estudio y representacion de funciones

Análisis y representación de funciones

Prof. Alicia Wiersma1

Definición de función

Una función f es una relación entre dos conjuntos numéricos A y B, de manera que a cada valor del conjunto A le hace corresponder un único valor del segundo, conjunto B.

f: A→Bx→f(x)


2

3

6

4

36

9

A B

Seguimos analizando

¿Todas estas gráficas son funciones?

NO. De ellas, sólo tres


Analicemos un ejemplo

Esta curva muestra la audiencia de televisión de un canal determinado en un día cualquiera, donde la variable independiente es el tiempo y la variable dependiente son los televidentes.

a) ¿Cuáles son sus puntos con más televidentes? b) ¿En qué momento tuvo la menor audiencia?c) ¿En qué intervalos ha crecido la audiencia?


El dominio de la función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.

Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez.

Dominio y recorrido


Restricciones:

Prof. Alicia Wiersma

Las restricciones de dominio se establecen en los siguientes casos:

Denominador no puede ser nuloRadicando positivo o nulo, si el índice de raíz es parEn caso de ser función logaritmo, su argumento debe ser positivo

Restricciones del dominio

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Imagen y recorrido

Imagen:

Es el conjunto de valores f(x) que toma la función. La leemos sobre el eje y

Recorrido: Es el conjunto de todos los pares (x;f(x)), que representamos en el plano.


Raíces o puntos de corte con los ejes.

El eje de abscisas es la recta de ecuación y=0.

Para hallar los puntos de corte de una función y=f(x) con el eje de abscisas, debe ser f(x)=0.

El eje de ordenadas es la recta de ecuación x=0.

El punto de corte de una función con el eje de ordenadas, si existe, es (0,f(0)),


Continuidad. Discontinuidad.

Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se produce una discontinuidad.En todos los puntos en los que f no está definida se produce una discontinuidad, un salto de su gráfica.Se basa en el estudio de los límites.


Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función; esto es, la curva correspondiente a la función se acerca cada vez más a una recta. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.

Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales en aquellos puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).

Asíntotas.


Paridad o simetrías

Una función es par si f(x)=f(-x) para todo x de su dominio.

Las funciones pares son simétricas respecto del eje OY.

Una función es impar si f(x)=-f(-x) para todo x de su dominio.

Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.


Máximos y mínimos relativos.

f(x) tiene un máximo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h) f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h)

Los máximos y mínimos relativos existen, cuando la función pasa de ser creciente a decreciente o, a la inversa.

Su presencia se produce cuando la derivada primera se anula en algún x0.Para determinarlo y esta-blecer tipo, se reemplaza dicho x0 en derivada según-da.


f(x) es creciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x entre X1 y X2.

En ese intervalo, su derivada es positiva

f(x) es decreciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x de él.En ese intervalo, su derivada es negativa

Crecimiento.


Los puntos de inflexión se producen cuando una curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.Esto sucede cuando la derivada segunda se anula en algún x0.Para determinarlo y establecer tipo, se reemplaza dicho valor en la derivada tercera.

Punto de inflexión.


Resumiendo:

Máximo relativo

Punto de inflexión

Mínimo relativo

Pendiente negativa: decrece

Pendiente positiva: crece


Función impar

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