=

f(x)=54

f (x)7

1

f (x) 8

f (x) 53

f (x)7

35

f (x)37

e4

f(x)=x 6

f(x)=x 3

f(x)=x 25

f(x)=x -7

f(x)=x 7-4

f(x)=x

23 ENTRESALTOSENTRESALTOS



Ejercicio nº 29)

Derivada de una función logarítmica: Forma simple

Ejercicio nº 30)

Derivada de una función exponencial con base e: forma simple

Ejercicio nº 31)

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: forma simple

Ejercicio nº 32)

1. a.

b.

c.

d.

Reducción de términos semejantes (guía de trabajo no. 1).

f (x)1

x3

f (x)1

x-4

f (x)1

x32

f (x)1

x32

x32

f (x) x

f (x) x5

f (x) x5 4

f (x) x54

f (x) x114

f (x)x

1

f (x)x

15

f (x)x

13

f (x)x

125

f (x) ln(x)

f (x) ex

f (x) 9x

f (x)x

173

1x

7

3x

7

3

x1

Ln(x)

exex

a ln(a)xax

a+b-c-b-c+2c-a=(a-a)+(b-b)+(-c+2c)

5x-11y-9+20x-1-y=(5x+20x)+(-11y-y)+(-9-1)

-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=(-81x+80x+x)+(19y+6y-25y)+(-30z)

15a -6ab-8a +20-5ab-31+a -ab=(15a -8a +a )+(-6ab-5ab-ab)+(20-31)

15a -6ab-8a +20-5ab-31+a -ab=(16a -8a )+(-12ab)+(-11)

15a -6ab-8a +20-5ab-31+a -ab=8a -12ab-11

-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=(0)+(0)+(-30z)

-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=-30z

(agrupando por clases)



(reduciendo)

(reduciendo)

(reduciendo)


(reduciendo)

Ø

Ø

Ø

Ø

a+b-c-b-c+2c-a=0+0+c

5x-11y-9+20x-1-y=(25x)+(-12y)+(-10)

a+b-c-b-c+2c-a=c

(5x+20x)+(-11y-y)+(-9-1)=25x-12y-10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

Cuadros mágicos (guía de trabajo no. 2).

1. a. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

b. Intercalando los dígitos:

c.

6 1 8

7 5 3

2 9 4

8 1 6

3 5 7

4 9 2

4 9 2

3 5 7

8 1 6

2 9 4

7 5 3

6 1 8

2.

15

10 11

14 15

16

7

54 1

8

6

9

312

13

2

10

10

Ejercicio nº 32)

Ejercicio nº 33)

Ejercicio nº 34)

Ejercicio nº 35)

Ejercicio nº 36)


Ejercicio nº 37)


Ejercicio nº 38)

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: forma simple




f (x) x9

f (x) x2

f (x)x

75( )

f (x)x

12( )

f (x) x0.25

“Somos pensadorescuando pensamos

positivamente y actuamosdecididamente”.

Anónimo

sen(x) cos(x)

cos(x) -sen(x)

tg(x) 1cos (x)2

f (x) sen(x)

f (x) cos(x)

Ejercicio nº 39)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: forma simple

Ejercicio nº 40)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: forma simple

Ejercicio nº 41)




Respuestas

Cuadros mágicos (guía de trabajo no. 1)

1. Suma 15 6 1 8

7 5 3

2 9 4

2. Suma 24. 12 8 4

5 10 9

7 6 11

3.L O S A

O S A L

S A L O

A L O S

1 4 3 2

2 3 1 4

4 1 2 3

3 2 4 1

4.

f (x) tg(x)

arcsen(x) 1

1-x 2

f (x) arc sen(x)

f (x) arc tg(x)

arctg(x) 1

1+x 2




DERIVADAS

GUÍA DETRABAJO No. 2. Derivadas de 2do Nivel

Regla nº 1

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN, es igual a la constante por la derivada de la función.

Derivada de una función potencial: forma simple

Ejercicio nº 1)

Ejercicio nº 2)

Ejercicio nº 3)

Ejercicio nº 4)

Ejercicio nº 5)

Ejercicio nº 6)

Ejercicio nº 7)

Ejercicio nº 8)

POTENCIAS

Sigue recordando:

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno

Ejercicio n° 42)

Ejercicio n° 43)

Ejercicio n° 44)

Ejercicio n° 45)

Ejercicio n° 46)

kf kf

f(x) 4x

f(x) -5x

f(x) x

2

5

f(x) 2x

f(x) 8x3

f(x) 2x7

f(x) 5x92

f(x) 3x6

y

abc c ba

abcc ba

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

(x+3)arc sen(x +2)

(x +4x+2)arc sen(x +3x +1)

(x +e +3)arc sen(3x -2x +2)

(e +4 +x+2)arc sen(3x -4x +1)

(x -4x +3x+2)arc sen(e +4 +2)

2

4

2x

2x

5

2

2

2

2x

2

3

3x

2 3x


LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES, es igual a suma de las derivadas de las funciones

Ejercicio nº 28)

Ejercicio nº 29)


Ejercicio n° 27)

Ejercicio n° 28)

Ejercicio n° 29)

Ejercicio n° 30)

Ejercicio n° 31)

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente

Ejercicio n° 32)

Ejercicio n° 33)

Ejercicio n° 34)

Ejercicio n° 35)

Ejercicio n° 36)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente

Ejercicio n° 37)

Ejercicio n° 38)

Ejercicio n° 39)

Ejercicio n° 40)

Ejercicio n° 41)

f(x) (7x2+12)cos(3x

4- 3)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

(4x

(4x

(-x

(3x

2

6

3

3x

+

+

+

-

3x+1)

x

x

)

)

)

cos

cos

cos

cos

(3x

(x

(x

( x

2

4

2x

4x

-

+

-3

+2

5)

7 )

)

)

Ejercicio nº 11)

Ejercicio nº 12)

Ejercicio nº 13)

Ejercicio nº 14)

Ejercicio nº 15)

f(x)x

527

f(x) 3 x

f(x) -4 x

f(x) 3 x5

f(x) 2 x5 3

Ejercicio nº 16)

Ejercicio nº 17)

Ejercicio nº 18)

Ejercicio nº 19)

Ejercicio nº 20)

Ejercicio nº 21)

f(x) 53 7x

f(x)3

x

f(x)5

x6

f(x)3

x5

f(x)4

x25

f(x)5

x83

Regla nº 2

f fg+ g+

Ejercicio nº 22) f(x) 5x2x3 x+ + +

Ejercicio nº 23) f(x) 5x2x3 x+ + +635

Ejercicio nº 24) f(x) 8x2x3 x+ +632

Ejercicio nº 25) f(x) x 3

+ x2+ x 7+

1

Ejercicio nº 26) f(x) x1

+2 x2

34 + x7 +3

Ejercicio nº 27) f(x) x5

+ x326 +3+4

5+ x 23

f(x) 3x3 x+ +2

5

1

4x 2

5

f(x) -13x4 x+ +8

3

5

3x

2

53

-25

3+

-3

4

x -2 x

e2

5

5

3

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

(4x -5)tg(x+7)

(x+2)tg(x +3x+1)

(x +x +2)tg(3x +2x+1)

(x -3x +2e )tg(x +4x +3x+1)

(2x +3e +2)tg(x -2x +3)

2

2

2

3

2

3

4x

3x

5

2

6

2

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

(x +1)arc tg(x +5)

(x +4x -5)arc tg(6x +8)

(x +7x -2)arc tg(x +3x +x-2)

(x +e +1)arc tg(3x +x+5)

(x +4x+3)arc tg(x +e +1)

3

2

2

3

2

4

3

2

2

x

2x

4

2

2




Regla nº 3

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función

derivada de la primera función

Ejercicio nº 30)

Ejercicio nº 31)

Ejercicio nº 32)

Ejercicio nº 33)

Regla nº 4

LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES, por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del

denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado

es igual a la derivada de la función del numerador

Ejercicio nº 34)

Ejercicio nº 35)

Ejercicio nº 36)

Ejercicio nº 37)

Ejercicio nº 38)

f fg g+gf

f(x) 1)x2x 2+ +(23)(3

f(x) 4)x2x 3+(46)(4

f(x) 3)x4x (45)( +x4+2

f(x) 5)x2x (4)( + x5 +2 x3

6

fg

f fg gg 2

f(x)x3 52 +

x274 +

f(x)x3 54

x243

x2

f(x)x 2 6

x343

x4

x4

f(x)x 2 6

x4

x5

x 3

f(x)x2 23

x273

x 3

Ejercicio n° 13)

Ejercicio n° 14)

Ejercicio n° 15)

Ejercicio n° 16)

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e

Ejercicio n° 17)

Ejercicio n° 18)

Ejercicio n° 19)

Ejercicio n° 20)

Ejercicio n° 21)


Ejercicio n° 22)

Ejercicio n° 23)

Ejercicio n° 24)

Ejercicio n° 25)

Ejercicio n° 26)

f(x) e(-5x -4x -3x-8)3 2 2

f(x) e(x +4 23

4x + 32

5x+ 6)

f(x) e(- 4 41

7x 6x+ + 57

3x + 8x-3)4

f(x) ex 2 x 5

f(x) 4 (8x +5x +2x +x+4)4 3 62

f(x) 5 (2x +4x +3x +x+4)4 3 72

f(x) 3 (2x +x +x +2x+3)5 4 3-2

f(x) 6 (-3x +x +2)6 -6 -3

f(x) 2(- 5 32

9x 4x+ + 67

5x-3)

f(x) (3x+4)sen(4x +5)2

f(x) (3x +x+2)sen(x +4x-1)24

f(x) (x -2e )sen(3x +3e )23 2x 4x

f(x) (2x -3e )sen(4x -5)35 2x

f(x) (6x +2 )sen(2x -3e )52 3x x




DERIVADAS

GUÍA DE TRABAJO No. 3. Derivadas de 3er Nivel

Recuerda

Derivada de una función logarítmica: forma compuesta simple

Tipo nº 3

LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE a la derivada de la función de x dividida entre dicha función

UNA FUNCIÓN DE x es igual

Ejercicio nº 1)

Ejercicio nº 2)

Ejercicio nº 3)

Ejercicio nº 4)

Ejercicio nº 5)

Ejercicio nº 6)

Ejercicio nº 7)

LOGARITMOS

Recuerda de la ESO:

El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a

DERIVADAS

GUÍA DE TRABAJO No. 4. Derivadas de 4to Nivel

Derivada de una función potencial

Ejercicio no 1)

Ejercicio no 2)

Ejercicio no 3)

Ejercicio no 4)

Ejercicio no 5)

Derivada de una función logarítmica

Ejercicio no 6)

Ejercicio no 7)

Ejercicio no 8)

Ejercicio no 9)

Ejercicio n° 10)

Derivada de una función exponencial con base el número e

Ejercicio n° 11)

Ejercicio n° 12)

En las fó

lo que estamos representando es una función que depende de la variable x y que

realmente se

rmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra u

u(x)

Ln(u)uu

f(x) (2 ) x

f(x) ( 3 ) x

4

f(x) ( 5 ) lnx

2

f(x) (3 ) x

f(x) 4ln(5x)

f(x) ln (7x)32

f(x) ln-45

2X3( )

Ln(a ) = bLn(a)b

Ejercicio nº 8)

Ejercicio nº 9)

Ejercicio nº 10)f(x) ln(x )2

ln

ln

ln

f(x) ln(x )-5

f(x) 3ln(x )4

f(x) (x +x +x+5)3 2 5

f(x) (2x -6x + x +5)4 2 -372

2

f(x) (8x + x +7x +4)3 -1 -229

8

f(x)

f(x)

(4x +2x +3x-4)

(-3x +4x +3x -3)

3

6

-2

-1 -6

-5

-7

f(x) Ln(4x +x +3x+5)3 2 6

f(x) Ln(3x -6x + x +6)4 2 -472

5

f(x) Ln(7x + x +7x +3)3 -1 -238

7

f(x) Ln(5x +3x +4x+4)3 -2 -5

f(x) Ln(-3x +8x +24x+6)4 -2 -2

f(x) e(x +x +x+8)5 2 3

f(x) e (2x -4x +7x+4)4 2 5






Ejercicio nº 11)

Ejercicio nº 12)

Ejercicio nº 13)

Ejercicio n° 14)

Ejercicio nº 15)

Ejercicio nº 16)

Ejercicio nº 17)

Ejercicio nº 18)

Ejercicio nº 19)

Ejercicio nº 20)

Ejercicio nº 21)

TRIGONOMETRÍA

Recuerda:

LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO, es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el senodel mismo.

Ejercicio nº 22)

Ejercicio nº 23)

Ejercicio nº 24)

Ejercicio nº 25)

Ejercicio n° 26)

Ejercicio nº 27)

Ejercicio nº 28)

Ejercicio nº 29)

Ejercicio nº 30)

Ejercicio nº 31)

Ejercicio nº 32)

Ejercicio nº 33)

Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta

Tipo nº 5

LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función

f(x) 7ln ( ) x25

f(x) 6ln ( ) x12

f(x) ln ( ) x234

5

f(x) ln ( ) x 3

f(x) ln ( ) x 23

ctg(x)=cos(x)sen(x)

f(x) ln sen(x)

f(x) ln arc tg(x)

f(x) ln (-x + 15x + sen(x))3 2

f(x) ln (3x +4x)2

f(x) ln (5x +4cos(x))-2

f(x) ln (3x +x + e +1)3 -4 x

f(x) ln ( ) x 53

f(x) 4ln ( ) x 54

f(x) ln ( ) x 5734

f(x) 4ln ( ) 7x53

f(x) ln ( ) 9x 5427

11

f(x) ln cos(x)

f(x)

f(x)

Ln(4x +3x - x +3e )

(x+4)1n(3x+5)

5 2 x-2

f(x)

f(x)

(x +x + x+5)1n(5x -7)

(4x +2x + x+1)1n(6x -x+8)

2

3

2

5

3

5

f(x) (-3x +10x-1)1n(x +4x-5)62

f(x) (x +7x +3x+1)1n(4x -3x-1)27 3

eu eu u

Ejercicio nº 34)

Ejercicio nº 35)

Ejercicio nº 36)

Ejercicio nº 37)

Ejercicio nº 38)

Ejercicio nº 39)

f(x) e2x

f(x) e7x

f(x) -xe

f(x) -4xe

f(x)

2x

e3

f(x) 4x3e

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