單元 3 數與形 numbers/lecture_unit_3_figurate_numbers...
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第三課 – 數與形 數的認識 (Understanding Number)
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單元 3 數與形
3.1 形數: 正方形數、矩形數、長方形數和三角形數
形數 (Figurate numbers)源於 600 B.C.的畢達哥拉斯 (Pythagoras,c. 580 –
300 B.C.)所創立的畢達哥拉斯學派,畢達哥拉斯學派對數有特別的看法,
他們喜歡將不同數目的小石子排成不同形狀,從而把所有自然數都賦以形
狀,故有「形數」 (figurate numbers)之稱。對畢氏學派來說,數與形是關
係密切的:萬有都是自然數,每個自然數都有「形」。其中三個最常見的
形數是正方形數 (square numbers)、矩形數 (rectangular numbers)和三角形
數(triangular numbers)。例如,4 粒、6 粒 和 8 粒小石子可以分別排成正
方形、矩形和三角形︰
所以,4、6 和 8 分別是一個正方形數、矩形數和三角形數。
正方形數的定義,比較簡單,也幾乎沒有分歧:
定義 3.1.1
設 n∈ N,n2 稱為「正方形數」(square numbers) (或︰設 a、n∈ N。若 n
可表達為 n = a a,則 n 為正方形數)。並以 Sn (= n2 )表第 n 個正方形數。 ×
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例 3.1.1︰
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上述正方形數,由左至右,分別為 S1、S2、S3、S4、S5。
例 3.1.2︰
第 14 個平方數是 S14 = 142 = 196。
961 是一個平方數,因為 961 = 312。
300 不是一個平方數,因為沒有一個自然數 n 使得 n2 = 300。
從歐幾里得 (Euclid,c. 330 – 275 B.C.)幾何的角度來看,矩形 (rectangles)
可包括正方形 (squares) 和長闊不同的長方形 (oblongs or proper
rectangles)。換句話說,正方形不是長方形,但正方形卻必定是矩形。可
是,古希臘人對數形的分類,則與幾何圖形的分類略有不同。 最初,柏
拉圖 (Plato,c. 427 – 347 B.C.)將自然數只分成平方數 (square numbers)及
矩形數 (rectangular numbers)兩類,其中平方數就是上面定義 3.11 所述,
而矩形數就是非平方數。根據這個界定,1、4、9、16 … 是平方數,而其
餘的自然數:2、3、5、6 … 則是矩形數。
後來,歐幾里得的繼承者 (如 Nicomachus、Theon、Iamblichus)將矩形數
區分得更仔細,他們把矩形數進一步分成 )1( +nn 及 )( knn + (其中 n、k 是
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自然數)兩類。問題是,他們為何如此細分呢?有一說法是,他們喜歡研
究形數之間的關係,其中奇數的和 (例如: 531 ++ 、 7531 +++ )可得到
正方形數 ( 、 ),而偶數的和 (例如: 、
), 則 得 出 形 如
23531 =++ 247531 =+++ 642 ++
108642 ++++ )1( +nn 的 數 ( 、
)。因此,把形如
43642 ×=++
65108642 ×=++++ )1( +nn 的數賦與一個特別的名稱,
也是一件很合理的事!而這個特別的名稱就是「長方形數」 (oblong
numbers or pronic numbers)了。
定義 3.1.2
設 n∈ N,若 n = a b,其中 a、b× ∈ N及 ba ≠ ,則稱 n 為「矩形數」
(rectangular numbers)。
例 3.1.3︰
28 是一矩形數,因為它可以表成一個矩形:
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思考題 3.1.1
在講解質數及合成數的概念時,有些老師喜歡透過形數的概念來把質數及
合成數「具體化」。例如,他們會把能化作諸如下列矩形的數,叫做「矩
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形數」,
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8 9 10 35
至於只能化作一點或一條直線的,例如下列的 1、3、7,則不算作矩形數:
• • • • • • • • • • •1 3 7
而那些能化作矩形的數的,便是合成數了。至於那些不能化作矩形的數,
如果又不是 1 的話,它便是質數了。
這個定義跟上述定義 3.1.2 有些什麼異同?這個定義能與幾何圖形的分類
完全吻合嗎?你對這個引入質數和合成數的方法,有些什麼意見?
思考題 3.1.2
試用數學符號 (如定義 3.11 或 3.11)表達思考題 3.1.1 中提到的定義。
定義 3.1.3
設 n∈ N, 稱為「長方形數」 (oblong numbers or pronic numbers) )1( +nn
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(或:若 n = ,其中 a)1( +× aa ∈ N,則稱 n 為「長方形數」)。並以 Rn
( )表第 n 個長方形數。 )1( += nn
例 3.1.4︰
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上述長方形數,由左至右,分別分別為 R1、R2、R3、R4、R5
思考題 3.1.3
試判斷以下語句的真假︰
a) 1 是矩形數。
b) 設 a、b、n∈ N,n = a × b,且 a 或 b 中恰好只有一個等於 1,則
n 必是質數。
c) 所有長方形數都是矩形數。
思考題 3.1.4
按照思考題 3.1.1 中提到的定義,所有長方形數都是矩形數嗎?
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網上或電腦資源
有關歐幾里得幾何中矩形的定義,可參考以下網頁︰
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI22.html
而有關歐幾里得及其他古希臘數學家的個人資料,可瀏覽:
http://www.dyu.edu.tw/~mfht206/history/7/greece.htm
http://www.edp.ust.hk/math/history/3/3_82.htm
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.html
關於古希臘人對矩形數的分類,可參閱:
http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol2no5b.htm
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/page4.html
http://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/pythnum.htm
有關教統局建議通過將自然數分為矩形數和非矩形數,引入合成數和質數,可
參考:
http://etv.emb.gov.hk/resource/132.doc
把矩形數等同合成數的看法,可參閱:
http://www.counton.org/explorer/primes/primes2.shtml
除了以上的形數,古希臘人也會把石子砌成三角形,以表示一些特殊的自
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI22.htmlhttp://www.dyu.edu.tw/~mfht206/history/7/greece.htmhttp://www.edp.ust.hk/math/history/3/3_82.htmhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.htmlhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol2no5b.htmhttp://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/page4.htmlhttp://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/pythnum.htmhttp://tw.rd.yahoo.com/referurl/search/b/1/5/K=%af%78%a7%ce%bc%c6/H=/*http:/etv.emb.gov.hk/resource/132.dochttp://www.counton.org/explorer/primes/primes2.shtml
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然數,如 1、3、6、10…。而這些自然數則被畢達哥拉斯學派稱為「三角
形數」 (triangular numbers),並以 Tn 表第 n 個三角形數。
例 3.1.5︰
1 3 6 10 15
上述三角形數,由左至右,分別為 T1、T2、T3、T4、T5。
從上圖中,我們很易看出:
T1 = 1
T2 = 1 + 2
T3 = 1 + 2 + 3
T4 = 1 + 2 + 3 + 4
T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
…
Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
∴ Tn = 2
)1( +nn
故有以下三角形數的定義:
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定義 3.1.4
設 n∈ N,2
)1( +nn稱為「三角形數」 (triangular numbers) (或:若 n =
2)1+(aa,其中 a∈ N,則稱 n 為「三角形數」)。並以 Tn (
2)1( +×
=nn )表
第 n 個三角形數。
習作 3.1.1
a) 證明 T2n = Sn + Rn。
b) 證明 Rn – Sn = n。
思考題 3.1.5
試判斷以下語句的真假,並作解釋 (除了代數證明外,大家也可以嘗試從
幾何的角度解釋)︰
a) 當 n > 1,Sn = Tn - 1 + Tn。
b) Rn = 2Tn。
網上或電腦資源
有關三角形數的其他性質,可參考以下網頁︰
http://www.mathematische-basteleien.de/triangularnumber.htm
http://www.ping.be/~ping6758/triangle.htm
http://www.mathematische-basteleien.de/triangularnumber.htmhttp://www.ping.be/~ping6758/triangle.htm
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3.2 多邊形數 (polygonal numbers)
除了研究上述的三角形數和四邊形數外,古希臘人更嘗試將其研究推展至
四邊以上的多邊形數。以下是幾個常見的正多邊形數:
例 3.2.1︰
上圖由左至右,分別為三角形數、正方形數、五邊形數、六邊形數
顧名思義,五邊形數和六邊形數是分別把數字排列為五邊形及六邊形。我
們用 Pn 及 Hn 分別表示第 n 個五邊形數和第 n 個六邊形數。至於其他多邊
形數則暫時不作討論。
例 3.2.2︰
1 5 12 22 35
上述五邊形數,由左至右,分別為 P1、P2、P3、P4、P5。
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例 3.2.3︰
1 6 15 28 45
上述六邊形數,由左至右,分別為 H1、H2、H3、H4、H5。
思考題 3.2.1
試根據例 3.2.2 和 3.2.3 中的圖,寫出五邊形數和六邊形數的表式。
習作 3.2.1
a) 證明 Pn = Sn + Tn – 1,其中 n > 1。
b) 證明 Pn = n + 3Tn – 1。
c) 證明 Hn = 2Sn - n。
d) 試寫出首 4 個七邊形數,及它的一般項。
網上或電腦資源
有關形數的更深入的探討,可參閱︰
http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/polygon.htm
http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html
http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/polygon.htmhttp://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html
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以下網頁描述了有關其他多邊形數,而且附加計算多邊形數點數的工具︰
http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/polygon.htm
http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/polygon.htm
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3.3 斐波那契數
斐波那契 (Leonardo Pisano Fibonacci,c.1170 – 1250) 是十三世紀意大利享
負盛名的數學家。他早年週遊列國,曾確認印度人發明的阿拉伯數碼及其
記數法在實用上最為優越,在他回到家鄉後寫成《算盤書》 (Liber Abaci,
1202)中,他談到一個有趣的「兔子問題」,以下就是這個問題的一個「修
訂版」:
斐波飼養了一隻剛出生的小兔子娜娜,娜娜所屬的品種十分特別。牠們出
生後第二個星期,便會開此單性繁殖,以後每一個星期生小兔子一隻。假
設一年內,都沒有兔子死去或遺失,而除了娜娜所生的兔子外,斐波也再
沒有飼養其他新的兔子。問娜娜出生第 12 個星期,斐波共有兔子多少隻?
第一個星期:只有一隻小兔子娜娜;
第二個星期:小兔子娜娜還未開始生殖,仍只有一隻兔子;
第三個星期:娜娜生了一隻小兔子,這時共有兩隻兔子;
第四個星期:娜娜又生了一隻小兔子,而上個月出生的小兔子還未開始生
殖,這時共有三隻兔子;
第五個星期:連娜娜在內,這時已有兩隻兔子可以生育,於是新出生的兔
子有兩隻,即共有五隻兔子;
餘此類推,詳情見下表:
月份數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子總數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
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從上表,可得知娜娜出生第 12 個星期,斐波共有兔子 233 隻。
如個兔子可以永生,兔子的總數便會繼續增大:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,….
後來的數學家就把這數列稱為「斐波那契數列」 (Fibonacci sequence)。並
以 Fn 表示這個數列的第 n 項。
思考題 3.3.1
試證明 / 解釋:Fn 滿足下式:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+===
−− 3, 1 1
21
2
1
nFFFFF
nnn
思考題 3.3.2
設 Gn 為某數列的第 n 項,已知對任意正整數 n, 12 ++ += nnn GGG ,你能求
出 G10 嗎?
思考題 3.3.3
設 Fn 為某斐波那契數數列的第 n 項,當 n 越來越大時,連續兩項的比n
n
FF 1+
的變化會有甚麼規律?
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思考題 3.3.4
以下是「兔子問題」的一些版本:
(A) 假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子,而小兔子出生後兩個月
就有生殖能力,問從一對大兔子開始,一年後能繁殖成多少對兔子?
(B) 「假設每一對新生的小兔子,一個月後便長大,且每一個月都生一對
小兔子。已知每次新生的一對小兔子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死
去,且隔代的兔子不會互相交配。若現有一對小兔子,問一年後共有兔子
多少對?」。
大家認為這些版本真能推出斐波那契數列嗎?
習作 3.3.1
a) 證明(F1)2 + (F2)2 + … + (Fn)2 = Fn Fn + 1。
b) 證明 Fm + n = FmFn - 1 + Fm + 1Fn,其中 m,n∈ N。
網上或電腦資源
欲知斐波那契的生平,可瀏覽以下網頁:
http://www.nhltc.edu.tw/~chchang/homework/90/social2/7-1.htm
http://math.ntnu.edu.tw/~horng/history/vol4no1a.htm
http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no4c.htm
http://www.nhltc.edu.tw/~chchang/homework/90/social2/7-1.htmhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/history/vol4no1a.htmhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no4c.htm
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有關斐波那契數的性質,可參閱︰
http://www.math.ied.edu.hk/math_module/it/software/PowerPoint/fibonacci/fibonacci.ppt
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
以下網頁提供了專門計算斐波那契數的程式︰
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibCalcX.html
http://www.math.ied.edu.hk/math_module/it/software/PowerPoint/fibonacci/fibonacci.ppthttp://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.htmlhttp://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibCalcX.html