resistencia de materiais. tema 2. reaccións e esforzos...
TRANSCRIPT
Resistencia de Materiais. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Golden Gate Bridge
(San Francisco, 1937). Van principal: 1280 m.
Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
2
1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas. 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Akashi Kaikyō (Japón, 1998). Van principal: 1991 m.
2.1. Modelo estrutural
3
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Estrutura Real
Modelo estrutural
Análise estrutural
Simplificacións
- Reaccións - Esforzos internos - Tensións - Deformacións - Movementos
Barras Enlaces Cargas
P
M
q
Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
4
1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas. 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Xihoumen (China, 2009). Van principal: 1650 m.
2.2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas
5
Neste curso estudaremos “análise estática”, é dicir, as forzas (accións e reaccións) que actúan sobre a estrutura deben estar en equilibrio estático, e polo tanto deben cumprir as ecuacións da estática, deben formar un sistema de forzas de resultante e momento nulo, que vectorialmente escríbese como:
que tamén se pode expresar como: e no caso dunha estrutura no plano XZ redúcese a: Denomínanse estruturas isostáticas ou estaticamente determinadas a aquelas nas que poden obterse as
reaccións nos enlaces por medio das ecuacións de equilibrio (nº ecs. = nº incóg.). Denomínanse estruturas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas a aquelas nas que o número de
grados de liberdade impedidos é maior ao número de ecuacións xerais da estática (nº ecs. < nº incóg.). Resólvense aplicando compatibilidade de movementos.
Grado de hiperestaticidade GH: diferenza entre o número de reaccións e o de ecuacións de equilibrio. Cando o número de ecuacións é superior ao de incógnitas, a estrutura convértese nun mecanismo. Nas estruturas isostáticas, ao contrario que nas hiperestáticas, as reaccións e os esforzos internos non
dependen da xeometría da sección transversal ni do material.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
oF 0 M 0= =∑ ∑
x x
y y
z z
F 0 M 0F 0 M 0F 0 M 0
= == == =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑
x z yF 0 F 0 M 0= = =∑ ∑ ∑
GH 0 IsostáticaGH 0 HiperestáticaGH 0 Mecanismo
= ⇒> ⇒< ⇒
2.2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas
6
Exemplo de estrutura isostática: Exemplo de estrutura hiperestática. É necesario recorrer a compatibilidade de movementos: Exemplo de mecanismo:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
+
x x
z z z
Ay y y
F 0 R 0
F 0 R P 0 R P
M 0 P L M 0 M P L
+ = ⇒ =
↑ = ⇒ − = ⇒ =
+ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = − ⋅
∑∑
∑
= Bw 0+ =
P
P P
R
A B A B
P
L
Rz
RX
My
A B
Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
7
1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte do Gran Belt (Dinamarca, 1998). Van principal: 1624 m.
2.3. Reaccións en estruturas isostáticas
8
Vigas simples isostáticas: un só tramo, directriz recta e nº ec. = nº. incóg.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
+
x A
Ay B B
z A B A
F 0 H 0PM 0 V 3 L P L 0 V3
2 PF 0 V V P 0 V3
+ = ⇒ =
+ = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ =
⋅↑ = ⇒ + − = ⇒ =
∑∑
∑
cos º
º
º
+
x x x
z z z
Ay y y
F 0 R 2 P 45 0 R P 2
F 0 R 2 P sen45 0 R P 2
M 0 2 P sen45 L M 0 M P 2 L
+ = ⇒ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅
↑ = ⇒ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅
+ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⇒ = − ⋅ ⋅
∑∑
∑
+
x x
z z z
2Ay y y
F 0 R 0
F 0 R P q L 0 R P q L
L L L LM 0 P q L M 0 M P q2 2 2 2
+ = ⇒ =
↑ = ⇒ − − ⋅ = ⇒ = + ⋅
+ = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⇒ = − ⋅ − ⋅
∑∑
∑
LRz
RX
My
2P 45°
A B
P
VA
HA
VB
L 2L
C
P
RX
MyL2
L2
q
Rz
C
A B
2.3. Reaccións en estruturas isostáticas
9
Vigas isostáticas de varios treitos: - O número de reaccións é superior ao de ecuacións de equilibrio global da estrutura. - O isostatismo conséguese introducindo articulacións ou rótulas en seccións internas da viga. - As rótulas son dispositivos que anulan a rixidez a flexión da sección, é dicir, debe anularse o momento
das forzas que chegan a través de cada barra. - As rótulas proporcionan un número de ecuacións adicionais igual ao número de barras que chegan á
mesma menos un, que é a ecuación de equilibrio xeral de momentos:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( )·
+
x A
z A B AAy A B B
2esqAC A A
derC B
F 0 H 0
F 0 V V q 2 L 0 V 3 2 q LM 0 M V 2 L q 2 L L 0 V 1 2 q L
M q LM 0 M V L q L L 2 0
M 0 V L q L L 2 0
+ = ⇒ =
↑ = ⇒ + − ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ =+ = ⇒ + ⋅ − ⋅ ⋅ =
+ = ⇒ − ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑∑
∑
esq der CC C yM M M 0+ = =∑
( )( )
+
x A
z A C E
Ay C E A C
derD E E
esqD A C
F 0 H 0
F 0 V V V P 0PM 0 P L 2 V L V 2 L 0 V V2
M 0 V L 2 0 V 0
M 0 V L L 2 P L V L 2 0
+ = ⇒ =
↑ = ⇒ + + − =+ = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = =
+ = ⇒ − ⋅ = ⇒ =
+ = ⇒ ⋅ + − ⋅ + ⋅ =
∑∑
∑
q
VA
HA
MA
q
VB
L L
C
L2
L2
L2
L2
P
VA
HA
VC VE
A C
B
E
D
En C non hai rótula!
2.3. Reaccións en estruturas isostáticas
10
Vigas isostáticas de varios treitos (continuación):
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
+
x A A
z A B
BAy A B
2Aesq
C A A
q L MF 0 H 0 V2 LF 0 V V q L 0 q L MV5 2 LM 0 M V 3 L q L L M 0
2 M 2 M q LM 0 M V 2 L 0
⋅+ = ⇒ = = −↑ = ⇒ + − ⋅ = ⋅ ⇒ = +
+ = ⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + = = ⋅ − ⋅ + = ⇒ + ⋅ ⋅ =
∑∑
∑
·
·
· · ·
· · · · ·
+
x A A
esqB A A
derD E E
z A C E C
derB C E C
esqD A C C
F 0 H Q 0 H QLM 0 V 0 V 02
LM 0 V 0 V 02
F 0 V V V P 0 V PL LM 0 V V 3 0 V 0 Mecanismo2 2L LM 0 V 3 P L V 0 V 2 P2 2
+ = ⇒ + = ⇒ = −
+ = ⇒ = ⇒ =
+ = ⇒ − = ⇒ =
↑ = ⇒ + + − = ⇒ =
+ = ⇒ − − = ⇒ = ⇒+ = ⇒ − + = ⇒ =
∑
∑
ºº .º
N reaccións 4N ec estática 3N rótulas 2GH 4 3 2 1
==
== − − = −
derC B
LM 0 M V L q L 02
+ = ⇒ − ⋅ + ⋅ ⋅ =
L2
L2
L2
L2
P
VA
HA
VC VE
A C E
DB
Q
VA
HA
MA
q
VB
2L L
C
M
2.3. Reaccións en estruturas isostáticas
11
Pórticos e arcos isostáticos (conxunto de barras en 2D):
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
+
x A A
Ay B B
z A B A
F 0 H P 0 H PL q LM 0 q L P L V L 0 V P2 2
q LF 0 V V q L 0 V P2
+ = ⇒ + = ⇒ = −
⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ = +
⋅↑ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ = −
∑∑
∑
+
Ay B B
z A B A
derC B B B
x A B A
L P q LM 0 P L V 2 L 2 q L 0 V2 2 2
P q LF 0 V V P 0 V2 2
L PM 0 H L V L q L 0 H q L2 2
PF 0 H H 2 q L 0 H q L2
⋅+ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = +
⋅↑ = ⇒ + − = ⇒ = −
+ = ⇒ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = − − ⋅
+ = ⇒ + + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅
∑
∑
∑L
L
VA
HA
L
P
q q
C
VB
HB
L
L
P
q
VBVA
HA
2.3. Reaccións en estruturas isostáticas
12
Pórticos e arcos isostáticos (continuación):
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
·· · · · ·
+
Ay B
B
z A B A
derC B B B
x A B A
L q L 2M 0 V 3 L q L 2 L L L 02 2 3
10V q L9
q L 7F 0 V V q L 0 V q L2 18
L 11M 0 H L V L q L 0 H q L2 18
11F 0 H H 0 H q L18
+ = ⇒ − + + + ⋅ + ⋅ = ⇒
⇒ = ⋅ ⋅
⋅↑ = ⇒ + − ⋅ − = ⇒ = ⋅ ⋅
+ = ⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅
+ = ⇒ + = ⇒ = ⋅ ⋅
∑
∑
∑
( )
ºº .ºº
( )
N reaccións 6N ec estática 3N barras rótula 1 3 Pórtico isostáticoN barras rótula 2 2GH 6 3 3 1 2 1 0
== = ⇒= = − − − − − =
L
VA
L
HA
L
L
q
C
VB
HB
Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
13
1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Yi Sun-Sin (Corea do Sur, 2012).
Van principal: 1545 m.
2.4. Concepto de esforzos internos nunha sección
14
Supoñamos unha barra sometida a un sistema de cargas (accións e reaccións) en equilibrio: (Distinguir entre coordenadas globais e locais) Se dividimos a barra por unha sección calquera S, as dúas partes que se forman (I) e (II) tamén teñen que
estar en equilibrio, podéndose calcular a resultante de todas as forzas e momentos existentes en cada parte da estrutura a un lado e a outro da sección S:
As forzas de interacción entres as partes son iguais en módulo e dirección, pero de sentidos contrarios:
F e M son os esforzos internos na sección S.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
S
q
MA
z
y
x
RA
P1
A
MI
FI
(I) S
z
y
xP2
RB
M1
B
MII
FII (II)
I II
I II
F F FM M M
= − == − =
S
q
X
Z
Y
MA
z
y
x
RA
P1
P2
RB
M1
A
B
Cara frontal
Cara dorsal
2.4. Concepto de esforzos internos nunha sección
15
Compoñente frontal dos esforzos internos na sección S (cada compoñente será positiva cando leve a dirección do semieixo positivo do triedro de coordenadas):
N: esforzo axil (dirección x). Vy: cortante en dirección y. Vz: cortante en dirección z. Mx: momento torsor (dirección x). My: momento flector en dirección y. Mz: momento flector en dirección z. Denomínase compoñente dorsal dos esforzos internos na sección S ás resultantes das forzas e momentos
existentes “á esquerda” de dita sección (serán positivos cando leven a dirección dos semieixos negativos do triedro de coordenadas).
Se a estrutura é plana e as cargas están contidas nese plano (2D), os esforzos redúcense a 3: N, Vz, My.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
S
z
y
x
MG
S
z
y
x
F
G
MZ MY
MX
VZ
NVY
= +
Rz
RX
MyA
A
q
x BP
q
L-xN
Vz
My
Vz
N
My
LRz
RX
MyA
A BP
q
x
2.4. Concepto de esforzos internos nunha sección
16
Cada tipo de esforzo provoca na peza un efecto (deformación) diferente: Símbolos:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
z
x
+
dx
Vz
Vz
z
x
-
dx
Vz
Vz
z
x
+
dx
MyMy
z
x
-
dx
My My
Axil: “estira ou encolle a barra”.
Cortante: “corta ou cizalla a barra”.
Momento flector: “dobra ou flecta a barra”.
Momento torsor: “retorce a barra”. z
y
+Mx
φx
z
xNN
+
dx
+δ
z
xN N
-
dx
-δ
+Axil: Flector: Cortante: + +
2.4. Concepto de esforzos internos nunha sección
17
Exemplo. Cálculo dos esforzos internos no centro de van dunha viga biapoiada con carga distribuída: 1º Cálculo das reaccións: 2º Cálculo das leis de esforzos na sección de centro de luz C:
a. “Córtase” por centro de luz. b. Substitúese unha parte da estrutura pola contribución (esforzos internos) que exerce sobre a parte restante. c. Aplícanse as ecuacións de equilibrio estático.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
=
+
x A
Ay B B
z A B A
F 0 H 0L q LM 0 q L V L 0 V2 2
q LF 0 V V q L 0 V2
+ = ⇒ =
⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
⋅↑ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ =
∑∑
∑
1 kN/m
5 mVA
HA
VB
L
. ... . . . ·
+
L
x
z z z
Cy y y
F 0 N 0 kN
F 0 2 5 1 2 5 V 0 V 0 kN2 5M 0 M 2 5 2 5 1 2 5 0 M 3 125 m kN2
+ = ⇒ =
↑ = ⇒ − ⋅ + = ⇒ =
+ = ⇒ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = −
∑∑
∑
1 kN/m
5 m2.5 kN 2.5 kN
1 kN/m
2.5 m2.5 kN
NMy
Vz
1 kN/m
2.5 m
2.5 kN
N
My
Vz
+
3,125 mkN3,125 mkN
2.4. Concepto de esforzos internos nunha sección
18
Exemplo. Cálculo das leis de esforzos internos dunha viga en voladizo: 1º Cálculo das reaccións: 2º Cálculo das leis de esforzos na sección x:
a. “Córtase” pola sección x. b. Substitúese unha parte da estrutura pola contribución (esforzos internos) que exerce sobre a parte restante. c. Aplícanse as ecuacións de equilibrio estático.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Cara frontal Cara dorsal
= +
+ x x x
z z z
F 0 R P 0 R P
F 0 R q L 0 R q L
+ = ⇒ − = ⇒ =
↑ = ⇒ − ⋅ = ⇒ = ⋅∑∑
( )
( )
( )
· · ( ) ·
· · ·
( )
+
x
z z z
Ay yA y z
2
y
F 0 P N 0 N x P
F 0 q L q x V 0 V x q L xxM 0 q x M M V x 02
q L xM x
2
+ = ⇒ + = ⇒ = −
↑ = ⇒ − + = ⇒ = − −
+ = ⇒ + + − = ⇒
⋅ −⇒ =
∑∑
∑
LRz
RX
MyA
A BP
q
x
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
· ( ) ·
( )
+
x
z z z
xy y
2
y
F 0 P N 0 N x P
F 0 q L x V 0 V x q L x
L xM 0 q L x M 0
2q L x
M x2
+ = ⇒ − − = ⇒ = −
↑ = ⇒ − − − = ⇒ = − −
−+ = ⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒
⋅ −⇒ =
∑∑
∑
2
Ay yA yA
L q LM 0 q L M 0 M2 2
⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ = −∑
Rz
RX
MyA
A
q
x BP
q
L-xN(x)
V (x)z
N(x)
M (x)y M (x)y
V (x)z
Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
19
1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Runyang (China, 2005). Van principal: 1490 m.
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
20
Establecendo o equilibrio dun elemento diferencial dunha barra (rebanada) no entorno dunha sección calquera A, para o caso habitual de cargas no plano da estrutura:
a. Cando só hai cargas distribuídas: Igualmente para o plano xy se pode deducir:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
N+dN
dx
V+dVz
M+dMy
z
y
NVz
My
pz
px
+
x x x
z2z z z z z z
yz 2
yy y y z y z z z
dNF 0 N dN p dx N 0 pdx
dVF 0 V dV p dx V 0 pd Mdx pdMdx dx dxM 0 M dM p dx M V dx 0 p dx 0 V
2 2 dx
+ = ⇒ + + ⋅ − = ⇒ = −
↑ = ⇒ + + ⋅ − = ⇒ = − ⇒ = − + = ⇒ + + ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ≈ ⇒ =
∑
∑
∑
2y z z
y y y 2
dV dM d Mp V pdx dx dx
= − = − =
2y yz
x z z z 2
dM d MdN dVp p V pdx dx dx dx
= − = − = = −
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
21
Establecendo o equilibrio dun elemento diferencial dunha barra (rebanada) no entorno dunha sección calquera A, para o caso habitual de cargas no plano da estrutura:
b. Cando hai cargas concentradas na sección A, haberá que incrementar cada compoñente dos esforzos:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
dx
N+ NΔ
V+ VΔz
M+ MΔy
z
y
N
My
Vz
PzA
PxA
MyA
+
x xA xA
z z z zA z z zA
y y y yA zA y z zA z y yA
F 0 N N P N 0 N P
F 0 V V P V 0 V P
dx dxM 0 M M M P M V dx 0 P V dx 0 M M2 2
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
+ = ⇒ + + − = ⇒ = −
↑ = ⇒ + + − = ⇒ = −
+ = ⇒ + + + ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⇒ = −
∑∑
∑
xA y yA z zA
x xA y yA z zA
N P V P V PM M M M M M∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
= − = − = −= − = − = −
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
22
Representación das leis de esforzos internos. Exemplo 1:
- Nos extremos:
- En centro de luz:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( )
( )
( )
( )
z
y
N x 0L LV x q q x q x2 2
q x L xL xM x q x q x2 2 2
=
= − ⋅ + ⋅ = ⋅ −
⋅ ⋅ −= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −
Lx
VA
HA
VB
q
+
-
- -
VB
VA
Mmáx
+
x A
Ay B B
z A B A
F 0 H 0L q LM 0 q L V L 0 V2 2
q LF 0 V V q L 0 V2
+ = ⇒ =
⋅+ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
⋅↑ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ =
∑∑
∑
máxq LV M 0
2⋅
= =
2
mínq LV 0 M
8⋅
= = −
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
23
Exemplo 2:
- No empotramento:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
x
z2
yA
R PR q L
q LM2
=
= ⋅
⋅= −
2
mín mín máxq LN P V q L M
2⋅
= − = − ⋅ =
( )( )
( )( ) ·
·( )
z
2
y
N x PV x q L x
q L xM x
2
= −
= − −
−=
LRz
RX
MyA
A BP
q
x
-
+
-N
M
V
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
24
Exemplo 3: Tramo 1-2: Tramo 2-3:
- No empotramento:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
z
2
y
N x 0V x q L x P
L x L xL LM x q L x P x q P x2 2 2 2
=
= − ⋅ − −
− − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ −
+
z z z
21y y1 y1
F 0 R q L P 0 R q L P
L L q L LM 0 M q L P 0 M P2 2 2 2
↑ = ⇒ − ⋅ − = ⇒ = ⋅ +
⋅+ = ⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ = − − ⋅
∑
∑
2
mín máxq L LV q L M P
2 2⋅
= − ⋅ = + ⋅
LRz
M y1
1 3
q
L/2
-
+M
V
P
L/2
P
2
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
z
2
y
N x 0V x q L x
L x L xM x q L x q
2 2
=
= − ⋅ −
− −= ⋅ − ⋅ = ⋅
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
25
Exemplo 4:
Tramo A-B:
Tramo B-C:
Tramo C-D:
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( )( )
( )
A
z A
y A
N x H 6 kNV x V 20 kNM x V x 20 x
= − = −= − = −= − ⋅ = − ⋅
+
esqC A A
z A D D
Ay D D D
x A D A
M 0 V 6 30 4 0 V 20 kN
F 0 V V 30 0 V 10 kN4M 0 3 4 H 4 30 2 V 6 0 H 6 kN2
F 0 H H 3 4 0 H 6 kN
+ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
↑ = ⇒ + − = ⇒ =
+ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ =
+ = ⇒ + − ⋅ = ⇒ =
∑∑∑
( )GH 4 3 2 1 0= − − − =
( )
( )( )
( )
A
z A
y A
N x H 6 kNV x V P 10 kNM x V x P x 2 10 x 60
= − = −= − + =
= − ⋅ + ⋅ − = ⋅ −
( )
( ) ( )
( ')( ') ' '
'( ') ' ' '
D
z D
22
y D
N x V 10 kNV x H 3 4 x 3 x 6
4 x 3M x H 4 x 3 x 6 x2 2
= − = −
= − ⋅ − = ⋅ −
−= − ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅
B
B
BCDmáx
V 20 kNV 10 kNM 40 mkNM 6 mkN
−
+
= −
== −
= −
2 mVA
HA
VD
HD
4 m
3 kN/m
30 kN
A
C
D
4 m
B
xx'
-
+
-
-
-
6 kN
10 kN 40 mkN 6 mkN 20 kN
10 kN
6 kN
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
26
Representación das leis de esforzos internos. Observacións: - A lei de flectores semella a deformada dunha corda sen peso propio. - A pendente da lei de axiles ou cortantes é a carga na dirección correspondente. - A pendente da lei de flectores é o cortante. - Carga puntual, cortante constante, flector lineal. - Carga distribuída constante, cortante lineal, flector parabólico. - Carga distribuída lineal, cortante parabólico, flector cúbico.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Carga Cortante Momento flector
Puntual Constante Lineal
Distribuída constante Lineal Parabólico
Distribuída lineal Parabólico Cúbico
2y yz
x z z z 2
dM d MdN dVp p V pdx dx dx dx
= − = − = = −
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
27
Exemplo 5: Axiles Cortantes Flectores
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) cos cos cos ( ) cos
( ) cos sen sen ( ) cos sen sen
cos( ) cos cos ( ) sen
2
22
N q L L q L 0 N q Lq LV q L L q L 0 V q L 2
2L L q LM q L L L q L L 0 M
2 2
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θθ θ θ θ θ
− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅
⋅− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = − ⋅
+
x A
Ay B B
z A B A
F 0 H 0
M 0 q 2 L L V 2 L 0 V q L
F 0 V V 2 q L 0 V q L
+ = ⇒ =
+ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅
↑ = ⇒ + − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅
∑∑∑
L
L
L
VA
HA
VB
q
L
q·L
N
My
Vz
θ
θ
q
q·Lq·L
q·L /22
q·L/2
q·L/2
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
28
Exemplo 5: Cortantes Flectores
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( )( ) sen
( ) sen2
2
q LV 22q LM
2
θ θ
θ θ
⋅= − ⋅ ⋅
⋅= − ⋅
L
q·L
N
My
Vz
θ
θ
q
q·L /22
q·L/2
q·L/2
( )
( )
º .cos
º .
sen .sen cos
cos .
máx
2
máx
2
45 mínimodV q L 4V 0 2 2 0 2 n
3d 2 2 135 máximo4
00 mínimo
dM q LM 0 2 0d 2
0 máximo2
dM dM d q LV x L Vdx d dx 2
πθπθ θ π
πθ θ
θθ
θ πθ θθ πθ θ
θθθ
= = →⋅ → = ⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = = →
= = ⇒ → ⋅ = → = ⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒
= ⇒ = →⋅
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ = − ⋅ ( )sen cos sen1 q L2 2L 2
θ θ θ⋅⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
29
Carga perpendicular á directriz. Supoñamos unha barra de directriz curvilínea con carga distribuída perpendicular á directriz: Os dous sistemas de forzas I e II son equivalentes pois:
- Teñen igual resultante. - Teñen o mesmo momento respecto de calquera punto.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
⇔I II
dsdz
dxθ
cossen
ds dxds dz
θθ
⋅ =⋅ =
sen sensen
cos coscos
sen cos
+
B B B
x zA A A
B B B
z xA A A
B B2 2 2 2B B B BA x zy A A A A
A A
dzF q ds q q dz q L
dxF q ds q q dx q L
z x L LM z q ds x q ds z q dz x q dx q q q2 2 2 2
θ θθ
θ θθ
θ θ
+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
↑ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
+ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +
∑ ∫ ∫ ∫
∑ ∫ ∫ ∫
∑ ∫ ∫ ∫ ∫
q
q
L
L q
x
z
L
L
x
z
A A
B B
2.5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental
30
Carga perpendicular á directriz. Nun arco de directriz semicircular: Os dous sistemas de forzas I e II son equivalentes pois:
- Teñen igual resultante. - Teñen o mesmo momento respecto de calquera punto.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
⇔I II
]
]
cos cos sen
sen sen cos
+
L
x 00 0L
z 00 0Ay
F q ds q L d q L 0
F q ds q L d q L 2 q L
M 0
π π π
π π π
θ θ θ θ
θ θ θ θ
⋅
⋅
+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
↑ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
+ =
∑ ∫ ∫∑ ∫ ∫
∑
Lq q
q
L LA
L
L
L
q
A θ
Contido. Tema 2. Reaccións e esforzos interiores en estruturas isostáticas
31
1. Modelo estrutural. 2. Estruturas isostáticas vs. estruturas hiperestáticas 3. Reaccións en estruturas isostáticas. 4. Concepto de esforzos internos nunha sección. 5. Ecuacións de equilibrio da rebanada elemental. 6. Estruturas isostáticas de nós articulados.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Humber (Reino Unido, 1981). Van principal: 1410 m.
2.6. Estruturas isostáticas de nós articulados
32
Características: - Conxunto de barras conectadas con articulacións. - Forman estruturas que permiten cubrir grandes luces con gran eficacia. - Habitualmente deséñanse para que as forzas exteriores actúen só nos nós. Se sucede isto e as barras
son de directriz rectilínea, só soportarán esforzo axil.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
VB
A
B
NA
NB
V A
L
A B
NA NB
+
VB
A
B
NA
NB
VA
+
+
B A A B
Ay B B
B A A
F 0 N N 0 N N
M 0 V L 0 V 0
F 0 V V 0 V 0
= ⇒ − = ⇒ =
+ = ⇒ − ⋅ = ⇒ =
= ⇒ − = ⇒ =
∑∑∑
x
V
ANA
N ( ) ( )
( )
( )
+
+
A A
Ay
F 0 N x N 0 N x N
F 0 V x 0
M 0 M x 0
= ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ =
+ = ⇒ =
∑∑∑
( )( )
+
+
A
BAy
V 0F 0V 0
M 0V x 0
F 0 M x 0
≠= ≠ + = ⇒ ≠
= ≠
∑∑∑
2.6. Estruturas isostáticas de nós articulados
33
Grado de hiperestaticidade gh: - a: enlaces articulados (dúas incógnitas). - m: apoios móbiles (unha incógnita) - b: barras (cada barra ten unha incógnita que é o esforzo axil) - n: número de nós (dúas ecuacións de equilibrio por nó)
Métodos de resolución:
- Mediante ecuacións de equilibrio de nós. - Método de Ritter.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
( ) h
2 a m b 2 n estrutura non estable2 a m b 2 n estrutura isostática pode haber casos singulares2 a m b 2 n estrutura hiperestática con g 2 a m b 2 n
⋅ + + < ⋅ ⇒⋅ + + = ⋅ ⇒⋅ + + > ⋅ ⇒ = ⋅ + + − ⋅
P
2P
1 2
43
L
60° H
V1
H1
V2
( )
tan º
.
.
+
x 1 1
1y 2 2
z 1 2 1
2 a m b 2 n 2 1 1 5 2 4 8L LH60 3
F 0 H 2 P 0 H 2 P2 P H 2 PM 0 V L 2 P H 0 V 1 15 P
L 3
3 2 P2 P HF 0 V V P 0 V P 0 15 PL 3
⋅ + + = ⋅ ⇒ ⋅ + + = ⋅ =
= =
+ = ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅
⋅ ⋅ ⋅+ = ⇒ − ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ = = = ⋅
− ⋅⋅ ⋅↑ = ⇒ + − = ⇒ = − = = − ⋅
∑∑
∑
2.6. Estruturas isostáticas de nós articulados
34
Resolución mediante as ecuacións de equilibrio de nós: 1. Numerar nós. 2. Cálculo de reaccións. 3. Equilibrio nos nós axeitados.
(Non se pode resolver un nó con 3 incógnitas)
4. Comprobar valores redundantes.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
P
2P
1 2
43
L
60° H
V1
H1
V2
1
V1
H1
N13
N12
N1460°
P
2P3
N34
N31
2
V2
N13
N21
4
N42
N43
N41
34 34
31 31
2 P N 0 N 2 PP N 0 N P⋅ + = ⇒ = − ⋅
− − = ⇒ = − .21 21
2 13 13 2
N 0 N 0V N 0 N V 1 15 P− = ⇒ =+ = ⇒ = − = − ⋅
+x
z
F 0
F 0
+ =
↑ =
∑∑
cos ºcos º
sen º sen º
4343 41 41
42 41 42 41
N 4 PN N 30 0 N30 3
2 PN N 30 0 N N 303
⋅− − ⋅ = ⇒ = − =
⋅− − ⋅ = ⇒ = − ⋅ = −
( )
cos ºsen º
1 12 14
1 13 14
H N N 30 0V N N 30 0
4 P 32 P 0 023
3 2 P 4 P 1P 023 3
+ + ⋅ = ⇒+ + ⋅ =
⋅− ⋅ + + ⋅ =⇒
− ⋅ ⋅− + ⋅ =
2.6. Estruturas isostáticas de nós articulados
35
Resolución mediante o método de Ritter: Este método permite obter de forma separada o valor do esforzo axil en cada unha das barras sen ter
que resolver todo o sistema de ecuacións lineais. Consiste en cortar a estrutura de modo que aparezan só tres esforzos descoñecidos. Cada un dos axiles
pode calcularse tomando momentos na intersección das direccións das outras dúas barras. Por exemplo, cortando como se ve na figura
inferior e tomando momentos en A, 5 e 2 pódese obter de cada ecuación os valores de N12, N52 e N56.
Sen embargo, se dúas das tres barras son paralelas, o axil da terceira
barra non se pode obter directamente con este método. No exemplo da esquerda, tomando momentos en B e en 2,
obtéñense directamente N56 e N23. Para calcular N26 haberá que aplicar as ecuacións de equilibrio.
Resistencia de materiais. Tema 2 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
P
1
4
65
V1
H1
V4
7
2 3
1 P2
P
1
5
V1
H1
2
1
N56
N52N
12
A
P
1
5
V1
H1
2
1
N56
N26
N23
B