examen final de cálculo iii
DESCRIPTION
Examen Final de Cálculo IIITRANSCRIPT
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 1/13
Universidad Mayor de San Andres
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Carrera de Informatica
La Paz - Bolivia.
Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD
25 puntos
Examen Final de Calculo III Lunes 20 de Junio de 2011
Solucionario del Examen Final
Solo se califican las respuestas de 4 preguntas
(1) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Estudiar la ecuaci´ on diferencial
d y
d x = λy − y
3
para los diferentes valores que puede tomar el n´ umero λ.
Soluci´ on 1. La ecuaci´ on dada es de variables separables, empleamos fracciones parciales e integramos:
Descomponemos el denominador, λy − y3, como producto de factores de grado 1 y factores de grado 2 irreducibles:
λy − y3 = y(λ − y2) (1)
Si λ < 0, el polinomio λ−
y2 es irreducible por que su discriminante b2
−4c = 02
−4(−
1)(λ) =4λ es negativo.
Realizamos la descomposici´ on en fracciones de la forma siguiente:
1
λy − y3 =
a
y +
by + c
λ − y2
Multiplicando a ambos lados de esta igualdad por y(λ − y2) obtenemos
1 = a(λ − y2) + (by + c)y
Ahora debemos obtener un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ ognitas, para lograr esto es suficiente reemplazar tres valores distintos de y en la anterior ecuaci´ on.
Reemplazando y = 0 en la ecuaci´ on obtenemos
1 = a(λ − 02) + (b · 0 + c)0
de aquı a = 1
λ. Ahora reemplazamos y = 1, para obtener
1 = a(λ − 12) + (b · 1 + c)1
de donde se obtiene aλ
−a + b + c = 1. Ahora, colocando y =
−1 se sigue que
1 = a(λ − (−1)2) + (b · (−1) + c)(−1)
lo cual implica aλ − a + b − c = 1.
1
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 2/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 2
Juntando estas ecuaciones tenemos el sistema buscado
aλ − a + b + c = 1aλ − a + b − c = 1
1 − 1
λ + b + c = 1
1 − 1
λ + b − c = 1
−1
λ + b + c = 0
− 1
λ + b − c = 0
Sumado ambas ecuaciones obtenemos b = 1λ
, luego c = 0. Con esto hemos conseguido tener
la siguiente igualdad
1
λy − y3 =
1
λ
1
y +
1
λ
y
λ − y2
1
λy − y3 d u = d x
1
λ1
y +
y
λ − y2
d y = d x
1
λ
1
y +
y
λ − y2
d y =
d x
1
λ
1
y d y +
y
λ − y2 d y
=
d x
1
λ
ln(y) − 1
2 ln(λ − y2)
=
d x
1
λ
ln y
λ − y2
= x + C
y λ − y2
= eλ(x+C ) = ceλx
y2
λ − y2 = ce2λx
de donde y2 = ce2λx(λ − y2), ası y2 + ce2λxy2 = ce2λxλ, por tanto
y2 = ce2λxλ
1 + ce2λx
Por otro lado si suponemos que λ > 0, entonces
λy − y3 = y(λ − y2) = y(√
λ − y)(√
λ + y) (2)
Realizamos la descomposici´ on en fracciones de la forma siguiente:
1
λy − y3 =
a
y +
b√ λ − y
+ c√
λ + y
Multiplicando a ambos lados de esta igualdad por y(√ λ − y)(√ λ + y) obtenemos
1 = a(λ − y2) + by(√
λ + y) + cy(√
λ − y)
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 3/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 3
Ahora debemos obtener un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ ognitas, para lograr esto es suficiente reemplazar tres valores distintos de y en la anterior ecuaci´ on.
Reemplazando y = 0 en la ecuaci´ on obtenemos
1 = a(λ − 02) + b0(√
λ + 0) + c0(√
λ − 0)
de aquı a = 1λ
.
Del mimos modo si reemplazamos y =√
λ en la ecuaci´ on obtenemos
1 = a
λ − √ λ2
+ b√
λ(√
λ +√
λ)
de aquı obtenemos b = 1
2λ. Ahora, colocando y = −
√ λ en la ecuaci´ on obtenemos
1 = a
λ − −√ λ2− c
√ λ(√
λ +√
λ)
v lo cual implica c = − 12λ
.
Con esto hemos conseguido tener la siguiente igualdad
1
λy − y3 =
1
λ
1
y +
1
2λ
1√ λ − y
− 1
2λ
1√ λ + y
1
λy
−y3
d u = d x
12λ
2y
+ 1√ λ − y
− 1√ λ + y
d y = d x
1
2λ
2
y +
1√ λ − y
− 1√ λ + y
d y =
d x
1
2λ
2
y d y +
1√
λ − yd y −
1√
λ + yd y
=
d x
1
2λ
2ln(y) − ln(
√ λ − y) − ln(
√ λ + y)
=
d x
1
2λ ln y2
(√ λ − y)(√ λ + y) = x + C
y2
λ − y2 = e2λ(x+C ) = ce2λx
por tanto
y2 = ce2λxλ
1 + ce2λx ♣
Soluci´ on 2. Ordenamos la ecuaci´ on para poder identificarla d y
d x − λy = −y3 (3)
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 4/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 4
Esta ecuaci´ on es del tipo Bernoulli con n = 3, luego hacemos el cambio de variable
u = y1−3 = y−2, d u
d x = −2y−3 d y
d x (4)
multiplicando por −2y−3 a ambos lados de (3) obtenemos
−2y−3 d y
d x + 2λy−2 = 2
ahora reemplazando las ecuaciones en (4) en la anterior ecuaci´ on esta se reduce a
d u
d x + 2λu = 2
Ocupamos el factor integrante µ(x) = exp
2λd x
= e2λx. Multiplicando la ecuaci´ on por
e2λx, tenemos
e2λxd u
d x + 2λe2λxu = 2e2λx
es decir,d
d x
e2λxu
= 2e2λx
Integrando, obtenemos
e2λx u = 2 e2λxd x = 1
λ
e2λx + C,
Ahora, volviendo a las variables originales obtenemos
e2λx
y2 =
1
λe2λx + C.
de aquı obtenemos
y2 = e2λxλ
C + e2λx ♣
(2) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Un matem´ atico puro estudia una curva y = f (x)
que tiene la propiedad que la recta tangente a la curva que pasa por el punto (a, f (a)) pasa por el punto (a + f (a), a + f (a)). Escriba la ecuaci´ on diferencial que verifica la curva y determine la curva que pasa por el punto (1, 2).
Soluci´ on. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (a + f (a), a + f (a)) es dado por
a + f (a) − a
a + f (a) − f (a) =
f (a)
a
Por otro lado la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) que pasa por el punto
(a, f (a)) es dado por f (a). Por lo tanto tenemos la siguiente ecuaci´ on
f (a) = f (a)
a
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 5/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 5
lo cual induce la siguiente ecuaci´ on diferencial:
y = y
x.
Despejando obtenemos
1y
d y = 1x
d x
e, integrando, 1
y d x =
1
x d x
se sigue que ln y = ln x + ln C , es decir,
y = C x.
Ahora bien la curva que pasa por el punto (1, 2) es dado por y = 2x.
♣(3) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Resuelva la ecuaci´ on diferencial
d y
d t +
1
t y =
2 cos(ln t)
t con y(1) = 1
Soluci´ on. Calculamos primero el factor integrante
exp
P (t) d t
= exp
1
t d t
= eln |t| = eln |t| = t
y lo aplicamos a la ecuaci´ on
td y
d t + t
1
t y = t
2 cos(ln t)
t
td y
d t + y = 2 cos(ln t)
d
d t [t y] = 2 cos(ln t)
Integrando llegamos a
t y =
2 cos(ln t) d t + C y =
1
t
2 cos(ln t) d t + C
Hallemos la integral
cos(ln t) d t:
cos(ln t) d t =
cos(ln t) d t
u = cos(ln t), d v = d t
d u =
−sen(ln t)
1
t
d t v = t
= t cos(ln t) +
t sen(ln t)
1
td t = t cos(ln t) +
sen(ln t) d t
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 6/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 6
tambien caldulemos
sen(ln t) d t =
sen(ln t) d t
u = sen(ln t), d v = d t
d u = cos(ln t) 1
td t v = t
= t sen(ln t) − t cos(ln t)
1
t d t = t sen(ln t) − cos(ln t) d t
Por lo tanto cos(ln t) d t = t cos(ln t) + t sen(ln t) −
cos(ln t) d t
de donde
cos(ln
t) d
t =
1
2 [t
cos(lnt) +
tsen(ln
t)]
Con lo cual se concluye que
y(t) = 1
t (t cos(ln t) + t sen(ln t) + C )
ahora evaluamos la condici´ on inicial
y(1) = 1
1 (1 cos(ln 1) + 1 sen(ln 1) + C ) = 1, C = 0
entonces la soluci´ on particular del problema es
y(t) = 1t
(t cos(ln t) + t sen(ln t)) .
♣
(4) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) La descomposici´ on de N 2O bajo la influencia
de un catalizador de platino viene dada por la ecuaci´ on diferencial d x
d t = k
a − x
1 + bx donde a
es la concentraci´ on de N 2O en el instante inicial t = 0, b es una constante y x(t) es la concentraci´ on de producto en el instante t. Si para t = 0 es x(0) = 0, resuelva la ecuaci´ on diferencial y determina la vida media de la sustancia (vida media de una sustancia es el tiempoT que tarda en reducirse a la mitad).
Soluci´ on. Dividiendo a − x entre 1 + bx obtenemos
1 + bx
a − x = −b +
1 + ab
a − x
La ecuaci´ on diferencial d x
d t = k
a − x
1 + bx es de variables separadas, esto es,
1 + bx
a
−x
d x = kd t
de donde −b +
1 + ab
a − x
d x = kd t
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 7/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 7
e, integrando, −b +
1 + ab
a − x
d x =
kd t
se sigue que −bx −
1 + ab
ln(a − x) = kt, es decir,
bx +
1 + ab
ln(a − x) = −kt
Ahora bien si x(0) = 0 entonces
b0 +
1 + ab
ln(a − 0) = −k0, ab = −1, a = 1
♣
(5) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Resolver la ecuaci´ on diferencial
y + 2y − 8y = e2x
6x − 1
x2
, x > 0.
Soluci´ on. Se trata de una ecuaci´ on diferencial lineal completa de orden 2 y coeficientes constantes. Para determinar su solucion general usaremos que
yg = ygh + y p
siendo yg el conjunto de soluciones de la ecuaci´ on diferencial completa, ygh el espacio vectorial
de las soluciones de la ecuaci´ on diferencial homogenea asociada e y p una soluci´ on particular de la ecuaci´ on diferencial completa.
Se resuelve en primer termino la ecuaci´ on diferencial homogenea asociada
y + 2y − 8y = 0
El polinomio caracterıstico de dicha ecuaci´ on diferencial es m2 + 2m−8 = 0, cuyas raıces son
m = −2
± 22
−4(1)(
−8)
2 = −2
±
√ 36
2 = −1 ± 3, m1 = −4, m2 = 2
Ası pues se trata de raıces simples distintas, por lo que un conjunto fundamental (CF) o un sistema fundamental de soluciones (SFS) para la ecuaci´ on diferencial es {e−4x, e2x},
Por lo tanto la solucion general de la ecuaci´ on diferencial homogenea es
ygh = Ae−4x + Be2x
Para buscar una soluci´ on particular de la ecuaci´ on diferencial completa aplicaremos la tecnica
de variacion de par´ ametros. El metodo de variaci´ on de par´ ametros (MVP) nos asegura la existencia de una soluci´ on particular de la ecuaci´ on diferencial completa y p de la forma
y p = A(x)e−4x + B(x)e2x
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 8/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 8
con A(x) y B(x) soluciones del siguiente sistema algebraico:
A(x)e−4x + B(x)e2x = 0
−4A(x)e−4x + 2B(x)e2x = e2x
6
x − 1
x2
Para resolver este sistema hallemos los siguientes determinantes:
W =
e−4x e2x
−4e−4x 2e2x
= 2e−4xe2x + 4e−4xe2x = 6e−2x
W 1 =
0 e2x
e2x
6
x − 1
x2
2e2x
= −e2x
6
x − 1
x2
e2x = −e4x
6
x − 1
x2
W 2 =
e−4x 0
−4e−4x e2x
6
x − 1
x2
= e−4xe2x
6
x − 1
x2
= e−2x
6
x − 1
x2
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones inc´ ognitas:
A =
W 1
W d x =
−e4x
6
x − 1
x2
6e−2x d x
= −1
6
e6x
6
x − 1
x2
d x
u = e6x 1
x
d u =
6e6x
6
x − e6x
1
x2
d x
d u = e6x
6
x − 1
x2
d x
= −1
6
d u = −1
6u = −1
6
e6x
x
Otro modo de hacer esto mismo es aplicando la tecnica de integraci´ on por partes, en efecto:Hagamos u =
6
x, entonces d u = − 6
x2 d x. Asignemos d v = e6x d x, entonces v =
1
6e6x. Por
tanto e6x
6
x d x =
6
x
1
6e6x +
1
6e6x
6
x2 d x
de donde e6x
6
x − 1
x2
d x =
e6x
x
Por otro lado tenemos:
B =
W 2
W d x =
e−2x
6x − 1
x2
6e−2x
d x = 1
6
6
x − 1
x2
d x =
1
6
6 ln x +
1
x
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 9/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 9
Por lo tanto la solucion particular viene dada por:
y p = −1
6
e6x
x e−4x +
ln x +
1
6x
e2x = −e2x
6x + ln xe2x +
e2x
6x = ln xe2x
Entonces se puede concluir que la soluci´ on general a la ecuaci´ on dada es:
yg = Ae−4x + Be2x + ln xe2x
♣
(6) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Resuelva la ecuaci´ on diferencial
t + xx
√ t2 + x2
+ tx − x
t2 = 0
Soluci´ on 1. Empecemos colocando esta la ecuaci´ on en su forma diferencial:
t + xx
√ t2 + x2
+ tx − x
t2 = 0
t√ t2 + x2
+ xx
√ t2 + x2
+ tx
t2 − x
t2 = 0
xx
√ t2 + x2
+ tx
t2 +
t√ t2 + x2
− x
t2 = 0
x
√ t2 + x2 +
1
t
x
+
t
√ t2 + x2 − x
t2 = 0
de donde tenemos
t√ t2 + x2
− x
t2
d t +
x√ t2 + x2
+ 1
t
d x = 0
Nuestra primera misi´ on es determinar si esta ecuaci´ on es exacta. Aquı tenemos
M (t, x) = t(t2 + x2)1/2
− xt2
y N (t, x) = x(t2 + x2)1/2
+ 1t
luego
∂M
∂x = − xt
(t2 + x2)3/2 − 1
t2 y
∂N
∂t = − xt
(t2 + x2)3/2 − 1
t2
para todo (t, x) ∈ R2 y, en consecuencia, la ecuaci´ on es exacta en todo dominio D.
Por lo tanto, hemos de hallar f tal que
∂f (t, x)
∂t = M (t, x) = t
(t2 + x2)1/2 − x
t2∂f (t, x)
∂x = N (t, x) = x
(t2 + x2)1/2 + 1
t
De la primera de estas ecuaciones se deduce
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 10/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 10
f (t, x) =
M (t, x) d t + C (x)
=
t√ t2 + x2
− x
t2
d t + C (x)
= √ t2 + x2 + xt
+ C (x)
Entonces ∂f
∂x =
x√ t2 + x2
− 1
t + C (x)
Pero se ha de cumplir
∂f (t, x)
∂x = N (t, x) =
x√ t2 + x2
+ 1
t
luegox
√ t2 + x2 − 1
t + C (x) = x√ t2 + x2 +
1
t o sea, C (x) = 2
t
Por tanto,
C (x) = 2x
t + C 0
donde C 0 es una constante arbitraria, de modo que
f (t, x) =√
t2 + x2 + x
t +
2x
t + C 0
Como consecuencia, una familia uniparametrica de soluciones de la ecuaci´ on diferencial es f (t, x) = C 1, es decir,
√ t2 + x2 + 3xt
+ C 0 = C 1
Combinando las constantes C 0 y C 1, podemos escribir esta soluci´ on en la forma
√ t2 + x2 +
3x
t = C
en donde C = C 1 − C 0 es una constante arbitrario.
♣
Soluci´ on 2. Realicemos los siguientes cambios de variables:
u = t2 + x2, d u = 2t d t + 2x d x
v = x
t, d v =
t d x − x d t
t2
Puesto que la ecuaci´ on
t + xx
√ t2 + x2 +
tx
−x
t2 = 0
puede escribirse como
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 11/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 11
2t d t + 2x d x
2√
t2 + x2+
t d x − x d t
t2 = 0
entonces tenemos d u
2√ u + d v = 0
integrando tenemos 1
2√
u d u +
d v = C,
√ u + v = C
de donde se obtiene que √ t2 + x2 +
x
t = C.
♣
(7) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Resuelva la ecuaci´ on diferencial
x = x ln 2 + 2sen t(cos t − 1)ln2
Soluci´ on. Recordemos que la ecuaci´ on lineal
y + a(x) y = b(x) (5)
tiene por solucion a:
y = exp
−
a(x) d x
b(x) exp
a(x) d x
d x + C
. (6)
Nuestra ecuaci´ on es una lienal, en efecto esta puede escribirse como
x − (ln 2)x = 2sen t(cos t − 1)ln2
aquı a(t) = − ln 2 y b(t) = 2sen t(cos t − 1)ln2. Aplicando (6) para resolverla obtenemos:
x = exp
ln 2 d t
2sen t(cos t − 1)ln2 exp
−
ln 2 d t
d t + C
= e t ln 2
2sen t(cos t − 1)ln2 e−t ln 2 d t + C
= 2 t
2sen t(cos t − 1)(ln2)2−t d t + C
= 2 t
ln 2
2sen t−t(cos t − 1)d t + C
u = sen t − t
d u = (cos t − 1)d t
= 2 t
ln 2
2ud u + C
= 2 t
ln 2
2u
ln 2 + C
= 2 t (2u + C )
= 2 t (2sen t−t + C ) = 2sen t + 2 tC.
♣
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 12/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 12
(8) (Este problema es calificado por 6.25 puntos.) Adivine una soluci´ on de la ecuaci´ on
y − (1 − 2x)y + y2 = 2x
y calcule todas sus soluciones.
Soluci´ on.
Comencemos por demostrar que existe una soluci´ on de esta ecuaci´ on homogenea que tiene la forma y = c,, y luego construiremos una base de soluciones de dicha ecuaci´ on.
Un reemplazo de y = c en la ecuaci´ on permite encontrar c = 1. En efecto:
y = c, y = 0.
y − (1 − 2x)y + y2 = 2x
0 − (1 − 2x)c + c2 = 2x
−c + 2cx + c2 = 2x
c2 − c = 2x(c − 1)
c(c − 1) = 2x(c − 1)
Ahora bien, la identidad se da cuando c = 1, entonces podemos llamar y1(x) = 1.
Por otro lado nuestra ecuaci´ on es una ecuaci´ on de Ricatti,
y + a(x)y + b(x)y2 = c(x).
Aqui a
(x
) = −(1 − 2x
), b
(x
) = −1 y c
(x
) = 2x
. En este caso una soluci´ on particular es y p = 1. Realizando el cambio de variable y = 1 +
1
z , se tiene y = − 1
z 2 z y z =
1
y − 1, por
tanto haciendo las sustituciones correspondientes,
− 1
z 2 z − (1 − 2x)
1 +
1
z
+
1 +
1
z
2
= ex
− 1
z 2 z − 1 − 1
z + 2x +
2x
z + 1 +
2
z +
1
z 2 = 2x
− 1
z 2 z +
2x
z +
1
z +
1
z 2 = 0
− 1
z 2 z + (2x + 1)
1
z +
1
z 2 = 0
de aquı obtenemos la siguiente ecuaci´ on diferencial lineal
z − (2x + 1)z = −1
En este caso a(x) = −(2x + 1) y b(x) = −1 de donde se deduce que el factor integrante es
µ(x) = exp
a(x) d x
= exp
−
(2x + 1) d x
= e−x2−x
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]
7/18/2019 Examen Final de Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/examen-final-de-calculo-iii-5697b8ca77178 13/13
Informatica Dr. Mario ξρ
Chavez Gordillo PhD 13
Multiplicando ahora los dos miembros de la ecuaci´ on por este factor integrante, obtenemos
e−x2−xz − (2x + 1)e−x2−xz = −e−x2−x es decir, d u
d x
e−x2−xz
= −e−x2−x
Integrando miembro a miembro para obtenemos
e
−x2−x
z = − e
−x2−x
d x + C z = e
−x2−x − e
−x2−x
d x + C
Luego de revertir el cambio de variable obtenemos la soluci´ on general de la ecuaci´ on de Ricatti:
1
y − 1 = e−x2−x
−
e−x2−x d x + C
de donde y =
e−x2−x
−
e−x2−x d x + C
+ 1.
♣
5 a˜ nos Licenciatura + 3 a˜ nos Maestrıa + 5 a˜ nos Doctorado + 2 a˜ nos Post-doctorado = 15 a˜ nos.No creo que sea imposible ¿y t´ u?
Examen Final Calculo III Consultas: [email protected]