Examen N°1 de Procesos

Problema 1

El sistema de nivel de líquido que se muestra en la figura, inicialmente está operando en estado estacionario cuando ocurre la siguiente perturbación: en el tiempo t=0+, repentinamente se agrega 1 pie3 de agua al tanque; en t=1 se agrega 2 pie3 de agua al tanque. Dibujar la altura del tanque h con variables absolutas y con variables desviadas en t=0.5, t=1 y t= 1.5.

f ( t ) es flujo

Primero analizamos sin la perturbacion.

Usamos balance de masa:

ρ f 1 ( t )−ρ f 0 ( t )=ρ d [A h(t)]dt

hay que recordar que la ecuacion que nos dice como relacionar f y h es:

f 0 ( t )=h( t)R…………………………………………………….(1ecuacion ,2incgnitas)

La densidad contante se simplifica quedando:

f (t )−h( t)R

=Ad [h( t)]dt

F ( t )−H (t)R

=Ad [H (t)]dt

………………………………………(2ecuaciones ,2incognitas)

Donde:

F=f (t )−f H ( t )=h ( t )−h

Para transformar a Laplace:

F ( s )−H ( s )R

=sAH (s )

F ( s )=H ( s )R

+sAH ( s )

Simplificando:

F ( s )=H (s )[ 1R +sA ]De donde tomamos la funcion:

F (t)H ( s )

= 11R

+sA= Kτs+1

= R(AR ) s+1

Donde:

τ=AR=1minK=R=0.5Sabemos que: h=0 , f=0

y si reemplazamos con valores : f (t )=10u (t )

Siendo en Laplace, F ( s )=10s

, al reemplazar tendriamos:

H (s )= 5s (s+1 )

=5s− 5s+1

Siendo la inversa: h (t )=5−5e−t

h=limt→∞h(t)=5

Ahora con la perturbación:

Tenemos que f es constante=10cfm

Balance de masas con la perturbación:

ρ∗f ( t )+ρ f 2(t )−ρ f 0 ( t )=ρ d [Ah (t)]dt

Donde: f 2(t), es la perturbación que se le considera de ingreso.

Eliminamos la densidad que se mantiene constante

f (t )+ f 2(t)−f 0 (t )=d [Ah( t)]dt

Ahora pasándolo a Laplace:

F2 ( t )−H ( s )R

=A∗sH (s)

F2 ( s)−H (s )R

=A∗sH (s )

F2 ( s)=H ( s )[sA+ 1R

]

H (s )F2 ( s )

= RsAR+1

= Rsτ+1

El problema nos dice que en 0+ se agrega un 1ft3 y en 1 se agrega 2 ft3:

f 2 (t )=δ ( t )+2δ (t−1 )

Esto se reemplazara pero antes hay que pasarlo a Laplace:

F2 ( s)=1+2e−s ,

No hay que olvidar el valor de h en estado estacionario: h=5 ft

Ahora reemplazamos:

H (s )=(1+2e−s )∗0.5s+1

H (s )= 0.5s+1

+ e−s

s+1

Ahora hallamos en función del tiempo:

H (t )=0.5e−t+e−(t−1)∗u(t−1)

La variable de desviación es:

H ( t )=h ( t )−h

h (t )=h+0.5e−t+e−(t−1)u (t−1)

Y por ultimo hallamos en los tiempos en t=0.5, t=1 y t= 1.5.:

Sabemos recordando que:h=5 ft

h (0.5 )=5+0.5e−0.5+e−(t−1)∗u (t−1 )=5.303 ft

h (1 )=5+0.5e−1+e−(1−1)=5.303 ft

h (1.5 )=5+0.5e−1.5+e−(1.5−1)=5.712 ft

Para las graficas:

a)Con desviacion

H (t )=5+0.5e−t+e−(t−1)∗u(t−1)

b) Sin desviacion

h (t )=0.5e−t+e−(t−1 )u( t−1)

Siendo el diagrama de bloques:

h ( s)=y (s)x (s )

=5s+ 0.5s+1

+ e−s

s+1

Problema 2

El sistema de nivel de líquido que se muestra en la figura, inicialmente está en estado estacionario con el caudal de entrada en 1cfm (1 pie3/minuto). El área A del tanque es A=1 pie2, y la válvula de salida se puede representar por una resistencia lineal R=1.

En t=0+, repentinamente se agrega 1 pie3 de agua al tanque; en t=1 nuevamente se agrega 1 pie3

de agua al tanque; en t=2 nuevamente se agrega 1 pie3 de agua al tanque; etc. En otras palabras, al tanque se le está aplicando un tren de impulsos en intervalos de 1 minuto. Al final, en la salida

(la altura del tanque) se forma un tren de ondas que se hace periódico. Dibujar la altura del tanque h con variables absolutas y con variables desviadas.

Solución

Balance de masas

La masa que ingresa – la masa que sale = la masa que se encuentra dentro

ρ∗q ( t )−ρ∗q0 ( t )=d [ ρ∗A∗h (t)]dt

…………………(1ecuacion ,3incognitas q (t ) , q0 ( t ) , h( t))

Debido a que al tanque se le está aplicando un tren de impulsos en intervalos de 1minuto.

q (t )=δ ( t )+δ ( t+1 )+δ ( t+2 )+δ (t+3 )+…

(2ecuaciones ,3 incognitas q (t ) , q0 (t ) , h(t))

Hablando del flujo la ecuación de relación respecto a la altura y a R es:

q0 (t )=h ( t )R……………………………………………(2ecuaciones ,3 incognitas q (t ) ,q0 (t ) , h(t))

Reemplazando:

ρ∗q (t )−ρ∗h(t )/R=d [ ρ∗A∗h (t)]dt

Balance de masa en estado estacionario.

ρ∗q−ρ∗h/R=0

Las variables de desviación:

ρ∗Q (t )−ρ∗H (t )/R=d [ ρ∗A∗H (t )]

dt

donde:

Q ( t )=q ( t )−q

H ( t )=h ( t )−h

Laplace:

ρ∗Q (t )−ρ∗H (t )/R=d [ ρ∗A∗H (t )]

dt

ρ∗Q (s )− ρ∗H ( s)R

=ρ∗A [s∗H ( s )−H (0 )]

Q (s )−H (s )R

=A [s∗H ( s )]

Q (s )=H (s )R

+A [s∗H (s )]

Q (s )=H ( s)∗[ 1R +As¿]=H (s )∗[ 1+RAsR ]H ( s )Q ( s )

= RRAs+1

= kτs+1

Donde

k=R y τ=R∗A ,min

Reemplazando valores tenemos

k=1 y τ=1minft2

∗1 ft2=1min

Entonces nuestra función de transferencia es:

H (s )Q(s )

= 1(s+1)

Para poder hallar H(s), necesitamos Q(S) lo cual seria la varia q(t) mas su estado estacionario que en el enunciado nos da que es 1(ft^3/min)dándonos:

Q(t)=q(t)+q0=1+ q(t)

Q ( t )=1+δ ( t )+δ ( t+1 )+δ ( t+2 )+δ (t+3 )+…

Laplace:

Q (s )=1s+1+e−s+e−2 s+e−3 s+e−4 s+…

Reemplazando en la función de transferencia nos da:

H (s )=( 1s+1+e−s+e−2 s+e−3 s+e−4 s+…)∗1

(s+1)

Aplicando la transformada inversa

H ( t )=1+2∗e−t∗u (t )+e−t+1∗u (t−1 )+e−t+2∗u (t−2 )+e−t+3∗u (t−3 )+…

Reemplazando en tenemos:

h (t )=h+H (t)

Si h=q∗R=1 ft3

min∗1 minft2

=1 ft

Por lo tanto:

h( t)=2+2e−t∗u (t )+e−t+1∗u ( t−1 )+e−t+ 2∗u ( t−2 )+e−t+3∗u ( t−3 )+…

Para las graficas:

a)Con desviacion

h (t )=2+2e−t∗u (t )+e−t+1∗u (t−1 )+e−t+2∗u (t−2 )+e−t+3∗u (t−3 )+…

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t-min

h-altura

b) Sin desviación:

H (t )=1+2e−t∗u (t )+e−t+1∗u ( t−1 )+e−t+2∗u ( t−2 )+e−t+3∗u (t−3 )+…

Diagrama de bloques

h ( s)=y (s)x (s )

=1s+ 1s+1

+ e−s

s+1+ e

−2 s

s+1+ e

−3 s

s+1+…

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t(min)

h(altura)

Problema 3

En la figura, se muestra un proceso de mezclado con dos tanques que contiene un lazo de recirculación que transfiere solución desde el tanque 2 hacia el tanque 1 con un caudal de α q0.

(a) Desarrolle una función de transferencia que relacione la concentración en el tanque 2, c2 ,

a la concentración en la alimentación x. Es decir debe de hallar C2(s) /X2(s ) donde

C2(s) y X2(s) son variables de desviación. Por facilidad suponga que las concentraciones

iniciales (en t=0-) son x = c1 = c2= 0.(b) Si se aplica un cambio en forma de escalón unitario en la concentración de entrada x,

determine el tiempo que se necesita para que la concentración c2 alcance 60% de su valor final para los casos en queα=0, α=1 y α=∞.

(c) Dibuje la respuesta para α=∞.(d) Responda las preguntas (b) y (c) por lógica o intuición.

Asuma que cada tanque tiene un volumen constante de 1 pie3. Desprecie el tiempo muerto en las tuberías que conectan los dos tanques y en la tubería de recirculación.

a)

Tanque 1:Balance de Masa:

La masa que ingresa – la masa que sale = la masa que se encuentra dentro

Partimos por:

q0+∝q0=q1

q0 (1+∝ )=q1

Del balance de masa, relacionamos las concentraciones:

q0 x−q1 c1+∝q0c2=Vd c1dt………(1ecuacion ,3incognitas x (t ) , c1 (t ) , c 2(t))

q0 x−q0 (∝+1 ) c1+∝q0 c2=Vdc1dt

Antes de pasar a variables de desviación, V=1pie3 y q0=1pie3/min:

x−(∝+1 ) c1+∝ c2=d c1dt

Ahora sí:

X−(∝+1 )C1+∝C2=dC1dt

Donde:

C1=c1−c1lbmol / pie3

C2=c2−c2 lbmol / pie3

X=x−x lbmol / pie3

Tanque 2

q0 (∝+1 ) c1−(∝+1 )q0 c2=Vd c2dt……… (2ecuacion ,3 incognitas x (t ) , c1 ( t ) , c 2 (t ) )

Y para que puedan ser 3 ecuaciones y 3 incógnitas de la parte b, tomamos:

x (t )=u (t )……………………… (3ecuacion ,3 incognitas x ( t ) , c1 (t ) , c 2 (t ) )

Antes de pasar a variables de desviación, V=1 y q0=1:

(∝+1 ) c1−(∝+1 ) c2=d c2dt

Ahora sí:

(∝+1 )C1−(∝+1)C2=d C2dt

Donde:

C1=c1−c1

C2=c2−c2

TRANSFORMACION DE LAPLACE:

x−(∝+1 )C1+∝C2=d C1dt

x (s )−(∝+1 )C1 ( s )+∝C2 ( s )=sC1 (s )dado quec1 (0 )=0

x (s )=(∝+1 )C1 ( s )−∝C2 ( s )+sC1 (s )

x (s )=C1 ( s ) ( (∝+1 )+s )−∝C2 (s )………………….a

(∝+1 )C1−(∝+1)C2=d C2dt

(∝+1 )C1(s)−(∝+1)C2(s)=sC2dado quec2 (0 )=0

(∝+1 )C1 (s )=(∝+1 )C2 (s )+sC2

(∝+1 )C1 (s )=C2 ( s) ¿

(∝+1 )C1 (s )−( s+(∝+1 ) )C2 (s )=0

Resolviendo:

C1 ( s)= s+(∝+1 )∝+1

C2 ( s )……………………………b

Reemplazando b en a:

X ( s)= [ s+(∝+1 ) ]∗[ (∝+1 )+s ]∝+1

C2 ( s)−∝C2 ( s)

X ( s)=[ s2+2 (∝+1 ) s+ (∝+1 )2−∝ (∝+1 ) ]

∝+1C2 ( s)

X ( s)=[ s2+2 (a+1 ) s+(∝+1 ) ]

∝+1C2 ( s )

C2 (s )X (s )

= 1

[ 1∝+1 ]s

2

+2 s+1

b) Ahora trabajamos para:

x (s )=1s

Caso ∝=0C2 (s )X (s )

= 1

[ 10+1

]s2+2 s+1

C2 ( s)= 1

s ( s2+2 s+1 )

1

s (s+1 )2= As

+ B

( s+1 )2+ Cs+1

Hallamos los numeradores:

A∗(s+1 )2+Bs+C∗s∗(s+1 )=0∗s2+0∗s+1

A s2+2 As+A+Bs+Cs2+Cs=0∗s2+0∗s+1

( A+C ) s2+ (2 A+C+B ) s+A=0∗s2+0∗s+1

( A+C )=0∗s2

(2 A+C+B ) s=0∗s

A=1

Bueno conociendo A hallamos C

( A+C )=0

C=−1

Conociendo A y C hallamos B:

2 A+C+B=0

C=−1

Reemplazando:

C2 ( s)=1s− 1

(s+1 )2− 1s+1

C2 ( t )=1−e−t−t e−t , para∝=0

Ahora se necesita t para que C2(t) 0.6:

Usando MATLAB para encontrar el tiempo:

≫ tiempo=fzero¿

tiempo=2.0223 , para∝=0

CASO ∝=∞C2 (s )X (s )

= 12 s+1

C2 ( s)= 1s [2 s+1 ]

C2 ( t )=1−e−t /2 , para∝=∞

Ahora se necesita t para C2(t) 0.6:

0.6=1−e−t2

e−t2 =0.4

t=1.83min

CASO ∝=1

C2 (s )X (s )

= 1

[0.5 s2+2 s+1 ]

C2 ( s)= 1

s [0.5 s2+2 s+1 ]

Raí ces=−2±√4−21

Raices=−2±√2

Raices=−3.414 ,−0.586

C2 ( s)=¿ As

+ Bs+0.586

+ Cs+3.414

Hallando los coeficientes:

A∗(s+0.586 )∗( s+3.414 )+B∗s∗(s+3.414 )+C∗s∗( s+0.586 )=0∗s2+0∗s+1

A s2+4 As+2.000604 A+Bs2+3.414Bs+Cs2+0.586Cs=0∗s2+0∗s+1

( A+B+C ) s2+(4 A+0.586C+3.414 B ) s+2.000604 A=0∗s2+0∗s+1

( A+B+C )=0∗s2

(4 A+0.586C+3.414 B ) s=0∗s

2.000604 A=1 ; A=0.4998

Bueno conociendo A hallamos C y B

(0.4998+B+C )=0

−0.4998−C=B

Reemplazamos

(4∗0.4998+0.586C+3.414 B )=0

(4∗0.4998+0.586C+3.414∗(−0.4998−C ))=0

(1.9992+0.586C−1.7−3.414C )=0

0.2992=2.828C

De donde obtenemos:

A=0.4998 ;C=0.1057 ;B=−0.6055

C2 ( s)=0.4998s

− 0.6055s+0.586

+ 0.1057s+3.414

C2 ( t )=0.4998−0.6055e−0.586 t+0.1057 e−3.414 t

Ahora se necesita t para C2(t) al 60% ó 0.6:

≫ tiempo=fzero(@+0.2−0.6055∗exp (−0.586∗x )+0.1057∗exp(−3.414∗x ) ,1)

tiempo=1.8889min

Para explicarlo mejor la función fzero trabaja con los numeradores asi colocamos una función y señalamos su variable con@. En este caso a diferencia del resto su valor máximo siempre era 1 ahora era 0.5 aprox, por lo tanto el 60% del valor máximo en los anteriores casos fue 0.6 que al restar daba 0.4 pero ahora su valor máximo es 0.5 siendo el 60% 0.3 que al restar nos daba 0.2 el cual va a la función para el Matlab.

c)

Graficando para α=∞

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

d)

Se puede intuir de la función de transferencia:

C2 (s )X (s )

= 1

[ 1∝+1 ]s

2

+2 s+1

Sea el valor que sea de alfa siempre el tiempo que se demore en llegar al 60% debe ser relativamente parecido, además sabiendo los polos que sean iguales o en cero nos daría un valor máximo en uno, por lo que ya sabríamos que el 60 % seria 0.6, con excepción en el de diferentes raíces debido a que el set point variaría y asi se comprobó en la practica.

En el diagrama de bloques desarrollamos la función transferencia con la ecuación general:

Raí ces=−b±√b2−4 ac2a

Siendo a=[ 1∝+1 ]; b=2 y c=1, usamos divisiones parciales y nos daría:

Problema 5

a) Un termómetro que tiene una respuesta dinámica de primer orden con una constante de tiempo de 1 minuto es colocado en un baño de temperatura a 100 ℉ . Después de que el termómetro alcanza el estado estacionario repentinamente en t=0+ se le coloca en un baño que está a 110 ℉ y se le deja allí por 1 minuto, después del cual se le vuelve a retornar al baño a 100 ℉ .

1-Dibuje la variación de la lectura del termómetro versus el tiempo.

2-calcule la lectura del termómetro en t= 0.5 min y en t=2 min.

b) repita lo mismo de la parte a si el termómetro es dejado solamente 10 segundos en el baño de

110 ℉ .

Solución:

Flujo de entrada al proceso – Flujo de salida del proceso = Tasa de acumulación de energía en el proceso

hA (x− y )−0=mC dydt

A = superficie del bulbo, ft2 pies cuadradosC = capacidad calorífica del mercurio, Btu/ (lb,) (F)m = masa del mercurio en el bulbo, lb librast = tiempo, hr horash = coeficiente de transferencia de calor, Btu/ (hr) (ft2) (T)

Para el estado estacionario:

hA (x− y )=0 t<0

hA [ (x−x )−( y− y ) ]=mC d( y− y )dt

Variables De Desviacion:

X=x−x

Y= y− y

Reemplazando las variables en la ecuacion principal:

hA (X−Y )=mC dYdt…………………………………… .1ecuacion ,1 incognita(Y (t))

Aplicando Laplace

hAX (s )−hAY ( s)=mC (sY (s ) )…………… ..debidoaque Y (0)=0

h A∗X (s )−hA∗Y (s )=mC∗sY (s)

hA∗X (s )=hA∗Y ( s)+mC∗sY (s)

hA∗X (s )=Y (s )(hA+mC∗s )

Quedando:

Y ( s)X (s )

= hAhA+mC∗s

= 1mChA

∗s+1

Comparando con:Y (S)X (S)

= 1τs+1

= 1mChA

∗s+1

τ=mChA

Por dato sabemos que la constante de tiempo es de 1 minuto por lo que la ecuación de transferencia quedaría como:

Y (S)X (S)

= 1s+1

Debido a que la función forzante es la función impulso:

Porque nos dicen que lo colocan en un baño de 110 °F por 1 min y luego regresa a su temperatura de 100°F

Entonces X(S) = A/S

Donde A es la amplitud igual a 10 °F

Osea 110-100=10°F

Y (S )=10 1s (τs+1)

Transformando:

1)Graficando en función del tiempo:

0 200 400 600 800 1000 12000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ojo el eje Y esta relacionado en 0 como 100 °F y en 10 como 110°F, y asi lo trabajamos en las ecuaciones.

Y ( t )=10 (1−e−t )t<1

Y ( t )=10 ((1−e−t )− (1−e−(t−1))) t ≥1

2) Calculando la lectura del termometro en t= 0.5 y 2

En: t=0.5

Y (0.5 )=10 (1−e−0.5 ) t<1

T=103.93

En: t=2

Y (2 )=10 ((1−e−2 )−(1−e−(2−1))) t ≥1

T=102.3254

b) Repita lo mismo de la parte a si el termómetro es dejado solamente 10 segundos en el baño de

110 ℉ .

Debido a que ya tenemos la función la variación de la temperatura vamos a sumarle sus condiciones iniciales que seria 100°F entonces la expresión quedaría como:

Y (t )=110−10e−t

Y como ahora nos piden para 10 segundos cambiamos unidades a minutos

Y ( t )=110−10e−t60

Ahora evaluando en 10 segundos :

Y ( t )=110−10e−1060 =101.535

Ahora para un tiempo mayor a 10 segundos evaluamos en 30 segundos

Y ( t )=100−10e−2060 =101.099

3-)Una termocupla de área A, masa m, capacidad calorífica C y emisividad e, ha sido colocada en un horno que normalmente está en 𝑇𝑖𝑠℃. A esta temperatura la tranferencia de calor por conducción y la transferencia de calor por convección son despreciables comparadas con la transferencia de calor por radiación. Determine la función de transferencia linealizada entre la temperatura del horno 𝑇𝑖 y la temperatura de la unión de la termocupla 𝑇0.

Los datos son los siguientes:

M=0.1 g

C=0.12 cal/g.C

e=0.7

A=0.1 cm2

Tis=1100 C

Grafique la respuesta de la termocupla a un cambio en escalón en la temperatura del horno de 10℃ .

Compare su respuesta con la verdadera respuesta sin linealizar la ecuación diferencial.

RESOLUCION

Tenemos que usar una ecuación que describa el trasnferencia de calor debido a la temperatura y la unión de la termocupla, esta ecuación es la ley de Stefan-Boltzman.

Q=σeAT 4

Qentra−Qsale=∆U

Utilizando el balance de energía obtendremos:

σeA (T i4 ( t )−To4 ( t ) )=mc ∂T 0

∂t………… (1ecuacion ,1incognita T 0 ( t ) )

Para linealizar debemos hallar las variables de desviación:

Γ0=T 0−T 0

Γ i=T i−T i

F (T i ,T 0 )=σeAT i4−σeAT 04

a1=∂F∂T i

=4 σeAT i3

a2=∂F∂T 0

=4 σeAT 03

a1 (T i−T i )−a2 (T 0−T 0 )=mc∂ Γ 0∂ t

a1 (Γ i)−a2 (Γ 0 )=mc∂ Γ0∂ t

Aplicando la transformada de Laplace:

a1 (Γ i ( s ) )−a2 (Γ 0 ( s ) )=mc (s Γ 0 ( s ) )

a1 (Γ i ( s ) )=a2 (Γ 0 ( s ) )+mc (s Γ0 (s ) )

a1 (Γ i ( s ) )=Γ0 (s )∗(a2+mcs )

a1 (Γ i ( s ) )=Γ0 (s )∗(a2+mcs )

Γ0 (s )Γ i (s )

=a1

(a2+mcs )=a1/a2

(mca2 s+1)

Quedando

Γ0 (s )Γ i (s )

= Kτs+1

=

a1a2

(mca2 s+1)

K=a1a2

=4σeAT i

3

4σeAT 03=T i3

T 03 y τ=

mc4σeAT 0

3