estruturas algebricas e matemática
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01
Introducao a Matematica
Universitaria
Jose Stalio Rodrigues dos Santos Tarcisio Praciano-Pereira 1
Universidade Estadual Vale do AcarauSobral - Ce
16 de marco de 2009
1Dep de Computacao - [email protected]
Rodrigues dos Santos, Jose Stalio
MSc em Matematica
Praciano-Pereira, Tarcisio
PhD em Matematica
Introducaoa Matematica Universitaria
Sobral, 2003
Textos para o Ensino
Publicacoes doLaboratorio de Matematica ComputacionalUniversidade Estadual do Vale do Acarau
Copyleft Laboratorio de Matematica ComputacionalEste livro pode ser livremente copiado para uso individual e nao comercial, desde
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Rodrigues dos Santos, Jose StalioPraciano-Pereira, TarcisioP496c Introducao a Matematica UniversitariaSobral: Laboratorio de Matematica Computaciaonal - 2009301pBibliografiaISBN:1 - Analise Combinatoria -2 - Relacoes e Funcoes3 - Numeros - 4 - Polinomios.I. Tıtulo
CDD 517....Capa: Tarcisio Praciano-Pereira
Sumario
Introducao ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Teoria dos Conjuntos. 7
1.1 O conceito de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Conjunto e estrutura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 elemento, subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 uniao, intersecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 diferenc a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Estrutura algebrica nos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Analise Combinatoria Simples. 31
2.1 Ana lise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 combinacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Particoes de um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 O binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 Arranjos simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.3 Permutacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 n(A ∪B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 n(A x B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Relacoes e Funcoes. 67
3.1 Relacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Relacoes de ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 equivale ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1 A funcao linear afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3
4 Conjuntos numericos fundamentais. 934.1 os naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 algebra N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.2 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Os numeros inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.1 A definicao de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.2 adicao em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.3 produto em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2.4 ordem em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2.5 demonstracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.1 incompletitude, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.2 a lgebra dos racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.3 compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.4 demonstracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3.5 equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3.6 m.m.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 interpretacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4.1 A reta e os racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4.2 os irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.3 racionais na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Construcao geometrica de R. 1275.1 os reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2 algebra na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1 A adicao em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.2 A multiplicacao em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2.3 corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Funcoes Especiais 1416.1 funcao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2 Progressao aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Notacao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.2.2 Soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 Graficos das funcoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3.1 Coeficiente angular de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.2 Retas e suas equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Equacao da reta que nao passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.5 Equacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.6 Discussao da equacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.7 Sistema de Equacoes do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.7.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8 Problemas do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.8.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.8.2 Solucao de alguns exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.9 Progressoes geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.10 Funcao quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.10.1 A funcao padrao y = f(x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.11 O grafico de uma funcao do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.11.1 A forma padrao x 7→ (x− a)(x− b) . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.12 Equacao do 2ograu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.12.1 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.12.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.12.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.12.4 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.12.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.13 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.13.1 A historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.13.2 Construcao de um logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.13.3 Construindo outro logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.13.4 Os logaritmos decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.13.5 A base de um logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.14 Grafico de uma funcao logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.15 Funcao inversa de uma funcao logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.15.1 Troca de base do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.16 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7 Numeros Complexos 2457.1 incompletitude, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.1.1 nu meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2467.1.2 A representacao geometrica dos complexos . . . . . . . . . . . . 248
7.2 Numeros complexos: extensao dos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.3 Modulo, argumento e conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.4 Intepretacao geometrica do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.5 Raizes de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8 O anel dos polinomios. 2678.1 numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.2 polino mio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.3 estrutura alge brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.3.1 sobre os exercı cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2748.4 estrutura dos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808.5 divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.5.1 resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Bibliografia ............................................................................... 287 Indice remis-
sivo alfabetico.........287
Lista de Figuras
1.1 O conjunto universo e tres subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Um grafo com 6 nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 A uniao de tres conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 A intersecao de dois conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 A intersecao de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 A diferenca entre os conjuntos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Arvore de possibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 A ∪ B ∪ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3 n(A ∪ B ∪ C ∪ D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Histograma dos enfermeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Evoluco do preco do dolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 grafico de f(x) = x domınio A = {−10,−9,−8, ..., 10}. . . . . . . . . . . . 773.5 Grafico de f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6 grafico de f(x) = x + 1 domınio A = {−5,−9,−8, ..., 5}. . . . . . . . . . . . 793.7 f(x) = x2 esta funcao nao e sobrejetiva se domınio A = {−5,−4,−3, ..., 5};
contra-domınio =
{−25,−24, . . . , 24, 24}.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.8 diferenc a, funcao linear afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.9 a tangente do angulo α e a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.10 Os pontos em que uma funcao linear afim corta os eixos. . . . . . . . . . . 873.11 A funcao linear y = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 Fracoes equivalentes com denominadores diferentes 14
= 28
. . . . . . . . . . 1054.2 Racionais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 entre dois racionais sempre ha outro... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.6 Raizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados . . . . . . . . . 1305.2 Figuras semelhantes obtidas com um pantografo . . . . . . . . . . . . . . 1315.3 Soma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.4 Adicao e diferenca dos vetores ~a,~b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7
5.5 Multiplicacao, modulo em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6 Adicao, modulo, desigualdade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.7 A multiplicacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1 A soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2 Area do trapesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3 Coeficiente angular da reta e a razao da P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4 Varias reta, seus angulos, sentido dos angulos . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.5 Um par de numeros representa um ponto no plano . . . . . . . . . . . . . 1536.6 Equacao de reta que passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.7 duas retas paralelas, uma delas passa na origem . . . . . . . . . . . . . . 1566.8 Discussao geometrica, sistema de equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.9 O produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.10 Alguns pontos do grafico x 7→ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.11 Um grafico com mais densidade x 7→ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.12 Grafico de x 7→ x2 com alta densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.13 Uma parabola e sua translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.14 duas translacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.15 Homotetias da parabola padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.16 logaritmos base a; a ∈ { 1
5, 1
2, 2, e, 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.17 Primeira versao do grafico do logaritmo - base maior do que 1 . . . . . . . 2426.18 Grafico do y = log2(x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados. . 243
7.1 Representacao geometrica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.2 Produto de numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.4 Propriedades dos numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.5 Conjugado de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.6 A projecao de a + bi sobre S1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.7 As raızes da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.8 Raızes quartas da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.9 As raızes terceiras de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.10 Raızes quintas de 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.11 Raızes cubicas de 3 + 4i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.1 R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Introducao.Como usar este livro.
Este livro tem oito capıtulos que devem ser lidos em sequencia porque todo capıtulo depende do anterior. Dentro dos capıtulos ha secoes em que eles sao divididos e nosqueremos chamar sua atencao que o texto e completado com comentarios: observacoese as notas de rodape.
Os comentarios, o texto teorico, sao de nossa consideracao o material mais impor-tante do livro, mas nem sempre o mais facil. Sugerimos que voce inicialmente de-lhesmenos importancia e se concentre nos exercıcios.
Talvez voce deva ler as observacoes na ordem em que elas aparecerem, mas combaixa prioridade, numa primeira leitura. Para lhe permitir uma busca mais acuradade informacoes, o livro tem um ındice remissivo alfabetico, ao final, em que todosos conceitos que surgem nas observacoes se encontram indexados para que facilmentevoce retorne a eles quando achar necessario.
Os exercı cios foram escritos para serem feitos com auxılio de uma teoria mınima.A propria teoria deve ser surgir dos exercıcios.
Mas nao desprese totalmente a teoria, nela ha dicas de como se aprofundar nasolucao dos exercıcios. Em suma, quase todos os exercıcios podem ser resolvidos emmais de um nı vel, e voce deve resolve-los no nıvel em que puder, e depois tentaraprofundar a solucao.
Usamos uma convencao tipografica no livro, texto em italico representa materialque voce deve olhar com cuidado, possivelmente nao esta definido ainda e estamosusando a concepcao intuitiva do termo. Quando usarmos texto tipografico estare-mos fazendo referencia a um termo tecnico, ja definido anteriormente ou consideradobem conhecido como tal. Quando usarmos letra pequena estamos lhe querendo dizerque o assunto e polemico e que ha muito mais coisa para ser dito do que estamos con-seguindo dizer naquele momento. Usamos texto sublinhado para chamar sua atencaode um detalhe que poderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto emnegrito.
Queremos agradecer acomunidade de programacao livre e aberta sem a qual estelivro nunca teria sido escrito porque depende de programas de domınio publico parasua edicao, de programas de domınio publico para confeccao de graficos e simulacaocomputacional. Com o mesmo espirito este livro e colocado como copyleft umavariante da GPL - Gnu Public Licence. Uma copia da GPL pode ser encontrado emwww.debian.org. Quer dizer que voce pode copiar este livro para seu uso pessoal sempagar nada ao autor. Claro, se voce, quiser comercializar o livro entao um contratocom o autor, neste sentido, se torna obrigatorio.
Os leitores sao encorajados a entrar em contacto com o autores, por e-mail,tarcisiomember.ams.org, para qualquer assunto ligado a este livro.
Capıtulo 1
Teoria dos Conjuntos.
Na decada de 60 se iniciou uma renovacao de linguagem em matematica colocando o conceitode conjunto como modulo central de toda a construcao matematica.A razao bem simples para isto se encontra nos seguintes fatos:
1. As operacoes fundamentais com conjuntos servem de modelo concreto para asoperacoes fundamentais da logica. Em suma, estudar Teoria dos Conjuntos equivalea estudar uma realizacao do modelo da logica formal.
2. Todas as estruturas matematicas tem como objeto inicial uma famılia de conjuntos aqual se associam relacoes tıpicas da estrutura. Existem algumas excecoes a esta regra,teoria dos grafos por exemplo, mas se tratam de autenticas excecoes confirmando aregra geral . . .
Quer dizer que, estudando conjuntos estamos desenvolvendo a ferramenta basica para pro-duzir matematica, a logica formal, e estamos tambem produzindo os blocos basicos destaconstrucao.
1.1 O conceito de conjunto.
A grande dificuldade de se iniciar qualquer conversacao ou explanacao teorica residena definicao das ideias basicas, nas convencoes iniciais que vao servir de alicerce parao resto da construcao. No inıcio do seculo 20 este sentimento se concretizou vindo dasdificuldades sentidas pelos nossos predecessores no seculo 19 e se criou o conceito denocoes basicas que, junto com os postulados formariam, o background da teoria e seriaaceitas sem discussao, a menos que outra teoria seja desejada.
Conjunto e, para a Teoria dos Conjuntos, esta nocao primeira. Os que nos prece-deram no inıcio do seculo 20 e escreveram sobre esta teoria, ficaram circulando entrepalavras como agregado, lista ou conjunto, tentando com uma, justificar a outra. De-pois de algum tempo a frase “conjunto e uma ideia basica, que nao iremos definir”,comecou a prevalecer nos textos.
Nao definiremos conjunto como ninguem definiu para voce as primeiras palavrasda lingua que voce fala. Diziam-lhe, no comeco, que um determinado objeto erauma cadeira e que outro era uma mesa sem lhe apresentar nenhuma logica porqueuma cadeira nao seria uma mesa, ou vice-versa. Somente depois, quando voce ja haviaadquirido algum vocabulario basico e que lhe foi dado o direito de fazer perguntas. Paranao agir de forma tao autoritaria, daremos alguns exemplos de conjuntos, escreveremosalgumas frases iniciais de forma semelhante ao modo como voce aprendeu a falar...
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Escrevemos:
{a, e, i, o, u} e um conjunto,
“a” e um elemento deste conjunto,e, i, o, u tambem o sao.Temos uma simbologia para resumir a frase “a e um elemento do conjunto {a, e, i, o, u}”.
• Inicialmente damos um nome ao conjunto {a, e, i, o, u} escrevendo:
A = {a, e, i, o, u}.
• Depois diremos a ∈ A, em que o sımbolo “∈” le-se “pertence”.
• Entao as frases a ∈ A, e ∈ A, i ∈ A sao sentencas verdadeiras. Da mesma formaas sentencas:
b ∈ A, c ∈ A
sao falsas e a negacao delas e
b /∈ A, c /∈ A.
em que o sımbolo /∈ le-se ”nao pertence”.
Observacao 1 Sintaxe e linguagemNao fizemos nenhuma tentativa de definir os sımbolos
∈, /∈ .
Tudo que fizemos foi escrever frases para lhe mostrar qual era a sintaxe do uso destaspalavras.
Estamos construindo uma linguagem e o metodo se assemelha aquele usado noaprendizado da lingua materna: em lugar de explicar como sao as coisas, damos exem-plos mostrando como as coisas funcionam. As linguagens, sejam elas naturais oulinguagens de computador tem uma semelhanca que e preciso salientar:
• nomes
Ha sımbolos chamados nomes, os substantivos, que guardam o significado deobjetos com os quais fazemos algumas ou que fazem algumas coisas. Algunsdestes sımbolos sao chamados variaveis;
A e um nome que guarda o valor {a, e, i, o, u}. A e uma variavel.
Outros sımbolos tem um uso mais estavel, o valor deles e imutavel, e eles saochamados identificadores.
cadeira e um exemplo de identificador da linguagem brasileira, coisa e umexemplo de variavel da linguagem brasileira;
• predicativos Ha palavras que representam a ac~ao ou a qualificac~ao a serexercida sobre as variaveis, verbos ou conjuntos de palavras, chamados predica-tivos;
∈, /∈sao predicativos;
• controle do fluxo logico Ha palavras que representam a conexao logica ou ocontrole logico, enfim a decisao nas bifurcacoes, se, entao,controlam o fluxo logico da linguagem, sao pontos de decisao do discurso;
• operadores logicos A logica (e consequentemente a teoria dos conjuntos) temoperadores que transformam proposicoes em outras proposicoes,
e, ou,⇒,nao
sao operadores logicos.e, ou,⇒
sao operadores binarios, quer dizer que recebem dois parametros para modificarcriando um terceiro.
nao
e um operador unario, quer dizer, recebe um unico parametro para modificar.
A Matematica, como as linguagens de computador, tem estas caracterısticas. Oque difere a Matematica ou uma linguagem de computador das linguagens naturais ea ausencia de aspectos subjetivos, presentes nas linguagens naturais, que tornam ossubstantivos multi-valuados. Se espera que a Matematca ou as linguagens de computa-dor nao tenham semantica, portanto nao tenham ambiguıdades... mas existe tambemInteligencia Artificial, que e computacao e admite ambiguıdades.
Agora vem a primeira definicao. Nela vamos tomar alguns elementos basicos e lhesaplicar operadores logicos produzindo um novo elemento, ou conceito.
Definicao 1 SubconjuntoDado um conjunto A diremos que um outro conjunto B e um subconjunto do
primeiro, em sımbolos
B ⊂ A
se a frase seguinte for verdadeira
x ∈ B ⇒ x ∈ A.
Para demonstrar que um determinado conjunto e subconjunto de outro, temos queverificar, exaustivamente, a frase
x ∈ B ⇒ x ∈ A
para todos os elementos de B ou apresentar uma deducao logica desta frase.Por exemplo, o conjunto
V = {a, e, i, o, u}e um subconjunto de
A = {a, b, c, d, e, f, ..., z}V = {a, e, i, o, u} ⊂ {a, b, c, d, ..., z} = A.
porque Dem :
V e um conjunto de vogais (1.1)
A e o conjunto de todas as letras (1.2)
x ∈ V ⇒ x e uma letra ⇒ x ∈ A (1.3)
x ∈ V ⇒ x ∈ A ≡ V ⊂ A (1.4)
q.e.d .
Na demonstracao acima fizemos uma deducao logica da inclusao sem necessitarde fazer uma verificacao exaustiva, elemento por elemento, de que os elementos de Vtambem eram elementos de A. Vamos apresentar outro demonstracao em que, exaus-
tivamente, iremos testar a verdade V ⊂ A. Dem :
a ∈ V e a ∈ A (1.5)
e ∈ V e e ∈ A (1.6)
i ∈ V e i ∈ A (1.7)
o ∈ V e o ∈ A (1.8)
u ∈ V e u ∈ A (1.9)
q.e.d . Observe que um pouco mais acima haviamos escrito
A = {a, e, i, o, u}
e agora usamos V = {a, e, i, o, u}. Nao ha nenhum erro nisto, mas obviamente devemosevitar de usar tao seguidamente “valores” diferentes1 para uma variavel.
Exercıcios 1 Sintaxe e logica
1. nome, predicado, controle logico do fluxo, operacao
Identifique nas frases abaixo o que e nome, predicado, controle de fluxo
(a) x ∈ A
(b) A e B
(c) 6 A ou B
(d) Se x ∈ A entao x ∈ B
(e) Enquanto x ∈ A escreva x
(f) x ∈ A⇒ x ∈ B
2. Mostre que V = {0, 2, 4, 6, 8} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = A usando uma deducaologica, (isto e), sem verificar a veracidade de cada uma das possıveis relacoesx ∈ V ⇒ x ∈ A. Solucao: Como A e o conjunto de todos as numeros menores que10, entao para qualquer que seja x ∈ V , como x e numero par menor do que 10 entaox ∈ A isto e
x ∈ V ⇒ x ∈ A ⇐⇒ V ⊂ A
3. Apresente os elementos dos conjuntos definidos por
(a) {x ∈ N;x < 10}(b) {x ∈ N;x > 10}(c) {x ∈ N; 3 < x < 10}(d) {x ∈ N; 3 ≤ x < 10}(e) {x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 10}(f) {x ∈ N;x < 0}(g) {x ∈ N;x e par}(h) {x ∈ N;x e impar}
1isto e bem natural num programa de computador, mas deve ser evitado num texto paraleitura humana
4. Propriedades, “desigualdade” e “contido”
(a) Se P = {x ∈ N;x e par} e I = {x ∈ N;x e impar} entao e verdade que
• P ⊂ I ?
• I ⊂ P ?
(b) Dados dois numeros naturais, x, y ∈ N entao e verdade que (tricotomia)
a) x < y ou; b)x > y ou; c)x=y
(c) i. Descreva as propriedades que voce conhece de ”<”em N.
ii. Descreva as propriedades que voce conhece de ”⊂”entre conjuntos.
iii. Se voce fosse aplicar o adjetivo “fraca” a uma das duas relacoes <,⊂,qual das duas receberia o adjetivo, a partir do resultado dos dois itensanteriores.
5. Quais dos conjuntos seguintes, tomados dois a dois, sao diferentes:
, {}, {0}
Solucao: Todos sao diferentes:
• O conjunto {0} contem um elemento, o numero zero;
• O conjunto {} contem um elemento, o conjnto vazio;
• O conjunto e o conjunto vazio, nao tem elementos.
6. Construa um diagrama representando o conjunto U , universo, e mais os con-juntos A, B, C tal que
A 6⊂ B ; B 6⊂ A ; C ⊂ A ; C ⊂ B
Solucao: Observe na figura (fig. 1.1) pagina 12, a representacao grafica da solucao.
7. Considere A = {0, 1, 2, 3} e determine:
(a) O numero de subcojuntos de A.
(b) Quantos subconjuntos de A possuem 2 elementos.
(c) Quantos subconjuntos de A possuem 4 elementos.
1.2 Conjunto e estrutura.
Voce viu um primeiro exemplo de estrutura em dos exercıcios acima quando lhe pe-dimos para descrever as propriedades de “<” em N ou as propriedades de “⊂” entreconjuntos. Vamos discutir mais a fundo este conceito agora. Lembre-se do metodoque adotamos, nao vamos dizer-lhe tudo, voce tera que descobrir os fatos a partir dosexemplos.
Exemplo 1 Figura plana.
• Um triangulo fica bem determinado pelos seus tres vertices.
• Um quadrilatero pelos seus quatro ve rtices.
• Podemos falar do conjunto Pde todos os polıgonos do plano.
A
B
C
E
F
U
Figura 1.1: O conjunto universo e tres subconjuntos
Outro conceito associado aos polıgonos e “area”. Podemos criar uma estrutura as-sociada aos possıveis polıgonos determinados por conjuntos finitos de pontos do plano,que vao constituir os vertices dos polıgonos. Se aplicarmos o metodo “area” a esteconjunto de polıgonos, e se designarmos este metodo com a letra A, estamos fazendoreferencia aestrutura (P,A).
Exemplo 2 Grafos
Um conjunto finito de pontos do plano determina um polıgono mas podemos ve-losobre outro enfoque.
A figura (fig. 1.2) pagina 13, contem um exemplo de grafo com varios caminhostendo como oirgem O. Por exemplo
OABCD, OCD, OACD, OED.
Observe que as setas indicam o sentido do fluxo.
Um grafo e um metodo associado a um polıgono. Agora, em vez de calcularmosareas, estamos definindo caminhos possı veis entre os “nos”. O resultado e um grafo.
Se designarmos um grafo qualquer com a letra G agora estamos estudando (P,G).
Os grafos sao usados para modelar o fluxo do transito, ou as rotas de entregasde mercadorias, rotas de linhas areas, enfim tudo que envolver “caminhos” entre umconjunto de nos dados.
Agora os vertices se chamam nos.
Exemplo 3 Semelhanca
O
A
B
C
D
E
Figura 1.2: Um grafo com 6 nos
Se considerarmos ainda o conjunto de todos os polıgonos, podemos identificar, doisa dois, aqueles que sejam semelhantes. E um outro metodo que podemos associar aospolıgonos.
Podemos designar a semelhanca com o sımbolo ≈ e neste caso estamos estudando(P,≈).
Vejamos um exemplo bem diferente dos anteriores, mas sempre em torno do as-sunto: conjunto, metodo, estrutura.
Exemplo 4 Conjunto dos numeros naturaisNo conjunto N = {0, 1, 2, · · ·} podemos considerar o metodo adicao. Neste caso
estamos estamos estudando (N,+).Se, ao inves de associarmos aos numeros naturais o metodo adicao, lhe associarmos
o metodo multiplicacao, estaremos considerando a estrutura (N,·).
Vamos resumir as ideias contidas nos exemplos acima.
• metodos Associados ao conjunto dos polıgonos identificamos acima tres metodos:grafo, area, semelhanca.
Associado ao conjunto dos numeros naturais, identificamos dois metodos:adicao, multiplicacao.
Observe que esta listagem nao e exaustiva.
• estrutura Quando analisamos um conjunto e um metodo que esteja definidonele, estamos estudando uma estrutura. Se analisarmos mais de um metodo,estaremos estudando uma estrutura mais complexa. Fomos levados assim aconsiderar as seguintes estruturas:
1. (P ,G), (P ,≈), (P ,A) ;
2. (N, +),(N, ·)• estruturas mais complexas
– (P ,A,≈)
– (N,+, · )
Observacao 2 Conjunto finito e conjunto limitado.Os dois conceitos, conjunto finito e conjunto limitado sao diferentes.O conjunto dos pontos do plano limitado pelos lados de um triangulo, e um conjunto
limitado e isto significa que este conjunto pode ser colocado dentro de um cırculo. Emoutras palavras, o padrao para limitacao sao os cırculos.
Tudo que puder ser colocado dentro de um cırculo e limitado.Conjunto finito e aquele que cujos elementos podem ser contados. Neste caso a
frase “o numero de elementos do conjunto A e n” tem um sentido artimetico, e n ∈ N.O conjunto N pode ser representado sobre uma reta, neste caso ele aparece como
um conjunto de pontos que se “espalham” ao longo da reta a iguais intervalos.O conjunto N e um conjunto infinito: nos nao podemos colocar o conjunto N, re-
presentado na reta numerica, dentro de um cırculo. Assim, N e um conjunto ilimitado,tambem.
A frase“o numero de elementos do conjunto N e ∞”
nao tem um sentido aritmetico. O sımbolo ∞ nao e aritmetico nem e um numero,embora se possam fazer algumas extensoes dos metodos da aritmetica incluindo o seuuso.
Nos nao podemos contar os pontos que se encontram dentro de um triangulo, entaoo conjunto dos pontos limitados pelos lados de um triangulo e infinito. e um conjuntoinfinito e limitado.
Exercıcio 1 No ultimo paragrafo a palavra “limitado” foi usada duas vezes com sen-tidos diferentes. Voce conseguiria distinguir estes dois sentidos?
O simples exemplo de um triangulo ja nos permitiu divagar por tre s teorias ma-tematicas, isto mostra a riqueza do conceito “conjunto” que permite associar, (oudissociar), formas diferentes de analise dum objeto como um simples triangulo.
O metodo que utilizamos esta ligado ao conceito de elemento de um conjunto.Quando olhamos um triangulo como um conjunto finito, estamos nele identificandotres elementos apenas, os tres vertices. Quando pensamos na area, na medida, deum triangulo, estamos pensando no conjunto infinito formado por todos os pontos doplano limitado pelos tres lados.
Observe, entretanto, que area nada tem o que ver com a quantidade de pontos dotriangulo. A area do triangulo e finita, e um numero, e um triangulo e um conjuntoinfinito de pontos.
Quando pudermos identificar propriedades associadas aos elementos do conjunto,diremos que temos uma estrutura. Ha quem identifique conjunto como uma estrutura,seria uma estrutura zero, inicial.
Exercıcios 2 Identificacao de estruturas
1. triangulos, area, semelhanca
(a) Especifique uma estrutura usando os conceitos de triangulo e area. Listeas propriedades.
(b) Torne a estrutura anterior mais complexa agregando-lhe o conceito de se-melhanca. Liste as propriedades, (monte alguns exemplos afim de descobriras propriedades que podem ser listadas).
2. Considere o conjuntoA = {0, 1, 2, . . . , 9}.
(a) Use o conjunto A para indexar objetos. De exemplos.
(b) Verifique que nao tem sentido a expressao
x, y ∈ A⇒ x + y ∈ A.
Por que ?
(c) questao semelhante aanterior Use o conjunto
A = {0, 1, 2, . . . , 9}
para contar objetos. De exemplos.
(d) Verifique que agora a expressao
x, y ∈ A⇒ x + y ∈ A,
tem sentido, mas nem sempre e verdadeira. De exemplos.
3. Voce tem certeza de que sempre que vir um numero, ele de fato e um numero?
4. Comente a seguinte frase: o problema detectado nos itens acima se deve anossa pobreza de linguagem, usamos o conjunto A duas vezes, com sentidosdiferentes. Voce conhece outras situacoes semelhantes a esta? De exemplos.Haveria solucao para o problema que detectamos?
5. conjunto, metodo, estrutura
(a) Monte uma estrutura com os conceitos:
{H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
+
(b) Descreva as propriedades da estrutura (H,+).
(c) Torne a estrutura anterior mais complexa incluindo mais algum outrometodo que possa ser aplicado aos elementos do conjunto basico, por exem-plo < .
(d) Verifique se ha alguma relacao entre os dois (ou mais) metodos que vocedefiniu, se houver faca uma especificacao detalhada da estrutura.
6. Repita o exercıcio anterior com o conjunto N dos dos numeros naturais.
7. area Qual e a definicao de area?
8. Faca uma frase com os conceitos “area”e “regiao”.
Exemplo 5 Dados estruturados.
1. “tre s agregados diferentes”
Se olharmos para o “aglomerado” seguinte de numeros:
1107991334
eles podem nos lembrar muitas coisas. Se perguntassemos a varias pessoas o queeles significavam poderiamos obter muitas respostas.
Mas se mostrassemos as pessoas os mesmos numeros assim dispostos:
11/07/99 : 13 : 34,
algumas pessoas, facilmente, identificariam aı uma data, um dia do ano, seguidode uma hora.
Tambem poderıamos ter apresentado os algarismos assim:
01107991334
e, ainda com certa hesitacao, alguem poderia arriscar: “nao seria um numerode telefone alı de Sao Paulo?”
Pois e, o que mudou nos tres exemplos?
2. um agregado com regras algebricas. O que torna diferentes
11/07/99 : 13 : 34 e 01107991334 ?
Claro, um desses agregados representa um “ponto” no tempo em que vivemos.“11/07/99 : 13 : 34” obedece a uma regra algebrica “muito complicada” mas quenos dominamos. Se 1 representar “um minuto”, sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 1 = 11/07/99 : 13 : 35.
Se 59 representar “59 minutos, tambem sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 59 = 11/07/99 : 14 : 33,
apesar da regra complicada que tem aı de passagem de uma casa para a outra.Se 2 : 3 : 10 representarem “dois dias, 3 horas e 10 minutos, sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 2 : 3 : 10 = 13/07/99 : 16 : 44.
Entao, concluimos, existe uma operacao de adicao, munidas regras bem compli-cadas, mas que todos conhecemos, de modo que podemos discutir qual e estruturaaditiva do conjunto que vamos chamar de
T ,
o tempo, junto com a operacao de soma de tempos:
(T ,+).
Nao vamos entrar nestes detalhes agora, mas todos entendemos o que isto sig-nifica.
3. um agregado sem operacoes algebricas. Se tentassemos somar
(011)334575 + (021)223443
ninguem duvidaria em desatar numa gargalhada: nao se soma numero de tele-fone.
Mas se houvesse um catalogo de telefones ordenado pelos nu meros, seria util.Quantas vezes voce tem um numero anotado num papel e nao sabe de quem e?Ninguem duvidaria que
(021)223443 < (021)332331
no sentido de que (021)223443 deveria vir antes de (021)332331 na listagem.
Embora nao possamos somar numeros de telefones, eles tem propriedades algebricas,pouco utilizadas, e verdade. Existe uma “ordem” definida no conjunto dosnumeros dos telefones.
Exercıcios 3 Criando estruturas.
1. Defina a estrutura “calendario”, estabeleca qual e o seu conjunto basico (ouconjuntos) seus metodos, etc...
2. Defina a estrutura “catalogo telefonico”, conjunto basico, metodos, etc...
3. Defina a estrutura “livro”, faca uma especificacao o mais completa possıvel.
4. Defina a estrutura “figuras planas”, conjunto basico, metodos etc...
5. Torne a estrutura “figuras planas” mais complexa adicionando um metodo parapara comparA¡-las e decidir quando as figuras sao semelhantes.
6. Torne a estrutura “figuras planas” ainda mais complexa, adicione um metodoque associe a cada figura um numero chamado area. Especifique detalhadamentea estrutura, conjuntos, metodos, propriedades.
7. difıcil... Acima falamos de uma ordem no catalogo telefonico, o que subentendeque existam varias ordens. Tente encontrar tres exemplos de estrutura de or-dem, diferente da habitual: a ordem nos conjuntos numericos. Vamos estudar“ordem” no capıtulo 3, (de um salto ao capıtulo 3).
Os exemplos dados acima mostram que as informacoes sao “agregados” de algaris-mos e letras dispostos segundo certas regras especıficas de uma determinada “estru-tura”.
Algarismos e letras sao apenas dois tipos diferentes de “caracteres” que formam onosso “alfabeto escrito”. Existiria outro tipo de “alfabeto” que nao seja o escrito?
Nao definimos estrutura, mas usamos a palavra em diversos contextos de formas apassar-lhe o seu sentido intuitivo. Observe o livro de Leopoldo Nachbin, [5] se quiserse iniciar agora nas estruturas algebricas, ou [3] que e um pouco mais avancado que oanterior.
Os exercıcios destes capıtulo tratam das propriedades dos conjuntos, dos seus ele-mentos, dos sub-conjuntos de um conjunto universo dado.
1.3 Conjunto, elemento e subconjunto.
Neste momento nos encontramos ante dois tipos de objetos: conjuntos, elementos.Entre os dois existe uma diferenca hierarquica.
x ∈ x e sempre falso x ⊂ x e sempre verdadeiro (1.10)
Na segunda equacao estamos dizendo que x e um conjunto, na primeira equacaoestamos dizendo que x e simultaneamente conjunto e elemento, isto e impossıvel. Naoiremos insistir numa discussao direta sobre a diferenca entre elemento e conjunto.Esta diferenca sera salientada construtivamente.
Exercıcios 4 Inclusao e pertinencia
1. Considere N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Liste os elementos dos conjuntos abaixo:
a) A = {x ; x ∈ N ; x < 10} b) B = {x ; x ∈ N ; 5 < x < 15}c) C = {x ; x ∈ N ; x < 0} d) D = {x ; x
2∈ N ; x < 10}
e) E = {x ; x3∈ N ; x < 10} f) F = {x ∈ N ;x e primo; x < 30}
2. Qual das sentencas seguintes e verdadeira:
a) 3 ∈ A b) 0 ∈ A c) −3 ∈ A d) A ⊂ Be) B ⊂ A f) C ⊂ A g) D ⊂ A h) E ⊂ Ai) D ⊂ B j) E ∈ A k) E ⊂ A l) E ⊂ D
3. Use diagramas de Venn para representar as relacoes que for possıvel entre osconjuntos A, B, C, D, E.
4. Escreva todos os subconjuntos do conjunto
A = {0, 1, 2, 3}.
O conjunto assim obtido se chama P(A), o conjunto2 das partes de A.
(a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos.
(b) Faca um diagrama de Hasse com os elementos de P(A).
(c) Faca uma tabela indicando a frequencia dos elementos de P(A) pelo numerodos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2elementos.
5. estrutura de P(A).. Considere agora A = {0, 1, 2}.(a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos.
(b) Faca um diagrama de Hasse com os elementos de P(A).
(c) Faca uma tabela indicando a frequencia dos elementos de P(A) pelo numerodos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2elementos.
6. Repita a questao anterior com A = {0, 1}.7. Repita a questao anterior com A = {0}.8. Repita a questao anterior com A = {}.2O conjunto dos subconjuntos de A.
9. Colecte as tabelas de frequencia feitas nas questoes acima. O resultado deveser o triangulo de Pascal. Vamos chamar de linha de ordem n do triangulo dePascal aquela que corresponder a um conjunto com n elementos. Quer dizer quea primeira linha, contendo apenas 1 e a linha de ordem 0. Verifique que que osnu meros em cada linha sao os numeros combinatorios:
Cpn = (n
p ).
Voce podera ler Cpn como a quantidade de subconjuntos com p elementos que
podemos encontrar num universo com n elementos.
10. Escreva o triangulo de Pascal ate a linha de ordem 10 e compare com os con-juntos:
• A = {}.• A = {0}.• A = {0, 1}.• A = {0, 1, 2}.• . . .
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.11. Seja A = {1, 2, {1, 2}, 3, {3}, 4}. Determine quais das afirmacoes abaixo e ver-
dadeira, justificando seu entendimento.
a) {1, 2} ∈ A. b) {1, 2} ⊂ A. c) {1, 2, 3} ∈ A. d) {1, 2, 3} ⊂ A.e) {3} ∈ A. f) {3} ⊂ A. g) 3 ∈ A. h) A ⊂ A
12. Considere U = {1, 2, 3}. Se A, B forem sub-conjuntos arbitrarios de U, encontreo numero de relacoes do tipo A ⊂ B que e possıvel escreverem-se.
As 15 primeiras linhas do Triangulo de Pascal1
1 11 2 1
1 3 3 11 4 6 4 1
1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 11 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
Observacao 3 Cardinalidade.Nesta secao trabalhamos com os conceitos,
1. Conjuntos;
2. metodos e estruturas;
3. pertinencia;
4. inclusao;
5. numero de elementos de um conjunto.
Mais a frente, o capıtulo 2, sera dedicado exclusivamente ao ultimo assunto.Se um conjunto for finito, tem sentido falar do numero de seus elementos. Se
um conjunto nao for finito, exatamente, isto quer dizer que ele nao tem mais umdeterminado numero de elementos, mesmo porque nao ha “numero infinito”.
Uma extensao deste conceito e a cardinalidade. Quando nao pudermos falar do“numero de elementos de A”, entao falaremos do “cardinal de A.” Voltaremos nofinal do capıtulo 2 a este assunto.
1.4 Operacoes com conjuntos
Uniao, intersecao e diferencaNesta secao discutiremos tres operacoes (metodos) entre conjuntos: uniao, intersecao e dife-
renca. Faremos um paralelo entre estas operacoes e as operacoes da logica formal.
1.4.1 Uniao e intersecao de conjuntos.
Definicao 2 Uniao, A⋃
B.Dados dois conjuntos A, B dizemos que
AUB = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}
Diagramas de Venn facilitam a compreensao das operacoes mas tambem podeminduzı-lo em erros logicos.
A figura (fig. 1.3), pagina 21 ilustra a uniao de conjuntos. Usamos a uniao quandoquisermos reunir, num so conjunto, os elementos de dois ou mais conjuntos.
Definicao 3 Intersecao, A⋂
B.Dados dois conjuntos A, B dizemos que
A ∩B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}
isto e, para que x ∈ A ∩ B, x tem que ser simultaneamente elemento de cada um dosconjuntos.
A figura (fig. 1.4), pagina 22 ilustra a intersecao de dois conjuntos. Usamos aintersecao quando quisermos os elementos que forem comuns a dois outros conjuntos.Na figura (fig. 1.5) pagina 22 voce pode ver duas retas paralelas, que sao dois conjuntos“sem nenhum ponto de intersecao”. Neste caso o conjunto vazio resolve o problemacriando uma solucao:
r⋂
t = ∅.
Exercıcios 5 1. Calcule A ∩B e A ∪B se
Figura 1.3: A uniao de tres conjuntos.
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}• B = {5, 6, 7, 8, 9}
2. Se V representar o conjunto de todas as vogais, e C o de todas as consoantes,calcule V ∩ C, V ∪ C.
3. Represente com diagramas de Venn, (identifique as expressoes que estiveremindefinidas):
a) A ∪B; b) B ∪A ; c) A ∩B; d) A ∪B ∪ C;e) A ∩B ∩ C; f) (A ∪B) ∩ C; g) A ∪B ∩ C; h) (A ∩B) ∪ C;i) A ∩B ∪ C; j) A ∪ (B ∩ C);
4. Verifique quais das sentencas abaixo sao verdadeiras:
(a) A ∪B = B ∪A;
(b) B ∩A = A ∩B;
(c) (A ∪B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
(d) (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(e) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
(f) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(g) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
(h) A ∪B ∩ C = A ∪ (B ∩ C);
5. Qual das afirmacoes abaixo e a falsa:
• A ∩B ⊂ A;
• A ∪B ⊂ A;
AB
Figura 1.4: A intersecao de dois conjuntos
r
t
Figura 1.5: A intersecao de duas retas
• A ⊂ A ∪B;
• A ∩B ⊂ A ∪B;
A unica afirmacao falsa pode ser verdadeira em caso particular dos conjuntosA, B. Explicite tal caso.
Observacao 4 Indefinicao de expressoes.Tecnicamente falando, as expressoes:
• A ∪B ∪ C;
• A ∩B ∩ C;
• A ∪B ∩ C;
• A ∩B ∪ C;
estao indefinidas, porque nao fica claro que operacao deve ser efetuada primeiro.Aqui que se ve a importancia da propriedade associativa que algumas vezes
vale, outras vezes nao vale.
Por exemplo, se a, b, c ∈ N, a, b, c 6= 0, entao
(a÷ b)÷ c 6= a÷ (b÷ c),
porque
(a÷ b)÷ c =a
bcenquanto que
a÷ (b÷ c) = a÷ b
c= a · c
b=
ac
b;
Concluimos que a “divisao nao e associativa.”Como uniao e associativa, entao A ∪ B ∪ C esta bem definida. Da mesma forma
como a intersecao e associativa, entao A ∩B ∩ C esta bem definida.Como a intersecao e distributiva relativamente a uniao entao
A ∪ (B ∩ C) 6= (A ∪B) ∩ C
o que deixa a expressao “A∪B∩C” indefinida. Veja que nos sabemos realizar, apenas,duas operacoes de cada vez, entao temos que interpretar uma expressao como A∪B∩Ccomo uma das duas formas escritas acima com parentesis.
Fazendo um diagrama de Venn voce vai se dar contas rapidamente de que as duasexpressoes
A ∪ (B ∩ C) ; (A ∪B) ∩ C
sao diferentes. Ao mesmo tempo este diagrama de Venn e uma demonstracao destadesigualdade porque apresenta um exemplo em que nao vale a igualdade.
Enfim,
• quando a propriedade associativa valer, a repeticao de uma operacao fica bemdefinida sem necessidade de patentesis. Quando ela nao valer, somos forcadosa indicar com parentesis o que queremos dizer;
• quando a propriedade distributiva valer entre duas operacoes somos forcados aindicar qual a expressao desejada com o uso de parentesis:
a ∗ b + a ∗ c = a ∗ (b + c) 6= (a ∗ b) + c
Nas linguagens de programacao este problema de interpretacao de texto e contor-nado criando-se uma prioridade entre as operacoes.
O produto tem prioridade sobre a adicao e subtracao, com isto significando que“a + b ∗ c” vai ser entendido pela maquina como a + (b ∗ c).
Prioridade entre as operacoes
• primeiro se executam as potenciacoes e radiciacoes,
• depois as multiplicacoes e divisoes,
• finalmente as adicoes e as subtracoes.
Velha regra operatoria, que se ensinava antigamente, e da qual os computadoresainda se lembram...
Experimente com uma maquina de calcular:
• 32 ∗ 7 = 7 ∗ 32 = 63
• 3 ∗ 2 + 7 = 7 + 3 ∗ 2 = 42
• 6÷ 2 + 3 = 3 + 6÷ 2 = 6
1.4.2 Complementar e diferenca entre conjuntos.
O complementar de um conjunto A sao os elementos que nao pertencem ao conjuntoA relativamente a um outro conjunto chamado universo.
Observe a figura (fig. 1.6) na pagina 25. Nela estao representados tres conjuntosA, B,U. Os conjuntos A, B sao subconjuntos de U que se chama, por esta razao, con-junto universo.Na figura se encontra hachuriado o complementar de B relativamenteao universo.
O complementar e designado com o sımbolo Bc ou alumas vezes com CUB. Nestaultima notacao se quer deixar claro que o complementar e um conceito relativo. Mu-dando o conjunto universo, muda o complementar.
Se define a diferenc a entre dois conjuntos assim:
Definicao 4 Diferenca entre conjuntos.Dados dois conjuntos A, B
A−B = {x ; x ∈ A e x 6∈ B}
Se produz um novo conjunto a partir do conjunto A, formado de todos os ele-mentos de A que nao pertencam a intersecao A ∩B :
A−B = A− (A ∩B).
Na figura (fig. 1.6) pagina 25, voce pode ver a diferenca entre os conjuntos A,Bnesta ordem. Observe que
A− (A ∩B) = A−B (1.11)
B −A = B − (A ∩B) (1.12)
A−B 6= B −A (1.13)
estas equacoes contem as ideias da demonstracao do seguinte teorema:
Teorema 1 Diferenca nao e comutativa
A−B 6= B −A
Da definicao podemos concluir uma propriedade da diferenca de conjuntos:
Teorema 2 Diferenca e complementar
A−B = A⋂
Bc
Exercıcios 6 1. Calcule A−B para os conjuntos abaixo:
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}(b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}(c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {7, 8, 9, 10}(d) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}(e) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}(f) A = {7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
U
A B
A − B
Figura 1.6: A diferenca entre os conjuntos A e B
2. Faca os diagramas de Venn correspondentes a cada um dos itens na questaoanteior.
3. Deduza do exercıcio 1 se A−B = B −A e verdadeira ou falsa.
4. Prove que A−B = A− (A ∩B).
5. Prove que se A ∩B = A ∩ C entao A−B = A−C.
Observacao 5 Provar, verificar, . . . se convencer.Um trauma comum entre as pessoas que estudam Matematica se encontra associado
ao conceito de provar. A palavra verificar e aceita com menor carga de preconceitosdo que provar.
E preciso perder e combater este preconceito. Ha muitas coisas difıceis em Ma-tematica, como as ha em Biologia, Quı mica, Fısica ou Historia. O conhecimento eformado de fatos obvios para uns, (um mesmo teorema pode ser uma trivialidade paraalguem) e uma barreira teorica para outros.
Mas, difıcil, e apenas aquilo que vai tomar mais tempo para ser compreendido, naoe impossıvel, e apenas difıcil.
Nao ha outro meio de fazer Matematica, sem fazer demonstracoes, esta e a essenciade nossa disciplina. Mas ha passos para conduzir-nos a compreensao de um teoremae consequentemente a sua demonstracao,
• um grafico,
• algumas construcoes geometricas,
• alguns modelos concretos com papel, ou sucata,
• um programa de computador.
Todos sao meios justos para ampliar nossa intuicao e criar uma generalizacao queconduza a construcao de uma demonstracao. Esta tem que ser o objetivo final.
Sem traumas.
1.5 Estrutura algebrica nos conjuntos
Vimos que as operacoes de uniao e intersecao tem propriedades semelhantes as que osnumeros tem no conjunto N. Por exemplo, a uniao e a intersecao sao comutativas. Adiferenca entre conjuntos nao e comutativa, da mesma forma como a diferenca entreos numeros que tambem nao e comutativa.
Podemos nos perguntar que estrutura podemos descobrir no conjunto P(X), o con-junto das partes de X e as operacoes definidas em P(X).
Uma pergunta mais direta: quais sao as propriedades de (P(X),∪) em que P(X)e o conjunto das partes de X e ∪ e a operacao de uniao entre os subconjuntos de X.
Vimos que
• A uniao e associativa;
• A uniao e comutativa;
• Tem um conjunto que unido com qualquer outro conjunto reproduz o outro:
∅ ∪A = A ; A ⊂ X
quer dizer que o “conjunto vazio esta para a uniao como o zero esta para aadicao”.
Observe que estamos dizendo que
(N,+)
e parecido com(P(X),∪)
porque tem as mesmas propriedades. E esta semelhanca que chamamos de estrutura.Quer dizer que (N,+) e (P(X),∪) tem a mesma estrutura.
Exercıcios 7 Estrutura nos conjuntos
1. Uniao e Interseao Prove que (P(X),∩) tem as mesmas propriedades que (P(X),∪).Qual e o elemento neutro em (P(X),∩) ?
2. Diferenca de conjuntos Verifique quais sao as propriedades que valem para (P(X),−)em que “−” e a diferenca entre conjuntos.
3. Diferenca simetrica
Definicao 5 Diferenca simetrica
Definimos A△B = (A ∪B)− (A ∩B)
Prove que A△B = (A−B) ∪ (B −A)
4. Verifique quais sao as propriedades de
• E1 = (P(X),△) ; E2 = (N,−)
• E3 = (P(X),∪) ; E4 = (N,+)
• E5 = (P(X),∩) ; E6 = (N, ·)
• E7 = (N,+, ·) ; E8 = (P(X),△,∩)
• E9 = (P(X),△,∪) ; E10 = (P(X),∪,∩)
5. Quais das estruturas estudadas acima sao semelhantes? (faca listagens daquelasque forem semelhantes entre si).
6. Uma pessoa pode receber sangue de um doador se tiver todos os antıgenos dodoador. Traduza esta frase usando conjuntos e subconjuntos. Faca uma tabelade dupla entrada que mostre quais sao as possiblidades de que X possa recebersangue de Y.
7. Se A, B forem conjuntos com um numero finito de elementos, entao
card(A) + card(B) = card(A ∪B)− card(A ∩B)
Se A for o conjunto dos numeros pares positivos menores que 200 e B for oconjunto dos multiplos de 3 menores que 250, calcule a quantidade elmentos daintersecao destes dois conjuntos.
8. Uma pesquisa de opniao, encomendada por um programa de televisao, tabulouda seguinte forma os resultados de sua pesquisa:
nıvel homens mulheres rapazes mocas meninos meninas
pessimo 1 2 25 23 14 16
suportavel 2 3 30 30 16 15
bom 27 30 3 3 16 17
excelente 30 25 2 2 14 12
Total de entrevistados: 360.
(a) Transforme esta tabela em percentuais relativos ao total de 360 entrevista-dos.
(b) Decida quais das afirmacoes seguintes e verdadeira e apresente uma justi-ficativa:
• O programa agradou aos homens.
• O programa agradou as mulheres.
• O programa agradou aos rapazes e as mocas.
• O programa agradou aos adolescentes.
• O programa agradou as criancas.
9. Considere a tabulacao do exercıcio 8 27. Verifique que todos os entrevistadospodem ser classificados em termos de uma das categorias:
A adulto, M masculino, G gostou
voce, possivelmente, precisa definir o que e adulto...
• Quantos pertencem a classe A = Ac
• Quantos pertencem a classe A ∪M
• Quantos pertencem a classe A ∪G
• Quantos pertencem a classe A ∪ G
• Quantos pertencem a classe A ∩ G
10. Uma pesquisa da divisao municipal de assistencia social verificou que sobre 250famılias entrevistadas, se contavam 150 que tinham carro, 100 que possuiamgeladeira, 59 que tinham telefone, 31 que tinham carro e geladeira, 22 que tinhamcarro e telefone, 7 que possuiam geladeira e telefone e 4 possuiam carro, geladeirae telefone.
• Quantas famılias possuem apenas um dos itens considerados ?
• Quantas famılias nao possuem nenhum dos itens considerados ?
1.6 O produto cartesiano
Por definicao temos:
Definicao 6 Produto cartesiano A x B.
A x B = {(x, y) ; x ∈ A e y ∈ B}
diremos que A x B e o conjunto dos pares ordenados formados dos elementos de Ae de B, nesta ordem. Quer dizer que
Teorema 3 A x B 6= B x A.
Observacao 6 Um novo tipo de conjunto A x B. Ha uma “semelhanca” aparentecom a intersecao. A semelhanca se encontra na simultaneidade da conjuncao “e”,entretanto as duas sentencas se referem a “variaveis” distintas. Na verdade e umaoperacao muito especial porque produz um tipo de conjunto totalmente diferente dosconjuntos iniciais3 A, B.
Quando estudarmos os conjuntos numericos veremos que este metodo, da cons-trucao de pares ordenados, e o no da questao para produzir o conjunto Q a partir dosinteiros. Um numero racional vai ser um novo objeto construıdo a partir dos numerosinteiros ja existentes, vai ser um par ordenado. Observe que
(a, b) =a
b6= b
a= (b, a).
Este exemplo, com o os numeros racionais, demonstra o teorema 3.
Exemplo 6 Uma tabela de dupla entrada e um produto cartesiano. Abaixo voce temum exemplo tıpico de produto cartesiano tirado do “dia a dia”, uma tabela de duplaentrada. Por exemplo a “matriz”de uma planilha eletronica. A unica diferenca estaem que colocamos em cada celula a expressao (x, y) correspondente:
y \ x 1 2 3 4 5 6
a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) (5,a) (6,a)
b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) (5,b) (6,b)
c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) (5,c) (6,c)
d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) (5,d) (6,d)
e (1,e) (2,e) (3,e) (4,e) (5,e) (6,e)
f (1,f) (2,f) (3,f) (4,f) (5,f) (6,f)
3apesar disto, veremos, depois, que e possıvel identificar tanto A como B dentro de A x B. . .
Quando voce usa uma planilha eletronica, vai colocando os valores que interessa“contabilizar”nas celulas da planilha. Aqui escrevemos em cada celula o seu “en-dereco”. (1, a) e o “enderec o”da primeira celula da planilha. Todas as celulas naprimeira linha tem a coordenada y = a. Todas as celulas na primeira coluna tem acoordenada x = 1.
Os programas de planilha eletronica usam uma notacao que parece ser diferente doque expusemos acima. Por exemplo designam as celuas por A1, A2 enquanto que nosestamos usando a notacao (1, a), (2, a). A diferenca e aparente. Voce tambem pode veraqui um exemplo de indexacao.
Exercıcios 8 Produto cartesiano de conjuntos
1. Faca os produtos cartesianos, dois a dois, dos conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 3} ; B = {a, e, i, o, u} ; C = {1, 2, 3, 4, 5}
2. Verifique, com os exemplos construidos no exercıcio anterior, que voce podeidentificar os elementos de A dentro do produto A x B, na verdade voce podeidentificar cinco “copias”de A dentro de A x B. Quantas copias de B voceconseguiria identificar em A x B ?
3. Generalize o exercıcio anterior Mostre que no conjunto E x F podemos iden-tificar uma copia do conjunto E. Se o conjunto F tiver 10 elementos, quantascopias de E poderiamos identificar ?
4. Uma garota tem 12 blusas e 5 calcas jeans. Durante quantos dias seguidos elapode sair com roupa diferente ? Mostre a esta garota um algoritmo para que ela,facilmente, monte o seu plano estrategico de uso das roupas.
5. Prove que
a) (A ∪B) x C = A ∪ C x B ∪ C b) (A ∩B) x C = A ∩ C x B ∩ Cc) (A−B) x C = A− C x B − C d) (A x B) x C = A x (B x C)e) A x ∅ = ∅ f) A ⊂ B ⇒ A x C ⊂ B x Cg) A ⊂ B ⇒ A ∩B = A h) A ⊂ B ⇒ A ∪B = Bi) A△B = B△A j) (A△B)△C = A△(B△C)k) A ∩ (B△C) = (A ∩B)△(A ∩ C) l) A△∅ = ∅ ; A△A = ∅
6. Defina Ao = A x {0}. Mostre que A0 ⊂ A x {0, 1, 2, 3}.
Capıtulo 2
Analise Combinatoria
Simples.
Analise combinatoria e parte antiga, e digamos, hoje, elementar, de uma teoria Matematicachamada combinatoria. A combinatoria se preocupa com os possıveis agrupamentos que umconjunto de objetos possa ter e com as estruturas Matematicas que se possam descobrir paratais agrupamentos. Discutir poliedros e suas deformacoes e um assunto da combinatoria,discutir “quantas” diagonais pode ter um determinado polıgono, tambem e da combinatoria
porem faz parte de sua parte elementar que e analise combinatoria simples. O assuntodeste capıtulo e este ultimo.
2.1 Que e Analise Combinatoria
A analise combinatoria e a parte elementar da combinatoria onde contamos onumero de formas diferentes que um agrupamento de objetos pode assumir. Exemplosfalam mais do que mil palavras:
Exemplo 7 Arranjo das letras {a, e, i, o, u}.A palavra arranjo e uma palavra tecnica da teoria e logo vamos voltar a falar
dela. De imediato vamos tratar do assunto informalmente, sem nos preocuparmoscom o detalhamento tecnico.
O que queremos exemplificar e: “de quantas maneiras diferentes podemos retirartres letras do conjunto das vogais”. Se voce estiver lendo atentamente, reagira dizendo:depende, com repeticao ou sem repeticao. Claro, muda tudo se for de uma forma ouda outra. Nas placas dos carros os arranjos de tres letras admitem repeticao e nospodemos nos perguntar quantas placas diferentes os arranjos de tres letras permitemproduzir. Vamos deixar o calculo para depois.
Exemplo 8 Outro arranjo das letras {a, e, i, o, u}.Mas, agora, suponha que as vogais representem, sob forma de codigo, os nomes
de cinco candidatos. Nos queremos determinar quantas chapas diferentes, compostasde tres candidatos, poderemos compor. Observe que nao tem mais sentido pensar emaae, pois o candidato a, nao pode aparecer duas vezes na mesma chapa. Quer dizer,estamos procurando os arranjos sem repeticao.
35
Exemplo 9 Arranjos em que a ordem importa.A complicacao1 deste exemplo ainda pode ser maior! Para compor a chapa, preci-
samos de
• um presidente,
• um vice-presidente e
• um tesoureiro,
e digamos que seja esta a ordem hierarquica. Isto quer dizer que a chapa aei e diferenteda chapa aie porque de uma para outra trocamos vice e tesoureiro.
Poderiamos seguir dando exemplos que mostrem como criar tipos diferentes dearranjos, mas assim passariamos do escopo de uma introducao.
Observacao 7 Informalmente: que sıo arranjos ?Vamos apresentar uma definicao formal de arranjos mais a frente.
• Quando importa a repeticao Como no caso das placas de um carro, em que po-demos ter AAH, temos arranjos com repeticao de n elementos. Neste cason = 3.
SımboloA3
26
porque existem 26 letras no alfabeto e estamos considerando 3 de cada vez. Maisgenericamente:
Apn
quando estivermos arranjando os n elementos de um conjunto em “pacotes” dep elementos.
• Quando a repeticao nao e possıvel Como no caso dos codigos representando oscanditados, entao AAH nao e permitido, temos arranjos sem repeticao de nelementos. Neste caso n = 3. Dizemos ainda arranjos simples de n elementos.
SımboloA3
26
porque existem 26 letras no alfabeto e estamos considerando 3 de cada vez. Maisgenericamente:
Apn
quando estivermos arranjando os n elementos de um conjunto em “pacotes” dep elementos.
• Logo falaremos de subconjuntos com p elementos tirados de um universo com nelementos. Neste caso usaremos o sımbolo
Cpn
para representar o numero de subconjuntos com p elementos que podemos extrairdo universo.
1Discutiremos muitas coisas complicadas em Matematica, complicadas sim, mas nao im-possıveis de se as entender. Dizer que a Matema tica e facil e uma mentira grosseira.
Para terminar a introducao, deixe-nos dizer que vamos apresentar a teoria de modopouco habitual, vamos usar a teoria dos conjuntos que desenvolvemos no primeirocapıtulo.
De qualquer forma e este o assunto deste capıtulo, queremos contar de quantasmaneiras diferentes podemos agrupar elementos de um dado conjunto universo, oucontar quantos subconjuntos tem o conjunto universo de uma determinada natureza.A palavra chave, neste capıtulo, e contar.
2.2 Conjunto das partes.
No primeiro capıtulo estudamos o conjunto P(A) cujos elementos eram os subconjuntos deA. Um dos instrumentos que surgiram foi o triangulo de Pascal que faz uma descricaodetalhada de todos os elementos de P(A). Vamos relembrar estes fatos com os olhos voltadospara os nossos interesses combinatorios.
Inicialmente vamos estudar subconjuntos de um conjunto universo. Vamos usar as duasnotacoes
Cpn = (n
p )
para indicar quantos subconjuntos com p elementos podemos tirar de um conjunto A quetem n elementos. Observe que em (n
p ) a posicao dos numeros p, n e invertida, relativamentea outra notacao.
Depois vamos estudar as particoes de um conjunto que e uma colecao de subconjuntos deA selecionando todos os elementos de A.
Uma pergunta: Para que servem as combinacoes e as particoes? Uma resposta rapida
para esta pergunta seria: sao essenciais para qualquer estudo estatıstico de uma populacao.
Ao estudar uma grande populacao de indivı duos, e impossıvel perguntar a todos os indivıduos
qual e sua opiniao ou sua classe social. Mas se classificados adequadamente, e possıvel fazer
uma inferencia bastante precisa do ponto de vista quantitativo e percentual de alguma questao
envolvendo os indivı duos da populacao. Neste capıtulo nao discutiremos metodos estatısticos,
mas os assuntos aqui tratados sao basicos para estudos de estatıstica.
Relembrando, e resolvendo o exercicio (ex., 10) na pagina 19, para construir otriangulo de Pascal, consideramos uma sucessao de conjuntos com numero crescentede elementos,
A ∈ {{}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}.Quer dizer que A pode ser o vazio, {} ou A pode ser um conjunto unitario A = {1}, eassim por diante.
Analisamos entao qual era a estrutura de P(A) em cada caso.
• Se A = {} = ∅. Entao
P(A) = {A}. 1
Observe o que ja discutimos anteriormente, a questao da hierarquia. O operadorP cria um novo conjunto diferente de A de tal forma que A ∈ P(A). Nesteprimeiro caso,
P(A) = {A}.
Se o conjunto A = ∅, for vazio, entao P(A) = {∅} vai ser unitario.
• Se A = {1}. Entao
P(A) = {A, ∅}; 1 1
O conjunto das partes tem dois elementos, o conjunto vazio e um conjuntounitario. Observe novamente a questao da hierarquia:
A ∈ P(A) = {A, ∅}.
Agora como A tem um elemento, P(A) tem dois elementos, um deles e o proprioconjunto A.
• Se A = {1, 2}. Entao
P(A) = {A, {1}, {2}, ∅}; 1 2 1
Novamente A ∈ P(A).
• Se A = {1, 2, 3}. Entao
P(A) = {A, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}; 1 3 3 1
Agora comeca a se delinear a estrutura de P(A). O vazio e A estao semprepresentes, (no primeiro caso se confundiram...). Depois tem todos os conjuntounitarios, (vamos usar uma nova linguagem), vamos dizer “1 a 1”. Depois vemtodos os conjuntos “2 a 2”. Os numeros nas linhas do triangulo de Pascal
descrevem isto.
– Ha 1 conjunto “0 a 0” que e o vazio.
– Ha 3 conjuntos “1 a 1”, sao os subconjuntos unitarios de A.
– Ha 3 conjuntos “2 a 2”, sao os subconjuntos com dois elementos de A.
– Ha 1 conjunto “3 a 3” que e proprio A.
As experiencias feitas com o exercıcio 10, pagina 19, mostraram a matriz
As 7 primeiras linhas do Triangulo de Pascal1
1 11 2 1
1 3 3 11 4 6 4 1
1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Assim nos poderiamos prosseguir indefinidamente, mas desta forma o processo elento. Vamos dar um salto: vamos provar que a linha de ordem n do triangulo de
Pascal de fato representa a distribuicao dos subconjuntos de A = {1, 2, · · · , n} sendoA um conjunto com n elementos.
Para prova-lo, primeiro que tudo observemos o resultado e independente do tipo dedados do conjunto A. Interessa apenas o fato de o conjunto A tenha n elementos paraque os seus subconjuntos fiquem descritos pela linha ordem n do triangulo. Querdizer que o raciocınio sobre A = {1, 2, · · · , n} serve para todos os casos.
Inducao finita.
Vamos usar uma tecnica chamada2 induc~ao finita
A inducao finita consiste numa comparacao com os numeros naturais
N = {0, 1, 2, · · ·}que sabemos ser um conjunto infinito de tal forma que, se
x ∈ N ⇒ x + 1 ∈ N
e verdadeiro. x + 1 e chamado no conjunto dos axiomas de Peano de sucessor de x. Oconjunto N contem todos os sucessores de todos os seus elementos.
Exemplo 10 Validade de uma formulaA soma dos n primeiros numeros naturais e
1 + 2 + · · ·+ n =n + 1
2n
e nos podemos prova-lo usndo induc~ao finita.Vamos chamar esta identidade de P (n), isto e, uma proposicao que de depende de
n.
• Primeiro passo
Vamos verificar que a formula vale para um valor inicial de n, por exemplo paran = 2.
1 + 2 =2 + 1
22 = 3
e verdadeiro!
• Hipotese de inducao
Vamos supor que a formula seja entao verdeira para um valor arbitrario den; n > 2 :
1 + 2 + · · ·+ n =n + 1
2n
e verdade.
• O passo final
Vamos usar a hipotese de inducao e assim mostrar que a mesma formula valepara n+1. Se conseguirmos fazer esta demonstracao, entao teremos demonstradoa formula para qualquer n > 2.
Quer dizer, vamos calcular:
1 + 2 + · · ·+ n + n + 1
usando a hipotese de inducao, entao:
1 + 2 + · · ·+ n + n + 1 =
= (1 + 2 + · · ·+ n) + n + 1 =
= n+12
n + n + 1 =
= (n + 1)(n2
+ 1) =
= (n + 1)n+22
=
= n+1+12
(n + 1) = P (n + 1)
2Deveriamos demonstrar que esta te cnica e verdadeira nao vamos faze-lo aqui, entretanto.Observe num livro de Algebra, por exemplo [5].
Portanto P (n) ⇒ P (n + 1) e verdadeiro!
Confirmamos a formula, pois obtivemos novamente “o primeiro mais o u ltimo,dividido por 2, veze o numero de termos”.
Fica assim demonstrada a formula
1 + 2 + · · ·+ n =n + 1
2n ; para todo n > 2.
O que fizemos pode ser sintetizado no teorema:
Teorema 4 da inducao finita
• Verifica-se que P (n0) e verdadeiro, para um valor inicial n0 do ındice.
• Suposemos, hipotese de inducao que, para um valor arbitrario de n > n0 aformula fosse verdadeira.
• Tentamos obter a fo rmula, P (n+1), usando a hipotese de inducao, com sucesso,entao provamos que
P (n) ⇒ P (n + 1) e verdadeiro!
Logo, P (n) e verdadeira para todo n > n0.
Exemplo 11 Soma dos termos de uma p.a.Queremos mostrar que se dada uma p.a.
a1, a2, . . . , an
entao
a1 + a2 + . . . + an = Sn = a1+an
2n
Devemos entao verificar se a formula vale para os dois primeiros termos:
a1 + a2 =2a1 + 2a2
2=
a1 + a2
22
P (2) e verdadeiro!
Agora vamos supor valida a formula para um valor generico n de termos e verificarse a formula se mantem no passo seguinte:
a1 + a2 + . . . + an + an+1 =
= Sn + an+1 =
=a1 + an
2n + an+1 =
=a1 + an
2n + an+1 =
=a1 + an
2n + an + r =
=a1 + an
2n + 2an+2r
2=
=na1 + nan + 2an + 2r
2=
=na1 + n(a1 + (n− 1)r) + 2(a1 + (n− 1)r) + 2r
2=
=(2n + 2)a1 + [n((n− 1)) + 2(n− 1) + 2]r
2=
=2(n + 1)a1 + [n(n− 1) + 2n]r
2=
=(n + 1)a1 + (n + 1)a1 + n(n + 1)r
2=
=(n + 1)(a1 + a1 + nr)
2=
=(n + 1)(a1 + an+1)
2=
= Sn+1
e confirmamos a formula Sn+1 como consequencia da hipotese, logo mostramos que
P (n) ⇒ P (n + 1) e verdadeiro!
portanto P (n) e verdadeira para qualquer n.
Este encadeamento sucessivo existe em muitas relacoes. Se pudermos provar que eleexiste na relacao P (n), teremos provado, usando induc~ao finita, que esta relacao Pvale para todo n ∈ N.
Exercıcios 9 Inducao finita
1. Prove, para a soma dos quadrados, que
1 + 4 + · · ·n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6.
2. Prove que 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n2.
3. Prove quen∑
k=1
k3 = (1 + 2 + · · ·+ n)2.
4. Prove quen−1∑
k=0
k4 =6n5 − 15n4 + 10n3 − n
30
5. Prove quen−1∑
k=0
k5 =2n6 − 6n5 + 5n4 − n2
12
Ver algumas solucoes no fim deste capıtulo.Vamos usar o metodo da Inducao finita, para mostrar que, para todo n, a linha
de ordem n do triangulo de Pascal3 descreve a distribuicao, por elementos, dossubconjuntos de A = {1, 2, · · · , n}.
Para prosseguir precisamos encontrar uma expressao formal para representar ahipotese de inducao. Vamos comecar criando uma notacao para os elementos da linhan do triangulo de Pascal. Como eles representam a quantidade de conjuntos com p,( p a p ), tirados de um universo que tem n elementos, vamos chamar esta quantidade
Cpn.
3Certas denominacoes sao injustas, ha historiadores que encontraram o chamado triangulode Pascal entre documentos da Matematica chinesa milenios antes dos gregos.
Esta notacao e tradicional e o C que aparece e a primeira letra da palavra combinac~ao,mas voce pode ler “conjunto” como fizemos ate agora.
Nos estamos construindo as combinacoes via conjuntos.
• Na linha de ordem 3 Correspondente ao conjunto A = {1, 2, 3}, ou a qualqueroutro conjunto com 3 elementos, temos:
C03 C1
3 C23 C3
3
1 3 3 1(2.1)
• Na linha de ordem 2 Correspondente ao conjunto A = {1, 2}, ou a qualqueroutro conjunto com 2 elementos, temos:
C02 C1
2 C22
1 2 1(2.2)
• Na linha de ordem 1 Correspondente ao conjunto A = {1}, ou a qualquer outroconjunto com 1 elemento, temos:
C01 C1
1
1 1(2.3)
• Na linha de ordem 0 Correspondente ao conjunto A = {} temos:
C00
1(2.4)
Algumas propriedades se podem imediatamente enunciar e que nao precisarao deser demonstradas por inducao. Usaremos deduc~ao logica para demonstra-las.
Observacao 8 Deducao logica.Deduc~ao logica e metodo de demonstracao que consiste em aplicar as regras da
logica formal a um conjunto de teoremas ou postulados para assim deduzir um novoteorema.
Teorema 5 Na formula Cpn sempre p ≤ n.
Dem :Porque nao sera possıvel extrair de um conjunto com n elementos um subconjunto p a p
com p > n, pela propria natureza do conceito de “subconjunto”.
q.e.d .
Teorema 6 Cnn = 1, C0
n = 1.
Dem :Cn
n = 1 porque em um conjunto A com n elementos so ha um subconjunto com n ele-mentos que e o proprio conjunto A. C0
n = 1 porque o conjunto vazio e unico.
q.e.d .
Teorema 7 C1n = n.
Dem :Porque no conjunto A = {1, · · · , n} existem n conjuntos 1 a 1.
q.e.d .
Teorema 8 Cn−1n = n.
Dem :Porque para construir um cojunto (n − 1) a (n − 1) temos que tirar um elemento de
A = {1, · · · , n} e isto pode ser feito de n maneiras diferentes, sao as diferencas A − {i} paracada i ∈ A.
q.e.d .
Estes teoremas reforcam a a simetria que podemos observar no triangulo de
Pascal. Veja, no ındice remissivo alfabetico, onde se encontra o “triangulo”, no livro,e verifique a simetria de que estamos falando: os numeros equidistantes dos extremossao iguais. Portanto,
Teorema 9 Cpn = Cn−p
n
Vamos analisar agora o numero C2n dos conjuntos 2 a 2 que podemos encontrar
em A = {1, · · · , n}. Para isto poderiamos considerar os n conjuntos unitarios e ver dequantas maneiras poderiamos completa-los para obter os conjuntos 2 a 2.
Consideremos o conjunto {i} formado pelo elemento i ∈ A. Podemos acrescentartodos os outros elementos, exceto o proprio i, logo com {i} poderemos fazer n − 1novos conjuntos. Isto e, com cada um dos n conjuntos unitarios podemos construiroutros n− 1 conjuntos, por exemplo
{i, 1}, {i, 2}, {i, 3}, · · · {i, n− 1}no caso em que i = n.
Como ha n elementos, parece que podemos construir
n(n− 1)
novos conjuntos a partir dos n conjuntos unitarios e assim (erradamente)
C2n = n(n− 1).
Entretanto cada conjunto estaria aparecendo duas vezes, porque
• ao acrescentarmos j ao conjunto {i} teremos o conjunto {i, j}• mas depois iremos acrescentar i ao conjunto {j} para obter o conjunto {j, i} ={i, j}.
• Portanton(n− 1)
2e o numero de conjuntos 2 a 2 que podemos obter.
Teorema 10 C2n = n(n−1)
2= Cn−2
n .
O ultimo raciocınio feito se aplica imediatamente aos numeros Cpn e Cn−p
n queficam equidistantes das extremidades da linha de ordem n do triangulo de Pascal.
A quantidade de subconjuntos p a p e mesma quantidade de subconjuntos (n −p) a (n − p), porque, para obter um conjunto (n − p) a(n − p) temos que tirar de Aum subconjunto com p elementos e isto pode ser feito de Cp
n maneiras diferentes:
Teorema 11 Cpn = Cn−p
n .
Claro, apenas nao sabemos ainda calcular Cpn.
Exercıcios 10 Formulas arredondadas...
1. Verifique quen(n− 1)
2=
n!
2(n− 2)!=
n!
2!(n− 2)!
2. Verifique quen(n− 1)(n− 2)
6=
n!
6(n− 3)!=
n!
3!(n− 3)!
Observacao 9 Fatorial.O sımbolo
n!
representa os produtos de todos os numeros naturais positivos desde 1 ate n.
n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n,
leitura: n! “fatorial de n”.Por convencao, e esta convencao e muito natural, como veremos logo em seguida,
se acrescenta0! = 1,
o fatorial de 0 e 1.Nao duvide, aquilo que erroneamente se chama de “genialidade”, e, com grande
frequencia, obra do acaso. Observe aqui um destes exemplos: 2 = 2! Esta casualidadenos permite escreve a fomula C2
n = n!2!(n−2)!
de maneira mais “elegante” mas na verdadesugerindo a formula generica que logo vamos obter.
Teorema 12 C2n = n(n−1)
2!= n!
2!(n−2)!= Cn−2
n .
Ja poderiamos observar que
C0n =
n!
0!(n− 0)!;C1
n =n!
1!(n− 1)!; C2
n =n!
2!(n− 2)!
que nos deixa antever a formula geral
Teorema 13
Cpn =
n!
p!(n− p)!
Sabemos que Cpn = Cn−p
n , mas nao sabemos ainda calcular Cpn. E o que veremos
agora.Queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos tirar um conjunto p a p
de A = {1, · · · , n}. O metodo que vamos usar se assemelha ao que usamos para obter osconjuntos 2 a 2, vimos de quantas maneiras podiamos completar um conjunto unitariopara obter conjuntos 2 a 2 e depois discutimos as repeticoes assim introduzidas.
Vamos supor que ja saibamos quanto vale Cp−1n , a quantidade de conjuntos p −
1 a p− 1.Para obter um conjunto com p elementos a partir de um conjunto B com p − 1
elementos basta acrescentar ao conjunto B um elemento x; x /∈ B.Isto pode ser feito de n− (p− 1) maneiras diferentes, porque:
• n e o numero de elementos do universo;
• p− 1 e o numero de elementos de B que nao podem ser reutilizados;
• sobram n− (p− 1) que podemos acrescentar ao conjunto B para fazer um novoconjunto p a p.
Em outras palavras, a partir de B podemos construir n−(p−1) conjuntos diferentescada um com p elementos.
Logo, em princıpio, (e erradamente), teriamos
Cpn = (n− (p− 1))Cp−1
n
novos conjuntos construidos a partir dos Cp−1n anteriores.
Erradamente porque ha repeticoes de conjuntos como observamos no calculo deC2
n.Depois que fizermos todos os conjuntos desta maneira, muitos estarao repetidos.Para entender o numero de repeticoes, vamos ver quantas vezes, um mesmo con-
junto, pode ser construido desta forma. Suponhamos que o conjunto seja
B = {a1, a2, . . . , ap−1}B′ = {a1, a2, . . . , ap−1} ← ap
e o elemento ap esteja sendo acrescentado ao conjunto B produzindo o conjunto B′.O resultado seria o mesmo que se tivessemos o conjunto
B′′ = {a1, a2, . . . , ap−2, ap}B′ = {a1, a2, . . . , ap−2, ap} ← ap−1
e tivessemos acrescentando ao conjunto B′′ o elemento ap−1 obtendo o mesmo conjuntoB′.
Poderiamos repetir este processo para ap−2, . . . , a1, cada um ficando na posicao← ai no sistema de equacoes acima. Assim o conjunto
B′ = {a1, a2, . . . , ap−1, ap}vai aparecer p vezes.
Vemos que
Cpn =
(n− (p− 1))Cp−1n
p
isto e, para cada conjunto (p− 1) a (p− 1) podemos fazer n− (p− 1) novos conjuntos,mas cada um desses conjuntos aparecera repetido p vezes portanto temos que
dividir (n− (p− 1))Cp−1n por p
para eliminar as repeticoes.Estes calculos mostram que podemos obter Cp
n do valor de Cp−1n .
Vamos agora explicitar o valor de Cpn em termos de n, p, determinando uma formula.
Na sucessao de equacoes abaixo estamos fazendo isto, completando produtos nonumerador e no denominador. Para isto iremos sucessivamente substituir Cp−1
n porCp−2
n ate chegar em C0n = 1 :
Cpn =
(n−(p−1))Cp−1n
p=
=(n−(p−1))[(n−(p−2))Cp−2
n ]
p[p−1]
=(n−(p−1))[(n−(p−2))(n−(p−3))Cp−3
n ]
p[(p−1)(p−2)]
· · ·=
(n−(p−1))[...(n−(p−p))Cp−pn ]
p[(p−1)...1]
=(n−(p−1))[(n−(p−2))...(n−0)C0
n]
p!
= (n−(p−1))...(n−0)·1p!
= (n−(p−1))...np!
A cada passagem de linha, substituimos Ckn por Ck−1
n usando a formula obtida acima:
Ckn =
n− (k − 1)Ck−1n
k
e consequentemente aparece um fator maior no numerador e um menor no denominadora cada nova substituicao
Seguindo com este metodo chegamos
• ao produto p(p− 1) . . . 1 = p! no denominador, e
• ao produto (n− (p− 1)) . . . n no numerador.
Observe agora que o produto (n−(p−1)) . . . n pode ser completado para transformar-se em n! se acrescentarmos os fatores
n(n− 1) · · · (n− p) ; p < n
e que uma fracao nao se altera se lhe acrescentarmos os mesmos fatores tanto nonumerador quanto no denominador.
Observe as transformacoes aritmeticas:
Cpn = (n−(p−1))...n
p!=
= [1...(n−(p+1))(n−p)](n−(p−1))...n[1...(n−(p+1))(n−p)]p!
=
= n!(n−p)!p!
Surgiu, finalmente, uma expressao envolvendo n, p :
Cpn =
n!
p!(n− p)!
que vamos considerar verdadeira como hipotese de inducao. Vamos calcular o valor deCp+1
n .
Preste atencao: nao consideramos todo o trabalho feito acima uma demontracao,foram apenas experimentos para descobrimos uma hipotese, a hipotese de inducao.
Como
Cpn =
n− (p− 1)Cp−1n
p
entao
Cp+1n = n−(p+1−1)
p+1Cp
n =
= (n−p)p+1
Cpn =
= (n−p)(p+1)
n!p!(n−p)!
=
= (n−p) n!(p+1) p! (n−p)!
=
n!(p+1)!(n−(p+1))!
Conseguimos assim:
• confirmar a formula que haviamos achado para Cpn;
• obtivemos a nova formula como consequencia da anterior.
Estes sao as etapas de uma demonstracao por inducao, logo concluimos que
Teorema 14 Formula do numero de conjuntos p a p.
(∀ p) (Cpn =
n!
p!(n− p)!).
Os numeros Cpn, que ainda se escrevem (n
p ), se chamam numeros combinatorios.
Como descrevemos cada linha do triangulo de Pascal formada pelos numerosCp
n, e estes descrevem a quantidade de conjuntos p a p de um conjunto universo comn elementos, entao temos como subproduto o teorema:
Teorema 15 Numero de elementos de P(A).
Se A for um conjunto com n elementos, entao
n(P(A)) =
n∑
k=0
Cpn
Vamos ver que a soma expressa no teorema 15 e uma potencia de dois.
Por razoes histo ricas, porque a teoria dos conjuntos so deixou de ser uma brin-cadeira da mente de Cantor no inıcio deste seculo, primeiro surgiu o problema dedeterminacao dos conjuntos p a p. E ainda assim nao se usava esta linguagem, mas sedizia “determinacao das combinacoes de n elementos tomados p a p.”
Resta-nos aqui apenas escrever oficialmente uma definicao:
Definicao 7 Combinacao p a p de n elementos.
Uma combinacao “p a p” de “n” elementos e conjunto com p elementos dentre osn elementos considerados.
Como uma combinac~ao e um conjunto, nao ha repeticao de elementos. Tao poucotem sentido considerar como diferentes duas combinacoes em que apenas os elementosse encontrem permutados, porque, como conjuntos, sao iguais.
Exemplo 12 Combinacoes
1. Repeticao proibida, ordem irrelevante Quantas saladas contendo exatamente 3frutas podemos formar se dispusermos de 8 frutas diferentes?
Solucao:
Uma salada e um “arranjo” da forma
{f1, f2, f3}
em que fi e uma das oito frutas. Observe entretanto que as duas saladas
{f1, f2, f3}, {f3, f2, f1}sao iguais porque nao interessa, na salada, se estou comendo “um pedaco debanana mais um pedaco de laranja”, ou “um pedaco de laranja mais um pedacode banana”.
E o conjunto de frutas que estou comendo que interessa, entao estamos pro-curando os subconjuntos com 3 elementos das oito frutas que tenho a minhadisposicao:
C38 =
8!
(8− 5)!3!= 56
2. Produto de escolhas independentes Uma comissao, formada por 3 homes e 3 mu-lheres, deve escolhida de um grupo de 8 homes e 5 mulheres. Quantas comissoespodem ser formadas ?
Solucao: Aqui temos um problema misto em que a escolha de homens e mu-lheres para a comissao e independente, quer dizer, a cada escolha do “arranjo”de homens se “combina” com qualquer um dos “arranjos” de mulheres, paraformar uma nova comissao, portanto o numero total de arranjos e o produto donumero dos possıveis arranjos de homens vezes o numero dos possıveis arranjosde mulheres.
A escolha dos homens ou das mulheres e feita de forma semelhante ao exemploanterior, nao interessa a ordem, e sim o conjunto de indivıduos escolhidos, e arepeticao e “proibida”. Assim o numero total e o produto
C38 · C3
5 =8!
(8− 5)!3!
5!
(5− 3)!3!
2.2.1 Particoes de um conjunto.
Uma outra forma de selecionar subconjuntos de um conjunto A consiste em fazer umaparticao de A
Uma particao de A e uma divisao deste conjunto em subconjuntos cuja uniaorecomponham A. Observe a definicao escrita formalmente:
Definicao 8 Particao de um conjunto.Uma particao de um conjunto A e um sub-conjunto de P(A) formado de conjuntos
disjuntos e cuja uniao e A.notacao
Π(A) = {A1, A2, A3, . . . , An} tal quese i 6= j entao Ai ∩Aj = {} eA1 ∪A2 ∪A3 ∪ . . . ∪An = A.
Particionar significa classificar os elementos de um conjunto porque
• Todos os elementos sao utilizados; a uniao das partes reproduz o universo.
• Nao ha elemento que pertenca simultaneamente a dois dos subconjuntos esco-lhidos.
Exemplo 13 Particao da cidade em bairros
Este exemplo na pratica funciona mal porque sempre acontece de haver pessoasque tem casas distintas em bairros diferentes...um homem casado com duas ou tresmulheres ou vice-versa. Mas estes casos sao isolados a ponto de nao destruir o exemplo,vamos ignora-los.
Os bairros de uma cidade formam uma particao da mesma. Sao conjuntos disjuntoscuja reuniao recompoe a cidade.
Ha outro problema que deixa este exemplo complicado, nem sempre sabemos exa-tamente onde comeca um bairro e onde termina o outro. Limites difusos dizemos.
Ha varias situacoes deste tipo que colocam a Matematica sob pressao...
Mas os estatısticos consideram os bairros uma particao legal da cidade para fazeros seus levantamentos e quando eles nao funcionam, absolutamente nao e por causados limites difusos, sao outras razoes muito menos difusas que atrapalham a veracidadeestatıstica.
Voltaremos no capıtulo 3 a discutir este assunto quando tratarmos de relacoes.Aqui a maneira de ver e da combinatoria. Mas vamos logo introduzir a palavra classe:
Definicao 9 Classes de uma particao.
Dada uma particao Π(A) do conjunto A, os elementos de Π(A) se chamam classes
de A.
As particoes de um conjunto podem ser classificadas e ordenadas. Vejamos algunsexemplos para adquirir alguma intuicao a respeito do assunto.
Exemplo 14 A particao mais fina e mais grossa de A.
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dentre todas as particoes Π(A)existe uma que e a mais fina:
Π1(A) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}}
que e formada de todos os subconjuntos unitarios de A.
Oposta a particao mais fina esta a mais grossa que e
Π2(A) = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}} = {A}
Observe que e verdade: toda classe de Π1 esta contida em alguma classe de Π2.
Observe agora a definicao de “fino” e “grosso”, as duas definicoes se assemelhamaos nomes que os pedreiros dao as peneiras com que filtram a areia para construcao:
Definicao 10 Particao mais fina.
Dadas duas particoes Π1(A),Π2(A) dizemos que Π1 << Π2, leia-se “<< = maisfina que”, se toda classe de Π1 estiver contida em alguma classe de Π2.
Quer dizer que os “buracos” de Π1 sao menores.A definicao de “mais grossa” se obtem invertendo as desigualdades, escreva-a voce
mesmo.Podemos fazer operacoes com duas particoes para obter uma terceira, (eventual-
mente identica a uma das existentes...).
Definicao 11 Cruzamento de particoes. Considere duas particoes
Π1(A),Π2(A)
de A. O conjunto de todas as intersecoes de uma classe de Π1(A) com uma classe deΠ2(A) e uma nova particao de A chamada Π1 ∧Π2(A).
A palavra cruzar e muito usada nos meios de comunicacao, com o mesmo sentidousado acima. Quando se cruzam informacoes o que se esta fazendo e calculando asintersecoes das classes que cada um tipo de informacao produz.
Exercıcios 11 Particoes
1. Verifique que Π1 ∧ Π2(A) 6= Π1(A) ∩ Π2(A) em que a direita se encontra oconjunto das partes comuns a Π1(A) e Π2(A).
2. Verifique que Π1 ∧Π2(A) << Π1(A)
3. Verifique que Π1 ∧Π2(A) << Π2(A)
4. ordem parcial Mostre, com um exemplo, que dadas duas particoes de A elaspodem ser incomparaveis com a relacao mais fino (ou mais grossa). Dizemosque estas relacoes sao uma ordem parcial no conjunto das particoes.
5. difıcil ? O conceito de particao pode ser usado em estaıstica para caracterizaruma classificacao dos elementos de um certo universo. Explique isto e de umexemplo de duas particoes que nao sejam comparaveis (nenhuma das duas emais fina que a outra).
6. difıcil ? Retome a questao anterior, qual o significado de Π1 ∧ Π2(A) naquelecontexto.
O cruzamento de duas particoes produz uma particao “mais fina” que as duasiniciais. A relacao “mais fina” e uma relacao larga no sentido que
Π(A) << Π(A).
Toda particao e mais fina que do que ela propria. Se nao fosse assim o cruzamentodas particoes do exemplo 14 nao funcionaria porque o resultado do cruzamento e apropria particao Π1.
Exemplo 15 Aplicacao.Uma aplicacao de particao de um conjunto se encontra em pesquisas estatısticas,
por exemplo, pesquisa de opiniao. As pesquisas de opiniao sao particularmente difıceisporque envolvem a psicologia dos indivıduos, (de quem pesquisa e de quem e pesqui-sado). Uma consequencia disto e que as respostas tem que ser filtradas para limparas influencias perturbadoras. Se quisermos fazer uma pesquisa envolvendo assuntos“quentes” como fumo, por exemplo, onde vamos encontrar “fumantes” e “nao fuman-tes” apaixonados, e preciso criar duas ou mais particoes para serem posteriormente
cruzadas afim de diminuir os efeitos subjetivos. A palavra chave aqui e cruzamento deinformacoes.
Quando isto e feito na “pratica” nao aparecem subconjuntos escritos entre cha-ves...mas sim perguntas que classificam as pessoas inquiridas sob dintintos aspectos.Vejamos o caso do “fumo”. Montam-se questionarios contendo perguntas de assuntosdiferentes do que basicamente interessa:
• Voce gosta de fumar “depois”, em alguns momentos especiais?
• Apesar de ser fumante, o fumo de outras pessoas o aborrece?
• Voce prefere fumar ao ar livre ou em ambientes fechados?
• Estabeleca ligacoes entre fumar e outras atividades, marcando com “x” no espacoadequado:
– ( ) estudar.
– ( ) dirigir.
– ( ) conversar.
– ( ) discutir.
– ( ) jogar xadrez.
–...
– ( ) ter relacoes sexuais.
Este questionario feito por um “nao fumante apaixonado” e teria que ser criti-cado, (particionado), com auxılio de um “fumante apaixonado” para se tornar efetivo.Mesmo tendo sido feito por alguem marcado por uma tendencia, observe que o ques-tionario classifica as pessoas inquiridas entre:
1. jogadores de xadrez e
2. nao jogadores de xadrez;
3. guiadores de veıculos e
4. nao motoristas;
5. estudantes;
6. polıticos;
7. fumantes que gostem de fumar ao livre, em baixo de arvores, no jardim, ou
8. aqueles que adoram aquele ambiente cheio de fumaca de um bar a portas fecha-das, (observe o matiz apaixonado da frase...).
Como voce ve, na pratica nao aparecem explicitamente os subconjuntos de A atemesmo porque o conjunto A e “difuso”, e o conjunto das pessoas a quem vai seraplicado o questionario que muitas vezes fica sigiloso.
Observacao 10 Teoria e pratica.Sirva este exemplo para reforcar outra observacao: o fosso que existe entre a teoria
e a pratica. Nao existe uma ligacao imediata e obvia entre estas duas atividadesintelectuais, pratica e teoria. E preciso entender bem os conceitos e depois criar aponte para construir o modelo pratico.
As particoes voltarao a ser discutidas com mais detalhes no capıtulo 3, tambemcom outro enfoque.
Exercıcio 2 Conjunto das partes e numeros combinatorios.
1. Considere as particoes seguintes de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
Π1(A) = {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8, 9}} ;
Π2(A) = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6}, {7, 8, 9}}Calcule o cruzamento destas particoes. Verifique que a substituicao de “in-tersecao por “uniao” na definicao de cruzamento de particoes nao produz umaparticao.
2. Qual e particao mais fina: (1) da populacao particionada por estados; (2) dapopulacao particionada por municıpios. O cruzamento destas particoes produzuma particao nova?
3. Voce tem nove objetos, oito dos quais tem exatamente o mesmo peso e um maispesado do que os demais. Determine o numero mınimo de pesagens, com umabalanca de dois pratos que possam determinar qual e o mais pesado.
4. Voce tem treze objetos, doze dos quais tem exatamente o mesmo peso e um maispesado do que os demais. Determine o numero mınimo de pesagens, com umabalanca de dois pratos que possam determinar qual e o mais pesado.
5. Um partido tem 35 membros aprovados na convencao para se candidatarem aseleicoes e resolve fazer uma simulacao para analisar as chances melhores devitoria nas urnas. Quantas chapas pode o partido criar com os 35 candidatos, sequiser apresentar tres candidatos a cada cargo parlamentar: vereador, deputadoestadual, deputado federal e senador, um titular e um vice aos cargos de prefeito,governador e presidente.
6. Quantas diagonais tem um polıgono de 5 lados.
7. Analise, para estabelecer uma formula, o numero de diagonais de um polıgonocom 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 lados. Voce poderia estabelecer o numero de diagonais deum polıgono com n lados?
8. (a) A camara de Vereadores de uma cidade tem 13 membros e quer distribuı-los em comissoes de 4 vereadores para estudar os diversos projetos que acamara recebe para consideracao. Quantas comissoes poderao ser forma-das, se o presidente fica excluido de todas as comissoes e nenhum vereadorpode participar de mais de uma comissao?
(b) Considere que o Prefeito da cidade envia a camara de vereado-res, em media, 1 projeto por dia e que alem disto os proprios vereadores apresentam4 projetos por semana. Os vereadores se reunem apenas tercas, quartas equintas, mas o executivo funciona cinco dias por semana. Calcule quan-tos dias pode ficar um projeto, para receber parecer em uma comissao, nomaximo, para que a camara esgote a pauta semanalmente.
9. particao de um conjunto
(a) Construa duas particoes de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujos membros naopossum mais de 3 elementos.
(b) Construa duas particoes de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujos membros naopossum menos de 3 elementos.
10. A camara de Vereadores de uma cidade tem 11 membros e quer distribuı-los emcomissoes de ate 3 vereadores para estudar os diversos projetos que a camararecebe para consideracao. Quantas comissoes poderao ser formadas, se a mesadiretora decidiu que nenhum vereador pode participar de mais de uma comissaonem pode haver comissoes com um unico vereador? Tem mais de uma solucaoo problema?
2.3 O binomio de Newton.
Existe uma formula interessante para obter potencias de expressoes algebricas, cha-mada de binomio de Newton. Vamos chegar ate esta formula a partir de um exemplobem particular.
A construcao que faremos ligara diretamente esta formula ao triangulo de Pascal.Calcule as potencias sucessivas de 11 e compare com as linhas do triangulo de
Pascal.
• 110 = 1.
• 111 = 1 1.
• 112 = 1 2 1.
• 113 = 1 3 3 1.
• 114 = 1 4 6 4 1.
• 115 = 1 5 10 10 5 1.
A conclusao e que os numeros que aparecem na linha de ordem n do triangulo dePascal, concatenados, produzem a n− esima potencia de 11.
Isto vale mesmo para a ultima linha acima se fizermos uma adequada interpretacao.Nela aparece 10 que nao e um algarismo, logo temos que lhe aplicar a regra de “passarpara a proxima casa”.
Deixamos o zero e levamos o 1 para a aproxima casa:
115 = 1 5 11 0 5 1
Agora temos o “algarismo” 11 ao qual novamente temos que aplicar a mesma regrapara obtermos finalmente:
1 6 1 0 5 1→ 161051 = 115
Nao se trata de nenhuma casualidade, apenas escolhemos o exemplo certo: 11 =10 + 1. Se calcularmos as potencias de (x + 1) vamos ver uma repeticao do que sepassou acima.
• (x + 1)0 = 1.
• (x + 1)1 = x + 1.
• (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
• (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
• (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1.
• (x + 1)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4.
• (x + 1)4 = C04 + C1
4x + C24x2 + C3
4x3 + C44x4.
Como o triangulo de Pascal e simetrico a partir das extremidades, podemosescrever todas as linhas revertidas como fizemos com linha de ordem 4. A linha deordem 4 nos oferece uma hipotese de inducao que vamos redigir assim:
Hipotese 1 do binomio.
(x + 1)n =n∑
k=0
Cknxk
Usando a hipotese de inducao no calculo de (x + 1)n+1 :
(x + 1)n+1 = (x + 1)n(x + 1) = x(x + 1)n + (x + 1)n = (2.5)
= xn∑
k=0
Cknxk +
n∑k=0
Cknxk = (2.6)
n∑k=0
Cknxk+1 +
n∑k=0
Cknxk = (2.7)
=n∑
k=0
Cknxk +
n∑k=0
Cknxk+1 = (2.8)
= C0n +
n∑k=1
Cknxk +
n−1∑k=0
Cknxk+1 + Cn
nxn+1 = (2.9)
C0n+1 +
n−1∑k=0
[Ck+1n + Ck
n]xk+1 + Cn+1n+1xn+1 (2.10)
(2.11)
Podemos agora “sincronizar” os ındices das somas na penultima equacao quebrando osomatorio em dois:
C0n +
n∑
k=1
Cknxk +
n∑
k=1
Ck−1n xk + Cn
nxn+1
fazendo com que a ultima equacao agora fique assim:
C0n+1 +
n∑
k=1
[Ckn + Ck−1
n ]xk + Cn+1n+1xn+1
Nesta ultima equacao usamos os teoremas que garantem que valores extremos dequalquer linha do triangulo de Pascal valem sempre 1 e subsituimos assim C0
n porC0
n+1 e Cnn por Cn+1
n+1 .Calculando
[Ckn + Ck−1
n ] =n!
k!(n− k)!+
n!
(k − 1)!(n− k + 1)!=
(n− k + 1)n! + kn!
k!(n− k + 1)!=
=(n + 1)!
k!(n− k + 1)!=
(n + 1)!
k!(n + 1− k)!= Ck
n+1
Assim temos
(x + 1)n+1 = C0n+1 +
n∑
k=1
Ckn+1x
k + Cn+1n+1xn+1 =
n+1∑
k=0
Ckn+1x
k
que confirma a hipotese de inducao para n + 1. Mostramos assim que:
Teorema 16 do binomio de Newton-caso particular.Para todo n ∈ N
(x + 1)n =n∑
k=0
Cknxk
Observe uma outra demonstracao, menos formal:
Dem :
Suponha que (hipotese de induc ao) que (x + 1)k tenha os coeficientes
C0k , C1
k . . . , Ck−1k , Ck
k
Quando multiplicarmos (x + 1)k(x + 1), pela propriedade distributiva, temos
(x + 1)kx (2.12)
(x + 1)k1 = (x + 1)k (2.13)
Na primeira linha teremos uma expressao parecida com (x + 1)k porem com todas aspotencias aumentadas de uma unidade. Na outra linha teremos exatamente (x + 1)k. Parasomar o que deveremos fazer e
• colocar os coeficientes em duas linhas
• deslocar para a direita os coeficientes de (x + 1)kx
• somar coluna por coluna
Portanto iremos somar Cpk +Cp+1
k que e a relacao que gera os elementos da linha seguinte
do Triangulo de Pascal portanto os coeficientes de (x + 1)k+1 serao
C0k+1, C1
k+1 . . . , Ckk+1, Ck+1
k+1
q.e.d .
Para deduzir desta forma particular a expressao geral do teorema,
(a + b)n,
podemos fazer as seguintes transformacoes algebricas:
(a + b)n = [b(a
b+ 1)]n = bn(
a
b+ 1)n
e agora identificar ab
= x. Podemos agora aplicar o que obtivemos anteriormente:
(a + b)n = bn(n∑
k=0
Ckn( a
b)k) = (2.14)
bnn∑
k=0
Ckn
ak
bk = (2.15)
n∑k=0
Ckn
akbn
bk = (2.16)
n∑k=0
Cknakbn−k (2.17)
Teorema 17 do binomio de Newton.
(a + b)n =
n∑
k=0
Cknakbn−k.
Exemplo 16 Numero de elementos de um conjuntos
Vamos aplicar a formula do binomio num caso particular:
(1 + 1)n =n∑
k=0
Cknakbn−k (2.18)
a = 1 ; b = 1 (2.19)
(1 + 1)n = 2n =n∑
k=0
Ckn (2.20)
(2.21)
e a soma dos numeros combinatorios ou ainda a soma da linha de ordem n do triangulode Pascal. Vamos salientar estas duas conclusoes:
• A soma dos elementos da linha de ordem n do triangulo de Pascal e
n∑
k=0
Ckn = 2n
• O numero de subconjuntos de um conjunto
A = {1, 2, . . . , n}
com n elementos, e 2n.
Exercıcios 12 Operacoes com expressoes algebricas
1. Calcule (a + b)(c + d) justificando todas as passagens.
2. Calcule o valor de x nas equacoes seguintes justificando todas as passagens:
a) x2 − 2 = 1
5 b) 3x + 4 = 1 c) x+32 = 7
d) 3x− 4 = x− 3 e)2x− 7 = 5− x f)x + 4 = 2x=13
3. Calcule
a)(1 + x)(1 + x) b)(x + y)(1 + x) c)(x + y)(x− y)d)(x + y)(x + y)e)(1 + x)(1 + x) f)(1 + x)(1− x)
4. Calcule
(a) (a + b)2 ; (1 + x)2
(b) (a− b)2 ; (1− x)2
(c) (a + b)3 ; (1− x)3
(d) (1 + 0.1)3 ; (3.1)3
(e) (5.3)4 ; (12.11)4
5. Se a inflacao for 1% ao mez, como insinua o governo, quanto havera de inflacaoacumulada ao final de 12 mezes.
6. Calcule, usando binomio de Newton, a soma dos n primeiros numeros naturais.
Observacao 11 Calculo de juros sem calculadora
Voce nao precisa mais de uma calculadora para fazer calculo de juros compostos.
Se tiver tomado emprestado um capital C a uma taxa de juros j isto significa quemez a mez voce deve pagar j por cento ao sacado o que da:
C + jC = C(1 + j)
ao fim do primeiro mez e sucessivamente:
C + jC = C(1 + j) ;C(1 + j)2 ; . . . ;C(1 + j)n−1
Use a linha de ordem n−1 do triangulo para calcular (1+j)n−1 e depois multipliquepor C, para descobrir sua dıvida apos n mezes. Por exemplo, o Brasil “devia” cercade 300 bilhoes de dolares no inıcio do ano 2000. Para calcular a taxa de reajuste dadıvida (o chamado “servico”), temos que usar a linha de ordem 11 do triangulo dePascal,
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
que sao os numeros combinatorios Cp11 corespondentes as potencia 11 em (a + b)11.
Tabulados acima voce ve na primeira linha os numeros combinatorios Cpn, os elementos
da linha de ordem 11 do triangulo de Pascal, e na segunda linha as correspondentespotencias de a em (a + b)11.
Mesmo que a taxa de juros internacionais fosse “uns suaves” 1%, ao fim de umano a dıvida seria reajustada com a taxa
(1.01)11 = 1 + 11 ∗ j1 + 55 ∗ j2 + 165 ∗ j3 + 330 ∗ j4 + 462 ∗ j5 + (2.22)
+462 ∗ j6 + 330 ∗ j7 + 165 ∗ j8 + 55 ∗ j9 + 11 ∗ j10 + 1 ∗ j11 = (2.23)
= 1 + 0.11 + 0.0055 + 0.000165 + 0.000003300000000 + 0.0000000462 + (2.24)
0.000000000462 + 0.0000000000033 + 0.0000000000000165 + (2.25)
0.000000000000000055 + 0.00000000000000000011 + 0.0000000000000000000001 = (2.26)
1.11567296653165551001 ≈ 1.116(2.27)
Portanto a dıvida, submetida a juros “suaves” de 1%a.m. sofreria um reajustede 1.11566834666531656511 ao final de um ano, quer dizer, passaria de 300 bi para300bi ∗ 1.11566834666531656511 = 334.70050399959496653303bi. isto e sofrendo um”leve”reajuste de 34.70050399959496653303 bi em um ano, ou melhor de 34.700.503.999, 59dolares.
So para efeito de comparacao, o orcamento do Ministerio da Educacao fica porvolta de 10 bi de reais, logo o reajuste da dıvida equivale a 9 anos e meio do orcamentobrasileiro para Educacao.
Infelizmente os juros dos agiotas internacionais nao e tao suave... Voce pode pro-curar nos jornais o valor exato dos juros que nos cobram e corrigir os calculos acima ededuzir quanto tempo ficaremos com a Educacao, a Saude prejudicadas para satisfazera ganancia dos que ja sao muito ricos.
2.4 Arranjos simples e com repeticao..
2.4.1 Arranjos com repeticao.
Um exemplo de arranjo com repeticao e o “agregado” de tres letras que se usa nasplacas dos carros: “IIL 4331”. Outro exemplo e o “agregado” de quatro algarismos quecompleta a placa. Sao dois exemplos diferentes e tem que ser tratados separadamente.
A definicao de “arranjo” e:
Definicao 12 Arranjos dos elementos de A.Seja A um conjunto com n elementos. O produto cartesiano A x · · · x A de
p copias do conjunto A e o conjunto dos arranjos com repeticao p a p dos elementosde A.
Na maioria dos textos sobre analise combinatoria o conjunto dos arranjos e despre-sado se passando direto a quantidade dos arranjos com n elementos dados. Preferimoscomecar apresentando o conjunto dos arranjos, depois vamos calcular quantos eles sao.
Exemplo 17 Arranjos 4 a 4 dos algarismos.E este o arranjo que se encontra presente nas placas dos carros, a parte “numerica”.
Pela definicao estamos nos referindo ao conjunto
A x A x A x A = A4 = {(x, y, z, w) ; x, y, z, w ∈ {0, 1, · · · , 9}}
Habitualmente nao se escrevem “vırgulas” se nenhum tipo de confusao se podeestabelecer. Nas placas de carro aparecem “coisas” como 1334 que corresponde nanotacao da definicao a (1,3,3,4).
Vamos a quantidade dos arranjos com repeticao Ap em que o conjunto A tem nelementos. Queremos saber quantos objetos do tipo (x1, · · · , xp) podemos construir.Um instrumento muito util na construcao de arranjos sao as arvores de possibilidades,veja a (fig. 2.1) na pagina 55. Uma arvore de possibilidades consiste dum graficoformado de feixe de segmentos de reta saindo de um ponto dado, (uma das possibili-dades) ligando-o a diversos outros pontos, (as outras possibilidades). Na figura (fig.2.1) voce pode ver exemplificada a construcao dos arranjos 121,122,120
Como estamos construindo arranjos com repeticoes, para cada coordenada que seoferece em 10 possibilidades, existem outras 10 possibilidades de escolha das outrascoordenadas. O resultado e que podemos construir 10 x 10 x · · · x 10 = 10p.Quer dizer que no caso das placas de carro, em que p = 4 podemos ter 104 = 10.000possilidades diferentes na parte “numerica” da placa, para cada escolha feita na parte“literal”.
E quantas possibilidades existem na parte literal?Aqui temos novamente um arranjo com repeticao das 25 letras do alfabeto, logo
temos 25 x 25 x 25 = 253 = 15625 Quer dizer que o numero total de placas diferen-tes que podemos ter para carros no Brasil e: 15625 x 10000 = 156.250.000 que nestemomento e do tamanho da propria populacao brasileira, e como, ox ala, nunca chega-remos a que cada indivıduo venha a sair de casa no seu proprio carro, este numero deplacas chega para identificar todos os carros rodando nas estradas e cidades do paıs.
Teorema 18 do numero de arranjos.O numero de arranjos com repeticao de n elementos tomados p a p e
Apn = np.
`
``
```
""
""
""
""
""
""
""
"""
�����������������
XXXXXXXXXXXXXXXXX
!!!!!!!!!!!!!
((((((((((((
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZZ
1
1
2
9
0
1
2
9
0
121
122
129
120
Figura 2.1: Arvore de possibilidades.
Exercıcios 13 1. Um produtor de TV deseja fazer um show composto de clips deteatro, musica e jornalismo. A duracao do show e de 2 horas. Mostre as com-binacoes possıveis de composicao do show com cada secao durando 15 minutosadmitindo-se que no maximo duas secoes durem meia hora.
2. Componha o horario de uma turma vespertina que tem 4 disciplinas A,B,C,Dde modo que todas as disciplinas tenham uma carga igual de 4 horas semanais,exceto a disciplina D que tem 5 horas semanais, com a restricao de que nomaximo duas horas seguidas sejam admitidas por dia de aula.
2.4.2 Arranjos simples.
Os arranjos simples diferem dos anteriores pela proibicao de que seus elementos serepitam.
Usamos arranjos simiples sempre que os objetos tiverem individualidade e naopuderem aparecer mais de uma vez em conjunto.
Exemplo 18 uso de arranjos simples.
1. Ao inciarmos o capıtulo usamos como exemplo de combinacoes uma chapa elei-toral com tres membros. Combinacoes sao conjuntos e os dois conjuntos
{a, e, i}, {a, i, e}
sao iguais. Mas os dois arranjos representados acima sao diferentes. Podemosresolver melhor a questao que exemplificamos anteriormente, no caso de chapaeleitoral, com arranjos, porque as duas chapas “aei” e “aie” sao diferentes seconsiderarmos que a ordem dos elementos na chapa indica o cargo de cada ele-mento: presidente, vice-presidente, tesoureiro.
Todos os arranjos dos tres elementos {a, e, i} correponderiam a todas as pos-sibilidades de chapas e seriam uma proposta melhor na convencao do partidoonde e bem conhecida a propriedade ser ladrao do elemento “i”, mas que, no-toriamente ativo e dinamico, poderia ser aceito para a primeira posicao, depresidente, conquanto que o elemento “a”, notariamente austero ficando com atesouraria garantiria, aos olhos da comunidade do partido, uma melhor saıda.Se considerados conjuntos, em que a comunidade partidaria nao pudesse decidirque cargo ficaria em que maos, dificultaria a etica partidaria de agir, uma vezque {a, e, i} = {i, e, a}.
2. Suponha que cinco pessoas devam assumir a organizacao de um escritorio, masque se revesem para que o servico fique aberto 24 horas. Duas pessoas e osuficiente para executar as funcoes do escritorio, e para que a atividade fiquemais agradavel elas se revezam nos dois tipos de ofıcios: atendimento internoe atendimento externo. Vamos chamar estas pessoas de a, e, i, o, u. A tabela deescalas seria entao:
ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, . . . , ua, ue, ui, uo
Observe que a pessoa a ira trabalhar externamente 4 escalas e 4 escalas noservico interno, ficando de folga nas escalas restantes. Quantas sao todas asescalas?
O metodo de calculo agora vai considerar um possibilidade a menos para cadaescolha inicial feita: 5 x 4 Podemos escolher 5 pessoas diferentes para colocarno atendimento externo, e para cada uma dessas escolhas podemos escolher 4pessoas para o atendimento interno. Isto quer dizer que a trabalha em oitoescalas e folga 12 escalas.
3. Podiamos alterar o exemplo anterior considerando um servico mais complexoque possuisse 4 classes diferentes de tarefas e portanto que fosse necessario ter4 pessoas presentes em cada escala. Alguns exemplos de escala seriam
aeio, eioa, ioae, oaei, ueio, eiou, ioue, ouei
em que a trabalha em 4 escalas em ofıcios diferentes.
Mas quantas seriam todas as escalas: Para a primeira posicao temos 5 escolhasdiferentes disponıveis, mas para a segunda ja so teremos 4, para a terceira 3,para a quarta 2. Portanto o numero de escalas sera:
A45 = 5 x 4 x 3 x 2 = 120.
Se precisassemos das 5 pessoas presentes, mudariam as escalas, mas nao a quan-tidade delas:
A55 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 5!
Seria possıvel ter 6 pessoas presentes ao servico? a resposta e nao, porque pes-soas nao podem aparecer repetidas, quer dizer que chegamos no exemplo de cincopessoas presentes ao limite de calculo. No caso das placas de carros podemostrocar a quantidade de algarismos presentes de 4 para 6 ou 10 ou 20, porque elespodem ser repetidos.
Com estas observacoes estamos preparados para obter a formula para o calculo daquantidade dos arranjos.
Primeiro uma notacao: Apn para representar a quantidade de arranjos sem repeticao
de n elementos tomados p a p.Como as possibilidades vao diminuindo a medida que aumentamos o numero de
coordenadas presentes, vemos que este numero tem como primeiro fator n pois aescolha da primeira coordenada e feita com liberdade completa, sem restricoes. Maspara escolher a segunda coordenada, temos a restricao de que primeira ja nao poderaser selecionada, logo temos apenas n − 1 possibilidades de escolha. Assim por diantevao diminuindo as possibilidades de um em um:
Teorema 19 do numero de arranjos simples de n, p a p.
Apn = n(n− 1) · · · (n− p + 1)︸ ︷︷ ︸
p fatores
=n!
(n− p)!
Os arranjos simples ou com repeticao sao muito usados: numero de telefone, placade carro, a grande maioria dos codigos, por exemplo o CPF, CNPJ.
Os problemas envolvendo o calculo da quantidade de arranjos pode ficar maiscomplicado pelo envolvimento de restricoes diversas. O exemplo da placa de carros etıpico, se tratam de dois tipos de arranjos combinados em paralelo, quer dizer que umnao restringe a quantidade de elementos do outro e a quantidade de arranjos resultantee o produto das quantidades de um e do outro, como vimos. Estas consideracoes noslevam a enunciar um princıpio de contagem que nada tem de extraordinario masguarda a ideia intuitiva que com frequencia temos que ter para resolver problema decontagem. Vamos enuncia-lo sob a forma de teorema, sem demonstra-lo:
Teorema 20 Princıpio de contagem. Se tivermos 1, 2, . . . , p situacoes independentese cada uma dessas situacoes puder se realizar de s1, s2 . . . , sp modos diferentes, onumero de modos diferentes de realizar todas estas situacoes sera o produto dos pfatores s1 x s2 x . . . x sp.
A observacao sobre independencia das situacoes e crucial.
Exemplo 19 Arranjos e Princıpio da contagem
1. Quantos numeros de 4 algarismos distintos podem ser formados com os elemen-tos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} Solucao: Note que escolhendo 4 dos 6 algaris-mos, por exemplo, 1234 e diferente de escolher 1342. Trata-se de um problemade arranjos, em que a ordem dos elementos importa. Assim pelo teorema 19,temos:
A46 =
6!
(6− 4)!=
6!
2!=
6 · 5 · 45 · 35 · 25 · 125 · 1 = 360
2. Doze estudantes, 4 cearenses, 4 pernambucanos 4 baianos, disputam uma olim-piada de Matematica. Serao premiados, conforme o regulamento das olimpiadasos cinco primeiros colocados. Qual e o numero de maneiras de fazer a premiacaosendo o unico cearense classificado o primeiro lugar ? Solucao: Temos 4 pos-sibilidades de escolher o primeiro colocado. Restam, portanto, 8 competidorespara concorrer aos demais colocacoes. Ja que nao ha outro cearense classificado,temos:
4A48 = 4 · 8!
(8− 4)!= 6720
3. Princıpio da contagem
Doze estudantes, 4 cearenses, 4 pernambucanos 4 baianos, disputam uma olimpi-ada de Matematica. Serao premiados, conforme o regulamento das olimpiadas oscinco primeiros colocados. Qual e o numero de maneiras de fazer a premiacao.
Solucao:
Tudo que temos que fazer e selecionar cinco vencedores dentre os 12 competido-res: A5
12 = 12!7!
= 95040
4. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um al-fabeto de 26 letras.
Solucao:
Pelo teorema do Princıpio da Contagem, 20, temos
26 · 25 · 24 = 15600
5. Quantos sao os gabaritos possıveis de um teste de 10 questoes de multipla-escolha, com cinco alternativas por questao sem nenhuma escolha qualificadadas alternativas ?
Solucao:
Um gabarito e um arranjo com repeticao das alternativasa,b,c,d,e
quer dizer que um gabarito pode sera a a a a a a a a a
Entao, pelo teorema do Princıpio da Contagem, 20,
calA105
2.4.3 Permutacoes.
Um tipo particular de arranjo e aquele em que todos os objetos do grupo sao utilizadosao mesmo tempo, veja o exemplo 3 pagina 56, em usamos as 5 pessoas disponıveis aomesmo tempo.
Quando isto acontece a formula Ann = n! se reduz ao fatorial do numero de elemen-
tos do conjunto de onde se vao tirar os arranjos. Este caso particular recebe o nomede permutac~ao. Uma notacao particular e tambem usada para este tipo de arranjo:
notacao: Ann = Pn = n!
Se formos usar a formula dos arranjos 19 neste caso, seremos levados a escrever:
Ann = Pn =
n!
0!
e aı vemos que a convencao de que ja falamos anteriormente e importante: 0! = 1.
Exercıcio 3 Arranjos, permutacoes, combinacoes
1. Um CPF inteligente. Em um determinado paı s, os seis primeiros “dıgitos” doCPF dos habitantes se compoe da data de nascimento no formato ano-mes-dia, emais 4 dıgitos escolhidos por ordem de nascimento do cidadao que esta entrandono sistema. Quantas pessoas se estima nascer por dia naquele pais?
2. No sistema telefonico de uma cidade, existem 10 centrais numeradas de 00 a 09e ha uma previsao de 10.000 linhas telefonicas a serem atendidas por cada umadestas centrais. Qual e o formato mınimo, (com menor numero de dıgitos) dosnumeros de telefone da cidade.
3. O sistema de cadastro de produtos industriais classificou os produtos produzidosou comercializados no paıs em 87 classes distintas reservando para cada classeuma sub-classificacao que comporte 1000 produtos. Qual e o formato mınimoque o codigo dos produtos industriais deve ter, deixando inclusive uma margempara expansao da classe de produtos.
4. Um grande “shopping” tem nas varias entradas uma caixa de sugestoes e osconsumidores sao convidados a nela informarem dados sobre os produtos queesperam encontrar ou que compram com frquencia nas diversas lojas. Os consu-midores tambem sao convidados a indicar seu nıvel de renda e local de residencia.Com base nestes dados os tecnicos do “shopping” periodicamente fazem analisesdo comportamento de compras dos fregueses classificando-os segundo:
• bairros onde residem;
• itens frequentes nas listas de compra;
• marcas preferidas para determinados itens;
• faixas de precos dos itens mais procurados;
Desta forma se obtem as seguintes particoes do conjunto dos consumidores iden-tificados de alguma forma:
• B = {B1, . . . , Bn}• I = {I1, . . . , Im}• M = {M1, . . . , Mp}• P = {P1, . . . , Pq}
Que informacao se pode tirar do cruzamento das particoes
(a) B e I ?
(b) B e P ?
(c) P e M ?
(d) P e I ?
5. seguranca no transito
(a) A guarda de transito, em seu afa de cuidadosamente pesquisar o comporta-mento do motorista no transito para descobirir as falhas do sistema, definiu6 locais l1, . . . , l6 em que deveria fazer “batidas de transito”. Mas a guardatem apenas 3 equipes devidamente preparadas para fazer tais inspecoes si-multaneamente. Quantos dias levara guarda de transito para cobrir todosos pontos da cidade fazendo 4 fiscalizacoes por dia?
(b) O coronel comandante da guarda de transito, para evitar que os moto-ristas descubram um forma de saber onde vai haver fiscalizacao nas ime-diacoes por onde passam, tem o cuidado de alterar o quadro de “batidasde transito” construido na questao anterior. De quantas maneiras podefaze-lo?
6. Temos 10 pessoas e uma mesa rigorosamente circular com 10 cadeiras. Dequantas formas diferentes podem as 10 pessoas sentar-se a mesa?
7. Um vendedor vai telefonar para 9 fregueses, mas chama 5 no primeiro dia e 4no segundo dia. De quantas maneiras pode faze-lo?
8. Um vendedor tem quatro produtos de uma empresa e 5 de outra empresa que eledeve apresentar aos clientes de uma cidade. De quantas formas ele pode arranjarsuas apresentacoes. Como fica este numero se os produtos de uma empresa naodevem ser apresentados junto com os da outra?
9. Tendo que se acomodar as pessoas A, B, C, D, E, F em torno de uma mesa cir-cular, de quantas maneiras isto pode ser feito se
• sempre C, D devem sentar juntos.
• nunca C, D devem sentar juntos.
• ha tres casais que sempre vao querer estar lado a lado.
10. As pessoas se classificam, quanto a tipo sanguıneo como Rh+, Rh−, conformehaja presenca ou ausencia do Rh e A, B, AB, dependendo da presenca destesantıgenos no sangue, no caso do O, ausencia destes. Faca um diagrama de Vennilustrando todas estas possibilidades.
2.5 Numero de elementos da uniao de conjun-
tos.Nas secoes anteriores nos dedicamos a calcular o numero de elementos deconjuntos, mas nao claramento com este objetivo.Comecaremos com uma formula para calcular o numero de elementos de
A ∪ B ∪ C.
Entre os problemas de contagem um dos mais interessantes consiste de determinarquantos elementos existem em um determinado universo, consideradas restricoes sobreos elementos.
As restricoes podem ser interpretadas como as intersecoes entre estes conjuntos.Por exemplo
Exemplo 20 Fumantes e jogadores de baralho.Nem todo jogador de baralho e fumante, mas ha os que sao, e uma sala de jogos
de um bar tem que levar isto em consideracao para evitar atritos. Claro, tem genteque fuma e nao joga baralho.
Vamos designar por F e B os dois conjuntos. Entao temos tres grupos de pessoasa quem o dono do bar deve servir:
F −B ; B − F ; F ∩B.
Se ele quiser num determinado momento contar o numero de pessoas que se en-contram no bar, basta contar o numero de elementos de cada um dos conjuntos acima,porque eles sao disjuntos:
n(F ∪B) = n(F −B) + n(B − F ) + n(F ∩B) (2.28)
∪
como F − B e F ∩ B sao disjuntos e alem do mais (F − B) ∪ (F ∩ B) = F entaon(F −B) + n(F ∩B) = n(F ) e assim:
n(F ∪B) = n(F ) + n(B − F ) (2.29)
Mas n(B − F ) = n(B)− n(F ∩B) e aı a formula acima fica:
Teorema 21 do numero de elementos da uniao.
n(F ∪B) = n(F ) + n(B)− n(F ∩B)
porque n(F ∩B) entra duas vezes na contagem quando somarmos n(F ) + n(B).
Na figura ?? temos a representacao de tres conjuntos A, B,C que se interceptamdois a dois e cuja intercecao total e tambem nao vazia. Um raciocınio semelhanteao que fizemos no exemplo do bar pode ser feito aqui para uma obter uma formulapara n(A ∪ B ∪ C). Mas vamos usar um outro caminho que nos vai permitir umageneralizacao dos resultados usando induc~ao finita.
Queremos encontrar uma formula para
n(A ∪ [B ∪ C]) = n(A ∪ [D]) (2.30)
e no s ja encontramos uma formula para a uniao de dois conjuntos que vamos usar:
n[D] = n[B ∪ C] = n(B) + n(C)− n(B ∩ C). (2.31)
Se juntarmos as formulas temos:
n(A ∪D) = n(A) + n(D)− n(A ∩D) = (2.32)
= n(A) + n(B) + n(C)− n(B ∩ C)− n(A ∩D) = (2.33)
= n(A) + n(B) + n(C)− n(B ∩ C)− n(A ∩ (B ∪ C)) = (2.34)
= n(A) + n(B) + n(C)− n(B ∩ C)− n((A ∩B) ∪ (A ∩ C)) = (2.35)
(2.36)
em que apenas expandimos a expressao da primeira equacao sucessivamente, sendoque da penultima equacao para a ultima usamos a distribuitividade da “intersecao”relativamente a “uniao”. Escrevendo separado o valor de
n((A ∩B) ∪ (A ∩ C)) =
n((A ∩B) + n(A ∩ C))− n((A ∩B) ∩ (A ∩ C))
usando a formula 21 aplicada a A∩B A∩C. As propriedades associativa e comutativada intersecao nos permite simplificar a ultima expressao de 2.37:
(A ∩B) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C
de modo a equacao (eq. ,2.37) agora fica
n((A ∩B) ∪ (A ∩ C)) =
n((A ∩B) + n(A ∩ C))− n(A ∩B ∩ C)
que substituida na equacao 2.36 nos da:
n(A ∪ B ∪ C) =
= n(A) + n(B) + n(C)− n(B ∩ C)− n(A ∩B)− n(A ∩ C) +
+(A ∩B ∩ C)
Aa figura (fig. 2.2) pagina 62, mostra a uniao dos tres conjuntos A, B, C.
AB
C
A U B U C
Figura 2.2: A ∪ B ∪ C
Com esta ultima fo rmula se esboca uma hipotese de inducao. Vemos que primeisosomamos os numeros de elementos dos conjuntos 1 a 1, depois subtraimos o numero dasintersecoes consideradas 2 a 2, depois somamos o numero de elementos da intersecao3 a 3 dos conjuntos.
Exercıcio 4 Numero de elementos da uniao de quatro conjuntos.Tome uma folha de papel, e se prepare para escrever no sentido do comprimento,
em vez da largura... Calcule n(A∪ [B∪ (C ∪D)]), que voce deve desenvolver de dentropara fora usando as formulas ja estabelecidas acima.
hipotese de inducao nos diz que q
n(A1 ∪ · · · ∪ An)
vai ser dada pelas somas e diferencas se alternando dos numeros de elementos dasintersecoes i aı em que i ∈ {1, 2, · · · , n}. Observe que aqui uma generalizacao dalinguagem em que estamos chamando de Aj uma intersecao 1 a 1, depois Ai ∩ Aj euma intersecao 2 a 2, etc. . .
∪
E mais facil expressar o resultado com palavras como fizemos acima, do que escreveruma formula para sua expressao...mas se voce quiser tentar:
Exercıcio 5 Numero de elementos da uniao de conjuntos.
1. ** Expresse n(A1 ∪ · · · ∪ An) em termos dos numeros de elementos dos con-juntos A1, · · · , An e dos numeros de elementos das intersecoes destes conjuntosentre si.
Na figura (fig. 2.3) pagina 63, voce representados os conjuntos A, B,C, D.
A
B
C
D
Figura 2.3: n(A ∪ B ∪ C ∪ D)
2. Numa pesquisa de geolo gica sobre producao de petroleo se consideraram tresamostras todas com o mesmo numero de poc os, 100, se verificando:
• Dos pocos perfurados sem informacoes sobre dados sismologicos da regiao,30% produz oleo.
• A metade dos pocos em que os testes sismologicos revelaram uma estru-trutura geologica subteranea favoravel, sao secos.
• 5/6 daqueles que os testes revelaram ausencia de estrutura geolocia sub-terranea favoravel, sao secos.
Encontre
(a) Qual e o percentual de pocos em que os testes reveleram estrutura geologicasubterranea favoravel e que produzem oleo
(b) Qual e o percentual de pocos em que os testes reveleram ausencia de es-trutura geologica subterranea favoravel mas que produzem oleo
(c) Quantos pocos sao produtivos?
3. Uma livaria que mantem um clube de leitura por correspondencia, fez um le-vantamento preliminar sobre a participacao no clube em cima do seu cadastro declientes tendo como resposta que 35% dos entrevistados participariam do clubeno ano seguinte. Revendo os resultados posteriormente, a livraria observou que
• 80% dos que estavam participando haviam dito preliminarmente que fica-riam ativos no clube;
• 20% dos que nao participaram se encontravam entre os que disseram queiam participar.
(a) Qual foi o percentual dos clientes cadastrados que participou do cluble?
(b) Qual foi o percentual que nao correspondeu a sua propria expectativa?
4. Num voo internacional se encontram 10 rapazes, 5 criancas brasileiras, 10 ho-mens, 7 rapazes americanos, 15 brasileiros, 7 adultos brasileiros, 9 mulheresamericanas. Quantos passageiros havia neste voo? Resp 34
2.6 Numero de elementos no produto cartesi-
ano.Quando estudamos os arranjos com repetic~ao vimos que o conjunto destesarranjos era o produto cartesiano Ap em que A e o conjunto de onde saotirados os objetos que se quer arranjar, e p e quantidade que se toma paracada arranjo.
Em algumas ocasioes interessa discutir o numero de elementos de A x B, o
produto cartesianos de conjuntos distintos, e o caso das placas dos carros.
Um exemplo mostra o metodo de trabalho.
Exemplo 21 Os pares para danca.Numa danc a de quadrilha existem 15 rapazes e 11 mocas inscritos, e se fez uma
acerto que a cada musica todos os rapazes danc ariam com todas as moc as. Como cadadanca demora 3 minutos, quanto tempo durou a festa se todas as moc as dancaramcom todos os rapazes.
Do numero de elementos do produto cartesiano, 15 x 11 deduzimos quanto tempoduraria a danca, porque em cada momento haveria 11 pares dancando: 15 x 11
11=
15 x 3 minutos.Para que ningue m reclamasse que deixou de dancar com alguem, o organizador
da festa, que era um professor de matematica, colocou as 11 mocas em fileira e naperpendicular a esta colocou os 15 rapazes pedindo depois que as mocas ocupassema diagonal do retangulo 11 x 11 e cada uma se dirigissem ao rapaz que estivesse asua frente. Termninada a danca, com todos de volta aos seus lugares, ele pedia aosrapazes que se permutassem circularmente, quer dizer o primeiro da fila passava parao ultimo lugar e os demais davam um passa para o lado fechando o lugar do primeiro,e novamente se repetia o processo de escolha, na diagonal, do rapaz, ateque o primeiroretornasse ao seu lugar.
Mas o numeros de pares feitos foram 15 x 11 e em cada momento dancavam 11,portanto foram precisos 15 momentos de 3 minutos logo 45 minutos para cada musica.
A festa durou 5 x (45 minutos).
A licao que se tira deste exemplo e que usamos o produto cartesiano como ummodelo para determinar como seria resolvido o problema.
Teorema 22 Numero elementos do produto cartesianoO numero de elementos de A x B e n(A) x n(B), o produto dos numeros de
elementos de cada conjunto:
Exercıcios 14 Numero de elementos de um conjunto
1. Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}(a) represente graficamente (A − B) x C e calcule o numero de elementos
deste conjunto.
(b) represente graficamente A x C − B x C e calculo o numero de ele-mentos deste conjunto.
(c) Um elemento-diagonal de um produto cartesiano e todo elemento que ti-ver pelo menos duas coordenadas iguais. Calcule o numero de elementosdiagonais de A x A x A.
2. Na classificacao do sangue, as pessoas sao analisadas quanto apresenca dosantıgenos A, B,Rh em que se usa a terminologia Rh+ ou Rh− conforme esteantıgeno esteja presente e O se nenhum dos antıgenos A, B esteja presente.Represente, com um produto cartesiano, todas as classes de doadores.
3. Se A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, represente graficamente o conjunto A x A
4. Numa pesquisa envolvendo 1000 famılias, encomendada pelos editores das revis-tas A,B,C teve a seguinte resposta:
A B C A e B A e C B e C todas
28% 30% 42% 8 10 5 3
• Quantos dos entrevistados nao le nenhuma das revistas?
• Quantas liam apenas a revista A?
• Podemos concluir que A leitura de B implica na leitura de C para algunsdos entrevistados?
Capıtulo 3
Relacoes e Funcoes.
Neste capıtulo vamos estudar relac~oes que e o modelo dentro do qual se encontram asfuncoes como um caso particular. Claro, as funcao sao de longe o exemplo mais importantede relacoes.Vamos repetir o estudo de certos modelos que apareceram nos capıtulos anteriores sob umanova visao.
3.1 Relacoes.
O padrao intuitivo de relacao envolve dois elementos X, Y e uma lei para definir se everdade que X esta relacionado com Y, ou se, reciprocamente, Y esta relacionado comX.
Por exemplo, se X ⊂ Y for verdadeira, Y ⊂ X pode ser verdadeira ou nao, (se for,os conjuntos sao iguais). Vamos usar o sımbolo R(X, Y ) para representar a frase “Xesta relacionado com Y.
Vemos desta discussao que estamos fazendo referencia aos pares (X, Y ) de objetosque pertencem a determinados conjuntos. Isto nos conduz a seguinte definicao:
Definicao 13 Relacao R entre os conjuntos A e B.Diremos que temos uma relacao R entre os conjuntos A, B se R identificar um
subconjunto de A x B.Usaremos a mesma letra R para identificar este subconjunto de A x B, quer dizer
que R ⊂ A x B, e mais usaremos como equivalentes:
R(x, y) e verdadeiro ≡ (x, y) ∈ R
Quando A = B diremos: R e uma relacao em A.
Exemplo 22 Relacoes aritmeticas.
1. A desigualdade1 em N.
Em N existe uma relacao designada pelo sımbolo “<”. Ela esta intimamenteligada com o princıpio da tricotomia que dizemos existir em N :
1Neste capıtulo olhamos para N como Kronecker dizia, “Deus nos deu os numeros naturais,o resto nos fizemos.” Kronecker sabia que era muito difıcil construir o conjunto dos numerosnaturais...
71
Princıpio da tricotomia: Dados dois numeros naturais m, n apenas uma dasrelacoes seguintes e verdadeira:
• m = n;
• m < n;
• n < m;
A palavra tricotomia e composta de duas palavras gregas, uma delas significa“tres” e a outra “corte”.
Observe o significado geometrico da tricotomia. N x N e o primeiro qua-drante consideradas apenas as coordenadas inteiras.
A primeira propriedade se refere aos pares (m, m) em que as duas coordenadassao iguais, quer dizer a diagonal do primeiro quadrante.
A segunda propriedadeR(m,n) = “m < n”
isto significa que o par (m, n) se encontra acima da diagonal e portanto R e osubconjunto do primeiro quadrante formado de todos os pontos que se encontramacima da diagonal.
A terceira propriedade R(m, n) = “m > n”representa o complemento das duasoutras o que nos levaria a representar R pelo outro subconjunto que fica abaixoda diagonal, mas sem incluir a propria.
2. Uma outra relacao, menos geome trica e ⊂ . Considere os conjuntos
A = {0, 1, 2, 3} ; P(A);
Pelo binomio de Newton, card(P(A)) = 24 = 16.
A figura (fig. 3.1) mostra o diagrama de Hasse de P(A). Este tipo de diagramae especial para mostrar as relacoes de ordem2, (a inclusao e uma relacao deordem).
Observe que no diagrama de Hasse, cada vez que um conjunto tiver menos ele-mentos, e maior o numero de linhas que o tem como ponto de chegada, porqueeles sao subconjuntos de quantidade maior de conjuntos.
Quando nao houver linha ascendente, se tem um par de conjuntos que nao saocomparaveis, nenhum dos dois e “maior” ou “menor” do que o outro. Eles estaono mesmo nıvel.
Ha varios tipos de relacoes, vamos estudar tres tipos aqui:
• Relacoes de ordem.
• Relacao de equivalencia.
• As funcoes.
Este ultimo tipo sera estudado em separado na proxima secao. Os dois primeiros seraovistos logo a seguir.
2logo a seguir discutiremos as relacoes de ordem
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aaaaaaaaaaa!!
!!!!
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����
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QQQ
PPPP
PPPP
PPPP
PPP �����������������
����������
cccccc
JJJJJ
�����
aaaa
aaaa
aaaa
�����
��������XXXXXXXXXXXXXXX
bbbbbbbb
���������������
HHHHHHHHHHH
SSSSS
,,
,,
,,HHHHHHHHHHHHHH
TTTTTTT
��������������
{0,1,2,3}
{ }
{0,1,2} {0,1,3} {0,2,3} {1,2,3}
{0,1}{0,2} {1,2} {1,3} {0,3} {2,3}
{0} {1}{2} {3}
Figura 3.1: Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3}
3.1.1 Relacoes de ordem.
Escrevemos o tıtulo desta secao no plural, e existem varias de relacoes de ordem?Vejamos um exemplo:
Exemplo 23 A ordem dos numeros de telefoneQuando nos referimos as estruturas, no capıtulo 1, ver ındice remissivo, falamos
de estrutura de ordem que podia ser encontrada no conjunto dos numeros de telefones.Para colocar em ordem o conjunto dos numeros dos telefones precisamos primeiro
descobrir a estrutura interna que estes “numeros” teem. Os numeros
(021)223443, (021)332331
nao podem ser vistos como021223443, 021332331
ou, como zero nao vale nada,
21223443, 21332331.
Um “numero”3 de telefone e formado de secoes distintas, uma delas e o codigo dearea. Se formos colocar em ordem:
(021)332345, (011)123345, (021)232234, (011)343321
3estamos escrevendo com aspas a palavra “nu mero” de telefone, porque eles nao saonumeros de verdade, nao podemos fazer operacoes aritmeticas com eles.
primeiro ordenariamos pelos codigos de area, depois pelo corpo do numero do telefone:
(011)123345, (011)343321, (021)232234, (021)332345;
de modo que todos que tenham o mesmo codigo area fiquem juntos. Portanto nadefinicao desta relacao de ordem primeiro verificariamos a ordem entre os codigos dearea, depois a ordem entre o corpo dos numeros de telefones.
Nao fariamos nada disto se estivessemos colocando em ordem os numeros inteiros
11123345, 11343321, 21232234, 21332345;
que simplesmente comparariamos como numeros sem olhar pedacos dentro de cadaum deles. Isto responde a nossa pergunta inicial: tem varios tipos de ordem? cujaresposta e“sim”.
Uma relacao de ordem menos habitual, que e a primeira que vamos estudar, erelacao de ordem entre os subconjuntos de um conjunto universo A.
Ordem em P(A).
Olhe o diagrama contido na figura (fig. 3.1), pagina 69. As linhas que ligam os nosrepresentativos de cada conjunto estao indicando X ⊂ Y. Se nao houver nenhumalinha entre X, Y isto significa que nem X ⊂ Y nem Y ⊂ X. Se um conjunto X forsubconjunto de outro Y e razoavel dizermos que X e menor que do Y, pelo menosporque X tem menos elementos do que Y.
Entao, nesta relacao de ordem ha elementos que nao sao comparaveis. Observe osconjuntos 3 a 3, eles se encontram no mesmo nıvel hierarquico relativamente a estarelacao de ordem. As relacoes seguintes sao falsas:
{0, 1, 2} ⊂ {0, 1, 3} ; {0, 1, 3} ⊂ {0, 1, 2}Vejamos quais sao as propriedades de uma ordem:
Definicao 14 de ordem.
1. transitividade Se X ⊂ Y e Y ⊂ Z entao X ⊂ Z, e sempre verdadeiro.
2. reflexividade Sempre e verdadeiro que X ⊂ X.
3. anti-simetria Se X ⊂ Y e Y ⊂ X entao X = Y. Isto e, so pode acontecerdesigualdades simetricas quando for com o mesmo elemento. Se usarmos anotacao R acima, diriamos: R(X, Y ) e R(Y,X) se, e somente se, X = Y.
4. A totalidade nao vale Nao e verdade que para qualquer par (X, Y ) valha X ⊂ You Y ⊂ X. Observe o que dissemos acima a respeito das linhas no diagramade Hasse. Quer dizer que a relacao de ordem ⊂ nao e total. Quando umaordem nao for total, dizemos que ela e parcial Dizemos ainda que P(A) naoe totalmente ordenado pela inclusao, (veja o exemplo acima com os conjuntos{0, 1, 2}, {0, 1, 3}).Uma outra forma de falar: “(P(A),⊂) e uma estrutura de ordem parcial”, (porcausa da 4apropriedade que nao vale).
Verifique voce mesmo que (N,≤) e uma estrutura de ordem total, (porque vale a4apropriedade).
Exercıcio 6 Relacoes de ordem
1. Defina formalmente a ordem que existe entre as palavras da lingua portuguesa.Vamos chamar este conjunto de L. Decida (L,≤) e uma ordem total? Existe ummenor elemento em L ? qual? Depende de como voce definiu x ≤ y. Tem ummaior elemento? Quer dizer, L tem um maximo, L tem um mınimo? Observeque esta pergunta pode ser feita de outra forma: todo dicionario tem um comeco?tem um fim?
2. Considere A = {0, 1, 2, 3} e P(A). Verifique quantas relacoes do tipo X ⊂ Y epossıvel construir com X, Y ∈ P(A).
3. Vamos afrouxar um pouco a definicao de “palavra” estabelecendo que quem qui-ser pode definir uma nova palavra. Verifique se e verdade ou falso em L que,dadas duas palavras x, y tem sempre uma palavra z; x ≤ z ≤ y.
4. Se nao tivessemos adotado a convencao do afrouxamento na questao anterior,qual seria resposta?
5. Na estrutura de ordem (N,≤) vale a propriedade dados dois nu meros x, y temsempre um numero z; x ≤ z ≤ y?
Existe mais um conceito importante que vamos induzir com exemplos e ao qualvoltaremos mais a frente no capıtulo 4, quando estudarmos os numeros.
Considere P(A). Ha aı dois “elementos” peculiares: A, {}. O primeiro, A contemtodos os outros, e nos diremos que e o maximo de P(A). O segundo, {} esta contidoem todos os outros, e nos o chamaremos de mınimo de P(A).
Podemos definir um conjunto chamado “das partes estritas de A. Neste conjuntonao entram nem A nem {}. Mas duas afirmacoes feitas acima continuam verdadeiras:A contem todos os outros, {} esta contido em todos os outros.
Mas, agora, A e {}. se encontram fora do universo dos elementos submetidosacomparacao, vamos dizer que A e supremo do conjunto das partes estritas de A, e damesma forma {} e o ı nfimo.
Mais dois conceitos sao importantes. Volte a considerar o conjunto das partesestritas de A. Os conjuntos 3 a 3 agora sao os ma ximos para uma colecao de subcon-juntos, veja quais. Como eles mao sao comparaveis, eles sao chamados de maximais..
Podemos dizer algo semelhantes relativamente aos conjuntos unita rios, agora in-vertendo a desigualdade. Os conjuntos unitarios sao os mınimos para uma colecao deconjuntos, (veja quais). Mas eles nao sao mınimos... e porisso eles sao chamados deminimais.
A palavra extremal faz referencia tanto a minimal como a maximal.Os extremais sao tıpicos das relacoes de ordem parcicial, mas observe que um
maximo e um maximal, e que um mınimo e um minimal.As definicoes de supremo, maximo, mınimo e infimo, geram confusao entre os que
estao aprendendo o assunto.Um outro conceito e importante nos conjuntos ordenados parcialmente. Vamos
continuar usando P(A) como exemplo. Olhe o gra fico (fig. 3.1), na pagina 69.Observe que alguns conjuntos estao ligados por linhas ascendentes desde {} ate A.Eles formam o que chamamos uma cadeia, um subconjunto totalmente ordenado.
Definicao 15 CadeiaE um conjunto totalmente ordenado de uma estrutura de ordem.
Um outro tipo de relacao de equivalencia. A igualdade entre numeros e um exem-plo.
3.1.2 Relacao de equivalencia.
Uma relacao de equivalencia serve para classificar os objetos de um conjunto. Sao elasque produzem as particoes de um conjunto de que ja falamos.
Se R for uma relacao de equivalencia em A entao R produz uma particao de A.Cada uma das partes de A assim produzidas se chama uma classe de equivalencia.
Vamos escrever a definicao de relac~ao de equivalencia:
Definicao 16 Relacao de equivalencia R. Diremos que R e um relacao de equi-valencia definida em A se, e somente se,
• reflexividade R(x, x) for verdadeira para todo x ∈ A.
• simetria R(x, y) ⇒ R(y, x), isto e, se R(x, y) for verdadeira, tambem R(y, x)sera.
• transitividade R(x, y) e R(y, z) ⇒ R(x, z), isto e, se R(x, y) e R(y, z)foremverdadeiras, tambem R(x, z) sera.
O conjunto de todos os elementos Y tal que R(x, y) e verdadeiro, se chama x a classede equivalencia de x.
Exemplo 24 Um exemplo de relacao de equivalencia.Considere a seguinte particao de A
{0, 1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}, {9}.
Para obter A basta calcular a uniao de todas as partes, porque, por definicao, quandose tem uma particao a uniao dos subconjuntos recompoe o universo. Tambem, pordefinicao as partes sao disjuntas.
Vamos testar as propriedades. Cada uma das partes de A listada acima e umaclasse de equivalencia. Entao tomando dois elementos,x, y, em qualquer classe
R(x, y) ⇒ R(y, x)
o unico caso crıtico e a classe {9} em que os dois elementos serao iguais. Vale atransitividade, e novamente a classe {9} e a mais crıtica para analisar, entretantotudo que se passa e que os tres elementos para os quais a propriedade vai valer, temque ser iguais, mas vale...
A propriedade reflexiva e sempre a mais trivial de verificar, porque se nao valessetinha um elemento x ∈ A que nao pertenceria a nenhuma classe, mas neste caso auniao nao reproduziria A. Contradicao. Assim a relacao de equivalencia associada aparticao
{0, 1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}, {9}.de A serve para classificar os elementos de A que por uma razao qualquer devem ficarnuma mesma classe.
Exemplo 25 Classificacao de graos.Uma fazenda usa dois tipos de peneiras, cujos buracos tem uma diferenca de 1
milimetro, para classificar feijao. Portanto a sua producao de feijao vai ficar todaclassificada em
• A1 o conjunto dos graos de feijao pequenos, que passam em todas as peneiras.
• A2 o conjunto dos graos medios, que passam em uma das peneiras.
• A3 o conjunto dos graos grandes, que nao passam em nenhuma das peneiras.
Verifique que valem as tres propriedades.
Exemplo 26 A relacao de igualdade. A relacao de igualdade e um tipo de relacaode equivalencia que produz a particao mais fina. Nela todas as classes de equivalenciasao conjuntos unitarios.
Exercıcio 7 Relacoes
1. Mostre que a relacao “a divide b” e uma relacao de ordem parcial em N. Exibaalguns pares nao ordenaveis.
2. Considere a relacao de ordem parcial “a divide b”. Tome “a=3” e encontre acadeia a que “a=3” pertence. Esta correto usar o artigo definido: “a cadeia aque “a=3” pertence”?
3. Quais sao os minimais da relacao “a divide b” em N? Ha maximais? Verifiquese todo minimal e ponto de partida de uma cadeia.
4. Verifique que o teste “divısivel por dois” particiona o conjunto N em duas classesde equivalencia. O que significa dizer que X e equivalente a Y nesta relacao deequivalencia?
5. Verifique que o teste “divısivel por tres” particiona o conjunto N em tres classesde equivalencia. O que significa dizer que X e equivalente a Y nesta relacao deequivalencia?
6. Duas fracoes sao ditas equivalentes se formarem uma proporcao. Verifique sevalem as tres propriedades. De exemplos de tres fracoes equivalentes.
3.2 A definicao de funcao.
As funcoes sao um tipo de relacao mais simples, os graficos das funcoes “mais
comuns” sao curvas, segmentos de retas. Com muita frequencia vemos graficos
de curvas nos jornais indicando como mudam ou evoluem alguns fenomenos.
Observe a diferenca entre as duas tabelas abaixo:lista dos enfermeiros de plantao
enf\dia seg ter qua qui sex sab dom
a Eva Elias Elias Maria Elias Elson Elias
b Dayse Elson Jose - Joao Joao Eva
c Joao Eva Denise - Maria Maria Dayse
d Jose Maria - - Eva - -
e Maria - - - Jose - -
f - - - - Elson - -
Obs.Na coluna a esquerda se encontra a indicacao das enfermarias onde os enfermeirospodem ser encontrados.
enf\dia seg ter qua qui sex sab dom
Qtde 5 4 3 1 6 3 3
Na primeira tabela e na segunda se tem dois aspectos da mesma informacao.A primeira e descritiva, indica quais sao os enfermeiros que estao de plantao e em
que enfermaria eles se encontram.A segunda tabela e quantitativa, ele registra apenas a quantidade de enfermeiros
que se encontram de plantao.A segunda tabela e mais simples e da uma ideia imediata da forca de trabalho
disponı vel, ou do nıvel de emergencia necessario em cada um dos dias da semana.Dela se pode deduzir, numa ra pida olhadela, que ha dois dias crıticos, sexta e segundaporque ha necessidade de mais enfermeiros de plantao, e a quinta-feira e um dia depaz no hospital, pelo menos habitualmente.
Claro, as duas tabelas tem funcoes especıficas e nao podemos dizer que uma e maisimportante que a outra, mas queremos salientar que a segunda tem a informacao maisconcentrada e mais facil de ser percebida. Nesta se pode dizer que:
• para x ∈ {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom};• existe um unico y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6};• y esta relacionado com x.
As duas tabelas representam relacoes. A primeira entre os conjuntos
S = {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}
eE = {Jose, Maria, Elias,Elson, Dayse, Eva, Joao}
A segunda tabela estabelece uma funcao entre os conjuntos
S = {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}
eQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Como ja definimos, uma relacao e um subconjunto de um produto cartesiano. Noprimeiro caso temos
R ⊂ S x Ee no segundo caso temos
f ⊂ S x Q.
No produto cartesiano S x Q, o primeiro conjunto, S, e chamado domınio darelacao e o segundo conjunto, Q, se chama de contra-domınio da relacao.
Quando uma relacao R goza da propriedade:
∀x ∈ domınio ∃ um unico y ∈ contra-domınio ; R(x, y)
ela se chama func~ao. A segunda tabela representa uma funcao, porque para cada x doconjunto dos dias da semana temos exatamente uma informacao associada x, chamadaf(x) e neste caso:
f(x) = quantidade de enfermeiros de plantao no dia x.
Observe na (fig. 3.2) um grafico da funcao y = f(x).
Figura 3.2: Histograma dos enfermeiros.
No proximo grafico voce encontra algo parecido com o que ja deve ter visto numjornal, digamos a “evolucao do preco do dolar” ao longo da semana. O grafico “nosdiz”:
inicialmente, de segunda para terc a, o dolar subiu de preco, passando depois
a cair ate sexta quando voltou a subir de novo mostrando uma tendencia a
super o preco mais alto obtido na segunda. Observe a (fig. 3.3) na pagina
76.
Este tipo de relacao, as “funcoes” podem representar de modo muito simples eefetivo os fatos, como descrevemos acima com a fictıcia evolucao do dolar. O fato deque para cada x haver apenas um valor de y permite se descreva o comportamento defenomenos usando as funcoes.
Ha mais uma propriedade das funcoes que ainda nao salientamos: o conjunto quechamamos domınio deve ser todo utilizado. Nestas condicoes aqui esta definicao defuncao:
Definicao 17 de funcao definida em A e tomando valores em B.Dizemos que a funcao f esta definida em A e toma seus valores em B :
f : A → B ; A ∋ x 7→ f(x) ∈ B
%%%%%%l
lllllllllllll%
%%%%%%%%%%%%%%%%%
��
HH##
seg ter qua qui sex sab dom seg ter .....
Figura 3.3: Evoluco do preco do dolar.
se para todo x ∈ A houver um e somente um y ∈ B tal que o ponto (x, y) ∈ graf(f).Leitura A expressao f : A→ B e lida ”f de A em B”.O conjunto dos pontos (x, f(x)) formam um sub-conjunto de A x B que chama-
mos graf(f), o grafico de f.
Nas figuras (fig. 3.2) e (fig. 3.3) voce tem o gra fico de duas funcoes. Nos graficosdos exemplos que seguem, (fig. 3.4),(fig. 3.5), (fig. 3.6), voce vai encontrar graficosfeitos automaticamente por um programa de Calculo Numerico representando funcoesdefinidas por uma expressao algebrica.
Exemplo 27 1. Tomemos f(x) = x, quer dizer que os pontos que estarao nografico de f serao apenas aqueles em que as duas coordenadas forem iguais:
{(−10,−10), (−9,−9), (−8,−8), . . . , (10, 10)}.
O domınio escolhido foi o conjunto
A = {−10,−9,−8,−7, . . . , 7, 8, 9, 10}.
Ale m de aparecerem no desenho os pontos de graf(f) tambem estao desenhadosos eixos de referencia, eixo OX e o eixo OY. Ver o grafico (fig. 3.4)
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10
f(x) = x
’data’
Figura 3.4: grafico de f(x) = x domınio A = {−10,−9,−8, ..., 10}.
2. Tomemos f(x) = x2, quer dizer que os pontos que estarao no grafico de f seraoapenas aqueles em que a coordenada y e o quadrado da coordenada x:
{(−5, 25), (−4, 16), (−3, 9), . . . , (3, 9), (4, 16), (5, 25)}.
O domınio escolhido foi o conjunto A = {−5,−4,−3,−1, . . . , 3, 4, 5}. Ale m deaparecerem no desenho os pontos de graf(f) tambem estao desenhados os eixosde referencia, eixo OX e o eixo OY. Ver o grafico (fig. 3.5)
3. Tomemos f(x) = x + 1, quer dizer que os pontos que estarao no grafico def serao apenas aqueles em que a coordenada y for uma unidade maior que acoordenada x:
{(−5,−4), (−4,−3), (−3,−2), . . . , (3, 4), (4, 5), (5, 6)}.
O domınio escolhido foi o conjunto A = {−5,−4,−3,−1, . . . , 3, 4, 5}. Fizemosaparecer no desenho tambem os eixos. Ver o grafico (fig. 3.6)
Definicao 18 Imagem de uma funcaoSe f : X → Y for uma funcao e A ⊂ X, chama-se imagem de A por f ao conjunto
f(A) = {y ∈ Y ; y = f(x) ; x ∈ A}
Exercıcio 8 Propriedades da imagem de uma funcao Se Xf−→ Y for uma funcao
qualquer, e A, B ⊆ X verifique que
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6 -4 -2 0 2 4 6
funcao nao sobrejetiva
’data’
Figura 3.5: Grafico de f(x) = x2.
1. f(∅) = ∅; f(X) ⊆ Y ;
2. Se A ⊂ B entao f(A) ⊂ f(B);
3. f(⋃
iAi) =
⋃if(Ai);
4. f(⋂
i Ai) ⊆⋂
i f(Ai).
Verifique tambem que, para imagem inversa valem
1. f−1(∅) = ∅; f−1(Y ) = X;
2. Se A ⊂ B entao f−1(A) ⊂ f−1(B);
3. f−1(⋃
iAi) =
⋃if−1(Ai);
4. f−1(⋂
iAi) =
⋂if−1(Ai).
5. f−1(Ac) = [f−1(A)]c
em que A, B ⊆ Y.
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x) = x+1
’data’
Figura 3.6: grafico de f(x) = x + 1 domınio A = {−5,−9,−8, ..., 5}.
3.3 Tipos de funcao.
Uma utilidade das funcoes e transformar um conjunto n’outro de um modoque esperamos conseguir utilizar melhor a informacao contida no primeiro.Por exemplo, quando falamos emitimos “ondas sonoras” que tem intensidade,frequencia, e duracao que as caracterizam. Estes dados podem ser captadospor um microfone e gravados numa fita. Mas se quisermos transmitir a voz auma distancia grande, por telefone, entao temos que transforma-las em sinaldigital porque eles ocupam menos espaco, e uma razao, e assim podem sertransmitidos com maior eficiencia: rapidez, confiabilidade, etc...Mas, . . . , e do outro lado? la esta um humano cujo ouvido nao entendede sinais digitais, e espera intensidade, frequencia e duracao para entendera mensagem. Entao e preciso transformar de volta o sinal digital em sinalsonoro.
Nao vamos fazer aqui digitalizacao de sinais... mas vamos dar os primeiros
passos no sentido de entender como e que tais coisas ocorrem: quando pode-
mos transformara e depois transformar de volta sem perder informacaob.
aa palavra certa e codificar e depois decodificar.bna verdade se perde informacoes sempre, mas o que se deseja e perder
pouco.
3.3.1 Funcao injetiva.
O exemplo seguinte mostra como podemos, e porque razao fazemos, uma trans-formacao em um conjunto de dados e sua recuperacao posterior. E um exemplosimples.
Exemplo 28 Uma codificacao e sua decodificacao. Considere o seguinte conjunto dedados.
A = {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}e suponha que, no teclado o “-” esta estragado, nao funciona. Entao avisamos a quemvai receber esta “mensagem A” que somaremos a todos os numeros o numero 5 (co-dificacao), portanto do outro lado devera ser feito o trabalho inverso, (decodificacao).Entao
B = T (A) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {y ; y = x + 5}.Quem recebeu a mensagem do outro lado, conhecedor do “codigo” vai agora subtrair
de todos os elementos do conjunto B 5 unidades para recuperar os valores primitivos:
A = T−1(T (A)) = {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Isto so foi possıvel porque a funcao T usada para codificar tem a seguinteo propri-edade:
x1 6= x2 ⇒ T (x1) 6= T (x2)
quer dizer que T “separa” as imagens de pontos diferentes. Vamos ver o exemplocontrario, uma funcao que nao “separa”, ou “confunde” imagens: S(x) = x2. Seaplicarmos S a informacao inicial:
S({−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}) = {25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25}.
Claro, ainda aqui seria possıvel recuperar os dados sabendo de informacoes adicionais,mas seria complicado. Mas a funcao T faz o trabalho de forma mais simples e imediata,porque “separa” as imagens de pontos diferentes.
As funcoes que fazem isto, “separam” as imagens de pontos diferentes se chamaminjetivas
Definicao 19 Funcao injetiva.Uma funcao f se diz injetiva se
x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)
Alguns autores preferem a palavra injetora.
Observacao 12 Valores subjetivos.E preciso salientar aqui que as funcoes “injetivas” nao sao melhores que as outras.
Nao usamos adjetivos em ciencia. O virus do HIV nao e ruim, e apenas um virus, eclaro, eu nao estou interessado em ser infectado por ele, mas ele nao e nem ruim nembom. Quem e ruim ou bom para um determinado indivıduo, sao as consequencias dosfatos. Isto e subjetivo. Em suma, nao estamos classificando as funcoes como boas ouruins. Estamos apenas classficando-as para que as possamos utilizar da forma maisadequada. A funcao S(x) = x2 pode servir para esconder informacoes, tem gente quegosta disto, e ate precisa disto.
Exercıcio 9 Funcoes injetivas, (ou nao).
1. Identifique quais das relacoes abaixo nao e funcao injetiva, ou nem e func~ao
(a) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ y = 2x− 2
(b) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3, 4};W = {0, 2, 4, 5} ; x 7→ y = 2x− 2
(c) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ 0
(d) U :f−→ W ;U = {2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ;
f(x) =
{0 se x for par1 se x for impar
(e) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5}
y > x⇒ x 7→ y
2. Crie uma expressao grafica adequada para cada uma das relacoes do item ante-rior.
3.3.2 Funcao sobrejetiva.
Dos exemplos contidos no exercıcio 1, vamos considerar o seguinte:
U :f−→ W ;U = {1, 2, 3};W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ y = 2x− 2.
U :f−→ W e uma funcao, mas nao faz uso de todos os elementos do contra-domınio
W. Observe que 5 ∈W nao e imagem de nenhum x ∈ U.Diremos que esta funcao nao e sobrejetiva, porque ela nao utiliza todos os pontos
do contradomınio.
Exemplo 29 Tornando sobrejetiva uma funcao. O grafico na figura (fig. 3.7) tambemconte m uma funcao que nao e sobrejetiva se domınio for A = {−5,−4,−3, ..., 5} e ocontra-domınio for
{−25,−24, . . . , 24, 24}.
Deixe-nos salientar o condicional que empregamos: “A funcao nao e sobrejetiva sedomınio for A = {−5,−4,−3, ..., 4, 55} e o contra-domınio for
{−25,−24, . . . , 24, 24}′′.
Porque podemos mudar o contra-domınio da funcao, e consequentemente redefinı-la, estabelecendo: f : A→ {0, 1, 4, 9, 16, 25} e agora estaria usando todos os elementosdo contra-domınio, claro, porque descartamos aqueles que nao estavam sendo usadosantes.
Definicao 20 Funcao sobrejetiva.
Diremos que uma funcao U :f−→ W e sobrejetiva, se para todo y ∈ W existir
x ∈ U tal que y = f(x). Alguns autores preferem a palavra sobrejetora.
Exercıcio 10 Funcoes sobrejetivas.
1. Identifique quais das funcoes abaixo nao e sobrejetiva e, sendo o caso, a redefinapara que se torne sobrejetiva.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6 -4 -2 0 2 4 6
funcao nao sobrejetiva
’data’
Figura 3.7: f(x) = x2 esta funcao nao e sobrejetiva se domınio A = {−5,−4,−3, ..., 5};contra-domınio =
{−25,−24, . . . , 24, 24}.
(a) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3};W = {0, 2, 4} ;x 7→ y = 2x− 2
(b) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 8, 10, 12} ;x 7→ y = 2x− 2
(c) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3};W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ 0
(d) U :f−→ W ;U = {2, 3, 4};W = {0, 1, 2, 3} ;
x 7→ 0 ⇐ x par ; x 7→ 1 ⇐ x impar
(e) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3};W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ y ⇐ y > x
2. Crie uma expressao grafica adequada para cada uma das relacoes do item ante-rior depois das moficacoes feitas.
3.3.3 Funcao bijetiva.
A definicao de uma funcao bijetiva e:
Definicao 21 Funcao bijetiva.
Diremos que uma funcao U :f−→ W e bijetiva, se for sobrejetiva e injetiva. Alguns
autores preferem a palavra bijetora.
Nos vimos nos exemplos sobre funcoes nao sobrejetivas que isto pode ser “corrigido”retirando-se pontos do contra-domınio que nao estejam sendo utilizados. De forma
analoga podemos tirar pontos do domınio que tenham valores comuns com outrospontos de modo que a funcao se “torne” injetiva4.
Sao as funcoes bijetivas as ideais para se fazerem as codificacoes ou decodificacoesdas quais falavamos, uma vez que elas identificam os dois conjuntos, o domınio e ocontra-domınio. Cada ponto de um destes conjuntos corresponde a um e a somenteum ponto do outro conjunto. Desta forma se pode transformar um conjunto no ou-tro e depois desfazer a transformacao sem perda de informacao. As palavras-chaveaqui sao codificac~ao e decodificac~ao. E isto que fazemos a todo momento comas telecomunicacoes transformando certos fatos fısicos da realidade em sinais digita-lizados, enviando estes dinais digitalizados e depois transformando de volta os taisfatos fısicos5 ao seu estado anterior. Como ja dissemos, perdemos informacoes nestastransformacoes mas o que se perde nao e visı vel ou audıvel de forma que do ponto devista de nossas comunicacoes fica tudo perfeito.
Exercıcio 11 Funcoes bijetivas.
1. Identifique quais das funcoes abaixo nao e funcao bijetiva, e sendo o caso mo-difique o domınio, ou contra-domınio, fazendo a modificacao mais economica,para obter uma funcao bijetiva.
(a) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 6} ;x 7→ y = 2x− 2
(b) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3, 4};W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ; x 7→ y = 2x− 2
(c) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ 0
(d) U :f−→ W ;U = {2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ;
x 7→ 0 ⇐ x par ;x 7→ 1 ⇐ x impar
(e) U :f−→ W ;U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ;x 7→ y ⇐ y > x
2. Crie uma expressao grafica adequada para cada uma das relacoes do item ante-rior, depois feitas as modificacoes necessarias.
3.4 Funcoes polinomiais
Vamos estudar polinomios a parte no ultimo capıtulo. Agora vamos estudardois tipos de polinomios, do primeiro e do segundo grau.Parte do nosso objetivo sao as equacoes polinomiais de grau menor ou iguala dois e um estudo grafico das funcoes que podemos definir com estes po-linomios.
3.4.1 A funcao linear afim
Resumo.As funcoes lineares afins sao definidas por meio dos polinomios do primeiro grau:
f(x) = ax + b
e uma funcao linear afim se a 6= 0.Os graficos destas funcoes sao retas, as progressoes aritmeticas sao funcoes deste tipo. Vere-mos isto aqui.
4a expressao “se torne” e incorreta, mas bastante usada, na verdade ao fazerem tais modi-ficacoes, se redefine a funcao, se tem uma nova funcao.
5como se um sinal digitalizado nao fosse um “fato fısico”...
Um polinomio do primeiro grau e uma expressao do tipo
ax + b
em que a, b sao dois numeros dados e x e uma variavel. Costumamos escrever
P (x) = ax + b
para indicar que x pode assumir valores. Quer dizer que P pode ser entendido comoum funcao e nos podemos entao calcular seu valor em um numero:
P (3) = 3a + b;P (0) = b;P (−1) = b− a;P (1) = a + b.
Propriedades das funcoes do primeiro grau
Uma propriedade fundamental das funcoes do primeiro grau diz respeito adiferenca.Vejamos o que significa isto.
Seja f(x) = ax + b, uma funcao cuja equacao e um polinomio do primeiro grau.Acompanhe as contas que faremos agora, em seguida logo vamos analisar o que fizemos,se voce sozinho nao chegar as suas proprias conclusoes.
Entao:
f(x + ∆x)− f(x) = a(x + ∆x) + b− (ax + b) =
ax + a∆x + b− ax− b = a∆x
Vamos analisar o que fizemos.Primeiro usamos o sımbolo ∆x para representar um acre scimo. Assim calculamos
o valor da variacao de f relativamente ao acrescimo ∆x.O resultado foi que a variacao de f e proporcional ao acrescimo. Vamos repetir as
contas com uma pequena modificacao e em seguida analisaremos o resultado:
∆f = f(x + ∆x)− f(x) = a(x + ∆x) + b− (ax + b) =
ax + a∆x + b− ax− b = a∆x.
Logo, ∆f = a∆x
O acre scimo de f , e o acrescimo da varia vel, se encontram na proporcao:
∆f = a∆x.
Observe que a variavel x desapareceu nas contas. Quer dizer que esta proporcao entre∆f e ∆x nao depende de x. Esta e uma propriedade fundamental das funcoes doprimeiro grau que vamos explorar muito.
Observe na figura (fig. 3.8) pagina 85,
O sımbolo ∆ com frequencia representa diferencas ou acrescimos, como no presentetexto.
A figura (fig. 3.8) pagina 85, traz o gra fico de uma reta e sugere que este graficocorresponde afuncao f(x) = ax + b. Vamos ver que isto e verdade, que os graficos defuncoes lineares afins sao retas.
As contas que fizemos acima, associando ∆f, ∆x nos dizem que
������������������������������
������������
������������
����������������
��������������
��������∆
∆∆
∆ f
f
xx
f(x) = ax + b
triangulos
semelhantes
q q+pp+
x∆f = a∆
∆x
∆x
Figura 3.8: Diferenca: proporcao constante na funcao do linear afim.
• quando nos afastamos de um ponto x = p com um acrescimo ∆x se produz umacrescimo ∆f = a∆x no valor de y = f(p).
• a figura (fig. 3.8) nos diz que e irrelevante o ponto em que isto e feito: no pontox = q podemos ver outro triangulo semelhante ao primeiro feito quando x = p.
• Como os triangulos sao semelhantes, porque os lados sao proporcionais, entaoas hipotenusas dos mesmos vao ficar sobre uma mesma direcao.
• A conclusao a que podemos chegar com estes dados e que a funcao y = f(x) =ax + b tem como grafico uma reta.
Demonstramos assim o teorema:
Teorema 23 Grafico das funcoes lineares afins O grafico das funcoes lineares afinssao retas.
Como uma reta fica determinada por dois pontos, basta que calculemos dois pontosdo grafico:
(x1, f(x1)), (x2, f(x2))
e tracar a reta que passa por estes dois pontos.
Exercıcios 15 Diferencas, graficos Para cada um dos itens abaixo, faca o grafico dafuncao e da diferenca solicitada.
1. Considere f(x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acrescimo ∆x = 1 quando p ∈{−3,−1, 0, 1, 2}.
2. Considere f(x) = −3x + 2. Calcule ∆f para o acrescimo ∆x = 1 quando p ∈{−3,−1, 0, 1, 2}.
3. Considere f(x) = 3x − 2. Calcule ∆f para o acrescimo ∆x = 1 quando p ∈{−3,−1, 0, 1, 2}.
4. Considere f(x) = −3x − 2. Calcule ∆f para o acrescimo ∆x = 1 quando p ∈{−3,−1, 0, 1, 2}.
5. Considere f(x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acrescimo ∆x = 2 quando p ∈{−3,−1, 0, 1, 2}.
6. Considere f(x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acrescimo ∆x = 3 quando p ∈{−3,−1, 0, 1, 2}.
O coeficiente angular e coeficiente linear
O numero a na equacao da funcao linear afim f(x) = ax + b e o quocientes entre oscomprimentos dos catetos de qualquer triangulo obtido, como na figura (fig. 3.8). Istoquer dizer que a = tg(α) em que α e o angulo que a reta faz com o eixo OX.
Observe na figura (fig. 3.9) pagina 86, o angulo α e o quociente ∆f
∆xrepresentados
em dois pontos diferentes do grafico.
������������������������������
������������
������������
����������������
��������������
��������∆
∆ f
f
f(x) = ax + b
qp
x∆f = a∆
∆x
∆x
α
α
tg(α)= −−−−−−∆
∆
f
x
Figura 3.9: a tangente do angulo α e a.
O outro coeficiente na expressao polinomial que define f(x) = ax + b, o numero bse chama coeficiente linear. Ele e o valor de f no ponto x = 0 portanto correspondeasegunda coordenada do ponto em que a reta y = ax + b corta o eixo OX.
Na figura (fig. 3.10) pagina 87, voce pode ver o grafico da reta y = 2x + 1observando os pontos em que o grafico corta os eixos.
O grafico corta o eixo OY no ponto (0, 1), sendo 1 = f(0). O ponto em que ografico corta o eixo OX e quando y = 0. Se substituirmos na equacao y = 2x + 1teremos:
y = 0 = 2x + 1 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = −1
2.
Como este ponto foi obtido como solucao de uma equacao associada afuncao y = f(x)dizemos que euma raiz da funcao.
Como as funcoes do primeiro grau tem por grafico uma reta, elas so podem cortaros eixos uma vez (a nao se que se confundam com os mesmos). Isto representa umteorema importante: as equacoes do primeiro grau tem uma unica solucao:
Teorema 24 Solucoes das equacoes do primeiro grau As equacoes do primeiro grauax + b = 0 tem uma unica solucao:
x = − b
a.
y = 2x + 1
(0,1)
( ____ −12
,0)
=f(x)
x=0
f(x) =0
y=0
∆
∆
y
x
∆∆
________y
x= 2
Figura 3.10: Os pontos em que uma funcao linear afim corta os eixos.
Exercıcios 16 Coeficiente angular da reta
1. Trace as retas cujas equacao sao
y = − 12x + 3 y = x+3
2y = 3−x
3y = −2x + 1
2. Para cada uma das retas do item anterior, marque os pontos em que elas cortamos eixos. Resolva as equacoes do primeiro grau associadas a cada uma das retas.
3. Para cada uma das retas do primeiro item, calcule os valores de y = f(x)quando:
a) x = −1 b) x = 0 c) x = 1 d) x = 2
4. Para cada equacao y = ax + b no primeiro item, calcule ∆y
∆x. Observe que que
o quociente e o coeficiente angular de cada reta. Desenhe em cada reta umtriangulo retangulo dando um valor especıfico para ∆x e escolhendo um pontox = p. Observe o grafico (fig. 3.8), na pagina 85.
5. Uma reta de coeficiente angular −2 passa no ponto (−3, 1). Encontre a equacaodesta reta.
6. Encontre a equacao da reta que passa no pontos
(−3, 0), (2, 5).
Funcao linear
Quando o coeficiente linear, na funcao linear afim e zero, nos chamamos a funcaopolinomial correspondente de linear.
Definicao 22 Funcao linearSe em f(x) = ax + b o coeficiente linear, b = 0, for zero, a funcao f(x) = ax e
chamada de linear.
Como o coeficiente linear e zero, as funcoes lineares passam na origem: f(0) = 0.Nos graficos das funcoes lineares, sempre podemos escolher um dos triangulos que
tem a hipotenusa sobre o grafico com um dos vertices na origem. Ver na figura (fig.3.11) pagina 89,
Nas funcoes lineares y = f(x) = ax o coeficiente de proporcionalidade se aplicadiretamente avariavel para obter o valor da funcao sem mais outro calculo.
Exercıcios 17 Funcoes lineares
1. O trabalho de um pedreiro e pago de acordo com f(t) = at em que t representao tempo em dias e a representa o valor da diaria. Quanto vai ganhar o pedreiroem 30 dias de trabalho se a diaria vale R$15,00.
2. Um bombeiro hidraulico cobra R$2,00 por hora (ou fracao de hora) de trabalhomais uma taxa de R$10,00 por visita. Escreva a funcao do primeiro grau quedescreve o preco do seu trabalho num dia, junto a um cliente, e decida se e umafuncao linear.
3. Um bombeiro hidraulico cobra R$2,00 por hora (ou fracao de hora) de trabalhomais uma taxa de R$10,00 por visita.
Como o bombeiro fez tres visitas, tendo na primeira trabalhado durante 2 horas,na segunda 2 horas e meia e na terceira 5 horas, faca o grafico que descreve oseu rendimento neste dia de trabalho.
Definicao 23 Progressao Aritmetica
Uma sucessao {a0, a1, . . . an} se diz uma progressao aritmetica, “p.a.” se adiferenca entre quais quer dois termos sucessivos for constante:
ak+1 = ak = ∆
=f(x)
∆∆
________y
x= 2
y = 2x
(0,0)
1−1
−2
2
(−1,−2)f(−1)=−2
OX
OY
∆x
∆y
Figura 3.11: A funcao linear y = 2x.
Esta diferenca constante e chamada de razao da progressao aritmetica.
A expressao ak e chamada termo geral da p.a.
4. Construindo p.a.
(a) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0 = 1 e a razao ∆ = 2
(b) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a9 = 18 e a razao ∆ = 2
(c) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0 = 1 e a razao ∆ = −2
(d) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a4 = 1 e a3 = 2
5. Termo geral de uma p.a. Verifique que se a razao de uma p.a. e ∆ entao o seutermo geral pode ser escrito em funcao do primeiro termo, a0 como
ak = a0 + (k − 1)∆.
Escreva a expressao do ultimo termo, an−1.
6. Numa p.a. com 10 termos o ultimo termo e a9 = 26. Determine o termo geralsabendo que a0 = −1.
7. Mostre que os ganhos do bombeiro hidraulico (exercıcio acima) tem seus ganhosdefinidos por uma p.a. ao longo de um dia de trabalho, em que k e o tempoem horas inteiras, (descontando o tempo que ele leva para se translatar de umcliente a outro)
8. Um tecnico de TV e vıdeocassete cobra 40 reais pela visita e 4 reais pela hora detrabalho (ou fracao). Quanto lhe vai render um servico que tiver durado 2 horase vinte minutos.
9. Em duas cidades A,B, as tabelas de corrida de taxi sao definidas assim:
(a) Em A R$2,00 custa o quilometro rodado (ou fracao) e a bandeirada valeR$1,50;
(b) em B R$1,50 custa o quilometro rodado (ou fracao), e a bandeirada valeR$2,00
Faca os graficos das curvas de preco dos taxis nas duas cidades e conclua se otaxi e mais barato em alguma das cidades.
10. Mostre que o termo geral de uma p.a. pode ser escrito como uma funcao doprimeiro grau: f(x) = a + (x − 1)b e identifique usando as expressoes ak,∆ arazao, o primeiro termo, e o termo geral desta progressao aritmetica.
11. Mostre que numa p.a. a media aritmetica de tres termos consecutivos ak, ak+1, ak+2
e ak+2 =ak+ak+3
2.
12. Encontre x sabendo que 3, x, 10 sao os termos consecutivos de uma p.a.
13. Decida se e verdade: “os mandatos dos presidentes da republica do Brasil, ocor-rem segundo uma p.a.”.
14. Decida se e verdade, e se for escreva a p.a. correspondente: “as datas em que ocometa Haley se torna visıvel em nosso horizonte formam uma p.a.”
15. Quantos sao os multiplos de 7 entre 1000 e 2000 ?
16. Calcule o valor de x, y, z na p.a.
5, x, 13, y, 21, z, 29
17. termos equidistantes Por definicao, dizemos que os termos ak, an−k sao termosequidistantes dos extremos numa p.a. Prove que a soma de todos os termosequidistantes e constante, e calcule este valor relativamente a p.a.
a0, a1, . . . , an.
18. Formula da soma dos termos Deduza do teorema anterior que
n∑
k=0
ak = a0 + a1 + . . . + an =(a0 + an)n
2
19. Considere uma p.a.a0, a1, . . . , an.
com razao ∆. Uma outra sucessao e obtida, desta, mantendo-se o primeiro e oultimo termo, mas considerando-se como razao ∆
2. Calcule a soma dos termos
da nova progressao em termos da soma dos termos da primitiva.
20. Numa sucessao o termo geral e sk = ak + b em que a, b sao dois numeros dados.Mostre que esta sucessao e uma p.a.
21. Calcule a soma dos n primeiros numeros naturais. Existe alguma diferenca noresultado, considerada a polemica sobre se o zero e ou nao um numero natural?
22. Escreva o termo geral da p.a. formada pelos n primeiros numeros naturaisımpares.
23. Numa p.a. de termo geral an o primeiro termo e a0 = 5 e a razao e 2. Escrevaa expressao do termo geral e calcule a20.
24. Numa p.a. tem-se a10 = 17, a0 = 13. Calcule a3, a5.
25. Numa p.a a10 = 17, a6 = 13. Calcule a5 − a3.
26. Calcule a soma dos n primeiros numeros naturais ımpares.
27. Um grupo de pessoas almocou num restaurante decidindo ao final ratear o custode $R 240,00 da refeicao, quando, quatro pessoas do grupo disseram-se impos-sibilitadas de participar dos gastos o que aumentou em $R 5,00 o que cada umadas outras teve que pagar. Quantos eram os membros do grupo ?
Solucao: Vamos designar por x o numero total de pessoas do grupo e portanto
o preco, por pessoa do rateio seria 240x
ficando este preco acrescido de $R 5,00
quando quatro pessoas nao puderam pagar: 240x
+ 5. Este e o valor que cada umdos x − 4 restantes do grupo tiveram que pagar individualemnte, portanto iguala 240
x−4. Isto nos conduz a equacao
240x−4
= 240x
+ 5
240x = 240(x − 4) + 5(x − 4)x
−48.4 + x2 − 4x = 0
−192 − 4x + x2 = 0
A raiz positiva desta equacao e 16, a outra e −12 sendo, portanto, a resposta “eram
16 os membros do grupo”.
Definicao 24 Progressao Geometrica
Uma sucessao {a0, a1, . . . an} se diz uma progressao geometrica, “p.g.” se aquociente entre quais quer dois termos sucessivos for constante:
ak+1
ak
= r
Este quociente constante e chamado de razao da progressao geometrica.
28. Mostre que numa p.g. a media geometrica de tres termos consecutivos sk, sk+1, sk+2
e sk+2 =√
akak+3.
29. Encontre x sabendo que 9, x, 81 sao os termos consecutivos de uma p.g.
30. Formula da soma dos termos de uma p.g. Deduza do teorema anterior que
n∑
k=0
ak = a0 + a1 + . . . + an =(a0 + an)n
2
Capıtulo 4
Conjuntos numericos
fundamentais.
Neste capıtulo vamos seguir o conselho de Kroneker e considerar o conjunto dos numeros
naturais absolutamente bem conhecido. A partir dele construiremos o conjunto dos numeros
inteiros e depois com este ultimo construiremos o conjunto dos numeros racionais. Final-
mente, faremos a construcao geometrica do conjunto dos numeros reais, a reta real, seguindo
uma receita de David Hilbert, contida no seu famoso livro “fundamentos da geometria” e
depois mostraremos que esta construcao geometrica e algebricamente compatıvel com a es-
trutura do conjuntos dos numeros racionais que sera entao visto como um subconjunto da
reta real.
4.1 O conjunto dos nAomeros naturais.
Nao, nao vamos construir o conjunto N. Vamos apenas falar um pouco delee construir alguns exemplos para estabelecer uma linguagem adequada parao resto do capıtulo.Vamos deixar claro o que ja sabemos sobre N, estabelecer as regras do jogo.Como dissemos em nossos primeiros exemplos sobre estrutura, um conjuntopode ser pode ser um agregado amorfo de objetos. Quando observamos quealgumas propriedades ou metodos se encontram presentes, o conjunto passa aser uma estrutura. Ha varios tipos de estrutura em Matematica: estruturasalgebricas, ver [3] ou [5], estruturas topologicas, estruturas geometricas, etc...Cada uma destas estruturas define um campo de atividade em Matematica ea interacao entre elas e fazer Matematica.
Vamos “descobrir” qual e estrutura algebrica de N.
4.1.1 A estrutura algebrica de N.
Temos dois metodo em N para construir mais um elemento do conjunto a partir dedois conhecidos:
• a adicao e um desses metodos simbolizada por c = a + b em que c e o novoelemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N.
• a multiplicacao e o outro metodo simbolizada por c = a x b em que c e onovo elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N. Quando nao ha dAovida
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a multiplicacao e simbolizada por justaposicao: 3a = 3 x a. Entretanto, emN, a multiplicacao e soma repetida, 3a = a + a + a.
• N tem um primeiro elemento Nos adotaremos o zero como este primeiroelemento. Ha autores que preferem que seja 1. O essencial e verdade que N temum primeiro elemento. Todos os outros sao obtidos como soma repetida desteprimeiro elemento com o 1.
• sucessor Em particular diremos que a+1 e o sucessor de a. Isto quer dizer queentre a e a + 1 nao ha nenhum nAomero natural.
• Consequentemente podemos construir o conjunto N
– Com o primeiro elemento;
– Com o “metodo” de determinacao do sucessor.
Foram estes tres Aoltimos axiomas que Peano descobriu. Infelizmente os axiomas dePeano se aplicam com perfeicao ao conjunto
{−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
em que −5 e o primeiro elemento, logo tambem, segundo Peano,
N = {−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
o que naturalmente nao e verdade. Isto apenas mostra a fraqueza dos axiomas dePeano para definir “numero natural”. E melhor, portanto, evitar a definicao e aderira frase de Dedekind, ”Deus criou os numeros naturais, e resto nos criamos.”
Usando todas estas informacoes podemos provar, (mas nos nao vamos fazAa-lo):
Teorema 25 Propriedades de (N,+, ·).1. A adicao e comutativa.
2. A adicao e associativa.
3. Existe o elemento neutro para a adicao, se considerarmos 0 como primeiro ele-mento de N.
4. A multiplicacao e comutativa.
5. A multiplicacao e associativa.
6. Existe o elemento neutro para a multiplicacao.
7. A multiplicacao e distributiva relativamente a adicao.
8. (∀ a ∈ N) (0 x a = 0), e se a x b = 0 entao a = 0 ou b = 0.
Usaremos este conjunto para construir todos os demais conjuntos numericos quese usa em Mamtematica. Os exercıcios seguintes sao um exemplo de construcao tıpicado inıcio do seculo 20 quando houve uma intensa atividade objetivando uma rigorosalinguagem matematica. Hoje sabemos que este rigor todo e inviavel sem criar con-tradicoes. Nao sabemos porque, mas e assim. Se voce nao se sentir motivado parafazer os exercıcios, deixe-o de lado, e talvez volte aos mesmos n’outra ocasiao.
Exercıcio 12 Uma pequena amostra do “Principia”.
1. Quantos elementos tem os conjuntos seguintes:
a) {a} b) {{a}} c){{{a}}} d) {{a}, {a}}a) {} b) {{}} c){{{}}} d) {{}, {}}
2. Verifique que {} ∪ {} = {}. Verifique que {{}} ∪ {} = {{}}.3. Verifique que a uniao dos conjuntos {a}, {{a}} e um conjunto com dois elemen-
tos.
4. Verifique que a uniao dos conjuntos {{}}, {{{}}} e um conjunto com dois ele-mentos.
5. Defina um metodo que consista em criar um novo conjunto unitario a partir de{} inserindo o elemento {}. Verifique que este metodo e equivalente a operacaode sucessor de Peano no sentido de que com a uniao produz um novo conjuntocujo cardinal e maior do que dos conjuntos existentes.
Observacao 13 Unidade e um conceito realativoEm algum momento na historia, algum rei decidiu que a unidade era o seu braco.Em 1979, com a Revolucao Francesa, se passou a pensar em unidades universais
e os revolucionarios franceses, para se oporem aos aristocratas ingleses, criaram osistema metrico que foi adotado no mundo inteiro, exceto na Inglaterra e nos EstadosUnidos. Mas mesmo nestes paıses, veladamente, e feito o uso do sistema metrico.
Mas ha momentos em que voce nao consegue encontrar nenhum padrao de unidadea sua volta, mas precisa de estabelecer o que e a unidade.
Escolha algo que esteja a sua volta e que possa servir para comparar com outrascoisas, esta sera a sua unidade, naquele momento.
Suponha que voce queira construir um quadrado de lado (a + b). Serviria parailustrar o produto notavel (a + b)2. Se voce tiver a mao uma folha de isopor e quiserconstruir pequenos retangulos, a unidade mais pratica podera ser a expessura destafolha.
E voce quem determina o que unidade, apenas mantenha a sua unidade o tempotodo.
Observacao 14 A construcao feita por N de RusselFoi este metodo ardiloso que levou Russel e Whitaker a constuirem os nAomeros
naturais tendo zero como primeiro elemento. Para quem for curioso, havia um exem-plar do Principia Matematica na biblioteca da Univ. Federal do CearA¡.
Entao, “uniao do vazio com o vazio, resulta no vazio” e “reuniao do vazio com umconjunto unitario, resulta num conjunto unitario”.
Nao estamos sugerindo que vocAa siquer deva ler o Principia, mas se algumavez voce se decidir por se aprofundar em Logica, sem dAovida que este podera ser umcaminho.
4.1.2 A ordem em N.
Da mesma forma como sabemos tudo sobre adicao e multiplicacao tambem sabemostudo sobre a relacao de ordem em N. Vamos listar suas propriedades para referenciaposterior.
Teorema 26 da estrutura de ordem em N..Existe uma relacao de ordem em N compatıvel com o metodo de sucessor
m < m + 1
e tal que que
• ∀ p ∈ N m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p
• ∀ p ∈ N m ≤ n ⇒ pm ≤ pn
Observe que de acordo com a estrutura logica deste livro, nao temos que demons-trar nada sobre N e seus metodos, tudo e conhecido.
Para aquecer o seu apetite logico, o conceito de sucessor, usado no Teorema 26pode ser usado para demonstrar todas as propriedades de N listadas no Teoremaanterior.
4.2 Os numeros inteiros.Podemos facilmente conjecturar que o aparecimento dos inteiros deve ter sedado junto com as primeiras concepcoes economicas quando alguem teve a ne-cessidade de registrar o que tinha e o que devia. Formalmente podemos inven-tar os inteiros a partir dos numeros naturais impondo um problema algebrico:queremos encontrar um conjunto que estenda o conjunto dos numeros natu-rais onde sempre a equacao
m + x = 0 (4.1)
tenha solucao. Vamos usar este me todo algebrico.
4.2.1 A definicao de Z.
Vamos espandir o conjunto dos numeros naturais criando uma solucao para a equacao
m + x = 0 (4.2)
para cada numero natural m.
Isto nos leva a inventar, para cada numero natural m um novo objeto designado1
por −m. O resultado desta invencao e o novo conjunto:
Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} (4.3)
que ja difere de N num ponto: Z nao tem um primeiro elemento. Depois, seguindoa tarefa de inventor, devemos nos preocupar com a extensao ao novo conjunto dasoperacoes de adicao e multiplicacao definidas em N. Tambem deveremos estender arelacao de ordem de N a Z.
Vamos executar cada uma destas tarefas passo a passo, agora.
4.2.2 Extensao da adicao aos inteiros.
Primeiro temos a “inventar” uma terminologia que voce espera:
Definicao 25 O conjunto dos numeros inteiros positivos.Vamos particionar2 o conjunto Z.Poderiamos definir −N sem o zero, mas quebrariamos outro habito.
Poderiamos dizer que e uma “quase particao” e complicariamos desnecessaria-mente a linguagem. Z = N ∪−N, e algumas vezes vamos usar este vocabulo.
1observe que -m e um unico sı mbolo e nao dois sımbolos aglomerados.2ha um defeito nesta “particao” o numero zero pertence tanto a −N como a N. Mas e
preciso se acostumar com as contradicoes da Matematica.
• numeros inteiros positivos. O conjunto N sera chamado de conjunto dosnumeros inteiros positivos. Zero e um numero inteiro positivo.
• numeros inteiros negativos. O conjunto −N sera chamado de conjunto dosnumeros inteiros negativos. Zero e um numero inteiro negativo.
Observacao 15 Zero e positivo e negativo.E facil ver que zero tem que ser tanto positivo quanto negativo, pois
• 0 + 0 = 0 satisfazendo os dois lados da equacao que usamos para criar os novosnumeros,
• ele tinha que se encontrar tambem entre os novos numeros inteiros, os inteirosnegativos;
• e ja se encontrava entre os velhos: era positivo.
Precisaremos do seguinte metodo, que chamaremos troca de sinal:
Definicao 26 A troca de sinal.
t : Z→ Z ; e uma funcao. (4.4)
x ∈ N ⇒ t(x) ∈ −N ; x + t(x) = 0; t(x) = −x e negativo (4.5)
x ∈ −N ⇒ t(x) ∈ N ; x + t(x) = 0; t(x) = −x e positivo (4.6)
(4.7)
Por exemplo, −3 ∈ −N ⇒ t(−3) = 3 ∈ N.
Exercıcios 18 Troca de sinal
1. Calcule
(a) t(3)
(b) t(t(3))
(c) t(3) + 3
(d) t(t(3)) + 3
(e) t(t(3)) + t(3)
(f) t(a) + a
(g) t(t(a)) + t(a)
2. Porque as contas acima sao absurdas do ponto de vista da logica ? sendo assim,como se justifica que se encontrem num texto didatico?
3. Faca um grafico da funcao
y = t(x) ; x ∈ A = {−5,−4,−3, . . . 3, 4, 5}Discuta a falta de logica desta questao.
Vamos manter, algum tempo esta notacao esquisita, t(x) em vez de escrever −xdiretamente.
A extensao da adicao aos inteiros e simples tendo uma u nica complicacao: quandoformos somar um numero inteiro positivo com um numero inteiro negativo. Para estecaso precisaremos comparar qual dos dois e maior em valor absoluto o que nos forcaprimeiro a definir o que e valor absoluto. Intuitivamente o valor absoluto de um numeroe sua distancia a origem.
Acabamos de fazer apenas um jogo de palavras.
Definicao 27 Valor absoluto. O valor absoluto de um nu mero inteiro e um numerointeiro:
|n| ={
n se n ∈ N;t(n) se n ∈ −N
(4.8)
quer dizer que se n ∈ N entao |n| e o proprio numero inteiro n. Se n ∈ −N, trocamoso sinal de n o que o joga no conjunto N e esta imagem e o valor absoluto do numeronegativo n.
Definicao 28 de adicao em Z.
• Se m, n ∈ N entao sabemos calcular m + n.
• Se m, n ∈ −N entao transformamos3 m 7→ t(m) ∈ N n 7→ t(n) ∈ N e somamoscomo sabemos c = t(m) + t(n) ∈ N. e decodificamos c c 7→ t(c) = m + n−N.
• Se m ∈ N e n ∈ −N entao:
– Se |m| ≥ |n| entao m + n = m − |n|. Observe que a direita na equacaose encontra a diferenca entre dois numeros naturais que nao definimos oudiscutimos antes, mas nos sabemos tudo sobre N . . . . Observe tambemque nao usamos a funcao “troca de sinal” porque estamos fazendo umasubtracao em N, coisa conhecida como tal.
– Se |m| < |n| entao m + n = t(|n| − m). Observe que primeiro calcula-mos |n| − m porque nos naturais so sabemos calcular a diferenca entreum numaior e um menor, nesta ordem. Depois trocamos o sinal da di-ferenca para satisfazer a regra que reza ”na soma de numeros com sinaisdiferentes4, calcula-se a diferenca e se da a soma o sinal do maior”.
• A adicao e comutativa em Z
Na lista de exercıcios seguinte vamos construir o sistema aritmetico tıpico doscomputadores digitais que usamos. Voce vera assim um outro tipo de “regra dossinais”.
Exercıcios 19 Questoes de logica
1. Como justificar que teremos de demonstrar as propriedades das operacoes em Ze ja dissemos que a adicao era comutativa, em um item, da definicao? Ou otexto esta errado?
2. Rastreie os erros logicos na construcao feita acima.
3. sistema binario Suponha que o odometro de um carro seja composto de apenaszeros e uns, um odometro binario, e que o maior numero neste odometro seja11111111 o equivalente a 7 no sistema decimal de numeracao. Quer dizer que,quando o carro rodar mais um kilometro o odometro binario vai zerar, portanto
111 + 1 = 0 (4.9)
na aritmetica deste odometro.
3veja o que dissemos no capıtulo “Relacoes e funcoes”sobre transformacoes, ver trans-formacoes.
4leia corretamente, um positivo e outro negativo...
(a) tabuada binaria Preencha a tabuada de adicao desta aritmetica no quadroabaixo: (observe, somente 0,1).
+ 0 1 10 11 100 101 110 111
0
1
10
11
100
101
110
111
(b) equacoes Resolva a equacao
x + 11 = 10
nesta aritmetica binaria, usando as regras da aritmetica. Observe, o in-verso aditivo5 de 3 e 5... e que “coisas”como −3 ou −5 nao existem natabuada acima.
4. O bit mais significativo Seria difıcil “ensinar” a um computador a fazer as con-
tas da tabuada acima. E mais facil complicar um pouquinho mais, devido aestrutura interna eletrica como funcionam os computadores, algo do tipo, acen-der ou apagar6 uma luz. Como na nossa aritmetica, os computadores precisamda mesma quantidade de elementos para representar os positivos e os negativos.Nos acrescentamos um sinal, “−”, nos computadores se acrescenta mais um“bit”, 0 para positivo e 1 para negativo. Este e o chamado bit mais significativo,e o ultimo bit a esquerda.
Assim, relativamente a taboada acima, 1111 representa um numero negativo,o inverso aditivo de 0001, que e positivo. Desta forma temos 15 numeros naaritmetica:
0111, 0110, 0101, 0100, 0011, 0010, 0001, 0000, (4.10)
1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (4.11)
(a) regra dos sinais Verifique que a regra para “trocar sinal” e:
• invertem-se todos os bits (onde tem zero, troca-se por um, onde temum troca-se por zero);
• soma-se uma unidade.
Por exemplo
−0011 = 1100 + 1 = 1101 ; 1101 = 0011 = 0000
a ultima casa que “sobra” e utilizada para inverter o bit mais significativo.
(b) Construa a tabela da aritmetica deste numeros e veja que ela e equivalentea tabela binaria anterior.
5de que 3 e de que 5 estamos falando ?6este sistema de “acender ou apagar luzes” ja esta ultrapassado, mas o que existe e seme-
lhante.
5. regra dos sinais Analise a seguinte “demonstracao” da regra para trocar sinal, eacrescente as justificativas que nao colocamos.
• Seja a um numero binario e a o binario recıproco obtida com a inversaodos bits;
• entao a = a = 1;
• logo e preciso acrescentar uma unidade em algum deles para obter o inversoaditivo do outro.
Ao final deste capıtulo voce pode ler um programa, feito em Python, para ensinaro computador a extensao da adicao, da multiplicacao e da desigualdade aos inteiros. Oprograma e na verdade uma “farsa” porque o computador ja sabe o que lhe queremosensinar e o proprio programa usa isto. Seria muito difıcil construir corretamente (elogicamente) esta questao, mas serve para lhe dar uma ideia da “utilidade” desteaparato lo gico que estamos lhe propondo como aprendizagem.
4.2.3 Extensao do produto aos inteiros.
A extensao do produto aos inteiros e semelhante a que fizemos para estender a adicao:
Definicao 29 Multiplicacao de numeros inteiros.Exercıcio para o leitor.
4.2.4 Extensao da ordem aos inteiros.
Quando dois numeros sao desiguais, existe uma diferenca entre eles. Vamos usareste me todo para decidir quem e o maior dos dois. Para isto precisamos estender adiferenca ao conjunto dos numeros inteiros:
Definicao 30 de ordem em Z.Dados m, n ∈ Z diremos que m ≤ n se, e somente se, n−m ∈ N. Se n−m 6∈ N
entao diremos que m > n.
Deveriamos seguir a uma fastidiosa demonstracao de que as propriedades seguintesda soma valem:
Teorema 27 das propriedades de (Z,+).
1. A adicao e comutativa.
2. A adicao e associativa.
3. existencia do elemento neutro da adicao E o zero: 0 + n = n.
4. existencia do inverso aditivo
∀ m ∈ Z ∃n ∈ Z ; m + n = o.
O numero n e designado por −m.
5. ∀ p ∈ Z m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p
Nos podemos encontrar estas mesmas propriedades em outros conjuntos munidosde outras operacoes. Vamos dar um exemplo simples.
Exemplo 30 Estrutura algebricas das horas do relogio. Considere o conjunto
H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
das horas de um relogio. Sabemos somar horas, por exemplo:
7 + 5 = 12 ; 6 + 7 = 1 ; ; 8 + 7 = 3.
Isto nos permite construir a seguinte taboada para adicao:
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Da taboada podemos tirar alguma conclusoes: 12 e o elemento neutro desta adicao:se ele for somado a qualquer outra hora, reproduz a outra. Toda hora tem inversoaditivo:
1 + 11 = 12 ; 2 + 10 = 12 ; . . . 7 + 5 = 12 . . . , 9 + 3 = 12 . . .
A adicao de horas e comutativa e associativa. Vemos assim que a estrutura alge bricade (H,+) e identica a de (Z,+).
Temos exemplos da mesma coisa, cabe dar um nome comum a ambas.
Definicao 31 de grupo comutativo.
Quando um conjunto com uma operacao, (G, o) satisfizer as quatro propriedades
1. o e comutativa.
2. o e associativa.
3. Existe um elemento neutro relativamente a o.
4. Todo elemento de G tem um inverso relativamente a o.
diremos que (G, o) e um grupo comutativo.
Se a comutatividade nao valer, diremos que e um grupo.
Num grupo podemos resolver qualquer equacao7. Vejamos um exemplo de equacaoem (H,+).
7nao se engane, qualquer equacao tıpica da estrutura.
Exemplo 31 Equacao no grupo das horas. Vamos resolver, usando as propriedades,a seguinte equacao:
7 + x = 3 ; 7, x, 3 ∈ H ;
somando o inverso de 7 a ambos os membros: (4.12)
5 + (7 + x) = 5 + 3 (4.13)
aplicando a propriedade associativa: (4.14)
(5 + 7) + x = 5 + 3 (4.15)
simplificando: (4.16)
12 + x = 8 (4.17)
como 12 e o neutro: (4.18)
x = 8 (4.19)
De fato:7 + 8 = 3. (4.20)
Esta e a lista das propriedades da multiplicacao e da ordem nos inteiros.
Teorema 28 das propriedades de (Z, · ≥).
1. A multiplicacao e comutativa.
2. A multiplicacao e associativa.
3. Existe o elemento neutro para a multiplicacao, o 1.
4. A multiplicacao e distributiva relativamente a adicao.
5. ∀a ∈ Z 0 x a = 0, e se a x b = 0 entao a = 0 ou b = 0.
6. Se p ≥ 0 p ∈ Z entao m ≤ n ⇒ pm ≤ pn.
7. Se p < 0 p ∈ Z entao m ≤ n ⇒ pm ≥ pn.
Devido a nao existencia de um inverso multiplicativo, (Z, ·) nao e um grupo. Istonos vai conduzir a construcao dos numeros racionais para sanar esta “falha” dos in-teiros.
As demonstracoes de cada item dos dois teoremas e longa e se reveste de umaspecto de inutilidade porque todos sabemos que elas valem. Nao e verdade que sejainutil fazer estas demonstracoes, pelo contrario, somos forcados a faze-las se quisermosconstruir a teoria corretamente. Entretanto todas elas se encontram feitas em umagrande maioria dos livros de Algebra e voce deve se acostumar a consulta no sentidode que nao deve esperar que tudo esteja feito em unico livro enciclope dico. Tambemuma possibilidade importante e de que voce mesmo se inicie na arte da demonstracao.Vamos fazer algumas demonstracoes dos itens listados nos dois teoremas para lhemostrar o caminho.
4.2.5 Algumas demonstracoes
Vamos voltar a usar a funcao “troca sinal” com o sımbolo t.
Dem : Comutatividade da adicao.Queremos provar que m, n ∈ Z ⇒ m + n = n + m. Existem quatro casos possıveis:
• m, n ∈ N e nada ha o que demonstrar porque ja admitimos tudo saber sobre N.
• m, n ∈ −N. Neste caso m + n = t(t(m) + t(n)), entretanto como t(m), t(n) ∈ N entaot(m) + t(n) = t(n) + t(m) logo
m + n = t(t(m) + t(n)) = t(t(n) + t(m)) = n + m
• m ∈ N e n ∈ −N. Este e um dos casos em que os sinais dos numeros sao diferentes. Hadois casos a considerar e na definicao optamos por impor a comutatividade na definicao.Vamos evitar isto aqui.
A regra para soma numeros inteiros, quando os sinais sao diferentes, os separa em doiscasos:
1. Quando o numero negativo tem maior modulo;
2. quando o numero negativo tem menor modulo.
Observe que a separacao entre os casos nao menciona quem esta aesquerda ou adireitana expressao, quer dizer a regra supoe a comutatividade. Quer dizer, para somar m, n,se um for positivo e o outro negativo, tudo vamos observer e qual o sinal do maior edepois fazer a diferenca entre os modulos deles segundo as regras da diferenca em N.
Isto mostra que m + n = n + m neste caso.
q.e.d .
Vamos demonstrar algumas das propriedades envolvendo a relacao de ordem.
Dem : ∀p ∈ Z ; m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p..Por definicao, m ≤ n ≡ n ≥ m ≡ n − m ∈ N Se somarmos e subtrairmos p nao iremos
alterar a expressao:n − m = (n + p) − (m + p) ∈ N
logo, aplicando a definicao ao segundo membro da igualdade temos:
n + p ≥ m + p ≡ m + p ≤ n + p
q.e.d .
Vejamos a demonstracao da propriedade envolvendo a desigualdade e o produto:
Dem : Se p for positivo, entao n ≥ m ⇒ pn ≥ pm.Este resultado e consequencia direta do seguinte (um lema):
Lema 1 O produto de inteiros positivos e positivo. Dem : Esta na propria definicao do
produto, veja o primeiro item. q.e.d .
Agora, como p e positivo, entao p(n − m) e positivo, e pela distributividade do produtorelativamente a soma, temos:
p(n − m) = pn − pm ∈ N ≡ pn ≥ pm
q.e.d .
Exercıcios 20 estruturas algebricas dos inteiros.
1. Resolva as seguintes equacoes, se forem possıveis, nao sendo explique por que.
3x + 7 = 10 2x− 8 = 4x− 7 x+37
= 2x + 1x− 4 = 2x + 5 x + 3
4= 2 x− 3 = x + 3
2. Verifique as seguintes desigualdades.
3x− 7 < 10 2x− 8 < 4x− 7 x+37≤ 2x + 1
x− 4 ≤ 2x + 5 x + 34 = 2 2x− 3 ≥ x + 3
3. Faca uma lista completa das propriedades de (Z, +, ·,≥). Use a estrutura degrupo para simplificar a listagem.
4.3 O conjunto dos numeros racionais.
Na escala da evolucao do pensamento chegou um momento em que haviamquantidades que nao eram inteiras relativamente a outras. Por exemplo, vejaas medidas padronizadas, todas elas foram e serao convencoes, o pe do rei,o metro inventando pela Revolucao Francesa para encerrar a historia real eabrir uma era brilhante de imperio do direito de todos inclusive nas ciencias.Ingleses e americanos, numa atitude arrogante, continuam usando as velhasmedidas, pe, milha, etc...Mas quando se for medir a altura de uma pessoa, sera raro encontrar quemmeca um metro ou dois metros.
O comum sera encontrar quem meca um metro e um pouquinho de metro,
por exemplo 1m + 12m. Chegamos assim aos nu meros racionais como uma
necessidade da evoulucao dos conhecimentos humanos, mas vamos retornar ao
trabalho algebrico e discutir a invencao dos racionais para resolver equacoes.
4.3.1 Incompletitude algebrica de Z.
Na secao anterior definimos grupo e verificamos que (Z, ·) nao era um grupo porquelhe faltava o inverso multiplicativo. Foi esta a razao que nos levou construir Z a par-tir de N, porque (N,+) nao era um grupo. Faremos o mesmo agora, construindoum novo conjunto em que “todos” os seus elementos tenham inverso multiplicativo.O metodo poderia ser inteiramente algebrico para depois descobrirmos uma formaadequada para estes novos elementos, mas com isto perderiamos o tempo que a Hu-manidade ja ganhou, vamos logo descrever aquilo que ja sabemos com um leve disfarcede “descoberta”.
Queremos que a equacaoax = 1
tenha sempre solucao, para todo a ∈ Z. A solucao para este problema tem que ser“inventada” pois na epoca em que haviam apenas os inteiros este problema era “im-possıvel”.
Existe um elemento de Z para o qual isto nao sera possıvel, ate mesmo porque pre-cisamos que este elemento tenha propriedades diferentes, o zero, para o qual desejamosa propriedade:
(∀ a ∈ Z) (a · 0 = 0).
Esta sera uma excecao8 a regra.A solucao que aos poucos se cristalizou foi a de caracterizar o numero x com o
formato de “fracao”:
x =1
a.
Observe que temos uma invencao, se convencionou que o novo objeto que tornariaa equacao ax = 1 possıvel seria x = 1
a. Desta forma acrescentamos ao conjunto Z os
novos objetos:
Z′ = Z⋃{. . . , 1
3,
1
2,1
1,
1
−1
1
−2,
1
−3,
1
−4. . .} (4.21)
e como anteriormente, a primeira preocupacao seria definir no novo conjunto as operacoesde adicao e multiplicacao para testar a nova estrutura algebrica e sua compatibilidadecom as anteriores, de Z,N.
Um belo trabalho algebrico, voce esta convidado a experimenta-lo, pode conduzir asolucao que ja conhecemos, vamos resumir o processo usando a experiencia acumulada.
8quem foi que disse que em Matematica nao existem excecoes...
Ao tentar somar “numeros” como 1p, 1
qse notou que este formato era insuficiente,
seria necessario um formato mais “complicado” que e mn
. Assim se definiu
Q = {x ; x =p
q; p, q ∈ Z ; q 6= 0} (4.22)
As figuras (fig. 4.1), pagina 105 mostram duas fracoes equivalentes.
quatro quartos oito oitavos
A fracao 1/4 esta marcadaA fracao 2/8 esta marcada
Figura 4.1: Fracoes equivalentes com denominadores diferentes 14
= 28
Abaixo vamos redefinir o conjunto Q em forma definitiva, a presente definicao eprovisoria, e a que se encontra na maior dos livros, veremos que ha outra melhor.
Observacao 16 A funcao do numerador e do denominador. Como ja haviamos an-tecipado antes quando falamos de produto cartesiano, e de par ordenado, um numeroracional e um par ordenado de inteiros. E ordenado porque ele e formado de nu-merador e de denominador que nao podem ser trocados. Numa fracao, o numerador
representa uma multiplicacao, enquanto que o denominador representa uma divisao,uma invencao anonima de extraordina rio poder pratico e teorico.
A figura (fig. 4.2) na pagina 107, mostra como se podem representar os numerosracionais na reta, sobretudo mostra como podemos representar as fracoes p
qdado q,
que no caso da figura q = 7.
4.3.2 Estensao da algebra dos inteiros aos racionais
Esta na hora de definirmos em Q as duas9 operacoes basicas: adicao e multiplicacao.
Definicao 32 da adicao em Q.Dadas duas fracoes, p
q, n
mdefinimos
p
q+
n
m=
pm + qn
mq
isto e, no denominador o produto dos denominadores, no numerador a soma dos pro-dutos em cruz do numerador de uma com o denominador da outra.
Observacao 17 Inutilidade do m.m.c A definicao classica que passa pelo “m.m.c.”dos denominadores produz um resultado otimizado, comparado com esta, e nos voltare-mos a este assunto posteriormente. Entretanto a definicao acima mostra a inutilidadedo uso do “m.m.c”.
Podemos chegar facilmente a regra de multiplicar usando um metodo intuitivo: amultiplicacao tem que ser compatıvel com o que ja foi feito anteriormente, uma somarepetida. Queremos entao que 2 · 1
q= 1
q+ 1
q. Se aplicarmos a regra operatoria da soma
teremos
2 · 1q
=1
q+
1
q=
q + q
q2==
2q
q2
como ja observamos, o numerador representa uma multiplicacao, neste caso uma mul-tiplicacao por 2q e o denominador representa uma divisao, neste caso por q · q.
Quer dizer que ha uma multiplicacao e uma divisao por q que se auto-eliminam,podemos assim cancelar q no numerador e no denominador:
2 · 1q
=1
q+
1
q=
q + q
q2==
2q
q2=
2
q
Poderiamos repetir este processo com 3 · 1q
ou diretamente com p · 1q
para concluirmos
que regra de multiplicar por inteiros devera ser p · 1q
= p
q.
Se quisermos multiplicar 1m
, 1q
devemos pensar no papel que tem numerador edenominador.
O numero inteiro m esta dividindo, se multiplicarmos as duas fracoes sera naturalque m venha a multiplicar q para reforcar a funcao que este ultimo exerce:
1
m· 1q
=1
mq.
Juntando estas ideias vem a definicao de multiplicacao de fracoes:
9todo mundo fala em quatro operacoes, mas so existem duas...
Figura 4.2: Racionais e inteiros
Definicao 33 de multiplicacao de fracoes.Dadas duas fracoes, n
m, p
qdefiniremos
n
m· pq
=np
mq
isto e, para multiplicar fracoes, multiplicamos seus numeradores e denominadores entresi.
Verifique que os exemplo anteriores se enquadram nesta definicao:
21
q=
2
1
1
q=
2
q; p
1
q=
p
1
1
q=
p
q
Exercıcio 13 Operacoes aritmeticas em Q.
1. numerador multiplica, denominador divide Considere a fracao 35. Se multiplicar-
mos numerador e denominador pelo mesmo numero a teremos: 3a5a
que e umafracao equivalente a 3
5. Esta afirmacao ainda vale para a = 0 ?
2. numerador multiplica, denominador divide Verifique quais das afir-macoes e ver-dadeira, e justifique porque:
• 37
= 614
• 37
= 59
• 17
< 37
• 37
> 35
Rigorosamente falando nao podiamos incluir aqui desigualdades, elas ainda naoforam definidas.
3. Queremos somar as duas fracoes 37, 6
8. Justifique as seguintes operacoes que al-
teram uma linha ao passar para seguinte:
36
+ 68
36
+ 6·66·8
8·38·6 + 6·6
6·82448
+ 3648
= 6048
36
+ 68
= 6048
= 5·124·12 = 5
4
4.3.3 Compatibilidade dos inteiros com os racionais.
As definicoes que fizemos da adicao e da multiplicacao de nada adiantariam se osseguintes fatos nao fossem resguardados:
1. as propriedades que a adicao e a multiplicacao tem nos inteiros.
2. coıncidencia com a multiplicacao e adicao dos inteiros.
Na verdade uma pergunta se impoe: inteiros sao tambem fracoes?Este e nosso programa imediato, verificar que as operacoes com os inteiros sao as
mesmas que acabamos de definir, na verdade comecaremos mostrando que de certaforma Z ⊂ Q. Vamos comecar mostrando que de certa forma os inteiros sao umsubconjunto dos racionais.
Formalmente nao sao, uma vez que um nu mero racional e um par ordenado denumeros inteiros. O que acontece e que podemos encontrar dentro deste conjuntode pares ordenados uma imagem de Z obtida por uma bijec~ao e como ja vimos,as bijecoes identificam as imagens de uma tal forma que nao precisamos mais ver“diferencas” entre elas.
Observacao 18 Diferenca entre fracoesVamos definir a diferenca entre fracoes.O habito nos indica que a diferenca e uma soma em que um dos termos tem o
“sinal trocado”. Claro, aqui mais um problema de logica, o que significa trocar o sinalem Q ?
Vamos definir
Q→ Q ; x =p
q7→ −x =
−p
q
que a troca de sinal de uma fracao se da pela troca de sinal do numerador da mesma.Agora podemos calcular a diferenca entre m
n, p
q:
m
n− p
q=
m
n+−p
q=
mq − np
nq.
Mas, o que seria zero em Q ?Por definicao, zero e o numero que somado a qualquer “outro” reproduz o “outro”,
o elemento neutro da adicao. A fracao 01
tem esta propriedade:
0
1+
p
q=
0 · q + 1 · p1 · q =
p
q.
Teorema 29 da imagem de Z em Q.A funcao Z→ Q ; m 7→ m
1e injetiva.
Dem :
Basta verificarmos se m, m′ forem diferentes, entao m1
, m′
1serao diferentes.
Ora, como os inteiros m, m′ sao diferentes por hipotese, entao m − m′ 6= 0 e portantom−m′
16= 0
1o que nos leva a concluir que se m 6= m′ entao a imagem destes inteiros dentro
de m1
, m′
1sao dois numeros racionais diferentes.
A funcao construida e injetiva. Como nao e bijetiva, entao podemos dizer:
Z ⊂ Q. (4.23)
q.e.d .
Observe voce a razao da expressao “certa forma” quando dissemos que Z ⊂ Q. Deagora em diante riscaremos esta forma de falar do nosso texto, diremos simplesmenteque Z ⊂ Q.
Somando agora dois inteiros sob a forma de fracao para verificar que o resultado eo mesmo que a soma de inteiros:
Z x Z ∋ (n, m) 7→ n
1+
m
1=
n + m
17→ n + m ∈ Z
mostra que tanto faz somarmos em Z e depois transferirmos para Q quanto somarmosdiretamente em Q as imagens dos inteiros.
Da mesma forma para a multiplicacao:
Z x Z ∋ (n, m) 7→ n
1
m
1=
nm
17→ nm ∈ Z
mostrando que a multiplicacao entre as imagens dos inteiros em Q coıncide com aimagem dos inteiros multiplicados.
Com isto provamos o teorema:
Teorema 30 da compatibilidade das operacoes com os inteiros.A adicao e a multiplicacao de numeros racionais e compatıvel com estas operacoes
sobre os inteiros.
Na verdade deveriamos mostrar um teorema equivalente ao que demonstramospara os inteiros. Nao iremos demonstrar os teoremas, como no caso dos inteiros,vamos enuncia-los e fazer algumas demonstracoes com o intuito de sugerir que vocemesmo as faca como exercıcio.
Teorema 31 das propriedades de (Q,+).
1. A adicao e comutativa.
2. A adicao e associativa.
3. existencia do elemento neutro da adicao E o zero: 01
+ nm
= nm
.
4. existencia do inverso aditivo
(∀ n
m∈ Q) (∃x ∈ Q ) (
n
m+ x = 0).
O numero x e designado por −nm
. Em suma ele e obtido por troca de sinal, vemosque as coisas se encaixam.
5. (∀ p, a, b ∈ Q) (a ≤ b ⇒ a + p ≤ b + p)
Observacao 19 Um erro logico !Se tentarmos demonstrar a ultima propriedade no teorema acima, veremos que nao
foi definida a desigualdade em Q.Precisamos saber quando a
b≥ p
q.
Vamos usar o metodo dos inteiros:
ab≥ p
q≡ a
b− p
q≥ 0
ab≥ p
q≡ aq−pb
bq≥ 0
ab≥ p
q≡ aq − pb ≥ 0
ab≥ p
q≡ aq ≥ pb
A ultima expressao e significativa, aq ≥ pb e uma DESPROPORcAO. Se tivesse-mos aq = pb diriamos que a
b= p
qseria uma proporcao. Logo as fracoes a
b≥ p
qnao
formam uma proporcao mas a lei das proporcoes “produto dos extremos e menor doque o produto dos meios” caracteriza quando a
b≥ p
q
Vamos corrigir o erro logico definindo a desigualdade em Q.
Definicao 34 Desigualdade em Qab≥ p
q≡ aq ≥ pb
e o teorema sobre a estrutura multiplicativa de Q.
Teorema 32 das propriedades de (Q, ·).
1. A multiplicacao e comutativa.
2. A multiplicacao e associativa.
3. Existe o elemento neutro para a multiplicacao, o 11.
4. Para todo a ∈ Q ; a 6= 0 existe um numero racional b tal que ab = ba = 1 = 11.
Isto e todo numero racional diferente de zero tem inverso multiplicativo.
Com estes dois teoremas vemos uma diferenca substancial entre Z e Q. O con-junto dos numeros racionais e um grupo tanto com a adicao como relativamente mul-tiplicacao, desde que tiremos o zero no ultimo caso. Dizemos isto assim:
Teorema 33 do grupo comutativo (Q, +).
O conjunto dos numeros racionais com a adicao e um grupo comutativo.
Teorema 34 do grupo comutativo (Q∗, ·).O conjunto dos numeros racionais sem o zero, Q∗, com a multiplicacao e um grupo
comutativo.
Da mesma forma que com os inteiros, existem algumas propriedades que ligam aadicao e a multiplicacao:
Teorema 35 das propriedades que ligam o grupo aditivo e o multiplicativo
1. O produto de numeros racionais e distributivo relativamente asoma.
2.
∀a ∈ Q) (0 x a = 0),
e se a x b = 0 entao a = 0 ou b = 0.
3.
∀ p, m, n ; p ≥ 0 ; p, m, n ∈ Q ;
m ≤ n ⇒ pm ≤ pn.
Se p < 0 entao m ≤ n ⇒ pm ≥ pn.
A ultima propriedade liga a estrutura de ordem (Q,+,≤) com a o grupo multipli-cativo.
Quando todas estas propriedades forem verdadeiras, temos uma nova estruturaalgebrica chamada corpo ordenado.Quer dizer que
Teorema 36 O conjunto Q dos numeros racionais, e um corpo ordenado.
4.3.4 Algumas demonstracoes
Como ja observamos no caso dos inteiros, deveriamos fazer demonstracoes cuidadosde todas as propriedades dos racionais. Novamente vale a mesma observacao. Estasdemonstracoes existem feitas em diversos locais e seria um desperdıcio de tempo e deinteligencia simplesmente repetı-las. Vamos, entretanto, fazer algumas delas com ointuito de apoiar sua iniciativa para que voce tente fazer as demais como exercıcio.
Escolhemos para fazer a demonstracao algumas que vao conduzir a algumas topa-das logicas cujos comentarios completarao a teoria. E uma forma didatica de construiruma teoria, mostrando quando e onde sao necessarios os teoremas. E tambe m umaforma muito longa10
Teorema 37 A adicao e associativa.
Dem :Queremos provar que, dados tres numeros racionais, a
b, p
q, n
me verdade que
a
b+ (
p
q+
n
m) = (
a
b+
p
q) +
n
m
A soma dos termos no primeiro membro e:
a
b+
pm + qn
qm=
b(pm + qn) + aqm
bqm=
amq + bmp + bnq
bmq
que e exatamente o que se obtem somando os termos do segundo membro. q.e.d .
Teorema 38 Existencia do elemento neutro relativamente a soma
Dem :Buscamos uma fracao n
mque somada a qualquer outra p
qreproduza esta ultima:
p
q+ n
m= p
q
pq
+ nm
= pm+qnqm
= pq
pq
+ nm
= pm+qnqm
= pmqm
⇒⇒ pm + nq = pm ⇒ nq = 0 ⇒ n = 0
Analisando as contas e suas transformacoes logicas, da primeira para segunda linha acrescen-tamos a expressao da soma das duas fracoes impondo que fosse igual a fracao que esperamosencontrar.
Da segunda para terceira linha alteramos a expressao da fracao pq
incluindo nela o numero
inteiro m multiplicando e dividindo, quer dizer, sem altera-la. Observe observacao anteriora respeito, procure numerador, denominador no ındice remissivo. Na ultima linha conluimoso que era possivel da igualdade entre dois pares ordenados: as coordenadas do mesmo tipodos pares tem que ser iguais: numeradores e denominadores iguais entre si. A conclusao eque qn = 0 e como q nao pode ser zero, porque e um denominador, tem que ser n = 0.
A conclusao desagradavel e de que nao existe um unico elemento neutro relativamente a
soma. Qualquer fracao da forma 0m
somada a outra fracao, reproduz a outra. q.e.d .
Conclusao desagradavel na demonstracao anterior porque esperamos unicidade doelemento neutro. Vamos voltar a discutir esta questao ao final.
10e a acusacao principal que se faz a Gauss, ele publicou todos os seus trabalhos na formafinal, como ele mesmo disse, “todo construtor cuidadosamente retira os andaimes quando aconstrucao termina...”,ver [1].
Teorema 39 Existencia do inverso aditivo.
Dem :Queremos provar que para toda fracao p
qexiste uma outra fracao x tal que p
q+ x = 0.
Vamso agir “algebricamente”, seja x = nm
a possıvel fracao:
pq
+ nm
= 0
p
q+ n
m= pm+qn
qm= 0 = 0
mq
em que usamos 0mq
para representar o zero, porque ja vimos que qualquer fracao que tenha 0
no numerador representa o zero. A escolha exatamente e ardilosa11. A conclusao da ultimaigualdade e que pm + nq = 0 “passando para o segundo12 membro” pm nos leva a
nq = −pmnm
= −p
q
da primeira para segunda linha, dividimos ambos os numeros inteiros pelo inteiro mq cons-truindo a igualdade entre duas fracoes que nos levou a forma da fracao n
mprocurada.
Se voce quiser, podemos justificar a passagem da primeira para a segunda linha interpre-tando nq = −pm como “produdo dos extremos e igual ao produto dos meios numa proporcao”entao na segunda linha esta a proporcao correspondente.
Vemos que, para obter o inverso aditivo de p
q, basta trocar-lhe o sinal: inverso aditivo de
p
qe −p
q. Poranto existe para todo numero racional um inverso aditivo. q.e.d .
Teorema 40 Desiguldade e produto
∀ a, b, c ; c ≥ 0 ; a, b, c ∈ Q ;
a ≤ b ⇒ ac ≤ bc.
Se c < 0 entao a ≤ b ⇒ ac ≥ bc.
Dem :
Observacao 20 O conjunto dos racionais positivosDefinimos a ordem em Q mas e preciso aprofudar esta questao. Por exemplo, dadas
duas fracoe x, y sabemos que x ≥ y se, e somente se, x − y ∈ Q+ o conjunto dos numerosracionais positivos.
O problema persiste... “que e o conjunto dos numeros racionais positivos?”Para entender melhor a definicao, vejamos alguns exemplos. Se uma fracao tiver nume-
rador e denominador positivos, e razoavel pensar nela como um numero positivo, porque paraencontrar o seu inverso aditivo teriamos que trocar o sinal do numerador.
Podemos entao redefinir Q :
Definicao 35 de Q.
Q = {x ; x =p
q; p ∈ Z ; q ∈ N∗}
quer dizer que so vamos admitir fracoes com denominador positivo.Um fracao como 3
−4sera “corrigida” para −3
4.
Na ultima secao vamos discutir esta pluralidade de numeros racionais e como entende-la.Assim podemos finalmente particionar Q em dois conjuntos, ou “quase-particionar” como
ja fizemos com os inteiros: Q = Q− ⋃Q+.
11sao tais ardıis que se explicam na frase de Gauss ja citada, tiramos os andaimes ao terminoda construcao.
12a maneira correta de falar e, somando −pm a ambos os membros. . .
O conjunto Q− consiste de todas as fracoes cuja numerador seja negativo, e o conjuntodos numeros racionais negativos.
Q = {x ; x =p
q; p ∈ −N ; q ∈ N∗}
O conjunto Q+ e o conjunto de todas as fracoes cujo numerador seja positivo, e o con-junto dos racionais positivos.
Q = {x ; x =p
q; p ∈ N ; q ∈ N∗}
Zero e um elemento comum aos dois conjuntos, porisso dissemos que tinhamos “quase-particionado” Q.
Da mesma forma como para os inteiros, este teorema e consequencia direta de um teoremamais simples, (um lema):
Lema 2 O produto de numeros racionais positivos, e positivo.
Dem : Tomemos dois numeros racionais positivos, quer dizer duas fracoes p
q, n
mcom
, p, n ≥ 0, de acordo com a nova definicao de Q. Calculando-lhes o produto temos:
p
q· n
m=
pn
mq.
Como p, n sao positivos, o produtos destes dois inteiros positivos e tambem positivo: pn ≥ 0e logo
pn
mq≥ 0
q.e.d .
Como a ≤ b ≡ b ≥ a entao b − a ≥ 0, pelo lema
c(b − a) = bc − ac ≥ 0 ≡ bc ≥ ac ≡ ac ≤ bc,
como queriamos demonstrar.Se, por outro lado, c < 0 entao o seu produto com qualquer racional positivo resulta num
racional negativo, logo
c(b − a) = bc − ac ≤ 0 ≡ bc ≤ ac ≡ ac ≥ bc,
como queriamos demonstrar. q.e.d .
Teorema 41 Existencia do inverso multiplicativoTodo numero racional diferente de zero tem inverso multiplicativo.
Dem :Tome um numero racional, p
q. Novamente vamos supor que a afirmacao e verdadeira e
vamos calcular o valor do numero racional xy
tal que
p
q· x
y= 1 =
1
1
Efetuando as contas:
pq· x
y= px
qy= 1
1= qy
qy⇒
⇒ px = qy ⇒ xy
= qp
estas contas nao sao va lidas se p = 0 que esta excluido por hipotese.Assim o inverso de p
qe q
p.
q.e.d .
4.3.5 Classes de equivalencia de fracoes.
Um dos “problemas” que encontramos em nossos calculos anteriores foi o da falta deunicidade, por exemplo no caso do elemento neutro da soma em que qualquer fracaocom numerador 0 e elemento neutro para soma. Quer dizer que ha muitos zeros.
A forma de resolver este problema vem sob a forma de relac~ao de equivale
ncia. Esta forma de equivalencia e a velha lei das proporcoes agora aqui com novaroupagem:
Definicao 36 Equivalencia entre fracoes.Diremos que duas fracoes sao equivalentes, quando, colocadas como proporcoes, o
produto dos meios for igual ao produto dos extremos:
p
q≡ n
mse, e somente se, pm = qn.
E agora vamos a ultima, e definitiva, definicao do conjunto dos numeros racionais:
Definicao 37 do conjunto dos numeros racionais.Seja
F = {pq
; p ∈ Z e q ∈ N∗},
F e o conjunto de todas as fracoes que anteriormente chamamos de Q, e considere emP(F) o conjunto das classes de equivalencias induzidas pela lei das proporc~oes, querdizer que cada uma das classes de equivalen-cia e formada exclusivamente por fracoesque formem proporcoes. Este conjunto e Q, o conjunto dos numeros racionais.
E agora a “coisa” se complicou, o capıtulo tem comecar todo de novo: definir asoperacoes de adicao e multiplicacao para este novo conjunto, definir uma ordem, evoltar a provar os teoremas...
Mas, vamos preferir deixar isto como exercıcio para o leitor. . . O proximo bloco deexercıcios sugere estas demonstracoes, nele faremos um tipo de representacao geometricapara o conjuntos dos numeros racionais, baseada na proporcionalidade existente emcada classe de equivalencia. No final deste capıtulo veremos outra interpretacao geome-trica que ira abrir espaco para construirmos o conjunto dos numeros reais.
Exercıcio 14 Interpretacoes geometricas de Q.
1. Mostre que se duas fracoes, ab
e nm
forem equivalentes, entao:
n
m+
p
q≡ a
b+
p
q
2. Mostre que se duas fracoes, ab
e nm
forem equivalentes, entao:
n
m· pq≡ a
b· pq
qualquer que seja a outra fracao p
q.
3. Faca o grafico do produto cartesiano Z x N∗.
(a) Verifique que p
q∈ Q ≡ (p, q) ∈ Z x N∗.
(b) Represente a fracao 13
como o ponto (1, 3). Escolha algumas fracoes equiva-lentes a ela, faca coorespondente representacao grafica. Qual a conclusaogeometrica?
(c) Represente a fracao 25
como o ponto (2, 5). Escolha algumas fracoes equiva-lentes a ela, faca coorespondente representacao grafica. Qual a conclusaogeometrica?
(d) Faca a demonstracao de que a conclusao geometrica sugerida nos itensanteriores vale sempre.
4. Verifique se e verdade: As classes de equivalencia que formam Q se encontramsobre as “semi-retas” que partem da origem e passam por uma “representacao”qualquer de um elemento:
Q ∋ a
b7→ (a, b) ∈ Z x N∗
a classe de ab
se encontra na reta que passa na origem e pelo ponto (a, b).
5. modulo e classe de equivalencia.
(a) Dentro do espirito da questao anterior, determine a reta que contem aclasse do 1.
(b) Ainda dentro do mesmo espirito geometrico, determine a reta que contema classe do 2.
(c) Ainda dentro do mesmo espirito geometrico, determine a reta que contema classe do 1
2.
(d) Determine a reta que contem a classe do 13.
(e) Determine a reta que contem a classe do 14.
(f) Determine a reta que contem a classe do −12
.
(g) Determine a reta que contem a classe do −2.
(h) Determine a reta que contem a classe do −3.
(i) De todas estas experiencias deduza uma regra geral que associe sinal emodulo sobre a localizacao geometrica das classes de equivalencia de numerosracionais
Observacao 21 Comentarios sobre os exercıcios.
1.
nm
+ p
q= nq+mp
qm
ab
+ p
q= aq+bp
bq
(nq + mp)bq = (aq + bp)qm
nbq2 + bmpq = amq2 + bmpq
nbq2 = amq2
nb = am equivale a hipotese ab≡ n
m
Conclusao a adicao que definimos no velho Q e a mesma que para o novıssimoQ das classes de equivalencia.
2.
nm· p
q= np
mq
ab· p
q= ap
bq
npbq = apmq ≡ nb = am equivale a hipotese ab≡ n
m
3. Se duas fracoes ab, x
yforem equivalentes entao ay = bx ≡ y = b
ax quer dizer
“qualquer que seja xy
o numerado e o denominador estarao sempre na mesmaproporcao”. Se representarmos x
ycomo o ponto (x, y) no plano, eles serao ca-
tetos de tria ngulos retangulos semelhantes, logo as hipotenusas ficarao sempresobre a mesma reta. Quer dizer, (x, y) estara sobre a reta determinada por (a,b),e o que as experiencias sugeriram. De fato, a classe de a
bse encontra na reta
que passa na origem e pelo ponto (a, b). Observe que a “primeira coordenada”do par ordenado a
be a.
4. Conclusao geometrica sob a localizacao das classes de equivalencia das fracoes:
• As classes de equivalencia que comtem as fracoes negativas, sao as semi-retas contidas no quarto quadrante.
• Se uma classe de equivalencia contiver fracoes de modulo menor que 1,“fracoes proprias”, entao ela contem as fracoes
a
b≡ (a, b) ; a < b
entao os pontos (a, b) se encontra em uma reta acima da primeira bissetriz.
• A classe do 1 e primeira bissetriz.
• A classe do −1 e segunda bissetriz, e a semi-reta que passa na origem epelo ponto (1,−1), no quarto quadrante.
• Se uma fracao tiver modulo maior que 1, for uma fracao impropria, suaclasse de equivalencia sera uma semi-reta entre as duas bissetrizes.
• A classe das fracoes nulas, convenientemente, esta sobre o eixo OY.
• curiosidade... O eixo OX nao contem fracoes, por que?
4.3.6 O m.m.c. e a soma de fracoes.
Um denominador comum entre duas fracoes podem ser varios. Ja vimos anteriormenteque uma forma de encontrar um denominador comum, seria considerar o produto dosdenominadores.
O produto de dois nu meros e um multiplo comum a ambos.O m.m.c entre dois nu meros e o “menor” multiplo comum entre estes numeros.
Vamos considerar duas fracoes, ab, p
q.
Para somar estas fracoes, podemos simplesmente construir duas fracoes equivalen-tes a estas com denominador bq. Depois vamos escrever
a
b+
p
q=
aq + bp
bq.
Em vez de escolhermos bq vamos escolher um multimo comum que seja menor que bq,se houver. Vamos chama-lo m e estamos querendo dizer que:
m = bc ;m = qc′
e os dois fatores c, c′ nao precisam ser iguais. A gora a soma de fracoes fica:
ab
+ p
q= ac
bc+ pc′
qc′=
ab
+ p
q= ac
m+ pc′
m=
ab
+ p
q= ac+pc′
m
Esta e expressao mais simples da soma se nao houver fator comum entre a, p, m.Entretanto e bom salientar a completa inutilidade do calculo do m.m.c. para somar
fracoes.
4.4 Outra interpretacao geometrica de Q e dos
numeros reais.Mostraremos que o conjunto dos numeros racionais tem um comportamentogeometrico. Embora ele venha de uma extensao algebrica de Z e guarde muitasemelhanca ainda com este conjunto, ele ja contem a semente de um conjuntomais avancado, o conjunto dos numeros reais.A completacao que faremos de Q para chegar ao conjunto R dos numerosreais sera de natureza geometrica, em oposicao as passagens que construimos
N → Z → Q−→R
4.4.1 A reta e os racionais.
Os numeros racionais tem uma propriedade que os faz fundamentalmente diferentesdos inteiros:
entre dois nu meros racionais, tem outro numero racional.Isto torna Q infinito de muitas maneiras:
• cresce indefinidamente no sentido positivo, como N, ou
• decresce indefinidamente no sentido negativo como Z, e
• finalmente tem uma infinidade de numero racionais entre quaisquer dois numerosracionais.
Observe uma interpretacao geome trica desta afirmacao na figura (fig. 4.3) na pagina118.
0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 10
0.5
1
110.50.25
0.1250.0625
0.03125
0.015625
Figura 4.3: entre dois racionais sempre ha outro...
Exemplo 32 Entre dois racionais ha outro racional.
• Entre 0 e 1: 0.5
• Entre 0 e 0.5: 0.25
• Entre 0 e 0.25: 0.125
• Entre 0 e 0.125: 0.0625
• Entre 0 e 0.0625: 0.03125
• Entre 0 e 0.03125: 0.015625
Observe na figura (fig. 4.5) pagina 119, o intervalo [0, 1] colocado sob lente deaumento.
0 11/2
0 1
0 1
1/21/4 3/4
Figura 4.4: O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente.
Figura 4.5:
Em suma, do exemplo acima tiramos uma visao geometrica do conjunto dos numerosracionais:
Propriedades comparativas da reta e de Q.
1. Ponto privilegiado
• Numa reta existe um ponto privilegiado que a divide em duassemi-retas
• Em Q existe um ponto privilegiado, o zero13, que dividem Q emdois conjuntos, o conjunto dos numeros racionais positivos, Q+
e o conjunto dos numeros racionais negativos, Q−.
2. Existencia de um ponto entre dois outros.
• Numa reta qualquer, dados dois pontos, sempre existe um ter-ceiro ponto entre os anteriores.
• Em Q dados dois numeros, sempre podemos “calcular” um pontoentre os dois outros, por exemplo a me dia aritmetica.
3. Existencia de um ponto externo a dois outros. Propriedade arquime-diana dos racionais.
• Numa reta, dados dois pontos, sempre existe um ponto que naose encontra no segmento de reta determinados por eles.
• Em Q, dados dois numeros, sempre existe um terceiro que emaior14 que os outros dois e mesmo um quarto que e menor queos dois dois.
4. conjunto infinito
• Uma reta e um conjunto infinito.
• Q e um conjunto infinito.
Tivemos o cuidado de expressar todas as propriedades de retas precedidas do artigoindefinido, porque ha muitas retas, entretanto sempre usamos o modo definido parafazer referencia ao conjunto Q que e um so.
Estas propriedades nos permitem de identificar numa reta qualquer uma copia deQ.
___-4____-3____-2____-1_____0_____1_____2_____3_____4_ ...
escolhendo um ponto para representar o 0 e depois, a intervalos iguais, os numerosinteiros, e depois entre estes os numeros fracionarios nao inteiros. Desta forma osubconjunto dos racionais positivos se encontram ocupando uma das semi-retas, e osubconjunto dos racionais negativos a outra.
4.4.2 Numeros irracionais na reta.
A descoberta dos gregos da epoca de Pitagoras, entretanto, foi a de que havia numerona reta que nao era racional. Basta dar um exemplo para comprovar o fato.
Se supusermos que existe um numero racional simplificado p
q, isto e em sua forma
irredutıvel, tal quep
q=√
2
13nao precisava ser o zero, podia ser qualquer outro ponto, a escolha de outro ponto iriaapenas tornar a nossa algebra mais complicada.
14Depois iremos redigir esta propriedade de outra forma e chama-la de arquimediana.
seremos conduzidos a uma contradicao:
x = p
qe x =
√2
x2 = p2
q2 = 2 ⇒ p2 = 2q2
p2
2= q2 ∈ Z ⇒ p2 e par
p2 = 4p′2 ⇒ p2
2= 2p′2 = q2 ⇒ q epar
isto e, numerador e denominador da fracao p
qtem que ser pares apesar de que a fracao
seja por hipotese irredutıvel.A figura (fig. 4.6), pagina 121, contem a representacao grafica de
√2,√
3,√
4 = 2.
0 1
2
3
4 = 2
Figura 4.6: Raizes quadradas
Voce pode calcular geometricamente as sucessivas raızes quadradas de numerosnaturais. Comece com
√2. tracando um cırculo que tem por raio a hipotenusa de um
triangulo retangulo de lados 1.
• Use a raiz para construir um tria ngulo retangulo com um cateto de lado 1;
• Use a nova hipotenusa com raio para obter a nova raiz.
Observacao 22 Aqui usaremos o princı pio do terceiro excluso para entender o queesta acontecendo, que e a justificacao das demonstracoes por absurdo.
1. x = p
q∈ Q esta na forma irredutıvel.
2. x =√
2.
3. numerador e denominador de x sao numeros pares.
Ou o primeiro item e falso ou o terceiro tem que ser, porque eles sao incompatıveis.Como o primeiro e uma hipotese possıvel e foi admitida, e do segundo se deduz o
terceiro, entao a inclusao do segundo item gerou a contradicao, logo ele e falso.Entao o contrario do segundo item15 e verdadeiro:
x 6=√
2
isto e nao pode haver um numero racional igual a√
2.Em logica formal, que e a maquina que usamos para fazer Matematica, vale o
princıpio:Se a proposicao A for falsa, entao a proposicao (nao A) e verdadeira.Sempre, uma das duas, A ou nao A, e apenas uma delas, faz parte dos Teoremas
ou Postulados da Matematica. Se nao pudermos demonstrar, e um postulado.
O que se tornou um quebra-cabecas para os pitagoricos foi que eles conseguiamcolocar
√2 na mesma reta em que se encontravam todos os numeros racionais.
O me todo e simples e voce esta convidado a reproduzı-lo:Escolha na reta o numero racional 1 e sobre ele levante, perpendicularmente, um
segmento de reta de comprimento 1. Agora tire da origem ate a extremidade apropriadadeste segmento, um segmento de reta de modo a construir um tria ngulo retangulo.Pelo teorema de Pitagoras, o comprimento deste segmento e
√2. Com um compasso,
com abertura√
2, uma das pontas na origem, a outra ponta se encontrara no final dosegmento que representa a hipotenusa. Voce pode tracar uma circunferencia que iracortar a reta em dois pontos que se encontram a distancia
√2 da origem, um desses
pontos esta na semi-reta que contem Q+, e√
2 e outro esta na semi-reta que contemQ−, e −
√2.
Entao na reta existem outros numeros alem dos numeros racionais. Este sera oassunto do proximo capıtulo: a construcao geometrica de R.
Observe figura (fig. 4.6) na pagina 121.
4.4.3 Representacao geometrica de
de um numero racional
Vamos mostrar aqui como podemos representar qualquer fracao p
qna reta. Observe o
grafico na figura (fig. 4.2) na pagina 107.
1. caso de fracoes proprias positivas. Os passos sao os seguintes:
(a) Trace uma reta e nela represente o zero. Chame esta reta de Q.
(b) A espacos iguais, por exemplo, a cada centımetro, represente um inteiro,represente por exemplo de -4 a 3, em Q.
(c) Representacao de p
q; p, q ∈ N.
Considere e a fracao p
qcom denominador e denominador positivos.
15o segundo item e terceiro a ser excluido, porque tem tres itens...
i. Trace uma semi-reta partindo de zero passando num ponto P qualquerdo plano fora da reta Q.
ii. Chame esta semi-reta de obliqua.
iii. Na semi-reta obliqua marque o numero inteiro positivo q, e todos osque o antecedem ate o zero que e o zero comum a ambas as retas.O numero positivo q nao precisa coincidir com o ponto P, mas vocepoderia redefinir P para que eles coındissem.
iv. Trace o segmento de reta que une q ao 1 ∈ Q.
v. Trace paralelas a este ultimo segmento passando pelos inteiros queestiverem entre 0 e q na semi-reta obliqua.
vi. Identifique os pontos de encontro das parelalas construidas no itemanterior sobre Q.
vii. Por semelhanca de triangulos, os segmentos de reta entre 0 e 1 emQ, tem todos o mesmo comprimento que vale 1
qe sucessivamente
representam as fracoes1
q,2
q. . .
q
q= 1.
viii. Em particular, se p < q o numero racional p
qsera um dos numeros
acima.
2. caso de fracoes improprias positivas. Para obter uma fracao impropria,aquelas em que o numerador e maior do que o denominador, basta considerar,na construcao acima, sobre a obliqua, numeros inteiros maiores do que q. Cor-rrespondente ao numero q sobre a obliqua, teremos um segmento de reta quetermina em 1. Correspondente um numero inteiro positivo p maior do que qteremos uma fracao impropria p
q> 1.
3. Construa as fracoes de denominador 3 desde 03
ate 53.
4. O caso das fracoes negativas. A mesma construcao pode ser feita, consi-derando agora numeros negativos e usando −1 como ponto de referencia paraobter os triangulos semelhantes. Sera necessario continuar a sem-reta obliquapara alem do zero.
4.5 Um programa para ensinar os inteiros ao
computador
Este programa e uma “farsa” no sentido de que ele ensine as contas ao com-putador. A nossa unica pretensao com esta secao e justificativa do aparatoabstrato que estamos construindo. Com este programa estamos lhe forne-cendo uma palida amostra de como a abstracao, em Matematica, tem umautilizacao pra tica muitas vezes siquer imaginada pelos que ingenuamenteprocuram inventar uma falsa metodologia para o ensino desta disciplina ten-tando substituir o arduo caminho da construcao logica com brincadeiras quedeveriam apenas representar a distensao, necessaria, no trabalho em sala deaula, mas se tomada como um metodo construtivo so pode conduzir a umasuperficialidade no ensino que interessa, sim, aos desonestos que pretendemsubjugar nosso paıs e mante-lo como uma colonia das multinacionais ondeapenas se dance e se assista futebol durante os apagoes.
O Programa abaixo esta escrito em Python, uma linguagem de programacao dedomınio publico. Esta linguagem roda em diversas plataformas computacionais, emLinuX por exemplo. Se voce quiser rodar o programa, solicite aos autores uma copiapela internet.
O objetivo aqui e apenas de mostrar a necessidade de saber abstrair, inclusive paranos comunicarmos com um objeto como um computador.
#!/usr/bin/python### estensao dos metodos da aritmetica aos inteiros
## Definicao da troca de sinaldef t(x):
return -x## estensao da adicao aos numeros inteiros.def adicao(x,y):
if ((x ¿= 0) and (y ¿=0)):return x+y
if ((x ¿=0) and (y ¡= 0)):if t(y) ¿ x:return t(t(y)-x)else:return x - t(y)
if ((x ¡=0) and (y ¿= 0)):return adicao(y,x)
else:return t(adicao(t(x),t(y)))
## estensao da multiplicacao ao numeros inteirosdef multiplicacao(x,y):
if ((x ¿= 0) and (y ¿= 0)):return x*y
if ((x ¿= 0) and (y ¡= 0)):return t(x*t(y))
if ((x ¡= 0) and (y ¿= 0)):return multiplicacao(y,x)
else:return (multiplicacao(t(x),t(y)))
## estensao da desiguladade aos numeros inteirosdef maior do que(x,y):
resposta = ”eles sao iguais ! ”resposta1 = str(x)+”> ”+str(y)resposta2 = str(y)+”> ”+str(x)if x==y:
return respostaelif ((x ¿= 0)and (y ¿= 0)):
if x ¿ y:return resposta1else:return resposta2
elif ((x ¿= 0)and (y ¡= 0)):return resposta1
elif ((x ¡= 0)and (y ¿= 0)):return resposta2
elif (t(y)¿ t(x)):return resposta1
else:return resposta2
def limpa tela():n = 0while n ¡ 23:
printprint chr(7)n = n+1
def separa():printprintprint chr(7)
def finalizando():fim = raw input(”quer terminar ? ”)if fim == ”nao”:
fim =limpa tela()print ”OK, continuando....”
elif fim == :limpa tela()print ”OK, continuando....”
elif fim == ”n”:fim =limpa tela()print ”OK, continuando....”
separa()
============= m aquina de calcular =================
fim =limpa tela()while fim == :
print ”Posso ”print ”somar ( + ), multiplicar ( * ), ou comparar ( ¡ ) ”print ”dois numeros dados.”separa()print ”De-me os dois numeros, ”x = input(”o primeiro numero: ”)y = input(”o segundo numero: ”)
limpa tela()print ”os numeros escolhidos foram ”,x,ysepara()print ”Qual eh o metodo: ”, ”+, * , ¡ ? ”metodo = ra input(”metodo —¿ (+ * ¡ )”)limpa tela()if (metodo==”+”):
print ”a adicao dos dois numeros ”, x,,y, ”eh ”, adicao(x,y)printprint chr(7)
elif (metodo==”*”):print ”o produto dos dois numeros ”, x,,y, ”eh ”, multiplicacao(x,y)printprint chr(7)
else:print ”A comparacao entre os dois numeros”, x,,y, ”eh, ”, maior doprintprint chr(7)print ’escreva ”fim”, (basta uma letra), quando quiser terminar’
fim = raw input(’ou ”enter”se quiser continuar –¿[’)limpa tela()print chr(7)print ”Muito obrigado por ter se usado o ”print ”sistema ’aritmetica’ ... ”separa()print chr(7)print ”Suas sugestoes sao bem vindas para melhorar o ”print ”programa.”separa()print chr(7)print ”Lute para que haja computadores nas Escolas.”print ”Claro, computadores a servico dos professores,”print ”e nao computadores somente para a diretora....”printprint chr(7)print ”Lute para que o salario do professor seja bom.”print chr(7)printprint ”Lute por um plano de carreira dos professores”print ”em todos os niveis.”print chr(7)
Capıtulo 5
Construcao geometrica de
R.
Neste capıtulo vamos construir geometricamente o conjuntodos numeros reais. O ponto de partida sera a representacaogeometrica de Q sobre a reta e a descoberta de que na retaexistem numeros nao racionais, portanto a reta e um conjuntoque contem Q estritamente. Quer dizer que a reta representaum outro conjunto do qual Q e um subconjunto. Chamaremoseste novo conjunto de R e vamos estudar suas propriedades.O conjunto dos numeros reais e um dos conjuntos numericosfundamentais, mas ele representa uma ruptura no pensamentoque ainda hoje esta mal absorvida pela maioria das pessoas,inclusive matematicos que chegam a negar sua existencia. Elemerece um capıtulo a parte.
5.1 O conjunto dos numeros reais.
O ponto inicial e a constatacao de que ha um novo conjunto diferente dosanteriores e estabelecer uma fundamentacao logica para sua existencia formal.Em suma definir o novo conjunto, e criar metodos para atuar sobre ele.No capıtulo anterior convivemos com um erro que e preciso corrigira agora.Falavamos da reta, mas retas ha muitas. Acontece que, do nosso ponto devista de representacao dos numeros, apenas interessa considerar uma retacomo modelo concreto para o conjunto que agora pretendemos construir.Claro, em outra reta qualquer podemos repetir a representacao dos numeroo que significa estabelecer uma bijecao enter as duas retas.
Ou seja, consideraremos todas as retas equivalentes o que na pratica e como
se fossem todas iguais. Porisso falavamos e continuaremos falando da reta.
Duas retas distintas sao apenas duas copias do novo conjunto que logo iremos
definir.
aEste e um livro didatico, quer dizer, nele tentamos arremedar o processonatural da aquisicao do conhecimento que passa pela convivencia com comerros logico ate a formalizacao do novo conhecimento. O livro dida tico e ocenario artıstico em que a ciencia se desenvolve.
Definicao 38 Conjunto dos numeros reais.
131
Uma reta qualquer sobre a qual tenhamos escolhido o ponto para representar o zeroe a intervalos iguais escolhido pontos para representar os inteiros, se chamara a reta
numerica.A reta nume rica e o conjunto dos numeros reais.Este novo conjunto se designa com o sımbolo R.
De agora em diante, estaremos chamando de numeros reais aos pontos de uma retanumerica.
Observacao 23 Unicidade da reta numerica. Entre duas tais retas podemos esta-belecer uma correspondencia biunivoca 1 e sobre2 de formas que as consideraremosapenas copias equivalentes da reta numerica.
Ou seja, a reta nume rica e uma so3.
A experiencia que comecamos com√
2 pode ser iterada, Ver pagina 121.
• sobre o numero√
2 considere um segmento de reta perpendicular e de com-primento 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para construir umtria ngulo retangulo. A hipotenusa deste triangulo ira medir
√3 que podera
ser transferida para a reta com um compasso determinando dois numeros reais:√3,−√
3.
• sobre o numero√
3 considere um segmento de reta perpendicular e de compri-mento 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para construir um triangulo retangulo. A hipotenusa deste triangulo ira medir
√4 = 2 que podera
ser transferida para a reta com um compasso determinando dois numeros reais:2,−2. Neste caso nao ganhamos nada, mas mostramos que os inteiros podemser obtidos da mesma forma que os numeros irracionais.
• sobre o numero 2 considere um segmento de reta perpendicular e de comprimento1. Ligue a extremidade adequada com a origem para construir um tria nguloretangulo. A hipotenusa deste triangulo ira medir
√5 que podera ser transferida
para a reta com um compasso determinando dois numeros reais:√
5,−√
5.
e assim sucessivamente podemos construir ±√n para qualquer numero natural n.Sempre que n for primo o resultado sera um novo numero irracional.
Observacao 24 Numeros nao algebricos.Ha outros tipos de numeros nao racionais sobre a reta, por exemplo os numeros
algebricos.Um numero e algebrico se for solucao de uma equacao polinomial. Por exemplo,√
2 e solucao da equacao
x2 − 2 = 0
entao√
2 e um numero algebrico sobre Q, mas que nao pertence a Q e sim asuaextensao R.
Que podemos dizer das solucoes da equacao x2 + 1 = 0 ?
1leia “injetiva”2leia “sobrejetiva”3o conceito de unicidade e primordial, ele parece uma necessidade infantil... mas veja,
se nao considerarmos todas as retas iguais, quando tivermos dois exemplares poderemos tereventos ocorrendo em locais distintos o que sera uma inconveniencia, pelo menos porque podenao ser possıvel compara-los.
Ha tambem os numeros nao algebricos, que nao sao solucoes das equacoes algebricascom coeficientes racionais4.
Todo nu mero racional e um numero algebrico.
Mas ha numeros que nao sao nem racionais nem algebricos, estes se chamamtranscendentais. Esta e a definicao, quando um numero nao for alge brico, ele etranscendental.
Como poderiamos provar que ha numeros nao algebricos?
A parte da Matematica que trata deste assunto se chama teoria dos numeros a qualpertence o recentemente provado u ltimo teorema de Fermat . Nao haveria espaco nestelivro para iniciar esta teoria...faz parte de uma disciplina chamada Algebra, que nao eexatamente a mesma ensinada nos concurso para a Polıcia e para o Banco do Brasile Receita Federal.
A consequencia do que fizemos acima e:
• Existe um novo conjunto, a reta numerica R.
• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
• Existem numeros reais que nao sao racionais, os numeros irracionais, portantoR e um novo conjunto.
Como R e um novo conjunto, teremos que estender a ele os me todos de Q, asoperacoes algebricas e logicas.
Exercıcio 15 Numeros irracionais.
1. Prove que√
n e um numero irracional quando n for primo?
2. Quando n, mesmo nao sendo primo, ainda√
n e um numero irracional?
3. Verifique se e verdade que “√
n e inteiro ou irracional”
5.2 Estrutura algebrica da reta.
Vamos estender as operacoes aritmeticas e logicas ao novo conjunto numericoR. Como este novo conjunto e de natureza geometrica, estas definicoes seraofeitas usando uma metologia geometrica. Isto quer dizer que consideraremosas operacoes geometricas como parte de nossa experiencia como consideramosN um conhecimento fundamental ja adquirido ou aceito.
A construcao feita aqui ficara incompleta, muita coisa sera deixada para o
leitor, caso contrario este livro ficaria muito grande.
5.2.1 A adicao em R.
Vamos associar a cada numero x ∈ R real o segmento de reta orientado 0x que liga0 ∈ R a x.
Definicao 39 Numeros reais positivos.
O conjunto R+, chamado dos numeros reais positivos, e a semi-reta que contiverQ+. A outra semi-reta e o conjunto dos nu meros reais negativos
4sem esta restricao nao aconteceria nada diferente, todo numero, π por exemplo e solucaode uma equacao do primeiro grau: 1
πx = 1
Observacao 25 Sentido.
Observe que a natureza geometrica dos numeros reais cria novos conceitos. Osnumeros reais sao pontos de uma reta na qual se escolheu um ponto privilegiado pararepresentar o zero e de onde “partem” duas semi-retas: R+,R−. Quer dizer que esta-mos falando de duas semi-retas “orientadas”, uma delas “cresce” no sentido positivoe a outra “cresce” no sentido negativo, porisso passaremos a dizer que esta ultimadescresce5.
Assim um numero real positivo determina em R, com a origem, um segmento dereta que tem sentido diferente, contrario, a qualquer segmento de reta determinadocom a origem por um numero real negativo.
Adicao de de vetores
Como os numeres reais sao “seres geometricos” vamos discutir aqui em detalhe comosomamos segmentos de reta - vetores.
E a “regra do paralelogramo”, ver (fig. 5.1), pagina 130.
a
b
a+b
a
a
ay
x
a = a + ax y
b
b
b
x
yb = b + bx y
Regra do paralelogramoresultante
as componentes horizontal e vertical de um vetor
Figura 5.1: A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados
Na figura (fig. 5.1), pagina 130, voce pode ver a decomposicao dos vetores ~a,~b quese encontram somados no paralelogramo.
O paralelogramo, enfim, e uma figura geometrica especial. Os lados sendo paralelosdois, ele serve para “transferir” comprimentos sem deformacao.
5se eu tiver uma dıvida de 200 Bi com o FMI e “contratar” um novo emprestimo, paraauxiliar uma multi- nacional que vem se instalar aqui dentro, de mais 50 Bi, entao a minhadıvide cresce, mas os meus direitos, a minha independencia, “descrescem”.
Aqui voce vai ter que fazer uma adaptacao mental. Como e que fica a soma desegmentos em cima da reta? Se convenca, teremos um paralelograma “degenerado”com todos os lados em cima da reta...
Patografo - construcao de figuras semelhantesEra comum se poder comprar nas casas de desenho um instrumento chamado
pantografo6.A figura (fig. 5.2) pagina 131, mostra o efeito de um pantografo sobre uma figura
geome trica, e possıvel copiar a figura mantendo suas proporcoes. Na figura (fig. 5.2)
os polıgonos A e A sao semelhantes.
Pantografo
A
AA
A
Figura 5.2: Figuras semelhantes obtidas com um pantografo
Entao podemos transferir segmentos, ou como se costuma dizer, vetores, quardandocomprimento e direcao, usando a regra do paralelogramo.
Podemos, inclusive, com pantografos, “multiplicar” as grandezas geometricas guar-dando a semelhanca, (direcao e sentido).
O que nos interessa neste momento e soma, trataremos em seguida da multi-plicacao, tambem.
Ha dois instrumentos de desenho cruciais para a nossa construcao algebrica: com-passo, esquadro.
• Compassos servem para transferir distancias, porisso conseguimos tracar umcırculo com um compasso, transferindo a distancia do centro para um ponto“qualquer” guardando a distancia escolhida. Todos os pontos assim marcadosficam a mesma distancia do centro;
6do grego, pantos=tudo, grafos=copia
• Esquadros servem para transferir direcao, retas paralelas.
Usando um compasso podemos transferir um segmento b para o extremos do seg-mento a e assim calcular o segmento soma a + b sobre uma mesma reta.
Voce pode ver estas ideias concretizadas na figura (fig. 5.3) pagina 132. Na figuravoce pode ver a soma dos segmentos a, b todos dois com o sentido positivo da reta.Tambem voce pode ver a soma de dois outros segmentos, a no sentido positivo da retae b orientado no sentido negativo da reta.
No segundo caso, em que os segmentos tem sentidos contrarios:
• a tem sentido positivo e tem modulo menor;
• b tem sentido negativo e tem modulo maior,
o resultado desta soma e um segmento com orientacao negativa: a + b < 0.
b
aa+b
a
b
marca do zero
0
a+b < 0
a+b > 0
0
0
Figura 5.3: Soma de segmentos
Da mesma forma como podemos somar segmentos, tambe m e possıvel fazer adiferenca entre segmentos. Observe inicialmente que
x− y = x + (−y).
Quer dizer que a diferenca se traduz como uma adicao de x com7 −y.Observe na figura (fig. 5.4) pagina 133, a soma e a diferenca dos vetores ~a,~b. Sao
as duas diagonais do paralelograma que eles determinam.
Podemos tomar emprestado da geometria e do desenho os instrumentos necessarios para fazer algebra e construir o conjuntos dos numeros reais, geometricamente.
Vamos aplicar a algebra vetorial nos geometricos nu meros reais.
7Logo vamos definir para os reais a troca de sinal.
a
b
a+ba−ba−
b
Adicao e diferenca de vetores
a−b, b−a, a+b sao as diagonaisa−b, b−a sao a mesma diagonal, em sentidos reversos.
−b
a
=
=
Figura 5.4: Adicao e diferenca dos vetores ~a,~b.
Modulo e troca de sinal
De forma identica ao que aconteceu com a soma de numeros inteiros, precisaremos doconceito de modulo. A figura (fig. 5.5), pagina 134, ilustra diversos fatos geometricosrelativos aos numeros reais. Nela um cırculo centrado na origem comum de duas retasindica o modulo.
Definicao 40 Modulo de um numero real.
Dado um numero real x com a origem ele determina o raio r, de um cırculo decentro na origem e que passa tanto por x como por −x. Por convencao consideraremosr igual ao numero real positivo e o chamaremos de modulo: r = |x| = | − x|. Vejana (fig. 5.5), pagina 134, o numero x alı representando um numero negativo, e seumodulo |x|. Os dois se encontram num mesmo cı rculo, porque cırculos de centro naorigem sao o lugar geometrico dos numeros que tem o mesmo mo dulo.
Portanto |x| e o raio do cırculo de centro na origem que passa por x.
Tambem precisaremos da funcao troca sinal:
Definicao 41 Funcao troca sinal. Definimos a funcao
t : R→ R ; x 7→ −x
de tal modo que −x e o u nico numero real tal que | − x| = |x| e que se encontra nasemi-reta em que x nao esta.
Vamos tambem definir uma funcao que identifica quando x ∈ R+.
1x
−x|x|
c
c|x|
d
−d
1
−1
Multiplicacao geometrica e modulo
Figura 5.5: Multiplicacao, modulo em R.
Definicao 42 Funcao sinalA expressao, o sinal de x e 1 se x ∈ R+, ou o sinal de x e −1 se x ∈ R−.
sign(x) =
{x ≥ 0 ⇒ 1
x < 0 ⇒ −1(5.1)
A funcao t serve para transpor x para o outro numero real determinado pelo cırculode centro na origem passando por x, independentemente do sinal de x. Observe na (fig.5.5), pagina 134, o nu mero d e o numero −d.
Exercıcios 21 Troca sinal e modulo
1. Observe se as duas frases seguintes sao verdadeiras: d e a imagem pela funcao“troca sinal” de −d. −d e a imagem pela funcao “troca sinal” de d.
2. Calcule t(t(d)).
3. Calcule |‖ − x‖|; | − 3|; | − 3|+ 3; 3− | − 3|4. Verdadeiro ou falso: “Dois numeros reais de mesmo mo dulo, mas de senti-
dos diferentes, determinam com a origem dois segmentos de reta com sentidosopostos. Um e inverso aditivo do outro”.
5. Calcule sign(−3); sign(sign(−3)); 1 + sign(−3); sign(3)− 1
Relacao de ordem na reta
Queremos, para compatibilizar a relacao de ordem de R com as que definimos em Z,Qusar a mesma definicao anterior.
Definicao 43 Ordem em R
x, y ∈ R ; x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+
Quando fizermos a diferenca (vetorial) y−x a “resultante” deve estar na semi-retapositiva quando x < y.
A figura (fig. 5.6) pagina 135, ilustra estes conceitos.
x y−x
y−x > 0y−x R+
−x
y−x
Figura 5.6: Adicao, modulo, desigualdade em R.
Transferimos para a reta numerica, que representa o novo conjunto nume ricoestendendo Q quase todos os metodos alı existentes: adic~ao, desigualdade. Aindafalta definir a multiplicacao geometrica que logo faremos. Antes vamos testar a nossacapacidade formal com os novos conceitos demonstrando um teorema.
Teorema 42 Se |x| ≥ |y| entao o x + y tem o sinal de x.
Dem :Quer dizer que x determina um cırculo, de centro na origem, com maior maior do que o
cırculo determinado por y.Entao, quando transferirmos. Se os dois tiverem o mesmo sinal nada ha o que fazer
porque x + y tera o sinal comum aos dois.Vamos discutir portanto o caso em que x ∈ R−, e consequentemente y ∈ R+.Faca um desenho para acompanhar a explanacao.Quando transferirmos x para a extremidade de y, como |x| > |y| entao o segmento trans-
ferido cobre o segmento 0y de maneira tal que havera um excedente (diferenca) na semi-retanegativa quer dizer que x + y ∈ R−. Logo sign(x + y) = sign(x).
O outro caso e simetrico: x ∈ R+, y ∈ R−.
q.e.d .
Teorema 43 A soma em R e comutativa. Dem :A soma de segmentos, usando a regra do paralelograma e sime trica, porque os lados sao
iguais dois a dois. A resultante sera mesma nao importanto a ordem com que facamos atransferencia dos segmentos: a + b = b + a.
q.e.d .
Precisamos de um elemento neutro para a adicao. Um segmento que somado aqualquer outro, reproduza o outro. Este “segmento” sera um “segmento degenerado”que se reduz a um ponto, a origem O que divide a reta em duas semi-retas.
Agora, aplicar a regra do paralelogramo a um vetor qualquer, para soma o zero,significa que o paralelograma vai se reduzir ao proprio vetor, (novo paralelogramodegenerado), e o vetor coıncide com a resultante: quer dizer a soma com zero, reproduzo outro vetor. Demonstramos assim:
Teorema 44 O zero e o elemento neutro da soma.
Teorema 45 Todo x ∈ R tem inverso aditivo. O inverso aditivo de x e o outronumero real determinado pelo cırculo de raio |x| e centro 0. Porque os dois segmentos0x e 0(−x) tem mesmo tamanho, mas sentidos contra rios, ao serem superpostos oponto determinado sera0.
E agora um teorema complicado de demonstrar, claro que nos nao vamos faze-lo,o deixaremos para o leitor interessado:
Teorema 46 A adicao e associativa.
A conclusao e que:
Teorema 47 (R, +) e um grupo comutativo.
Vamos terminar esta secao mostrando que a adicao geometrica e compatıvel coma adicao usual de numeros inteiros ou racionais, portanto e uma estensao da adicaode Q ao conjunto R.
Teorema 48 Compatibilidade da soma geometrica com a soma de inteiros Dem :Para os inteiros, como cada inteiro n determina na reta orientada um segmento de reta cujo
comprimento e n vezes o tamanho do segmento 01 vemos que n significa uma soma repetida
de 01 conseaquentemente a soma dos inteiros n, m sera tambem uma soma de segmentos de
reta. q.e.d .
No caso dos racionais, ja interpretamos p
qcomo segmentos de reta de comprimento
1q
logo p
q+ m
nsera uma soma de segmentos de reta de comprimento 1
qn. Demonstramos
assim:
Teorema 49 Compatibilidade da soma geometrica com a soma em Q
Como os inteiros, os racionais determinam segmentos de reta, a desigualdade comofoi definida, coıncide com a desigualdade de Q e de Z. Isto demonstra:
Teorema 50 Compatibilidade da ordem de R com a ordem de Q
0
x
y
1
−y
y
retas paralelas
c=xy
c
x
x y
y
1
c
c
A multiplicacao e comutativa
Figura 5.7: A multiplicacao geometrica
5.2.2 A multiplicacao em R.
Vamos agora definir a multiplicacao geometrica. Acompanhe o texto da definicao comfigura (fig. 5.7) pagina 137. A definicao da multiplicacao, acompanha o texto [2].
Definicao 44 De multiplicacao geometrica. A definicao da multiplicacao, se faz deacordo com o seguinte algoritmo:
• Dados x, y ∈ R.
• Considere duas copias da reta numerica, concorrentes na origem.
• Considere x em uma das copias e y na outra.
• Trace o segmento de reta x1 ligando x a unidade representada na reta em que yesta marcado.
• Passe uma parela ao segmento x1 passando por y.
• O ponto c determinado por esta paralela na reta em que x esta marcado e oproduto de x por y; c = xy.
A multiplicacao esta baseada em triangulos semelhantes.
A unica propriedade trabalhosa e a associatividade que vai implicar num desenhocomplicado. Apenas trabalhosa, porisso vamos deixa-la generosamente para o leitorinteressado.
Vamos mostrar as demais propriedades.
Teorema 51 A multiplicacao e comutativa
xy = yx
Dem : Os triangulos 0yc desenhados em (fig. 5.7) veja o detalhe naquela figura, sao
iguais. q.e.d .
Teorema 52 Existe um inverso multiplicativo Dem : Se x 6= 0 a construcao feitana (fig. 5.8) pode ser feita uma vez que sera possıvel tracar paralelas.
A existencia do inverso esta demonstrado na figura (fig. 5.8) pagina 138. Os passosexecutados foram:
1. Tracamos uma reta ligando x com a unidade na outra reta.
Observe que x = 0 pertenceria a ambas as reta e portanto a frase anterior ficariaambigua e portanto impossıvel de ser executada. Algoritmos nao admitem ambiguida-des, portanto x = 0 nao tem inverso.
2. Tracamos, pela unidade marcada na mesma reta em que esta x marcado, uma paralela.
3. Esta paralela vai encontrar o numero c tal que
xc = 1 ≡ c =1
x
0
x
1
1
1/x
Figura 5.8:
q.e.d .
Teorema 53 Elemento neutro da mulplicacao Dem :
Existe uma unica reta passando por x, 1. q.e.d .
A conclusao e que
Teorema 54 (R∗, ·) e um grupo comutativo.
Observacao 26 Grupo dos reais positivos.Observe que o conjunto dos numeros reais positivos, estritamente positivos, tambe m e
um grupo com a multiplicacao. E o subgrupo do grupo de R∗.
Os comentarios que fizemos sobre a adicao e sua significacao geometrica em Q seaplicam aqui para a multiplicacao.
5.2.3 O corpo ordenado (R, +, ·,≥).
Ja estudamos as propriedades aditivas e multiplicativas de R, falta-nos estudar as pro-priedades que relacionam a adicao com multiplicacao e estas operacoes com a relacaode ordem.
Teorema 55 O produto e distributivo relativamente a adicao. Dem :Como a nossa fonte de informacoes e a geometria, junto com o conjunto dos numeros
naturais, entao vamos usar o calculo de a reas para verificar a distributividade. Teriamosque definir area:
Definicao 45 Area de um retangulo.E o produto dos numeros reais que medem os lados deste retangulo.
Suponhamos agora que tenhamos um retangulo de lados c e a + b, quer dizer que um doslados do retangulo se compoe da soma geome trica de dois segmentos cada um deles medindoa e b respectivamente, e o outro lado temos um segmento medindo c.
Quer dizer que podemos decompor este retangulo em dois outros retangulos, um com ladosmedindo c e a e outro com lados medindo c e b.
As areas destes dois novos retangulos e ac e bc. Como eles sao disjuntos, suar areas sepodem somar: ac + bc e area do retangulo inicial.
Mas a area do retangulo inicial seria tambem c(a + b) logo:
c(a + b) = ca + cb = ac + bc
q.e.d .
Teorema 56 Desigualdade e adicao. Dem : Dados tres numeros reais a, b, c se
a ≤ b entao a + c ≤ b + c. Por definicao, (verifique que e mesmo), a ≤ b significa que a
esta esquerda de b na reta. Como a soma e uma translacao, entao se transladarmos a, b no
mesmo sentido e do mesmo tamanho, os pontos resultantes vao guardar a mesma posicao
relativa, entao a + c estara a esquerda de b + c isto e: a + c ≤ b + c. q.e.d .
Teorema 57 Desigualdade e multiplicacao. Dados tres numeros reais a, b, c se a ≤ b
e c ≥ 0 entao ac ≤ bc. Se c ≤ 0 entao ac ≥ bc. Dem : Precisamos do seguinte lema:
Lema 3 Produto de positivos e positivo Tome x, y em cada uma das semiretas positivasque se encontram em 0. Como o triangulo determinado por 0, y, xy e semelhante ao triangulodeteminado por 0, 1, x entao xy esta na mesma semireta que x, quer dizer que sign(x) =sing(xy).
Agora,
a ≤ b ≡ b − a ≥ 0 ⇒ c(b − a) ≥ 0 ≡ cb − ca ≥ 0 ⇒ ca ≤ cb
q.e.d .
Ou como se diz, multiplicar por um numero positivo uma desigualdade, nao alterao sentido da mesma, mas multiplicar por um numero negativo, altera o sentido dadesiguldade.
Exercıcio 16 Solucao geometrica de equacoes.
1. Dados dois nu meros a, b reais positivos, encontre o numero x tal que ax = b,geometricamente.
2. Use o fato “todo segmento de reta tem um comprimento” para mostrar que dadox ∈ R+, existe n ∈ N tal que n > x.
3. Mostre que dado x ∈ R+, existem n, m ∈ N tal que
m ≤ x ≤ n.
O numero m se chama parte inteira de x .
4. Propriedade arquimediana da reta Dados a ≤ b ; a, b ∈ R existe uma numeronatural n tal que an ≥ b.
5. Resolva as desigualdades abaixo usando as propriedades de R.
(a) (a) 3x + 7 = 0 (b) 3x + 7 ≤ 0
(b) (a) −2x + 7 ≥ 0 (b) −3x− 5 ≥ −3
(c) (a) 3x−74
= 3 (b) x− 7 ≥ −3
(d) (a) − 2x−73 ≤ 0 (b)−3x + 7 ≥ 0
6. Represente geometricamente as solucoes das desigualdades da questao anterior.
7. Encontre os pontos de R x R tal que
(a) (a) x + y = 0 (b) x− y ≤ 0
(b) (a) −x− y ≥ 0 (b) −3x− 5y ≥ −3
(c) (a) 3x−7y
4≤ 3 (b) x− 2y ≥ −3
(d) (a) − 2x−y
3≥ 0 (b)x− y ≥ 0
8. Represente geometricamente as solucoes das desigualdades da questao anterior.
9. Encontre os pontos de R x R tal que
(a) (a) x2 + y2 = 3 (b) x2 + y2 ≤ 3
(b) (a) x2 + y2 ≥ 2 (b)4x2 + 4y2 ≤ 3
(c) (a) 3x−7y
4≤ 3 (b) x− 2y ≥ −3
(d) (a) − 2x−y
3≥ 0 (b)x− y ≥ 0
Capıtulo 6
Funcoes Especiais
Algumas funcoes desempenham um papel importante nasaplicacoes da Matematica. Vamos discutir algumas delas nestecapıtulo que tivemos a ousadia de chamar Funcoes Especi-ais porque esta denominacao sempre foi guardada para algu-mas funcoes especiais mais avancadas. Vamos estudar aqui asfuncoes
• lineares afim,
• as funcoes polinomiais do segundo grau,
• a funcao logaritmo,
• a funcao exponencial,
Deixaremos de fora deste capıtulo as funcoes trigonometricasporque queremos coloca-las num contexto especial, dentro dosnumeros complexos, no penultimo capıtulo do livro.Uma das caracterısticas deste capıtulo e a introducao dosgraficos para acompanhar o estudo das funcoes. Exagerando,uma funcao, aqui, sera um grafico, e vamos insistentementediscutir as propriedades das funcoes em termos dos graficosque pudermos produzir para elas.
6.1 Funcao linear afim
Uma funcao linear afim e um tipo de funcao polinomial, quando o polinomioque a define e do primeiro grau. Os polinomios vao ser estudados mais afundo no capiıtulo 8.1, ao final do livro, isto nao nos impede, entretanto decomecar a usa-los, de leve.
Polinomios sao expressoes algebricas formadas de diversos termos, o nome indicaisto, poli vem do grego e significa diversos. Em Matematica usamos monomio, binomio,trinomio quando quisermos enfatizar o numero de termos, e finalmente polinomio,quando quisermos apenas dizer que ha varios termos.
Vamos estudar os polinomios no capıtulo 8.1, aqui faremos uso mecanico dos mes-mos.
A algebra com polinomios produziu muitos resultados em Matematica ao longodos anos, como os numeros complexos que vamos estudar no Capıtulo 7, e dentro da
145
cultura matematica ja foi de absoluta importancia saber manipular com maestria asexpressoes algebricas.
O leitor curioso deveria pelo menos consultar uma das relıquias de nossa culturamatematica, o Abecedario da Algebra, [4],para ter uma ideia da habilidade que tinhamalguns dos que nos antecederam no tempo.
Estas tecnicas hoje estao incorporadas em programas de computador que sao ca-pazes de desenvolver, para nos, humanos, expressoes incrivelmente complicadas, umtrabalho mecanico, proprio para maquinas, que outros tinham capacidade de fazermentalmente ou com ajuda de papel e lapis. Observe o seguinte exemplo obtido como programa Maxima
(C1) (a + b)^5 ;
5 4 2 3 3 2 4 5
(D2) b + 5 a b + 10 a b + 10 a b + 5 a b + a
Escolhemos a potencia 5 apenas para que o resultado coubesse na linha, mas qual-quer potencia inteira poderia ter sido escolhida e o resultado surgiria na tela quaseinstantaneamente.
Outro exemplo e o triangulo de Pascal, veja 10 19 calculado com um programa emPython que pode gerar o triangulo com um numero arbitrario de linhas em fracoes desegundos (desde que voce nao exagere...)
Maxima e um programa de domınio publico, distribuido sob a licensa GPL, per-tence a uma classe de programas ditos “de computacao algebrica” e que podem fazermuitas operacoes algebricas que para nos humanos sao muito custosas, como o binomiode Newton.
O binomio de Newton, que estudamos no capıtulo 2, e uma dessas descobertastıpicas de quem domina a manipulacao das expressoes algebricas.
Aqui vamos estudar as funcoes definidas por binomios da forma
ax + b (6.1)
um polinomio do primeiro grau.
Definicao 46 Funcao linear afim
Uma funcao definida por um polinomio do primeiro grau se chama linear afim.
f : N→ R; (6.2)
f(x) = ax + b; (6.3)
x 7→ y = f(x) = ax + b; (6.4)
em que sao dados os numeros a, b.
Exemplo 33 Funcoes lineares afim
• P.A. f(x) = 3x + 4
Observe que se x ∈ N os valores de f se encontram em progressao aritmetica:
f(N) = {4, 7, 10, · · ·} (6.5)
• funcao linear
Um caso particular de funcao linear afim e aquela em que o termo constante ezero:
x 7→ ax = f(x) = y (6.6)
Estas funcoes se chamam lineares.
As funcoes lineares tem duas propriedades que as fazem especial. Depois vocevai ver que estas propriedades aparecem em outras funcoes lineares definidascom matrizes, voce vai ver isto no capıtulo 7.
Propriedades das funcoes lineares:
Considere f(x) = Ax. Entao as propriedades seguintes valem
– homogeneidade f(λx) = λf(x) para qualquer numero λ.
– distributividade dados dois valores da variavel, x1, x2, temos
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
– linearidade Muitas vezes preferimos juntar as duas propriedades numa socom a seguinte redacao
f(λ1x1 + λ2x2) = λ1f(x1) + λ2f(x2)
6.2 Progressao aritmetica
As P.A. sao as funcoes lineares afins definidas no conjunto dos numeros naturais. Seraque toda P.A. tem uma equacao linear? A resposta e sim.
Definicao 47 Progressao aritmeticaUma P.A. e uma sucessao de numeros que diferem, cada um do seu antecedente,
de um numero fixo, chamado raz~ao. Observe a figura (fig. 6.1) na pagina 148. Umaescada em que todos os degraus tenham a mesma algura, e um exemplo de P.A.
A equacao classica para as P.A. estabelce que o termo geral e
an = a1 + (n− 1) ∗ r (6.7)
em que
• primeiro termo a1 e o primeiro termo
• a variavel n e um indice, a variavel com que construimos a P.A.
Usando a notacao de funcao diriamos
N→ R (6.8)
n 7→ an = a1 + (n− 1) ∗ r (6.9)
• o coeficiente angular e a razao, r.
quer dizer quean = a1 + (n− 1) ∗ r
e a equacao da funcao. Neste caso chamamos de sucessao e muitas vezes escrevemosa equacao usando uma letra, habitualmente s, t, r, com um ındice, quer dizer que
a(n) ≡ an.
sao notacoes equivalentes, mas o habito com sucessoes e usar a indexacao an.Apresentar as P.A. aritmeticas desta forma e antigo1, tem sua validade, mas a
notacao funcional oferece outras vantagens. Vamos estabelecer um compromisso entreas duas formas de escrever, porque cada uma delas tem sua utilidade em um determi-nado momento e e preciso saber saltar de uma para a outra. A proxima sequencia deequacoes faz isto.
Comparando, e transformando, vemos na equacao 6.9:
a1 + (n− 1) ∗ r ; ax + b (6.10)
o primeiro termo e (a1 = b) ⇒ b + (n− 1) ∗ r (6.11)
a variavel e (n = x)⇒ b + (x− 1) ∗ r (6.12)
a razao e (r = a)⇒ b + (x− 1) ∗ a (6.13)
Observacao 27 Tipos de dados em computacaoQuando escrevemos um programa, em computacao, temos o cuidado de idenficaro tipo das variaveis que usamos. Se desejarmos usar uma variavel do tipo inteirousamos as letras n, m, k.Algumas vezes usamos variaveis como “contador” para indicar numeros inteirospositivos, ındices. E isto que se encontra na notacao antiga para as P.A. Se desejavadeixar claro que a variavel era um numero inteiro, positivo, um ındice.
6.2.1 Notacao e exemplos
Se escrevermos
f : N −→ R (6.14)
n 7→ f(n) = An + B = sn (6.15)
(6.16)
estamos definindo uma P.A. ou uma sucessao aritmetica . Mas estaremos em desacordocom a tradicao. Foi esta a razao pela qual fizemos a sequuencia de transformacoes queterminou na equacao 6.13.
Se usarmos a seguinte definicao alternativa
f : N −→ R (6.17)
n 7→ f(n) = A(n− 1) + B = sn (6.18)
(6.19)
seriamos melhor comprendidos.Agora
o primeiro termo e s1 = B (6.20)
e a razao e A. (6.21)
Vamos ver um exemplo da matematica atuarial ou financeira, os juros simples.Os juros simples sao calculados com progressoes aritmeticas, ao longo do tempo,
se voce nao amortizar nada da dıvida.Os juros sao uma “pequena parte” que os capitalistas querem agregar ao que voce
esta devendo, todos os meses, a tıtulo de remuneracao do emprestimo.
1existe dois tipos de idiota, um que diz, “e antigo, entao e bom”, outro diz “e novo, entaoe melhor . . .
Exemplo 34 Juros de 7.5% ao mesSe voce tomar um emprestimo de C contratado a juros de 7.5% ao mes, a dıvida,
caso voce nao pague nada durante o ano, sera uma progressao aritmetica:
C, C + r, C + 2r, C + 3r, C + 4r, · · · , C + 11r (6.22)
quer dizer que o termo geral da dıvida sera
dn = C + (n− 1) ∗ r ; r = 7.5%C (6.23)
e ao final de 12 meses voce devera pagar C + 11r.A razao e a taxa de juros, e o primeiro termo e o valor do emprestimo. Claro, isto
e capitalismo nao selvagem que e muito pouco praticado hoje em dia. Depois veremosoutro tipo de progressao que fica muito mais a gosto dos banqueiros.
Os problemas a respeito de progressoes aritmeticas giram em torno do uso daformula que depende de tres informacoes:
razao, A (6.24)
primeiro termo, B (6.25)
n’umero de termos, n (6.26)
o termo geral, sn = B + A(n− 1); (6.27)
ou sn = s1 + (n− 1)r (6.28)
Dadas duas informacoes, se pede que voce calcule a terceira:
Exercıcios 22 Sucessoes aritmeticas
1. Encontrar um termo Dada uma P.A. cujo 30otermo e 50 e o primeiro termo e-5, calcular o decimo termo.
Solucao:
Quer dizer que o numero de termos e 30.
s30 = 50 = s1 + (n − 1)r
s30 = 50 = −5 + (30 − 1)r
s30 = 50 = −5 + 29r ⇒ r = 5529
s10 = s1 + (10 − 1)r =
s10 = −5 + 9 5529
= 35029
s10 =≈ 12.06896551724137931034
2. Qual e a razao ? Numa P.A. com 10 termos sabe-se que o primeiro termo e 3e o quinto termo e 17. Qual e a razao;
Solucao:
O numero de termos e 5.
s5 = 17 = s1 + (n − 1)r
s5 = 17 = 3 + (5 − 1)r
3 + (5 − 1)r = 17 ⇒ r = 17−34
r = 144
= 72
= 3.5
3. Qual e o numero de termos ? O primeiro termo de uma P.A. e −1, o ultimo
termo e 17 e a razao e 12. Quantos termos tem esta P.A. ?
Solucao:
sn = 17 = s1 + (n − 1)r
17 = −1 + (n − 1) 12
−1 + (n − 1) 12
= 17 ⇒ n − 1 = 2(17 + 1) = 36
n = 37
4. funcao linear afim e P.A. Verifique que se y = f(x) for uma funcao linear afim,entao a imagem por f de qualquer P.A. sera tambem uma P.A.
Solucao: Considere uma P.A. (sn)n∈N e portanto
∆ = sn+1 − sn
e uma constante (nao depende de n).
Podemos abstrair um pouco mais e tornar mais simples os calculos. Vamosidentificar:
f(x) = Ax + B (6.29)
sn = a (6.30)
sn+1 = a + ∆ (6.31)
f(sn+1)− f(sn) = f(a + ∆)− f(a) (6.32)
tn = f(sn) ; tn+1 = f(sn+1) (6.33)
tn+1 − tn = f(a + ∆)− f(a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B) (6.34)
tn+1 − tn = Aa + A∆ + B −Aa−B = A∆ (6.35)
em que f e uma funcao linear afim qualquer e (tn)n∈N e uma nova sucessao,imagem por f da P.A. A diferenca tn+1 − tn e constante, (nao depende davariavel n).
A diferenca de dois termos consecutivos da sucessao (tn)n∈N e constante, logouma P.A.
Os calculos acima ainda revelam que a razao da nova progressao aritmetica eA∆ quando a razao P.A. aritmetica primitiva era ∆. Conclusao a razao ficoumultiplicada pelo coeficiente angular de f.
O exercıcio (ex. 4 ) demonstrou o seguinte teorema:
Teorema 58 Funcao linear afim e P.A.As funcoes lineares afins transformam progressoes aritmeticas em progressoes aritmeticas.
A razao da nova P.A. fica multiplicada pelo coeficiente angular da funcao linear afim.
6.2.2 Soma dos termos de uma P.A.
... ou calculo da prestacao do emprestimoO exemplo que demos de juros para iniciar o nosso estudo de P.A. nao existe na pratica,ninguem deixa uma dıvida crescer durante um ano para depois comecar a pagar. E osbancos sabem disto e assim planejam os juros de forma mais realıstica2.
2pelo menos do ponto de vista deles...
Exemplo 35 Juros simplesO valor que voce deveria pagar, mesmo e C, o capital. Mas voce “contratou” n
prestacoes a uma taxa de juros j. Aı eles enfiam isto na maquininha e voce podeeconomisarcom juros. . .se souber!
• calculam a soma dos juros, na progressao aritmetica que apresentamos acima,(sem o capital)
r + 2r + · · ·+ 11r = S12
E S12, porque comeca com zero... os juros do primeiro mes sao nulos, umadeferencia capitalista.
• acrescentam este valor ao credito concedido,
C + S12
• e depois dividem esta soma em 12 parcelas3,
p =C + S12
12
• No caso de n parcelas fica
p =C + Sn
n
determinando assim o valor da prestacao, p, que vai sendo cobrada todo mes.
Entao uma questao importante em materia de P.A. (ou de juros bancarios) e ocalculo da soma dos termos de uma P.A.
Exemplo 36 Juros simples, com entradaUma outra forma de financiamento pode ocorrer, quando voce der uma entrada.
Vamos ver como se calculam as prestacoes neste caso.Pediram-lhe que pagasse uma entrada, C0, agora os juros serao calculados sobre a
dıvida, D = C − C0. Observe osdois tiposde sucessaosn, Sn
4
C0 a entrada, ficando a dıvida D = C − C0 (6.36)
parcela dos juros, pela taxa contratada D ∗ j = r (6.37)
sn = (n− 1) ∗ r (6.38)
Sn = s1 + s2 + s3 + · · ·+ sn (6.39)
Sn = 0 + r + 2r + · · ·+ (n− 1)r (6.40)
Sn = r(0 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1)) (6.41)
A prestacao mensal, neste caso e
p =D + Sn
n
Exemplo 37 Como economisar juros calculo dosjuros imbutidosnas prestacoes
Voce pode economisar juros se adiantar as prestacoes e aı deve ser saber que nasprestcoes foram imbutidos juros. Como calcular os juros imbutidos.
3troque o 12 pelo numero, n, de parcelas contratadas4e a entrada e negativa, para eles...
As prestacoes sao uma P.A. de razao zero, parcelas todas idguais:
t1 = p, t2 = p, · · · , tn = p
que corresponde a somaD + Sn
quer dizer que pagando adiantado a pretacao tk voce tem que receber de volta kr quee a quantidade de juros imbutidos nesta prestacao, veja a (fig. 6.1) para entendermelhor esta questao. Claro, se voce pagasse todas as prestacoes adiantado, teria quereceber de volta Sn porque sua dıvida seria apenas D.
Reduzimos o problema da soma dos termos de uma P.A. a um caso particular,soma dos n − 1 primeiros numeros naturais. Resolvido este caso saberemos calcularqualquer soma de termos de qualquer P.A.
A soma dos n− 1 primeiros numeros naturaisA figura (fig. 6.1) mostra o metodo. Nela voce ve que uma P.A. e como se fosse
Ponto médio a baseinicial
A soma
Figura 6.1: A soma dos termos de uma P.A.
um conjunto de blocos que se repetem, e ela tem um ponto medio.Se voce pegar os blocos acima do ponto medio os colocar sobre a base inicial vira
o calculo da area de um retangulo.E assim que se calculam as areas dos trapezios, se cortam e se colam triangulos
semelhantes para transformar o trapezio num retangulo. Observe a figura (fig. 6.2).A ideia e absolutamente a mesma. Observe um exemplo antes de passarmos ao casoabstrato.
Para somarmos0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 (6.42)
A área de um trapésio ...
é igual a área de um retângulo .
Figura 6.2: Area do trapesio
vamos re-arranjar o primeiro, com o ultimo, o penultimo com segundo, e assim pordiante:
(0 + 9) + (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) = 5 ∗ 9 = 45 (6.43)
Observe outro exemplo que vai responder a uma duvida que lhe podera surgir:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (6.44)
= (0 + 10) + (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + (5 + 5) = (6.45)
= 6 ∗ 10 = 60 (6.46)
E o caso em que o numero de termos e impar entao o termo do meio tem que ser somadoconsigo proprio, porque ele e equidistante de si proprio... Este segundo exemplo ilustrabem a razao do denominador 2 que aparece na formula abaixo: cada termo “aparece”duas vezes.
Experimente, voce mesmo, com algumas outras sequencias de numeros ate se con-vencer de que corresponde ao que a figura 6.1 sugere. Somando os elementos equidis-tantes dos extremos:
• primeiro, ultimo,
• segundo, penultimo,
• . . . ,
• os dois do meio,
resulta em numeros iguais. Como agrupamos os termos dois a dois, o numero deparcelas para serem somadas e a metade da quantidade original
n
2(6.47)
e assim o valor da soma sera
s1 + s2 + · · ·+ s1 (6.48)
n
2(s1 + sn) =
n(s1 + sn)
2(6.49)
Podemos enunciar dois resultados intermediarios:
Teorema 59 Termos equidistantes numa P.A. A soma de termos equidistantes numaP.A. e constante.
Teorema 60 A soma dos n primeiros numeros naturais e
1 + 2 + · · ·n =n(n + 1)
2(6.50)
e o teorema principal
Teorema 61 Soma de termos de uma P.A. Se sk e o termo geral de uma P.A.entao a soma dos n primeiros termos desta P.A. e
Sn = s1 + s2 + · · ·+ sn =(s1 + sn)n
2
Exercıcios 23 Progressoes aritmeticas
1. um teorema recıproco Mostramos que as progressoes aritmeticas eram descritaspor um polinomio do primeiro grau. Verifique que, se P for um polinomio doprimeiro grau entao a sucessao (P (n))n∈N e uma P.A.
2. diferencas Verifique que, se P for um polinomio do segundo grau entao a su-cessao (P (n))n∈N nao pode ser uma P.A. mas que as diferencas de segundaordem
∆Pn+1 −∆Pn = P (n + 1)− P (n)− (P (n)− P (n− 1))
sera uma progressao5 aritmetica.
6.3 Graficos das funcoes lineares
Os graficos sao um instrumento visual importante para transmitir o conteudode uma funcao. A figura (fig. 6.1) ja nos mostra isto, visualizamos comum conjunto de blocos crescentes a o significado de uma P.A. Os degraustraduziram a diferenca constante entre os termos.Numa P.A. temos interesse em usar variaveis inteiras. Mas em outros tiposde funcao nao convem considerar variaveis inteiras e sim variaveis que assu-mam todos os valores entre dois numeros dados. Chamaremos isto de uma[variacao contınua]b. Vamos usar este adjetivo com o seus sentido intuitivo,nos proximos capıtulos este assunto sera retomado.
apoderiam ser decrescentes, afinal subimos mas descemos escadas...ba continuidade e um assunto da disciplina Calculo Diferencial e Integral
5O sımbolo ∆ e sempre associado com diferencas
A figura (fig. 6.3) ilustra a relacao existente entre o coeficiente angular de umareta e os termos de uma P.A.
Numa escada de batentes, bem feita, e possivel escorar uma regua bem assentadanas arestas dos batentes.
Aspectosgeométricosde umaprogressão aritmética
αO ângulo de
inclinação da reta édefinido pela razão.
a
b
a
bc
Retângulose triângulossemelhantes
Figura 6.3: Coeficiente angular da reta e a razao da P.A.
Nesta figura, separamos em destaque um triangulo retangulo formado pelos ladosde dois dos retangulos que representam a razao e por um segmento de reta que passapor vertices extremos de cada bloco.
A inclinacao desta reta esta associada com o angulo α que a reta faz com horizontal.O angulo esta representado no triangulo que destacamos.
Observe tambem, na mesma figura, a presenca de triangulos de menor porte, massemelhantes aos demais. Observe que tambem nestes casos a hipotenusa dos triangulosficam em cima da mesma reta. Portanto nao importa o tamanho dos triangulos, elessao todos semelhantes.
O coeficiente angular da reta, m, e o quociente das medidas dos catetosdeste angulo:
m =b
a
e o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Estamos usando as letras a, b para representar tanto os catetos, na figura (fig. 6.3),como as medidas dos mesmos no calculo de m. Isto e um abuso, aceitavel...
O conjunto das ideias que acabamos de expor conduzem a afirmacao de que existeuma reta associada com uma funcao linear afim, e queremos explorar esta afirmacaode forma mais aprofundada.
6.3.1 Coeficiente angular de uma reta
Na figura (fig. 6.4) voce pode ver seis segmentos de reta partindo da origem dos eixosXOY. O que torna estes segmentos de reta diferentes e
OX
OY
β
γ
sentido negativo
sentido positivo
α
δ
ν
µ
δ,ν,µ < 0
π/2
−π/2
Figura 6.4: Varias reta, seus angulos, sentido dos angulos
• Os angulos que eles formam com o eixo OX
• os seus coeficientes angulares
e queremos insistir que sao dois aspectos da mesma coisa:
• a cada angulo corresponde um coeficiente angular e,
• vice-versa, a cada coeficiente angular corresponde um angulo no intervalo [−π2, π
2].
E bem sabido que dois pontos determinam um reta.Podemos agora generalizar esta afirmacao:duas informacoes podem determinar uma reta. As duas informacoespodem ser
1. um ponto, a origem dos eixos, neste caso, e
2. um coeficiente angular
Vamos escrever esta afirmacao de outra forma equivalente: Para deter-minar uma reta precisamos de
1. um ponto, a origem dos eixos, por exemplo, e
2. um numero
6.3.2 Retas e suas equacoes
A invencao de Rene Descartes (1596-1650) de estabelecer a representacao de um pontodo plano com um par de numeros, veja a figura (fig. 6.5) revolucionou a Matematica.
x
y
(x,y)
(2,4)
(−1,3)
(−2,−2) (3,−2)
Figura 6.5: Um par de numeros representa um ponto no plano
Por um lado permitiu uma “algebrizacao” da geometria, nos agora vamos falar da“equacao de uma reta” . Podemos somar retas, por exemplo.
Como primeiro passo vamos refazer a lista das duas informacoes que determinamuma reta, da qual ja escrevemos acima, duas versoes. Por enquanto continuaremospresos ao ponto na origem.
Vamos dizer agora que para determinar uma reta que passe pela origem precisamosde
1. um ponto, a origem dos eixos,
2. a razao em que se encontram as coordenadas x, y dos pontos desta reta.
A ultima afirmacao pode ser expressa assim:
y
x= m (6.51)
e o numero m e o coeficiente angular da reta.
Esta expressao pode ser escrita agora como
y = mx ; x 6= 0 (6.52)
que e a equacao de uma reta que passa pela origem. Esta equacao determina a retaporque podemos encontrar qualquer ponto da reta usando a equacao:
• Escolha um valor para x, por exemplo x = 3 e podemos calcular o correspondentevalor de y
y = mx = m ∗ 3 = 3m ; o ponto (3, 3m) pertence a reta (6.53)
• Uma tabela de pontos sobre a reta quando m = 2
x −3 −1 1 2 2.5
y −6 −2 2 4 5
A figura (fig. 6.6) mostra a reta quando o coeficiente angular e 32 . Neste caso a
equacao da reta e
(3,2)
m = 3/2
(x,y)
= y/x y = 3x/2
A equação desta reta é
2y = 3x
Figura 6.6: Equacao de reta que passa na origem
y
x= 3
2(6.54)
2y = 3x (6.55)
Podemos resumir as duas condicoes para determinacao de uma reta em uma equacao.Vamos dizer que uma equacao da forma
y = mx (6.56)
determina uma reta que passa na origem. O numero m e o coeficiente angular da reta.
Exercıcios 24 Transformacoes e graficosfuncao do primeiro grau
1. A reta r tem por equacao y = f(x) = 0.5x Calcule as imagens de
x ∈ {−2,−1, 0, 3, 5}
e marque os pontos
(x, y) ∈ {(−2, f(−2)), (−1, f(−1)), (0, f(0)), (3, f(3)), (5, f(5))}
num sistema de eixos. Trace a reta que passa nos pontos marcados.
2. A reta t tem por equacao y = f(x) = −x3
Calcule as imagens de
x ∈ {−2,−1, 0, 2, 5}
e marque os pontos
(x, y) ∈ {(−2, f(−2)), (−1, f(−1)), (0, f(0)), (2, f(2)), (5, f(5))}
num sistema de eixos. Trace a reta que passa nos pontos marcados.
3. A reta r passa pela origem e pelo ponto (3, 4). Encontre sua equacao.
4. Determina a equacao da reta que passa pela origem e pelo ponto (−3, 2).
5. Faca o grafico e encontre as equacoes das retas determinadas pela origem e peloponto dado:
a) (3, 0) b) (3, 5) d) (−1, 2)
6. Faca o grafico das retas determinadas pelas equacoes:
a) y = x b) y = 2x d) y = −x
7. Em cada uma das equacoes dos itens acima, indique qual e o coeficiente angularda reta.
8. Para cada uma das retas dos itens acima, indique o coeficiente angular e associe,cada uma, com o predicativo “crescente” ou “decrescente” adequado.
9. Trace o grafico da reta r que passa na origem e no ponto (1, 3) e da reta que eperpendicular a esta. Encontre as equacoes de ambas as retas.
A translação u trasformoua reta rna reta t
u
A translação v tambémtrasforma a reta r na reta t
v
r
t
Figura 6.7: duas retas paralelas, uma delas passa na origem
6.4 Equacao da reta que nao passa na origem
Se uma reta nao passar na origem e porque foi deslocada da origem! Foi translatada.Observe o grafico na figura (fig. 6.7)
A figura (fig. 6.7) mostra que ha varias maneiras de se obter uma reta, a partirde outra, por translacao, uma translacao horizontal, uma translacao vertical.
Pode ser uma translacao nao seja nem horizontal e nem vertical... estamos comecandoa usar o metodo que Descartes nos ofereceu, estamos algebrisando a geometria.
Exercıcios 25 Operacoes algebricas com entes geometricos
1. translacao de retas
(a) Trace o grafico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontrea sua equacao.
(b) De uma translacao horizontal de −3 a reta r obtendo assim a reta t.
(c) Qual das equacoes abaixo descreve a reta t
a) y = −x + 3 b) y = −x− 3 c)y − 3 = −x d) y + 3 = −x
2. translacao de retas
(a) Trace o grafico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontrea sua equacao.
(b) De uma translacao vertical de 3 a reta r obtendo assim a reta t.
(c) Qual das equacoes abaixo descreve a reta t
a) y = −x + 3 b) y = −x− 3 c)y − 3 = −x d) y + 3 = −xResposta: (a)
y = −(x − 3)3. translacao de retas
(a) Trace o grafico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 4). Encontrea sua equacao.
(b) De uma translacao horizontal de −3 a reta r obtendo assim a reta t.
(c) Qual das equacoes abaixo descreve a reta t
a) y = −4(x + 3) b) y = −4(x− 3) c)y − 3 = −4x d) y + 3 = −4xResposta: (a)
y = −4(x + 3)4. translacao de retas
(a) Trace o grafico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontrea sua equacao.
(b) De uma translacao vertical de −3 a reta r obtendo assim a reta t.
(c) Qual das equacoes abaixo descreve a reta t
a) y = −x + 3 b) y = −4x− 3 c)y + 3 = −x d) y + 3 = −4xResposta: (c)
y + 3 = −x5. Faca os graficos das retas abaixo
a) y = 2(x + 3) b) y = 2x + 3 c)y + 3 = 2x d) y − 3 = 2x
e decida quais das afirmacoes abaixo sao verdadeiras:
(a) As retas sao todas paralelas
(b) y = 2(x + 3) foi obtida por uma translacao vertical da reta y = 2x
(c) y = 2(x + 3) foi obtida por uma translacao horizontal da reta y = 2x
(d) y − 3 = 2x foi obtida por uma translacao vertical de 3 da reta y = 2x
(e) y − 3 = 2x foi obtida por uma translacao vertical de -3 da reta y = 2xResposta:
Corretas a,c,d
Os exercıcios anteriores associam operacoes algebricas as retas com o significadoseguinte
y = mx⇒ y = m(x + a) translacao horizontal de− a (6.57)
y = mx⇒ y + a = mx translacao vertical de − a (6.58)
em que a pode ser positivo ou negativo. Podemos assim criar uma pequena teoria: Observeo sinal datranslacao.• equacao padrao da reta
y = mx
e a reta r de coeficiente angular m.
– Se m > 0 a reta r e crescente;
– Se m < 0 a reta r e decrescente;
– Se m = 0 r e o eixo OX.
• translacao da reta padrao y = mx
Observe o sinal.
1. y = m(x + a) e uma translacao horizontal de −a da reta padrao.
2. y = mx + a e uma translacao horizontal de − am
da reta padrao. Sugestao,coloque m em evidencia.
3. y + a = mx e uma translacao vertical de −a da reta padrao.
• equacao padrao da reta ay = bx
1. coeficiente angular da reta ay = bx e ba, se a 6= 0.
– Se a = 0 temos x = 0 que e a equacao do eixo OY
– Se b = 0 temos y = 0 que e a equacao do eixo OX
Consideraremos entao a 6= 0, b 6= 0
2. translacoes Observe o sinal
(a) ay = b(x− α) translacao horizontal de α da reta padrao;
(b) ay = bx − α e uma translacao horizontal de αb. ( Sugestao, coloque b
em evidencia).
(c) ay = b(x + α) translacao horizontal de −α da reta padrao
(d) ay = bx + α e uma translacao horizontal da reta padrao de −αb.
Sugestao, coloque b em evidencia.
(e) a(y + α) = bx e uma translacao vertical de −α da reta padrao
(f) ay + α = bx e uma translacao vertical de −αa
da reta padrao
(g) a(y − α) = bx e uma translacao vertical de α da reta padrao
(h) ay − α = bx e uma translacao vertical de αa
da reta padrao
Reta passando no ponto (α, β).
Sempre que possıvel vamos escrever a equacao de uma reta no formato
a(y − α) = b(x− β)
que representa uma translacao horizontal de β e vertical de α da reta padrao
ay + bx = 0
Observe que se a equacao for escrita na forma (eq. 6.4) imediatamente podemosver que ela passa no ponto (α, β) e tem coeficiene angula b
a.
Quando partimos do coeficiente angular dado m entao sera mais pratico escrevera equacao da reta no formato
y − α = m(x− β)
que e a reta que passa no ponto (α, β) e tem coeficiente angular m.
6.5 Equacao do 1o Grau
Definicao 48 Equacao polinomial Chama-se equacao polinomial toda equacao do tipo
f(x) = 0
em que f e uma funcao polinomial.
Exemplo 38 Equacao do 1ograu
1. Uma equacao polinomial f(x) = 0 e do 1ograu quando
f(x) = ax + b
com a 6= 0.
2. 3x− 2 = 0 ; f(x) = 0 ; f(x) = 3x− 2
3. 2kx = 2 ; f(x) = 0 ; f(x) = 2kx− 2
4. t− 5 = 5 ; f(t) = 0 ; f(t) = t− 10
5. x3− 1
2= 4 ; f(x) = 0 ; f(x) = x
3− 9
2
Como resolvemos uma equacao do tipo ax + b = 0? E o que vamos responde nestaseccao.
A resolucao de uma equacoes do 1o grau consiste em aplicar as propriedades doPrincıpio das Igualdades, visto no ensino fundamental junto com as propriedades deque R (ou Q) tem uma estrutura de corpo, capıtulo 4
Teorema 62 Princıpio das Igualdades
1. Lei do cancelamento aditivo Se A = B entao A + C = B + C
2. simetria Se A = B entao B = A
3. transitividade Se A = B e B = C entao A = C
4. Lei do cancelamento multipliativo Se A = B e s 6= 0 entao sA = sB
Dem :
• As leis do cancelamento sao consequencia da existencia do inverso. No caso da mul-tiplicacao um unico numero nao tem inverso multiplicativo, o zero.
• A simetria e transitividade sao consequencias de que a igualdade e uma relacao deequivalencia.
q.e.d .
Teorema 63 Solucao da equacao do 1ograu No corpo dos reais (ou dos racionais)a equacao
ax + b = c
tem por unica solucao
x = − b
a
se a 6= 0. Dem :
inverso, cancelamento aditivoax + b = c ≡ ax + b − b = c − b (6.59)
ax + b = c ≡ ax = c − b (6.60)
inverso, cancelamento multiplicativo ax = c − b ≡ 1
aax =
1
a(c − b)(6.61)
1aax = x = 1
a(c − b) = c−b
a(6.62)
(6.63)
As operacoes acima sao validas se a 6= 0. Se a = 0 nao haveria nenhuma equacao para Estamos mhabituadoscomutatividadedos numeros,a notac
depende dacomutatividade.
resolver e a expressao seria absurda se b 6= c. q.e.d .
Exemplo 39 Solucao de equacoes do 1ograu
1. Resolva a equacao 2x + p = 2p− x, sendo U = R.
Solucao.
Indicamos que a equacao deve ser resolvida no conjunto dos numeros reais. Te-mos que
2x + p = 2p− x2x + x = 2p− p
3x = px = p
3
Logo, S = { p
3}.
2. Resolva a equacao 2x + p = 2p− x, sendo U = Z.
Solucao.
Indicamos que a equacao deve ser resolvida no conjunto dos numeros Inteiros.
Aproveitando as contas ja feitas, observamos que a equacao nem sempre terasolucao, sera necessario que p seja divisıvel por 3
3. Resolva a equacao mx−12n
= x (n 6= 0) .
Solucao. Temos que
mx− 1
2n= x⇔ mx− 1 = 2nx
e daı,
mx− 2nx = 1
Logo,
x =1
m− 2ncomm 6= 2n
4. Resolver a equacao 2x + m = 3 (x + m) , sendo U = R.
Solucao. Temos
2x + m = 3 (x + m)2x + m = 3x + 3m2x− 3x = 3m−m
x = −m
Logo, S = {−m}.
6.6 Discussao da equacao do 1o Grau
Dada a equacao do 1◦ grau ax + b = 0. Discutir a equacao do 1◦ grau significa efetuarum estudo desta equacao visando a classifica-la segundo a sua definicao. Uma equacaodo 1◦ grau pode ser apresentada de uma das seguintes situacoes:
1. a 6= 0. Neste caso, a equacao tem uma unica solucao x = −ba
;
2. a = 0 e b = 0. Entao temos 0x = 0, qualquer numero real sera solucao destaequacao;
3. a = 0 e b 6= 0. Temos 0x = b, nao existe solucao para esta equacao.
Exemplo Determine todos os valores de p para os quais a equacao px
4− x−2
p= 1
a) admita uma unica solucao.
b) nao admita solucao.
c) admita infinitas solucoes.
Solucao. Inicialmente, vamos deixar a equacao dada da forma ax = b. Assim, se
px
4− x− 2
p= 1, p 6= 0 (∗) (6.64)
Resolvendo a equacao (*), encontramos
(p + 2) (p− 2) x = 4 (p− 2)
a) Se p + 2 6= 0 e p− 2 6= 0, entao a equacao (*) admite solucao unica. Logo,
S = { 4
p + 2}
e a unica solucao. Portanto, p 6= 0, p 6= −2 e p 6= 2
b) Se (p + 2) (p− 2) = 0 e 4 (p− 2) 6= 0, entao a equacao (*) nao admite solucao.Portanto, p = −2 ou p = 0.
c) Se (p + 2) (p− 2) = 0 e 4 (p− 2) = 0, entao a equacao (*) admite infinitassolucoes e isto ocorrera para p = 2.
6.6.1 Exercıcios Propostos
1. Resolver as seguintes equacoes do 1o grau da incognita x :
a) x−3x−2− 2−5x
x+1= 6x2 − 3
b) x− x4− 1 = 7− 4x
3
c) mxm+n
− nx
m2−n2 = xn
+ m− m2
mn−n2
d) 1x− 3
4= 1
2. Resolva a seguinte equacao
x− 23
12
−4−x
243
= −17
6
3. Determine m + 1m
sabendo que a equacao
3mx +m− 114x
2= 782m + 1
admite infinitas solucoes.
4. Resolva a equacao
(√27− 6√
12+
12√
x√6
)2
= 4x + 12
5. Resolva a equacao1
2− x1−x
=1
2
6. Determine k para o qual a equacao k (kx + 1) = 2 (2x− 1) e impossıvel.
6.7 Sistema de Equacoes do 1o Grau
Uma classe importante de problemas pode ser expresso por um sistema deequacoes. Vamos discutir aqui sistemas de equacoes lineares. Voce vera queestes sistemas nos permitem criar uma generalizacao dos numeros, as matrizes.
Exemplo 40 Sistemas lineares
{a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2(6.65)
em ai, bi, ci sao numeros reais.A solucao do sistema (eq. 6.65) e um par (x, y) ∈ R ×R tal que as coordenadas
x e y satisfazem ambas equacoes.Podemos logo aqui fazer uma discussao de natureza geometrica. Veja que podemos
reformular o sistema escrevendo assim:
{y = f1(x) = A1x + C1
y = f1(x) = A2x + C2(6.66)
“passando” todos os coeficientes para o segundo membro, quer dizer,
Ai = −ai
bi
; Ci =ci
bi
Temos um sistema de funcoes do 1ograu e como ja vimos que os graficos dasfuncoes do 1ograu sao retas, entao o sistema (eq. 0) pode ser representado por duasretas, e consequentemente, tera
1. solucao unica se as retas forem concorrentes;
2. uma infinidade de solucoes se as retas coıncidirem.
3. impossıvel se as retas forem paralelas e diferentes;
Veja, na figura (fig. 6.8), o significado geometrico desta discussao.
f1
f2
f1
f2P
f1f2
sistema impossível
sistema tem solução única
Uma infinidadesoluções
f1
f2=
Figura 6.8: Discussao geometrica, sistema de equacoes
6.7.1 Matrizes
Vamos introduzir aqui um dispositivo, as matrizes, que serao estudadas mais aprofun-dadamente na disciplina Algebra Linear. Agora elas vao tao somente transcrever deforma abreviada os sistemas de equacoes.
Comecamos por re-escrever o sistema (eq. 6.65). Identificamos os quatro coefici-entes que multiplicam as duas incognitas x, y
a1, b1, a2, b2
e os dois coeficientes “independentes”
c1, c2.
e escrevemos
(a1 b1
a2 b2
) (xy
)=
(c1
c2
)(6.67)
O dispositivo retangular formado pelos quatro coeficientes se chama matriz. Aquitemos uma matriz 2 x 2, duas linhas e duas colunas, e definimos na (eq. 6.67) a
multiplicacao da matriz pelo vetor
(xt
)tendo como resultado o vetor
(c1
c2
).
Uma nova multiplicacao
Esta multiplicacao se processa combinando os elementos de cada linha da matriz multiplicacaode matrizes
(sao multiplicados) pelos elementos do vetor
(xt
)como uma engrenagem de rodas
dentadas. O resultado desta multiplicacao e exatamente o sistema (eq. 6.65).Observe a simulacao do produto de matrizes na figura (fig. 6.9)
1
2
3
45
6
7
8
5
432
1
678
a b
c d
x
y
ax + by
cx + dy
Multiplicação de matrizes
Figura 6.9: O produto de matrizes
Vamos traduzir em linguagem algebrica a discussao geometrica que fizemos dasolucao do sistema de equacoes e estudarremos cada um dos casos geometricos.
1. solucao unica se as retas forem concorrentes;
Neste caso os coeficientes angulares das retas nao sao iguais,
a1
b16= a2
b2(6.68)
a1b2 6= a2b1 (6.69)
D = a1b2 − a2b1 6= 0 (6.70)
(6.71)
Na ultima equacao podemos identificar o numero obtido fazendo a a diferencaentre os produtos em cruz das entradas da matriz. Este mesmo numero vai serepetir nas proximas analises. A solucao e unica se D 6= 0
2. uma infinidade de solucoes se as retas coıncidirem.
Se as retas coıncidirem, seus coeficientes angulares serao iguais o que nos leva aescrever
a1
b1= a2
b2(6.72)
a1
a2= b1
b2(6.73)
a1
a2= b1
b2= c1
c2(6.74)
D = a1b2 − a2b1 = 0 (6.75)
D1 = a1c2 − a2c1 = 0 ; D2 = b2c1 − b1c2 = 0 (6.76)
onde vemos novamente o numero D intervindo na analise. Tambem agora es-crevemos duas equacoes extras, a (eq. 73), que foi obtida da anterior usando apropriedade da troca dos meios numa proporcao. Esta equacao, (eq. 73), nosdiz agora que os coeficientes de uma reta sao proporcionais aos da outra reta.Como as retas coıncidem o coeficiente independente tem que estar na mesmaproporcao, portanto obtivemos assim as equacoes (eq. 74),(eq. 76).
A importancia do numero D ou D1 ou D2, que tem expressoes analogas, ficaclara, vamos lhe dar um nome: determinante.
D = det
(a1 b1
a2 b2
)= a1b2 − a2b1 = 0 (6.77)
D1 = det
(a1 c1
a2 c2
)= a1c2 − a2c1 = 0 (6.78)
D2 = det
(c1 b1
c2 b2
)= c1b2 − c2b1 = 0 (6.79)
e concluimos a discussao deste item do sistema dizendo que
D = D1 = D2 = 0 (6.80)
3. impossıvel se as retas forem paralelas e diferentes;
Neste caso o deteminante da matriz do sistem, D e zero, mas uma das proporcoescom os termos independentes falha (porque as retas) nao sao iguais:
D1 6= 0 ou D2 6= 0 (6.81)
Neste caso as retas sao paralelas, seus coeficientes angulares sao iguais, mas asretas sao diferentes, e portanto tem intersecao vazia.
Definicao 49 Determinante de uma matriz2 x 2Identificamos nas matrizes 2 x 2 ou em matrizes de dimensao maior, as “linhas”,
as “colunas” e as duas diagonais (quando o numero de linhas for igual ao de colunas).A diagonal em que os dois ındices sao iguais, e a principal, a outra a secundaria.O determinante, no caso de matrizes 2 x 2, e a diferenca entre:
• o produto dos elementos da diagonal principal
• o produto dos elementos da diagonal secundaria
A discussao que fizemos acima demonstra o teorema:
Teorema 64 Discussao de um sistema de equacoes linearesDado um sistema linear como (eq. 6.65), temos tres casos
1. determinado quando as retas forem concorrentes ou equivalentemente, o deter-minante, D, da matriz do sistema for diferente de zero.
2. indeterminado quando as retas forem coıncidentes, ou equivalentemente, todosos determnantes 2 x 2 que pudermos fazer usando as colunas do sistema, foremnulos.
Em particular o determinante da matriz do sistema e nulo.
3. impossıvel Quando as retas forem paralelas e diferentes,ou equivalentemente, odeterminante, D, da matriz do sistema for nulo, mas um dos outros determi-nantes que pudermos fazer trocando uma das colunas de D com a coluna dostermos independentes, os determinantes D1ouD2 for diferente de zero.
O metodo de resolucao de sistema linear pode ser iniciado por qualquer uma dasequacoes, e a escolha da variavel, deve obedecer ao criterio que mais facilita a solucaodo sistema.
Exemplo 41 Solucao de sistemas lineares
1. Resolva o sistema
{x + y = 20x− y = 6
Solucao. Isolando a segunda equacao temos que x = y + 6. Vamos agora,substituir na primeira equacao
(y + 6) + y = 20⇒ y = 7
e por outro lado, encontramos x = 13. Logo, S = {(13, 7)}.Outra solucao. O determinante do sistema, D = −2 6= 0, o sistema temsolucao unica como encontramos.
Exemplo Se 2x − 3y − z = 0 e x + 3y − 14z = 0, z 6= 0, determine o valor daexpressao
g(x, y, z) =x2 + 3xy
y2 + z2
Solucao. Vamos multiplicar a segunda equacao por −2 somar membro a mem-bro as duas equacoes:
+
{2x− 3y − z = 0−2x− 6y + 28z = 0
−9y + 27z = 0
e daı, y = 3z. Agora, somando as duas equacoes encontramos tambem x = 5z.Finalmente, substituindo x = 5z e y = 3z. Temos
x2 + 3xy
y2 + z2=
25z2 + 45z2
9z2 + z2= 7
Outra solucao. O determinante do sistema, D = −2 6= 0, o sistema temsolucao unica como encontramos.
2. Determine a + b, sabendo que o sistema
{10x− y = 3ax− y = b
(6.82)
admite uma infinidade de solucoes.
Solucao. Como o sistema (eq. 82) admite uma infinidade de solucoes, entao,por definicao
10
a=−1
−1=
3
b⇒ a = 10eb = 3
Logo, a + b = 13. Como o sistema (eq. 82) admite uma infinidade de solucoes,entao, pela discussao de um sistema de equacoes do primeiro grau sabemos quetodos os determinantes 2 x 2 que pudermos fazer com os coeficientes sao nulos,
logo os determinantes D = det(
(10 −1a −1
)) = 0 e D1 = det(
(10 3a b
)) = 0
LogoD1 = 10b− 3a = 0 ;D = −10 + a = 0⇒ a = 10, b = 3
portanto a + b = 13
6.7.2 Exercıcios Propostos
1. Resolva os sistemas:
a)
{3x− y = 4x + 2y = 6
b)
{x3 + y3 = 1x2y + 2xy2 + y3 = 2
c)
xy
x+y= 6
5xz
x+z= 4
3yz
y+z= 12
7
2. Ache todas as solucoes do sistema
{x3 + x3y3 + y3 = 17x +xy +y = 5
3. Determine a e b para que seja impossıvel o sistema
{ax + 3b = 6y + 5aax + 2y − 4x = 4a + 3
4. Os numeros a, b e c sao reais nao negativos e p e q sao inteiros positivos distintos.Prove: se {
ap + bp = cp
aq + bq = cq
entao a = 0 ou b = 0.
5. Ache todas as solucoes do sistema
{3x2 + xy − 2y2 = 02x2 − 3xy + y2 = −1
6.8 Problemas do 1o Grau
Ja sabemos que, para encontrar a solucao de certos problemas, podemos usar umaequacao do 1o grau. Na pratica a resolucao de um do 1o grau e constituida de tresetapas:
1. Estabelecer o sistema ou a equacao que representa o problema;
2. Resolver o sistema ou a equacao;
3. Achar a resposta conveniente.
Exemplo Numa prova de matematica, a prova e composta de 20 questoes. Cadaquestao certa vale 5 pontos e cada questao errada vale 2 pontos. Um aluno obteve 82pontos. Quantas questoes acertou e quantas errou este aluno?Solucao. Seja x o numero de questoes certas e y o numero de questoes erradas. Emtao
{x + y = 205x + 2y = 82
Agora, resolvendo o sistema encontramos x = 7 e y = 13 isto e, o aluno acertou 13questoes e errou 7.Exemplo Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o numero de irmaos igual aonumero de irmas. Cada filha tem o numero de irmaos igual ao dobro do numero deirmas. Determine o total de filhos do casal.Solucao. Seja m o numero de filhas e h o numero de filhos. Como cada filho temh− 1 irmaos e m irmas. Assim,
h− 1 = m (∗) (6.83)
Por outro lado, cada filha tem m− 1 irmas e h irmaos. Logo,
h = 2 (m− 1) (∗∗) (6.84)
O sistema {h− 1 = mh = 2 (m− 1)
tem solucao h = 4 e m = 3. Portanto, o casal tem 7 filhos.Exemplo Um copo cheio de agua pesa 385g; com 2
3de agua pesa 310g. Determine o
peso do copo vazio.Solucao. Sejam x a massa do copo vazio e y a massa do copo cheio. Assim, temos osistema {
x + y = 385x + 2
3y = 310
Resolvendo o sistema encontramos x = 160 e y = 225. Logo, a massa do copo vazio e160g.Exemplo Uma pessoa nasceu no seculo XIX e morreu no seculo XX, vivendo umtotal de 64 anos. Se o numero formado pelos dois ultimos algarismos do ano do seunascimento for igual ao dobro do numero formado pelos dois algarismos do ano de suamorte. Determine quantos anos tinha essa pessoa no ano de 1900.Solucao. Seja n o numero formado pelos dois ultimos algarismos do ano que elamorreu. Assim, 2n e o numero formado pelos dois ultimos algarismos do ano que elanasceu. Como ela nasceu no seculo XIX, ela nasceu em 1800+2n e morreu no seculoXX ela morreu em 1900 + n. Como ela viveu 64 anos. Logo,
(1900 + n)− (1800 + 2n) = 64
e daı, n = 36. Portanto, ela nasceu em 1872. Assim, 1900 ela tinha 1900− 1872 = 28anos.
6.8.1 Exercıcios Propostos
1. Ana comprou um par de luva e um par de meia. O par de luvas custou 10 reais amais do que o de meia. O total da compra foi de 50 reais. Quantos reais custouo par de meia?
2. Um feirante vendeu 140kg de batatas em 3 dias. No 2o dia vendeu 10kg a maisque no 1o dia e no 3o dia 3
5do que vendeu no 1o dia. Quantos quilogramas
vendeu o feirante no segundo dia?
3. Quando o numero 3 e escrito a direita de um numero de dois algarismos, o valordesse numero aumenta de 777. Encontre o numero original.
4. Um jornal e composto somente de folhas duplas. As paginas 7 e 14 estao namesma folha dobrada do jornal. Supondo que todas as paginas estao preenchi-das, quantas paginas tem o jornal?
5. Hoje eu tenho a idade que um amigo Paulo tinha quando eu nasci. Daqui a 15anos terei 3
2da idade de Paulo. Qual e a idade de Paulo?
6. Um numero de 6 algarismos comeca a esquerda, por 1. Levando-se este algarismopara o ultimo lugar, a direita, o novo numero e triplo do inicial. Determine onumero incial.
7. Para numerar as paginas de dicionario foram necessarios 2989 algarismos.Quantas paginas tem o dicionario?
8. Tres torneiras A, B e C, enchem um tanque. B e C juntas levariam 2 horas paraenche-lo; C e A 3 horas; A e B 5 horas. Determine o tempo que as tres juntaslevarao para encher o tanque.
9. Em uma jara cabe 1 litro e mais 13
da jara, de agua. Quantos litros de aguacabem em 4
3da jara?
10. Numa festa estao 42 pessoas, entre mocas e rapazes. Maria dancou com 7rapazes, Lucia com 8 rapazes, Marta com 9 e assim por diante, e por ultimo,Eva, a dona da casa, dancou com todos os rapazes. Quantos rapazes havia nafesta? Se o numero de pessoas na festa for n e Maria dancou com r rapazes,Lucia com r + 1 rapazes, qual e o numero de rapazes? Como deveria ser oenuciado do problema, se desejassemos na resposta que o numero de rapazesfosse igual ao de mocas?
11. Carlos parte de A com destino a B, as 8 horas, enquanto Paulo parte de A comdestino a B, mas as 9 horas. Paulo corre com a velocidade igual a quarta partea mais do que a velocidade de Carlos. As 10 horas Carlos esta 30km na frentede Paulo.
a) Determine a velocidade de cada um.
b) As 12 horas e um quarto, quem esta na frente? Qual e a distancia que os separa?
Exercıcios 26 Progressoes aritmticas
1. Especulacao financeira Uma maquina custa R$10.000,00 e ao longo de 12 anosira produzir lucros de R$1.500,00 podendo ser vendida ao final deste tempo porR$3.000,00. Considerando que o dinheiro poderia ser colocado n’algum fundo deinvestimento com taxa prefixada de 10% a.a. estude se vale a pensa comprar amaquina ou investir no fundo.
2.
3.
6.8.2 Solucao de alguns exercıcios
1. especulacao ou trabalho A maquina ao longo de 12 anos produz um lucro deR$ 18.000,00 e ao ser vendida por R$3.000,00 tornou o seu custo mais baixo,R$10.000,00 - R$3.000,00=R$7.000,00 o que lhe da uma lucratividade lıquidade R$ 18.000,00 - R$7.000,00=R$11.000,00
O dinheiro colocado a render no fundo com renda pre-fixada produziria a somados termos de uma P.A.
10000 ∗ 10% ∗ (12∑
k=1
k) = 10000 ∗ 10% ∗ 12 ∗ 11
2= 66000
10000+ 1 + 1.1 + 1.21 + 1.331 + 1.4641+ 1.61051+1.771561 + 1.9487171
6.9 Progressoes geometricas
Nao e atoa que os dois assuntos, P.A. e P.G. andam sempre juntos. Existeuma ligacao ıntima entre estes dois tipos de sucessao, e a historia toda vai sercontada ao final deste capıtulo. Agora vamos apenas abrir mais um topiconesta intriga, falando das P.G.
Por definicao:
Definicao 50 Progressao geometrica
Uma P.G. e uma sucessao de numeros em que o quociente de cada numero com oseu antecedente, e um numero fixo, chamado raz~ao.
Se (an)n∈N designa uma P.G. entao
an+1
an
= r e constante
Exemplo 42 Progessao geometrica
1. Considere um numero inicial a1 = a e outro qualquer, r > 0 a sucessao
a, ar, ar2, · · · , ar(n−1)
e uma P.G. com n termos sendo a1 = a o primeiro termo e o o fator multipli-cativo r a razao.
2. A razao pode ser um numero negativo, a sucessao
1,−1, 1,−1, 1,−1, 1, · · ·
tem primeiro termo a1 = 1 ; r = −1.
3. Se a1 > 0 e r > 1 a P.G. e crescente porque
an+1
an
= r > 1⇒ an+1 > an
4. Se a1 > 0 e r < 1 a P.G. e decrescente porque
an+1
an
= r < 1⇒ an+1 < an
5. Ligacao das P.G. com as P.A. A ligacao fortıssima entre este tipo de sucessaoe as sucessoes aritmeticas, P.A. se encontra no fato de que os expoentes darazao formam uma P.A. (e a mais simples P.A. que e a sucessao dos primeirosnumeros naturais):
a1, a1r, a1r2, a1r
3, · · · , a1rn−1
A equacao classica para as P.G. estabelce que o termo geral e
an = a1 ∗ r(n−1) ; a1 corresponde a r0 (6.85)
em que
• primeiro termo a1 e o primeiro termo
• a variavel n e um indice, a variavel com que construimos a P.G.
Usando a notacao de funcao diriamos
N→ R (6.86)
n 7→ an = a1 ∗ r(n−1) (6.87)
A seguinte lista de exercıcios pode ser feita sem nenhum prerequesito, e faremosuso significativo dela no resto do livro. Ela conduz a demonstracao de uma identidadeclassica da Matematica.
Exercıcios 27 Laboratorio basico, Progressao geometrica
1. Uma P.G. muito particular
Verifique que1, r, r2, · · · , rn−1 ;n− 1 ≥ 2
e uma P.G.
2. Soma dos termos de uma P.G. muito particular
Verifique a identidade
(1 + r + r2 + · · ·+ rn−1)(1− r) = rn − 1
e conclua que se r 6= 1 tambem vale a identidade
1 + r + r2 + · · ·+ rn−1 =rn − 1
1− r
3. Soma dos termos de uma P.G. qualquer
Considere uma P.G. qualquer, de termo geral
an = a1 ∗ r(n−1)
verifique que a soma dos seus termos
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an
pode ser deduzida da soma
1 + r + r2 + · · ·+ rn−1
e calcule Sn.
Demonstramos, com estes exercıcios, os dois teoremas seguintes:
Teorema 65
1 + r + r2 + · · ·+ rn−1 =rn − 1
1− r(6.88)
Teorema 66 A soma dos termos de uma P.G. Dada uma P.G. de termo geral
ak = a1rk−1 ; k ≥ 1 a soma dos seus termos
a1 + a2 + · · ·+ an = a1rn−1 − 1
r − 1
Observacao 28 AbstracaoE a segunda vez, neste capıtulo que deduzimos um teorema importante de um resultado
simples, neste caso a soma dos termos de uma P.G. Ja fizemos isto antes com a soma dostermos de uma P.A. que foi deduzida da soma dos n primeiros numeros naturais. Este eum metodo muito poderoso na Matematica, a reducao ao caso mais simples, e se encontra nocentro do meotodo chamado “abstracao” que voce iraa dominar a medida que se aprofundaem nossa ciencia.
Vamos resolver os itens da lista anterior, mas insistimos que voce resolva asquestoes sozinho e apenas compare com o que vamoa agora fazer. Voce tem quedominar esta tecnica.
Solucao 1 Resultados do laboratorio
1. Uma P.G. muito particular E a P.G. mais simples, o primeiro termo e 1 e vaisendo multiplicado por uma razao r dada. O quociente de de quaisquer doistermos sucessivos e r.
1, r, r2, · · · , rn−1 ; n− 1 ≥ 2
2. Soma dos termos de uma P.G. muito particular
Verificando a identidade
T = Sn(1− r) (6.89)
T = (1 + r + r2 + · · ·+ rn−1)(1− r) = (6.90)
T = (1 + r + r2 + · · ·+ rn−1)− r(1 + r + r2 + · · ·+ rn−1) (6.91)
T = (1 + r + r2 + · · ·+ rn−1)− (r + r2 + · · ·+ rn) (6.92)
T = 1− rn (6.93)
T = Sn(1− r)⇒ Sn = T1−r
(6.94)
Sn = 1−rn
1−r(6.95)
3. Soma dos termos de uma P.G. qualquer
Considere uma P.G. qualquer, de termo geral
an = a1 ∗ r(n−1).
Podemos re-escrever a soma:
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an (6.96)
Sn = a1 + a1r + · · ·+ a1 ∗ r(n−1) (6.97)
Sn = a1(1 + r + · · ·+ r(n−1)) (6.98)
Sn = a1(1−rn
1−r) (6.99)
De forma semelhante ao que acontece com as progressoes aritmeticas, os problemascom as P.G. giram em torno da formula fundamental. Sao dadas duas informacoespara que voce encontre a terceira.
Exemplo 43 1. A chamada dıvida externa
Os juros compostos sao muito do agrado dos especuladores financeiros e e impor-tante dominarmos para ter instrumentos de defesa. Embora os juros compostossejam considerados uma selvageria, eles sao frequentemente praticados. Observeo exemplo do que alguns insistem em chamar de dıvida externa, que em 1970era da ordem de 100 bi de dolares e que ao final do governo FHC passou para300 bi dolares. Observe o quadro comparativo
ano populacao taxa de variacao dıvida externa taxa de variacao
1970 100 mi hab - 100 bi dolares -
2000 150 mi hab 1.5 300 bi dolares 3
O calculo da dıvida
A dıvida, na “etica” dos banqueiros, se calcula com juros compostos, quer dizercom P.G.
• Digamos que a taxa “contratada” seja j e voce pediu a1 = C
• Ao final do primeiro perıodo, em geral um mes, voce deve
a2 = a1 + a1j = a1(1 + j)
e como esta e a sua nova dıvida, sobre ela novamente incidirao agora osjuros (juros acumulados) e assim no proximo perıodo voce deve
a3 = a2 + a2j = a2(1 + j) = a1(1 + j)2
• Hipotese de inducao Suponhamos que ao final do k−esimo perıodo vocedevesse
ak = a1(1 + j)k−1
entao a sua dıvida no final do perıodo seguinte seria:
ak+1 = ak + akj = ak(1 + j) = a1(1 + j)k
o que demonstra a expressao da dıvida ao final de n perıdos ser
an = a1rn−1 ; r = j + 1 ; a1 = C
uma progressao geometrica.
• Custo do emprestimo O custo do emprestimo, chamado na “linguagemtecnica”, servico da dıvida e
C(1 + j)n−1 − C = C((1 + j)n−1 − 1)
Porque voce recebeu C.
No caso da dıvida externa podemos facilmente avaliar a malıcia do FMI e afalta de nacionalidade das chamadas autoridades que nomeamos com nosso voto.Como sempre pagamos uma quantidade inferior ao servico da dıvida, ela naopara de crescer como o quadro acima mostra.
Nos estudamos Matematica, inclusive, para entender os fatos polıticos, e a dıvidae um metodo polıtico que tem o objetivo de manter o nosso paıs em eternasubmissao, porque compromete os investimentos sociais.
2. Compra a prazo e prestacoes Suponha que voce peca um emprestimo de C a
uma casa financeira6. Ao fazer uma compra a prazo voce e colocado em umanegociacao unilateral com um banco que lhe impoe uma taxa de juros j.
• O valor do emprestimo e o valor da compra, C menos a entrada, E
a1 = C − E
• ao final do primeiro mes voce deve
a1 + a1j = a1(1 + j)
e paga uma prestacao P ficando o balancete assim:
a2 = a1(1 + j)− P
e assim sucessivamente:
a3 = a2(1 + j)− P = a1(1 + j)2 − P (1 + j)− P (6.100)
a4 = a3(1 + j)− P (6.101)
a4 = a1(1 + j)3 − P (1 + j)2 − P (1 + j)− P (6.102)
an = a1(1 + j)n−1 − P
n−2∑
k=0
(1 + j)k (6.103)
an = a1(1 + j)n−1 − P(1 + j)n−1 − 1
j(6.104)
uma P.G. e a soma dos termos de outra P.G.
• Como fazem os bancos O calculo acima nao e facil para ser explicado aosclientes que nao querem pensar muito. Este calculo produz um resıduo queia ser difıcil de ser justificado. Metodo dos bancos:
– Perguntam-lhe em quantas prestacoes quer parcelar a dıvida e passampara a maquina
P =C
n; n = numero de prestacoes (6.105)
– Calculam o resıduo com esta prestacao, an, ver (eq. 104), o que faltapagar usando a prestacao P.
– Recalculam a prestacao somando o resıduo a dıvida:
Divida = C + an (6.106)
P1 =C + an
n(6.107)
6o nome ate parece beneficiente
6.10 Funcao quadratica
As funcoes quadraticas sao func oes polinomiais definidas por polinomios dosegundo grau:
f(x) = ax2 + bx + c
e uma funcao quadratica se a 6= 0.Enquanto o grafico de uma funcao linear afim, do primeiro grau, se alinhaem cima de uma reta, o grafico de uma funcao quadratica nao pode ser umareta. Veremos aqui como e o grafico deste tipo de funcao.
Se f for do primeiro grau, o resultado sera uma reta crescente ou decrescente,depende do coeficiente angular, como ja vimos.
Se f nao for do primeiro grau, muitas coisas podem ocorrer. Vamos comecar coma funcao quadratica mais simples
f(x) = x2
e vamos obter o seu grafico. Depois vamos ver que transformacoes lhe podem seraplicadas para chegarmos ao caso geral.
Para fazer um grafico, com um programa de computador, por exemplo, o quedevemos fazer (o que o computador deve fazer) e colocar na tela uma lista de pares
(x, f(x)).
numa certa ordem, por exemplo na ordem crescente da variavel x, como voce fariacom papel e lapis. Se f for do primeiro grau, o resultado sera uma reta crescente oudecrescente, depende do coeficiente angular, como ja vimos.
Se f nao for do primeiro grau, muitas coisas estranhas podem ocorrer. Vamoscomecar com a funcao quadratica mais simples
f(x) = x2
e vamos obter o seu grafico. Depois vamos ver que transformacoes lhe podem seraplicadas para chegarmos ao caso geral. A metologia e semelhante a que usamos comas funcoes do primeiro grau, veja a equacao (eq. 24), na pagina 155. . Se voce nao tiverfeito a lista de exercıcios (ex. 24) voce deveria faze-los agora, porque o que fizermosaqui e uma continuacao do que foi feito alı.
6.10.1 A funcao padrao y = f(x) = x2
Vamos comecar analisando a figura (fig. 6.10) na pagina 238. nela voce pode veros 11 pontos marcados no papel correspondentes a seguinte tabela calculada com umprograma de computador:
x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
f(x) 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x) 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Pedimos, no programa, que o computador calculasse
(x, f(x)) ; x ∈ {−10,−9,−8, · · · 8, 9, 10} ; ∆x = 1 (6.108)
usando todos os valores inteiros da variavel no intervalo [−10, 10].
Mas, com um programa de computador, podemos fazer tabelas mais densas eportanto graficos mais precisos, veja o resultado, na figura (fig. 6.11), pagina 239,quando pedimos que o programa fizesse o grafico agora usando os valores de x comsaltos ∆x = 0.5
x ∈ {−10,−9.5,−9, · · · 9, 9.5, 10} ;∆x = 0.5 (6.109)
No primeiro grafico o computador marcou 11 pontos e no segundo marcou 21pontos. Graficos com um computador com saltos de ∆x = 0.5 ou muito menores fazpouca importancia, veja o agora o grafico feito com saltos ∆x = 0.01 na figura (fig.6.12), pagina 240, com 2001 pontos.
Observacao 29 A taxa de variacao das funcoesNa disciplina Calculo Diferencial e Integral voce ira estudar estes graficos com mais
teoria e vai compreender melhor porque o grafico da parabola tem apenas uma curvatura.Neste momento tudo que podemos fazer e chamar sua atencao para a velocidade relativaentre as duas sequencias de pontos, os valores da variavel x e os valores de f(x). Analise oque acontece com a tabela de valores que se encontra impressa acima.
Enquanto a variavel x assume valores equidistribuidos, com a mesma cadencia, os valoresde f(x) tem uma distribuicao nao uniforme, uma velocidade variavel, e isto que respondepelo fato de que o grafico nao seja uma reta.
Nao e assim com as funoes do primeiro grau. Se f for do primeiro grau, tanto x comof(x) se encontram em P.A. como ja vimos, no exercıcio (ex. 4), pagina 146, que a imagemde uma P.A. por uma funcao linear afim e ainda uma P.A. (demonstre isto agora se nao tiverfeito o exercıcio) .
Podemos tornar a frase acima mais precisa, no que diz respeito as funcoes do segundograu. Vamos repetir os calculos que fizemos no exercıcio (ex. 4).
f(x) = Ax2 + Bx + C (6.110)
∆f = f(a + ∆) − f(a) = A(a + ∆)2 + B(a + ∆) + C − f(a) (6.111)
∆f = A(a2 + 2a∆ + ∆2) + Ba + B∆ + C − f(a) (6.112)
∆f = 2aA∆ + A∆2 + B∆ (6.113)
Comparando agora com os mesmos calculos que fizemos com as funcoes do primeirograu, exercıcio (ex. 4), podemos tirar uma conclusao importante, considere g uma funcao doprimeiro grau:
g(x) = Ax + B (6.114)
g(a + ∆) − g(a) (6.115)
g(a + ∆) − g(a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B) (6.116)
g(a + ∆) − g(a) = Aa + A∆ + B − Aa − B (6.117)
g(a + ∆) − g(a) = A∆ (6.118)
∆f = 2aA∆ + A∆2 + B∆ (6.119)
∆g = A∆ (6.120)
Vamos agora definir a variacao e a taxa de variacao de uma funcao h :
Definicao 51 Variacao e taxa de variacao
variacao deh = ∆h = h(a + ∆) − h(a) (6.121)
taxa de variacao de(h)a = ∆h∆
= h(a+∆)−h(a)∆
(6.122)
(6.123)
A variacao e uma diferenca, e a taxa de variacao e uma razao.Se aplicarmos esta definicao as duas funcoes f, g vamos encontrar
∆f∆
= 2aA + A∆ + B (6.124)
∆g∆
= A (6.125)
Conclusao: a taxa de variacao das funcoes lineares afins e constante, (coisa que elastransmitem para as progressoes aritmeticas), e a taxa de variacao das funcoes do segundograu nao e constante e aumenta a medida que a variavel se afasta muito da origem, porqueo ponto a em que a taxa de variacao e calculada, aparece na expressao.
6.11 O grafico de uma funcao do segundo grau
Vamos descobrir como e o grafico de uma funcao do segundo grau qualquer atraves dealgumas transformacoes adequadas.
Ha tres tipos de transformacoes algebrico-geometricas que podemos aplicar aosgraficos das funcoes:
• rotacoes
• translacoes
• homotetias
Para o nosso caso teremos pouca utilidade das rotacoes. Elas serao muito impor-tantes em Geometria Analıtica para simplificar as equacoes de algumas curvas.
Exemplo 44 TranslacaoSe aplicarmos uma translacao a funccao do segundo grau que chamamos de padrao,
x 7→ x2
teremos: (observe o sinal)
f(x) = x2 (6.126)
g(x) = fa(x) = (x− a)2 (6.127)
Observe as raizes, qual e a raiz de f e qual e a raiz de g g = fa
e uma novafuncao.f(x) = 0 ≡ x = 0 ; g(x) = 0 ≡ x = a (6.128)
Para completar as observacoes, vamos rodar o programa que construiu a tabelaacima com a funcao
x 7→ (x− 3)2
o resultado parcial e:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
em que a raız agora e 3. Observe que os valores ficaram translatados para a direita(no sentido positivo do eixo OX). O grafico
funcao g =a translatadade a,e o graficotranslatado
direcao a.
Observe a figura ilustrando o que acontece quando a = 3, (fig. 6.13), pagina 240.agora desenvolva a expressao
(x− a)2 = x2 − 2ax + a2 (6.129)
e veja que obtivemos o grafico de
g(x) = x2 − 2ax + a2
deduzido do grafico de uma expressao mais simples, a funcao do segundo grau padrao.
E mais importante fazer o caminho inverso: considerar uma expressao mais com-plicada e deduzir as etapas mais simples nela contida. Faremos isto agora.
Exemplo 45 Procurando o mais elementarConsidere y = f(x) = x2 + 6x− 12.Queremos descobrir uma translacao a que nos permita escrever f na forma f(x) =
(x− a)2.O primeiro passo consiste na completacao dos quadrados , vamos identificando:
y = (x− a)2 + B ≡ x2 + 6x− 12 (6.130)
y = x2 − 2ax + a2 + B ≡ x2 + 6x− 12 (6.131)
−2ax = 6x ; a2 + B = −12 (6.132)
a = −3 ; 9 + B = −12⇒ B = −21 (6.133)
y = (x− (−3))2 + B = (x + 3)2 + B (6.134)
y + 21 = (x + 3)2 (6.135)
y − (−21) = (x− (−3))2 (6.136)
o que nos da duas translacoes, uma no eixo OX, −3 e outra no eixo OY −21, observeo sinal.
O modelo geral que devemos procurar e da forma
y − b = (x− a)2 (6.137)
com uma translacao b no eixo OY e uma translacao a no eixo OX. E podemos agoraobter o grafico de y = f(x) = x2 + 6x − 12 a partir da parabola padrao, usando aexpressao
y − (−21) = (x− (−3))2
1. com uma translacao de −3 no eixo OX;
2. com uma translacao de −21 no eixo OY
aplicadas na expressao padrao. Observe o grafico na (fig. 6.14) onde estao os graaficosda parabola padrao, a translatada de −3 na horizontal e finalmente a translatada destaultima, de −21 na vertical.
6.11.1 A forma padrao x 7→ (x − a)(x − b)
Se definirmos f(x) = (x− a)(x− b) aparentemente caimos numa expressao nova parafuncoes polinomiais do segundo grau, porque a equacao polinomial
f(x) = 0 ≡ x ∈ {a, b} (6.138)
tem duas raizes e ate agora as operacoes que fizemos com a funcao padrao x 7→ x2
produziu raizes do tipo
x2 − p = 0⇒ x = ±√p raızes simetricas (6.139)
ou(x− p)2 = 0⇒ x = p raız dupla . (6.140)
Entao, aparentemente, nos defrontamos com um novo modelo. Mas logo veremosque este modelo se reduz a duas translacoes sendo desnecessario criar esta nova clas-sificacao. Mas, por enquanto, na falta de argumentos, vamos admitir que se trate deum novo padrao.
Efetuando as contas:
(x− a)(x− b) = x2 − (a + b)x + ab (6.141)
(x− a)(x− b) = x2 + Sx + P (6.142)
S = −(a + b) ; P = ab (6.143)
−S = soma das raizes ; P = produto das raizes (6.144)
Uma tecnica semelhante a da completacao dos quadrados nos vai levar a descobertadeste modelo. Temos que descobrir
S = −(a + b), P = ab
em que S, P sao dados da equacao. Resolvendo um sistema nao linear de equacoes.
Exemplo 46 Relacoes de GirardAs relacoes obtidas na equacao (eq. 6.143)
S = −(a + b) ; P = ab
se chamam relacoes de Girard.Vamos fazer explicita-las abaixo num exemplo de equacao:
x2 + 5x + 6 = x2 − Sx + P (6.145)
x2 + 5x + 6 = x2 − (a + b)x + ab = (x− a)(x− b) (6.146)
a + b = −5 ; ab = 6 (6.147)
a = −2 ; b = −3 (6.148)
x2 + 5x + 6 = (x− (−3))(x− (−2)) = (x + 3)(x + 2) (6.149)
E um metodo interessante para fatorar expressoes algebricas quando as raızes foreminteiras. Mas isto seria muito pouco para tornar estas relacoes interessantes, veremos,adiante, que elas servem para traduzir problemas em equacoes do segundo grau.
O metodo da completacao dos quadrados vai nos conduzir a formula de Bascara : formula deBascara
ax2 + bx + c = 0 = a(x2 + bax + c
a) (6.150)
ax2 + bx + c = 0 ≡ x2 + bax + c
a= 0 (6.151)
x2 + bax + c
a= x2 + 2 b
2ax + c
a= 0 (6.152)
x2 + bax + c
a= x2 + 2 b
2ax + ( b
2a)2 − ( b
2a)2 + c
a= 0 (6.153)
(x + b2a
)2 + ca− ( b
2a)2 = 0 (6.154)
(x + b2a
)2 = ( b2a
)2 − ca
(6.155)
(x + b2a
)2 = b2
4a2 − ca
(6.156)
(x + b2a
)2 = b2
4a2 − 4ac
4a2 (6.157)
(x + b2a
)2 = b2−4ac
4a2 (6.158)
x + b2a
= ±√
b2−4ac
4a2 (6.159)
x + b2a
= ±√
b2−4ac√4a2
(6.160)
x + b2a
= ±√
b2−4ac
2a(6.161)
x = − b2a±√
b2−4ac
2a(6.162)
x =−b±√
b2−4ac
2a(6.163)
(6.164)
Demonstramos assim o seguinte teorema
Teorema 67 Formula de BascaraDada uma funcao polinomial do segundo grau
f(x) = ax2 + bx + c
a equacao f(x) = 0 tem raızes reais
x1 =−b+√
b2−4ac
2a(6.165)
x2 =−b−√
b2−4ac
2a(6.166)
se o numero, discriminante,∆ = b2 − 4ac
for positivo.
Resumindo temos:Dada uma equacao do segundo grau
ax2 + bx + c = 0
1. O discriminante e ∆ = b2 − 4ac
2. Se ∆ > 0, entao as duas raızes sao numeros reais e distintos;
3. Se ∆ = 0, entao as duas raızes sao numeros reais e iguais;
4. Se ∆ < 0, entao nao existe raızes reais;
5. A soma das raızes e
x1 + x2 = − b
a= −S
6. O produto das raizes e
x1x2 =c
a= P
Observacao 30 Raızes complexasQuando ∆ < 0, dizemos que a equacao nao possui raızes reais, no entanto tem
raızes no conjunto dos numeros complexos denotado por C, que e uma extensao doconjunto dos numeros reais, como veremos no proximo capıtulo.
Exercıcio 17 Justificando a formula de Bascara
1. Justifique como, quando e porque podemos “colocar a em evidencia” na equacao(eq. 150).
2. Justifique a obtencao da equacao (eq. 151).
3. Justifique a equacao (eq. 152) e a equacao (eq. 153) usando o “inverso” apro-priado (aditivo ou multiplicativo).
Vamos ver qual e o significado (algebrico e geometrico) da positividade do numero∆ = b2 − 4ac.
Observe, inicialmente, a sequencia de equacoes
(x + b2a
)2 = b2−4ac
4a2 (6.167)
(x + b2a
)2 = ∆4a2 (6.168)
(6.169)
conduz a ∆ ≥ 0.
Observacao 31 Os numeros complexosDepois veremos, no proximo capıtulo, como nossos antigos resolveram esta questao
expandindo os numeros reais criando os numeros complexos.
Vamos agora voltar para a sequencia de equacoes que culminaram com a formulade Bascara para recuperar a expressao original da funcao f.
f(x) = ax2 + bx + c
y = ax2 + bx + c = a(x2 + bax + c
a) (6.170)
y = a(x2 + 2b2a
x + ( b2a
)2 − ( b2a
)2 + ca) (6.171)
y = a[(x + b2a
)2 + ca− ( b
2a)2] (6.172)
y = a[(x + b2a
)2 − b2−4ac
4a2 ] (6.173)
y = a(x + b2a
)2 − ∆4a
(6.174)
y + ∆4a
= a(x + b2a
)2 y − α = a(x− β)2 (6.175)
que nos mostra que toda funcao polinomial pode ser re-escrita caindo na formula(agora geral)
y − α = a(x− β)2 (6.176)
y + ∆4a
= a(x + b2a
)2 (6.177)
α = − ∆4a
;β = − b2a
(6.178)
Nesta formula aparece o fator multiplicativo (homotetia) e vemos assim que comtranslacoes e homotetias podemos recuperar qualquer funcao polinomial a partir daexpressao mais simples
x 7→ x2
Os exercicıcios que seguem visam dar-lhe intuicao sobre estas duas transformacoese prepara-lo para fazer os graficos de qualquer funcao polinomial do segundo grau.
Exercıcios 28 Graficos das funcoes do segundo grau
1. Calcule alguns pares de valores de y = f(x) = ax2 quando
a ∈ {−1, 4}
e faca os graficos correspondentes de y = ax2
2. Calcule alguns pares de valores de y = f(x) = ax2 quando
a ∈ {−4,−2,−1, 2}
e faca os graficos correspondentes de y = ax2
Solucao: Ver o grafico (fig. 6.15) 241.
3. Calcule alguns pares de valores de y = f(x) = ax2 quando
a ∈ {−1
4,−1
2,1
3,2
3}
e faca os graficos correspondentes de y = ax2
Solucao: Ver o grafico (fig. 6.15) 241.
4. Calcule α, β, ver equacao (eq. 6.178) para as funcoes polinomiais abaixo, decidase elas tem raızes reais e faca-lhes os graficos
(a) y1 = f1(x) = 3x2 + 2x + 7
(b) y2 = f2(x) = −3x2 + 2x + 7
(c) y3 = f3(x) = −3x2 + 2x− 7
(d) y4 = f4(x) = −3x2 − 2x + 7
(e) y5 = f5(x) = −3x2 − 2x− 7
(f) y6 = f6(x) = x2 + 4x + 5
Solucao:
a) y1 + 2330
= 3(x + 13)2; α = − 23
30;β = − 1
3; ∆ = −80
b) y2 − 2330
= −3(x− 13)2;α = 23
30; β = 1
3;∆ = 88 raızes reais
c) y3 + 203
= −3(x− 13)2;α = − 23
30;β = 1
3; ∆ = 88 raızes reais
d) y4 − 223
= −3(x + 13)2;α = − 23
30; β = − 1
3; ∆ = 88 raızes reais
e) y5 + 203
= −3(x + 13);α = − 23
30; β = − 1
3;∆ = 88raızes reais
f) y6 − 1 = (x + 2)2;α = −1;β = −2;∆ = −4
6.12 Equacao do 2ograu
Durante muitos seculos, o homem buscava resolver problemas que recaissem numaequacao do 2ograu.
Exemplo 47 Problemas do2ograu
1. Perımetro e area
Determine os lados de um retangulo conhecendo o semi-perımetro 2p e a area s.
A traducao deste problema numa equacao pode ser feita usando as relacoes deGirard, 6.143, pagina 179:
os lados do retangulo a, b (6.179)
a area ab = P (6.180)
semi-perımetro a + b = 2p = S (6.181)
x2 + Sx + P = 0 (6.182)
uma equacao do segundo grau. Vemos aqui o uso prometido das relacoes deGirard servindo para traduzir um problema numa equacao do segundo grau.
2. Concretizando o exemplo da area do perımetro, consideremos os seguintes dados:
• O semiperımetro do retangulo e 7
• A area do retangulo e 12
a equacao do segundo grau resultante e
x2 − 7x + 12 = 0
e a solucao destas equacoes, aplicando Bascara, e
x ∈ {3, 4}
3. 3x2 − 3x + 4 = 0; a = 3; b = −3; c = 4.
4. t2 + 5t− 3 = 0; a = 1; b = 5; c = −3.
5. x2 − 1 = 0; a = 1; b = 0; c = −1. Observe que em certa literatura antiga, umaequacao deste tipo e classificada como “incompleta”, o que e apenas mais umexemplo dos preconconceitos dentro da Matematica.
6.12.1 Exercıcios Resolvidos
1. Resolva a equacao x2 − 5x + 6 = 0.
Solucao. Temos a = 1, b = −5, c = 6 e
∆ = b2 − 4ac (6.183)
= (−5)2 − 4 · 1 · 6 (6.184)
= 25− 24 (6.185)
= 1 (6.186)
assim,
x =−b±√
b2−4ac
2a(6.187)
= −(−5)±√
12·1 (6.188)
= 5±12
(6.189)
temos aqui duas raızes que indicaremos por x1 e x2;
x1 = 5+12
(6.190)
= 3 (6.191)
e
x2 = 5−12
(6.192)
= 2 (6.193)
Logo, S = {2, 3}.2. Mostre que as raızes da equacao x2−198x+1 = 0, estao entre 1
198e 197, 99494949 . . .
Solucao. Resolvendo a equacao x2 − 198x + 1 = 0, encontramos
x1 = 99 + 70√
2
ex2 = 99− 70
√2.
Note que x1 +x2 = 198. Como x1 e x2 sao raızes da equacao x2− 198x +1 = 0.Entao
x21 − 198x1 + 1 = 0
ou seja,
x1 =x2
1 + 1
198>
1
198e
x22 − 198x2 + 1 = 0
ou ainda
x2 =x2
2 + 1
198>
1
198Por outro lado,
x1 = 198− x2 < 198− 1
198= 197, 99494949 . . .
e
x2 = 198− x1 < 198− 1
198= 197, 99494949 . . .
3. Seja r uma das raızes da equacao 2x2 − 10x + 2 = 0. Calcule 2(r + 1
r
).
Solucao. Como r e uma das raızes da equacao 2x2 − 10x + 2 = 0, entao2r2 − 10r + 2 = 0, ou ainda
2r2 + 2 = 10r
agora dividindo ambos os membros por r obtemos
2
(r +
1
r
)= 10
6.12.2 Exercıcios Propostos
1. Determine o quadrado do maior inteiro n tal que as raızes da equacao x2+x+n =0 sao reais e maiores do que n.
2. Ache todos os valores de x ∈ Z tal que x2 − 5x− 1 seja um quadrado perfeito.
3. Dada a equacao x2 + (p− 15) x + p = 0, determine p para que as duas raızessejam numeros inteiros.
4. Dada a equacao x2 − (a + c)x + ac− b2 = 0.
(a) Mostre que ela tem solucao real quaisquer que sejam os numeros a, b e c.
(b) Supondo-se b = 0 e que a equacao tem uma so solucao, que relcao existeentre a e c?
5. Determine b para que as equacoes 1988x2+bx−8891 = 0 e 8891x2+bx+1988 = 0tenham uma raiz comum.
6. Se∣∣ax2 + bx + c
∣∣ ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1] . Mostre que |a|+ |b|+ |c| ≤ 17.
7. Determine a para que as equacoes x2 + ax +1 = 0 e x2 +x+ a = 0 tenham pelomenos uma raiz comum.
8. Considere a equacao x2 + bx + c = 0 onde b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Quantas destasequacoes tem raızes reais?
9. Se x2 + x + 1 = 0, calcule o valor numerico de(
x +1
x
)2
+
(x2 +
1
x2
)2
+ · · ·+(
x27 +1
x27
)2
10. Determine as constantes A, B,C, D, p e q tais que
A (x− p)2 + B (x− q)2 = 5x2 + 8x + 14
eC (x− p)2 + D (x− q)2 = x2 + 10x + 7
11. Ache todas as solucoes da equacao
x2 +4x2
(x− 2)2= 12
12. Achar todos os numeros x, y tais que (1− x)2 + (x− y)2 + y2 = 13.
13. Mostre que se a, b e c forem inteiros ımpares, a equacao ax2 + bx + c = 0 naotem raiz racional.
14. Seja α maior raiz de x2 + x− 1 = 0. Determine α5 − 5α.
15. Relacoes de Girard Mostre que, para as raızes de uma equacao do segundo grau
ax2 + bx + c vale:
(a) soma das raızes
x1 + x2 = − b
a(b) produto das raızes
x1 · x2 =c
a(c) diferenca das raızes
|x1 − x2| = |√
∆
a|
16. Ache uma equacao do 2ograu cujas raızes sao: 2 e 3.
6.12.3 Exercıcios Propostos
1. Determine o numero p tal que as raızes x1 e x2 da equacao x2 − px + 6 = 0,satisfaca a relacao 9x1x
22 + 3x3
1 + 9x2x21 + 3x3
2 = 1029.
2. Seja b um numero real nao nulo de modo que a equacao do 2ograu x2+b2x+√
π =0 tenha raızes reais x1 e x2. Se x1
√π = x2 (bx2 −
√π), prove que o numero b e
negativo.
3. As raızes da equacao x2 + bx+ c = 0 sao ambas reais e maiores do que 1. Mostreque s = b + c + 1 e positivo.
4. Determine a soma dos valores inteiros de p, para os quais a equacao (p− 3) x2−2px + 6p = 0 tem raızes reais e positivas.
5. Determine o numero p tal que as raızes x1 e x2 da equacao x2 + x + p = 0,satisfaca a relacao x3
1 + x1x2 (2x1 + x2) + 2x2 = 1.
6. Se x1 e x2 forem duas raızes distintas de ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, tal que
x21 + px1 + q + x2
2 + px2 + q = 0.
Mostre que a equacao x2 + px + q = 0 tem duas raızes reais e distintas.
7. a, b, c, d sao numeros reais distintos tais que a e b sao raızes da equacao
x2 − 3cx− 8d = 0,
e c e d sao raızes da equacao x2 − 3ax− 8b = 0. Calcule a soma a + b + c + d.
8. Sejam a e b raızes da equacao x2 + px − 12p2 = 0, onde p e um numero real.
Mostre quea4 + b4 ≥ 2 +
√2
9. Seja α um numero real tal que α > 2(1 +√
2)
e considere a equacao x2 − αx +α + 1 = 0. Sabendo que as raızes dessa equacao sao as cotangentes de dois dosangulos internos de um triangulo. Determine o terceiro angulo interno dessetriangulo.
10. Determine o valor de p para que as raızes x1 e x2 da equacao 2x2 − px− 1 = 0.Satisfaca a relacao
x21 + x2
2 = 1
11. Seja x1 uma raiz da equacao x2 + 2x + c2 = 0, em que c e um numero realpositivo. Se o discriminante dessa equacao e menor que zero. Determine |x1| .
12. Defincao. O sımbolo [x] e usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual ax, isto e,
[x] = nsen ≤ x < n + 1
onde n ∈ Z. Por exemplo [2, 3] = 2, [0, 34] = 0.
Resolva a equacao 3x2 − 4[x]− 4 = 0.
13. Resolva a equacao 2(a3 + b3
)x2−3x+(a + b) = 0, sabendo que a e b sao raızes
da equacao x2 − px + p2−12
= 0.
14. Prove que se x1 for uma raiz da equacao ax2 + bx + c = 0, x2 for uma raiz daequacao −ax2 + bx + c = 0, entao existe uma raiz x3 da equacao a
2x2 + c = 0
tal que x1 ≤ x3 ≤ x2 ou x2 ≤ x3 ≤ x1.
15. Se as raızes da equacao x2 + px + q = 0 forem positivas, mostre que o mesmoocorre com as raızes da equacao
qy2 + (p− 2rq) y + 1− pr = 0
onde r e um numero positivo.
16. Determine a soma e o produto das raızes da equacao:
x2 + 18x + 30 = 2√
x2 + 18x + 45
17. Determine x, y ∈ R na equacao x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 = 0.
18. Sejam x1 e x2 as raızes da equacao x2 + bx + c = 0. Seja y = 3√
x1 + 3√
x2;encontre r e s em funcao de b e c para os quais y satisfaz a equacao
y3 + ry + s = 0.
19. Sejam x e y inteiros positivos tais que xy + x + y = 71 e x2y + xy2 = 880.Determine x2 + y2.
20. Seja p um parametro real tal que a equacao x2− 3px− p = 0 possui duas raızesreais distintas x1 e x2.
a) Prove que 3px1 + x22 − p > 0.
b) Determine o menor valor possıvel de
A =p2
3px1 + x22 + 3p
+3px2 + x2
1 + 3p
p2
21. Encontre todas as solucoes inteiras da equacao x2 − xy + y = 3.
22. Ache a soma das raızes da equacao xx2−7x+12 = 1.
23. Se x2−x+p = 0, tiver raızes x1 e x2 tais que xn−21 +xn−2
2 = a e xn−11 +xn−1
2 = b.Encontre xn
1 + xn2 .
24. Determine um polinomio p(x), com coeficientes inteiros, tal que x0 = 1 + 3√
2seja uma raiz
da equacao p(x) = 0.
6.12.4 Exercıcios Resolvidos
1. Se x e y forem numeros reais e nao nulos tais que x + y = 1, determine o menorvalor que (
1 +1
x
) (1 +
1
y
)
pode assumir.
Solucao. Seja
S =(1 + 1
x
) (1 + 1
y
)(6.194)
= 1 + 2xy
(6.195)
veja que S e mınimo quando xy for maximo. Tome p = xy tal que x + y = 1. Assim,temos
p(x) = x (1− x) (6.196)
= −x2 + x (6.197)
como a = −1 < 0, pelo Teorema ??, p(x) = −x2 + x admite um valor maximo, cujovalor maximo e atingido quando
x = − b2a
(6.198)
= 12
(6.199)
e daı, y = 12. Portanto, o valor maximo de S e
1 +2
12· 1
2
= 9.
2. Determine o valor mınimo de
x4 + x2 + 5
(x2 + 1)2, x ∈ R.
Solucao. Seja
p = x4+x2+5
(x2+1)2(6.200)
=(x2−1)2−(x2−4)
(x2+1)2(6.201)
= 1− x2−4
(x2+1)2(6.202)
= 1− (x2+1)−5
(x2+1)2(6.203)
= 1− 1x2+1
+ 5
(x2+1)2(6.204)
tome t = 1x2+1
. Assim, p(t) = 1− t + 5t2. Observe que
x4 + x2 + 5
(x2 + 1)2
e mınimo quando p(t) = 1 − t + 5t2 for mınimo. Como a = 5 > 0, pelo Teorema ??,p(t) = 1− t + 5t2 admite um valor mınimo, que e atingido em
t = − b2a
(6.205)
= 110
(6.206)
Portanto,
p(1
10) = 1− 1
10+ 5
(110
)2(6.207)
= 0, 95 (6.208)
isto e, o valor mınimo de x4+x2+5
(x2+1)2e 0, 95.
3. Determine os valores reais de x que satisfaz a equacao
min {2x− 1, 6− x} = x.
Solucao. Vamos analizar os seguintes casos:Caso1: Se 2x− 1 ≤ 6− x.
Neste caso, temos x ≤ 73. Assim, 2x− 1 = x e daı, x = 1.
Caso2: Se 2x− 1 > 6− x.Neste caso, temos x > 7
3. Logo, 6− x = x e daı, x = 3. Portanto, S = {1, 3} .
4. Um pedaco de arame de 20cm de comprimento e dividido em duas partes. Comuma destas partes constroi-se um quadrado de lado igual a x metros e com aoutra parte constroi-se um cırculo de raio igual a y metros. Se L for a soma dasmedidas, em m2, da area do quadrado e da area do cırculo, determine x paraque L seja o menor possıvel.
Solucao. Por hipotese, temos
4x + 2πy = 20(1) (6.209)
ex2 + πy2 = L(2) (6.210)
Segue-se da equacao (1) que
y =10− 2x
π(3) (6.211)
agora, substituindo (3) em (2) encontramos:
L(x) = x2 + π
(10− 2x
π
)2
ou ainda
L(x) =
(π + 4
π
)x2 −
(40
π
)x +
100
π
Como a = π+4π
> 0, pelo Teorema ??, L(x) =(
π+4π
)x2 −
(40π
)x + 100
πadmite um
valor mınimo
x = − b2a
(6.212)
= 20π+4
m (6.213)
Portanto, L = x2 + πy2 sera mınimo quando x = 20π+4
m.
5. Determine o menor valor real positivo x para o qual a funcao real definida por
f(x) = 7− cos(x +
π
3
)
atinge seu valor maximo.
Solucao. A funcao f(x) = 7−cos(x + π
3
)atinge seu valor maximo quando cos
(x + π
3
)
assumir valor mınimo. Como∣∣cos
(x + π
3
)∣∣ ≤ 1 isto e, o valor mınimo de cos(x + π
3
)
e −1 e e atingido quando x + π3
= kπ, k inteiro ımpar. Assim, para k = 1, temos
x = π − π
3=
2π
3
6. Se o vertice da parabola f(x) = px2 + qx + 3 for o ponto V(
54, 1
8
). Determine
5p + 2q + 7.
Solucao. Temos − b2a
= 54
ou ainda − q
p= 5
2e daı, 5p + 2q = 0. Logo,
5p + 2q + 7 = 0 + 7 (6.214)
= 7 (6.215)
6.12.5 Exercıcios Propostos
1. Sejam a, b e c numeros reais. Considere a funcao f(x) = ax2 + bx + c tais que|f(−1)| ≤ 1, |f(0)| ≤ 1 e |f(1)| ≤ 1. Prove que |f(x)| ≤ 5
4.
2. Se 2x + y = 3, determine o valor mınimo de√
x2 + y2.
3. Encontre dois numeros x e y cuja soma seja um numero positivo S e cujo produtoP seja o maior possıvel.
4. Encontre o maior valor de
y =x
ax2 + ba > 0, b > 0
5. Se x ∈ R+ (reais positivos). Ache o valor maximo da expressao
3x2 + 9x + 17
3x2 + 9x + 7
6. Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimensoes do maiorcampo retangular que pode ser fechado usando 240m de cerca para os outrostres lados.
7. Encontre o valor mınimo de1 + x2
1 + x
para x ≥ 0.
8. Sendo 16x − 35y = 1. Quais sao as solucoes x e y, inteiras tais que |x + y| emınima?
6. Sinal da funcao quadratica
Dada a funcao quadratica f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 uma pergunta bem naturale para que valores de x ∈ R obtemos:
1. f(x) > 0;
2. f(x) = 0;
3. f(x) < 0?
Para responder esta pergunta e necessario estudar o sinal da funcao quadratica, oqual deve ser feito estudando o sinal do discriminante nos seguintes casos:
1. ∆ < 0
2. ∆ = 0
3. ∆ > 0.
Caso1: ∆ < 0Se ∆ < 0, entao −∆ > 0. Pela forma canonica, vem:
af(x) = a2
[(x +
b
2a
)2
+
(−∆
4a2
)]> 0
isto e af(x) > 0, para todo x ∈ R. Assim, temos
a > 0 ⇒ f(x) > 0 ∀x ∈ Ra < 0 ⇒ f(x) < 0 ∀x ∈ R.
Exemplo: f(x) = 2x2 − 2x + 1, temos
∆ = (−2)2 − 4 · 2 · 1 (6.216)
= 4− 8 (6.217)
= −4 (6.218)
Como a = 2 > 0 e ∆ = −4 < 0. Logo,
2x2 − 2x + 1 > 0∀x ∈ R
Caso2. ∆ = 0Pela forma canonica, vem:
af(x) = a2[(
x + b2a
)2+
(−∆4a2
)](6.219)
= a2(x + b
2a
)2 ≥ 0 (6.220)
Assim, temosa > 0 ⇒ f(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ra < 0 ⇒ f(x) ≤ 0 ∀x ∈ R
Exemplo: f(x) = −x2 + 4x− 4, temos
∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) (6.221)
= 16− 16 (6.222)
= 0 (6.223)
Como a = −1 < 0 e ∆ = 0. Logo,
−x2 + 4x− 4 ≤ 0∀x ∈ R
Caso3. ∆ > 0Neste caso, a funcao quadratica f(x) = ax2 + bx + c possui duas raızes
x1 =−b−
√∆
2a
e
x2 =−b +
√∆
2a
Pelo trinomio do 2ograu temos
af(x) = a2(x− x1) · (x− x2),
veja que o sinal de af(x) depende dos fatores (x − x1) e (x − x2). Admitindo quex1 < x2. Se x < x1 temos:
x < x1 < x2 ⇒
x− x1 < 0
x− x2 < 0
e daı,af(x) = a2(x− x1) · (x− x2) > 0
Se x1 < x < x2, entao
x1 < x < x2 ⇒
x− x1 > 0
x− x2 < 0
e daı,af(x) = a2(x− x1) · (x− x2) < 0
Se x > x2 temos:
x1 < x2 < x⇒
x− x1 > 0
x− x2 > 0
e daı,af(x) = a2(x− x1) · (x− x2) > 0
Resumindo, temos:
1. Para x < x1 ou x > x2, f(x) tem o mesmo sinal de a;
2. Para x1 < x < x2, f(x) tem o mesmo sinal de −a.
Solucao dos Exercıcios Propostos
2.1.2 Exercıcios Propostos
1. Solucao. Para que a equacao x2 +x+n = 0 tenha duas raızes reais e necessarioque ∆ ≥ 0 isto e, 1 − 4n ≥ 0 ou ainda n ≤ 1
4, n ∈ Z. Por outro lado, as raızes
sao:
x1 =−1 +
√1− 4n
2> n
e
x2 =−1−
√1− 4n
2> n
Assim,√
1− 4n > 2n + 1 e −√
1− 4n > 2n + 1. Como n ≤ 14, n ∈ Z temos:
Para n = 0⇒ 1 > 1Para n = −1⇒
√5 > −1 e −
√5 > −1
Para n = −2⇒ 3 > −3 e −3 > −3Para n = −3⇒
√13 > −5 e −
√13 > −5
Logo, o valor maximo que n pode assumir e −3. Daı, n2 = 9.
2. Solucao. Seja x2 − 5x− 1 = k2, k ∈ Z. Assim,
x2 − 5x− (1 + k2) = 0
cujas raızes sao:
x1 =−5 +
√25 + 4 + 4k2
2e
x1 =−5−
√25 + 4 + 4k2
2
Para que x ∈ Z e necessario que 29 + 4k2 = r2, r ∈ Z ou seja, r2 − 4k2 = 29.Assim,
(r − 2k) (r + 2k) = 29
daı, {r − 2k = 1r + 2k = 29
(6.224)
Resolvendo o sistema 224 encontramos k = 7. Portanto, as raızes sao: x1 = 10 ex2 = −5. Note que para as outras possibilidades do produto (r − 2k) (r + 2k) =29 encontramos tambem k = 7.
3. Solucao. Para que a equacao x2 + (p− 15)x + p = 0 tenha duas raızes inteirase necessario que ∆ = n2, n ∈ Z isto e,
(p− 15)2 − 4p = n2
ou aindap2 − 34p +
(225− n2) = 0(1) (6.225)
Agora as raızes da equacao (1) sao: p = 17±√
64 + n2. Novamente, para que aequacao (1) tenha duas solucoes inteiras devemos ter
64 + n2 = m2, m ∈ Z
ou ainda
(m + n) (m− n) = 64.
Devemos resolver o sistema de duas equacoes nas seguintes situacoes:
{m + n = 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1m − n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
(6.226)
Resolvendo o sistema 226 encontramos: m = 17 e n = ±15; m = 10 e n = ±6;m = 8 e n = 0. Portanto,
para n = ±15 temos p = 17± 17 = 0 ou p = 34 (6.227)
para n = ±6 temos p = 17± 10 = 7 ou p = 27 (6.228)
para n = 0 temos p = 17± 8 = 9 ou p = 25 (6.229)
Logo, os possıveis valores de p sao: 0, 7, 9, 25, 27 e 34.
4. Solucao. a) Para que a equacao x2 − (a + c)x + ac− b2 = 0 tenha solucao reale necessario mostrar que ∆ ≥ 0. Com efeito,
∆ = (a + c)2 − 4(ac− b2) (6.230)
= a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 (6.231)
= (a− c)2 + 4b2 (6.232)
isto mostra que ∆ ≥ 0.
b) Por hipotese temos b = 0 e ∆ = 0. Assim,
(a− c)2 = 0
e daı, a = c.
5. Solucao. Isolando b da equacao 1988x2 + bx− 8891 = 0 encontramos
b =8891− 1988x2
x(6.233)
Analogamente, isolando b da equacao 8891x2 + bx + 1988 = 0 temos
b =−1988− 8891x2
x(6.234)
De (233) e (234) obtemos
8891− 1988x2
x=−1988− 8891x2
x(6.235)
Finalmente, resolvendo a equacao (235) encontramos x = ±1. Assim, para x = 1,temos b = −10879 e para x = −1, obtemos b = 10879.
6. Solucao. Tomando para x os valores 0, 12
e 1 obtemos:
|c| ≤ 1,
∣∣∣∣a
4+
b
2+ c
∣∣∣∣ ≤ 1e |a + b + c| ≤ 1
De∣∣ a4
+ b2
+ c∣∣ ≤ 1, temos |a + 2b + 4c| ≤ 4. Agora tomando m = a + 2b + 4c e
n = a + b + c, devemos expresar os coeficientes a e b em funcao de m, n e c istoe,
a = −m + 2n + 2c
eb = m− n− 3c
Assim,
|a| = |−m + 2n + 2c| ≤ |m|+ 2 |n|+ 2 |c| = 4 + 2 + 2 = 8
e|b| = |m− n− 3c| ≤ |m|+ |n|+ 3 |c| = 4 + 1 + 3 = 8
Logo,|a|+ |b|+ |c| ≤ 8 + 8 + +1 = 17.
7. Solucao. Seja x a raiz comum as equacoes
x2 + ax + 1 = 0(1) (6.236)
ex2 + x + a = 0(2) (6.237)
fazendo (2)− (1) encontramos
x− ax + a− 1 = 0
ou ainda(x− 1) (1− a) = 0.
Assim, x = 1 ou a = 1. Para x = 1, temos a = −2. Portanto, para que asequacoes (1) e (2) tenham pelo menos uma raiz comum devemos ter a = 1 oua = −2.
8. Solucao. Para que a equacao x2 + bx + c = 0 tenha raızes reais e necessarioque ∆ ≥ 0 isto e, b2 ≥ 4c. Como b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos que
b2 ∈ {1, 4, 9, 16, 25, 36}
e4c ∈ {4, 8, 12, 16, 20, 24}
Assim, os possıveis pares de numeros (b, c) que satisfaz a relacao b2 ≥ 4c serao:(2, 1) , (3, 1) , (3, 2) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5)
(5, 6) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) e (6, 6) . Portanto, existem 19 equacoes comraızes reais.
9. Solucao. Como x2 + x + 1 = 0 temos
x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x + 1
)= 0
ou ainda x3 = 1. Assim, x4 = x, x5 = x2 e x6 = x3 = 1. Logo, para calcular
(x +
1
x
)2
+
(x2 +
1
x2
)2
+ · · ·+(
x27 +1
x27
)2
basta calcular os tres primeiros termos.
(x + 1
x
)2=
(x2+1
x
)2
=(−x
x
)2= 1
(x2 + 1
x2
)2=
(x4+1
x2
)2
=(
x+1x2
)2=
(−x2
x2
)2
= 1(x3 + 1
x3
)2=
(x6+1
x3
)2
=(
1+11
)2= 4
Portanto, a soma pedida e (1 + 1 + 4) · 9 = 54.
10. Solucao.
11. Solucao. A equacao x2 + 4x2
(x−2)2e equivalente a x2 (x− 2)2 +4x2 = 12 (x− 2)2
ou ainda,(x2)2 − 4 (x− 2) x2 − 12 (x− 2)2 = 0 (6.238)
que e uma equacao do 2ograu em x. Portanto, resolvendo a equacao (235 )encontramos duas equacoes:
x2 + 2x− 4 = 0
ex2 − 6x + 12 = 0
cujas solucoes sao: S ={−1±
√5, 3± i
√3}
.
12. Solucao. Desenvolvendo (1− x)2 +(x− y)2 +y2 = 13, obtemos
3x2 − 3 (y + 1) x +(3y2 + 1
)= 0, (6.239)
que e uma equacao do 2ograu em x. Como queremos x, y reais, entao devemoster ∆ ≥ 0, por outro lado, temos
∆ = 9 (y + 1)2 − 12(3y2 + 1
)(6.240)
= −3 (3y − 1)2 ≤ 0 (6.241)
pois (3y − 1)2 ≥ 0. Logo, ∆ = 0, o que resulta 3y − 1 = 0 e daı, y = 13. Agora
substituindo y = 13
na equacao (235 ) encontramos x = 23.
13. Solucao. Suponhamos que x = p
qseja uma raiz da equacao ax2 + bx + c = 0,
onde a, b, c sao inteiros ımpares. Logo, temos
ap2 + bpq + cq2 = 0.
Suponhamos tambem que a fracao x = p
qseja irredutıvel isto e, mdc (p, q) = 1.
Vamos agora analisar a equacao ap2 + bpq + cq2 = 0 nos seguintes casos:
Caso1:p e q sao ımpares.Neste caso, ap2, bpq e cq2 sao ımpares. Como a soma de tres numeros ımpares e
ımpar. Logo, o resultado nao pode ser zero.Caso2: p e par e q e ımpar.Neste caso, ap2 e bpq sao pares e cq2 e ımpar. Como a soma de dois numeros pares
e um ımpar e ımpar, o resultado nao pode ser nulo.Caso3: p e ımpar e q e par.Utilize o mesmo argumento do caso2.Portanto, nenhuma fracao x = p
qpode ser raiz da equacao ax2 + bx + c = 0, onde
a, b, c sao inteiros ımpares.
14. Solucao. Se α for uma raiz da equacao x2 + x − 1 = 0, entao α2 + α − 1 = 0ou ainda α2 = 1− α. Assim,
α5 − 5α = α(α4 − 5
)(6.242)
= α[(1− α)2 − 5
](6.243)
= α(α2 − 2α− 4
)(6.244)
= α (1− α− 2α− 4) (6.245)
= α (−3α− 3) (6.246)
= −3(α2 + α
)(6.247)
= −3 (6.248)
logo, α5 − 5α = −3.
Solucao dos Exercıcios Propostos
2.3.2 Exercıcios Propostos
1. Solucao. Note que a relacao 9x1x22 +3x3
1 +9x2x21 +3x3
2 = 1027 pode ser escritaassim:
3(x3
1 + 3x21x2 + 3x1x
22 + x3
2) = 1027)
ou ainda,3 (x1 + x2)
3 = 1027
Daı, x1 + x2 = 7. Por outro lado, x1 + x2 = p. Logo, p = 7.
2. Solucao. Pelas relacoes de Girard temos
x1 + x2 = −b2
ex1 · x2 =
√π
note que x1 e x2 sao ambos negativos, pois a soma e negativa e o produto epositivo. Assim, a expressao
x1
√π = x2
(bx2 −
√π)
tem ambos os membros negativos, donde concluimos que bx2 −√
π e positivoisto e, bx2 −
√π > 0 ou ainda, bx2 >
√π. Assim, b e negativo.
3. Solucao. Sejam x1 = 1 + m e x2 = 1 + n as raızes da equacao x2 + bx + c = 0tal que m e n sao ambos positivos.Pelas Relacoes de Girard temos:
x1 + x2 = −b
ex1 · x2 = c
Assim,
b + c + 1 = − (x1 + x2) + (x1 · x2) + 1 (6.249)
= − (1 + m + 1 + n) + (1 + m) (1 + n) + 1 (6.250)
= mn > 0 (6.251)
Logo, b + c + 1 > 0.
4. Solucao. Ja sabemos que para existirem duas raızes reais e necessario que∆ ≥ 0. Como as raızes sao positivas entao devemos ter:
x1 + x2 > 0
ex1 · x2 > 0
Por hipotese temos ∆ ≥ 0 e daı, 5p2 − 18p ≤ 0 e daı, 0 ≤ p ≤ 0, 6. (1) Mas
x1 + x2 =2p
p− 3> 0
segue-se daı, 0 < p < 3. (2) Agora, fazendo (1) ∩ (2) encontramos 0 < p ≤ 3, 6.Portanto, nao existe nenhum valor p ∈ Z, tal que as raızes sejam positivas. Noentanto, para p = 3, a equacao e do 1ograu e a raiz e x = 3, um numero realpositivo.
5. Solucao. Pelas relacoes de Girard temos
x1 + x2 = −1
ex1 · x2 = p
Agora, dividindo x3 por x2 + x + p encontramos
x3 =(x2 + x + p
)(x− 1) + (1− p)x + p
e daı, substituindo x por x1 vem:
x31 =
(x2
1 + x1 + p)(x1 − 1) + (1− p) x1 + p (6.252)
= 0. (x1 − 1) + (1− p) x1 + p (6.253)
= (1− p) x1 + p. (6.254)
Por outro lado,
x1x2 (2x1 + x2) = x1x2 [x1 + (x1 + x2)] (6.255)
= p (x1 − 1) (6.256)
Assim,
x31 + x1x2 (2x1 + x2) + 2x2 = (1− p)x1 + p + p (x1 − 1) + 2x2 (6.257)
= x1 + 2x2 (6.258)
logo,x1 + 2x2 = 1
e daı, facilmente encontramos p = −6.
6. Solucao. Pelas relacoes de Girard vem:
x1 + x2 = − b
a
ex1 · x2 =
c
a
e daı, facilmente podemos encontrar
x21 + x2
2 =b2 − 2ac
a2.
A relacaox2
1 + px1 + q + x22 + px2 + q = 0
pode ser escritax2
1 + x22 + p (x1 + x2) + 2q = 0.
Assim, temosb2 − 2ac
a2+ p
(− b
a
)+ 2q = 0
ou ainda
q =abp + 2ac− b2
2a2.
Logo, x2 + px + q = 0, tem a seguinte forma
x2 + px +abp + 2ac− b2
2a2= 0 (6.259)
onde p e arbitrario. Por hipotese, temos que ∆ > 0, isto e, b2 − 4ac > 0. Vamosprovar que o discriminante ∆1 da equacao ( 235 ) tambem e positivo. De fato,
∆1 = p2 − 4(
abp+2ac−b2
2a2
)(6.260)
= (ap−b)2+b2−4ac
a2 > 0. (6.261)
Portanto, a equacao x2 + px + q = 0, tem duas raızes distintas.
7. Solucao. Pelas relacoes de Girard temos:
a + b = 3c (6.262)
ec + d = 3a. (6.263)
Agora, somando (262) e (263) obtemos
b + d = 2 (a + c) (6.264)
e subtraindo (262) e (263) vem:
b− d = 4 (c− a) . (6.265)
Como a e raiz da equacao x2 − 3cx− 8d = 0, segue-se que
a2 − 3ca− 8d = 0. (6.266)
Analogamente, como c e raiz da equacao x2 − 3ax− 8b = 0, temos
c2 − 3ac− 8b = 0. (6.267)
Subtraindo as igualdades (266) e (267) e utilizando as relacoes (3) e (4) temos:
a2 − c2 = 8 (d− b) (6.268)
= 8 · 4 (a− c) (6.269)
como a 6= c, concluimos que a + c = 32. Portanto,
b + d = 2 (a + c) (6.270)
= 2 · 32 (6.271)
= 64 (6.272)
donde a + b + c + d = 32 + 64 = 96.
8. Solucao. Pelas relacoes de Girard temos:
a + b = −p
e
ab = − 1
2p2.
Por outro lado,
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab (6.273)
= (−p)2 − 2(− 1
2p2
)(6.274)
= p2 + 1p2 (6.275)
e daı,
a4 + b4 =(a2 + b2
)− 2a2b2 (6.276)
=(p2 + 1
p2
)2
− 2(− 1
2p2
)2
(6.277)
= p4 + 12p4 + 2. (6.278)
Note que
p4 +1
2p4=
2p4 + 1p4
2≥
√2p4 · 1
p4=√
2.
Portanto,a4 + b4 ≥ 2 +
√2.
9. Solucao. Sejam θ, β, e γ as medidas dos angulos internos de um triangulo ABC.Por hipotese temos cot θ e cot β sao as raızes da equacao x2 − αx + α + 1 = 0tal que
α > 2(1 +√
2)
.
Pelas relacoes de Girard, temos:
cot θ + cotβ = α
ecot θ · cotβ = α + 1
por outro lado, temos
cot (θ + β) = cot θ·cot β−1cot θ+cot β
(6.279)
= α+1−1α
(6.280)
= 1 (6.281)
isto e, cot (θ + β) = cot 45o. Logo, θ + β = 45o e daı, γ = 135o.
10. Solucao.
11. Solucao. Como ∆ < 0 temos que x1 = a + ib, a, b ∈ R e uma raiz da equacaox2 + 2x + c2 = 0, entao a outra raız e x1 = a− ib. Assim,
x2 + 2x + c2 = (x− x1) · (x− x1) (6.282)
= [(x− a)− ib] · [(x− a) + ib] (6.283)
= x2 − 2ax + a2 + b2 (6.284)
e daı, −2a = 2 e c2 = a2 + b2. Por outro lado,
|x1| =√
a2 + b2 (6.285)
=√
c2 (6.286)
= |c| (6.287)
= c (6.288)
pois, c ∈ R, c > 0.
12. Solucao. Por hipotese, temos 3x2 − 4 [x]− 4 = 0 ou ainda
3x2 = 4 ([x] + 1) .
Note que 3x2 ≥ 0 e daı, [x] ≥ −1. Para [x] = −1, temos 3x2 = 0, logo, x = 0que nao e solucao da equacao 3x2 − 4 [x]− 4 = 0. Temos entao [x] ≥ 0 e x ≥ 0.Assim, podemos escrever 3x2 = 4n, n ∈ N ou ainda
x =
√4n
3.
Vamos agora analisar as possibilidades para n :
i) Se n = 0 entao, x = 0 que nao solucao;
ii) Se n = 1 entao, x =√
43
que e solucao;
iii) Se n = 2 entao, x =√
83
que nao e solucao;
iv) Se n = 3 entao, x = 2 que e solucao;
v) Se 4 ≤ n ≤ 6 entao, [x] = 2 e x > 0. Neste caso, temos
3x2 − 4 [x]− 4 > 3 [x]2 − 4 [x]− 4 = 0,
logo, para 4 ≤ n ≤ 6 a equacao 3x2 − 4 [x]− 4 = 0 nao possui solucao.
Finalmente, para n ≥ 7 temos [x] ≥ 3 e
3x2 − 4 [x]− 4 ≥ 3 [x]2 − 4 [x]− 4 > 0
logo, para n ≥ 7 a equacao 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 nao possui solucao. Portanto, S ={√43, 2
}.
13. Solucao. Pelas relacoes de Girard, temos
a + b = p
e
ab =p2 − 1
2
Como a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab (a + b) , segue-se que
a3 + b3 = p3 − 3p
(p2 − 1
2
)
ou ainda
a3 + b3 =3p− p3
2.
Assim, a equacao 2(a3 + b3
)x2 − 3x + (a + b) = 0 se torna, entao
(3p− p3) x2 − 3x + p = 0. (6.289)
Agora, resolvendo a equacao (235 ) encomtramos x1 = p
3−p2 e x2 = 1p.
14. Solucao.
15. Solucao. Como as raızes da equacao x2 + px + q = 0 sao positivas (portantoreais) vem:
p2 − 4q ≥ 0, p < 0, q > 0.(1) (6.290)
note que p < 0 e q > 0 pelas relacoes de Girard. Por outro lado, da equacao
qy2 + (p− 2rq) y + 1− pr = 0(2) (6.291)
temos(p− 2rq)2 − 4q (1− pr) = 4r2q2 + p2 − 4q > 0
logo, as raızes y1 e y2 da equacao (2) sao reais. Resta mostrar que sao positivas.Como
y1 · y2 =1− pr
q> 0(3) (6.292)
e
y1 + y2 = −p− 2rq
q> 0 (4) (6.293)
De (3) segue que y1 e y2 tem o mesmo sinal e (4) concluimos que y1 e y2 saopositivas.
16. Solucao. Seja k = x2+18x+30, entao a equacao x2+18x+30 = 2√
x2 + 18x + 45se trasforma em k = 2
√k + 15. Elevando ao quadrado temos
k2 − 4k + 60 = 0 (6.294)
E facil perceber que as raızes da equacao (235) sao k = −6 e k = 10. Observeque k = −6 nao satisfaz a equacao k = 2
√k + 15 pois, −6 6= 2
√−6 + 15. Logo,
as raızes da equacao sao obtidas quando k = 10 ou seja,
x2 + 18x + 30 = 10
ou aindax2 + 18x + 20 = 0.
Logo, pelas relacoes de Girard o produto das raızes e 20.
17. Solucao.
18. Solucao.
19. Solucao.
20. Solucao. (a) Como x2 e raiz da equacao x2 − 3px− p = 0, segue-se que
x22 = 3px2 + p.
Pelas relacoes de Girard, temos
x1 + x2 = 3p
ex1 · x2 = p
assim,
3px1 + x22 − p = 3px1 + (3px2 + p)− p (6.295)
= 3p (x1 + x2) (6.296)
= (3p)2 > 0 (6.297)
isto nos mostra que 3px1 + x22 − p > 0.
(b) Sendo x1 e x2 raızes da equacao x2 − 3px− p = 0 vem:
3px1 + x22 + 3p = 3px1 + (3px2 + p) + 3p (6.298)
= 9p2 + 4p (6.299)
analogamente, mostramos que
3px2 + x21 + 3p = 9p2 + 4p
logo, 3px1 + x22 + 3p = 3px2 + x2
1 + 3p. Como MA ≥ MG, segue-se que A ≥ 2 isto e,o valor mınimo de A e 2.
Solucao dos Exercıcios Propostos
2.5.2 Exercıcios Propostos
1. Solucao. Dada a funcao f(x) = ax2 + bx + c podemos conseguir coeficientesA, B e C tal que
f(x) = Ax (x + 1) + Bx (x− 1) + C(x2 − 1
).
Verifique que A = a+b+c2
, B = a−b+c2
e C = −c.
Agora, fazendo x = −1, 0 e 1 encontramos f(−1) = 2B, f(0) = C e f(1) = 2A.Assim,
f(x) =f(1)
2x (x + 1) +
f(−1)
2x (x− 1) + f(0)
(x2 − 1
)(6.300)
para todo x ∈ R. Pela hipotese |f(−1)| ≤ 1, |f(0)| ≤ 1 e |f(1)| ≤ 1 e da equacao (235)temos:
|f(x)| =∣∣∣ f(1)
2x (x + 1) + f(−1)
2x (x− 1) + f(0)
(x2 − 1
)∣∣∣ (6.301)
≤ |f(1)|2|x (x + 1)|+ |f(−1)|
2|x(x− 1)|+ |f(0)|
∣∣x2 − 1∣∣ (6.302)
≤ |x|2|x + 1|+ |x|
2|x− 1|+
∣∣x2 − 1∣∣ (6.303)
= |x|2|x + 1|+ |x|
2|1− x|+
∣∣1− x2∣∣ (6.304)
como −1 ≤ x ≤ 1, temos x + 1 ≥ 0, 1− x ≥ 0 e 1− x2 ≥ 0. Logo,
|f(x)| ≤ |x|2
(x + 1) + |x|2
(1− x) + 1− x2 (6.305)
= −x2 + |x|+ 1 (6.306)
= 54−
(|x| − 1
2
)2(6.307)
≤ 54. (6.308)
2. Solucao. Note que o valor mınimo de√
x2 + y2 e obtido quando x2 + y2 formınimo. Sejam p = x2 + y2 e 2x + y = 3. Assim, p(x) = 5x2 − 12x + 9. Comoa = 5 > 0, pelo Teorema(*), temos que p(x) = 5x2 − 12x + 9 admite um valormınimo que e atingido para
x = − b2a
(6.309)
= 65
(6.310)
por outro lado,
y = 3− 2x (6.311)
= 3− 125
(6.312)
= 35
(6.313)
logo, o valor mınimo de√
x2 + y2 e√
455
.
3. Solucao. Sendo S = x + y, temos y = S − x. Assim,
p(x) = xy (6.314)
= x (S − x) (6.315)
= −x2 + Sx (6.316)
Como a = −1 < 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = −x2 + Sx admite umvalor maximo que e atingido para
x = − b2a
(6.317)
= S2
(6.318)
De S = x+y e x = S2
tiramos que y = S2. Portanto, os numeros sao: x = y = S
2.
Em particular tomando S = 10, temos x = y = 5.
4. Solucao. Observe que a expressao y = x
ax2+be equivalente a
ayx2 − x + by = 0 (6.319)
Agora, resolvendo a equacao (235 ) encontramos
x =1±
√1− 4aby2
2ay
Como queremos x reais, entao devemos ter ∆ ≥ 0 ou seja, 1− 4aby2 ≥ 0 e daı,y ≤ 1
2√
ab. Assim,
x
ax2 + b≤ 1
2√
ab
Portanto, o valor maximo de y = x
ax2+be 1
2√
ab.
5. Solucao. Note que3x2 + 9x + 17
3x2 + 9x + 7
sera maximo quando p(x) = 3x2 + 9x + 7 for mınimo. Como a = 3 > 0, peloTeorema ??, temos que p(x) = 3x2 + 9x + 7 admite um valor mınimo que eatingido para
x = − b2a
(6.320)
= − 32
(6.321)
Assim, substituindo x = − 32
na expressao
3x2 + 9x + 17
3x2 + 9x + 7
encontramos o seu valor maximo que e 41.
6. Solucao.
Sejam A = xy e 2x + y = 240. Assim,
A(x) = x (240− 2x) (6.322)
= −2x2 + 240x (6.323)
Como a = −2 < 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = −2x2 + 240x admite um valormaximo que e atingido para
x = − b2a
(6.324)
= 60 (6.325)
De 2x + y = 240 e x = 60 temos y = 120. Portanto, as dimensoes sao: x = 60m ey = 120m.
7. Solucao. Seja
y =1 + x2
1 + x
ou ainda x2− yx + 1− y = 0. Como queremos x reais, entao devemos ter ∆ ≥ 0ou seja,
y2 + 4y − 4 ≥ 0 (6.326)
Agora, resolvendo a inequacao (235) encontramos y = −2± 2√
2. Fazendo o es-tudo do sinal da inequacao (235) temos y ∈
(−∞,−2− 2
√2]∪
[−2 + 2
√2,+∞
)
ou ainda y ≥ −2 + 2√
2 ou y ≤ −2− 2√
2. Assim, devemos ter y ≥ −2 + 2√
2 e
daı, o valor mınimo de 1+x2
1+xe −2 + 2
√2.
8. Solucao. Como 16x− 35y = 1, segue-se que
x =35y + 1
16= 2y +
3y + 1
16(1) (6.327)
assim, 3y + 1 deve ser multiplo de 16, isto e,
3y + 1 = 16k, k ∈ N.(2) (6.328)
Da equacao (2) temos
y =16k − 1
3= 5k +
k − 1
3.(3) (6.329)
Entao k − 1 deve ser multiplo de 3 ou seja,
k − 1 = 3t, t ∈ N. (4) (6.330)
De (3) e (4) temos:
y = 5k + t (5) (6.331)
= 5 (3t + 1) + t
= 16t + 5
De (1) e (5) temos
x = 35(16t+5)+116
(6.332)
= 35t + 11. (6.333)
Logo,x = 35t + 11 e y = 16t + 5. Portanto, |x + y| e mınimo para x = 11 ey = 5, obtidos para t = 0.
Exercıcios 29 Esplorando o triangulo de Pascal
Vamos adotar a terminologia seguinte nas questoes que se seguem. As colunas dotriangulo de Pascal serao enumeradas a partir de zero assim como tambem as linhas.Quer dizer que a coluna de ordem zero e formada apenas pela unidade e a linha deordem zero tem um unico elemento, o 1 e a linha de ordem 1 tem dois elementos: 1, 1
Escreva o triangulo de Pascal ate a linha de ordem 15, ou procure no ındice re-missivo onde ele se encontra neste livro. Vamos tirar deste algoritmo algumas licoes.
1. Verifique que a coluna de ordem zero, formada pela unidade, e a sequencia dasdiferencas dos termos da coluna de ordem 1. Portanto os termos da coluna deordem 1 formam uma P.A. Some os termos da coluna de ordem 1.
2. Verifique que a coluna de ordem 1, formada por uma P.A. e a sequencia dasdiferencas dos termos da coluna de ordem 2. Verifique que a seguinte expressaotraduz isto:
s2,i − s2,i−1 = s1,i−1
em que o primeiro indice indica a coluna e o segundo a posicao dentro da co-luna. Consequentemente os termos da coluna de ordem dois nao podem estar emP.A. Vamos dizer que os elemenos da coluna de ordem 2 sao uma progressaaoquadratica e logo voce vera a razao do nome.
3. Some os termos da expressao encontrada na questao anterior provando que
n∑
k=1
s1,k = s2,n+1 − s2,0
e uma expressao do segundo grau, (ou uma diferenca de expressoes do segundograu (o que da no mesmo...)
4. Verifique que os termos da coluna de ordem 1 sao descritos pela sucessao determo geral (n)n∈N. Encontre um polinomio do segundo grau que descreva asucessao dos termos da coluna de ordem dois.
Observacao 32 A logica de denominacao das colunas
Ja se pode vislumbrar porque chamamos a “primeira” de ordem zero, porque os seustermos sao descrito por um polinomio do grau zero.
Veremos que os elementos da coluna de ordem n serao descritos por um polinomio degrau n
5. Verifique que a coluna de ordem 2, formada por uma progressao quadratica ea sequencia das diferencas dos termos da coluna de ordem 3. Verifique que aseguinte expressao traduz isto:
s3,i − s3,i−1 = s2,i−1
em que o primeiro indice indica a coluna e o segundo a posicao dentro da coluna.
6. Some os termos da expressao encontrada na questao anterior provando que
n∑
k=1
s2,k = s3,n+1 − s3,0
e uma expressao do terceiro grau, ou uma diferenca de expressoes do terceirograu, o que da no mesmo...
Vamos dizer que os elemenos da coluna de ordem 3 sao uma progressaao doterceiro grau. Encontre um polinomio do terceiro grau que descreva os elementosda coluna de ordem 3.
7. Com base nas experiencias anteriores, descreva de uma forma geral qual e aestrutura do triangulo de Pascal.
8. Prove que se P for uma polinomio do grau k entao
(a) Q(x + 1)−Q(x) e um polinomio do grau k − 1
(b) Prove quen∑
k=1
Q(k + 1)−Q(k) = P (n + 1)− P (0)
Justifique como este resultado generaliza o teorema sobre a soma dos termos deuma P.A.
9. Calculen∑
k=1
k3
10. Calculen∑
k=1
k4
11. Calculen∑
k=1
kp ; p ∈ N ; p > 1
6.13 Logaritmos
Ao final da Idade Media, foi descoberta uma famılia de funcoes que tinhama propriedade
f(xy) = f(x) + f(y)
e esta propriedade foi “rapidamente” explorada fazendo delas um dos tiposde maquina de calcular que teve ate hoje um dos usos mais longo na historiada Humanidade, de 1550 a 1970, mais de quatrocentos anosa, quando foramdestronadas pelas maquinas de calcular eletricas e depois pelas eletronicas.Chmamam-se logaritmos estas funcoes.Hoje os logaritmos tem um uso bem diferente, outras propriedades foramdescobertas que os tornaram modelos importantes em varios campos do co-nhecimento. Aqui vamos fazer uma turne de museu reconstruindo a maquinade calcular. Comecaremos a nossa apresentacao reprisando as descobertasde John Napier (1550-1617), o inventor dos logaritmos, que escreveu em1614 o livro “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” Descricao padraodos magnıficos logaritmos e construiu uma maquina de calcular mecanica.
aO chamado triangulo de Pascal teve e tem vida mais longa, se supoe queos chineses o conheciam a alguns milhares de anos antes dos gregos.
6.13.1 A historia
Se houver alguma funcao que tenha a propriedade
Hipotese 2 Propriedade fundamental dos logaritmos
f(xy) = f(x) + f(y) (6.334)
se considerarmos x = 1 entao
f(1 ∗ y) = f(y) = f(1) + f(y) ≡ (6.335)
f(1) = 0 (6.336)
f(1 ∗ y) = f(1) + f(y) = 0 + f(y) = f(y) (6.337)
Veremos que nao somente existe uma tal funcao, mas existe uma “famılia”defuncoes com estas propriedades. Uma funcao que tenha tais propriedades, se chamalogaritmo e a hipotese fundamental se escreve assim:
log(xy) = log(x) + log(y)
Esta descoberta desta simples relacao, (eq. 2), levou rapidamente os “logarit-mos”a uma posicao muito especial, possivelmente porque os numeros tinham na IdadeMedia, um lugar importante dentro do misticismo, e muito em particular os doisnumeros zero e um que, embora sendo apenas os elementos neutros da adicao e damultiplicacao, estes simples fatos fazim de ambos de numeros cabalısticos para osnossos antepassados, e ate mesmo para muita gente dos nossos dias.
Alem deste aspecto mıstico, estas funcoes transformam a complicada operacao demultiplicar na operacao mais facil de somar, vamos provar isto.
Os matematicos da epoca conseguiram extrair destes fatos varios outros que forammontando um sistema muito interessante.
Vamos seguir trabalhando dentro da hipotese (hip. 2), como se ela fosse verdeira,entao
log(a2) = log(a · a) = log(a) + log(a) = 2log(a),
transformando potencia em multiplicacao.Se fixarmos um numero qualquer, a > 0, e considerando suas potencias, teriamos:
log(a) log(a)
log(a2) 2log(a)
log(a3) 3log(a)
log(a4) 4log(a)
log(a5) 5log(a)
log(a6) 6log(a)
Observe que esta tabela associa, uma progressao geometrica, na primeira coluna,com uma progressao aritmetica, na segunda coluna. Esta associacao e injetiva, (naverdade bijetiva) porque as progressoes aritmeticas sao estritamente crescentes se arazao for positiva, como sera sempre o caso aqui. As progressoes geometricas crescemou decrescem dependendo de que a razao seja maior ou menor do que 1.
Vemos aqui e na equacao (2), pagina 208, dois fatos que se encontram por tras daimportancia dos logaritmos na Idade Media e que inclusive os trouxeram impertubaveisate os nossos dias:
• transformam produtos em soma;
• transformam progressoes geometricas em progressoes aritmeticas.
• Transformam “coisas mais difıceis” em “coisas mais faceis”.
Esta ultima propriedade e a quest~ao quando se tratam de maquinas:
uma maquina que se prese transforma “coisas difıceis” em “coisasfaceis”.
E aqui vai a contribuicao nossa, moderna, para o assunto.Nossos antepassados, a duras penas, tentaram descobrir uma funcao adequada que
tivesse a hipotese (hip. 2), pagina 208. Subindo nos ombros deles, como dizia Newton,podemos ver que e facil inventar uma funcao exatamente usando a tabulacao acima:
escolhemos o numero a e dizemos quanto vale log(a).O resto e pura construcao.
Vamos mostrar como isto funciona. Depois vamos mostrar, com um exemplo, umatabela de falsos logaritmos, que nao e suficiente colar duas progressoes, uma aritmeticae uma geometrica, para ser um sistema de logaritmos. Existe, portanto, uma pequenarestricao ao “qualquer”que usamos acima. Discutiremos isto, mais adiante, quandofalarmos de “falsos logaritmos”.
6.13.2 Construcao de um logaritmo
Vamos escolher
a = 2 e log(a) = 1
observe, insistimos, poderia ser qualquer outro valor, diferente de zero, para paralog(a), nossa escolha foi inteiramente arbitraria. A unica coisa que nos guiou foicomecar as coisas de forma mais simples, depois faremos outro exemplo com valoresdiferentes.
Com estes dados vamos repetir a tabela de potencias que escrevemos acima:
log(x) x
2 log(2) 1
4 log(4) 2
8 log(8) 3
16 log(16) 4
32 log(32) 5
64 log(64) 6
e ja podemos fazer umas continhas para testar o nosso invento. E sempre assim que sefaz, constroi-se um prototipo de pequenas proporcoes e se verifica seu funcionamente.Se fizer alguma coisa util entao partimos para a incrementacao.
Vamos calcular quanto vale 4 x 4.
4 7→ log(4) = 2
log(4 x 4) = log(4) + log(4) 7→ 2 + 2 = 4 7→ log(16)
conclusao: 4 x 4 = 16
Que ingenuo!
voce deve ter exclamado.
Mas, coloque-se agora no seculo 16, nao era todo mundo que sabia fazer esta conta.
Continuando imersos no seculo 16, vamos la encontrar ale m de alguns raros ma-tematicos, tambem havia dois tipos de profissionais rarıssimos:
• Copiadores, ou escribas, (os digitadores de entao);
• Calculistas, (os programadores da epoca).
Os calculistas criavam tabelas, e os copiadores copiavam estas tabelas para aspoucas bibliotecas existentes. Quando um calculista terminava seus longos calculospreenchendo uma folha, os escribas faziam 20 ou 30 copias da mesma, que devia ser otempo necessario ao calculista para preparar outra folha.
Hoje nos temos computadores e mais abaixo voce vai encontrar uma tabela delogaritmos feita em centesimos de segundos com um programa de computador. Mas,antes de envolver o computador, vamos mostrar um pouco do trabalho paciente doscalculistas para melhorar a fraquıssima tabela que temos acima.
Os habeis calculistas devem ter observado que na primeira coluna da tabela seencontrava uma progressao geometrica de razao 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
e que na segunda coluna havia uma progressao aritmetica: de razao 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
portanto, para melhorar esta tabela, se tinha que encontrar progressoes mais finas quecontivessem as duas anteriores.
Refinando a tabela;Aumentando a precisao da tabela.
Exemplo 48 Uma tabela mais fina que contenha esta acima
x 1√
2 2√
23 4√
25 8√
27 16√
29 32√
211 64log(x) 0 1
21 3
22 5
23 7
24 9
25 11
26
Havia que descobrir um numero r que multiplicado por si proprio n vezes produ-zisse 2 permitindo refinar os valores entre 1 e 2 na primeira coluna e assim prosseguircom as potencias de r para refinar os valores entre 2 e 4 e assim sucessivamente naprimeira coluna.
Depois descobrir a imagem de r para fazer o mesmo na segunda coluna.Temos assim um problema de logaritmos e de progressoes, em conjunto, que vamos
agora resolver.Com esta frase torcemos a historia e vamos assim nos corrigir: temos um problema
de progressoes geome tricas e aritmeticas, em conjunto, para resolver. Deixemos paravoce a analise logica do perı odo e da contradicao nele incluıda. Divirta-se.
Somente um calculista sabia resolver este problema naquela epoca. Hoje temosvarios instrumentos para nos facilitar a vida, mas vamos evitar de usa-los para salientaro trabalho duro dos nossos antepassados.
Para nao sofrer muito, vamos escolher
n = 5
quer dizer que desejamos enxertar uma nova progressao geome trica na progressaogeometrica anterior. No exemplo anterior ja fizemos isto com n = 2.
1 2 41 r r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10
A solucao se encontra na equacao, ou melhor, na correspondencia entre as duascelulas,
2 7→ r5
que produz a seguinte equacao:
r5 = 2 ⇒ r =5√
2
r e a raiz quinta de 2, que tinha que ser descoberto experimentalmente pois nao haviamaquinas de calcular na epoca. Haveria que sair experimentando a multiplicacaosucessiva de numero decimais um pouco maiores que 1 ate encontrar a raiz quinta de2, aproximadamente, que era outro problema mıstico para os nossos antepassados, eate para muita gente de hoje em dia...
Claro, aqui nos vamos usar um programinha de coputador, senao, gastariamos umasemana inteira para descobrir r = 5
√2 com uma precisao aceitavel, coisa que para os
calculistas da Idade Media era questao para um par de horas.Antes vamos citar uma desigualdade, que e facil de ser demonstrada, e que pro-
vavelmente alguns calculistas conheciam, para lhe dar um pouco do sabor do que erafazer calculos quando nao havia a tecnologia que se encontra a nossa disposicao e,naturalmente, aumentar a sua dıvida moral para com os que nos antecederam noslegando as raizes do que disfrutamos hoje.
A desigualdade diz:
a media aritmetica entre dois numeros e maior,ou igual, do que a me dia geometrica entre osmesmos numeros,
a + b
2≥√
ab
Tente demonstrar esta afirmacao, tudo que voce vai precisar e a “equacao dosegundo grau”. Mais a frente faremos a demontracao.
Podemos generalizar esta afirmacao para uma quantidade qualquer de numeros,agora nos interessam cinco, porque nos decidimos pela raiz quinta de 2:
x1+x2+x3+x4+x5
5≥ 5√
x1x2x3x4x5 (6.338)
(x1+x2+x3+x4+x5
5)5 ≥ x1x2x3x4x5 ≈ 2 (6.339)
e agora vamos experimentar com alguns numeros. Uma simples calculadora commemoria pode nos ajudar.
Devemos escolher 5 numeros “candidatos”a serem a raiz quinta de 2. Quer dizerque eles devem ser maiores do que 1 e menores do que 2, (por que?)
Eis o nosso projeto:
• • Vamos repetir a experiencia ate obter um produto que seja menor 2.
• • Pela desigualdade, a me dia aritmetica sera maior do que a me dia geometricaque e uma proposta de raiz;
• • Se a me dia aritmetica for maior do que a raiz quinta de 2 teremos umaaproximacao por falta e outra por excesso.
• • O melhor deste esquema e que, se os numeros utilizados nao forem muitodispersos, a diferenca entre as duas medias e pequena e portanto poderemos teruma otima aproximacao.
Vamos comecar os experimentos com:
1.25; 1.33; 1.4; 1.41; 1.4
vamos usar uma calculadora com 10 memorias das quais vamos usar 7; cinco paraguardar os fatores que estaremos testando, e uma para guardar o produto destesfatores e a setima para guardar a me dia aritmetica dos fatores.
Abaixo a lista dos resutaldos obtidos, em que P e o produto, e M e a me diaaritmetica:
•
x1 = 1.25;x2 = 1.33;x3 = 1.4;x4 = 1.41;x5 = 1.4
M = 1.358 ; P = 4.594485 ≈ 2
•
x1 = 1.25;x2 = 1.25;x3 = 1.25;x4 = 1.25;x5 = 1.25 ;
M = 1.25 ; P = 3.0517578125 ≈ 2
•
x1 = 1.15;x2 = 1.135;x3 = 1.125;x4 = 1.15;x5 = 1.14 ;
M = 1.14P = 1.92508059375 ≈ 2
•
x1 = 1.15;x2 = 1.145;x3 = 1.135;x4 = 1.15;x5 = 1.145;
M = 1.145 ; P = 1.9678976884375 ≈ 2
•
x1 = 1.148;x2 = 1.145;x3 = 1.14735;x4 = 1.1475;x5 = 1.1459;
M = 1.14675 ; P = 1.98309129589694025 ≈ 2
•
x1 = 1.148;x2 = 1.147;x3 = 1.14795;x4 = 1.1478;x5 = 1.14795;
M = 1.14774 ; P = 1.991670409950073902 ≈ 2
•
x1 = 1.149;x2 = 1.149;x3 = 1.14795;x4 = 1.1478;x5 = 1.14895;
M = 1.14854 ; P = 1.9986206930929315395 ≈ 2
•
x1 = 1.1488;x2 = 1.148;x3 = 1.14899;x4 = 1.1489;x5 = 1.14899;
M = 1.148736 ; P = 2.00032720825047469273 ≈ 2
•
x1 = 1.1488;x2 = 1.148;x3 = 1.14898;x4 = 1.1487;x5 = 1.14899;
M = 1.148694 ; P = 1.99996158577245650457 ≈ 2
Vamos aceitar este ultimo resultado. A me dia aritmetica deles e
1.148694
e a raiz quinta de 2 obtida com a calculadora e:
1.1486983549970350068
e vemos que o erro cometido com os calculos de medias fica na 6 casa decimal, portantoum erro menor do que 0.000004.
Observe que no penu ltimo resultado obtivemos um produto maior do que 2 o quenos obrigou a reduzir alguns fatores.
Exercıcio 18 Calculo de raızes
1. Calcule a raiz 7ade 2, usando medias e teste o resultado com uma maquina decalcular.
2. Calcule a raiz 9ade 4, usando medias e teste o resultado com uma maquina decalcular. A calculadora devera ter 11 posicoes de memoria, e a amostra deveser formada de numeros proximos de 1.
Temos assim um metodo experimental para descobrir as raızes de um numero.Como a media aritme tica e maior ou igual do que a geometrica, ela vai nos dar umaaproximacao presumivelmente melhor, (deve ser testada):
M = 1.148694 = r ; (1.148694)5 = 1.99996208783624992043
que vamos considerar uma aproximacao aceitavel. Este e o numero
r = 1.148694
que procuravamos para preencher a tabela, no lado da progressao geometrica.Do outro lado, na progressao arimetica, sera mais facil, ate porque se nao fosse,
os logaritmos nao valeriam a pena. Basta dividir os extremos pelo numero de ter-mos intermediarios que desejamos, n = 5, para encontrar a razao a da progressaoaritmetica:
a =0 + 1
5=
1
5= 0.2
e agora montamos a tabela,
• • de um lado multiplicando sucessivamente por r = 1.148694 a partir de 1;
• • do outro somando sucessivamente d = 0.2 a partir de zero.
x log(x)
1 0
1.148694 0.2
1.319497905636 0.4
1.515699327216639384 0.6
1.74107472297779036056 0.8
1.99996208783624992043 1
2.29734445052497326610 1.2
Acima estamos apresentando um pedaco da tabela, apenas
• do lado da P.A. entre 0 e 1.2 ;
• do lado da P.G. entre 1 e 2.29734445052497326610
Testando, vamos multiplicar dois numeros que se encontrem na tabela, ou queestejam proximo dos que desejamos.
Exemplo 49 A multiplicacao de dois numerosOs dois numeros abaixo nao se encontram na tabela:
1.3150355625 ; 1.72931853064
e queremos multiplica-los. Vamos usar dois numeros que estejam na tabela e que re-presentem uma aproximacao dos numeros que nos interessam. Encontramos na tabela:
1.319497905636 7→ 0.4
1.74107472297779036056 7→ 0.8
e eles correspondem, respectivamente aos logaritmos 0.4, 0.8 Vamos somar os seuslogaritmos: 0.4 + 0.8 = 1.2 que e o logaritmo, (aproximadamente), do resultado:
1.2 7→ 2.29734445052497326610 .
Quer dizer que:
1.3150355625 x 1.72931853064 ≈ 2.29734445052497326610 (6.340)
Se voce tentar com a calculadora esta multiplicacao, vai encontrar
2.274115366681845885
vericando que em nossas contas ha um erro menor do que 0.02 mas, nao se esquecade que tambem na calculadora ha erros e que nos estamos no inıcio da construcao danossa tecnologia.
Voce vai logo ver como podemos garantir que os erros sejam menores, entretanto,erro sempre vai existir.
Se somarmos os logaritmos dos numeros que desejamosmultiplicar, vamos encontrar o logaritmo do resultado, eatraves dele, na tabela, um valor aproximado do produto.
Claro, as contas que fizemos sao muito penosas para serem feitas amao, sobretudohoje, quando elas parecem desnecessarias. Mas, ate ha pouco tempo, este metodoainda era utilizado. Ate 1960, em todas as escolas se usavam tabelas de logaritmo parafazer contas. Maquinas eletro-mecanicas de calcular ja existiam, mas eram caras, aopasso que as tabelas de logaritmo eram baratas e ofereciam resultados, muitas vezes,melhores do que os obtidos com maquinas eletromecanicas.
Observe que os logaritmos reinaram sobre a tecnologia de 1550 a 1960, ou seja por4 seculos, isto lhes garante o direito de um pouco de nossa atencao, sao, sem duvida,um respeitavel assunto de museu.
Com um auxılio de um programa de computador podemos obter 5√
2 com muitomaior precisao, quase instantaneamente, e fazer uma tabela de logaritmos de maiorprecisao. Voce vai encontrar isto mais adiante, inclusive o programa usado.
Exercıcios 30 Medias, desigualdades e progressoes
Uma primeira definicao de logaritmo, para comecar.
Definicao 52 Logaritmo
Vamos chamar de logaritmo, e usar a notacao,
log(x)
aos numeros que se encontram na segunda coluna das tabelas em que estamos fazendoa correspondencia entre progressoes geometricas. Na primeira coluna, as progressoesgeometricas, e na segunda coluna, as progressoes aritmeticas, os logaritmos.
1. (a) Prove que dados um numero positivo x entao
x +1
x≥ 2
(b) Prove que a+b2≤√
ab.
Solucao 2 Uma forma comum de demonstrar esta desigualdade, consiste emprocurar completar o quadrado:
x + 1x≥ 2
x2 + 1 ≥ 2x se x > 0
x2 − 2x + 1 ≥ 0
(x− 1)2 ≥ 0
Como todas as passagens sao equivalentes, a conclusao e que sendo a ultimaverdadeira entao partimos de uma verdade. Demonstramos assim sob a hipotesex > 0. Se x < 0 concluiriamos, como os caculos acima, que (x − 1)2 ≤ 0 que,sendo falso, nos indica que a desigualdade somente e valida quando x > 0.
No livro de Little, Hardy e Polya, Inequalities, podemos encontrar a seguintedemonstracao, que parte da identidade algebrica:
x2 − y2 = (x− y)(x + y) ; x =a + b
2; y =
a− b
2
Dados dois numeros positivos, a, b podemos, sem perda de generalidade conside-rar a > b entao
ab = ( a+b2
)2 − ( a−b2
)2
( a−b2
)2 ≤ ( a+b2
)2
ab = ( a+b2
)2 − ( a−b2
)2 ≤ ( a+b2
)2
ab ≤ ( a+b2
)2
MG(a, b) =√
ab ≤ a+b2
= MA(a, b)
MG(a, b) ≤MA(a, b)
————————————————
2. Um erro logico Pa ginas atras dissemos que na frase
”Temos assim um problema de logaritmos e de progressoes, em conjunto, quevamos agora resolver.”
havia um erro logico. Qual e o erro?
Solucao 3 O erro logico na frase:
”Temos assim um problema de logaritmos e de progressoes, em conjunto, quevamos agora resolver.”
Os logaritmos ainda nao existiam, estavam em contrucao, so haviam progressoes,naquele momento.
————————————————
3. Definimos log como sendo a correspondencia entre duas colunas de dados, umafuncao cujo domınio, por enquanto e difuso... Comecamos com a propriedadefundamental
log(xy) = log(x) + log(y).
Deduza desta propriedade, as seguintes:
(a) log(an) = nlog(a) ; a > 0 ; n ∈ N
(b) log( 1a
= −log(a)
(c) log( ab
= log(a)− log(b)
(d) Se log(a) > 0 entao log( 1a) < 0
(e) log(abc) = log(a) + log(b) + log(c)
(f) log( m√
a) = log(a)m
4. Use a tabela 6.16, pagina 232, para calcular
√2;√
3;√
4;3
2;
5√
2
e teste a precisao dos resultados com uma calculadora.
5. Use a tabela (tab. 6.16), pagina 234 , para calcular
√2;√
3;√
4;3
2;
5√
2
e teste a precisao dos resultados com uma calculadora. Compare com os resulta-dos obtidos na outra tabela, verificando que voce usou dois tipos de logaritmos.
6.13.3 Construindo outro logaritmo
E se lhe dissemos que nao precisaremos calcular nenhuma raiz e-ne sima para construirlogaritmos?
E isto mesmo, basta tomar um numero qualquer muito proximo de 1 que ele ea raiz e-nesima, (para algum n que depois poderemos determinar) de algum numero(que depois vamos saber)...
Nao se assuste com a forma disciplicente com que falamos. Fique certo de que senao se trata de nenhum “discurso” de “politiqueiro” sujo. Apenas se convenca de queum numero bem proximo de 1, maior do que 1, e a raiz enesima de algum numerogrande...
Por exemplo r = 1.0000000000012345 e a raiz enesima de algum numero... bastavoce multiplica-lo por ele mesmo varias vezes, (as calculadoras fazem isto se voceapenas apertar no =), voce podera (ou nao) encontrar um inteiro...
Por exemplo,
(1.0000123)10005 = 1.130953116548
em outras palavras,10005√
1.130953116548 = 1.0000123
e isto ja nos oferece material suficiente para construir uma tabela de logaritmos extre-mamente eficiente:
• Na coluna do x vamos colocar a progressao aritmetica cujo primeiro termo e1
10005sendo tambem este numero a razao da progressao.
• Na coluna log(x) vamos colocar as potencias de 1.0000123 quer dizer uma P.G.de razao 1.0000123 sendo este o primeiro termo.
• Consequentemente o termo de ordem 10005 da P.A. sera 1 e estara em corres-pondencia com o termo de ordem 10005 da P.G. que sera 1.130953116548, querdizer que log(1.130953116548) = 1 e naturalmente esta e a base da nossa tabelade logaritmos.
• Acabamos de descrever a primeira pagina da nossa tabela de logaritmos. Aproxima pagina vai consistir de somar 1 a todos os elementos da coluna do x emultiplicar por 1.130953116548 todos os elementos da coluna do log(x) e assimsucessivamente.
Observacao 33 Determinacao experimental de raizes...
O que dissemos acima pode faze-lo perder horas a fio. Por exemplo, 1.00016932 =2.0000363 quer dizer que voce teria que dar 6932 toques para conseguir 2.0000363.
Depois, veja, com todo o esforco que fizemos, nao encontramos a raiz exata de 2, alinha que aparece em nossa tabela e:
x log(x)
1.99996208783624992043 1
e nos gostariamos que fosse
x log(x)
2 1
Como ja dissemos, tudo o que nos interessa e “duas progressoes”, uma geometrica,com razao multiplicativa r :
1, r, r2, · · · , rn = a
e uma aritmetica, com razao aditiva d :
0, d, 2d, 3d, 4d, · · · , nd.
Se nd 7→ a teremos construido, por acaso , o logaritmo base a.
Acabamos de dizer que anteriormente construimos o logaritmo de base 2. Depoisvoltaremos a esta historia da base.
Nao dissemos grandes novidades, apenas nos liberamos do calculo de uma raizespecificada de um certo numero. Mas ainda existe uma dificuldade psicologica. Nocaso anterior dividimos 1 por n para definirmos as duas progressoes, como faremosagora se nao escolhemos n ?
Total liberdade, novamente. Escolheremos um numero pequeno, agora proximo dezero, para ser a razao da progressao aritme tica.
Se aparecer a linha
x log(x)
N 1
com N ∈ N encontramos, por acaso , a tabela de logaritmos de base N. Se nao
encontrarmos, teremos uma tabela de logaritmos anonimos!Maos a obra com, usando r = 1.01 como razao (multiplicativa) da progressao
geometrica e delta = 0.01 como razao (aditiva) da progressao aritmetica.Nao faremos estes calculos a mao, para isto temos computadores a nossa disposicao.
Vamos escrever abaixo o programa que usaremos para construir a tabela:
delta = 0.01r = 1.01y = 0x =1imprima ”x log(x)”imprima -———————–”## enquanto y for menor que 0.21 repete as linhas abaixo
enquanto (y ¡= 1.1):imprima x,,y ## imprime os dadosy = y + delta ## aumenta o valor de yx = x*r ## aumenta o valor de x
o resultado deste programa e tabela:
x log(x)
----------------------------
1 0
1.01 0.01
1.0201 0.02
1.030301 0.03
1.04060401 0.04
1.0510100501 0.05
1.0615201506 0.06
1.07213535211 0.07
1.08285670563 0.08
1.09368527268 0.09
1.10462212541 0.1
1.11566834667 0.11
1.12682503013 0.12
1.13809328043 0.13
1.14947421324 0.14
1.16096895537 0.15
1.17257864492 0.16
1.18430443137 0.17
1.19614747569 0.18
1.20810895044 0.19
1.22019003995 0.2
1.23239194035 0.21
Podemos fazer um programa um pouco mais sofisticado para obter os dados emuma tabela com varias colunas. O resultado voce pode encontrar na tabela 6.16,pagina 232.
O programa “mais sofisticado” calcula espacos e tabulacoes produzindo uma tabelaarrumadinha como a que voce pode ver. Quando voce estiver dominando programacaopodera fazer algo igual ou muito melhor. O que nos interessa, entretanto aqui nao eprogramacao, mas sim os logaritmos.
6.13.4 Os logaritmos decimais
Analisando a tabela de logaritmos anonimos que construimos antes, vemos um pro-blema grave que os nossos antepassados logo observaram. Se quisermos calcular2.19476752 basta multiplicarmos por dois o seu logaritmo, 2 x 0.79 = 1.58 7→4.8170045 e portanto
2.19476752 = 4.8170045
mas se quisermos calcular o quadrado de 2.2167152 a tabela ja nao mais alcanca.Chegamos ao limite da tabela.
Solucao para o problema: fazer uma tabela mais completa.
Claro, ha outros problemas com que ja nos deparamos, um deles diz respeitoagranularidade da tabela, ou sua precisao. O numero 2.2177152 nao estana tabela,portanto nao podemos fazer nenhuma conta com ele.
Os nossos antepassados encontraram algumas solucoes brilhantes para estes pro-blemas. Vamos descrever uma aqui, outras deixaremos de lado, pois, caso contrario,estaremos, mais do que visitando o museu, construindo novas paredes no predio domuseu e isto pode ser mal compreendido pela seguranca...
Eles (nossos antepassados) pensaram e cismaram:
E, se quando o logaritmo y mudar de unidade, o numero x mudasseuma casa decimal, o ponto flutuante corresse uma casa para tras? (oupara frente!)
A vantagem e que a cada novo inteiro os algarimos na coluna do x se repetiriame apenas o ponto decimal correria para direita. Aı teriamos uma tabela com validademuito maior, veja o exemplo:
x log(x)
2.346676545566 0.3704532326933746
23.46676545566 1.3704532326933746
234.6676545566 2.3704532326933746
e nos poderiamos imediatamente saber:
log(234667.6545566) = 5.3704532326933
log(2346.676545566) = 3.3704532326933746
log(23466.76545566) = 4.3704532326933746
e uma tabela relativamente pequena teria uma utilidade bastante grande porque fa-cilmente a poderiamos extender.
Observacao 34 A maneira “algebrica”de fazer MatematicaEste truque e as potencias de 10
Observe que a invencao de que estamos falando acima tem propriedades interessantes:
23466.76545566 = 10 x 2346.676545566
log(23466.76545566) = log(10) + log(2346.676545566)
log(23466.76545566) = 1 + log(2346.676545566)
quer dizer que estamos falando do “logaritmo base 10”.Observe o me todo que estamos adotando, e assim que se faz matema tica, semprefoi assim que se fez matematica. Analisamos um problema e criamos uma expressao“algebrica” para o que desejamos e vamos manipulando as expressoes na busca deuma saıda.As vezes da certo, descobrimos um teorema, publicamos ruidosamente o resultado.Muitas vezes nao da em nada interessante e evitamos discutir o assunto com osoutros... tem muita matematica ficou silenciosamente na cesta de lixo.
Foi usando este “me todo algebrico”que comecamos a discutir os logaritmos, pro-curavamos uma funcao que tivesse a propriedade:
log(xy) = log(x) + log(y)
para transformar as complicadas multiplicacoes na adicoes que sao mais simples e cai-mos em tabelas que tranformassem progressoes geometricas em progressoes aritmeticas.
Vamos usar outra palavra em lugar de transformar.Vamos dizer que sincronizamos progressoes geometricas e progressoes aritmeticas
fixando a associacao:1 7→ 0.
Usamos a historia da raiz para criarmos dois segmentos de progressoes sincroni-zadas. Esta foi a primeira forma como apareceram os logaritmos com uma “base”definida.
Depois vimos que podiamos nos liberar disto e criar uma multitude de logaritmose criamos logaritmos anonimos simplesmente sincronizando duas progressoes.
Agora queremos encontrar progressoes sincronizadas de uma forma mais poderosa,e isto vai nos levar de volta ao calculo de raizes, que deliberadamente abandonamospara trabalhar com mais liberdade mas ao mesmo tempo chegamos a conclusao queas tabelas de logaritmos assim construidas poderiam ficar enormes e e preciso voltaratras e estrutura-las melhor.
Com o que fizemos inicialmente, ja temos a solucao quase pronta, o que desejamose descobrir r tal que
1, r, r2, r3, · · · , rn = 10
e sincronizar esta progressao com
0, d, 2d, 3d, · · · , nd = 1
porque r2n = 100 e estara sincronizado com 2nd = 2 enfim, a cada nova casa decimal,os logaritmos pulam de uma unidade.
Redescobrimos, assim os logaritmos decimais, ou aindaos logaritmos de base 10.
Como ja resolvemos esta questao antes, sabemos que
r =n√
10
e quanto maior n mais refinada sera a tabela de logaritmos, e, infelizmente tambe m,mais trabalhoso para calcular a raiz e-nesima de 10, entretanto os calculos deixaremospor conta do nosso calculista de mesa, que igual os calculistas arabes de Malba Tahan,calcula silenciosamente, obedientemente, e sem erros... e veja que nao estamos fazendonenhuma sugeira. Estamos construindo os logaritmos de forma autentica, vamos usaaro computador apenas para escrever as progressoes aritme tica e geometrica mais rapidoe com maior precisao. Estamos apenas usando trabalho escravo, coisa comum emnossos dias, o nosso escravo, aqui, e a maquina enquanto outros escravisam sereshumanos ou os simples e doceis animais.
Vamos retomar os nossos calculos de raizes, usando a propriedade das me diasaritmeticas para obter n
√10. Se quisermos ter uma pagina para cada passagem de
inteiro, usando a formatacao da tabela (tab. 6.16), pagina 232, entao teremos queusar n = 160, e portanto teremos que calcular medias com 160 numeros.
Que magico numero, 160 e este?Verifique voce mesmo, quantas colunas tem as tabelas delogaritmos que fizemos, por exemplo a tabela (tab. 6.16),pagina 234 .Quatro colunas, certo?Em cada coluna 40 linhas, que e o que cabe a pagina,certo?Daı 160 = 40 x 4, somente isto. Nenhum misterio.
Mesmo para um habil calculista da Idade Media isto poderia tomar mais de um parde horas, talvez alguns dias. Claro, “naqueles tempos” sempre havia muito “tempo”...podemos entretanto solicitar ao nosso calculista de mesa que fac a o servico, e oresultado pode ser obtido em menos do que um par de segundos:
power(10,1/160)
1.01449520806873610874
e assim, num piscar de olhos sabemos que r = 1.01449520806873610874 que vamosarredondar para r = 1.0144952 porque o calculista exagerou.
Agora usando delta = 1160
no programa “sofisticado” que rodamos anteriormentevamos obter uma nova tabela, (tab. 6.16), pagina 234
Analisando a tabela voce ”poderia”encontrar:
x = 2.0241832 log(x) = 0.30625 (6.341)
x = 20.241806 log(x) = 1.30625 (6.342)
x = 202.41832 log(x) = 2.30625 (6.343)
x = 0.20241832 log(x) = 0.30625− 1 = −0.69375 (6.344)
Voce nao encontrou os numeros citados acima (com excecao de dois casos) porquea tabela tem uma amplidao reduzida:
x ∈ [1, 98.570940] ; log(x) ∈ [0, 1.99375]
Quando um numero apenas tiver o “ponto flutuante” deslocado de uma casa, relati-vamente a outro, o seu logaritmo decimal difere de uma unidade, relativamente ao dooutro.
Ou ainda:
log(x) = y ⇒ log(10x) = y + 1 ; log(100x) = y + 2 . . .
Com isto, uma tabela de logaritmos bem refinada, com x variando entre os nu meros1 e 100 sera util para fazer muitas operacoes, como e o caso da tabela (tab. 6.16),pagina 234
Observe, tambem que o numero x = 10 nao aparece na tabela, quem aparece e9.9999872. Isto se deve a erros de arrendondamento, mas 9.9999872 e praticamente10. Poderiamos ter editado a tabela de modo que aparecesse 10 em lugar de 9.9999872mas aı, voce, leitor, estaria sendo enganado.
Quer dizer que (tab. 6.16), pagina 234 e uma tabela de logaritmos ”quase deci-mais”... Use o programa log tabela.py para construir sua tabela de logaritmos comprecisao arbitraria, (escolhida por voce), e com alcance que voce mesmo ira determi-nar, seria certamente um bom artigo para feiras de artesanato, talvez ninguem queiracomprar, mas ira, certamente, chamar atencao.
6.13.5 A base de um logaritmo
Por diversas vezes fizemos referencia ao fato de que ao encontramos, (se encontrarmos),a linha:
x log x
a 1.0
entao diremos que se trata da tabela do logaritmo na base a.
A tabela (tab.6.16 ), pagina 234, e uma tabela de logaritmos decimais, ou logarit-mos de base 10.
Observacao 35 Precisao nas tabelas de logaritmoObserve o artigo indefinido na frase anterior e em geral quando falamosde uma tabela de logaritmos.Basta escolher outro valor para n e teremos outra tabela de logaritmosdecimais.Este outra tabela e uma expressao perigosa. Haveria entao muitoslogaritmos decimais?A reposta e “nao”. O que pode haver e diversas tabelas com maior oumenor precisao.O valor de n e que determina quanto a tabela e fina. Com um maiorvalor de n, teremos mais dados na tabela que sera entao mais perfeita.Dizemos que a granularidade da tabela e menor.Observe ainda que isto nao quer dizer que haja varios logaritmos de-cimais. Apenas quer dizer que podemos fazer tabelas mais precisas di-minuindo a granularidade das mesmas, (ou equivalentemente, aumen-tando o ındice da raiz calculada r = n
√10).
Os logaritmos de base a sao designados por y = loga(x) que se le:
“y e o logaritmo base a de x.”
Na tabela de logaritmos base a poderemos encontrar (se ela for suficientementefina...)
x logx
a 1.0a2 2.0a3 3.0
. . .an n
que justifica a denominacao de “base a” para estes logaritmos. Ja vimos que na tabelade logaritmos decimais temos
x logx
10 1.0100 2.01000 3.0
. . . . . .10n n
Estamos em condicoes agora de descrever varias propriedades dos logaritmos. Va-mos nos fixar nos logaritmos decimais, por enquanto, depois veremos que e facil trans-ferir as propriedades para qualquer outro logaritmo.
Relembrando, um logaritmo e uma funcao que associa os termos de uma progressaogeometrica:
1
10, . . . , 1, . . . , 10, . . . , 100, . . .
com os termos de uma progressao aritmetica
−1, . . . , 0, . . . , 1, . . . , 2, . . .
e agora no caso dos logaritmos decimais uma propriedade particular permite que quefiquemos apenas com um pedacao desta associacao:
1, . . . , 10
com os termos de uma progressao aritmetica
0, . . . , 1
porque o restante podemos deduzir, (e perder precisao...), acrescentando uma unidadeaparte inteira do logaritmo.
A coluna da progressao geome trica e obtida multiplicativamente, o “primeirotermo” e 1. Mas tambem podemos “andar” para traz indefinidamente, dividindo.
. . . 0.01, . . . , 0.1 . . . 1.
Dividindo podemos obter nuagu meros cada vez menores, nos aproximar indefini-damente de zero, mas nunca obter numeros negativos.
Mas quando estivermos abaixo de 1, na progressao geometrica, isto vai correspon-der a numeros negativos na coluna da progressao aritmetica:
. . .− 2, . . . ,−1, . . . , 1
Vemos assim que o domınio se constitue de qualquer numero positivo: R+ enquantoque o conjunto de valores pode ser qualquer numero real, positivo ou negativo: R. Querdizer que
log10 : R+ −→ R
e o formato da definicao do log10.
Teorema 68 Domınio e contra-domınio do Logaritmo decimal
O domınio da funcao logaritmo decimal e o conjunto dos numeros reais positivose o contra-domınio e o conjunto dos numeros reais.
6.14 Grafico de uma funcao logaritmica
Na figura (fig. 6.16)
e = 2.71828182845904523536 . . . ; e /∈ Q
6.15 Funcao inversa de uma funcao logaritmica
Vamos analisar se existe uma inversa de log10 . Os argumentos que estamos usandonos indicam que sim. Observe que a seguinte relacao e falsa:
a 6= b e log(a) = log(b)
porque elementos diferentes na progressoes geometrica correspondem a elementos di-ferentes na progressao aritmetica. Noa importa a granularidade escolhida.
Isto nos permite afirmar que podemos inverter a seta na definicao de funcao.Vejamos que funcao vamos ter ao invertermos a seta: Agora no conjunto de va-
lores temos as pote ncias de 10, as potencias inteiras e aquelas intermediarias que agranularidade de nossa tabela permitir. Consulte a tabela (tab. 6.16), pagina 234 ,na segunda folha, onde esta, no comeco 9.9999872 ≈ 10 e o 10, sem preconceitos.
Entao voce tem:1 7→ 10 ≡ 101 = 10
na proxima celula da tabela voce tem:
1.00625 7→ 10.144939 ≡ 101.00625 = 10.144939
quer dizer que a inversa da funcao logaritmo decimal e funcao exponencial de base 10.
Teorema 69 Inversa de log10
A inversa da funcao log10 e a funcao exponencial de base 10.
Voce ve assim a razao da denominacao de base para caracterizar os logaritmos.A funcao x 7→ log10(x) e a funcao inversa de x 7→ 10x.A funcao x 7→ log2(x) e a funcao inversa de x 7→ 2x.Quer dizer, se voce quiser calcular
10√
2
voce deve procurar na tabela de logaritmos um numero proximo de√
2 na coluna dolog, quer dizer, na coluna dos expoentes, e depois olhar para o outro lado. Na tabelaque temos voce pode encontrar 1.4125 ≈ logo
10√
2 ≈ 25.852301.
Como, para qualquer numero positivo,
a0 = 1
entao,loga(1) = 0.
Teorema 70 Ponto fixo da famılia dos logaritmos O grafico de qualquer logaritmopassa no ponto (1, 0).
Foi por esta razao que comecamos sincronizando as tabelas de progressoes aritmeticas e geometricas usando o zero, no lado da progressao aritme tica (logaritmo) e 1no lado da progressao geometrica.
log10(2x) = xlog10(2)
6.15.1 Troca de base do logaritmo
Prometemos que iriamos mostrar como poderiamos explicar qualquer logaritmo a par-tir do log10.
Vamos ver uma forma simples de trocar a “base” do logaritmo. Para isto vamosconsiderar a tabela do log10. Nela escolha um numero qualquer a na coluna do x, daprogressao geometrica. Experimente agora e escolha a.
Do outro lado voce tem log10(a). Existe um numero K pelo qual podemos multi-plicar a coluna da progressao aritmetica (essas coisas a gente faz com um computador,nao e a mao...) de modo que
Klog10(a) = 1.
Tudo que temos que fazer e resolver a equacao acima:
K =1
log10(a)
e como os termos da progressao aritmetica representam log10(x) o que temos agora e:
Klog10(x) =log10(x)
log10(a).
Em particular, ao lado de a aparece do outro lado, na coluna da progressaoaritmetica multiplicada por K = 1
log10(a), aparece
log10(a)
log10(a)= 1.
x Klog10x
a 1.0
logo, como ja definimos isto antes, esta nova tabela e a tabela do loga(x).
Quer dizer que multiplicamos: Klog10(x) = log10(x)log10(a)
para obtermos loga(x). Istonos da a formula:
Teorema 71 Troca de base
loga(x) =log10(x)
log10(a).
Exercıcios 31 Propriedades dos logaritmos
1. variacao dos logaritmos
2. Fa
3.
6.16 Funcao exponencial
De tudo que ja discutimos sobre logaritmos e exponenciais ficou certamentezanzando uma idea que precisa ser corrigida. Existe uma multidao de loga-ritmos (e consequentemente de exponenciais) e estas funcoes nada tem o quever umas com as outras.Alguma coisa esta errado! Tem muita funcao logaritmo, mas todas tem o quever umas com as outras e a cada funcao logaritmo corresponde uma funcaoexponencial.
A primeira coisa que vamos corrigir e historia de logaritmo ano nimo.Nao existem logaritmos anonimos, todo logaritmo tem uma base, o que pode ocor-
rer e que a base nao represente nada para nos. Seja um numero sem personalidade,pelo menos aparentemente.
Quando a base e um numero inteiro, chama a atencao.Dependendo da escolha da razao d para a progressao aritmetica, o numero 1 pode
nao pertencer a imagem, mas pode haver um numero arbitrariamente proximo daimagem para uma tabela mais fina do mesmo logaritmo e e isto que conta.
As progressoes aritmeticas sao sempre crescentes ou decrescentes, a nao ser que arazao seja nula e estas nao nos servem. As progressoes geometricas sao:
• crescentes se o primeiro termo for positivo e a razao maior do que 1;
• descrescentes se o primeiro termo for positivo e a razao menor do que 1.
Hipotese 3 Progressoes crescentesPor enquanto, para simplificar a teoria, vamos trabalhar exclusivamente com pro-
gressoes aritme ticas e geometricas crescentes, depois veremos de maneira simplescomo se podem descrever todos os casos a partir destes.
Entao, por hipotese, r > 1.
Uma consequencia desta hipotese e que os logaritmos sao funcoes crescentes, porquea imagem cresce junto com os elementos do domı nio. E o domınio e crescente por queassumimos a hipotese de a razao da progressao geometrica e maior do que 1, logo abase e maior do que 1. Vamos resumir este resultado no teorema:
Teorema 72 Logaritmos crescentesSe a base a for maior do que 1 entao loga(x) e uma funcao crescente.
Com a hipotese (hip. 3), podemos sintetizar o que temos no seguinte quadro:
• Todos os logaritmos passam no ponto (1, 0);
• y = loga(x) passa no ponto (a, 1);
• y = logb(x) passa no ponto (b, 1);
Como, por hipotese, (hip. 3), entao, para todo x 6= 1 ⇒ log(x) 6= 0 paraqualquer que seja a base. Isto nos permite escrever, considerando duas bases quaisquer:
logb(x) = Kloga(x)
Se dermos um valor qualquer para x vemos que K e uma constante:
K =logb(b)
loga(b)=
1
loga(b).
Quer dizer que, qualquer que seja o logaritmo, ele pode ser escrito como ummultiplo de outro. Por exemplo, todo logaritmo e multiplo do logaritmo decimal:
Teorema 73 Unicidade do logaritmo
Dado uma base b > 1 qualquer,
logb(x) =loga(x)
loga(b)(6.345)
em particular, logb(x) = log10(x)log10(b)
.
Esta formula ja nos permite uma generalizacao das restricoes pela hipotese (hip.3). Podemos falar agora de base menor do que 1, (ainda sempre positiva).
Se 0 < b < 1 entao
logb(x) =log10(x)
log10(b)
e temos no segundo membro o logaritmo log10(b) em que b < 1.
Quanto vale loga(b) se b < 1 ?
Ate agora sempre insistimos nas construcoes de logaritmos com progressoes aritmeticasse originando com o numero 0. Mas nada nos impede em continuar a tabela de loga-ritmos para tras do zero continuando com a outra coluna para aquem de 1:
• na coluna do log vamos subtraindo indefinidamente razao positiva d, obtendoagora numeros negativos;
• na coluna do x vamos dividindo indefinidamente pela razao r > 1 obtendonumeros positivos cada vez menores.
Isto nos mostra que o domınio da funcao log e o conjunto de todos os numerospositivos e a imagem e o conjunto de todos os numeros reais. Se a base a for maiordo que 1 como ate agora estamos mantendo, ver hipotese (hip. 3), entao
b < a ⇒ loga(b) < 0.
Nos temos um simbolismo para caracterizar isto:
a > 1−∞ < loga(x) <∞.
Dissemos um “simbolismo” porque ∞ nao e um numero, e o que esta escritoacima apenas diz que loga(x) descresce indefinidamente, quando x decrescer para 0 ecresce indefinidamente, quando x crescer indefinidamente. Esquematicamente temosa variacao do logaritmo, quando a base a for maior do que 1:
Variacao do logaritmo; base a maior do que 1x 0 1 ∞
loga(x) −∞ 0 ∞
Retomando a formula (eq. 6.345), pagina 230, temos:
b < 1 ⇒ logb(x) =log10(x)
log10(b)
e como b < 1 ⇒ log10(b) < 0 entao logb(x), log10(x) tem sinais diferentes, onde umfor positivo, o outro sera negativo. Isto produz a seguinte tabela de variacao para oslogaritmos quando a base for menor do que 1:
Variacao do logaritmo; base a menor do que 1x 0 1 ∞
loga(x) ∞ 0 −∞
Isto nos permitiria fazer um esboco grafico da curva do logaritmo (vamos fazerdiversos esbocos graficos cada vez melhores, a medida que as informacoes forem ficandomais precisas):
A figura (fig. 6.17), pagina 242 representa algumas ideias que ja discutimos:
Justificativas para o desenho:
• A imagem do logaritmo e uma progressao aritmetica, cresce portanto, mas nodomınio esta uma progressao geometrica, de base maior do que 1, que crescemuito mais rapido, logo a curva cresce cada vez menos do que uma reta.
• No intervalo (0, 1) a progressao aritmetica descresce indefinidamente e o domınioe o intervalo (0, 1) logo o grafico tem que se aproximar do eixo OY assintotica-mente.
Podemos melhorar o grafico indicando alguns pontos conhecidos. Vamos para istofazer o grafico de y = log2(x).
Sabemos y = log2(x) assume valores inteiros nas potencia inteiras de 2:
(1
2,−1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), . . .
A figura (fig. 6.18), pagina 243 com os pontos acima marcados em destaque.Conhecemos os valores de y = log2(x) em todas as potencias inteiras de dois. Nestespontos o valor e um inteiro.
Como qualquer outro logaritmo e um multiplo de y = log2(x), toda curva lo-garıtmica vai ser semelhante a esta, do log2.
x log x x log x x log x x log x1 0 1.0004939 0.00041 1.0009880 0.00081 1.0014824 0.001211.0000123 1e-05 1.0005062 0.00042 1.0010004 0.00082 1.0014948 0.001221.0000246 2e-05 1.0005186 0.00043 1.0010127 0.00083 1.0015072 0.001231.0000370 3e-05 1.0005309 0.00044 1.0010251 0.00084 1.0015195 0.001241.0000493 4e-05 1.0005433 0.00045 1.0010375 0.00085 1.0015319 0.001251.0000617 5e-05 1.0005556 0.00046 1.0010498 0.00086 1.0015443 0.001261.0000740 6e-05 1.0005680 0.00047 1.0010622 0.00087 1.0015566 0.001271.0000864 7e-05 1.0005803 0.00048 1.0010745 0.00088 1.0015690 0.001281.0000987 8e-05 1.0005927 0.00049 1.0010869 0.00089 1.0015813 0.001291.0001111 9e-05 1.0006050 0.0005 1.0010993 0.0009 1.0015937 0.00131.0001234 0.0001 1.0006174 0.00051 1.0011116 0.00091 1.0016061 0.001311.0001358 0.00011 1.0006297 0.00052 1.0011240 0.00092 1.0016184 0.001321.0001481 0.00012 1.0006421 0.00053 1.0011363 0.00093 1.0016308 0.001331.0001604 0.00013 1.0006544 0.00054 1.0011487 0.00094 1.0016432 0.001341.0001728 0.00014 1.0006668 0.00055 1.0011610 0.00095 1.0016555 0.001351.0001851 0.00015 1.0006792 0.00056 1.0011734 0.00096 1.0016679 0.001361.0001975 0.00016 1.0006915 0.00057 1.0011858 0.00097 1.0016803 0.001371.0002098 0.00017 1.0007039 0.00058 1.0011981 0.00098 1.0016926 0.001381.0002222 0.00018 1.0007162 0.00059 1.0012105 0.00099 1.0017050 0.001391.0002345 0.00019 1.0007286 0.0006 1.0012228 0.001 1.0017174 0.00141.0002469 0.0002 1.0007409 0.00061 1.0012352 0.00101 1.0017297 0.001411.0002592 0.00021 1.0007533 0.00062 1.0012476 0.00102 1.0017421 0.001421.0002716 0.00022 1.0007656 0.00063 1.0012599 0.00103 1.0017545 0.001431.0002839 0.00023 1.0007780 0.00064 1.0012723 0.00104 1.0017668 0.001441.0002963 0.00024 1.0007903 0.00065 1.0012846 0.00105 1.0017792 0.001451.0003086 0.00025 1.0008027 0.00066 1.0012970 0.00106 1.0017916 0.001461.0003210 0.00026 1.0008150 0.00067 1.0013094 0.00107 1.0018039 0.001471.0003333 0.00027 1.0008274 0.00068 1.0013217 0.00108 1.0018163 0.001481.0003457 0.00028 1.0008398 0.00069 1.0013341 0.00109 1.0018287 0.001491.0003580 0.00029 1.0008521 0.0007 1.0013465 0.0011 1.0018410 0.00151.0003704 0.0003 1.0008645 0.00071 1.0013588 0.00111 1.0018534 0.001511.0003827 0.00031 1.0008768 0.00072 1.0013712 0.00112 1.0018658 0.001521.0003951 0.00032 1.0008892 0.00073 1.0013835 0.00113 1.0018781 0.001531.0004074 0.00033 1.0009015 0.00074 1.0013959 0.00114 1.0018905 0.001541.0004198 0.00034 1.0009139 0.00075 1.0014083 0.00115 1.0019029 0.001551.0004321 0.00035 1.0009262 0.00076 1.0014206 0.00116 1.0019152 0.001561.0004445 0.00036 1.0009386 0.00077 1.0014330 0.00117 1.0019276 0.001571.0004568 0.00037 1.0009510 0.00078 1.0014453 0.00118 1.0019400 0.001581.0004692 0.00038 1.0009633 0.00079 1.0014577 0.00119 1.0019524 0.001591.0004815 0.00039 1.0009757 0.0008 1.0014701 0.0012 1.0019647 0.0016
Tabela 6.1: Logaritmos anonimos
x log x x log x x log x x log x1.0005062 0.00041 1.0010004 0.00082 1.0014948 0.00122 1.0019895 0.001621.0005186 0.00042 1.0010127 0.00083 1.0015072 0.00123 1.0020018 0.001631.0005309 0.00043 1.0010251 0.00084 1.0015195 0.00124 1.0020142 0.001641.0005433 0.00044 1.0010375 0.00085 1.0015319 0.00125 1.0020266 0.001651.0005556 0.00045 1.0010498 0.00086 1.0015443 0.00126 1.0020389 0.001661.0005680 0.00046 1.0010622 0.00087 1.0015566 0.00127 1.0020513 0.001671.0005803 0.00047 1.0010745 0.00088 1.0015690 0.00128 1.0020637 0.001681.0005927 0.00048 1.0010869 0.00089 1.0015813 0.00129 1.0020760 0.001691.0006050 0.00049 1.0010993 0.0009 1.0015937 0.0013 1.0020884 0.00171.0006174 0.0005 1.0011116 0.00091 1.0016061 0.00131 1.0021008 0.001711.0006297 0.00051 1.0011240 0.00092 1.0016184 0.00132 1.0021132 0.001721.0006421 0.00052 1.0011363 0.00093 1.0016308 0.00133 1.0021255 0.001731.0006544 0.00053 1.0011487 0.00094 1.0016432 0.00134 1.0021379 0.001741.0006668 0.00054 1.0011610 0.00095 1.0016555 0.00135 1.0021503 0.001751.0006792 0.00055 1.0011734 0.00096 1.0016679 0.00136 1.0021626 0.001761.0006915 0.00056 1.0011858 0.00097 1.0016803 0.00137 1.0021750 0.001771.0007039 0.00057 1.0011981 0.00098 1.0016926 0.00138 1.0021874 0.001781.0007162 0.00058 1.0012105 0.00099 1.0017050 0.00139 1.0021998 0.001791.0007286 0.00059 1.0012228 0.001 1.0017174 0.0014 1.0022121 0.00181.0007409 0.0006 1.0012352 0.00101 1.0017297 0.00141 1.0022245 0.001811.0007533 0.00061 1.0012476 0.00102 1.0017421 0.00142 1.0022369 0.001821.0007656 0.00062 1.0012599 0.00103 1.0017545 0.00143 1.0022493 0.001831.0007780 0.00063 1.0012723 0.00104 1.0017668 0.00144 1.0022616 0.001841.0007903 0.00064 1.0012846 0.00105 1.0017792 0.00145 1.0022740 0.001851.0008027 0.00065 1.0012970 0.00106 1.0017916 0.00146 1.0022864 0.001861.0008150 0.00066 1.0013094 0.00107 1.0018039 0.00147 1.0022987 0.001871.0008274 0.00067 1.0013217 0.00108 1.0018163 0.00148 1.0023111 0.001881.0008398 0.00068 1.0013341 0.00109 1.0018287 0.00149 1.0023235 0.001891.0008521 0.00069 1.0013465 0.0011 1.0018410 0.0015 1.0023359 0.00191.0008645 0.0007 1.0013588 0.00111 1.0018534 0.00151 1.0023482 0.001911.0008768 0.00071 1.0013712 0.00112 1.0018658 0.00152 1.0023606 0.001921.0008892 0.00072 1.0013835 0.00113 1.0018781 0.00153 1.0023730 0.001931.0009015 0.00073 1.0013959 0.00114 1.0018905 0.00154 1.0023854 0.001941.0009139 0.00074 1.0014083 0.00115 1.0019029 0.00155 1.0023977 0.001951.0009262 0.00075 1.0014206 0.00116 1.0019152 0.00156 1.0024101 0.001961.0009386 0.00076 1.0014330 0.00117 1.0019276 0.00157 1.0024225 0.001971.0009510 0.00077 1.0014453 0.00118 1.0019400 0.00158 1.0024349 0.001981.0009633 0.00078 1.0014577 0.00119 1.0019524 0.00159 1.0024472 0.001991.0009757 0.00079 1.0014701 0.0012 1.0019647 0.0016 1.0024596 0.0021.0009880 0.0008 1.0014824 0.00121 1.0019771 0.00161 1.0024720 0.00201
Tabela 6.2: Logaritmos anonimos - continuacao
x log x x log x x log x x log x1 0 1.7782788 0.25 3.1622756 0.5 5.6234078 0.751.0144952 0.00625 1.8040553 0.25625 3.2081134 0.50625 5.7049203 0.756251.0292005 0.0125 1.8302054 0.2625 3.2546157 0.5125 5.7876142 0.76251.0441189 0.01875 1.8567346 0.26875 3.3017920 0.51875 5.8715068 0.768751.0592536 0.025 1.8836484 0.275 3.3496521 0.525 5.9566155 0.7751.0746077 0.03125 1.9109522 0.28125 3.3982060 0.53125 6.0429578 0.781251.0901844 0.0375 1.9386519 0.2875 3.4474637 0.5375 6.1305517 0.78751.1059868 0.04375 1.9667530 0.29375 3.4974353 0.54375 6.2194153 0.793751.1220183 0.05 1.9952615 0.3 3.5481314 0.55 6.3095670 0.81.1382822 0.05625 2.0241832 0.30625 3.5995622 0.55625 6.4010254 0.806251.1547818 0.0625 2.0535242 0.3125 3.6517386 0.5625 6.4938096 0.81251.1715206 0.06875 2.0832904 0.31875 3.7046713 0.56875 6.5879386 0.818751.1885021 0.075 2.1134881 0.325 3.7583712 0.575 6.6834321 0.8251.2057296 0.08125 2.1441235 0.33125 3.8128496 0.58125 6.7803098 0.831251.2232069 0.0875 2.1752030 0.3375 3.8681176 0.5875 6.8785917 0.83751.2409376 0.09375 2.2067331 0.34375 3.9241867 0.59375 6.9782983 0.843751.2589252 0.1 2.2387201 0.35 3.9810686 0.6 7.0794501 0.851.2771736 0.10625 2.2711708 0.35625 4.0387750 0.60625 7.1820682 0.856251.2956865 0.1125 2.3040919 0.3625 4.0973179 0.6125 7.2861737 0.86251.3144677 0.11875 2.3374901 0.36875 4.1567093 0.61875 7.3917882 0.868751.3335212 0.125 2.3713725 0.375 4.2169616 0.625 7.4989337 0.8751.3528508 0.13125 2.4057460 0.38125 4.2780873 0.63125 7.6076322 0.881251.3724607 0.1375 2.4406178 0.3875 4.3400991 0.6375 7.7179064 0.88751.3923548 0.14375 2.4759951 0.39375 4.4030097 0.64375 7.8297790 0.893751.4125372 0.15 2.5118851 0.4 4.4668322 0.65 7.9432732 0.91.4330122 0.15625 2.5482954 0.40625 4.5315798 0.65625 8.0584125 0.906251.4537840 0.1625 2.5852334 0.4125 4.5972660 0.6625 8.1752208 0.91251.4748569 0.16875 2.6227069 0.41875 4.6639042 0.66875 8.2937223 0.918751.4962353 0.175 2.6607236 0.425 4.7315085 0.675 8.4139415 0.9251.5179235 0.18125 2.6992913 0.43125 4.8000926 0.68125 8.5359032 0.931251.5399261 0.1875 2.7384181 0.4375 4.8696709 0.6875 8.6596329 0.93751.5622476 0.19375 2.7781120 0.44375 4.9402578 0.69375 8.7851560 0.943751.5848927 0.2 2.8183813 0.45 5.0118678 0.7 8.9124986 0.951.6078661 0.20625 2.8592343 0.45625 5.0845158 0.70625 9.0416870 0.956251.6311724 0.2125 2.9006794 0.4625 5.1582169 0.7125 9.1727481 0.96251.6548166 0.21875 2.9427254 0.46875 5.2329863 0.71875 9.3057089 0.968751.6788035 0.225 2.9853808 0.475 5.3088395 0.725 9.4405970 0.9751.7031381 0.23125 3.0286545 0.48125 5.3857922 0.73125 9.5774403 0.981251.7278254 0.2375 3.0725554 0.4875 5.4638603 0.7375 9.7162673 0.98751.7528706 0.24375 3.1170927 0.49375 5.5430601 0.74375 9.8571065 0.99375
Tabela 6.3: Logaritmos decimais
x log x x log x x log x x log x9.9999872 1.0 17.782765 1.25 31.622716 1.5 56.234007 1.7510.144939 1.00625 18.040530 1.25625 32.081093 1.50625 57.049130 1.7562510.291992 1.0125 18.302031 1.2625 32.546115 1.5125 57.876069 1.762510.441176 1.01875 18.567323 1.26875 33.017878 1.51875 58.714994 1.7687510.592523 1.025 18.836460 1.275 33.496478 1.525 59.566079 1.77510.746064 1.03125 19.109498 1.28125 33.982017 1.53125 60.429502 1.7812510.901830 1.0375 19.386494 1.2875 34.474593 1.5375 61.305439 1.787511.059854 1.04375 19.667505 1.29375 34.974309 1.54375 62.194074 1.7937511.220169 1.05 19.952590 1.3 35.481268 1.55 63.095589 1.811.382808 1.05625 20.241806 1.30625 35.995577 1.55625 64.010173 1.8062511.547804 1.0625 20.535215 1.3125 36.517340 1.5625 64.938013 1.812511.715191 1.06875 20.832878 1.31875 37.046666 1.56875 65.879302 1.8187511.885006 1.075 21.134854 1.325 37.583665 1.575 66.834236 1.82512.057281 1.08125 21.441208 1.33125 38.128447 1.58125 67.803012 1.8312512.232054 1.0875 21.752003 1.3375 38.681127 1.5875 68.785830 1.837512.409360 1.09375 22.067302 1.34375 39.241817 1.59375 69.782894 1.8437512.589236 1.1 22.387172 1.35 39.810635 1.6 70.794411 1.8512.771719 1.10625 22.711679 1.35625 40.387699 1.60625 71.820590 1.8562512.956848 1.1125 23.040889 1.3625 40.973126 1.6125 72.861644 1.862513.144660 1.11875 23.374872 1.36875 41.567040 1.61875 73.917788 1.8687513.335195 1.125 23.713695 1.375 42.169563 1.625 74.989242 1.87513.528491 1.13125 24.057430 1.38125 42.780819 1.63125 76.076226 1.8812513.724589 1.1375 24.406147 1.3875 43.400935 1.6375 77.178966 1.887513.923530 1.14375 24.759919 1.39375 44.030041 1.64375 78.297690 1.8937514.125354 1.15 25.118819 1.4 44.668265 1.65 79.432631 1.914.330104 1.15625 25.482921 1.40625 45.315740 1.65625 80.584023 1.9062514.537822 1.1625 25.852301 1.4125 45.972601 1.6625 81.752104 1.912514.748550 1.16875 26.227036 1.41875 46.638983 1.66875 82.937117 1.9187514.962334 1.175 26.607202 1.425 47.315025 1.675 84.139308 1.92515.179216 1.18125 26.992879 1.43125 48.000865 1.68125 85.358924 1.9312515.399241 1.1875 27.384146 1.4375 48.696647 1.6875 86.596218 1.937515.622457 1.19375 27.781084 1.44375 49.402515 1.69375 87.851448 1.9437515.848907 1.2 28.183777 1.45 50.118614 1.7 89.124872 1.9516.078640 1.20625 28.592306 1.45625 50.845094 1.70625 90.416755 1.9562516.311703 1.2125 29.006758 1.4625 51.582104 1.7125 91.727364 1.962516.548145 1.21875 29.427216 1.46875 52.329797 1.71875 93.056970 1.9687516.788014 1.225 29.853770 1.475 53.088327 1.725 94.405850 1.97517.031359 1.23125 30.286506 1.48125 53.857853 1.73125 95.774282 1.9812517.278232 1.2375 30.725515 1.4875 54.638534 1.7375 97.162549 1.987517.528684 1.24375 31.170887 1.49375 55.430530 1.74375 98.570940 1.99375
Tabela 6.4: Logaritmos decimais - continuacao
Tabela 6.5: Tabela de logaritmos falsosx log x x log x x log x x log x1 0.1 1.2996305 0.225 1.6890395 0.35 2.1951273 0.4751.0065735 0.103125 1.3081736 0.228125 1.7001424 0.353125 2.2095570 0.4781251.0131902 0.10625 1.3167729 0.23125 1.7113183 0.35625 2.2240816 0.481251.0198504 0.109375 1.3254287 0.234375 1.7225677 0.359375 2.2387016 0.4843751.0265544 0.1125 1.3341415 0.2375 1.7338910 0.3625 2.2534177 0.48751.0333025 0.115625 1.3429115 0.240625 1.7452888 0.365625 2.2682306 0.4906251.0400949 0.11875 1.3517391 0.24375 1.7567615 0.36875 2.2831409 0.493751.0469320 0.121875 1.3606248 0.246875 1.7683095 0.371875 2.2981491 0.4968751.0538140 0.125 1.3695689 0.25 1.7799336 0.375 2.3132560 0.51.0607413 0.128125 1.3785717 0.253125 1.7916340 0.378125 2.3284622 0.5031251.0677140 0.13125 1.3876338 0.25625 1.8034113 0.38125 2.3437684 0.506251.0747327 0.134375 1.3967554 0.259375 1.8152660 0.384375 2.3591752 0.5093751.0817974 0.1375 1.4059370 0.2625 1.8271987 0.3875 2.3746833 0.51251.0889087 0.140625 1.4151790 0.265625 1.8392098 0.390625 2.3902933 0.5156251.0960666 0.14375 1.4244817 0.26875 1.8512999 0.39375 2.4060059 0.518751.1032716 0.146875 1.4338455 0.271875 1.8634694 0.396875 2.4218218 0.5218751.1105240 0.15 1.4432709 0.275 1.8757190 0.4 2.4377417 0.5251.1178240 0.153125 1.4527583 0.278125 1.8880490 0.403125 2.4537662 0.5281251.1251721 0.15625 1.4623080 0.28125 1.9004602 0.40625 2.4698961 0.531251.1325684 0.159375 1.4719205 0.284375 1.9129528 0.409375 2.4861320 0.5343751.1400133 0.1625 1.4815962 0.2875 1.9255277 0.4125 2.5024746 0.53751.1475072 0.165625 1.4913355 0.290625 1.9381851 0.415625 2.5189246 0.5406251.1550504 0.16875 1.5011388 0.29375 1.9509258 0.41875 2.5354828 0.543751.1626431 0.171875 1.5110065 0.296875 1.9637503 0.421875 2.5521498 0.5468751.1702858 0.175 1.5209392 0.3 1.9766590 0.425 2.5689264 0.551.1779787 0.178125 1.5309371 0.303125 1.9896526 0.428125 2.5858133 0.5531251.1857221 0.18125 1.5410007 0.30625 2.0027316 0.43125 2.6028112 0.556251.1935165 0.184375 1.5511305 0.309375 2.0158966 0.434375 2.6199208 0.5593751.2013621 0.1875 1.5613269 0.3125 2.0291481 0.4375 2.6371429 0.56251.2092592 0.190625 1.5715903 0.315625 2.0424867 0.440625 2.6544782 0.5656251.2172083 0.19375 1.5819211 0.31875 2.0559130 0.44375 2.6719274 0.568751.2252097 0.196875 1.5923199 0.321875 2.0694276 0.446875 2.6894913 0.5718751.2332636 0.2 1.6027870 0.325 2.0830310 0.45 2.7071708 0.5751.2413705 0.203125 1.6133230 0.328125 2.0967238 0.453125 2.7249664 0.5781251.2495306 0.20625 1.6239282 0.33125 2.1105067 0.45625 2.7428790 0.581251.2577444 0.209375 1.6346031 0.334375 2.1243801 0.459375 2.7609093 0.5843751.2660122 0.2125 1.6453482 0.3375 2.1383448 0.4625 2.7790582 0.58751.2743344 0.215625 1.6561639 0.340625 2.1524012 0.465625 2.7973264 0.5906251.2827112 0.21875 1.6670507 0.34375 2.1665500 0.46875 2.8157146 0.593751.2911431 0.221875 1.6780091 0.346875 2.1807919 0.471875 2.8342238 0.596875
Tabela 6.6: Tabela de logaritmos falsos - continuacaox log x x log x x log x x log x2.8528546 0.6 3.7076569 0.725 4.8185842 0.85 6.2623792 0.9752.8716078 0.603125 3.7320293 0.728125 4.8502592 0.853125 6.3035451 0.9781252.8904844 0.60625 3.7565618 0.73125 4.8821425 0.85625 6.3449815 0.981252.9094850 0.609375 3.7812556 0.734375 4.9142353 0.859375 6.3866903 0.9843752.9286106 0.6125 3.8061117 0.7375 4.9465391 0.8625 6.4286733 0.98752.9478618 0.615625 3.8311313 0.740625 4.9790552 0.865625 6.4709323 0.9906252.9672396 0.61875 3.8563152 0.74375 5.0117851 0.86875 6.5134690 0.993752.9867448 0.621875 3.8816648 0.746875 5.0447301 0.871875 6.5562854 0.9968753.0063782 0.625 3.9071810 0.75 5.0778917 0.875 6.5993832 1.03.0261407 0.628125 3.9328649 0.753125 5.1112713 0.878125 6.6427643 1.0031253.0460330 0.63125 3.9587176 0.75625 5.1448703 0.88125 6.6864306 1.006253.0660562 0.634375 3.9847403 0.759375 5.1786902 0.884375 6.7303840 1.0093753.0862109 0.6375 4.0109340 0.7625 5.2127324 0.8875 6.7746262 1.01253.1064982 0.640625 4.0372999 0.765625 5.2469983 0.890625 6.8191593 1.0156253.1269188 0.64375 4.0638392 0.76875 5.2814895 0.89375 6.8639851 1.018753.1474736 0.646875 4.0905529 0.771875 5.3162075 0.896875 6.9091056 1.0218753.1681636 0.65 4.1174422 0.775 5.3511536 0.9 6.9545227 1.0253.1889895 0.653125 4.1445082 0.778125 5.3863295 0.903125 7.0002383 1.0281253.2099524 0.65625 4.1717522 0.78125 5.4217366 0.90625 7.0462545 1.031253.2310531 0.659375 4.1991753 0.784375 5.4573764 0.909375 7.0925731 1.0343753.2522924 0.6625 4.2267786 0.7875 5.4932506 0.9125 7.1391962 1.03753.2736714 0.665625 4.2545634 0.790625 5.5293605 0.915625 7.1861258 1.0406253.2951909 0.66875 4.2825308 0.79375 5.5657078 0.91875 7.2333639 1.043753.3168519 0.671875 4.3106821 0.796875 5.6022941 0.921875 7.2809125 1.0468753.3386553 0.675 4.3390184 0.8 5.6391208 0.925 7.3287737 1.053.3606020 0.678125 4.3675410 0.803125 5.6761897 0.928125 7.3769495 1.0531253.3826929 0.68125 4.3962511 0.80625 5.7135022 0.93125 7.4254419 1.056253.4049291 0.684375 4.4251499 0.809375 5.7510599 0.934375 7.4742532 1.0593753.4273114 0.6875 4.4542386 0.8125 5.7888646 0.9375 7.5233853 1.06253.4498409 0.690625 4.4835186 0.815625 5.8269178 0.940625 7.5728403 1.0656253.4725185 0.69375 4.5129911 0.81875 5.8652211 0.94375 7.6226205 1.068753.4953451 0.696875 4.5426573 0.821875 5.9037762 0.946875 7.6727279 1.0718753.5183218 0.7 4.5725185 0.825 5.9425847 0.95 7.7231646 1.0753.5414495 0.703125 4.6025760 0.828125 5.9816484 0.953125 7.7739330 1.0781253.5647293 0.70625 4.6328311 0.83125 6.0209688 0.95625 7.8250350 1.081253.5881621 0.709375 4.6632851 0.834375 6.0605477 0.959375 7.8764730 1.0843753.6117489 0.7125 4.6939392 0.8375 6.1003868 0.9625 7.9282491 1.08753.6354908 0.715625 4.7247949 0.840625 6.1404878 0.965625 7.9803655 1.0906253.6593887 0.71875 4.7558534 0.84375 6.1808524 0.96875 8.0328245 1.093753.6834438 0.721875 4.7871161 0.846875 6.2214823 0.971875 8.0856284 1.096875
0
20
40
60
80
100
−10 −5 0 5 10
y = x*x
’data’
Figura 6.10: Alguns pontos do grafico x 7→ x2
0
20
40
60
80
100
−10 −5 0 5 10
y = x*x delta = 0.5
’data’
Figura 6.11: Um grafico com mais densidade x 7→ x2
0
20
40
60
80
100
−10 −5 0 5 10
y=x*x − alta densidade
’data’
Figura 6.12: Grafico de x 7→ x2 com alta densidade
a raíz datranslatada
g=fa
f
3 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
−10 −5 0 5 10
translação de uma parábola
’data’
Figura 6.13: Uma parabola e sua translacao
f
f a
f a −21
−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
−10 −5 0 5 10
translações da parábola
’data’’data2’’data3’
Figura 6.14: duas translacoes
−4x2
2x2
x2
−2x2
−x2
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
−6 −4 −2 0 2 4 6
homotetias da parábola padrão
’data5’’data6’’data7’’data8’’data’
’data1’’data2’’data3’’data4’
Figura 6.15: Homotetias da parabola padrao
−6
−4
−2
0
2
4
6
−5 0 5 10 15 20
graficos de funções logaritmo
’OXY’f1(x)f3(x)f4(x)f5(x)f7(x)
Figura 6.16: logaritmos base a;a ∈ { 15, 1
2, 2, e, 10}
y = log (x)b ; b > 1
1
Figura 6.17: Primeira versao do grafico do logaritmo - base maior do que 1
1 2 4 8
y = log (x)2
−1
12
3
−3
Figura 6.18: Grafico do y = log2(x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados.
Capıtulo 7
Numeros Complexos
No esforco para resolver equacoes que nos tempos modernos se pode dizerque comeca com Cardano, seculo 16, os matematicos criaram aos poucos umaentidade estranha, chamada numero imaginario, que apareceu como solucaoda equacao do segundo grau.Com os nu meros imaginarios se criaram os “numeros complexos” outro tipoestranho que funcionava muito muito bem como se fosse um numero...
7.1 Incompletitude algebrica de R
A formula para resolver equacoes do segundo grau produz a solucao
x =−b±
√b2−4ac
2a; ∆ = b2 − 4ac, (7.1)
x = −b±√
∆2a
; (7.2)
(7.3)
Se ∆ for negativo a equacao nao tem solucoes reais. Aos poucos os ma-tematicos foram experimentando a ideia de aceitar um significado para√
∆ ; ∆ < 0 comecando com uma pequena experienicia, i =√−1 estendendo
a regra estrita sobre raizes:
√xy =
√x√
y ; x, y ≥ 0
que valia apenas quando x, y ≥ 0. Com esta estensao se poderia calcular√−4 =
√−1
√4 = i · 2
e enfim, qualquer raiz de numero real, positivo ou negativo, poderia agora sercalculada.
Em particular, as equacoes do segundo grau passam a ter sempre solucao apesar deque, cuidadosamente, se acrescente a observacao, “raizes imaginarias” quando ∆ < 0.
Por exemplo,
4x2 − 12x + 25 = 0 ⇒ ∆ = −256
x′ = 12+16i8
; x′′ = 12−16i8
x′ = 32
+ 2i; x′′ = 32− 2i
249
em que vemos aparecer um “numero” do tipo
z = a + bi,
formado por um par de numeros reais separados pela unidade imaginaria i .
Definicao 53 Parte real e parte imaginariaDado um numero complexo u = a + bi = (a, b) designamos
• parte imaginaria Im(u) = b ∈ R
• parte real Re(u) = a ∈ R
Observe que Re, Im sao duas funcoes definidas em C e tomando valores em R.
Um “nu mero” desta forma se chama “numero complexo” e foram precisos variosseculos para que eles fossem admitidos como um numero comum, sem complexos.
7.1.1 Algebra dos numeros complexos
Repetindo o que fizeram os nossos antepassados, os numeros complexos foram inicial-
mente tratados como uma expressao algebrica em que i era considerado como uma“variavel” mas obedecendo a regra
√−1 = i ⇐⇒ i2 = −1. (7.4)
Assim, u = 2 + 3i, v = 5− 2i sao somados segundo as regras da algebra:
• “quem tem “i” e somado com quem tem “i”
• e os que nao tiverem “i” sao somados entre si”:
u + v = (2 + 3i) + (5− 2i) = (2 + 5) + (3− 2)i = 7 + i
e de maneira semelhante, usando as regras da algebra, se procede com a multiplicacao:
(2 + 3i)(5− 2i) (7.5)
2 +3i5 −2i10 15i
−4i −6i2
10 +11i −6(−1)16 +11i
(7.6)
Usando estas regras da algebra podemos escrever uma definicao formal para aadicao e para a multiplicacao de numeros complexos:
Definicao 54 Adicao de numeros complexosDados dois numeros complexos
u = a + bi ≡ (a, b) (7.7)
v = c + di ≡ (c, d) (7.8)
u + v = (a + c, b + d) (7.9)
≡ u + v = (a + c) + (b + d)i (7.10)
somam-se os termos semelhantes, a soma se faz “coordenada por coordenada”: somam-se as partes reais e as partes imnaginarias entre si. Portanto
Re(u + v) = Re(u) + Re(v) ; Im(u + v) = Im(u) + Im(v)
De agora em diante vamos usar de forma mais intensa a equivalencia entre as duasformas de escrever um numero complexo:
expressao algebrica C ∋ v = c + di ≡ (c, d) ∈ R2 entidade geometrica. (7.11)
Observe que a ultima parte na expressao acima, (c, d) ∈ R2, e uma representacaogeometrica para os numeros complexos, uma vez que estamos dizendo que existe umponto do plano,
(c, d) ∈ R2 (7.12)
que e “equivalente” ao numero complexo
c + di ∈ C. (7.13)
Alias, quando foi descoberta a representacao geometrica para os numeros comple-xos, um salto qualitativo foi dado. Como eles tinham uma representacao geometrica,nao podiam ser tao estranhos como no comeco pareciam. Observe a figura (fig. 7.1),nela ha alguns numeros complexos representados no plano.
−1−3
i
−3+3.6i
3+2i
3+i
3−2i
−3+0i 3+0i
Figura 7.1: Representacao geometrica dos complexos
a + bi
c + di
(ac − bd) (ad + bc)i+
Figura 7.2: Produto de numeros complexos
Definicao 55 Produto de numeros complexosDados dois numeros complexos u = a + bi, v = c + di o produto deles e:
uv = (ab− bd) + (ad + bc)i
7.1.2 A representacao geometrica dos complexos
Falamos acima na equivalencia
C ∋ v = c + di ≡ (c, d) ∈ R2, (7.14)
o par (c, d) era um ponto do plano e assim estavamos representando um numero com-plexo com uma entidade geometrica, um ponto.
Os nu meros complexos trouxeram, para o reino dos numeros, os conceitos dageometria: angulo, modulo, direcao e sentido, e a Fısica, desde cedo, lancou maodeles, com muito sucesso, por exemplo, na eletricidade.
A figura (fig. 7.3) descreve varios dos aspectos geometricos dos numeros complexos.
A proxima lista e um laboratorio que deve preparar a sua intuicao para as cons-trucoes que faremos depois.
Exercıcios 32 O plano complexo.
1. Encontre as solucoes da equacao: x2 − 3x + 1 = 0.
2. Encontre as solucoes da equacao: x2 + 1 = 0.
3. Verifique, experimentando na equacao, que os numeros i,−i sao solucoes daequacao x2 + 1 = 0.
4. Teste as solucoes que voce tiver encontrado para
x2 − 3x + 1 = 0
substituindo na equacao.
5. Some algebricamente e represente geometricamente: u+v;
a) u = 3 + 2i; v = 2 + 3i b) u = 3− 2i; v = 3 + 2ic) u = 3 + 2i; v = −3− 2i d) u = 3− 2i; v = 2i− 3e) u = 2i− 3; v = 3− 2i f) u = 2− 3i; v = 3i− 2
6. Efeitos da multiplicacao
3
z
w
αβ
|z|=|w|=3
arg(w)=β
arg(z)=α
w+z = 0
Figura 7.3:
(a) Multiplique 3 + 2i pelos inteiros 2,3,5,10. Represente geometricamente osresultados.
(b) Multiplique 3 + 2i por 2i, 3i, 5i,10i. Represente geometricamente os resul-tados. Elabore uma teoria a partir da semelhanca dos resultados obtidos.
7. Verifique que o numero complexo 1 + 0i e o elemento neutro da multiplicacao.
8. Calcule o inverso multiplicativo, x + iy, de 3 + 2i e represente ambos geometri-camente.
9. Calcule o inverso multiplicativo, x + iy, de a + bi
Resposta {x = a
a2+b2
y = −b
a2+b2
(7.15)
10. Multiplique 3 + 2i por 3 + 2i e represente geometricamente o resultado.
11. Multiplique 3 + 2i por 3− 2i e represente geometricamente o resultado.
12. Modulo de um numero complexo
Uma das razoes que tornam os numeros complexos um tipo de numero a “estranho”,
e o seu envolvimento com a geometria. Como um nu mero real, os numeros comple-
xos tem modulo, mas neste caso o metodo de calculo se deduz direto do Teorema de
Pitagoras.
Definicao 56 Modulo do numero complexo a + bi.
||(a + bi)|| =√
a2 + b2
(a) Calcule o modulo de u
u = 3 + 2i , 2 + 3i, 3− 2i, 2− 3i, 0.3 + 0.2i, 1+2i4
(b) Calcule o modulo de 1u
quando
u = 3 + 2i, 2 + 3i, 3− 2i, 2− 3i, 0.3 + 0.2i, 1+2i4
(c) Verfique, em cada caso, nos itens anteriores, que vale a relacao
| 1u| = 1
|u|
(d) Verifique tambem, em cada caso acima, que se |u| < 1 entao | 1u| > 1.
(e) Verifique que podemos substituir ”entao”por ”se e somente se”no item an-terior.
13. distancia Observe que nos reais, |a − b| e a distancia, d(a, b), entre os doisnumeros a, b. Da mesma forma, entre dois numeros complexos u, v a distanciaentre eles vem do Teorema de Pitagoras e e o modulo da diferenca |u− v|. Facaalguns exercıcios para adquirir intuicao:
(a) Encontre o lugar geometrico dos numeros complexos u tal que
|u| = 1.
(b) Encontre o lugar geometrico dos numeros complexos u tal que
|u| = 2.
(c) Encontre o lugar geometrico dos numeros complexos u tal que
|u− 3| = 1.
(d) Encontre o lugar geometrico dos numeros complexos u tal que
|u− 3| = 2.
(e) Encontre o lugar geometrico dos numeros complexos u tal que
|u− (2 + 3i)| = 1.
(f) Encontre o lugar geometrico dos numeros complexos u tal que
|u− (2 + 3i)| = 2.
14. a solucao do exercıcio anterior Pontos equidistantes de um ponto dado se en-contram sobre um cırculo. Em todos os casos, o lugar geometrico eram cırculos.Traduza as questoes anteriores com a linguagem da equacao de cırculos, no planoR2.
15. Potencias de i
(a) Calcule as 10 primeiras potencias de i e encontre uma lei formacao queestas potencias obedecem.
(b) Escolha abaixo qual e o resultado impossıvel para a soma
in − im ; n, m ∈ N
2 -2 0 i 2i -2i
16. Relacoes de Girard, caso complexo Mostre que as relacoes de Girard, tambemsao validas para raızes complexas isto e, quando ∆ < 0.
Para a equacao x2 + bx + c = 0, a = 1, temos
(a) S = x1 + x2 = − ba
= −b
(b) P = x1 · x2 = ca
= c
Assim, a equacao x2 + bx + c = 0, pode ser escrita da seguinte forma:
x2 − Sx + P = 0.
17. Encontre uma equacao do segundo grau cujas raızes somem 6 e o produto seja13.
7.2 Numeros complexos: extensao dos reais
Um numero complexo e um par de numeros reais, portanto coıncide, com oconjunto, com o R2 :
C ≡ R2.
A diferenca e que existe em C uma multiplicacao que estende a multiplicacaodos numeros reaisUsaremos as duas notacoes para um numero complexo
(a, b) ≡ a + bi
sem mais nos preocuparmos com observacoes a respeito.
A figura (fig. 7.4) pagina 252, combina varios fatos geometricos e algebricos dosnumeros complexos. Vamos fazer aqui um resumo deles:
z+w
w
z
(a,b)
(c,d)
(r,0)
a + b2 2
z+w=(a+c,b+d)arg(w) = β
α
β
Figura 7.4: Propriedades dos numeros complexos
Dado um numero complexo z = (a, b) diremos
• parte real a e a parte real de z; a = Re(z)
• parte imaginaria b e a parte imaginaria de z ; b = Im(z)
• modulo O numero complexo z = (a, b) determina com a origem (0, 0) um segmentodo plano que usamos para visualizar o numero complexo z. O comprimento destesegmento e
|z| =√
a2 + b2
o modulo de z.
• argumento de um numero complexo e angulo que ele determina com o conjunto dosnumeros reais. Se um numero complexo for real, o seu argumento pode ser zero ouπ.
Na figura (fig. 7.4) o argumento de w e β e o argumento de z + w e α.
arg(w) = β ; arg(z + w) = α
• Os numeros reais
1. O conjunto dos numeros reais positivos e o subconjunto de C formado pelosnumeros complexos cuja parte imaginaria e zero, e argumento zero,
R = {(x, y) ; y = 0} = {(x, 0) ; x ∈ R ;arg(x) = 0}
e o semi-eixo positivo OX+
2. O conjunto dos numeros reais negativos e o subconjunto de C formado pelosnumeros complexos cuja parte imaginaria e zero e o argumento e π:
R = {(x, y) ; y = 0} = {(x, 0) ; x ∈ R ;arg(x) = π}
e o semi-eixo positivo OX−
Teorema 74 Extensao da multiplicacao dos reais
A multiplicacao de numeros complexos e uma extensao da multiplicacao de numerosreais.
Dem :
Dados dois numeros complexos
z = (a1, b1) = a1 + b1i, w = (a2, b2) = a2 + b2i
temos
zw = (a1, b1)(a2, b2) = (7.16)
(a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1) = (7.17)
a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1)i (7.18)
Considere agora dois numero reais: r1, r2. Eles determinam os dois numeros complexos
z = (r1, 0), w = (r2, 0).
Se os multiplicarmos vamos ter
z, w ∈ R (7.19)
zw = (r1, 0)(r2, 0) = (7.20)
(r1r2 − 0, 0) = (7.21)
r1r2 + 0i = r1r2 = zw ∈ R (7.22)
(7.23)
Como ℑ(r1r2, 0) = 0 podemos dizer, com certo abuso de linguagem, que (r1r2, 0) ∈ R
Consequentemente o produto de dois numeros complexos que sejam reais resulta no pro-duto dos numeros reais que eles representam. Assim dizemos que a multiplicacao de numeroscomplexos e uma extencao da multiplicacao dos numeros reais.
q.e.d .
Como C ≡ R2 entao o conjunto dos numeros complexos e um grupo abeliano coma adicao de pares ordenados que ja conhecemos.
Vamos agora resolver o exercıcio (ex. , 8), pagina 249. Adotaremos uma expressaomais geral: calcular o inverso de (a, b).
Por definicao, o numero complexo (x, y) sera o inverso multiplicativo de (a, b), se,e somente se, o produto dos dois for o elemento neutro da multiplicacao (1, 0) = 1+0i.Vamos forcar esta igualdade para determinar (x, y) :
(x, y)(a, b) = (ax− by, ay + bx) = (1, 0) ≡ (7.24)
≡{
ax− by = 1bx + ay = 0
≡{
abx− b2y = babx + a2y = 0
≡{
a2x− aby = ab2x + aby = 0
⇒ (7.25)
(a2 + b2)y = −b ; (a2 + b2)x = a⇒ (7.26)
y = −b
a2+b2; x = a
a2+b2(7.27)
Se o numero complexo (a, b) 6= (0, 0) a solucao encontrada e possıvel o que demon-tra o teorema:
Teorema 75 Inverso multiplicativo em C
Todo numero complexo (a, b) 6= (0, 0) tem um inverso multiplicativo em C que eda forma
1
(a, b)= (
a
a2 + b2,−b
a2 + b2)
Podemos simplificar a expressao do inverso se adotarmos uma notacao que depoissera muito util:
Definicao 57 Conjugado de um numero complexoChamamos de conjugado de z = (a, b) ao numero complexo z = (a,−b)
Observe na figura (fig. 7.5) o numero complexo z, o seu conjugado, o seu inversoaditivo e sua projecao em S1.
31
z
z*−z
z/|z|
α = arg(z)
S1
S1 é o círculo unitário
z* = z
α
−α
Figura 7.5: Conjugado de um numero complexo
Em alguns textos o conjugado z de z e designado por z∗.Vejamos agora que
1z
= 1(a,b)
= 1a2+b2
(a,−b) = (7.28)
1z
= 1a2+b2
z (7.29)
1z
= 1|z|2 z (7.30)
1z
= z
|z|2 (7.31)
e agora, atendendo a promessa de resolver o (ex. , 8) temos o inverso multiplicativode 3 + 2i = (3, 2) e
z = (3, 2) 7→ z = (3,−2) (7.32)
z = (3, 2) 7→ |z|2 = 32 + 22 = 13 (7.33)
z = (3, 2) 7→ 1z
= 113
(3,−2) = ( 313
, −213
) (7.34)
Podemos usar a ultima expressao da sequencia de equacoes acima para mostrarum uso frequente do “conjugado”, veja a sequencia
z = (a, b) ; z = (a,−b) ; zz = a2 + b2 = |z|2 (7.35)1z
= zzz
(7.36)1z
= zzz
= z
|z|2 (7.37)
que mostra que podemos usar o conjugado para fazer surgir um numero real no deno-minador, o que, muitas vezes, e util.
O proximo teorema reune as propriedades do conjungado:
Teorema 76 Propriedades da conjugacaoConsidere os numeros complexos u, v e o numero real λ.
1. Linearidade
(a) u + v = u + v
(b) λu = λu
2. reflexividade u = u
3. produto uv = uv
4. divisao uv
= uv
5. reais Se u = u se e somente se u ∈ R.
Exercıcios 33 1. Resolva as equacoes
a)4z = −5 b) (4 + 3i)z = −5
e)(4 + 3i)z = −2i f) z4+3i
= −50
i) z+5−3i3−2i
= 0 j) 3z + i = 5z − 7
c) 4z2 + 2z = −1 d) z2 = −1
g) z2 = 1 h) z2 + 2z = 1
k) z2 + 3z = −10 l) 4z2 = 1
2. forma polar de um numero complexo
(a) modulo
Calcule o modulo dos numeros complexos dados abaixo:
a)2 + 3i b) 2− 3i c)0.4 + 0.2i d) 1+i2
(b) argumento
Calcule a projecao dos numeros complexos abaixo, no cırculo trigonometrico,S1.
a) 2 + 3i b) 2− 3i c) 0.4 + 0.2i d) 1+i2
(c) modulo e argumento
Calcule a projecao de a + bi sobre S1 determinando quando isto nao forpossıvel.
3. forma matricial I
Mostre que o produto dos numeros complexos a + bi por x + iy, nesta ordem,equivale ao produto de matrizes
(a + bi)(x + iy) ≡[
a −bb a
]·(
xy
)(7.38)
4. forma matricial II
Mostre que o produto dos numeros complexos a + bi por x + iy, nesta ordem,equivale ao produto de matrizes
(a + bi)(x + iy) ≡(
a b)·[
x y−y x
](7.39)
5. produto e rotacao
(a) Considere dois pontos A, P sobre o cırculo trigonometrico S1,
C ⊃ S1 ∋ A = cos(θ) + isen(θ) ≡ (cos(θ), sen(θ)) ∈ R2 (7.40)
C ⊃ S1 ∋ P = cos(α) + isen(α) ≡ (cos(α), sen(α)) ∈ R2 (7.41)
Identifique no produto AP a expressao do arco soma.
(b) Mostre que AP, nesta ordem, produz uma rotacao de θ sobre o vetor ~P nosentido horario (positivo).
(c) Como a multiplicacao de numeros complexos e comutativa, procure a con-tradicao, ou corrija o item anterior.
(d) Conclua do item anterior que
z, w ∈ S1 ⇒ zw ∈ S
ou seja, o cırculo unitario e estavel sob a multiplicacao.
(e) O grupo dos complexos de modulo 1 Verifique que S, o conjunto dos numeroscomplexos de modulo 1, e um grupo comutativo com a multiplicacao.
7.3 Modulo, argumento e conjugado
Vamos formalizar algumas experiencias que foram feitas nas secoes preceden-tes: parece que o produto de numeros complexos pode ser descrito de umaforma geometrica. Vamos ver que de fato e assim e deduzir as propriedadesdo produto, de forma bem simples, usando a representacao geometrica.
7.4 Intepretacao geometrica do produto
Ha duas largas estradas correndo em paralelo: Os numeros complexos, um par denumeros reais da forma a + bi e um puro par de numeros reais (a, b).
Sao, em essencia, duas coisas diferentes, com propriedades distintas mas tambemcom muita coisa em comum. Por exemplo
• em C tem um multiplicacao
• em R2 nao tem nenhuma multiplicacao
• a adicao em C e exatamente a mesma adicao de R2
(a,b)
(cos t + i sen t)
t
r
|(a,b)| = r
S1
(c,d)
(cos s + i sen s)
s
r1 2
Figura 7.6: A projecao de a + bi sobre S1.
A forma polar de um numero complexo
Um dos exercıcios de laboratorio que lhe foram propostos pedia que voce projetasseum numero complexo a + bi sobre o cırculo unitario S1.
Geometricamente, veja a figura (fig. 7.6), podemos obter esta projecao tracandoo segmento de reta do ponto P = (a, b) ao centro de S1.
Algebricamente isto se faz dividindo (a, b) pelo seu modulo, resultando assim numvetor de modulo 1, portanto, sobre S1. Usando a notacao da (fig. 7.6), temos
(cost, sent) = cost + isent =a + bi
|(a + bi)| =(a, b)√a2 + b2
Estamos vendo assim a intimidade que existe entre os numeros complexos e a trigo-nometria. O importante neste momento e escrever o caminho de volta de (cost, sent)para o numero complexo (a, b) :
(a, b) = r1(cost, sent) ; r1 = |(a, b)|.com o que obtivemos a forma polar de (a, b). Nela vemos representados os dois con-ceitos geometricos que formam um numero complexo: modulo e argumento. Vamosre-escrever esta formula colocando em evidencia estes dois conceitos:
z = (a, b) = |z|(cos(arg(z)), sen(arg(z))) ; |z| = r1 = |(a, b)|.
Exercıcios 34 Forma polar, trigonometria conjugacao
1. Verifique as igualdades abaixo e faca uma representacao geometrica das mesmas:
(a) Verifique que 2Re(z) = z + z ∈ R
(b) Verifique que 2iIm(z) = z − z ∈ iR
(c) Verifique que zz = |z|2 ∈ R
2. Calcule (a + b)2
3. Formula de Moivre
(a) forma polar Quando escrevemos um numero complexo usando a formulade Moivre, dizemos que usamos a forma polar do numero. Escreva osnumeros
z1 = 4 + 3i ; z2 = 3− 4i ; z3 = −3− 4i ; z4 = 3 + 4i
na formula polar.
(b) potencia Calcule z2 com z = r(cos(θ), sen(θ)).
(c) potencia Suponha que a expressao encontrada para z2 tambem valha para
zn. Escreva esta expressao. Deduza a expressao de zn+1.
Resposta Este exercıcio mostra, por inducao finita a formula de Moivre
z = r(cos(θ), sen(θ))⇒ zn = rn(cos(nθ, sen(nθ))
(d) Use a formula de Moivre para expressar cos(3θ) em funcao de cos(θ), sen(θ).
Solucao 4
cos(3θ) = Re((cos(θ) + isen(θ))3 (7.42)
(cos(θ) + isen(θ))3 = (7.43)
= cos(θ)3 + 3icos(θ)2sen(θ)− 3cos(θ)sen(θ)2 − isen(θ)3 = (7.44)
= cos(θ)3 − 3cos(θ)sen(θ)2 + (3cos(θ)2sen(θ)− sen(θ)3)i (7.45)
cos(3θ) = cos(θ)3 − 3cos(θ)sen(θ)2 (7.46)
4. As raizes de um numero complexo
(a) forma polar Use a formula de Moivre calcular 3√
zi com
z1 = 4 + 3i ; z2 = 3− 4i ; z3 = −3− 4i ; z4 = 3 + 4i
5. Ache todos os valores de z ∈ C tal que z2 + |z| = 0.
6. Encontre todos os complexos z que satisfacam a condicao
|z − 25i| < 15
7. Qual o valor maximo do modulo do numero complexo z se
|z +1
z| = 1
8. Resolva a equacao (1− i)x = 2x. Solucao:
(1 − i)x = 2x ⇒⇒ |1 − i|x = 2x ⇒ (
√2)x = 2x
Mas a ltima igualdade somente e possıvel para x = 0.
9. inteiros de Gauss
Definicao 58 Inteiros de Gauss
Chamamos de inteiros de Gauss ao conjunto Z + iZ de todos os numeros com-plexos com parte real e parte imaginaria inteiras.
(a) Anel dos inteiros de Gauss Verifique que o conjunto dos inteiros de Gausscom a adicao e multiplicacao dos complexos e um anel.
(b) Verifique em particular que se z for um inteiro de Gauss, entao |z|w ∈ Zmas nem sempre |z| ∈ Z de um contra-exemplo.
(c) Prove que se z for um inteiro de Gauss entao qualquer potencia inteira dez tambem sera um inteiro de Gauss.
Solucaca
Isto e consequencia direta do Teorema do Binomio, capıtulo 2. Logo zn e um
inteiro de Gauss.
(d) Prove que para todo numero complexo e todo inteiro n vale
(|z|2)n = (|z|n)2
Solucao:
(|z|2)n = (a2 + b2)n
(|z|n)2 = (√
a2 + b2n)2
(|z|n)2 = (√
(a2 + b2)n2
(|z|n)2 = (a2 + b2)n
(|z|2)n = (|z|n)2
(e) Se a, b, n ∈ Z+, prove que existem inteiros x, y tais que
(a2 + b2)n = x2 + y2
Solucao:O modulo de um inteiro de Gauss nao sera, em geral, um inteiro, mas o oquadrado do seu modulo sera:
zn = x + yi e um inteiro de Gauss
|zn|2 = |z2|n = |x + iy|2 = x2 + x2 ∈ Z
(a2 + b2)n = |x + iy|2 = x2 + y2
10. Prove que se z + 1z
= 2cos(α) entao
zn +1
zn= 2cos(nα)
Solucao:
z + z|z|
z + 1z
= z + cos(α) + isen(α)
z + 1z
= 2cos(α) ⇒ z = x − isen(α)
11. Moste que vale a formula do binomio de Newton
(z + w)n =n∑
k=0
(nk )zkw(n−k) ; z, w ∈ C
12. Escreva na forma polar z = cos(θ) + cos(φ) + i(sin(θ) + sin(φ))
13. Sendo f(z) = z2+z+1z4−1
calcular f(2 + 3i).
14. Mostre que se(z − p)(z − p) = pp
entao o ponto z descreve um cırculo de centro no ponto p passando pela origemdos eixos.
15. Considere w = cos( 2π3
)+isen( 2π3
). Mostre que se z1, z2, z3 satisfizerem a relacao
z1 + wz2wz3 = 0
entao eles sao, respectivamente, paralelos aos lados de um triangulo equilatero.
16. Um numero complexo varia mas seus modulo fica compreendido entre 1 e 6.Calcule o maximo e o mınimo da funcao
f(z) = z2 + 3z.
17. Se z = 2 + i(w − 1w
) calcule as partes reais e imaginarias de z em funcao daspartes reais e imaginarias de w. Descreva o lugar geometrico do ponto w quandoz ∈ R.
18. Prove que se |z| = 1 entao Re( 1−z1+z
) = 0
7.5 Raizes de um numero complexo
Quando calculamos a raiz quadrada de um numero realpositivo, somos conduzidos a dois resultados, com sinaisopostos. Um numero real positvo tem duas raizes qua-dradas que sao simetricas em relacao a origem dos eixos.Na verdade uma tem argumento (angulo) zero e a outratem argumento
2π
2= π.
Os numeros complexos nos conduzem a uma genera-lizacao deste fato porque todo numero complexo tem nraızes e-nesimas.Esta questao e geometrica, por natureza, e os numeroscomplexos nos conduzem assim a desvendar os segredosda Geometria, onde a Geometria e Algebra se encontram.
Considere a figura (fig. ??), nela podemos ver S1 particionada por um trianguloequilatero em tres partes. Os tres numeros complexos que aparecem alı sao:
S1
cos 0 + i sen 0
π+ i sen 2π cos 2
Figura 7.7: As raızes da unidade
1 = cos(2π) + isen(2π) (7.47)
cos( 2π3
) + isen( 2π3
) (7.48)
cos( 4π3
) + isen( 4π3
) (7.49)
1 ≡ cos( 6π3
) + isen( 6π3
) ≡ cos(2π) + isen(2π) (7.50)
Oberve que na ultima equacao usamos o sinal de equivalencia, e nao de igualdade.Porque, na verdade, os dois numeros complexos sao diferentes, uma vez que temargumentos diferentes.
Ocorre que numeros diferentesn ocupem o mesmo lugar geometrico, mas eles saodiferentes.
Se aplicarmos a qualquer destes numeros a formula de Moivre elevando a terceirapotencia, o resultado ira ocupar o mesmo lugar geometrico.
Por definicao, n√
a e um numero b tal que bn = a. Consequentemente, qualquer umdos numeros
1 ≡ cos(2π) + isen(2π) (7.51)
cos( 2π3
) + isen( 2π3
) (7.52)
cos( 4π3
) + isen( 4π3
) (7.53)
uma raız de 1 ≡ cos(2π) + isen(2π).
Observacao 36 Equivalenncia, classes de equivalenciaAqui ha uma evidente confusao, confusao esta com que voce esta inteiramente acostu-
mado, veja
2
3≡ 4
6≡ 8
12≡ ....
que voce olha sem torcer o nariz. Sao equivalencias. E destas fracoes todas voce elege 23
como representante de classe de todas as outras.
2
3
e a forma mais simples de escrever qualquer uma das fracoes da lista anterior.Da mesma forma os numeros complexos se podem escrever de muitas formas, cada vez que
dermos uma volta completa em um cırculo encontramos outra expressao do mesmo numerocomplexo.
Com outro argumento, claro, como
4
6≡ 8
12
que tem numeradores e denominadores diferentes, mas representam o mesmo numero raci-onal, embora funcionalmente signifiquem coisas distintas, num caso dividimos alguma coisaem 12 partes e consideramos 8 delas, enquanto que no outro caso dividimos outra coisa em 6partes, considerando 4 delas.
Sao funcoes diferentes, mas equivalentes no sentido de que representam a mesma quan-tidade.
A pergunta que se impoe, e, como vamos descobrir as raızes de um numero com-plexo. O metodo pode ser geometrico, depois o iremos algebrizar.
Na figura (fig. ??), pagina ??, desenhamos um triangulo equilatero inscrito nacircunferencia S1 porque queriamos as raızes terceiras da unidade. Um dos verticesse encontra sobre o numero cujas raızes procuramos. A figura (fig. 7.8) voce podever que, com um quadrado, um polıgono regular convexo de quatro lados, inscrito nocırculo trigonometrico, nos calculamos as quatro raızes da unidade.
Esta construcao que fizemos tem um vıcio de partida, que voce tera que superar:as raızes da unidade se encontram no mesmo cırculo que a propria unidade.
Porque, se u = 1 entao |ux| = 1 para qualquer potencia x inteira ou nao.O mesmo nao pode acontecer com outros numeros... as raızes de 2 se encontram em
cırculos diferentes daquele em que o proprio 2 se encontra. Os exercıcios que seguemirao conduzı-lo a descobrir o resto.
Exercıcios 35 Raızes de um numero complexo
1. As raızes cubicas de 2, 3√
2, e 2 se encontram em cırculos diferentes. Usea formula de Moivre para descobrir onde elas se encontram e as determinegeometricamente.
Solucao: As raizes terceiras de 2 sao determinadas por um triangulo equilatero.Observe a figura (fig. 7.9) onde tres retas paralelas marcam os pontos em P.G.
x, x2, x3 = 2
e que, portanto, x =√
32.
Com multiplicacao geometrica, vista na construcao geometrica de R, calculamos apro-ximadamente 3
√2. Fizemos varias tentativas com retas paralelas ate encontrar tres
retas paralelas que representassem o produto de um numero por ele mesmo, tres, vezes
Figura 7.8: Raızes quartas da unidade
de modo que a terceira reta passe por 2. Isto e equivalente a tentar multiplicar umdecimal por si proprio, tres vezes, ate encontrar um produto proximo de 2.
Encontramos assim o cırculo onde se encontram as raızes de cubicas de 2 e inscrevemos
nele um triangulo equilatero com um dos vertices na raiz cubica real de 2. Os demais
vertices determinam as outras duas raızes.
2. Raızes quinta de um numero real Encontre as raızes quintas de 7.
Solucao:Com uma calculadora podemos encontrar o raio do cırculo em que se encontram asraizes quintas de 7 (multiplicacao geometrica seria muito trabalhosa, como tambemseria trabalhoso multiplicar sete vezes um decimal por si proprio ate encontra umnumero suficiente proximo de 7.) O raio do deste cırculo e
5√
7 ≈ 1.4757731
A figura (fig. 7.10) nos mostra o pentagono inscrito no cırculo de raio 1.4757731 quedetermina as cinco raizes de 7.
3. Calcule as raizes terceiras de 3 + 4i
Solucao:De acordo com a formula de Moivre,
3 + 4i = 5(cos(atan(4/3) + isen(atan(4/3)) = 5(cos(2π
3) + isen(
2π
3))
Agora deveremos inscrever um triangulo num cırculo de raio 3√
5 tendo o “verticeinicial” correspondendo ao argumento
2π3
3=
2π
9.
21
1.25992
cos p/3 + i sen p/3
cos 2p/3 + i sen 2p/3 p = 2π
Figura 7.9: As raızes terceiras de 2
Os demais argumentos serao os elementos da progressao geometrica de razao
2π
3
(angulo central do triangulo equilatero) tendo como primeiro termo (da P.A.) 2π9
,porque quando voce somar tres a razao, ira estar de volta no ponto inicial, (percorreu
os vertices do triangulo), esta em cima da reta determinada por arg(3+4i)3
com aorigem.
2π
9,2π
9+
2π
3,2π
9+
4π
3O resultado grafico e o que podemos ver na figura (fig. 7.11)
Nao estamos propondo este metodo como algum metodo revolucionario para calcu-lar raızes enesimas. As maquinas de calcular fazem isto mais rapido, apenas precisamossaber que elas usam um algoritmo, que executado manualmente sera lento... se pu-dermos traduzir este algoritmo com um programa de computador e resultado tambemsera rapidamente obtido. A pergunta final e “qual e o melhor algoritmo” e nao estamostratando deste assunto aqui.
Em resumo, os passos para o calculo geometrico de raizes enesimas sao
• Determinacao do raio do cırculo S que passa em
n√|a + bi| ∈ R
• Determinacao de
θ =arg(a + bi)
n
1 2
1.4757731
S1
Figura 7.10: Raızes quintas de 7
• Construcao de um polıgono de n lados inscrito no cırculo S tendo seu primeirovertice sobre o ponto que determina o angulo
θ =arg(a + bi)
n
em S.
• os vertices deste polıgono sao as raizes enesimas de a + bi.
21 3
1.70997594=
3+4i
Figura 7.11: Raızes cubicas de 3 + 4i
Capıtulo 8
O anel dos polinomios.
Neste capıtulo vamos estudar um tipo de funcao que generaliza as funcoes“lineares afins”, “quadraticas”: polinomios.Iremos um pouco mais a fundo porque estudaremos o comportamento destasfuncoes em conjunto, o conjunto dos polinomios, formando uma estruturaalgebrica.O conjunto dos polinomios e fechado para algumas operacoes, por exemplopara a soma, e forma com ela um grupo.
Tambem vamos ver que a multiplicacao e “defeituosa” neste conjunto, como
acontece no conjunto dos numeros inteiros, assim, os polinomios com a adicao
e a multiplicacao, tem uma estrutura mais fraca que a de corpo, e um anel.
Quer dizer que o conjunto dos polinomios munidos da adicao e da multi-
plicacao se assemelha a (Z,+, ·).
O estudo do anel dos polinomios ainda e uma das area mais efervecentes dentro daconstrucao Matematica. Entre 1998 e 2001 houve um acontecimento marcante nestesentido quando Andre Gilles anunciou a solucao do ultimo problema de Fermat, comalguns defeitos na solucao anunciada e, finalmente, com a versao final corrigida.
Numa outra vertente, os polinomios servem para encriptar informacoes. Infeliz-mente o conteudo deste livro nao ira tao longe, em nenhuma das duas direcoes.
271
8.1 Os numeros sao polinomios ?
Um professor levanta um saquinho de petecas na mao e, desafiante, pergunta aos alunosquantas petecas podem ter no saquinho, enquanto escreve na quadro os numeros:
1000, 100, 10
A resposta unanime, foi 10, pelo tamanho do saquinho.Os alunos ficaram surpresos quando o professor disse que eram 1000 as bolinhas no saco. Eexplicou que na verdade havia oito, e que os valores, no quadro, “representavam” numerosna base 2 e mostrou a relacao entre as correspondentes “representacoes na base 10:
base 2 1 2 4 8base 10 1 10 100 1000
Oito, escrito na base 2 se representa com 1000.
‘‘Representavam’’ e a palavra chave nesta questao. Ha muitas formas de representacao,
para os elementos de uma classe de objetos. Vamos precisar deste conceito, vamos usa-lo
e explica-lo a seguir. Mas, informalmente, “representar” e uma forma “atenuada” de falar
“codificar”...
No exemplo do professor, ao fazer correspondencias entre os valores que se podemobter numa base ou na outra, vemos as potencias de 2 ou de 10.
Ao longo de sua Historia, a Hunidade construir um mode de representar as quan-tidades que chamamos de decimal e que certamente esta intimamente ligado com aquantidade de dedos que temos nas maos. Podemos facilmente inferir o metodo quenossos antepassdos usaram para registrar grandes quantidades:
• iam estabelecendo relacao dos objetos com os dedos das maos;
• quando dava overflow com os dedos, (quer dizer, nao havia mais dedos paracontar), faziam um tracinho na areia da praia e voltam a contar com o primeirodedo de novo;
• depois contavam os tracinhos, cada um representando uma dezena;
Claro, com o tempo, com a evolucao, e com o aumento da riqueza, foram especia-lizando o processo e possivelmente colocando zeros depois do traco... e aı apareceu o10.
O sistema decimal se impos naturalmente pela facilidade operatoria. A soma de1000 com 82 tem um aparencia simples: o 82 ocupa os zeros do 1000 dando 1082. Esempre foi assim, a Humanidade aproveitou aquilo que melhor desempenho tinha, euma lei da Biologia, “ao longo do desenvolvimento ficam as especies mais fortes”.
Depois que as regras se estabelecem nos seguimos atras de justifica-las. Vejamoso que significa um numero na base 10, por exemplo 438:
138 = 400 + 30 + 8 (8.1)
138 = 4 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 (8.2)
138 = 4 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100 (8.3)
uma soma de potencias de 10 com coeficientes que sao os algarismo.
Se considerarmos a soma
32 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100
ela pode ser re-escrita como
3 ∗ 103 + 2 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100 (8.4)
a3 ∗ 103 + a2 ∗ 102 + a1 ∗ 101 + a0 ∗ 100 (8.5)
porque deu overflow na casa das dezenas... os algarismo na base 10 somente podemser
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
quer dizer que um numero, escrito na base 10 ou em qualquer outra base, e umaexpressao do tipo
anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0
que chamamos polinomio. Os coeficientes sao os algarismos, numeros menores que abase. Na base 10 nao existe o algarismo 10.
As operacoes se explicam, agora algebricamente. Para somar dois numeros consi-deramos as potencias de mesma base para ordena-los.
Na pratica dizemos, colocamos casa decimal em baixo decasa decimal.
e observamos a regra do overflow, do estouro, da casa decimal.
Vamos multiplicar dois numeros usando as regras algebricas para ver como elas seaplicam. Multiplicar 328 e 243 .
328 = 3 ∗ 102 +2 ∗ 10 +8243 = 2 ∗ 102 +4 ∗ 10 +3
6 ∗ 104 +4 ∗ 103 +16 ∗ 102
+12 ∗ 103 +8 ∗ 102 +32 ∗ 101
9 ∗ 102 +6 ∗ 101 +24
6 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +38 ∗ 101 +24
e vemos que ha varios estouros de casas decimais para corrigir. Podemos comec ar acorrecao por qualquer lado. Vamos comecar, como de habito pela casa das unidades.Este metodo se verificou o mais facil porque vai acumulando aos poucos nas casa maisaltas.
Corrigindo o estouro nas casas decimais, temos:
6 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +38 ∗ 101 +246 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +38 ∗ 101 +(20 + 4)6 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +40 ∗ 101 +46 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +(40 + 0) ∗ 101 +46 ∗ 104 +16 ∗ 102 +37 ∗ 102 0 ∗ 101 +46 ∗ 104 +16 ∗ 102 +(30 + 7) ∗ 102 0 ∗ 101 +46 ∗ 104 +19 ∗ 102 +7 ∗ 102 0 ∗ 101 +46 ∗ 104 +(10 + 9) ∗ 102 +7 ∗ 102 0 ∗ 101 +47 ∗ 104 +9 ∗ 102 +7 ∗ 102 0 ∗ 101 +4
7 9 7 0 4observe que na ultima linha, simplesmente, apagamos o operador + e as potencias de10 e apareceu o resultado que qualquer maquina de calcular vai mostrar no display.
8.2 O que e um polinomio?
Uma funcao linear afim, ou uma funcao quadratica, ambas se definem atravez depolinomios. Uma funcao quadratica, nao e um polinomio, nem uma funcao linear o e.
“Polinomio” e uma expressao que serve para definir funcoes polinomiais como e ocaso das funcoes lineares ou das quadraticas.
Para definirmos uma funcao linear1precisamos de dois coeficientes, um po-linomio do primeiro grau,
f(x) = a + bx
para definirmos uma funcao quadratica, precisamos de tres coeficientes, um po-linomio do segundo grau:
g(x) = a + bx + cx2.
Tanto f como g dizem-se funcoes polinomiais porque estao definidas a partir de po-linomios.
Mas polinomio mesmo sao os coeficientes! Acabamos de fazer uma representacao2.Se “multiplicarmos” h(x) = f(x)g(x) iremos obter uma outra funcao tambem
descrita por coeficientes que sera uma funcao polinomial do grau 3. Faca isto agora!Calcule h.
Observacao 37 Polinomios, operacoes e estruturaCom esta ultima frase acrescentamos duas ideias:
• Operacao com polinomios podemos multiplicar os polinomios, e
• classificacao dos polinomios eles se classificam com auxılio de um conceito cha-mado grau.
A maneira correta de fazer referencia as funcoes lineares, e dizer que elas saofuncoes polinomiais do primeiro grau. As funcoes quadraticas, sao funcoes polinomiaisdo segundo grau, e h e uma funcao polinomial do terceiro grau. Ainda nao definimospolinomios! ate aqui estamos nos mantendo nos exemplos. Vamos insistir um poucomais nesta tecnica antes de partir para a definicao. Os exercıcios seguintes farao isto.
1Funcao linear e um tipo particular de funcao linear afim, mas de agora em diante vamoscometer o erro de chama-las todas de funcoes lineares.
2Existe uma teoria em Matematica chamada, teoria das representacoes... que e grandecomo a teoria dos conjuntos. Nao precisaremos estuda-la toda para fazer algum uso dela,entretanto.
Exercıcios 36 Coeficientes e grau.
1. Multiplicacao de polinomios
Tente descobrir um esquema para multiplicar dois polinomios usando apenas oscoeficientes, (faca a multiplicacao usual e depois apague a variavel...). Verifiqueque e um esquema semelhante ao da multiplicacao dos numeros.
2. representacao polinomial dos numeros
(a) Um numero escrito na base 10 pode ser representado como se fosse umpolinomio, faca isto e depois compare a multiplicacao de dois numero coma multiplicacao de polinomios. Observe que agora os “coeficientes” temuma regra especial, identifique esta regra.
(b) Justifique com a comparacao feita no item anterior a questao de passaralguma coisa para a casa seguinte nas multiplicacoes. Alias, tente definiro que e casa.
(c) Calcule a soma de dois numeros escritos polinomialmente e justifique apassagem para casa seguinte quando houver algarismos desobedecendo aregra que voce construiu.
3. Um sistema de numeracao complicado
Um sistema de numeracao complicado, mas que voce domina completamente.
(a) Observe uma data e um sistema de numeracao
03/08/1998; 03 : 10 : 20
dia, mes, ano, hora, minuto, segundo . . .Quais os “algarismos” que podemser usados em cada uma das “casas” ?
(b) Da para concluir que as datas sao um sistema com bases de numeracaodiferentes ?
(c) Quais sao as operacoes admissıneste sistema de numeros ? Existe elementoneutro? elemento inverso ?
(d) Voce poderia resolver a equacao
03/08/1970; 22 : 30 : 59 + dd/mm/aaaa = 10/02/1999; 03 : 10 : 20
4. Verifique que nao precisamos tambem da variavel para somar polinomios, des-creva isto.
5. Construa um esquema que permita a divisao de dois polinomios usando apenasos coeficientes.
6. Faca varias multiplicacoes, adicoes e divisoes de polinomios usando os esquemaspor voce construidos para usar apenas os coeficientes.
7. Verifique qual das seguintes opcoes serve para representar o conjunto de todosos polinomios com coeficientes reais:
• um polinomio e um elemento de Rn+1,
(a0, a1, · · · , an)
• um polinomio e uma sucessao de numeros reais.
• um polinomio e uma sucessao finita de numeros reais.
Qual e a diferenca entre a primeira e a ultima opcao ?
8. Tente uma definicao de grau, claro voce precisa primeiro resolver a questaoanterior para saber onde grau esta definido.
8.3 A estrutura algebrica dos polinomios
Vamos comecar respondendo as duas ultimas questoes.O conjunto de todos os polinomios com coeficientes reais e designado com sımbolo
R[x] e formado de todas as sucessoes finitas de numeros reais. Quer dizer que
(a0, a1, · · · , an) ∈ Rn ⊂ R[x] (8.6)
(a0, a1, · · · , an+1) ∈ Rn+1 ⊂ R[x] (8.7)
(a0, a1, · · · , an+100) ∈ Rn+100 ⊂ R[x] (8.8)
a0 ∈ R ⊂ R[x] (8.9)
Nos precisamos que os numeros tambem sejam polinomios, veja a ultima linha acima,poderiamos ter escrito (a0), mas isto seria uma notacao nada comum. Assim osnumeros, simplesmente, sao polinomios. Vem entao a pergunta: qual seria o graudos numeros ? A resposta e que voce ja espera, os numeros sao polinomios de grauzero. O grau e um conceito hierarquico dentro do conjunto dos polinomios3. Nosvamos dizer que os numeros sao polinomios de grau zero, eles tem exatamente umcoeficiente. O polinomio
(a0, a1, · · · , an) ≡ a0 + a1x + · · ·+ anxn
e um polinomio de grau n, ele tem n + 1 coeficientes. Observe que polinomio
1 + x3 + x5 ≡ (1, 0, 0, 1, 0, 1)
tem seis coeficientes. Quando escrevemos usando “expressao” algebrica podemos omi-tir os coeficientes nulos porque a “expressao algebrica” garante a informacao correta.Mas 1 + x3 + x5 tem seis coeficientes e nao tres. Enfim o grau corresponde amaiorpotencia do polinomio escrito como expressao algebrica ou numero de coeficientes me-nos 1, considerando os coeficientes nulos.
Quer dizer que o R[x] deve ser entendido como um conjunto infinito de folhas, ouhiperplanos, de graus sucessivamente maiores:
R[x] = R ∪R2 ∪R3 · · · ∪Rn · · ·
Se ficassemos apenas com os polinomios de um certo grau teriamos uma estruturaalgebrica deficiente. Por exemplo se nos fixassemos no conjunto dos polinomios dosegundo grau. Nenhum deles poderia ter inverso aditivo porque
1 + x− x2 + (−1− x + x2)
nao seria um polinomio do segundo grau. Precisamos de ter polinomios de grau zeropara que a operacao acima possa ser efetuada. Se em vez de somar, multiplicarmos:
(1 + x− x2)(1− x + x2) = 1 + x2 + 2x3 − x4 ≡ (1, 0, 1, 2,−1)
vemos que o grau aumenta. Quer dizer que podemos discutir a estrutura de
(R[x],+, ·)
a chamada “algebra dos polinomios”. Esta estrutura e muito semelhante a estrutura(Z, +, ·). A primeira semelhanca consiste na deficiencia da multiplicacao. Como emZ, em R[x] nao tem inversos multiplicativos, de modo que (R[x],+, ·) e um anel.
3O grau tem o que ver com dimensao ... mas nao e exatamente a mesma coisa.
Exercıcios 37 Propriedades do anel dos polinomios Dado um polino mio
P (x) =n∑
k=0
akxk
podemos associar-lhe dois objetos diferentes:
• a funcao [a, b] ∋ x 7→ P (x)
• a sucessao (a0, · · · , an) dos coeficientes.
Esta lista de exercıcios e um laboratorio em que estes dois tipos de objetos seraotestados em diversas circunstancias gerando novas estruturas.
1. Defina a soma de dois polinomios, isto e erspecifique o algoritmo para somarP (x), Q(x), como se voce fosse executar a soma automaticamente com um pro-grama.
2. Mostre que a soma de polinomios e comutativa e associativa.
3. Mostre que no conjunto R[x] existe um elemento neutro para adicao e um ele-mento neutro para a multiplicacao.
4. Mostre que (R[x],+) e um grupo comutativo.
5. Mostre que todo polinomio tem um inverso aditivo.
6. Escreva a formula que associa o grau do multiplicando, do multiplicador e doproduto em R[x].
7. Mostre com um exemplo que em R[x] nao ha inversos multiplicativos.
8. Considere os polinomios P, Q, R e identifique P (x),Q(x), R(x) com os valoresassumidos pelas funcoes definidas por cada um destes polinomios quando x ∈[a, b] ⊂ R. Use esta representacao para demonstrar que o produto de polinomiose comutativo, associativo e distributivo relativamente aadicao.
9. Mostre que a multiplicacao em R[x] e comutativa e associativa. Mostre quea multiplicacao e distributiva relativamente aadicao. Sugestao: use a repre-sentacap funcional.
10. Faca uma listagem ordenada e estruturada das propriedades de (R[x],+, ·), agrupando-as por operacao.
11. Resolva as equacoes abaixo indicando a propriedade utilizada em cada passagem:
a)P + 1 + x2 = x3 b) 4P + x3 = x− 1 c) P+24
= x + 1
12. Tente uma solucao para as equacoes abaixo indicando a propriedade utilizadaem cada passagem:
(a) (x2 + 1)(P + 1 + x2) = 1 + x + 2x2 + x3 + x4
(b) xP = x2 − x3 − x5
13. A convolucao de sucessoes
(a) Calcule o produto dos polinomios definidos abaixo com seus coeficientes naordem crescente (das potencias):
i. (1, 2, 3, 4, 5), (1, 0, 1, 0, 1, 0)
ii. (1, 1, 1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1, 1, 1)
iii. (a0, a1, a2, a3, a4) , (a0, a1, a2, a3, a4)
iv. (a0, a1, a2, a3, a4) , (b0, b1, b2, b3, b4)
(b) Deduza da da ultima multiplicacao feita acima, uma formula para o termogeral ck do produto PQ de dois polinomios como uma soma envolvendo ostermos de P e de Q.
(c) Chame a sucessao finita (a0, a1, a2, a3, a4) dos coeficientes do polino-mioP de a e chame de b a sucessao finita dos coeficientes de Q :
a = (a0, a1, a2, a3, a4), b = (b0, b1, b2, b3, b4),
Expresse a formula do produto dos dois polinomios P, Q como uma funcaoc = a∗ b de modo que a∗ b(k) = ck e o coeficiente de ordem k do polinomioPQ, (use um somatorio para isto).
(d) Mostre que a sucessao finita a = (1, 0, · · · , 0) que tem todas as coordenadasnulas, exceto a primeira, e a unidade relativamente aconvolucao.
8.3.1 Comentarios sobre alguns dos exercıcios
Funcoes polinomiais
Nos primeiros exercıcios estabelecemos uma representacao entre o conjunto dos po-linomios e um subconjunto do conjunto das funcoes definidas no intervalo [a, b].
Vamos ver aqui o poder da generalizacao e ate mesmo a razao pela qual fazemosgeneralizacoes ou representacoes.
Queremos demonstrar que o produto de dois polinomios e comutativo. Sejam P, Qos dois polinomios.
Vamos criar algumas notacoes, palavras novas desta linguagem chamada Ma-tematica que falamos.
Vamos dar um nome a este conjunto de funcoes: F([a, b]).
Observe que R[x]x∈[a,b] ⊂ F([a, b]). Como se costuma dizer ainda, R[x]x∈[a,b] e umsubconjunto pro prio de F([a, b]).
R[x]x∈[a,b] ∋ P 7→ p ∈ F([a, b]) (8.10)
quer dizer: P e o polinomio, p e a funcao polinomial definida por P . (8.11)
R[x]x∈[a,b] ∋ P, Q 7→ p, q ∈ F([a, b]) (8.12)
R[x]x∈[a,b] ∋ PQ 7→ pq ∈ F([a, b]) (8.13)
pq(x) 7→ p(x)q(x) o produto de dois numeros reais (8.14)
pq(x) = p(x)q(x) = q(x)p(x) = qp(x) (8.15)
pq 7→ PQ ; qp 7→ QP (8.16)
se a funcao, representacao, R[x]x∈[a,b] → F([a, b]) (8.17)
for bijetiva, entao podemos concluir que (8.18)
pq = qp ⇒ PQ = QP (8.19)
Fizemos uma demonstracao incompleta, porque usamos uma hipotese que nao foiainda testada ou comprovada: a representacao do conjunto dos polinomios no conjuntodas funcoes e “bijetiva”. Teremos que demonstrar esta afirmacao para legalizar ademonstracao que fizemos acima. Antes de prosseguir discutindo o proximo teorema,
vamos discutir a notacao que estamos usando. R[x] representa o conjunto de todos ospolino mios, e nos podemos escrever um polinomio usando uma expressao algebrica:
P (x) = a0 + a2x2 + a5x
5 ≡ (a0, a1, a2, a3, a4, a5)
ou mais concretamente
P (x) = 3 + 4x2 + 7x5 ≡ (3, 0, 4, 0, 0, 7).
Se escrevermos P (x)x=2 = 3+16+224 = 243 que dizer que substituimos na expressaoalgebrica P (x) a letra x pelo numero 2. Uma outra forma de escrer isto e simplesmente
P (2) = 3 + 16 + 224 = 243.
Mas se quisermos indicar que x pode assumir qualquer valor no intervalo [a, b], aunica maneira de indica-lo e esta que usamos acima: R[x]x∈[a,b]. Neste momento,P ∈ R[x] ; P (x)x∈[a,b] nao e mais um polinomio, e uma funcao polinomial porque xagora representa um numero.
Vamos ao teorema agora.
Teorema 77 Representacao dos polinomios
Seja R[x]x∈[a,b]φ→ F([a, b]) que associa um polinomio P ∈ R[x] a funcao polino-
mial p ; p(x) := P (x)x∈[a,b] ; p ∈ F([a, b]).φ e uma funcao injetiva.
Dem :Considere dois polinomios diferentes, P 6= Q e as correspondentes funcoes polinomiais que
eles induzem em F([a, b]) ; p, q.Mas dizer que dois polinomios sao diferentes, quer dizer que existe pelo menos um dos
coeficientes de um que nao e igual ao correspondente coeficiente do outro, ak 6= bk, supondoque os coeficientes de P sao a0 . . . e os de Q sao b0 . . . Temos que mostrar que as duas funcoesinduzidas por P, Q sao diferentes.
Se fizermos a diferenca, p(x)− q(x), como estas funcoes estao definidas por polinomios, e
estes sao diferentes, entao o polinomio que define esta diferencao e P−Q que nao e o polinomio
zero, porque o coeficiente correspondente a diferenca ak − bk 6= 0, logo a funcao p(x)− q(x) e
diferente de zero para algum x. Logo p 6= q. q.e.d .
Mas, infelizmente, nao poderemos demonstrar, como nos propunhamos, que φ ebijetiva, pois em F([a, b]) existem funcoes que nao sao polinomiais. Isto e φ(R[x]) e umsubconjunto proprio de F([a, b]). Observe a (fig. ??), na pagina ??. A representacao φcria uma imagem em F([a, b]) que e identica a R[x] mas esta imagem nao cobre todo ocontra-domınio, entao φ nao e uma funcao sobrejetiva. Mas se reduzirmos a imagemao que nos interessa, ao conjunto
R[x] = P([a, b]) o conjunto das funcoes polinomiais
entao temos uma funcao bijetiva.Isto chega para estabelecer uma idenficacao no sentido de que podemos considerar
o subconjunto P([a, b]) de F([a, b]) formado por todas as funcoes polinomiais, que e aimagem de φ. Quer dizer, podemos ir e voltar entre P([a, b]) e R[x] logo, fica validada ademonstracao do teorema. Podemos usar o mesmo metodo para provar que o produtode polinomios e associativo, e que o produto e distributivo relativamente a adicao.
Nos usamos o conceito de igualdade entre polinomios sem definı-lo mas agora vamosfechar este buraco logico:
Definicao 59 Igualdade entre polinomios
Dois polinomios sao iguais se todos os seus coeficientes coıncidem.
Compare agora a demonstracao da comutatividade do produto se esta for feitocom o produto de coeficientes:
Dem : Demonstracao da comutatividade do produto de polinomios
Vamos comecar comentando outro exercıcio. Precisamos saber como se escreve o termogeral do produto PQ.
Sejam P = (a0, a1, a2, · · · , an) e Q = (b0, b1, b2, · · · , bm) dois polinomios.
Observe o quadro abaixo da multiplicacao:
b0 b1 b2 b3 b4a0 a1 a2
b0a0 b1a0 b2a0 b3a0 b4a0
b0a1 b1a1 b2a1 b3a1 b4a1
b0a2 b1a2 b2a2 b3a2 b4a2
Neste esquema, em cada linha, voce pode ver cada um dos coeficientes aj sendo multipli-cado por todos os coeficientes bi. No paralelogramo se encontram todos os pares (bi, aj) quee possıvel fazer com os coeficientes de cada um dos polinomios. Em baixo de cada coluna sefaz a soma dos elementos da mesma, nelas a soma dos ındices e constante. Por exemplo, embaixo da quarta coluna ficara:
b3a0 + b2a1 + b1a2
esta soma e coeficiente de x3.
PQ = (a0b0, · · · ,∑
i+j=k
aibj , · · · anbm)
QP = (b0a0, · · · ,∑
i+j=k
bjai, · · · bnam)
e nos temos que mostrar que PQ = QP. Basta mostra que o termo geral∑
i+j=k
ajbk e igual a
∑i+j=k
bjak. Um truque, na verdade uma nova representacao, nos conduzem facilmente a esta
verificacao.
Para multiplicar polinomios, somos conduzidos a fazer todas as multiplicacoes akbj edepois agrupar estes produtos de acordo com a regra dos expoentes que e que se encontra embaixo do somario:
i + j = k a soma dos expoentes valendo k.
Retomando a frase, “a fazer todas as multiplicacoes ...” agora escrita assim: “a fazertodos os pares (ak, bj)” quer dizer, construir o produto cartesiano dos conjuntos
A = {a0, aj , · · · an}, B = {b0, bk, · · · bm}
Observe abaixo o caso com n = 2, m = 4. Chame de A, B aos conjuntos dos coeficientesdos polinomios. Na tabela abaixo voce tem A x B. Marcamos o conjunto dos coeficientesajbk ; j +k = 4. O coeficiente de x4 no produto sera a soma destes coeficientes, faca as contase verifique.
b4 (a0, b4) (a1, b4) (a2, b4)
b3 (a0, b3) (a1, b3) (a2, b3)
b2 (a0, b2) (a1, b2) (a2, b2)
b1 (a0, b1) (a1, b1) (a2, b1)b0 (a0, b0) (a1, b0) (a2, b0)
a0 a1 a2
Experimente agora voce mesmo, considere as “linhas” desta tabela em que a soma dosındices e constante e verifique que sao os coeficientes da mesma potencia de “x” no produto.Por exemplo, quando a soma for 3 voce tera
(a0, b3), (a1, b2), (a2, b1)
que somados:(a0b3 + a1b2 + a2b1)x3
sao os coeficientes de x3 no produto dos dois polinomios. Podemos assim identificar todos assomas que correspondem a uma determinada potencia no produto cartesiano dos conjuntosdos coeficientes.
Quando comutarmos os polinomios, na multplicacao, isto significa que vamos passar aolhar o produto cartesiano B x A que sao diferentes, e verdade, mas que tem alguma iden-tidade:
(x, y) ∈ A x B ⇒ (y, x) ∈ B x A
e como a multiplicacao de numeros e comutativa, entao as duas linhas cuja soma de ındicesvale k produzem o mesmo coeficiente no produto, para o coeficiente de grau k.
Quer dizer, o produto de polinomios e comutativo. q.e.d .
Observacao 38 Representacao.Obviamente “arroz com feijao” e “baiao de dois” sao duas coisas diferentes, como
1 + x2 + x3 6= (1, 0, 1, 1).
Sao diferentes, mas para muitos efeitos representam a mesma coisa, e esta ideia sobo conceito de representacao. Temos conjuntos diferentes mas identificados atraves de umabijecao.
Em ambos os casos usamos representacoes. Num caso representamos o conjunto dospolinomios no conjunto das funcoes definidas no intervalo [a, b], identificando
R[x]x∈[a,b] com P([a, b]) ⊂ F([a, b]).
E rigorosamente a mesma que fazemos quando identicamos os inteiros com as fracoes dedenominador 1. Sao dois objetos diferentes. Tambem estamos fazendo representacao quandoidentificamos os numeros racionais com pontos da reta.
Talvez para alguns dos leitores, uma das demonstracoes que fizemos da comutatividadedo produto e a mais facil. E esta a razao porque fazemos representacoes, para buscar umamaneira mais facil de entender o que esta acontencendo num conjunto complicado. Estae uma das principais atividades da Matematica, fazer representacoes para explicar os fatosdentro de outra estrutura.
Exercıcios 38 Associatividade do produto
1. Prove que o produto de tres polinomios, P, Q, R e associativo, use a repre-sentacao
R[x]x∈[a,b] → F([a, b])
2. Prove que o produto de tres polinomios, P, Q, R e associativo, use a repre-sentacao dos polinomios no conjunto das sucessoes finitas e veja como fica oproduto cartesiano onde voce vai representar os coeficientes do produto.
Convolucao de sucessoes
Na secao anterior discutimos o produto de polinomios e fomos levados a fazer umarepresentacao de R[x] num conjunto de funcoes para ver melhor o que significava acomutatividade.
Representamos tambem os polinomios no conjunto das sucessoes finitas. Podemosentao observar que
R[x] ∋ P, Q ; PQ ≡ p ∗ q ; p, q sucessoes finitas.
A operacao p ∗ q com as sucessoes finitas, se chama convolucao.Vamos dar um nome ao conjunto das sucessoes finitas: R∞. Observe que tem
sentido o “expoente” ∞, nao num sentido operatorio. R3 e o conjunto de todas assucessoes que tem “exatamente” tres elementos. Rn e o conjunto de todas as sucessoesque tem “exatamente” n elementos. R∞ e a reuniao de todos os Rn para qualquerque seja n. Depois voce vai encontrar este conjunto em Matematica mais avancadacom outro nome. No momento usaremos este. Temos entao dois conjuntos diferentes,R[x],R∞. Mas podemos mostrar que
• A todo polinomio P ∈ R[x] corresponde exatamente uma sucessao finita p ∈R∞.
• Reciprocamente, a toda sucessao finita p ∈ R∞ corresponde exatamente umpolinomio P ∈ R[x].
• Se chamarmos φ a representacao que acabamos de mencionar,
R[x] ∋ Pφ7→ p ∈ R∞
podemos afirmar que
φ(PQ) = φ(P ) ∗ φ(Q)
em outras palavras, da no mesmo fazer o produto de polinomios e depois passarφ ou primeiro, passar φ e fazer a convolucao.
Tambem podemos afirmar que
φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q)
em outras palavras, da no mesmo fazer a soma de polinomios e depois passar φou primeiro, passar φ e fazer a soma de sucessoes.
Isto significa que as duas estruturas (R[x],+, ·) e (R∞, +, ∗) sao “identicas”. Comode fato elas nao “identicas”, temos uma palavra em Matematica para dizer isto: dize-mos que
(R[x],+, ·) e (R∞,+, ∗) sao isomorfas.
Dizemos ainda que R[x]φ→ R∞ e um isomorfismo.
Definicao 60 IsomorfismoUma representacao entre duas estruturas que seja bijetiva e preserve as duas es-
truturas se chama um isomorfismo.
Nos discutiremos com mais detalhes a estrutura de R[x] na proxima secao.
Exercıcios 39 1. Calcule separadamente os coeficientes de todos os graus de x noproduto de polinomios
(3
4+
4x
3+ x4)(
−x
3+
x2
3+ x5)
2. Considere os polinomios
P (x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn, Q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm.
Escreva os quatro primeiros coeficientes do produto PQ.
3. Calcule a convolucao
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ∗ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
4. Calcule a convolucao(1) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
5. Calcule a convolucao
(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
6. Considere os polinomios
P (x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn, (8.20)
Q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm, (8.21)
R(x) = c0 + c1x + · · ·+ clxl. (8.22)
Calcule os quatro primeiros coeficientes do produto P (QR). Calcule tambemos quatro primeiros coeficientes do produto (PQ)R. Que conclusao o resultadosugere? Prove esta sugestao.
7. Representando R[x] em F([a, b]), prove usando a associatividade do produto denumeros reais, que o produto de polinomios e associativo. Escreva cuidadosa-mente todas as passagens, (idas e voltas).
8. Prove que o produto de polinomios e distributivo relativamente aadicao de po-linomios.
9. Calcule 2P,P 2, P 2 − 1 se
P (x) =−3
4+
4x
3+ 2x2 + x3 + x4.
10. Calcule (x + a1)(x + a2).Escreva separadamente todos os coeficientes deste pro-duto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma relacao entre os numerosa1, a2.
11. Calcule (x + a1)(x + a2)(x + a3). Escreva separadamente todos os coeficientesdeste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma relacao entreos numeros a1, a2, a3.
12. Calcule (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4). Escreva separadamente todos os coefici-entes deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma relacaoentre os numeros a1, a2, a3, a4.
13. Considere o produto
(x + a1)(x + a2) · · · (x + an) ; n > 2.
Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Voce poderia iden-tificar no resultado algo ligado a Analise Combinatoria? Identifique a estruturadestes coeficientes entre uma relacao com os numeros a1, a2, · · · , an.
14. Considere o polinomio 6 + 5x + x2. Ele pode ser o produto (x + a1)(x + a2).Verifique se isto e possıvel e entao fatore 6 + 5x + x2.
15. Observe se e possıvel fatorar os polinomios abaixo:
−6 + x + x2 −6− x + x2 12 + 7x + x2
−12− 7x + x2 −12− x + x2 4− 2x + x2
8 + 6x + x2 −8− 2x + x2 12− 7x + x2Quando for possıvel, resolva
a equacao P (x) = 0.
16. Observe se e possıvel fatorar os polinomios abaixo:
3 + 6x + 6x2 + x3 −8 + 2x + 5x2 + x3
−8 +−9x + x2 + x3 10 + 2x + 5x2 + x3
Quando for possıvel, resolva a equacao P (x) = 0.
8.4 Estrutura do conjunto dos polinomios a co-
eficientes reais.
R
R[x]
R[x]
F([a,b])
Figura 8.1: R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b])
Vamos descrever a estrutura do conjunto dos polinomios a coeficientes reaiscom base nas experiencias que desenvolvemos na secao anterior.
Fizemos diversas experiencias e exercıcios nas secoes anteriores que agora devemnos permitir a discussao da estrutura do conjunto dos polinomios R[x] na presencadas operacoes de adicao e multiplicacao de polinomios.
Ja verificamos que o produto de polinomios e comutativo. Num dos exercıcios sepediu que voce provasse que este produto e associativo, vamos resolver o tal exercıcio.
Considere tres polinomios:
P (x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn φ7→ p ∈ P([a, b]) (8.23)
Q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm φ7→ q ∈ P([a, b]) (8.24)
R(x) = c0 + c1x + · · ·+ clxl φ7→ r ∈ P([a, b]). (8.25)
Primeiro vamos mostrar que esta representacao φ e um isomorfismo: e bijetiva,preserva as operacoes. A bijetividade ja foi discutida anteriormente.
• preserva a multiplicacao Porque tanto PQ como pq sao identificados pelo pro-duto dos coeficientes, logo φ(PQ) = φ(P )φ(Q).
• preserva o elemento neutro da multiplicacao Porque φ(1) = 1 a funcao cons-tante x 7→ 1 se encontra adireita enquanto que aesquerda, temos o polinomio degrau zero de coeficiente 1.
• preserva a adicao Porque tanto P + Q como p + q sao identificados pelo somados coeficientes, logo φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q).
• preserva o elemento neutro da adicao Porque φ(0) = 0 a funcao constante x 7→ 0se encontra adireita enquanto que aesquerda, temos o polinomio de grau zero decoeficiente 0. O polinomio nulo.
Sabemos que φ preserva as estruturas de R[x] e de P([a, b]), mas ainda nao dis-cutimos que estrutura e esta. Quando soubermos qual e a estrutura de R[x], auto-maticamente teremos demonstrado, via isomorfismo, que a mesma estrutura vale emP([a, b]). E esta outra vantagem dos isomorfismos.
• estrutura de (R[x],+). Como a soma e comutativa, associativa e tem um ele-mento neutro, e todo polinomio tem um inverso aditivo (que se obtem trocandoos sinais de todos os coeficientes), entao (R[x],+) e um grupo comutativo.
• estrutura de (R[x], ·). A unica propriedade para que tenhamos um grupo, quenao vale e a existencia de um inverso multiplicativo. Chamamos esta estruturade monoide. O produto e associativo, comutativo, e existe um elemento neutropara a multiplicacao que e o polinomio de grau zero 1.
• O produto e distributivo relativamente aadicao, que se prova facilmente usandoa representacao de R[x] em F([a, b]).
• O produto do polinomio nulo por qualquer outro, produz o polinomio nulo.
Estas propriedades sao identicas aspropriedades de (Z, +, ·). Vemos assim que(R[x],+, ·) e um anel comutativo como os inteiros.
Consequentemente (P([a, b]),+, ·) e tambem um anel comutativo. Observe queaqui tivemos o cuidado de usar P porque o isomorfismo e
R[x]φ→ P([a, b]).
Os objetos isomorfos sao R[x],P([a, b]). Como um e um anel, entao o outro tambemo e.
Demonstramos assim:
Teorema 78 Anel dos polinomios (R[x],+, ·) e um anel comutativo.
e como corolario:
Teorema 79 Anel das funcoes polinomiais(P([a, b]),+, ·) e um anel comutativo.
8.5 A divisao de polinomios
Como nos inteiros, a divisao no anel dos polinomios cria estruturas riquıssimas, exa-tamente porque nao e “exata”.
Vamos comecar comparando com a divisao de numeros inteiros, porque foi assimque os nossos antepassados construiram a divisao de polinomios. No anel dos inteirosencontramos o “conjunto” dos restos na divisao por um determinado inteiro, por 5,digamos:
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}e a soma de restos se comporta algebricamente bem, veja a tabela operatoria abaixo:
Tabuada com restos na divisao por 5.
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3
Nos escrevemos 1 em vez de escrever 1 porque o resto 1 nao e a mesma coisa queo numero 1, inclusive a adicao com restos nao tem a mesma “tabuada” que a adicaocom numeros. Mas as propriedades sao as mesmas:
1. A adicao e comutativa.
2. A adicao e associativa.
3. Existe um elemento neutro para a adicao.
4. Todo resto tem um inverso aditivo.
Destas propriedades, a unica que e trabalhosa e a associatividade uma vez queteriamos que analisar todos ternos (a + b) + c = a + (b + c).
Mas se usarmos o algoritmo da divisao euclidiana esta demonstracao fica simples,veja.
Vamos antes demonstrar um teorema que torna tudo simples, e a regra que permitepassar do resto da soma para a soma dos restos.
Considere dois numeros inteiros x, y.Chame r1 = resto5[x] ; r2 = resto5[y].Podemos entao escrever sucessivamente:
y = 5q + r2 (8.26)
x = 5q′ + r1 (8.27)
x + y = 5q′′ + r2 + r1 = 5q′′′ + r ; r = resto5[r1 + r2] (8.28)
resto5[x + y] = resto5[x] + resto5[y] (8.29)
A sequencia de equacoes acima mostra que resto preserva a adicao dos inteiros, naoe um isomorfismo porque nao e identificacao entre os dois conjuntos Z e o conjuntodos restos na divisao por 5 Z5. Temos entao uma palavra menos forte para este caso,morfismo:
Definicao 61 MorfismoUm morfismo entre duas estruturas e uma representacao que preserva a(as) operacao(oes)
entre as duas estruturas.
Como o resto preserva a adicao na passagem de Z para Z5 entao e um morfismo4
de grupos.
Definicao 62 Morfismo de grupos
Dados dois grupos (G1, o1), (G2, o2) uma funcao G1f→ G2 tal que
• f(ao1b) = f(a)o2f(b)
• f(e1) = e2 em que e1 e o elemento neutro de (G1, o1) e e2 e elemento neutro de(G2, o2) se chama um morfismo de grupos.
E demonstramos assim o teorema:
Teorema 80 Morfismo dos grupos (Z, +), (Z5, +). A funcao resto5 e um morfismode grupos.
resto5[x] + (resto5[y] + resto5[z]) = (8.30)
como resto e morfismo de grupos: (8.31)
resto5[x + (y + z)] = resto5[(x + y) + z] (8.32)
porque a soma em Z e associativa (8.33)
x + (y + z) = (x + y) + z (8.34)
porque resto5 e um morfismo de grupos. (8.35)
Portanto (Z5,+) e um grupo comutativo, como os inteiros, relativamente asoma:
Teorema 81 (Z5,+) e um grupo comutativo
Podemos ver que semelhancas deste tipo ocorrem na divisao com polinomios. Vamosestudar uma delas, construir um exemplo que mostrara como construir as congruencias,inclusive no caso dos inteiros.
8.5.1 Os restos na divisao por 1 + x2.
Dados dois polinomios, definimos a divisao usando um algoritmo que e semelhante aodivisao de inteiros:
Definicao 63 Algoritmo da divisao euclidiana. Seja P, D dois polino mios. Dizemosque o polinomio Q e o polinomio R sao respectivamente o quocieente e o resto nadivisao de P por D se e somente se
P = DQ + R
4Ha autores que insistem numa denominacao antiga, homomorfismo
Esta expressao e uma copia do algoritmo usado na divisao de inteiros. Para osinteiros a justificativa do algoritmo e a seguinte:
• Se P for divisıvel por D entao o resto e zero e a expressao fica: P = DQ.
• Se P nao for divisıvel por D entao existe um multiplo de D pelo inteiro m quee menor que P e outro que pelo inteiro m + 1 que e maior do que P. Neste casoescolhemos o inteiro m como quociente e calculamos a diferenca:
P −mD = R
• O numero inteiro R e menor do que D, caso contrario poderiamos ter escolhidom + 1 como quociente. Reescrevendo a ultima expressao vem a formula doalgoritmo da divisao euclidiana:
P = mD + R ; 0 ≤ R < D
quer dizer que os restos possıveis na divisao por D sao
0, 1, · · · , D − 1.
Quando se foi fazer divisao com polinomios, se experimentou este algoritmo e deucerto. As regras sao um pouco mais complicadas, porque temos que pensar no grau,em vez de “menor do que”.
• Querendo dividir P por 1 + x2 sabemos que o resto deve ter grau menor do queo do divisor, portanto R e um polinomio do primeiro grau:
R(x) = a + bx.
Se a divisao der exata, entao:
P = (1 + x2)D ; grau(D) = grau(P ) - 2
• Se a divisao nao der exata esta regra segue sendo obedecida. Entao estamosprocurando um polinomio cujo grau seja duas unidades menor do que o grau deP para ser o quociente, e um resto do primeiro grau.
Exemplo 50 Uma divisao
(x4 + 3x3 + x2 + x + 1)÷ (x2 + 1)
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)Q + R
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)Q + ax + b
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(d2x2 + d1x + d0) + ax + b
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = d2x4 + d1x
3 + (d0 + d2)x2 + d1x + d0 + ax + b
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = d2x4 + d1x
3 + (d0 + d2)x2 + (d1 + a)x + (d0 + b)
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1
x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x2 + 3x) + (−2x + 1)
o resto da divisao e− 2x + 1
Podemos fazer as mesmas contas sem usar a variavel5 Quando usamos apenas oscoeficientes se costuma escrever os polinomios em potencias crescentes, assim
P ≡ (1, 1, 1, 3, 1) ≡ 1 + x + x2 + 3x3 + x4
(1, 1, 1, 3, 1)÷ (1, 0, 1)
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + R
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(d0, d1, d2) + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (d0, d1, d0 + d2, d1, d2) + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (d0 + b, d1 + a, d0 + d2, d1, d2)
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(0, 3, 1) + (1,−2)
o resto da divisao e (1,−2)
Quer dizer que o resto na divisao por (x2 +1) e o conjunto de todos os polinomiosdo primeiro, R1[x], ou todos os pares de numeros (a, b) ∈ R2. Observe as comparacoesque estamos fazendo, (mais representacoes...
Vamos explorar um pouco mais este exemplo, veremos alguns fatos excitantes.Vamos fazer algumas contas:
Exercıcios 40 Calculo com restos
1. Use o algoritmo da divisao euclidiana para calcular o resto de
(a + bx)(c + dx)
na divisao por 1 + x2
2. congruencia Tente estabelecer uma regra para as operacoes de soma e multiplicarcom os restos:
a + bx + c + dx ; (a + bx)(c + dx)
A resposta do ultimo exercıcio e:
• Como os restos sao polinomios do primeiro, entao a soma dos restos e a somados dois polinomios do primeiro grau: a + bx + c + dx = (a + c) + (b + d)x
• No caso do produto, multiplicando os dois restos temos:
bdx2 + (ad + bc)x + ac
que dividido por x2 − 1 e:
bd (ad + bc) ac 1 0 1
−bd 0 −bd bd0 ad + bc ac− bd
A regra que procuravamos e: o resto
sera: (ad+bc)x+(ac−bd). Compare com a multiplicacao de numeros complexos...
5Usar ou nao a variavel e uma questao de gosto.
Este conjunto, o dos restos de um polinomio qualquer na divisao por 1 + x2 vaiser denominado R[x]/(1 + x2). Como os restos sao classes de equivalencia, a notacaoacompanha a ideia, temos um conjunto quociente. Ele e formado de todos os polinomiosdo primeiro grau e nele valem as regras operatorias que terminamos de descobrir.
Exercıcios 41 Congruencias
1. Calcule as duas taboadas, de adicao e de multiplicacao para os restos na divisaopor 5.
2. Verifique que (Z5,+, ·) tem as mesmas propriedades que (Q,+, ·) e portanto eum corpo.
3. classes de equivalencia Observe que os restos sao etiquetas, eles representam to-dos os numeros inteiros que deixam aqule resto na divisao. Apresente as classesde cada resto na divisao por 5, (estas classes se chamam “classes modulo 5”).
4. classes de equivalencia Apresente todas as classes modulo 4, mo dulo 3, modulo2.
5. Resolva a equacao 3x + 4 = 2 em (Z5,+, ·).6. Calcule as duas taboadas, de adicao e de multiplicacao para os restos na divisao
por 4.
7. Verifique que (Z4,+, ·) nao tem as mesmas propriedades que (Z5,+, ·), verifiquequal a propriedade que falha. Verifique que em Z4 e possıvel encontrar x 6=0, y 6= 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero.
8. Verifique que (Z6,+, ·) nao tem as mesmas propriedades que (Z5,+, ·), verifiquequal a propriedade que falha. Verifique que em Z6 e possıvel encontrar x 6=0, y 6= 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero.
9. Verifique que (Z7,+, ·) tem as mesmas propriedades que (Q,+, ·) e portanto eum corpo.
10. Resolva a equacao 5x + 4 = 3 em (Z7,+, ·).11. Defina um isomorfismo entre os restos na divisao por x2 + 1 do conjunto de
todos os polinomios e o conjunto R2. Naturalmente agora voce sabe somar emultiplicar em R2. Calcule
(1, 2) + (3, 4) (1, 2)(3, 4) (1, 0)(1, 0) (0, 1)(0, 1)
Compare com as operacoes dos numeros complexos.
12. Prove6 que em R[x]/(x2 + 1) existe um elemento neutro para multiplicacao eque para todo resto a + bx existe outro resto c + dx tal que (a + bx)(c + dx) = 1.
13. Prove que R[x]/(x2 + 1) e um corpo, quer dizer, que (R2,+, ·) em que a adicaoe aquela definida pelo isomorfismo, assim como o produto, e um corpo.
Este corpo, definido com o conjunto R2 tem uma representacao geometrica, eo plano, e o conjunto dos numeros complexos.
6se voce usar apenas os coeficientes e a regra operatoria ja descoberta, fica tudo mais facil.
Referencias Bibliograficas
[1] Courant, Richard Gauss and the present situation of the exact sciences in TheSpirit and the uses of the Mathematical Sciences - McGraw-Hill - paperbacks - 1969
[2] Hilbert, David Grundlager der geometri
[3] Lang, Serge Estruturas Algebricas
[4] Menezes, Darcy Lear de Abecedario da Algebra - Nobel - 1969 (apenas para serconsultado)
[5] Nachbin, Leopoldo - Introducao a Algebra
291
Indice Remissivo
Cpn, 38
Cpn, 33, 43
N, axiomas, 92N, primeiro elemento, 91Π(A), 44Q
classes de equivalencia, 111Q, ultima definicao, 110Q, definicao, 100Q, redefinicao, 108S1, 250Z
adicao, 93, 94anel, 98ordem, 93, 95produto, 95, 97propriedades, 96troca de sinal, 93valor absoluto, 94
Z,Q sao compatıveis, 104, 105area, 15Q, 100angulo
coeficiente angular, 147area de um retangulo, 134arvore de possibilidades, 53ınfimo, 69ultimo teorema de Fermat, 124
Q+,Q−, 115biunivoca, correspondencia, 123
a reta numerica, 123absoluto, valor, 94abstracao, 167absurdo, demonstracao, 116acaso, 40acrescimo, 82adicao em N, 90adicao em Q, 101
adicao em Z, 93, 94adicao, complexos, 241adicao, propriedades, 91adicao, propriedades em Q, 105adicao, propriedades em Z, 95adicao do tempo, 17adicao, tempo, 17agregado, 18algebrica
computacao, 137algebricos, numeros, 123, 124algarismos e letras, 18algoritmo
divisao euclidiana, 286anonimo, logaritmo, 224anel
polinomios, 285aplicacao de particao, 46aritmetica
progressao, 139, 141sucessao, 139
arquimedianapropriedade, 115
arquimediana, propriedade de R, 135arranjo
com repeticao, 32simples, 32
arranjos, 53arranjos com repeticao, 54arranjos simples, 54, 56arranjos, o numero, 54axiomas
numeros naturais, 92axiomas de Peano, 91
Bascaraformula, 175
basealgarismo, 264, 274numeracao, 261, 264, 273, 274
292
casa, 264, 274base de numeracao, 261, 273bijetiva, funcao, 80bijetora, funcao., 80binomio de Newton, 48, 50
cırculomodulo, 128
cadeia, 69cardinalidade, 20classe de equivalencia, 44classes, 45
de numeros complexos, 256classes!geometria, 110classes!interpretacao geom., 111classes modulo n, 289classificacao, 44codificacao, 77codificacao, decodificacao, 78, 81coeficiente, 264, 274
angular, 148coeficiente angular, 84
angulo, 147combinacao, 43combinacoes, 33, 37compatibilidade de Z com Q, 104, 105complexos, adicao, 241complexos, inverso multiplicativo, 244complexos, modulo, 244complexos, multiplicacao, 244complexos, produto, 242computacao algebrica, 137congruencia, 289congruenicias, 289conjectura sobre Z, 92conjugado, 248, 252conjunto
estrutura, 13figura plana, 13finito, 15limitado, 15numero de elementos, 20parcialmente ordenado, 68partes, 33totalmente ordenado, 68unitario, 33vazio, 33
conjunto de funcoes, 267, 277conjunto de polinomios, 267, 277conjunto dos reais, 123
conjunto finito, 15conjunto infinito, 15, 16conjunto limitado, 15conjunto, elemento, 10conjuntos
estrutura, 27ferramenta, 9linguagem, 9operacoes, 21
conjuntos das partes, 33conjuntos numericos, 90Construcao de N, 92construcao de N, 91, 92construcao de Z, 93contagem, princıpio, 56contra-domınio, 72convolucao, 271, 272, 281, 282
de sucessoes, 267, 277polinomios
produto, 267, 277corpo ordenado dos racionais, 106correspondencia biunivoca, 123correspondencia sobre, 123cruzamento de informacoes, 46
dıvida externa, 168dados estruturados, 16Decimal, logaritmos, 212, 218, 219, 222decodificacao, codificacao, 78, 81deducao logica, 38definicao de Q, a ultima, 110definicao de Q, 100definicao de funcao, 74demonstrar ou nao demonstrar, 26denominador e numerador, 101Descartes, Rene, 148desigualdade e adicao, 134desigualdade e multiplicacao, 134desigualdade em Q, 105determinante, 160diferenca entre conjuntos, 21, 24diferencas
delta, 82diferenca simetrica, 27diferencas
∆, 145difusos, limites, 44discriminante, 175divisao
algoritmo, 287–289
exemplo, 288inteiros, 285polinomios, 285
divisao euclidiana, 287divisores de zero, 289, 290domınio, 72
e ≈ 2.718281, 221elemento de um conjunto, 10equacoes
sistemas lineares, 157equidistantes, termos, 88equivalencia
classes denumeros complexos, 256
equivalencia de fracoes, 110escolha
independencia, 44estatıstica, 33estrutura, 18, 90
polinomios, 283, 285estrutura aditiva, 17estrutura algebrica das horas, 96estrutura algebrica de (Q, +), 106estrutura algebrica de (Z,+), 96estrutura algebrica de N, 90estrutura algebrica de R., 134estrutura complexa, 18estrutura de ordem, 18estrutura nos conjuntos, 27estrutura zero, 15estrutura, conjunto, 13estruturados, dados, 16estruturas, 15, 18estruturas algebricas, 18extremal, 69
formula de Moivre, 252formula fundamental, logaritmos, 225fatorial, 39Fermat, o ultimo teorema de, 124figura, 126
...., 132, 133area do trapesio, 144adicao vetorial, 128conjugado, 249Conjuntos
Diferenca, 25diferenca de vetores, 128equacao da reta, 150
forma polar, 251fracoes, 100funcao linear, 87funcao linear afim, 83, 85grafo, 14Inclusao, 12Intersecao, 22Intervalo, 114logaritmo, 238, 239logaritmos, 238numeros complexos, 246
geometria, 243parabola, homotetias, 237paralelogramo, 125plano cartesiano, 149polinomios, 284Produto
numeros complexos, 243produto
matrizes, 159raızes da unidade, 255raızes quintas de 7, 259Raizes, 116raizes cubicas, 259raizes da unidade, 257raizes de dois, 258Reta
coeficiente angular, 84Reta e P.A., 146Retas
coeficiente angular, 148retas paralelas, 151segundo grau, 234–236sistema
equacoes lineares, 158Soma de Segmentos, 127soma dos termos
P.A., 143translacao, 236translacoes, 237Uniao, 21, 61, 62
figuras planas, 18fina
particao, 45finito, conjunto, 15forma polar, 250, 251fracao, 101fracoes
inter. geometrica, 112fracoes, equivalencia, 110
funcao, 72linear afim, 81propriedades, 75
funcao bijetiva, 80funcao bijetora, 80funcao injetiva, 78funcao injetora, 78funcao linear, 86funcao polinomial, 82funcao sobrejetiva, 79funcao sobrejetora, 79funcao troca de sinal, 93funcao, definicao, 74funcoes polinomiais, 267, 277funcao
imagem, 75primeiro grau, 149segundo grau, 170
funcao linear, 138funcao linear afim
P.A., 141, 145
Gaussinteiros de, 253
geometrianumeros complexos, 243
GirardRelacoes, 174, 180relac oes, 245
GPL, 137grafico
adicao, 130desigualdade, 130evolucao do dolar, 74Histograma, 73modulo, 129multiplicacao, 129racionais e inteiros, 102reais, 129, 130
graficos de funcoes., 75–77, 80grafico
numeros complexos, 242grafo
nos, 14granularidade, 220, 222grau, 263–265, 274, 275
dimensao, 265, 275primeiro
funcao, 149segundo
funcao, 170grossa
particao, 45grupo
Z, 287Z5, 287horas, 96, 97
grupo aditivo (R,+), 131grupo multiplicativo (R, ·), 134grupos, morfismo de, 286
homomorfismo, 286horas, estrutura algebrica, 96horas, taboada, 96
ideias basicas, 9imagem, funcao, 75imaginarias, raizes, 240inclusao, 18, 20incompleta
equacao, 178independencia de escolhas, 44inducao finita, 35informacao, 18injetiva, funcao, 78injetora, funcao., 78inteiros
racionaisreais, 124
inteiros de Gauss, 253interpretacao geometrica, 110, 111intersecao de conjuntos, 21intersecao, 27invencao de Z, 93irracional
numero, 124isomorfismo, 271, 272, 282, 284, 285
juros, 139prestacoes, 143
juros simples, 142
lei das proporcoes, 110letras e algarismos, 18limitado, conjunto, 15limites difusos, 44linear
funcao, 86funcao, 136, 138
lineares
sistemas de equacoes, 157linguagem, pobreza, 16logaritmo
anonimo, 224Logaritmo Decimal, 212, 218, 219, 222logaritmos
anonimos, 228decimais, 230formula fundamental, 225Napier, 203
logaritmos anonimos, 229
m.m.c, 113m.m.c. e soma de fracoes, 112maximo, 69metodos aritmeticos, 90mınimo, 69modulo, 128
cırculo, 128modulo de x ∈ R, 128matricial
produto, 250matriz, 157, 158Maxima, 137maximais, 69minimais, 69mmc, 101Moivre
formula, 252morfismo, 286
de grupo, 287morfismo de grupos, 286multi-base
datas, 264numeracao, 264, 274
multiplicacaopolinomios, 270, 280
multiplicacao em N, 90multiplicacao, propriedades, 91multiplicacao, propriedades em Q, 106multiplicacao, propriedades em Z, 97multiplicacao
matrizes, 158multplicacao geometrica, 132museu, 203, 211, 216
n, 39n(P(A)), 51numeros
soma, 145
numeros complexos, 176numero complexo, 241numero de elementos, 51numero inteiro negativo, 93numero inteiro positivo, 93numero racional, 99numeros algebricos, 123, 124numeros combinatorios, 43numeros combinatorios, 43numeros complexos, 240, 290numeros naturais
axiomas, 92numeros reais, 123numeros reais negativos, 124numeros reais positivos, 124numeros transcendentais, 123, 124nao pertence, 10Napier
logaritmos, 203negativo, numero inteiro, 93negativos, numeros reais, 124negativos, racionais, 109Newton, binomio, 48, 50nocao primeira, 9nocoes basicas, 9notacao
palavras, 267, 278numeracao
base, 264, 274multi-base, 264, 275sistema complicado, 264, 274
numeracao, base, 261, 273numerador e denominador, 101numeros
sentido contrario, 125
o conjunto Q, 100O plano complexo, 244operacoe, prioridade, 24ordem
irrelevante, 43ordem em N, 92ordem parcial, 68ordem total, 68ordem, estrutura de, 18ordem, relacao, 68ordenados, pares, 29
P(A), 51P.A., 145
equidistantestermos, 145
soma dos termos, 145p.a., 87, 88P.G
soma dos termos, 167P.G.
laboratorio basico, 166, 167p.g., 89paralelogramo
degenerado, 126regra, 125
parcial, ordem, 68, 71pares ordenados, 29parte
imaginaria, 252real, 252
parte imaginaria, 252parte inteira de x ∈ R, 135parte real, 252partes, conjunto das, 19particao, 44particao, aplicacao, 46particao, 44
mais fina, 45mais grossa, 45
Pascaltriangulo, 20, 34triangulo, 33, 34
Pascal, triangulo de, 19Peano, axiomas, 91permutacao, 57permutacoes, 57pertence, 10pertinencia, 18, 20pobreza de linguagem, 16polar, forma, 250polinomio
grau, 263operacao, 263primeiro grau, 136
polinomiodefinicao, 265, 275funcao, 82grau, 82valor, 82
polinomios, 263, 273algebra, 266, 276anel dos, 260, 266, 276equacoes, 266, 277
estrutura, 265, 275funcoes, 267, 277funcoes polinomiais
representacao, 269, 279grau, 265, 275, 276grau zero, 265, 275grupo dos, 266, 276igualdade de, 268, 269, 279inverso
multiplicativo, 266, 277multiplicacao, 269, 279multiplicacao, 270, 280numeros, 265, 275propriedades, 266, 276, 277representacao, 269, 270, 279, 281
polinomialfuncao, 263, 274
positivo, numero inteiro, 93positivos, numeros reais, 124possibilidades, arvore, 53Potencias de i, 245pratica e teoria, 47primeiro elemento de N, 91princıpio da contagem, 56princıpio do terceiro excluso, 116Principia Matematica, 91prioridade, operacoes, 24produto cartesiano, 63produto e matriz, 250produto, complexos, 242produto, raiz, 240programa
estensao da adicao, 118estensao da desigualdade, 118estensao da multiplicacao, 118
progressaoaritmetica, 87, 137, 138
razao, 138termos equidistantes, 144
geometrica, 89, 165razao, 165
progressao aritmeticasoma dos termos, 142
proporcoes, lei, 110propriedade arquimediana da reta, 115,
135propriedade associativa, 23propriedades
imagem de f , 75propriedades da adicao, 91
propriedades da adicao em Q, 105propriedades da adicao em Z, 95propriedades da multiplicacao, 91propriedades da multiplicacao em Q, 106propriedades da multiplicacao em Z, 97propriedades da ordem em N, 92propriedades dos restos, 286
quadradoscompletacao, 173
quase decimais, logaritmos, 219quase-particao, 93, 108quociente
restos na divisao, 289
raızes complexas, 176racionais negativos, 109racionais, corpo ordenado, 106racional, numero, 99raiz do produto, 240raizes
da unidade, 252de um numero complexo, 252relacoes, 272, 273, 283
raizes imaginarias, 240razao
p.a., 87p.g., 89progressao aritmetica, 138progressao geometrica, 165
reais√2, 123√n, 123
a reta, 122, 123adicao, 124conjunto dos, 122
reais, conjunto dos, 123reais, numeros, 123redefinicao de Q, 108regra do paralolgramo, 125relacao de ordem, 68relacao de ordem parcial, 68, 71relacao de ordem total, 68relacoes, 65repiticao proibida, 43representacao, 261, 263, 268, 270, 273, 274,
278, 280inteiros em Q, 270, 281racionais na reta, 270, 281
representacao
geometrica, 242resto
polinomios, 289restos
operacoes, 285, 289propriedades, 286
retaa multiplicacao, 132coeficiente angular, 84coeficiente linear, 84corpo ordenado, 134equacoes, 135equacao, 148grupos multiplicativos, 134inverso aditivo, 131o grupo aditivo, 131o zero, 131os inteiros, 131os racionais, 131passando em (α, β), 153relacao de ordem, 134
reta numerica, 15Russel, 92
sacado, 52segundo grau
equacao, 175sentido, 125simples
reducaoao caso, 167
sinal de um numero, 129sinal, troca, 93, 128sistema
nao linear, 174sobre, correspondencia, 123sobrejetiva, funcao, 79sobrejetora, funcao., 79soma
primeiros n numeros, 145soma de fracoes e m.m.c., 112subconjunto, 11subconjunto proprio, 267, 278sucessoes finitas, 271, 281sucessor em N, 91supremo, 69
tabelagranularidade, 220
taboada das horas, 96
tabuadarestos por cinco, 286
tabuada das horas, 96taxa
de Variacao, 172taxa de variacao, 171tempo, adicao, 17teoria dos numeros, 124teoria e pratica, 47termo geral, 87termos equidistantes, 88total, ordem, 68transcendentais, nu meros, 124transcendentais,numeros, 123transformacao, codificacao, 77transformacoes, 81translacoes, 149, 170triangulo de Pascal, 19, 20, 34triangulo de Pascal, 33, 34tricotomia, 66trigonometrico
cırculo, 250troca de base, 223troca de sinal em Q, 104troca de sinal, funcao, 93troca sinal
funcao, 128
uniao, 27uniao de conjuntos, 21
valor absoluto, 94valores subjetivos, 78variavel, 11Variacao, 172variacao
taxa, 171vetores
adicao, 125represen. geometrica, 125
zero, negativo, 93zero, positivo, 93