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Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal

Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal

Estadística


Intervalos de confianza

Intervalos de confianza: sirven para estimar el valor de un Parámetro de la población.

Un intervalo de confianza del 1-α% para un parámetro es un intervalo de valores calculado a partir de los datos de la muestra

Probabilidad 1-α de que contenga el verdadero valor del parámetro. El nivel de confianza suele ser 0,90 (90%), 0,95 (95%) ó 0,99 (99%). Interpretación práctica

Intervalo de confianza para la media poblacional



Interpretación del nivel de confianza en el intervalo para la Media de una distribución normal


La media muestral y la desviación estándar son buenos estimadores Estos estimadores son a la vez variables aleatorias. Tienen una determinada distribución, en el caso de la media es Normal. Así pues podemos calcular un intervalo de valores [a,b] tales que

α−=≤≤ 1)( bXaP



Supongamos que disponemos de una población en la que tenemos una v.a. con distribución N(µ,σ) con σ conocida.

Obtenemos una muestra de tamaño n y deseamos estimar la media µ de la población.

El estimador puntual de la misma es la media muestral cuya distribución muestral es conocida

),(n

x σµΝ≡

n

xZσµ−

= tendrá distribución normal estándar El estadístico es

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida

Ventaja: Valores tabulados


Sobre la distribución N(0,1) podremos seleccionar dos puntos simétricos -zα/2 y z α/2 , tales que

P(-z α/2 ≤ Z ≤ z α/2 ) = 1-α



Gráficamente: para una normal tipificada, un intervalo de confianza del 95% se puede representar como:

95%

2.5% 2.5%

La probabilidad de que una variable normal tipificada tome valores en el intervalo

[-1.96,1.96] es del 95%.


P(-z α/2 ≤ Z ≤ z α/2 ) = 1-α

P(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95


Sustituyendo Z,

ασµ

αα −=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤−

≤− 12/2/ z

n

xzP

Despejando nos queda el intervalo de confianza,

ασ

µσ

αα −=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +≤≤− 12/2/ n

zxn

zxPn

z σα 2/

Margen de error

(ε)


n

xZσµ−

=ααα −=≤≤− 1)( 2/2/ zZzP

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=±=−

nzx

nzx

nzxxI σσσ

ε αααα

µ 2/2/2/1 ,


Obtener un I. C. del 95% para el promedio de la talla de una población de tiburón blanco, de la que se miden 25 individuos, obteniéndose =390 cm. Se sabe que σ2 es de 400 cm2.

x


Ejemplo

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=±=−

nzx

nzx

nzxxI σσσ

ε αααα

µ 2/2/2/1 ,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−=

252096.1390,

252096.139095.0

µI

)84.397,16.382(95.0 =µI 84.39716.382 ≤≤ µ

La talla media de los tiburones se encuentra entre 382.16 y 397.84 con un nivel de confianza del 95%


Si la varianza poblacional (σ ) es desconocida y la variable es normal (o se puede aproximar a la normal por el Teorema central del límite) Se usa la t de Student

•  Con n–1 grados de libertad •  Desviación típica muestral

El intervalo de confianza resulta

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocida

nSxt µ−

=

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=±= −−−−

nStx

nStx

nStxxI nnn 1,2/1,2/1,2/

1 , αααα

µ ε


Un laboratorio dedicado a la elaboración de piensos para acuicultura, afirma que su producto aumenta el peso promedio de los peces en 30 g mensuales. En una muestra de 9 peces tomados al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35 g con desviación típica de 3.04 g. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio.

Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocida

Ejemplo

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=±= −−−−

nStx

nStx

nStxxI nnn 1,2/1,2/1,2/

1 , αααα

µ ε

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=904.3306.235,

904.3306.23595.0

µI

34.3766.32 ≤≤ µ)34.37,66.32(95.0 =µI


Región de confianza

El estadístico utilizado es: • Sigue distribución no simétrica • Con n–1 grados de libertad

El intervalo de confianza resulta

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

−−−

−2

2/1,1

2

22/,1

21 )1(,)1(2

αα

ασ χχ nn

SnSnI

2χ2

22 )1(

σχ

Sn−=

22/αχ

22/1 αχ −

αχχχ αα −=≤≤ −−−− 1)( 22/,1

21

22/1,1 nnnP

22/,12

22

2/1,1)1(

αα χσ

χ −−− ≤−

≤ nnSn

22/1,1

22

22/,1

2 )1()1(

αα χσ

χ −−−

−≤≤

−

nn

SnSn


Se estudia el diámetro de la concha en una población de lapas. Tras medir 25 individuos, se obtiene una media de 170 mm y una desviación típica de 10.206 mm. Calcular un intervalo de confianza con α de 0.05 para la varianza del diámetro de las lapas.

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

Ejemplo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

−−−

−2

2/1,1

2

22/,1

21 )1(,)1(2

αα

ασ χχ nn

SnSnI

2505.0206.10

170

=

=

=

=

n

Sx

α

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅⋅=

401.12162.10424,

364.39162.1042495.0

2σI

)59.201,50.63(95.02 =

σI 198.14969.7 ≤≤σ

Tabla Chi-cuadrado


Hipótesis estadística

PROBLEMA

HIPÓTESIS

DISEÑO

RECOLECCIÓN DE DATOS

ANÁLISIS

La hipótesis no se confirma

La hipótesis se confirma

Sin valor científico

Se elimina como explicación

Se establece una teoría

Aplicación

Proceso de la investigación estadística


Hipótesis estadística

Hipótesis estadística: Afirmación o conjetura sobre la distribución de una o más v.a., o bien sobre alguna característica de la misma. Es una afirmación respecto a alguna característica de una o más poblaciones.

• Hipótesis nula (H0): Hipótesis que se contrasta (siempre contiene la igualdad)

• Hipótesis alternativa (H1): Hipótesis aceptada cuando la evidencia muestral está en contra de la H0

Un test para contrastar la H0 frente a la hipótesis alternativa consiste en decidir, para cada posible muestra, si aceptamos o rechazamos H0; por lo tanto, un test consistirá en dividir el espacio muestral (conjunto de todas las posibles muestras) en dos regiones: una región crítica, o de rechazo de H0 y una región de aceptación de H0


H0: Hipótesis nula H1: Hipótesis alternativa Los errores pueden ser unilaterales o bilaterales dependiendo de la hipótesis estadística

Contrastes de Hipótesis

β

α

Errores asociados a las hipótesis estadísticas


La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H0: µ≥40 H1: µ<40

H0: µ≤40 H1: µ>40

H0: µ=40 H1: µ≠40


No rechazo H0 Reg. Crit. Reg. Crit.

α/2 α/2

α

α α


40=µ20=X

Si supongo que H0 es cierta...

... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

¿qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones?

H0: µ=40 H1: µ≠40



40=µ

... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

Rechazo que H0 sea cierta

H0: µ=40 H1: µ≠40 α

•  Hay evidencia contra H0

•  Se rechaza H0

•  El experimento es concluyente (conocemos α)

•  El contraste es significativo


20=X


38=X

Si supongo que H0 es cierta...

... el resultado del experimento es coherente.

•  No hay evidencia contra H0

•  No se rechaza H0

•  El experimento no es concluyente (no conocemos β)

•  El contraste no es significativo

¿Si una teoría hace predicciones con éxito, queda probado que es cierta?

40=µ

H0: µ=40 H1: µ≠40

β? Contrastes de Hipótesis


H0: µ ≤ 40

α



43=X

α


No se rechaza H0: µ ≤ 40

H1: µ >40

H0: µ ≤ 40

H1: µ >40


43=X

P-valor

• Probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra • Probabilidad de obtener una muestra “más extraña” que la obtenida • P-valor es conocido después de realizar el experimento aleatorio • El contraste es no significativo cuando p-valor>α

P-valor P

α

α


No se rechaza H0: µ ≤ 40

H1: µ >40


α

50=X

Se rechaza H0: µ ≤ 40

Se acepta H1: µ >40


H0: µ ≤ 40

H1: µ >40


P α

P α

50=X

Se rechaza H0: µ ≤ 40

Se acepta H1: µ >40

• El contraste es estadísticamente significativo cuando p-valor<α • Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori



•  Sobre α–  Probabilidad de rechazar H0

cuando es cierta

–  Número pequeño (10%, 5%, 1%), elegido a priori antes de diseñar el experimento

–  Conocido α sabemos todo sobre la región crítica

•  Sobre P-valor –  Probabilidad de obtener un

resultado al menos tan extremo como el que realmente se ha obtenido

–  Es conocido tras realizar el experimento

–  Conocido p-valor sabemos

todo sobre el resultado del experimento

Rechazamos H0 (contraste significativo) si P-valor < α



Aplicación de los contrastes a los parámetros

de la normal


Cuando no existe ningún tipo de impacto, los niveles de fosfatos en el agua de mar está entorno a 2.5 µM, con una varianza=1. Una actividad antrópica elevada puede causar impactos que hagan variar los niveles de fosfatos. Asumiendo que sigue una distribución normal, determinar si la bahía de Alicante sufre algún tipo de impacto a partir de los niveles de fosfatos obtenidos tras analizar 10 muestras de agua:

3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.4 2.5 2.4 2.6 2.7

Ejemplo


No se rechaza H0 si: 1.  Intervalo de confianza:

2.  Región de aceptación:

3.  Estadístico experimental:

4.  P-valor:

⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

µµ

µµ

HH

rechazoNon

Zn

ZX ⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−∈σ

µσ

µ αα 2/02/0 ,

rechazoNoZn

XZ ⇒<−

= 2/0

exp / ασµ

rechazoNon

ZXn

ZX ⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−∈σσ

µ αα 2/2/0 ,

rechazoNop ⇒>α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<−=−⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>=

nXZPvalorp

nXZPp

/12

/2/ 00

σµ

σµ

Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida

n

xZσµ−

=El estadístico a emplear es


⎩⎨⎧

<

≥

01

00

::

µµ

µµ

HH

ασµ Zn

X<

−

/0

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −<=−

nXZPvalorp/

0

σµ

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

µµ

µµ

HH

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈n

ZX σµ α0,⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈ ,0 nZX σ

µ α

ασµ Zn

X−>

−

/0

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −>=−

nXZPvalorp/

0

σµ


No se rechaza H0 si: 1.  Región de aceptación:

2.  Estadístico

3.  P-valor:

No se rechaza H0 si:


2.  Estadístico:

3.  P-valor:


⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

µµ

µµ

HH

05.0=α

Región de aceptación No rechazo

R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

nZ σ

µ α+0x

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

µµ

µµ

HH

025.02/ =α


R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

025.02/ =α

R. Crítica Rechazo n

Z σµ α 2/0 − n

Z σµ α 2/0 +x

0µ

0µ


⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

µµ

µµ

HH

05.0=α


R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

αZtZ exp

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

µµ

µµ

HH

025.02/ =α


R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

025.02/ =α

R. Crítica Rechazo 2/αZ− 2/αZ

tZ exptZexp−

)1,0(/

0 Nn

X≈

−

σµ

p-valor/2 p-valor/2

p-valor

0

0


Cuando no existe ningún tipo de impacto, los niveles de fosfatos en el agua de mar está entorno a 2.5 µM, con una varianza=1. Una actividad antrópica elevada puede causar impactos que hagan variar los niveles de fosfatos. Asumiendo que sigue una distribución normal, determinar si la bahía de Alicante sufre algún tipo de impacto a partir de los niveles de fosfatos obtenidos tras analizar 10 muestras de agua:

3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.4 2.5 2.4 2.6 2.7 1. Región de aceptación

⎩⎨⎧

≠

=

5.2:5.2:

1

0

µ

µ

HH

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−∈n

Zn

ZX σµ

σµ αα 2/02/0 ,

10166.2

=

=

=

n

Xσ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−∈10196.15.2,

10196.15.2X

( ) rechazoNo⇒∈ 120.3,880.166.2

Ejemplo Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida


2. Estadístico experimental 3. Mediante el p-valor

2/0

exp / ασµ Zn

XZ <−

=

96.110/15.266.2

exp <−

=Z

rechazoNovalorp ⇒>=− α610.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>=

nXZPp/

2/ 0

σµ

( ) 3050.00.69501)506.0(1506.02/ =−=<−=>= ZPZPp


rechazoNo⇒< 96.1506.0

No podríamos decir que los niveles de fosfatos estén

alterados


Una muestra aleatoria de 100 ostras cultivadas en Santa Pola muestra un peso medio de 71.8 g. Asumiendo una desviación estándar de la población de 8.9 g, ¿se puede afirmar que el peso medio de las ostras es mayor de 70 g? Utilizar un nivel de significación del 5%. 1. Región de aceptación

⎩⎨⎧

>

≤

70:70:

1

0

µ

µ

HH

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈n

ZX σµ α0,

1009.88.71

=

=

=

n

Xσ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈1009.8645.170,X

Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida Ejemplo

( ) chazoRe464.71,8.71 ⇒∞−∉


2. Estadístico de contraste 3. Mediante el p-valor

ασµ Zn

XZ <−

=/

0exp chazoRe645.102.2645.1

100/9.8708.71

⇒>⇒>−

chazovalorp Re05.00217.0 ⇒=<=− α

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −>=−

nXZPvalorp/

0

σµ

( ) 0217.00.97831)02.2(102.2 =−=<−=>=− ZPZPvalorp


El peso medio de las ostras es superior a 70 g con una seguridad del 95%


No se rechaza H0 si: 1.  Intervalo de confianza:



4.  P-valor:

⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

µµ

µµ

HH

rechazoNon

Stn

StX nn

nn ⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−∈ −−

−−

12/,10

12/,10 , αα µµ

rechazoNotnS

Xt nn

⇒<−

= −−

2/,11

0exp / α

µ

rechazoNon

StXn

StX nn

nn ⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−∈ −−

−−

12/,1

12/,10 , ααµ

rechazoNop ⇒>α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>=−⇒⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>=

−−

−− nS

XtPvalorpnS

XtPpn

nn

n /*2

/2/

1

01

1

01

µµ

Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ desconocida

nSxStudentt µ−

=−El estadístico a emplear es



2.  Estadístico

3.  P-valor:



2.  Estadístico:

3.  P-valor:

α

µ,1

1

0

/ −−

<−

nn

tnS

X

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈ −− nStX n

n1

,10, αµ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈ −− ,1,10 nStX n

n αµ

α

µ,1

1

0

/ −−

−>−

nn

tnS

X

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>=−

−− nS

XtPvalorpn

n /10

1µ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<=−

−− nS

XtPvalorpn

n /10

1µ

Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ desconocida

⎩⎨⎧

<

≥

01

00

::

µµ

µµ

HH

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

µµ

µµ

HH


⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

µµ

µµ

HH

05.0=α


R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

nSt n

n1

,10−

−+ αµx

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

µµ

µµ

HH

025.02/ =α


R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

025.02/ =α

R. Crítica Rechazo n

St nn

12/,10

−−− αµ

nSt n

n1

2/,10−

−+ αµx

0µ

0µ




3.  P-valor:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

HH

rechazoNoSnnn ⇒<

−< −−−

22/,12

0

22

2/1,1)1(

αα χσ

χ

rechazoNonn

S nn ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−∈ −−−

1,

1

22/,1

20

22/1,1

202 αα χσχσ

El estadístico a emplear es

Contrastes de Hipótesis para la varianza poblacional

20

22exp

)1(σ

χSn−

=

rechazoNop ⇒>α

( ) ( )( )2exp

21

2exp

21 ,min2 χχχχ ><=− −− nn PPvalorp

22/αχ

22/1 αχ −



2.  Estadístico

3.  P-valor:



2.  Estadístico:

3.  P-valor:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

H

H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∞−∈ −

1,

2,1

202

nS n αχσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞

−∈ −− ,

1

21,1

202

ns n αχσ

21,12

0

2)1(αχ

σ −−>−

nSn

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

H

H

2,12

0

2)1(αχ

σ −<−

nSn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<=− − 2

0

221

)1(σ

χSnPvalorp n ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>=− − 2

0

221

)1(σ

χSnPvalorp n

Contrastes de Hipótesis para la varianza poblacional


Contrastes para la media de una pob., de varianzas desconocidas: t.test(x, alternative=c("two.sided", "less", "greater"),

mu=media_hipotetica, conf.level=0.95)

Comando a utilizar con R:

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