EXAMEN DEL TEMA 9Se recomienda:a) Antes de hacer algo, lee todo el examen.b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor.c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta.d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada.e) Resuelve detalladamente el problema para obtener todos los puntos del mismo.f) El examen se hará a bolígrafo, NUNCA a lápiz.

TEORÍA( como mínimo hay que sacar un punto )1. ¿Cuál es la expresión analítica de la función de proporcionalidad? ¿Cómo se representan?

¿Por qué punto del plano pasan? ¿Qué nombre recibe el coeficiente de x? ¿Cuál es lainterpretación geométrica de dicho coeficiente? (0.125 p � 0.1 p � 0.125 p � 0.1 p �0.25 p)(#0.7 p)

2. ¿Cuál es la expresión analítica de la función afín? ¿Cómo se representan? ¿Por qué punto delplano pasan? ¿Qué nombre recibe el coeficiente de x? ¿Qué nombre recibe el términoindependiente que no multiplica a x? (0.125 p � 0.1 p � 0.125 p � 0.1 p �0.125 p)(# 0.575 p)

3. ¿Cuál es la ecuación de una recta paralela al eje OX? ¿Cuál es la ecuación de una rectaparalela al eje OY? (2x0.175 p)(# 0.35 p)

4. ¿Cuál es la expresión analítica de una función cuadrática? ¿Cómo se representan lasfunciones cuadráticas? ¿Qué coeficiente determina el sentido de dicha representación?(0.125 p � 0.1 p �0.15 )(# 0.375 p)

PROBLEMAS (como mínimo hay que sacar un cuatro )1. Representa las siguientes funciones dadas por sus ecuaciones:

1.1 y � � 75

x. (Utiliza solamente las características de las funciones lineales: sin tabla de

valores.) (0.3 p)

1.2 y � 32

x � 8. (Utiliza solamente las características de las funciones lineales: sin tabla

de valores.) (0.5 p)1.3 y � � 7

4�x � 4�2 � 5. (Utiliza solamente las características de las funciones

cuadráticas: sin tabla de valores. Esbòzala solamente.) (1 p)(# 1.8 p)2. Encuentra la expresión afin de las rectas siguientes:

2.1 Pasa por el punto ��4,5� con pendiente 45

. (0.5 p)

2.2 Pasa por los puntos ��2,10� y �2,5�. (0.55 p)2.3 Representalas sobre unos mismos ejes. (2x0.3 p)(# 0.6 p)2.4 ¿Qué posición relativa ocupan? ¿Ves alguna relación "curiosa" entre sus dos

ecuaciones? (0.2 p � 0.3 p)(# 0.5 p)(# 2.15 p)3. Representa la parábola dada por la ecuación: y � 3x2 � 6x � 1

Para ello calcula los siguientes elementos:3.1 Las coordenadas de su vértice. (0.35 p)3.2 La ecuación del eje de simetría de la parábola. (0.2 p)3.3 Las coordenadas de dos puntos próximos al vértice. (2x0.25 p)(#0.5 p)3.4 Las coordenadas de los puntos de corte de la parábola con el eje OX. (0.7 p)3.5 Las coordenadas de los puntos de corte de la parábola con el eje OY. (0.2 p)(#

1.95 p)4. Un depósito contiene 240 l de agua y recibe el caudal de un grifo que aporta 9 l/min. Un

segundo depósito contiene 300 l y recibe el caudal de un grifo que aporta 4 l/min. ¿Cuántotiempo pasará hasta que ambos depósitos posean la misma reserva de agua? Representaambas funciones y escribe la solución exacta. (ecua-�2x0.35 p; ejes-�0.3 p; rep-�2x0.3 p;

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sol-� 0.4 p � 0.1 p)(#2.1 p)

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SOLUCIÓN

PROBLEMAS (como mínimo hay que sacar un cuatro )1.

1.1 y � � 75

x.

Se trata de una función de proporcionalidad. Por lo tanto, se trata de una recta quepasa por el origen de coordenadas, �0,0�, con una pendiente m � �7

5. Esto significa

que cuando la x se desplaza cinco unidades a la derecha, la y baja siete unidades.(Utiliza solamente las características de las funciones lineales: sin tabla de valores.)0.3 p

1.2 y � 32

x � 8.

Se trata de una función afín con pendiente m � 32

y ordenada en el origen n � �8.

Esto significa lo siguiente:

� m � 32

�cuando la x se desplaza dos unidades a la derecha, la y sube dos

unidades.� n � �8 �pasa por el punto �0,�8�

(Utiliza solamente las características de las funciones lineales: sin tabla de valores.)0.5 p

1.3 y � � 74�x � 4�2 � 5.

Teniendo en cuenta la forma en que está dada la parábola, podemos decir losiguiente:� a � � 7

4�se trata de una parábola con las ramas hacia abajo (a � 0� y un

poco más cerradas que las de la parábola de ecuación y � x2, pues � 74

� 1

� su vértice está en el punto �4,5�� su eje de simetría es la recta vertical x � 4

(Utiliza solamente las características de las funciones cuadráticas: sin tabla devalores. Esbòzala solamente.) 1 pNos queda gráficamente:

(# 1.8 p)2. expresión afin

2.1 Pasa por el punto ��4,5� con pendiente 45

� y � 5 � 45�x � ��4��

y � 5 � 45�x � 4�

5y � 25 � 4x � 165y � 4x � 16� 25

y � 4x � 415

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y � 4x5

� 415

0.5 p

2.2 Pasa por los puntos ��2,10� y �2,5� �y � 510� 5

� x � 2�2 � 2

y � 55

� x � 2�4

�4y � 20 � 5x � 10�4y � 5x � 10� 20

y � 5x � 30�4

y � � 5x4

� 304

y � � 5x4

� 152

0.55 p

2.3 La representación queda:

2x0.3 p (# 0.6 p)2.4 Las rectas son perpendiculares. 0.2 p

Se observa que las pendientes tienen la siguiente relación: 45

� � 1� 5

4

0.3 p

(# 0.5 p) (# 2.15 p)3. y � 3x2 � 6x � 1

3.1 La abscisa del vértice viene dada por: x � � 62 � 3

� � 1

La ordenada correspondiente será: y � 3 � ��1�2 � 6 � ��1� � 1 � � 2Luego, el vértice está en el punto ��1,�2� 0.35 p

3.2 La ecuación del eje de simetría de la parábola� x � �1 0.2 p3.3 Tomamos dos puntos a la derecha del vértice.

Consideramos la siguiente tabla de valores:

x 0 1

y 3 � 02 � 6 � 0 � 1 � 1 3 � 12 � 6 � 1 � 1 � 10�puntos �0,1�,�1,10� 2x0.25 p

(#0.5 p)3.4 Las coordenadas de los puntos de corte de la parábola con el eje OX.

Se trata de los puntos de la forma �x, 0�, por lo tanto hemos de resolver la ecuaciónde 2º grado:0 � 3x2 � 6x � 1

Ecuación de 2º grado completa con

a � 3

b � 6

c � 1

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�6 � 62 � 4 � 3 � 12 � 3

��6 � 24

6�

�6 � 4 � 66

��6 � 2 6

6�

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�

�6 � 2 66

� �0.1835� �0.2

�6 � 2 66

� �1. 8165� �1.8

Los puntos de corte con el eje OX son ��0.2,0�,��1.8,0� 0.7 p3.5 Las coordenadas de los puntos de corte de la parábola con el eje OY.

Se trata de los puntos de la forma �0,y�, por lo tanto hemos de calculary � 3 � 02 � 6 � 0 � 1 � 1Nos queda el punto �0,1� (que ya teníamos!) 0.2 p (# 1.95 p)

Un apartado tendrá toda su puntuación si el punto y su representación

están bien,

4. Supongamos que x son los minutos mientras que y son los litros que tiene el depósito. En estascondiciones, las ecuaciones del contenido de cada depósito en función del tiempo en minutosson:� depósito contiene 240 l de agua y recibe el caudal de un grifo que aporta 9

l/min� y � 240� 9x 0.35 p� segundo depósito contiene 300 l y recibe el caudal de un grifo que aporta 4

l/min� y � 300� 4x 0.35 pAsí, la representación gráfica nos queda:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

100

200

300

400

500

600

min

l

ejes-�0.3 p; rep-�2x0.3 p� y � 240� 9x � pasa por el punto �240,0� pues n � 240con pendiente m � 9 (cuando la x

se desplaza una unidad a la derecha, la y sube nueve)� y � 300� 4x � pasa por el punto �300,0� pues n � 300con pendiente m � 4 (cuando la x

se desplaza una unidad a la derecha, la y sube cuatro)

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Claramente, hay un momento en el que ambos depósitos tienen la misma cantidad de agua.Para calcular exactamente dicho momento, hemos de resolver el siguiente sistema deecuaciones lineales:

y � 240� 9x

y � 300� 4x

Aplicamos el método de igualación:240� 9x � 300� 4x9x � 4x � 300� 2405x � 60

x � 605

� 12

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y� y � 300� 4 � 12 � 348La solución del sistema es �12,348� 0.4 pA los doce minutos, los dos depósitos tienen la misma cantidad de agua. 0.1 p(#2.1 p)

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