estudio de sensibilidad de las variables de diseño en
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Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil.
Estudio de sensibilidad de las variables de diseño en
entrepisos de concreto reforzado, según el algoritmo
genético
Autor:
Darío Javier Obando Erazo
Estudiante de Ingeniería Civil
Asesor:
Juan Francisco Correal Daza, PhD.
Profesor de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes
Santafé de Bogotá
Junio del 2012
Santafé de Bogotá, Junio del 2012
Ing. Eduardo Behrentz, PhD.
Director del Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Universidad de los Andes
Por medio de la presente pongo a su consideración el proyecto de grado titulado “
“Estudio de sensibilidad de las variables de diseño en entrepisos de concreto reforzado, según el
algoritmo genético”, desarrollado como requisito para obtener el título de pregrado en Ingeniería
Civil de la Universidad de los Andes.
Aprovecho esta oportunidad para agradecer la colaboración del profesor Juan Francisco Correal
Daza, quien como asesor hizo que este trabajo fuera posible, y puso su confianza en mí para
desarrollar la investigación de un tema exploratorio. Agradezco también a todos los demás
profesores del Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental que me ayudaron a complementar el
estudio desde varias perspectivas diferentes, y especialmente a la profesora Ana Paola Ozuna
Giraldo cuyas ideas fueron fundamentales para el planteamiento de este trabajo.
Espero que el presente trabajo obtenga su aprobación, y sea útil para las personas interesadas en
el tema.
Atentamente
Darío Javier Obando Erazo
Estudiante de Ingeniería Civil
Universidad de los Andes
A Dios y a mi familia.
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Resumen
Este trabajo busca estudiar la forma cómo influyen diferentes variables de diseño en la obtención
de soluciones de bajo costo que garanticen la estabilidad y funcionalidad de un entrepiso
aligerado de concreto reforzado, a través de la implementación de un algoritmo genético
adaptado a una función de ajuste, en la cual se involucra tanto el costo de los materiales, la mano
de obra y el tiempo necesario para la construcción de la estructura.
A partir de las restricciones de la Norma Sismo Resistente Colombiana (NSR-10) se creó un
algoritmo capaz de dimensionar los elementos de una losa aligerada. Se incluye además algunas
restricciones constructivas, sacadas como producto de una encuesta realizada a constructores y
diseñadores con experiencia en este tipo de estructuras.
Usando el algoritmo se modelaron seis casos de prueba diferentes, con sistemas de entrepiso
nervados en una y dos direcciones. El análisis y diseño fue llevado a cabo utilizando el programa
SAFE V.12. Las pruebas realizadas, muestran la sensibilidad del diseño ante cambios en las
condiciones de luz libre y carga aplicada, y muestran la influencia que tienen los costos en el
diseño.
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Contenido
Resumen ............................................................................................................................................... i
1. Introducción y antecedentes. ..................................................................................................... 1
2. Objetivos. .................................................................................................................................... 3
2.1 Objetivo General ..................................................................................................................... 3
2.2 Objetivos específicos ............................................................................................................... 3
3. Marco Teórico. ............................................................................................................................ 4
3.1 Generalidades sobre los tipos de Losas. ................................................................................. 4
3.2 Algoritmos genéticos. .............................................................................................................. 8
4. Descripción del Estudio. ............................................................................................................ 10
4.1 Generalidades del algoritmo ................................................................................................. 10
4.2 Función de ajuste .................................................................................................................. 16
4.3 Restricciones. ........................................................................................................................ 18
4.4 Comprobación de deflexiones. ............................................................................................. 20
Para losas en una dirección. ...................................................................................................... 23
Para losas en dos direcciones. ................................................................................................... 23
4.5 Procedimiento de análisis y diseño estructural .................................................................... 25
5. Implementación. ....................................................................................................................... 28
5.1 Creación de Generación inicial. ............................................................................................. 28
5.2 Selección de individuos. ........................................................................................................ 30
5.3 Combinación de Genes.......................................................................................................... 30
5.4 Mutación de Genes. .............................................................................................................. 31
5.5 Verificación de restricciones. ................................................................................................ 31
5.6 Criterio de terminación. ........................................................................................................ 32
6. Modelos de prueba. .................................................................................................................. 33
6.1 Suposiciones Generales ......................................................................................................... 33
6.2 Precios Unitarios ................................................................................................................... 33
7. Resultados. ................................................................................................................................ 37
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7.1 Modelo A ........................................................................................................................... 37
7.2 Modelo B ........................................................................................................................... 41
7.3 Modelo C ........................................................................................................................... 44
7.4 Modelo D ........................................................................................................................... 47
7.5 Modelo E ........................................................................................................................... 50
7.6 Modelo F ........................................................................................................................... 53
8. Conclusiones.............................................................................................................................. 57
Conclusión final. ........................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
9. Bibliografía. ............................................................................................................................... 59
10. Anexos: ...................................................................................................................................... 61
Anexo1 Comprobación Manual de resultados. ...................................................................... 61
Losas en una dirección: ............................................................................................................. 61
Losas en dos direcciones: .......................................................................................................... 64
Anexo2 Materiales en los modelos de prueba ....................................................................... 72
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1. Introducción y antecedentes.
El análisis y diseño de entrepisos aligerados de concreto reforzado es esencialmente un proceso de
prueba y error. El dimensionamiento de los elementos que componen el sistema, puede llevarse a
cabo mediante reglas empíricas sencillas como las que normalmente se sugiere en algunos textos
y normas de construcción (O'Brien & Dixon, 1995). Las variables envueltas en este proceso, son la
geometría de la losa, la resistencia de los materiales y la cantidad del refuerzo. Dentro de todo el
proceso de ensayar una geometría y verificar si el diseño es capaz de resistir las cargas impuestas
sin presentar estados de falla, se da lugar a un gran número de alternativas que pueden ser
utilizadas como diseño final del entrepiso, lo cual hace posible obtener soluciones más
económicas.
Los entrepisos son una de las partes de mayor tamaño y repetitividad en una edificación, e
implican una gran parte del costo total de un proyecto. Es por esto que muchos investigadores han
buscado maneras de mejorar el proceso de dimensionamiento y diseño, para obtener soluciones
económicas.
Prasad, Chander y Ahuja (2005) realizaron un estudio para encontrar el espaciamiento de nervios y
la altura del entrepiso, que mejor eficiencia tuvieran en cuanto al control de deflexiones para un
modelo de planta único. El estudio se concentro en el diseño de entrepisos aligerados en dos
direcciones, resolviendo el problema al crear una gran cantidad de modelos con diferentes
dimensiones y cantidades de viguetas. Los modelos fueron analizados y diseñados con el método
de elementos finitos. Los resultados revelaron que el costo de las losas decrece, cuando el número
de alternativas estudiadas aumenta, y que la forma del diseño más económico depende de los
costos de los materiales y la mano de obra.
Un estudio más reciente de los profesores A.Galeb y Z.Atiyah (2011) del la universidad de Basrah
(Irak), incorpora un método de búsqueda mas organizado utilizando un concepto de inteligencia
artificial, basado en la teoría evolutiva de los seres vivos. En dicho trabajo se propone emplear un
algoritmo evolutivo como base de análisis para lograr la optimización de losas aligeradas en dos
direcciones, diseñadas a partir del método directo. Partiendo de una función de costos parecida a
la que se describe en el trabajo de Sarma y Adeli, (1998), se busca minimizar el costo de las losas
poniendo como variables de diseño la cantidad de acero de refuerzo, la altura y el espaciamiento
entre los nervios. El proceso iterativo de crear, combinar y mutar las soluciones, llevó a obtener
diseños más económicos, que los que habrían sido encontrados con mediante un método
tradicional.
Los algoritmos evolutivos como el que es utilizado en el trabajo de Galeb y Atiyah, tienen muchas
aplicaciones en ingeniería, ya que permiten resolver problemas cuya solución no es única, y
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modelar sistemas que no pueden ser analizados mediante un set de ecuaciones simple. Entre esta
familia de algoritmos, los algoritmos genéticos son los más conocidos y usados. Se trata de
algoritmos de búsqueda basados en la teoría de la selección natural, que utilizan la información
histórica de soluciones que han sido analizadas previamente, para encontrar nuevas alternativas
de diseño, con el fin de mejorar los resultados.
El trabajo que se describe a continuación consiste en una adaptación de un algoritmo genético,
aplicado al diseño de entrepisos de concreto reforzado. Mediante esta metodología se busca
dimensionar los elementos de una losa aligerada, para obtener alternativas de diseño de bajo
costo, y estudiar con base a los resultados obtenidos como el diseño estructural de los entrepisos
aligerados se ve afectado por diferentes variables tanto geométricas como económicas.
En comparación con el trabajo de Galeb y Atiyah, se buscará incluir entre las variables de diseño
los costos del tiempo en la construcción y el control de las deflexiones. Adicionalmente se tendrá
en cuenta el diseño de losas que trabajan únicamente en una dirección, y la aplicación de un
método sofisticado de análisis y diseño, por medio de software especializado.
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2. Objetivos.
2.1 Objetivo General
Estudiar cómo influyen las variables de diseño en la forma que debe tener un
entrepiso aligerado para lograr soluciones de bajo costo. Entre dichas variables se
incluyen las condiciones de mercado específicas de un proyecto, las restricciones
técnicas dadas por una norma de diseño y algunas recomendaciones constructivas
adicionales.
2.2 Objetivos específicos
Desarrollar la adaptación de un algoritmo genético que permita diseñar losas
aligeradas de concreto reforzado a partir de las restricciones de la norma sismo-
resistente Colombiana NSR-10, buscando de manera iterativa una solución
económica, en términos de tiempo y materiales.
Implementar en el modelo una función que permita estimar el costo de un diseño
específico, teniendo en cuenta los precios unitarios de los materiales, la mano de
obra y los costos indirectos asociados con el tiempo esperado de la construcción.
Estudiar cómo se adaptan las variables de diseño geométricas a diferentes
condiciones de luz libre y carga vertical.
Analizar las ventajas de utilizar materiales de mayor resistencia en cuanto al costo
de la estructura.
Estimar el costo del tiempo en la construcción, y determinar su importancia en el
diseño.
Estudiar la importancia de la cantidad de mano de obra respecto al costo y al
tiempo estimado en un proyecto.
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3. Marco Teórico.
3.1 Generalidades sobre los tipos de Losas.
En construcciones de concreto reforzado, se entiende como losa, a una superficie generalmente
plana y horizontal, que sirve para soportar las cargas verticales asociadas al uso de una edificación.
Las losas se clasifican en dos grupos según la forma como la carga se distribuye hacia los apoyos.
El primer tipo de losas se caracteriza porque la carga vertical se transmite en una sola dirección,
perpendicular a los soportes, como se muestra en la Figura 1. En dicho caso las deformaciones se
dan principalmente en la dirección que cubre la luz más corta entre los apoyos.
Figura 1 Deformada de una losa que actúa en una dirección (Tomado de Nilson, 2010)
En el segundo tipo de losas, las deflexiones son considerables en la dirección perpendicular y
longitudinal, es decir, la losa trabaja en dos direcciones como se muestra en la Figura 2. Según
Nilson (2010) se puede considerar que una losa trabaja en dos direcciones si la relación entre la luz
más larga y la luz más corta es mayor o igual a 2.
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Figura 2 Deformada de una losa que actúa en dos direcciones (Tomado de Nilson, 2010)
Según su forma las losas pueden ser macizas o aligeradas. Para el primer caso, la losa tiene una
sección constante a lo largo de toda su superficie, lo cual implica que sean particularmente
pesadas y en la práctica se usen primordialmente para cubrir luces cortas, o cuando es necesario
mantener una altura pequeña del entrepiso. (Ver Figura 3)
Figura 3 Losa Maciza
Las losas aligeradas cuentan con vacios espaciados uniformemente a lo largo de toda su área,
dejando elementos más esbeltos llamados viguetas o nervios, que soportan y transmiten la carga a
los apoyos. Estas viguetas pueden estar organizadas tanto en una como en dos direcciones. (Ver
Figura 4)
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Figura 4Losa aligerada
En el párrafo C.8.13.1 de la Norma NSR-10, se especifica que los nervios no pueden tenerse en
cuenta para efectos de rigidez ante las fuerzas horizontales del sistema de resistencia sísmica, por
lo cual el diseño de esta parte de la estructura se realiza únicamente teniendo en cuenta las cargas
verticales.
Las cargas en las losas se trabajan generalmente como cargas distribuidas en superficie, a menos
que se presenten cargas concentradas en algún punto específico, que puedan generar
concentraciones de esfuerzos. En los numerales B.3 y B.4 de la NSR-10 se especifican los valores de
carga típicos, según el tipo de edificación, que pueden ser usados en el diseño si no se hace una
estimación de cargas más detallada.
El análisis de las losas de entrepiso, se lleva a cabo de forma diferente para losas que trabajan en
una o dos direcciones. Las losas en una dirección, se analizan y diseñan en base a la teoría de
flexión en vigas, utilizando un ancho unitario cuando se trata de losas macizas, o una vigueta
aislada si se trata de losas nervadas. La carga para el análisis se representa como una carga
distribuida por unidad de longitud, que proviene del área aferente.
Las losas en dos direcciones tienen un grado de complejidad mayor ya que la carga no se transmite
en un solo sentido. La NSR-10 establece en el capítulo 13, los métodos de análisis permitidos para
este tipo de estructuras.
Uno de los métodos de análisis más sofisticados, es el método de los elementos finitos. Este se
basa en encontrar las deflexiones y las fuerzas internas en una placa sometida a flexión mediante
la forma débil de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la teoría de flexión en placas, a partir
de una malla de pequeños elementos, en los cuales se puede plantear de forma sencilla la solución
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del problema (Reddy, 2006). El método conlleva a un sistema de ecuaciones lineales que puede
llegar a ser bastante grande dependiendo del tamaño de los elementos del enmallado.
Algunos paquetes de software utilizan elementos finitos para obtener la solución de problemas
donde la geometría impide que se puedan aplicar otros métodos más sencillos como el método de
análisis directo, o el método de las líneas de fluencia. La ventaja de los elementos finitos radica en
que no se no tienen restricciones en cuanto a la geometría o las condiciones de borde, lo que
significa que es un método que se puede aplicar para el diseño de cualquier sistema de entrepiso,
bien sea en una o dos direcciones.
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3.2 Algoritmos genéticos.
Los algoritmos genéticos introducidos por John Holland en 1975, están inspirados en la evolución
natural de los seres vivos, donde las características de un individuo son heredadas a las
generaciones posteriores a través de un proceso de selección basado en la adaptación del
individuo a unas condiciones definidas por una función de ajuste.
Cada generación tiene la capacidad de desarrollar propiedades únicas, por medio de mecanismos
de mutación y combinación de genes. Según la teoría de selección natural la tendencia de este
proceso conlleva a descartar a los individuos menos aptos de una generación, conservando solo
aquellos que poseen las mejores características para sobrevivir en un ambiente especifico. De
manera semejante al proceso evolutivo, que se efectúa naturalmente en los seres vivos, los
algoritmos genéticos son un una herramienta desarrollada como inteligencia artificial que trata de
imitar cambios biológicos en ambientes artificiales, con el fin de buscar la mejor respuesta a
problemas complejos donde existen muchas posibles soluciones.
El algoritmo consiste en utilizar la información histórica de las soluciones que mejor resuelven un
problema, para plantear nuevos puntos de búsqueda con la esperanza de mejorar los resultados.
(Tolmos Rodriguez, 2001)
Este método se basa en la discretización de las variables que definen las propiedades de una
solución, por lo cual no se puede garantizar que la solución obtenida represente un valor optimo
para el problema que se está tratando. El objetivo del método consiste en mejorar las soluciones
que se plantean inicialmente para un problema, cambiando y combinando sus propiedades hasta
obtener un resultado satisfactorio.
La ventaja de la búsqueda de soluciones mediante algoritmos genéticos radica en problemas cuya
solución no es única, ya que se puede crear una gran cantidad de soluciones a partir de la
combinación de unos parámetros muy sencillos, que representan las propiedades específicas de
una solución. Estos parámetros llamados genes pueden ser manipulados fácilmente para dar
origen a soluciones nuevas, lo cual permite que se pueda ordenar la búsqueda de mejores
soluciones, sin necesidad de ensayar una cantidad muy grande de alternativas.
A lo largo de este trabajo se encontrarán ciertos conceptos relacionados con el uso de esta
metodología, los cuales se describirán a continuación, con el fin de facilitar su posterior
comprensión:
I. Alelo: es el componente básico de información de una solución. Se guarda como un
número entero en un gen particular.
II. Gen: Es una característica de un individuo. Los genes conforman los espacios dentro del
vector que representa una solución.
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III. Individuo: Representa una posible solución al problema, dada por una cadena de genes.
Todos los individuos del sistema deben tener el mismo número de genes en el mismo
orden para poder ser comparables. Un individuo puede entenderse de manera alternativa
como un vector de genes que representa una solución.
IV. Generación: Un set de soluciones que comparten los mismos individuos parentales.
V. Individuo Parental: Un individuo que ha sido seleccionado para transmitir sus genes a la
siguiente generación.
VI. Combinación: consiste en cruzar los genes de los individuos parentales de una misma
generación para obtener nuevas soluciones, de las cuales se espera tener mejores
resultados.
VII. Mutación: proceso mediante el cual se modifican los alelos de ciertos genes en un
individuo nuevo.
VIII. Selección: consiste en establecer cuales individuos deben ser conservados para servir
como padres en la siguiente generación.
IX. Terminación: criterio de finalización de la búsqueda de soluciones.
X. Diversidad: Es una medida subjetiva sobre la cantidad de alelos diferentes presentes en
una generación.
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4. Descripción del Estudio.
4.1 Generalidades del algoritmo
Con base en los conceptos básicos de los algoritmos genéticos, se desarrolló un procedimiento
de búsqueda discreta, capaz de generar los parámetros que definen la geometría de una losa
aligerada, a partir de cuatro variables que constituyen los genes de un individuo y representan
un diseño único del sistema de entrepiso.
La Figura 5 muestra una vista en planta de una losa aligerada en una dirección típica. Los ejes
coordenados que se nombrará más adelante están basados en esta perspectiva.
Figura 5 Vista en planta de un Entrepiso aligerado típico
La Figura 6 muestra una vista en corte del entrepiso donde se explican todas las dimensiones
utilizadas como variables de diseño.
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Figura 6 Vista en Corte de losa aligerada y sus dimensiones.
La geometría básica de diseño consiste en una loseta superior de espesor hf, con
aligeramientos en bloques rectangulares y viguetas en una o dos direcciones.
El gen número 1 está asociado a la cantidad de viguetas en la dirección paralela al eje X. Los
alelos que caracterizan a este gen toman valores entre 1 y n, siendo n el máximo número de
viguetas cuyo eje longitudinal es paralelo a la dirección X.
El gen número 2 está al número de viguetas en la dirección paralela al eje coordenado Y.
Dentro del modelo se calcula el espaciamiento entre viguetas (S) según la luz libre de la losa en
ambas direcciones.
El gen número 3 está asociado al ancho de las viguetas (b). Los alelos de este gen toman
valores enteros entre uno y once, siendo uno el ancho más pequeño que puede tener una
vigueta, y once el tamaño máximo como se describe en el capítulo 4.3. La diferencia entre el
ancho de las viguetas por cada alelo es de 1 cm.
El gen número 4 fue incluido en el modelo con el fin de estudiar la forma como la calidad del
concreto influye en la economía del diseño. Los valores de los alelos varían entre uno y cuatro.
A cada alelo corresponde un tipo de concreto diferente cuyo uso es común en estructuras
para edificaciones. Las resistencias utilizadas en este estudio fueron 21Mpa para el alelo
número 1, 24Mpa para el número 2, 28Mpa para el número 3 y 35Mpa para el ultimo alelo.
La altura total del entrepiso (He), medida desde la parte superior de la loseta hasta el borde
inferior de las viguetas es calculado mediante un algoritmo basado en el numeral C.9.5 de la
NSR.10. Cuyos parámetros de entrada son la luz entre apoyos, el espesor de la loseta superior,
el espaciamiento y el ancho de las viguetas. La altura de los entrepisos en una dirección es
calculado de acuerdo con la tabla C.9.5(a); para los entrepisos en dos direcciones se calcula de
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acuerdo a las ecuaciones del numeral C.9.5.3.3, transformando el espesor equivalente
obtenido a una altura aligerada según el espaciamiento entre viguetas, teniendo en cuenta
como restricción adicional el tamaño mínimo que pueden tener los bloques de aligeramiento
(Ver Capitulo 4.3. Restricciones).
El algoritmo está limitado a dimensionar la geometría de las losas y procesar los datos
obtenidos del diseño estructural para calcular costos. El análisis estructural y el diseño del
refuerzo de cada individuo, se efectúan en el programa SAFE.V12, siguiendo el procedimiento
que se describe en detalle en el Capitulo 4.5.
El costo de la estructura se calcula con base en una función de ajuste cuyos parámetros son el
costo de los materiales, la mano de obra y del tiempo que representa la construcción del
sistema de entrepiso. (Ver en detalle en el Capitulo 0).
Los pasos seguidos por el algoritmo, para combinar mutar y generar soluciones, son descritos
en el capítulo 5, y se encuentran resumidos en el diagrama de flujo de las figuras 7, 8 y 9,
donde se ilustra el procedimiento para crear la primera y la segunda generación de individuos.
La programación se llevó a cabo bajo el lenguaje VBA, usando como plataforma una hoja de
cálculo de Excel, desde donde se controla el diseño y se observan los resultados (ver Anexo 2).
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Figura 7 Diagrama de flujo del algoritmo de diseño parte 1
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Figura 8 Diagrama de flujo del algoritmo de diseño parte 2
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Figura 9 Diagrama de flujo del algoritmo de diseño parte 3
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4.2 Función de ajuste
La función de ajuste, o también llamada función objetivo, sirve para valorar las características de
una solución según su costo económico, con el fin de poder realizar comparaciones y clasificar a
los individuos de una generación.
A fin de establecer los parámetros que deben implementarse en la función de costos del modelo
trabajado, se han tomado como referencia otras investigaciones relacionadas con la optimización
de estructuras de concreto.
Sarma y Adeli (1998), hacen un repaso de varios estudios, donde se destaca el uso de una función
de costos como base para la implementación del proceso de optimización, cuyas variables
mantienen una forma general como se describe a continuación:
Donde:
=Costo total.
=Costo del Concreto.
=costo del acero de refuerzo.
Costo del pre-esfuerzo.
Costo de la formaleta.
Costo del refuerzo a cortante.
Costo de la mano de obra.
Ahmadkhanlou y Adeli (2004) utilizan como parámetros únicamente el costo del concreto, del
acero de refuerzo y de la formaleta, en una función lineal, con la cual realizan el proceso de
optimización de una losa maciza mediante el método de dinámicas neurales. M.Najem (2010)
utiliza el costo del concreto y del acero de refuerzo para optimizar el diseño de una losa en una
dirección, con el método de los multiplicadores de Lagrange. Kravanja y Merta (2010) se valen de
una funcion que consta de un análisis muy detallado de los costos de mano de obra, para obtener
el diseño optimo de losas de concreto reforzado en una dirección, por medio de un metodo
basado en programacion no llineal. En su modelo se incluye el tiempo necesario para la
construcccion de manera implicita dentro de los costos de la mano de obra, pero no se tiene en
cuenta los costos que no dependen directamente de la cantidad de obra ejecutada, sino
unicamente del tiempo de producción.
El tiempo es una variable que resulta ser subestimada en la mayoria de artículos dedicados a la
optimizacion de estructuras, a pesar de ser uno de factores que mas determinan el éxito o fracaso
de un proyecto. Dado que las losas de entrepiso son segmentos de gran repetitividad y tamaño en
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la mayoría de edificaciones, resulta necesario encontrar un diseño que permita tener un bajo
costo según la cantidad de materiales, pero también del tiempo que tarda la obra.
Para entender la importancia del tiempo en el diseño y planificacion de cualquier obra, se lo puede
considerar como un recurso adicional con un costo implicito. Las variables que afectan el costo del
tiempo son diferentes para cada proyecto y muchas veces resultan dificiles de estimar, por lo cual
resulta comun que los costos de estas variables se incluyan en los precios unitarios de otras
actividades, o se consideren por separado como un porcentaje de los costos directos.
(Schexnayder & Mayo, 2004). Bajo esta metodologia se incluye por ejemplo el costo del equipo en
el precio unitario de las actividades de construcción bajo un rendimiento aproximado por cantidad
de obra ejecutada, cuando en realidad se factura por la cantidad de tiempo que permanece en
obra, como en el caso de la maquinaria menor.
La función de ajuste que se propone para el presente estudio, incluye el costo directo de los
materiales y la mano de obra, como también de una variable relacionada con el tiempo que tarda
la colocación del acero de refuerzo. En el modelo no se incluye el tiempo de otras actividades de
construcción, como la colocación de la formaleta o la fundición del concreto, puesto que estas
tardan un periodo similar para cualquier diseño, y no alteran el resultado del algoritmo.
A continuación se muestra la funcion de ajuste propuesta para el presente estudio.
Donde:
=Costo total.
=precio unitario del Concreto.
=volumen de concreto.
Precio unitario del refuerzo
Peso del Acero de refuerzo.
Costo del tiempo en dinero.
Ttiempo de colocación del refuerzo
Precio unitario de bloques de
aligeramiento
Volumen de bloques de aligeramiento.
Número de cuadrillas asignadas.
Costo Mano de obra
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4.3 Restricciones.
Para que las soluciones generadas por el algoritmo sean viables desde el punto de vista técnico, es
fundamental que sus características estén basadas en las disposiciones de una norma de
construcción (como en este caso la NSR-10), a fin de que el diseño sea seguro y pueda cumplir con
todas las solicitaciones de servicio.
A continuación se nombran las restricciones tenidas en cuenta dentro de la comprobación que se
hace en el algoritmo al momento de crear nuevas soluciones o modificar las existentes:
1. El ancho de las nervaduras (b) no debe ser menor de 100mm en su parte superior y su
ancho promedio no puede ser menor de 80mm; y no debe tener una altura (He) mayor de
5 veces su ancho promedio.(NSR-10: C.8.13.2).
2. Para las losas nervadas en una dirección, la separación máxima entre nervios, medida de
centro a centro (S), no puede ser mayor que 2,5 veces la altura total del entrepiso (He),
sin exceder 1,20m. Para losas nervadas en dos direcciones, la separación máxima entre
nervios, medida de centro a centro, no puede ser mayor de 3,5 veces la altura total del
entrepiso (He), sin exceder 1,5m (NSR-10: C.8.13.3). 1
3. Cuando se trate de losas nervadas en una dirección, deben colocarse viguetas trasversales
de repartición, con una separación libre (S) máxima de 10 veces La altura total del
entrepiso (He) sin exceder 4m. (NSR-10: C.8.13.3.1).
4. El espesor de la torta superior (hf) no debe ser menor que 1/12 de la distancia libre entre
nervaduras (S), ni menor de 50mm (NSR-10: C.8.13.6).
5. Deflexiones. Las deflexiones de la losa no deberán exceder en ningún punto el máximo
permitido por la tabla C.9.5 (b). (ver Capitulo 4.4)
Por otro lado, es necesario contar también con la mayor cantidad de recomendaciones y criterios
asociados a la construcción, de modo que se evite generar soluciones difíciles de ejecutar en obra.
Bajo este último argumento, se ha realizado durante este estudio una encuesta a varios
profesionales dedicados al diseño y construcción de estructuras de concreto en la ciudad de
Bogotá, con el fin de obtener restricciones adicionales para el diseño de entrepisos, según la
capacidad de los contratistas para llevar a cabo la construcción. Como objetivo adicional de la
encuesta, se buscó hacer un sondeo para saber, cuáles variables de diseño tienen un mayor
impacto respecto al costo y al tiempo necesario en la construcción de un sistema de entrepiso
aligerado. Las conclusiones del sondeo se resumen a continuación:
1 El espaciamiento máximo es necesario en este tipo de elementos debido a la disposición especial que
permite mayores resistencias a cortante y un recubrimiento menor para la armadura de refuerzo (NSR-10: C.8.13.8).
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El costo de un entrepiso de concreto reforzado, es afectado principalmente por tres
factores: La cantidad de materiales, el costo de la mano de obra y el tiempo que tarda la
construcción.
La mayoría de los encuestados consideran que la motivación más grande para incrementar
la productividad, se debe a los costos asociados a la maquinaria alquilada y a la mano de
obra fija.
Los bloques de aligeramiento prefabricados son preferidos por los contratistas, por la
calidad del material y no por el ahorro de tiempo que estos puedan representar. La
ventaja de los aligeramientos de Guadua sobre otros materiales radica principalmente en
su bajo costo y en la versatilidad de poder ser fabricados con cualquier forma y tamaño.
La mayor parte del tiempo que tarda la construcción del entrepiso, sin incluir el tiempo de
curado del concreto, se debe a la colocación del acero de refuerzo, cuya eficiencia se ve
afectada sobre todo por la cantidad del acero y el tamaño de las varillas.
El precio por metro cuadrado de una losa de concreto aligerada se determina
generalmente según dos factores: La cantidad de concreto fundido y la cantidad de acero
colocado. El costo de la mano de obra se incluye a menudo en los precios unitarios de
estas actividades.
Las siguientes recomendaciones resumen el criterio de la mayoría de los encuestados frente a las
dimensiones límite que pueden tener los elementos del entrepiso, basándose únicamente en la
viabilidad constructiva.
6. Espaciamiento mínimo entre viguetas: 50cm.
Esta condición limita el número de alelos posibles para los primeros dos genes, al número
máximo de viguetas que pueden colocarse con este espaciamiento mínimo.
7. Ancho máximo de una vigueta: 20cm
8. Altura mínima de una losa aligerada: 25cm
9. Altura mínima de un bloque de aligeramiento: Variable según el fabricante (15cm, 20cm,
25cm, 30cm).2
10. Tamaño recomendado para refuerzo a flexión en viguetas: φ1/2”
11. Tamaño recomendado de refuerzo transversal en viguetas: φ3/8”.
Las once restricciones mencionadas anteriormente fueron programadas dentro del algoritmo, de
modo que cada solución, es constructivamente viable y puede ser usada como diseño definitivo.
2 Para este estudio se considerarán solamente aligeramientos de 20cm.
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20
4.4 Comprobación de deflexiones.
Para este estudio se establecieron los límites de deflexiones según la Tabla C.9.5 (b) de la NSR-10,
asumiendo que el sistema estará ligado a elementos no susceptibles de sufrir daño ante
deflexiones grandes. Para este caso en especial se requiere que la suma de la deflexión a largo
plazo debida a todas las cargas permanentes, y la deflexión inmediata debida a las cargas
adicionales no sea mayor que la longitud de la luz más grande entre apoyos dividida por 240.
Por medio de este chequeo se eliminan las soluciones que no tengan la capacidad de cumplir las
condiciones de servicio establecidas por la norma. Esto logra incrementar la eficiencia de la
búsqueda, al acotar el rango de posibilidades de diseño.
La verificación de deflexiones dentro del algoritmo, se lleva a cabo calculando la deflexión máxima
debida al momento último producido por la suma de la carga viva y muerta incluyendo el peso
propio. Para el análisis se asume que el 70% de la carga total es permanente durante el
funcionamiento de la edificación. El cálculo de las deflexiones se basa en un análisis mecánico con
la sección fisurada de concreto. Los siguientes pasos resumen el proceso utilizado por el algoritmo
para calcular la deflexión en losas que trabajan en una y dos direcciones respectivamente:
1. Tomar datos de entrada y arreglar las unidades.
Gen 1 (Sx). Espaciamiento de Viguetas X [m]
Gen 2 (Sy). Espaciamiento de viguetas Y [m]
Gen 3 (b). Ancho de las viguetas [m]
Gen 4 (fc). Resistencia del concreto [MPa]
He: Altura del entrepiso [m]
hf: Espesor torta superior [m]
l: Luz libre en ambas direcciones [m]
DL: Carga muerta [kN/m2]
LL: Carga viva [kN/m2]
2. Calcular la luz libre máxima y el ancho aferente de una vigueta en la dirección de la luz
más grande (bf). (ver Figura 10)
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21
Figura 10 sección transversal de una vigueta.
3. Calcular la posición del eje neutro desde la parte superior de la losa. Para esto se utiliza la
sección transformada de acero a concreto usando el factor de conversión “n”.
Teniendo en cuenta que el área de acero a compresión es As’ y el área de acero a tensión
es As, se despeja la profundidad del eje neutro (x) a partir de un equilibrio de fuerzas,
como se muestra en la Figura 11.
Figura 11 sección transformada
Área a Compresión
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4. Calcular la inercia de la sección fisurada (Icr) según el teorema de ejes paralelos.
5. Calcular el momento de fisuración del concreto (Mcr).
6. Calcular el momento máximo debido a cargas de servicio (Ma).
En el algoritmo se utiliza esta suposición, a pesar de no ser correcta para los casos donde
se tiene más de un apoyo libre, o cuando la losa trabaja en dos direcciones. Esta
aproximación se tiene en cuenta únicamente para estimar un valor de deflexiones
conservador y poder descartar fácilmente la mayor cantidad de alternativas de diseño que
no sean eficientes para controlar este tipo de deformaciones. El valor real, es calculado
con ayuda del programa SAFE. V12, por medio del método de elementos finitos, con el
cual se puede comprobar que la losa diseñada es capaz de cumplir con las condiciones de
servicio que establece la norma.
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7. Calcular la inercia efectiva.
8. Calcular deflexión inmediata debido a la totalidad de las cargas.
Para losas en una dirección.
Para losas en dos direcciones.
Con el fin de simplificar el cálculo de las deflexiones en este tipo de losas, se asumió una
condición de borde que representa el caso crítico. Esta situación se presenta cuando todos
los bordes de la losa se presentan como extremos simplemente apoyados.
El cálculo de las deflexiones se realiza de manera aproximada utilizando las tablas
propuestas por Timoshenko (1959), que están basadas en la teoría de flexión de placas.
A partir de un ajuste polinomial, se obtuvo una función para interpolar los coeficientes
usados en la ecuación de deflexiones:
Longitud de la luz más grande.
Carga distribuida de servicio por unidad de área.
Factor que depende de las condiciones de borde.
En la Figura 12se muestra la relación entre las luces de la losa en ambas direcciones y el
factor
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Figura 12 regresión polinomial de los coeficientes k, usados para calcular deflexiones.
3
9. Comparar con la deflexión máxima permitida.
Al comparar las deflexiones obtenidas usando el algoritmo con las que se obtienen de un análisis
de elementos finitos, se puede concluir que se está haciendo una estimación conservadora. Esto
garantiza que las soluciones que se está diseñando no tendrán problemas en cuanto a deflexiones,
ya que posiblemente el refuerzo calculado sea mayor que el refuerzo mínimo con el que se calculo
inicialmente la inercia.
3 No se recomienda utilizar la interpolación para valores de más grandes que 5.
y = -4E-05x4 + 0.0008x3 - 0.0057x2 + 0.0183x - 0.0093 R² = 0.9999
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
1 2 3 4 5
k
(η=lmax/lmin)
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4.5 Procedimiento de análisis y diseño estructural
El diseño de la armadura de refuerzo para cada solución, se realizó utilizando el programa
SAFEV12. Este programa se especializa en el análisis y diseño de cimentaciones y losas de
entrepiso, por medio método de elementos finitos. El programa Incluye un paquete de detalle del
refuerzo, capaz de cuantificar la cantidad de acero necesario según las especificaciones del
usuario.
La versatilidad del programa permite modelar cualquier tipo de geometría de manera eficiente, lo
cual representa una gran ventaja en la aplicación del algoritmo que se describe en este trabajo,
donde se necesita modelar, diseñar y detallar todas las soluciones generadas por el algoritmo,
para obtener la cantidad de materiales y calcular el valor de la función de ajuste.
La modelación de un individuo en el programa se lleva a cabo siguiendo el procedimiento que se
describe a continuación:
1. Definición de materiales.
2. Definición de la geometría principal. Se refiere a las condiciones de borde del entrepiso, que
incluye a las columnas, las vigas de borde y la losa.
3. Definición de la geometría de la losa. El programa permite crear losas en una y dos direcciones
usando los siguientes parámetros:
Espaciamiento de las viguetas paralelas a la dirección 1 (gen1)
Espaciamiento de las viguetas paralelas a la dirección 2. (gen2)
Altura del entrepiso.
Espesor de la loseta superior.
Ancho de las viguetas(gen3)
Material de la losa (gen4)
4. Asignación de Cargas. Estas se pueden asignar a la losa directamente como carga distribuida.
Los pasos 1, 2 y 4 de la modelación, solo deben llevarse a cabo una vez por cada modelo de
estudio, ya que son condiciones que no dependen de la geometría del entrepiso.
El método de análisis utilizado es el de Elementos Finitos, dado que brinda resultados validos para
losas que trabajan tanto en una como en dos direcciones, presenta la distribución de las fuerzas
internas de una manera suave y proporciona la deflexión esperada en cualquier punto del
dominio, ya que esta ultima corresponde a la variable principal de las ecuaciones de flexión de
placas (Reddy, 2006)
El tamaño del enmallado se determino a partir de un análisis de consistencia. Los parámetros de
comparación fueron la deflexión máxima y el momento último en el centro de la luz en ambas
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26
direcciones. El modelo utilizado tiene la misma geometría que el primer modelo de prueba (ver
Capitulo 6). La geometría de la losa tiene las siguientes características:
Figura 13 Vista en corte de la losa de prueba.
Donde “Si” representa el espaciamiento entre viguetas para cada dirección, que corresponde a
75cm para las viguetas paralelas a la dirección X, y 62.5cm para las viguetas paralelas a la dirección
Y.
El tamaño de los elementos del enmallado se tomo de de 10cm, 25cm, 50cm, 0.75cm, 1.0m y
1.5m. El error se calculo con respecto a los resultados obtenidos con el enmallado más pequeño
de la siguiente manera:
La Figura 14 muestra el error calculado para los tres parámetros de control.
Figura 14 Prueba de consistencia del enmallado de elementos finitos.
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30 1.50
Erro
r re
lati
vo
Tamaño de los elementos (m)
Deflexiones
Momento positivo eje x
Momento positivo eje y
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Los errores disminuyen con el tamaño de los elementos lo cual demuestra que el modelo es
consistente. Se puede observar también que los errores más grandes se presentan en el cálculo
del momento ultimo, lo cual puede dar como resultado que el refuerzo de la losa sea sub-diseñado
si se toman elementos demasiado grades. Para la geometría analizada se obtuvo un error inferior
al 5% usando elementos de hasta 75cm. Con el fin de mantener el error lo más bajo posible sin
afectar mucho la eficiencia del modelo, se estableció que los elementos del enmallado para los
tres casos trabajados en este estudio debe ser de 50cm.
El diseño del refuerzo se basa en la envolvente de los momentos últimos producidos por las
combinaciones de diseño que incluyen carga vertical según el método de resistencia, que se
encuentra en el numeral B.2.4 de la NSR-10.
Combinación 1:
Combinación 2:
El Paquete de detalle de refuerzo incluido en el programa genera los planos de la armadura, y el
resumen de la cantidad de materiales, según las especificaciones del usuario respecto a:
Tamaño mínimo y máximo de varillas longitudinales.
Tamaño de los flejes y espaciamiento máximo.
Longitudes de traslapo, desarrollo y ganchos de anclaje.
El tiempo necesario para analizar el sistema y calcular la cantidad de refuerzo de un individuo
depende del tamaño en planta del proyecto que se esté analizando y del enmallado de los
elementos finitos. La mayor parte del tiempo computacional se debe a la solución del sistema de
ecuaciones. Un modelo como los que se presenta en el Capitulo 6, implica el análisis y diseño de
30 losas aligeradas distintas, lo cual no es mucho en comparación con las investigaciones de otros
autores como Galeb & Atiyah (2011). La ventaja de diseñar las losas mediante elementos finitos
usando un software especializado a costa del tiempo computacional, es que se pueden diseñar
soluciones con cualquier tipo de geometría y sin las restricciones que implican otros métodos más
fáciles de programar como el método directo.
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5. Implementación.
5.1 Creación de Generación inicial.
El tamaño de la población inicial es uno de los factores más importantes en la ejecución de un
algoritmo genético. Según Sivanandam y Deepa (2008), el criterio basico en la determnacion del
número de individuos de la primera generacion debe tratarse buscando un equilibrio entre la
eficiencia y efectividad del metodo. Los modelos cuya poblacion inicial es demaciado grande
tienden a ser poco eficientes, puesto que el el analisis y diseño de todos los individuos toma
demaciado tiempo; por otro lado, los modelos que usan muy pocos individuos tienen problemas
de convergencia prematura hacia soluciones erradas, debido a la falta de diversidad genetica.
En un caso ideal, la diversidad del modelo podria garantizarse creando un número de individuos
con el cual se logre que cada alelo de cada gen este presente al menos una vez en la primera
generacion. Esto no resulta práctico en el modelo puesto que se tiene una cantidad relativamente
gande de alelos que pueden generar un número desproporcionado de combinaciones, lo cual
dificultaría mucho su analisis. La manera mas comun de manejar este problema en la
implementacion de algoritmos geneticos es creando un número determinado de soluciones de
manera aleatoria, donde cada alelo tenga una probabilidad razonable de aparecer en la primera
generacion. La probabilidad asociada depende del modelo que se este implementando y del
problema que se trate de solucionar. Para este caso se considera que la probabilidad de aparicion
debe ser superior a 0.5, ya que asi se asegura que un alelo con caracteristicas favorables, puede
ser obtenido en al menos uno de cada dos ensayos realizados bajo los mismos parametros. Con
esto se pueden realizar posteriormente comparaciones entre resultados y decidir si es necesario
hacer ensayos adicionales para confirmar una solucion.
La distribucion de probabilidad binomial hace posible estimar la cantidad de individuos con la cual
se logra tener una buena diversidad genetica según el criterio de probabilidad de aparicion.
Usando la forma acumulada binomial descrita por la siguente ecuacion, se calcula la probabilidad
de que un alelo aparesca por lo menos una vez en un número inicial de idividuos definido.
(Walpole & Myers, 2007)
Donde:
Probabilidad de que obtener al menos un éxito, en intentos.
Tamaño de la población inicial.
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Probabilidad de que un alelo aparezca en un intento
; donde , es el número de alelos
disponibles por cada gen.
: Probabilidad de que el alelo no aparezca en un individuo.
Con el fin de determinar una cantidad adecuada de individuos para una cantidad determinada de
alelos por gen , se calculo la probabilidad , con diferentes tamaños de población. Los
resultados se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 1 Probabilidad de aparición de un alelo particular según el número de individuos de la primera generación.
N A p q F
5 5 0.200 0.800 0.672
10 5 0.200 0.800 0.893
15 5 0.200 0.800 0.965
20 5 0.200 0.800 0.988
5 10 0.100 0.900 0.410
10 10 0.100 0.900 0.651
15 10 0.100 0.900 0.794
25 10 0.100 0.900 0.928
35 10 0.100 0.900 0.975
5 15 0.067 0.933 0.293
10 15 0.067 0.933 0.500
20 15 0.067 0.933 0.750
30 15 0.067 0.933 0.875
40 15 0.067 0.933 0.938
50 15 0.067 0.933 0.969
Con lo anterior se puede concluir que el tamaño de la población inicial, para este caso de estudio
puede ser de 10 individuos ya que casi siempre se tendrá un número de alelos inferior a 15.
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5.2 Selección de individuos.
El método utilizado para la selección de los individuos más aptos de cada generación, es una
adaptación del método de “Torneo por parejas” (Mitchell, 1996).
El método consiste en generar aleatoriamente parejas entre los individuos de la generación actual,
comparar los individuos según su función de ajuste y desechar el individuo que tenga el mayor
costo de cada pareja. Como resultado se obtiene que la mitad de los individuos de cada
generación serán desechados, sin que estos correspondan necesariamente a los individuos con el
mayor costo. La ventaja de este tipo de selección frente a una selección que tome únicamente los
mejores individuos de una generación, es que la diversidad de genes no se pierde tan
rápidamente, lo cual impide en cierto modo, que el resultado converja prematuramente a una
respuesta sesgada o incorrecta.
5.3 Combinación de Genes.
El procedimiento seguido para la combinación de genes se resume en los siguientes pasos:
Guardar en un vector por cada gen, los valores de los alelos correspondientes a los
individuos parentales, seleccionados de la generación anterior.
Generar un número aleatorio (X) por cada gen, entre 1 y el número de individuos
parentales.
Asignar el alelo correspondiente a la posición (X) del vector que contiene la información
genética de los individuos parentales. Ese procedimiento se realiza del mismo modo para
cada gen del individuo tomando el valor X respectivo.
Con los tres pasos anteriores se habrá creado un individuo nuevo que contiene únicamente la
información genética disponible de los individuos parentales. La altura del entrepiso, así como
el espesor de la torta superior serán calculados inmediatamente después de haberse creado
el nuevo individuo. Cuando todas las dimensiones geométricas han sido calculadas, se prueba
si el individuo cumple con las restricciones establecidas en el Capítulo 4.3. En caso de que el
individuo no sea valido según las restricciones, se remplaza el individuo por otro siguiendo el
mismo procedimiento. El algoritmo de combinación se detiene cuando se hayan creado todos
los individuos que se haya establecido como combinaciones en la generación actual.
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31
5.4 Mutación de Genes.
La mutación de genes consiste en crear nuevos individuos con al menos una característica que no
esté presente en ninguno de los individuos parentales de la generación actual.
El algoritmo de mutación utilizado se diseño especialmente para este trabajo, de modo que se
clonara uno de los individuos parentales cambiando el valor de uno de sus genes por un alelo
diferente. Esto permite probar soluciones que ya tienen buenas características con pequeños
cambios que podrían mejorarlas. El proceso se resume en los siguientes pasos:
Crear un número aleatorio (Y) entre uno y el número de genes que pueden mutar. (Para el
caso de estudio solo se deja mutar los genes 1,2 y 3 ya que el último tiene generalmente
una cantidad muy pequeña de alelos). Este número servirá para identificar el gen que va a
mutar en el individuo.
Crear un número aleatorio (Z) entre uno y el número de individuos parentales. Este
número servirá para escoger el individuo que va a ser clonado.
Crear una copia del individuo parental correspondiente al número Z.
Cambiar el alelo del gen Y por uno diferente según un número aleatorio. (En el modelo
trabajado se cambia también el valor del gen 4 por un alelo aleatorio)
Verificar que el alelo generado no se encuentre presente en ninguno de los individuos
parentales. En caso de estarlo, se cambia su valor por un nuevo valor aleatorio.
Comprobar las restricciones. En caso de no ser una solución válida, se repite todo el
proceso, hasta encontrar una solución que cumpla con este requisito.
5.5 Verificación de restricciones.
Las restricciones impuestas al modelo son verificadas por un algoritmo simple que retorna como
resultado la palabra “False” en caso de que las propiedades geométricas de un individuo
incumplan con alguna de las condiciones descritas en el Capítulo 4.3. En caso contrario el
resultado del algoritmo de verificación retorna la palabra “Ok”, la cual sirve como instrucción en el
algoritmo genético para terminar la creación de un nuevo individuo.
La Comprobación de las restricciones realizada de manera automática incrementa la eficiencia del
algoritmo al reducir el rango de posibles soluciones que pueden ser utilizadas en el diseño.
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5.6 Criterio de terminación.
La búsqueda iterativa presenta su máxima eficiencia en las primeras generaciones, donde los
alelos que no representan características económicas son desechados, dejando en cada paso un
set de individuos más parecidos en cuanto a su composición genética. Bajo este hecho puede
concluirse que para generar una solución suficientemente económica, no hará falta correr un gran
número de generaciones, ya que esto no logrará alterar considerablemente el diseño final.
El algoritmo que se propone en este trabajo tiene como objetivo generar soluciones de bajo costo,
de manera rápida, que no necesariamente incluyen la solución óptima del sistema. Bajo este
argumento se propone trabajar con un máximo de 5 generaciones sucesivas, que resultan ser
suficientes para obtener resultados satisfactorios sin tener que realizar demasiados diseños de
manera innecesaria.
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6. Modelos de prueba.
6.1 Suposiciones Generales
Los modelos de prueba sirven para mostrar cómo funciona el algoritmo, evaluar la sensibilidad de
las soluciones bajo diferentes condiciones de diseño y estudiar la eficiencia del método.
Para este caso de estudio se han realizado 6 modelos de prueba tomado como referencia los
mismos modelos en planta utilizados por el profesor García (1993) en su estudio sobre las
implicaciones económicas del diseño sismo resistente en Colombia.
Se asume que se va a diseñar una edificación residencial de 5 pisos, con un área en planta de
720m2. En los tres modelos se tienen columnas de 50cmx50cm, ubicadas en todas las
intersecciones de los ejes principales, unidas por vigas de borde. Las dimensiones básicas y cargas
utilizadas en cada modelo se describen a continuación:
Tabla 2 Resumen de las características de los modelos de prueba.
Modelo A
Modelo B
Modelo C
Modelo D
Modelo E
Modelo F
Vanos en dirección X 6 4 3 6 4 3
Vanos en dirección Y 4 3 2 4 3 2
Luz libre dirección X (m) 5 7.5 10 5 7.5 10
Luz libre dirección Y (m) 6 8 12 6 8 12
Altura de las vigas de borde (m) 0.35 0.45 0.65 0.35 0.45 0.65
Ancho vigas de borde (m) 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3
Carga Viva (kN/m2) 3 3 3 5 5 5
Carga Muerta (kN/m2) 2 2 2 3 3 3
6.2 Precios Unitarios
En los modelos de prueba se tuvieron en cuenta los precios unitarios de los materiales y la mano
de obra sugeridos por la revista Construdata para el primer trimestre del 2012, que fueron
constatados y ajustados mediante cotizaciones con empresas constructoras. Estos precios brindan
una buena aproximación de los costos que se tendría realmente en una edificación diseñada bajo
condiciones normales.
Cabe mencionar que las soluciones que se obtienen con el algoritmo, dependen en gran medida
de la calibración de los precios unitarios, por lo cual es imposible extrapolar el diseño obtenido a
otros proyectos.
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A continuación se muestran los precios de las actividades relacionadas con la colocación de la
armadura de refuerzo ( ) y la fundición del concreto ( ). El precio no tiene en cuenta con el costo
de la mano de obra, el equipo y a formaleta, ya que estos se incluyen en la función de ajuste como
costos que dependen del tiempo. 4
Tabla 3 Costo de materiales para modelos de prueba.
Ítem Unidad Precio unitario
Acero de refuerzo Gr 60 Tn $ 2 376 000
Casetones m3 $ 42 000
Concreto 21Mpa m3 $ 295 800
Concreto 24Mpa m3 $ 301 000
Concreto 28Mpa m3 $ 306 240
Concreto 35MPa m3 $ 345 796
El costo del tiempo ( ) se estimo haciendo un análisis básico de los factores y actividades que
tienen un precio que no depende de la cantidad de los materiales. Los valores utilizados en los
modelos de prueba se obtuvieron de la revista Construdata y de una cotización realizada a
principios de Junio del 2012 con empresas constructoras.
Tabla 4 Variables cuyo costo depende del tiempo.
ITEM Unidad Precio
Energía $/mes $ 150 000
Agua $/mes $ 400 000
Comunicaciones $/mes $ 80 000
formaleta $/mes $ 3 780 000
Ingeniero residente $/mes $ 1 903 500
Ingeniero Sénior, director general $/mes $ 3 172 500
Jefe de personal y seguridad industrial $/mes $ 1 269 000
jefe de almacén $/mes $ 951 750
Gastos administrativos $/mes $ 1 903 500
Atención del crédito $/mes $ 5 243 757
publicidad $/mes $ 2 000 000
Transporte $/mes $ 1 000 000
Artículos de oficina $/mes $ 200 000
Maquinaria y equipo $/mes $ 6 000 000
Total $/mes $ 28 054 007
4 Todos los precios incluyen IVA y están sujetos a variación.
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El costo total del tiempo se tiene en cuenta dentro de la función de ajuste en unidades de pesos
por hora cuadrilla ($/hc). Tomando 30 días de 8 horas de trabajo al mes.
Vale la pena mencionar las siguientes aclaraciones respecto a los ítems presentados
anteriormente:
El costo de la formaleta corresponde a $5 250 por metro cuadrado por mes. Se asume que
durante un mes en obra solo se necesitara un set de 720m2. Este costo no entrará en el
modelo ya que no afecta directamente el diseño que se escoja.
Los salarios del personal fijo (Ingenieros, vigilancia y jefe de almacén) se basan en el
salario mínimo mensual legal vigente en Colombia para el año 2012, que corresponde a: $
634 500, que incluyen al auxilio de transporte.
El costo de la maquinaria y equipo incluyen toda la maquinaria menor necesaria para la
construcción de la estructura de concreto. (Mezcladoras, bombas, plumas, vibradores y
cortadoras).
El costo financiero se calculo en base a un crédito correspondiente al 70% del
presupuesto total, estimado a partir de precio por metro cuadrado para edificaciones
multifamiliares propuesto en la revista Construdata. La tasa de interés del crédito se tomo
de 1% efectivo mensual del valor total de la obra.
Costo unitario estimado para edificación de 5 pisos Multifamiliar: $ 1 040 428/m2
Presupuesto aproximado: 720m2x$ 1’040 428/m2= $ 749 108 160
Crédito Aprobado: $ 749 108 160 x0.7= $ 524 375 712
Intereses mensuales: $ 524 375 712 x0.01= $ 5 243 757
El costo de la mano de obra ( ) fue estimado a partir del salario mensual de una cuadrilla que
trabaja 240 horas. Considerando el salario mínimo del año 2012, el costo de una hora de trabajo
de una cuadrilla sería de aproximadamente $ 19 000 incluyendo prestaciones.
Los modelos de prueba trabajados con estos precios, constituyen una aproximación realista de los
costos verdaderos que se tendría en una edificación construida a la fecha en que se realizó esta
investigación. Por lo tanto los resultados obtenidos son validos para estudiar la forma como el
diseño se vería afectado si se modifican algunos parámetros como el precio de los materiales o la
cantidad de costos financieros.
El tiempo de colocación del refuerzo (T) se tomó según el rendimiento espesificado en la revista
Construdata (Edicion 161 del 2012). En este valor solo se icluye el montaje de la armadura,
asumiendo que el acero viene figurado del taller.
Rendimiento de la colocación del acero de refuerzo: 24.82hc por tonelada
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La hora cuadrilla estudiada (hc) corresponde a una hora de trabajo continuo de una cuadrilla
compuesta por 4 ayudantes y un oficial. En este trabajo no se ha tenido en cuenta la relacion que
hay entre el número de cuadrillas asignadas y la productividad efectiva de la construcción. Es de
esperarse que exista un número de cuadrillas que represente la productividad maxima de una
actividad dependiendo del espacio disponible en obra y de las condiciones de suministro. Un
estudio posterior podria realizarse para estimar una curva de productividad contra número de
cuadrillas asignadas, especializada en la construcción de entrepisos de concreto reforzado, que
incluya un analisis de variables para determinar que factores adicionales deberian tenerse en
cuenta para calcular correctamente el tiempo y el costo de la construcción. Un estudio de este
tipo podria complementar en gran medida el algoritmo que aquí se propone.
Los 6 modelos que se propone en el capitulo 6.1 fueron realizados asignando unicamente 2
cuadrillas, dado que se consideró que para el área en planta trabajada, serían suficientes para
tener una eficiencia razonable, en terminos del tiempo que tarda la construcción de cualquier
diseño.
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7. Resultados.
En los seis modelos se estudió la variación del costo total entre cada generación, el ahorro
obtenido y la distribución porcentual de los costos. Con el fin de determinar si el algoritmo es útil
para encontrar soluciones más económicas y buscar relaciones entre las variables de diseño que
ayuden a mejorar y simplificar el proceso.
7.1 Modelo A
La Figura 15, muestra la variación del costo en cada generación estudiada. Se puede observar que
el costo mínimo es mejorado, en comparación al obtenido en la primera generación. Las curvas de
costo máximo y mínimo tienden a acercarse mutuamente, lo cual indica que todas las soluciones
se están mejorando.
Figura 15 Variación del Costo total por generaciones. Modelo A
La Figura 16 muestra la distribución porcentual de los costos para la mejor solución obtenida en la
última generación. Esta figura puede utilizarse para reconocer cuales son las variables que más
peso tienen en el diseño. Puede verse que el porcentaje que representan los costos que dependen
del tiempo es una de las variables más importantes de la función de ajuste. El costo de la mano de
obra influye muy poco en el diseño obtenido.
50.0
55.0
60.0
65.0
70.0
75.0
0 1 2 3 4 5
Costo (Millones de
Pesos)
Generacion
Costo vs. iteraciones
Costo mínimo
costo Maxímo
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38
Figura 16 Repartición de Costos en la mejor solución de la última generación. Modelo A
En la Figura 17 puede verse una comparación entre los costos obtenidos con la mejor solución de
la primera y la última generación respectivamente. Cabe notar que la cantidad de aligeramientos
fue aumentada, lo cual es una de las causas principales de la reducción en la cantidad de concreto.
Figura 17 Comparación de costos entre las soluciones obtenidas en la generación inicial y la final. Modelo A
4% 13%
48%
20%
15%
Distribucion de costos Modelo A
Costo de Mano de obra Costo del Tiempo
Costo del Concreto Costo del Acero
Costo de los aligeramientos
$ -
$ 10,000,000
$ 20,000,000
$ 30,000,000
$ 40,000,000
$ 50,000,000
$ 60,000,000
Generacion inicial
Generacion 5
Costo de los aligeramientos
$ 7,054,887 $ 7,845,869
Costo del Acero $ 10,252,440 $ 10,368,864
Costo de Mano de obra $ 2,034,868 $ 2,057,975
Costo del Tiempo $ 6,259,451 $ 6,330,532
Costo del Concreto $ 30,179,438 $ 24,608,667
ICIV 201210 38
39
La eficiencia del algoritmo se midió a partir del ahorro logrado con respecto al costo de la mejor
solución obtenida en la generación inicial. Este ahorro se representa como la diferencia porcentual
acumulada, del costo de la mejor solución de cada generación, con respecto a la anterior. (Figura
18).
Figura 18 Eficiencia del algoritmo. Modelo A
Con la implementación del algoritmo se logró obtener un ahorro total de más del 8%, lo que
representa cerca $ 4’569 000, por cada entrepiso de la edificación.
Las características de la mejor solución obtenida se muestran en la Tabla 5 Diseño final Modelo A:
Tabla 5 Diseño final Modelo A
Modelo A
Individuo - 01-05-01-01
Número de viguetas dirección X - 1
Número de viguetas dirección Y - 5
Espaciamiento de viguetas dirección X (Sx) cm 300
Espaciamiento de viguetas dirección Y (Sy) cm 83
Ancho (b) cm 10
Tipo de concreto (f´c) Mpa 21
Altura del entrepiso (He) cm 38
Espesor torta superior (hf) cm 7
Cantidad de refuerzo kg 4364
Costo Total - $ 51 211 907
0.0%
1.0%
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
9.0%
0 1 2 3 4 5
% de Ahorro
Generacion
Ahorro en el costo total respecto a la generacion inicial
ICIV 201210 38
40
La mejor solución consiste en una losa que trabaja en una dirección. A pesar de que se ensayaron
varias alternativas en dos direcciones, resultó que el diseño en una dirección presenta un costo
más bajo, debido a que tiene pocas viguetas, y su espesor no es muy grande. Dado que las cargas y
las luces son pequeñas en comparación con los otros modelos, la solución de viguetas en una
dirección resulta ser adecuada, ya que trae como resultado una menor cantidad de concreto y de
mano de obra.
ICIV 201210 38
41
7.2 Modelo B
En la Figura 19 Variación del Costo total por generaciones. Modelo B, se observa que al igual que
en el modelo A, el costo es reducido y las curvas de costo máximo y mínimo tienden a acercarse.
Figura 19 Variación del Costo total por generaciones. Modelo B
La Figura 20 muestra que el costo del concreto implica la mayor parte de los gastos de la
estructura. La distribución de costos muestra que el diseño está controlado principalmente por la
cantidad de los materiales y el costo del tiempo.
En la Figura 21 se puede observar el cambio de las variables de la función de costos, entre la mejor
solución obtenida en la primera y la última generación. El algoritmo consiguió aumentar el
volumen aligerado y reducir el costo de todas las demás variables. La reducción de costos más
grande se llevo a cabo en las variables que dependen de la cantidad de acero. El costo del
concreto es más elevado en el diseño final, lo que implica que se obtuvo una solución de con una
altura de entrepiso más grande, lo cual hizo que la losa fuera más resistente a flexión reduciendo
la cantidad de refuerzo. En ese caso se puede concluir que el diseño fue gobernado por el ahorro
en la cantidad de acero.
60.0
65.0
70.0
75.0
80.0
85.0
90.0
95.0
0 1 2 3 4 5
Costo (Millones de
Pesos)
Generacion
Costo vs. iteraciones
Costo mínimo
Costo máximo
ICIV 201210 38
42
Figura 20 Repartición de Costos en la mejor solución de la última generación. Modelo B
Figura 21 Comparación de costos entre las soluciones obtenidas en la generación inicial y la final. Modelo B
En la Figura 22 puede verse que el ahorro es mayor al 10% del costo obtenido en la primera
generación. Al cabo de la 5 generación se tiene aproximadamente $7’908 000 menos por piso. Lo
cual representa más del doble del ahorro logrado en el modelo A.
4% 12%
55%
20% 9%
Distribucion de costos Modelo B
Costo de Mano de obra Costo del Tiempo
Costo del Concreto Costo del Acero
Costo de los aligeramientos
$ - $ 10,000,000 $ 20,000,000 $ 30,000,000 $ 40,000,000 $ 50,000,000 $ 60,000,000 $ 70,000,000 $ 80,000,000
Generacion inicial
Generacion 5
Costo de los aligeramientos $ 4,294,474 $ 5,546,758
Costo del Acero $ 18,696,744 $ 13,046,616
Costo de Mano de obra $ 3,710,863 $ 2,589,446
Costo del Tiempo $ 11,414,976 $ 7,965,387
Costo del Concreto $ 34,714,337 $ 35,774,415
ICIV 201210 38
43
Figura 22 Eficiencia del algoritmo. Modelo B
Tabla 6 Diseño final Modelo B
Modelo B
Individuo - 07-08-01-01
Número de viguetas dirección X - 7
Número de viguetas dirección Y - 8
Espaciamiento de viguetas dirección X (Sx) cm 100
Espaciamiento de viguetas dirección Y (Sy) cm 83
Ancho (b) cm 10
Tipo de concreto (f´c) Mpa 21
Altura del entrepiso (He) cm 32
Espesor torta superior (hf) cm 9
Cantidad de refuerzo kg 5491
Costo Total - $ 64 922 622
En comparación con el diseño final obtenido en el modelo A, se puede notar que el diseño del
modelo B tiene una cantidad mucho mayor de acero y de concreto. La longitud de luces trabajadas
hace que el momento flector sea mayor y se necesiten secciones más grandes. El ancho de las
viguetas y la calidad del concreto son las mismas que se obtuvo en la solución final del modelo A.
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0 1 2 3 4 5
% de Ahorro
Generacion
Ahorro en el costo total respecto a la generacion inicial
ICIV 201210 38
44
7.3 Modelo C
En la Figura 23 se puede observar que las soluciones se mejoran con el algoritmo. El diseño
definitivo es encontrado en la cuarta generación.
Figura 23 Variación del Costo total por generaciones. Modelo C
La distribución de los costos tiene la misma forma que se obtuvo en los modelos A y B. El costo del
acero ocupa en los 3 casos un 20% del costo total, y la cantidad de concreto resulta ser siempre la
variable que controla el diseño.
A partir de las Figura 16Figura 20 y Figura 24, se puede concluir que el tamaño de la luz libre no
cambia el efecto que tienen las variables en la función de costos. Los diseños más económicos
resultan ser casi siempre aquellos que tienen el menor volumen de concreto. Desde el punto de
vista estructural, estos diseños benefician también la economía del resto de la edificación, ya que
al ser más livianos implican una carga sísmica menor, y por lo tanto unas dimensiones más
pequeñas en los elementos del sistema estructural.
90.0
95.0
100.0
105.0
110.0
115.0
120.0
0 1 2 3 4 5
Costo (Millones de
Pesos)
Generacion
Costo vs. iteraciones
ICIV 201210 38
45
Figura 24 Repartición de Costos en la mejor solución de la última generación. Modelo C
En la Figura 25 puede verse que el diseño de la última generación es más económico respecto a
todas las variables de la función de ajuste. El ahorro más grande se produce en las variables que
dependen de la cantidad de acero.
Figura 25 Comparación de costos entre las soluciones obtenidas en la generación inicial y la final. Modelo C
4%
12%
57%
20%
7%
Distribucion de costos Modelo C
Costo de Mano de obra Costo del Tiempo
Costo del Concreto Costo del Acero
Costo de los aligeramientos
$ -
$ 20,000,000
$ 40,000,000
$ 60,000,000
$ 80,000,000
$ 100,000,000
$ 120,000,000
Generacion inicial
Generacion 5
Costo de los aligeramientos
$ 6,734,420 $ 6,113,460
Costo del Acero $ 22,543,488 $ 18,473,400
Costo de Mano de obra $ 4,474,351 $ 3,666,535
Costo del Tiempo $ 13,763,539 $ 11,278,617
Costo del Concreto $ 53,657,336 $ 51,873,400
ICIV 201210 38
46
Figura 26 Eficiencia del algoritmo. Modelo C
La Figura 26 muestra que se logro un ahorro cercano al 10%, lo que implica aproximadamente
$9’768 000 por piso. La tabla 7 muestra las características de la solución obtenida.
Tabla 7 Diseño final Modelo C
Modelo C
Individuo - 07-10-01-01
Número de viguetas dirección X - 7
Número de viguetas dirección Y - 10
Espaciamiento de viguetas dirección X (Sx) cm 133
Espaciamiento de viguetas dirección Y (Sy) cm 83
Ancho (b) cm 13
Tipo de concreto (f´c) Mpa 21
Altura del entrepiso (He) cm 45
Espesor torta superior (hf) cm 12
Catidad de refuerzo kg 7775
Costo Total - $ 91 405 411
Para este modelo se estableció que el valor mínimo que puede tomar el ancho de las viguetas es
de 13 cm (Gen 3).
Comparando las soluciones finales de los modelos A, B y C, se puede notar que el ancho de las
viguetas y la resistencia del concreto obtenidas, no son sensibles a la longitud de la luz libre de la
losa. Los alelos de los genes 3 y 4, encontrados en la última generación de los tres modelos tienen
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0 1 2 3 4 5
% de Ahorro
Generacion
Ahorro en el costo total respecto a la generacion inicial
ICIV 201210 38
47
muy poca diversidad genética. Lo que significa que los individuos mejor adaptados son aquellos
que tienen el menor ancho posible de viguetas y un concreto de resistencia moderada.
7.4 Modelo D
Este modelo tiene como objetivo estudiar la sensibilidad del diseño ante una carga sobre impuesta
más alta. La geometría es la misma que se usó en el modelo A.
La Figura 27 muestra que el algoritmo logró mejorar las soluciones que se obtuvieron de manera
aleatoria en la primera generación.
Figura 27 Variación del Costo total por generaciones. Modelo D
La Figura 28 muestra la distribución de costos obtenida en la mejor solución de la última
generación. Puede verse que los pesos de cada variable son parecidos a los que se obtuvieron en
el modelo A, a diferencia que esta vez las variables que dependen de la cantidad de acero tienen
una importancia mayor en la función de ajuste.
En la Figura 29 puede verse que el diseño mediante el uso del algoritmo redujo el costo de los
materiales, la mano de obra y el tiempo.
40.0
45.0
50.0
55.0
60.0
65.0
70.0
75.0
80.0
0 1 2 3 4 5
Costo (Millones de
Pesos)
Generacion
Costo vs. iteraciones
ICIV 201210 38
48
Figura 28 Repartición de Costos en la mejor solución de la última generación. Modelo D
Figura 29 Comparación de costos entre las soluciones obtenidas en la generación inicial y la final. Modelo D
La Figura 30 muestra el ritmo de progreso del algoritmo interpretado como el ahorro logrado con
relación a la mejor solución de la primera generación. En este modelo se logro una mejora
superior al 10% del costo total lo cual representa cerca de $6’074 000 por piso.
4% 13%
46%
22%
15%
Generacion 5
Costo de Mano de obra Costo del Tiempo
Costo del Concreto Costo del Acero
Costo de los aligeramientos
$ -
$ 10,000,000
$ 20,000,000
$ 30,000,000
$ 40,000,000
$ 50,000,000
$ 60,000,000
Generacion inicial
Generacion 5
Costo de los aligeramientos
$ 7,600,320 $ 7,918,949
Costo del Acero $ 13,856,832 $ 11,563,992
Costo de Mano de obra $ 2,750,255 $ 2,295,180
Costo del Tiempo $ 8,460,051 $ 7,060,196
Costo del Concreto $ 26,338,032 $ 24,093,975
ICIV 201210 38
49
Figura 30 Eficiencia del algoritmo. Modelo D
Tabla 8 Diseño final Modelo D
Modelo D
Individuo - 01-06-01-01
Número de viguetas dirección X - 1
Número de viguetas dirección Y - 6
Espaciamiento de viguetas dirección X (Sx) cm 300
Espaciamiento de viguetas dirección Y (Sy) cm 71
Ancho (b) cm 10
Tipo de concreto (f´c) Mpa 21
Altura del entrepiso (He) cm 38
Espesor torta superior (hf) cm 6
Cantidad de refuerzo kg 4867
Costo Total - $ 52 932 292
En comparación con el modelo A, se puede ver que el diseño más económico sigue siendo el de
viguetas en una dirección. El diseño adaptado a la nueva condición de carga incrementó la altura
total del entrepiso así como el número de viguetas paralelas a la dirección Y.
El ancho de las viguetas y el material obtenidos en los dos modelos fueron los mismos. Por lo tanto
es válido afirmar que cuando se tienen luces pequeñas (hasta 6m), incluso para cargas sobre
impuestas relativamente altas (hasta 8KN/m2), las soluciones más económicas son aquellas que
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0 1 2 3 4 5
% de Ahorro
Generacion
Ahorro en el costo total respecto a la generacion inicial
ICIV 201210 38
50
usan un ancho de viguetas pequeño, un concreto de resistencia moderada y una separación
grande entre nervaduras, preferiblemente diseñadas para trabajar en una dirección.
7.5 Modelo E
La Figura 31 muestra como son mejoradas las soluciones con cada generación.
Figura 31 Variación del Costo total por generaciones. Modelo E
La Figura 32 muestra la importancia de cada variable en el diseño. En comparación con el modelo
B, se puede notar que la importancia de las variables que dependen de la cantidad de acero es
mayor; sin embargo sigue siendo la cantidad de concreto la variable que más peso tiene en la
función de ajuste.
60.0 62.0 64.0 66.0 68.0 70.0 72.0 74.0 76.0 78.0 80.0
0 1 2 3 4 5
Costo (Millones de
Pesos)
Generacion
Costo vs. iteraciones Costo mínimo
Costo máximo
ICIV 201210 38
51
Figura 32 Repartición de Costos en la mejor solución de la última generación. Modelo E
En la Figura 33 se puede observar la diferencia entre las mejores soluciones obtenidas en la
primera y la última generación. Se logró mejorar el costo de todas las variables.
Figura 33 Comparación de costos entre las soluciones obtenidas en la generación inicial y la final. Modelo E
4% 13%
52%
22%
9%
Distribucion de costos Modelo E
Costo de Mano de obra Costo del Tiempo
Costo del Concreto Costo del Acero
Costo de los aligeramientos
$ -
$ 10,000,000
$ 20,000,000
$ 30,000,000
$ 40,000,000
$ 50,000,000
$ 60,000,000
$ 70,000,000
$ 80,000,000
Generacion inicial
Generacion 5
Costo de los aligeramientos $ 6,120,638 $ 6,066,384
Costo del Acero $ 17,503,992 $ 15,253,920
Costo de Mano de obra $ 3,474,130 $ 3,027,544
Costo del Tiempo $ 10,686,761 $ 9,313,019
Costo del Concreto $ 36,830,427 $ 36,731,174
ICIV 201210 38
52
Figura 34 Eficiencia del algoritmo. Modelo E
El ahorro logrado al final de la generación es cercano al 5%, lo cual representa aproximadamente
$4’224 000 por piso.
Tabla 9 Diseño final Modelo E
Modelo E
Individuo - 06-06-01-01
Número de viguetas dirección X - 6
Número de viguetas dirección Y - 6
Espaciamiento de viguetas dirección X (Sx) cm 114
Espaciamiento de viguetas dirección Y (Sy) cm 107
Ancho (b) cm 10
Tipo de concreto (f´c) Mpa 21
Altura del entrepiso (He) cm 34
Espesor torta superior (hf) cm 10
Cantidad de refuerzo kg 6420
Costo Total - $ 70 392 040
En la Tabla 9 se resumen las características del mejor diseño obtenido en el modelo E. Puede verse
que en comparación con l modelo B, esta solución tiene una cantidad mucho mayor de acero
aunque trabaja con menos viguetas en cada dirección, esto significa que fue requerida una
cantidad de acero mayor a la mínima en cada vigueta, lo cual no sucedió en los modelos A y B.
0.0%
1.0%
2.0%
3.0%
4.0%
5.0%
6.0%
0 1 2 3 4 5
% de Ahorro
Generacion
Ahorro en el costo total respecto a la generacion inicial
ICIV 201210 38
53
7.6 Modelo F
En la Figura 35 puede verse que el algoritmo no logró reducir el costo de la misma manera que se
en los demás modelos. La causa de esto es que la carga y las luces son tan grandes, que hacen que
las posibilidades de diseño se vean muy restringidas debido a las deflexiones. La mejor solución se
obtuvo al cabo de una generación.
Entre las soluciones se generadas no se presentaron diseños de viguetas en una dirección. Por otro
lado, se pudo observar que la mayoría de soluciones ensayadas correspondían a diseños con una
altura total (He) grande, y una calidad refuerzo más exigente en comparación con el modelo C
cuyas luces son de igual tamaño.
Figura 35 Variación del Costo total por generaciones. Modelo F
En la Figura 36 puede verse que el costo del diseño sigue siendo afectado en un mayor porcentaje
por la cantidad de concreto.
Comparando la Figura 37 con los costos obtenidos en la Figura 25 para el modelo C, puede verse
que el costo de los materiales es mucho mayor para las condiciones de carga sobre impuesta más
grandes que se presentan en el modelo F.
80.0
90.0
100.0
110.0
120.0
130.0
140.0
0 1 2 3 4 5
Costo (Millones de
Pesos)
Generacion
Costo vs. iteraciones
ICIV 201210 38
54
Figura 36 Repartición de Costos en la mejor solución de la última generación. Modelo F
Figura 37 Comparación de costos entre las soluciones obtenidas en la generación inicial y la final. Modelo F
4%
14%
51%
23%
8%
Distribucion de costos Modelo F
Costo de Mano de obra Costo del Tiempo
Costo del Concreto Costo del Acero
Costo de los aligeramientos
$ -
$ 20,000,000
$ 40,000,000
$ 60,000,000
$ 80,000,000
$ 100,000,000
$ 120,000,000
Generacion inicial
Generacion 5
Costo de los aligeramientos
$ 8,805,601 $ 8,781,619
Costo del Acero $ 25,960,176 $ 25,960,176
Costo de Mano de obra $ 5,152,483 $ 5,152,483
Costo del Tiempo $ 15,849,539 $ 15,849,539
Costo del Concreto $ 61,664,526 $ 58,861,512
ICIV 201210 38
55
Figura 38 Eficiencia del algoritmo. Modelo E
El ahorro obtenido con el algoritmo respecto a la mejor solución obtenida en la generación inicial
es de aproximadamente 2.5%, que representa un valor de $2’827 000 por piso. La eficiencia del
algoritmo es nula después de la primera generación. Esto podría deberse a la falta de diversidad
genética, como también a una convergencia prematura de la solución a un diseño económico.
Tabla 10 Diseño final Modelo E
Modelo F
Individuo - 11-11-01-03
Número de viguetas dirección X - 7
Número de viguetas dirección Y - 10
Espaciamiento de viguetas dirección X (Sx) cm 92
Espaciamiento de viguetas dirección Y (Sy) cm 77
Ancho (b) cm 13
Tipo de concreto (f´c) Mpa 28
Altura del entrepiso (He) cm 56
Espesor torta superior (hf) cm 8
Cantidad de refuerzo kg 10926
Costo Total - $ 51 211 907
En la Tabla 10 puede observarse el resumen del diseño final obtenido con el algoritmo. En
comparación con el diseño del modelo C cuyas cargas aplicadas eran menores, puede verse que la
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
0 1 2 3 4 5
% de Ahorro
Generacion
Ahorro en el costo total respecto a la generacion inicial
ICIV 201210 38
56
cantidad de acero en este diseño es más grande, a pesar de que la altura del entrepiso también lo
es. Esto se debe en gran medida a que se tienen más viguetas en cada dirección.
La Tabla 11 muestra una comparación entre los diseños obtenidos en los seis modelos estudiados.
Tabla 11 Comparación entre los diseños finales.
Modelo A B C D E F
Sx (cm) 300 100 133 300 114 92
Sy (cm) 83 83 83 71 107 77
He (cm) 38 32 45 38 34 56
b (cm) 10 10 13 10 10 13
hf (cm) 7 9 12 6 10 8
Volumen de concreto (m3)
83 102 175 95 102 192
Cantidad de refuerzo (kg) 4364 5491 7775 4867 6420 10926
Fc (Mpa) 21 21 21 21 21 28
Ahorro 8% 11% 9% 10% 6% 2%
ICIV 201210 38
57
8. Conclusiones
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos mediante la aplicación del algoritmo genético en el
diseño de entrepisos de concreto reforzado, con base a 6 modelos de un proyecto de vivienda
multifamiliar de 5 pisos con un área en planta de 720m2 que cuentan con diferentes
configuraciones de las vigas principales (5mx6m, 7.5mx8m y 10mx12m) y condiciones de carga
sobre impuesta (Carga viva entre 3 y 5 kN/m2, Carga muerta entre 2 y 3 kN/m2). Este estudio se
realizó con el fin de analizar la sensibilidad de las variables de diseño según los costos de los
materiales, la mano de obra y el tiempo de construcción estimados para la ciudad de Bogotá en el
año 2012, con lo cual se logró determinar las siguientes conclusiones:
Usando tan solo 5 generaciones en cada modelo, se logró reducir el costo del entrepiso en
un promedio de 7% de su costo total, con base a la mejor solución de un set de 10
alternativas diferentes generadas aleatoriamente según las restricciones de la norma
Sismo resistente Colombiana (NSR-10). Esto demuestra que el algoritmo genético es una
forma eficiente de obtener soluciones más económicas adaptando el diseño a los costos
esperados de cada proyecto.
Se comprobó que el costo del tiempo en la construcción es de alrededor alrededor del
10% del costo total del entrepiso. Este costo incrementa la importancia que tiene la
cantidad de acero de refuerzo en la forma del diseño definitivo, ya que la mayor parte del
tiempo que toma la construcción del entrepiso se debe a la colocación de la armadura.
Con base a los resultados obtenidos es recomendable tener siempre en cuenta el costo del
tiempo por separado y no incluirlo en los precios unitarios de otras actividades, de este
modo se pueden lograr diseños más prácticos y económicos desde el punto de vista
constructivo.
El costo de la mano de obra en todos los modelos estudiados tiene una influencia menor al
5% del costo total, lo cual significa que su influencia en el diseño es pequeña en
comparación a la del costo de los materiales y el tiempo. Se espera que debido a la
variabilidad de la economía local, la importancia de esta variable en el diseño pueda llegar
a ser bastante significativa en el futuro, debido al incremento esperado en la demanda de
mano de obra calificada.
Para la configuración en planta con vigas interiores de 5 x 6m, se encontró que la solución
más económica consiste en un arreglo de viguetas en una dirección paralelas a la luz más
larga. Los diseños con viguetas paralelas a la luz más corta requirieron en este caso una
cantidad mayor de materiales ya que la diferencia entre las luces en ambos sentidos no es
muy grande. Los diseños con viguetas que trabajan en dos direcciones no resultaron ser
los más económicos ya que debido a las restricciones constructivas del algoritmo, se
impide que se puedan crear soluciones con alturas de entrepiso menores que las que se
puede obtener usando los casetones más pequeños posibles (altura de 20cm). En los
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modelos con configuraciones en planta de 7.5 x 8m y 10 x 12m, se obtuvieron las
soluciones más económicas usando diseños en dos direcciones.
La altura del entrepiso de las soluciones más económicas que trabajan en dos direcciones
calculada en base al capítulo C.9 de la NSR-10, está entre 27 y 29 cm para la configuración
de vigas principales de 5 x 6m; así mismo para la configuración de 7.5 x 8m la altura del
entrepiso varía entre 31 y 37cm, y para la de 10 x 12m se obtuvieron valores entre 45 y
58cm. En cada caso se pudo observar que las soluciones que tienen las alturas de
entrepiso más grandes, tienden a necesitar una menor cantidad de acero de refuerzo, sin
embargo no resultan ser las alternativas más económicas dado que el aumento en la
cantidad de concreto eleva los costos de una manera más significativa.
El ancho de las viguetas en las soluciones más económicas resulta ser siempre el mínimo
permitido por la norma utilizada para el estudio (NSR-10), sin importar las condiciones de
luz libre y carga aplicada.
Las mejores soluciones obtenidas para la configuración de 5 x 6m fueron aquellas que
presentaron un espesor de la losa entre 6 y 9cm, en los modelos cuya configuración de
vigas interiores es de 7.5 x 8m se obtuvo un espesor entre 8 y 11cm, y para la de 10 x 12m
se obtuvieron valores entre 9 y 12cm.
Respecto a la resistencia del concreto se puede afirmar que para sistemas de piso con
luces de 5 x 6m sin importar la magnitud de la carga resultó más económico el uso de
concreto de una resistencia moderada (hasta 3500 Psi). Esto mismo se pudo observar en
los modelos de 7,5 x 8m y 10 x 12m cuya carga viva no es superior a 3kN/m2. En los
modelos con carga viva aplicada de 5kN/m2 y configuraciones de 7,5 x8m y 10x 12m,
resultó más económico el uso de concretos de alta resistencia (4000 o 5000Psi) ya que
con ellos pudieron obtenerse diseños de entrepiso cuya altura es más pequeña, sin tener
problemas con las deflexiones; lo cual redujo la cantidad de concreto y de acero necesario.
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10. Anexos:
Anexo1 Comprobación Manual de resultados.
Losas en una dirección:
Para verificar que las cantidades de refuerzo obtenidas en los modelos de losa en una dirección
con el software SAFE V12 fueran correctas, se creo un modelo simple para verificar el diseño
manualmente. A continuación se muestra detalladamente el procedimiento seguido basado en las
consieraciones del titulo C de la NSR-10.
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Se calcula la carga en cada vigueta según su área aferente
ρ<ρmax ok
L 3kN
m2
D 2kN
m2
H 0.40m d´ 0.05m
b 0.15m d 0.35m
h 0.05m t 0.05m
S 1m lt 5m
B1 0.85 0.9
fc 28MPa fy 420MPa
L 3kN
m D 2
kN
m
Wp t 1m b( ) b H[ ] 24kN
m3
Wp 2.46kN
m
Wu 1.2D 1.2Wp 1.6L Wu 10.152kN
m
Mu Wult
2
8 Mu 31.725kN·m
fc
1.18fy
fc
1.18fy
2Mu fc( )
fy2
0.59 b d2
4.769 103
max 0.85B1fc
fy
0.003
0.003 0.004
max 0.021
As b d As 250.362mm2
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ξt>0.005 entonces Phi=0.9
Se asume una longitud de Varilla de 5,40m para proveer ganchos de anclaje en vigas Cargueras.
As suministrado =Ass= 2#4 por vigueta.
Se calcula el peso del refuerzo suministrado
Según el modelo creado en SAFE V12, la cantidad de acero que se debe suministrar es la siguiente:
La diferencia entre resultados es despreciable, por lo cual se puede concluir que los resultados del
programa obtenidos para el diseño de losas en una dirección son validos para ser tenidos en
cuenta en los modelos experimentales
cAs fy( )
0.85fc B1 b c 0.035m
a B1c a 0.029m
t0.003d( )
c
0.003t 0.0273
Ass 258mm2
WAs 5.40m 0.994kg
m
9 2 WAs 96.617kg
WAsSAFE 96kg
ErrorRelativoWAs WAsSAFE
WAs
ErrorRelativo 0.638%
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Losas en dos direcciones:
Se realizó una verificación manual de los resultados obtenidos del programa, en un modelo sencillo de losa en dos direcciones. El método de diseño utilizado en el análisis manual corresponde al método de los coeficientes que se encuentra en el capitulo C.13.9 de la NSR-10.
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= 0. 2m
Calculo del espesor equivalente:
Espesor equivalente (teq)
Cargas Aplicadas
Peso Propio (Wp)
Lx 5m Ly 5m
H 0.25m b 0.1m
t 0.05m S 0.5m
d´ 0.05m d H d´
Vlosa Lx Ly H Vlosa 6.25m3
Valigeramiento S b( )2
H t( ) 100 Valigeramiento 3.2m3
Area Lx Ly Area 25m2
Vconcreto Vlosa Valigeramiento Vconcreto 3.05m3
teqVconcreto
Area teq 0.122m
L 3kN
m2
D 2kN
m2
Wp teq 24kN
m3
Wp 2.928kN
m2
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La ecuación usada para determinar los momentos flectores en la franja central de cada panel es la
siguiente:
Donde Cj corresponde al coeficiente de de momento que depende de las condiciones de borde del
problema y se obtiene de las tablas C.13.9-1 hasta C.13.9-3 de la NSR-10. L representa la luz sin
apoyos, y qj representa la carga por metro cuadrado mayorada según lo requieren las tablas del
método.
A continuación se presentan los valores de momento obtenidos en la franja central de cada panel,
con una respectiva comparación con los resultados obtenidos con el software mediante un análisis
de elementos finitos.
Panel Central:
Eje Coeficiente M- Manual (kNm) M- SAFE (kNm)
dir x 0,045 12,0528 10,882
dir y 0,045 12,0528 10,882
Eje Coeficiente M+ Carga muerta (KNm)
dir x 0,018 2,661
dir y 0,018 2,661
Eje Coeficiente M+ Carga viva (KNm)
dir x 0,027 3,240
dir y 0,027 3,240
1.6L 4.8kN
m2
1.2D 1.2Wp 5.914kN
m2
Wu 1.2D 1.2Wp 1.6L Wu 10.714kN
m2
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Eje M+ TOTAL Manual (KNm) SAFE (KNm)
dir x 5,901 4,985
dir y 5,901 4,985
Panel Esquinero:
Eje Coeficiente M- Manual (kNm) M- SAFE (kNm)
dir x 0,05 13,392 10,336
dir y 0,05 13,392 10,336
Eje Coeficiente M+ Carga muerta (KNm)
dir x 0,027 3,99168
dir y 0,027 3,99168
Eje Coeficiente M+ Carga viva (KNm)
dir x 0,032 3,84
dir y 0,032 3,84
Eje M+ TOTAL (KNm) M+ SAFE (KNm)
dir x 7,832 11,236
dir y 7,832 11,236
Panel de borde:
Eje Coeficiente M- Manual (kNm) M- SAFE (kNm)
dir x 0,061 16,338 10,882
dir y 0,033 8,839 10,336
Eje Coeficiente M+ Carga muerta (KNm)
dir x 0,023 3,400
dir y 0,020 2,957
Eje Coeficiente M+ Carga viva (KNm)
dir x 0,030 3,600
dir y 0,028 3,360
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Eje M+ TOTAL (KNm) M+ SAFE (KNm)
dir x 7,000 10,262
dir y 6,317 6,529
Diseño Franja Central:
Las losas se diseñaron usando las siguientes consideraciones:
La cuantía de cada vigueta se encontró usando el momento calculado y el ancho nominal de la
vigueta. En las siguientes tablas se resume el procedimiento de diseño cuyas ecuaciones son
iguales a las mostradas en la verificación de losas en una dirección.
DISEÑO M-(kNm) cuantía Asreq(mm2) C (m) Deformación del acero Phi As (mm2)
Panel Central 12,05 0,00863 0,0001727 0,035 0,014 0.9 172,61
Panel Esquinero 13,39 0,00969 0,0001938 0,040 0,012 0.9 193,76
Panel Borde 16,34 0,01210 0,0002420 0,050 0,009 0.9 242,04
DISEÑO M+ (kNm) cuantía Asreq (mm2) C (m) Deformación del acero PHI As (mm2)
Panel Central 5,90 0,00405 8,096E-05 0,017 0,033 0,9 80,96
Panel Esquinero 7,83 0,00544 1,088E-04 0,023 0,024 0,9 108,84
Panel Borde dir x 7,00 0,00484 9,674E-05 0,020 0,027 0,9 96,74
Panel Borde dir y 6,32 0,00434 8,690E-05 0,018 0,030 0,9 86,90
B1 0.85 0.9
fc 28MPa fy 420MPa
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Refuerzo suministrado para momento Negativo:
Longitud de bastón típico: 1,65m
Cantidad mínima de varillas por vigueta: 2
Panel Central Panel Esquinero Panel de Borde
Área de acero requerida (mm2) 147 194 243
Refuerzo suministrado 2#2 2#2 2#2
Área de acero suministrada (mm2) 258 258 258
Número de viguetas 20 40 60
Peso del refuerzo (kg) 65,604 131,208 196,812
Refuerzo suministrado para momento Positivo
Longitud de bastón típico: 5,30m
Cantidad mínima de varillas por vigueta: 2
Panel Central Panel Esquinero Panel de Borde
Área de acero requerida (mm2)
81 109 96
Refuerzo suministrado
2#3 2#3 2#3
Área de acero suministrada (mm2)
142 142 142
Número de viguetas 10 40 40
Peso del refuerzo (kg)
59,36 237,44 235,2
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Diseño de las franjas de Columna:
Para las franjas de columna se asumió de acuerdo con el método utilizado, un momento igual a un
tercio del momento equivalente de la franja central.
DISEÑO M-
(kNm) cuantía
Asreq (mm2)
C (m) Deformaciónd
el acero PHI As (mm2)
Panel Central 4,02 0,00272 5,446E-05 0,011 0,050 0,9 54,46
Panel Esquinero
4,46 0,00303 6,068E-05 0,013 0,045 0,9 60,68
Panel Borde 5,45 0,00372 7,449E-05 0,015 0,036 0,9 74,49
DISEÑO M+
(kNm) cuantía
Asreq (mm2)
C (m) Deformación
del acero PHI As (mm2)
Panel Central 1,97 0,00132 2,633E-05 0,005 0,107 0,9 26,33
Panel Esquinero
2,61 0,00175 3,508E-05 0,007 0,079 0,9 35,08
Panel Borde 2,33 0,00156 3,130E-05 0,006 0,089 0,9 31,30
Panel Borde 2,11 0,00141 2,820E-05 0,006 0,099 0,9 28,20
Momento Negativo:
Longitud de bastón típico: 1,65m
Cantidad mínima de varillas por vigueta: 2
Panel Central Panel Esquinero Panel de Borde
Área de acero requerida (mm2)
55 61 76
Refuerzo suministrado
2#3 2#3 2#3
Área de acero suministrada (mm2)
142 142 142
Número de viguetas 16 32 64
Peso del refuerzo (kg)
29,568 59,136 422,4
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Momento Positivo
Longitud de bastón típico: 5,30m
Cantidad mínima de varillas por vigueta: 2
Panel Central Panel Esquinero Panel de Borde
Área de acero requerida (mm2)
27 36 33
Refuerzo suministrado
2#3 2#3 2#3
Área de acero suministrada (mm2)
142 142 142
Número de viguetas 8 32 32
Peso del refuerzo (kg)
47,04 188,16 672
La cantidad total de refuerzo suministrado obtenida como la suma del peso del refuerzo obtenido
del diseño de cada franja en todos los paneles corresponde a 2344kg. En comparación el programa
da como resultado que se requieren aproximadamente 2008 kg.
El error relativo entre estas cantidades es de tan solo 14%, lo cual se debe principalmente a las
diferencias entre los métodos de análisis y a las consideraciones de detalle que fueron
simplificadas al máximo en el método manual. Como conclusión se puede decir que los resultados
del programa brindan una aproximación suficientemente exacta de la cantidad de refuerzo
requerida por una estructura de entrepiso como las que se va a modelar a lo largo de este trabajo.
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Anexo2 Materiales en los modelos de prueba Los materiales que se describen a continuación fueron empleados en todos los modelos de
prueba:
Material Resistencia a compresión Peso Unitario
Modulo de elasticidad
Relación de Poisson
- Mpa KN/m3 Mpa -
3000 Psi 21 23,57 21538 0,2
3500 Psi 24 23,57 23025 0,2
4000 Psi 28 23,57 24870 0,2
5000 Psi 35 23,57 27806 0,2
Material Acero de refuerzo A615Gr60
Propiedad Unidades
Esfuerzo limite de fluencia Fy MPa 420,00
esfuerzo limite de ruptura Fu MPa 620,53
Modulo de elasticidad E Mpa 200000,00
Designación Acero de Refuerzo Referencia en pulgadas
Diámetro Área Masa
mm mm2 Kg/m
No2 1/4 6,4 32 0,250
No3 3/8 9,5 71 0,560
No4 1/2 12,7 129 0,994
No5 5/8 15,9 199 1,552
No6 3/4 19,1 284 2,235
No7 7/8 22,2 387 3,042
No8 1 25,4 510 3,973
No9 1+1/8 28,7 645 5,060
No10 1+1/4 32,3 819 6,404
(Tolmos Rodriguez, 2001)
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(Sivanandam & Deepa, 2008)
(Nilson, 2010)
(AIS, 2010) (Kravanja & Merta, 2010)
(M. Najem, 2010)
(Prasad, Chander, & Ahuja, 2005)
(Sahab, Ashour, & Toropov, 2005)
(Galeb & Atiyah, 2011)
(Ahmadkhanlou & Adeli, 2004)
(Al-Assaf & Saffarini, 2004)
(Kanagasundaram & Karihaloo, 1990)
(Sarma & Adeli, 1998)
(Adeli & Park, 1995)
(Construdata edicion 161, 2012)
(Garcia, Apreciaciones sobre el diseño Sismo resistente en Colombia y sus
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(Timoshenko, 1959)
