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REPRESENTACION GRÁFICA DE

FUNCIONES

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REPRESENTACION GRÁFICA DE

FUNCIONES

UNIDADES……………………………………………………………………………………Pag.

1. DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA FUNCIÓN …………………………………………….3

2. CORTES CON LOS EJES …………………………………………………………………...5

3. SIMETRÍA……………………………………………………………………………………..7

4. PERIODICIDAD………………………………………………………………………………9

5. FUNCIONES INVERSAS…………………………………………………………..………..10

6. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN……………..………….…12

7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN……………………………15

a) CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN……………………….17

b) CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA DERIVADA…………………….20

c) CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA…….….22

8. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN ……………………….….……24

9. PUNTOS DE INFLEXIÓN………………………………………………………………….27

10. ASINTOTAS DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………….29

11. REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN………………………………….33

3

DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA

FUNCIÓN

El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números

reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

Ejemplos:

4

5

CORTES CON LOS EJES

Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la

función que pertenecen a los ejes coordenados.

Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve

el sistema:

Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve

el sistema:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Punto de corte con el eje OY :

Puntos de corte con el eje OX :

6

Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:

TABLA DE VALORES

X Y

0 2

1 0

2 0

-1/2 0

7

SIMETRÍA

FUNCIÓN PAR

Una función f es PAR cuando:

Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY).

Ejemplo:

FUNCIÓN IMPAR

Una función f es IMPAR cuando:

8

Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

Ejemplo:

9

PERIODICIDAD

FUNCIÓN PERIÓDICA

Una función f es PERIÓDICA cuando existe un número tal que:

(los valores de la función se repiten de p en p).

El número p se llama periodo.

Ejemplo:

10

FUNCIONES INVERSAS

Sea F una función la función f -1 es la INVERSA cuyo domino es el

codominio de f y tiene la propiedad de que para cada x ϵ R :

(f f-1

)(x)=x

Sea f la función de A en B. La función f-1 de B en A se define

f-1

= (x,y) (y,x) R

Ej: Sea ;

11

f=1/(4-3x) f-1=(4x-1)/3x

12

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

DE UNA FUNCIÓN

TEOREMA

Sea f(x) una función derivable en el punto xo

I.

Demostración Demostración - 1

(1) f es estrictamente

creciente a la derecha del punto xo.

(2) f es estrictamente

creciente a la izquierda del punto xo.

II.

13

Demostración

Demostración -2

f es estric. creciente en xo.

en ambos casos

III.

IV.

V. Demostración

Demostraciones análogas.

Ejemplos:

1.

a. es estrictamente creciente en xo.

En la función es estrictamente

creciente.

b. es estrictamente decreciente en xo.

En la función es estrictamente

decreciente.

14

2.

La función es estrictamente creciente cuando x sea negativa, pero puesto

que f(x) no está definida en x=-1, el intervalo donde la función es

estrictamente creciente será .

Análogamente la función es estrictamente decreciente en .

15

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.

DEFINICIÓN

La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno

E(xo) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno

E(xo) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la

menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se

excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor

que f(xo).

A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o

simplemente extremos.

TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE

EXTREMOS)

Sea una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del

dominio.

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Demostración

Demostración

Este teorema se demuestra utilizando el recíproco.

Nota

La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la

pendiente de la recta tangente) es cero.

Ejemplo:

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no

puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.

TABLA DE VALORES

X Y

1/2 -1/4 P. Crítico

17

TABLA DE VALORES

X Y

1/2 -1/4 P. Crítico

RESUMEN

Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo.

CRITERIO - 1:VARIACIÓN DE LA

FUNCIÓN

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CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA

FUNCIÓN

Sea la función f y un punto xo

Tomamos dos puntos

Los casos posibles que se pueden presentar son:

A. En el punto de abscisas xo hay un

máximo relativo.

B. En el punto de abscisas xo hay un

mínimo relativo.

C. Ni A. ni B. No hay extremo.

Ejemplo:

Sea

Calculamos los puntos críticos:

, es un punto crítico.

Siendo h un número positivo y muy pequeño es evidente que el mayor de los tres

es f(0)=1, (caso A) luego xo es un máximo relativo.

TABLA DE VALORES

X Y

19

0 1 MÁXIMO

CRITERIO - 2:VARIACIÓN DE LA

DERIVADA

20

CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA

DERIVADA

Sea la función f derivable en el intervalo (a ,b)

Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo.

Los casos posibles que se pueden presentar son:

A. y

I. Si la derivada es positiva, la función es creciente.

II. Si la derivada es negativa, la función es decreciente.

Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto xo y es

decreciente después del punto xo, luego en el punto xo hay un máximo relativo.

B. y

I. Si la derivada es negativa, la función es decreciente.

II. Si la derivada es positiva, la función es creciente.

Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto xo y

es creciente después del punto xo, luego en el punto xo hay un mínimo

relativo.

C. Ni A. ni B. No hay extremo.

Ejemplo:

.

Los puntos críticos son:

21

Tenemos tres intervalos: .

En el primero:

Luego

En el segundo:

Luego

En el punto xo=0 no hay extremo, porque empieza siendo decreciente y

sigue siendo decreciente.

En el tercero: Ahora

En el punto x1=3/2 existe un mínimo relativo, porque empieza siendo

decreciente y después pasa a ser creciente.

TABLA DE VALORES

X Y

0 3 NADA

3/2 21/16 MÍNIMO

22

CRITERIO - 3:VARIACIÓN DE LA 2ª

DERIVADA

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CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA

SEGUNDA DERIVADA

Sea una función derivable más de una vez.

TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE

EXTREMOS)

Pueden ocurrir los siguientes casos:

a. La función f tiene en el punto xo un mínimo relativo.

b. La función f tiene en el punto xo un máximo relativo.

c. No se puede afirmar nada.

Demostración

a. Si es creciente en

La derivada es negativa a la izquierda de xo y es positiva a la derecha de

xo, luego la función f es decreciente a la izquierda de xo y es creciente a la

derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mínimo relativo.

b. Si es decreciente en

La derivada es positiva a la izquierda de xo y es negativa a la derecha de

xo, luego la función f es creciente a la izquierda de xo y es decreciente a la

derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un máximo relativo.

24

Ejemplo:

Los puntos críticos son:

En el punto xo=0, no se puede afirmar NADA.

En el punto x1=3/2 hay un MÍNIMO RELATIVO.

TABLA DE VALORES

X Y

0 3 NADA

3/2 21/16 MÍNIMO

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CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE

UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY,

dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a

la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

Condiciones analíticas de concavidad y convexidad

Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el

intervalo (a, b).

Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el

intervalo (a, b).

26

Ejemplo:

27

PUNTOS DE INFLEXIÓN

DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se

llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni

convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA

Sea la ecuación de una función.

Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por

el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de

inflexión.

Clasificación de los puntos de inflexión

Nota

Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de

tener una recta tangente que cruza la gráfica de f.

Ejemplo:

28

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada

segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

TABLA DE VALORES

X Y

1 -2 P. INFLEXIÓN

29

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando

indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al

infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma

que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la

distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe

el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

30

b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

31

c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

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Nota-1

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de

unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites

laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por

la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posición relativa de la función con respecto a la asíntota

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero

calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

33

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la

asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el

SIGNO[f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la

asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

34

REGIONES DE EXISTENCIA PARA

UNA FUNCIÓN

Las regiones donde existe la función son las parcelas del plano por donde

tenemos la seguridad de su existencia. Estas regiones se determinan, para

funciones polinómicas y racionales, trazando rectas verticales sobre el eje OX, en

los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función

(considerando su orden de multiplicidad).

Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el

eje OX. Una vez asegurada la existencia de la función en una de ellas (mediante

un valor de la x), alternaremos en una “SI” y en otra “NO” por orden la

existencia, hasta completar todo el plano.

Ejemplo:

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GRÁFICA

Una vez obtenidos todos los cálculos de los puntos del 1 al 9, se realizará un

dibujo de la gráfica de dicha función sobre unos ejes coordenados, indicando

sobre éste las características más importantes de dicha gráfica.

HOJA DE SOLUCIONES

1.-Dominio de la función D=

2.-Puntos de corte con los ejes:

X Y

. .

. .

. .

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3.-Simetría y periodicidad

Si es simétrica la función, indica el tipo TIPO =

Si es periódica la función, indica el periodo PERIODO =

4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento

CRECIENTE =

DECRECIENTE =

5.- Máximos y mínimos:

X Y M o m

. . .

. . .

. . .

6.-Intervalos de concavidad y convexidad

CÓNCAVA =

CONVEXA =

7.-Puntos de inflexión:

X Y TIPO

. . .

. . .

. . .

8.-Asíntotas

A. VERTICALES A. HORIZONTALES A. OBLICUAS

. . .

Puntos de corte de la función con la asíntota:

X Y

. .

. .