Página 1.

Factorización. Diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos. Ejemplos.

1. 36x2- 64y2. 2. 100m4- 144n4 3. 81k2- 25w2.

Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas. Ejemplos 1

Factorizar

49m2-100y2 buscamos la raíz cuadrada de cada término.

49m22 = 7m.

100y22 = 10y.

Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).

Ejemplo 2. Factorizar 36a4 – 64m4. Buscamos las raíces cuadradas de cada término.

36a42 =6a2

64m42 =8m2

y formamos dos binomios con estas raíces escribiendo en uno de ellos la suma de dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.

Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).

Ejemplo 3. Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados. 81x4 – 144y4 Buscamos la raíz cuadrada de cada término

81x4 = 9x2

144y4 =12x2

Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las mismas.

Luego los factores buscados son:

(9x2+12y2)(9x2-12y2)

Página 2.

Factorice las siguientes diferencias de cuadrados. 1. 25x4 –16a4 2. 144m2 –169y2 3. 9x2 - 81y2 4. 169w6 –100z6

5. 16

25 m4 −

64

81 x4

6. 121 b8 – 36 y8

Trinomio de la forma x2± bx ±c

Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx. Ejemplos. 1. x2+6x+8 2. a2+9x+20 3. m2-12m+32 4. y2+5y-36 Hallar los factores de los siguientes trinomios 1. x2+7x-60 Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados algebraicamente nos den 7. Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7 Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5) Ejemplo 2. Hallar los factores de m2+16m+28 Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16 Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores son: (m+14) (m+2) Ejemplo 3. Hallar los factores de a2-8a-48 Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8 Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores son: (a-12) (a+4). Factorizar los siguientes trinomios.

1. x2+10x+21 2. w2-5w+6 3. b2+15b+56 4. y2+7y-44 5. m2-10m+24

Página 3.

Trinomio de la forma ax2+bx+c Dado el trinomio 5x2+8x+3

Hallar sus factores.

Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático 5(5x2)+5(8x)+5(3) Se escribe de la forma (5x)2+8(5x)+15 Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a a2+8a+15 Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5 (a+5)(a+3) y como a=5x, entonces

(5x+5)(5x+3)

𝟓𝐱+𝟓 (𝟓𝐱+𝟑)

𝟓 𝐱 𝟏 = (x+1) (5x+3)

Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)

Ejemplo 2.

Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3

Solución

Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático

7(7x2)+7(10x)+7(3)

Se escribe de la forma

(7x)2+10(7x)+21

Se asume que a=7x

a2+10a+21

Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 luego los factores son:

(a+7) (a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x

(7x+7)(7x+3)

𝟕𝐱+𝟕 (𝟕𝐱+𝟑)

𝟕 𝐱 𝟏 = (x+1) (7x+3)

Luego los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)

Ejercicios propuestos Factorice los siguientes trinomios.

1. 8x2+15x+7

2. 4x2+9x+5

3. 9x2+6x-3

4. 5x2+14x+9

5. 7x2+12x+5

Como multiplique por 5, divido por 5 para volver el trinomio a su forma original.

Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c buscamos dos cantidades cuyo producto sea 21 y cuya suma algebraica sea 10

Como multiplique por 7 se divido por 7 para que el trinomio vuelva a su forma original

Una forma de obtener un trinomio ax2+bx+c es combinando con operaciones de (+ o − ) una variable al cuadrado con su coeficiente numérico y una constante, de forma que el término medio sea la suma del coeficiente numérico de la variable cuadrada y la constante.

¿Cómo se obtiene un trinomio de la forma ax2+bx +c?

Página 4.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer

término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de

las raíces de los otros dos

Ejemplos.

1. 36x2+60xy+25y2

2. 100a2+140ab+49b2

3. 16m2+64mn+64n2

4. 81w2+180wk+100k2

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:

1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer termino

2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos

términos.

Ejemplo 1.

Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.

36x2+60xy+25y2

Solución:

Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término

36x2 =6x

25y2 =5y

Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces

2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:

(6x+5y)(6x+5y)

Ejemplo 2.

Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2

Solución:

Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino

100a2 = 10a

16b2 = 4b

Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces

2(10a) (4b)= 80ab

Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son: (10a+4b) (10a+4b)

Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

1. 36x2+60xy+25y2 2. 100a2+140ab+49b2 3. 16m2+64mn+64n2 4. 81w2+180wk+100k2 5. 144y2+120ym+100m2

Página 5.

Factorización de una suma de cubos.

Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen raíz cubica exacta. Ejemplos:

1. 27x3+64m3

2. 729 a3+125b3

3. 216x3+343y3

4. 512w3+8n3

¿Cómo factorizar una suma de cubos?

Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la

forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el

cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado

de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo

estos los factores buscados.

Ejemplos. Factorice la siguiente suma de cubos. 27x3+64m3

1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3

27x33=3x

64m33=4m

2. Formamos un binomio con las raíces

(3x+4m)

Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el

producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.

(9x2-12xm+16m2)

Luego los factores buscados son:

(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)

Halle los factores de 125a3+729y3

125a33 = 5a

729y33 = 9y

Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.

Factorice 27

64 w3 +

343

8 m3

Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos

27

64 w3

𝟑 =

3

4 w

343

8 m3

𝟑 =

7

2 m luego los factores buscados son:

( 3

4 w +

7

2 m) (

9

16 w2 -

21

8 wm+

49

4 m2)

Página 6.

Evaluación. Seleccione la respuesta correcta.

1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:

A. (8x – 6m) (8x – 6m) B. (6x –8m) (6x+8m) C. (6x+8m)(6x+8m) 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?

A. 4x2+ 40xy+25y2 B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2 3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?

A. (10w+8k)(10w+8k) C. (10w+4k) (10w+4k) B. (10w −8m)(10w+4k)

4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56? A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)

5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son: A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y) B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)

6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?

A. (x+8) B. (8x – 6m) C. (4x+5m) Factorice las siguientes expresiones.

1. 64x2+ 80xy+25y2 2. x2+15x+54 3. 5x+12x+7

4. 27w3 +64a3 5. 81x2 −100y2 6. 49m2 −16w2 7. 4a2+72ab+81b2 8. 4k2+10k+6

9. 125x3 −729y3

10. a2+20a+9

Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.

1. 36x2+84xy +49y2

(6x+7y) =

2. 216m3+512k3

(36x2−48mk +64k2) =

3. 81w2−144a2

(9w−12a) =

4. 9x2+16x+7

(9x+7) =

5. 343w3+729y3

(7w+9y) =

Página 7.

Productos y Cocientes Notables.

Productos Notables.

Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas reglas o patrones. Entre los productos notables tenemos:

Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2

(x+y)2 = x2 +2xy + y2

Ejemplo 2. (2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2

(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2

(a−b)2 = a2 +2ab + b2

Ejemplo 2. (2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2

(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2

Cubo de la suma de dos cantidades. El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad. Ejemplo 1.

(3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3

(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3

(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3

Ejemplo 2. (5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3

(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3

(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3

Recuerda: Debes aprenderte la regla de cada producto notable.

Página 8.

Cubo de la diferencia de dos cantidades. El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda cantidad. Ejemplo 1.

(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3

(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3

(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3

Ejemplo 2.

(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3

(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3

(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3

Ejercicios Resueltos.

Halle el resultado de los siguientes productos notables.

1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2

= 4b2 +24by + 36y2

2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2

= 25x2 +100xk + 100k2

3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3

= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3

= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3

4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3

= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3

= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3

5. ( 3

4 x −

2

5 y)2 = (

3

4 x)2 −2(

3

4 x) (

2

5 y)+ (

2

5 y)2

= 9

16 x2 −2(

6

20 x y)+

4

25 y2

= 9

16 x2 −

12

20 x y+

4

25 y2

6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2

= 16m6 +16m3 x2+4x4

Observa con detenimiento estos ejemplos

Página 9.

Cocientes notables.

Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por simple inspección. Ejemplos: Diferencia de cuadrados

1. a2−b2

a−b =

a−b (a+b)

(a−b) = a+b

2. (25m2−100x2)

(5m−10x) =

5m−10x (5m+10x)

(5m−10x) = 5m+10x

Suma de cubos

3. x3+y3

(x+y) =

x+y (x2−xy +y2)

(x+y) = x2−xy+y2

4. y2+𝑦𝑘+𝑘2

(x3+y3) =

(y2+yk +k2)

y+k (y2+yk +k2) =

1

(y+k)

5. x3+y3

(x2−xy +y2) =

x+y (x2−xy +y2)

(x2−xy +y2) = x+y

Diferencia de cubos

6. x3−y3

(x2+xy +y2) =

x−y (x2+xy +y2)

(x2+xy +y2) = x−y

7. x3−y3

(x−y) =

x−y (x2+xy +y2)

(x−y) = x2+xy+y2

Trinomio de la forma x2+bx+c

8. (a2+10a+24)

(a+6) =

a+6 (a+4)

(a+6) = a+4

9. (x2+8x+15)

(x+5) =

x+5 (x+3)

(x+5) = x+3

Trinomio cuadrado perfecto

10. (a2+8a+16)

(a+4) =

a+4 (a+4)

(a+4) = a+4

11. (36m2+120mk +100k2)

(6m+10k) =

6m+10 (6m+10k)

(6m+10k) = 6m+10k

Trinomio de la forma ax2+bx +c

12. (4x2+12x+8)

(x+2) =

x+2 (4x+4)

(x+2) = 4x+4

13. (5k2+15k+10)

(5k+5) =

k+2 (5k+5)

(5k+5) = k+2

Observa estas reglas de los cocientes notables, porque te serán muy útiles cuando vayas a simplificar expresiones algebraicas.

Página 10.

Evaluación. Explique las reglas de: 1. El cuadrado de la suma de dos cantidades. 2. El cubo de la suma de dos cantidades. 3. El cubo de la diferencia de dos cantidades. 4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Halle el resultado de los siguientes productos notables.

1. (7x+8m)2 =

2. (9m−5y)3 =

3. (4k+3a)2 =

4. (8w+6m)3 =

5. (3y−10k)2 =

6. (2x2 +3y4)2 =

Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna de la izquierda.

1. (3m+2y)2

2. (7x+5k)3

3. 4x2 + 20xy+25y2

4. (2a+6y)3

5. 27x6 +54x4 +36x2 +8

6. 25w2 −20wz+4z2

Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.

1. 2x+4m 2 . 2x+4m 4

2x+4m 3 =

2. 3k+5y 3 . 3k+5y 4

3k+5y 5 =

3. 10a+8x 7

10a+8x 4 =

4. 5m+10k 2 . 6w+2y 4

25m2+100mk +100k2 6w+2y 2 =

5. 7x+9y 3 . 7x+9y 2

7x+9y 4 =

______ 4a2+24ay +36y2

______ (5w −2z)2

______ (3x2 +2)3

______ 9m2 +12my+4y2

______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3

______ (2x+5y)2

Página 11.

Halle el resultado de los siguientes cocientes sin tener que realizar la división.

1. 16b2+40bm +25m2

(4b+5m) =

2. 144x4−81y4

(12x2+9y2) =

3. k2+15k+56

(k+8) =

4. 343w3+512a3

(7w +8a) =

5. y2−yz +z2

(y3+Z3) =

6. 729a3+64m3

(9a2+36am +16m 2) =

7. k2+15k+56

(k+8) =

8. 10x2+8x−2

(x+1) =

9. 64z2+96zk +36k2

(8z+6k) =

10. k2+15k+56

(k+8) =

11. 27b3−125a3

(3b−5a) =

12. 169n2−49p2

(13n2−7p2) =