estadística aplicada a las ciencias sociales...
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Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales I
Sistema Universidad Abiertay Educación a Distancia
Facultad de Ciencias Políticas y Sociales UNAM
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Aspectos generales
Video de bienvenida
https://www.youtube.com/watch?v=kA6W14U_-1k
Datos de identificación
• Instituciónresponsable:FacultaddeCienciasPolíticasySociales.Suaed.UNAM.• Asignatura:EstadísticaAplicadaalasCienciasSocialesI• Autores:LauraAzucenaLiraJiménezyMaríaMarthaMirandaHernández• Semestre:3º• Créditos:08• Carácter:Obligatoria• Áreaalaquepertenece:Metodológica• Seriación: Indicativa• Clave:2314
Objetivos
Objetivo general
Altérminodelcurso,elalumnoserácapazde:
• Entenderlosconceptosmatemáticosyestadísticoselementalesparaladescripcióndegruposyprocesossociales.
Objetivos específicos
• Distinguirladiferenciaentrerelacionesyfuncionesenelcontextodeladescripcióndegruposycategoríassociales.• Entender el concepto de variable, correlación y causación desde la perspectiva matemática, aplicados a problemas
socialesrelevantes(pobreza,clase,identidad,producción,opinión).• Seleccionaryvalorarresultadosydatossociodemográficos.• Representardatossociodemográficos.• Comprenderlalógicadelaestadísticaylosmodeloselementales.• Dominar la estadística descriptiva y realizar operaciones estadísticas básicas con la finalidad de hacer inferencias
generalessobrepoblacionesdelimitadas.
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Temario
Tema 1. Lenguaje Matemático y Teoría de Conjuntos
1.1Conjuntos,ydescripcióndegrupos,individuosyunidadessociales.1.1.1Definicióndeconjuntoyelemento.1.1.2ComplementodeConjuntos.1.1.3InterseccióndeConjuntos.1.1.4UnióndeConjuntos.1.1.5InclusióndeConjuntos.1.1.6IgualdaddeConjuntos.
1.2Definicióndeuniverso,pertenencia.1.2.1Notación.1.2.2Operaciones(pertenencia,unión,intersección).1.2.3Relaciones.1.2.4Funciones.
1.2.4.1Graficarrelacionesyfunciones.1.2.4.2Clasificacióndefunciones.1.2.4.3Operacionesdefunciones.
Tema 2. Estadística
2.1IntroducciónalaEstadísticaenCienciasSociales.2.1.1Estadística,cienciayobservación.
2.1.1.1Inferenciasdelaspoblaciones.EstadísticasVitalesyEstadísticasMatemáticas.2.1.1.2UtilidadylimitantesdelaEstadísticaenlasCienciasSociales.2.1.1.3Poblaciónymuestras.
2.1.1.3.1Tiposdemuestras.2.1.1.3.2Tiposdeencuestas,general.
2.1.2Estructuradeinformación,métodosdeinvestigación.2.1.3Variables,medición.2.1.4Anotaciónestadística.
2.2Frecuencias.2.2.1Distribucióndefrecuencias.2.2.2Distribuciones–TablasyGráficas(relacionesx,y).
2.2.2.1Presentacióndetablas,intervalos.2.2.2.2Histogramas,Gráficasdebarra,Polígonos.
2.2.3TendenciaCentralTotal.2.2.4Promedio,Media,Moda.
2.2.4.1TeoremadetendenciacentralySkwenessyKurtosis.2.3Variabilidad.
2.3.1Rangoyrangointercuartil.2.3.2Desviaciónestándar.
2.4DiseñodehipótesisenlasCienciasSociales.2.4.1CausalidadycorrelaciónPearson.2.4.2Hipótesisnula.2.4.3Pruebasdehipótesis.
2.4.3.1Errorestándar.2.4.3.2Estimación.2.4.3.3Índicedeconfianza.
2.5Modelosprobabilísticos.2.5.1Normal.2.5.2Binomial.2.5.3Poisson.
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Bibliografía básica
Básica
TEMA 1
Elorza,H.(2008).Estadísticasparalascienciassociales,delcomportamientoydelasalud(3.ªed.).México:CengageLearningEditores.
García-Ferrando,M.(1999).Socioestadística:Introducciónalaestadísticaensociología.Madrid:Alianza.
Rioboo,J.yDelOro,C.(2000).Representacionesgráficasdedatosestadísticos.Madrid:AC.
Zeisel,H.(1999).Dígaloconnúmeros.México:FCE.
TEMA 2
Pliego-López,J.yRuiz-Pérez,L.(2002).EstadísticaI:Probabilidad.Madrid:AC.
Triola,M.(2008).Estadística.México:PearsonEducación.
Complementaria
Ai-Camp,R.(1996).Encuestasydemocracia:opiniónpúblicayaperturapolíticaenMéxico.México:SigloXXI,1996.
Babbie,E.(2000).Fundamentosdelainvestigaciónsocial.México:ThomsonLearning.
Evans,M.(2005).ProbabilidadyEstadística:lacienciadelaincertidumbre.Barcelona:Reverté.
Flores-Villa,A.(1968).NocionesdelmétodoEstadístico.México:Porrúa.
Jauset,J.(2000).Lainvestigacióndeaudienciasentelevisión:Fundamentosestadísticos.BuenosAires:Paidós.
Malhotra,N.(1996).Investigacióndemercados:unenfoquepráctico.México:PrenticeHallHispanoamericana.
Sitios de interés
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Lenguaje Matemático y Teoría de Conjuntos
Introducción
Enestetemaestudiaremoslosconceptosfundamentalesdellenguajematemáticoylateoríadeconjuntos,paraquealfinalizareltemaseascapazdedistinguirladiferenciaentrerelacionesyfuncionesenelcontextodeladescripcióndegruposycategoríassociales.
Lateoríadeconjuntosesunmarcoparaelanálisisdehechossociales.Diversosautoresconsideranelmanejodeestateoría como un instrumento fundamental para el científico social. Elorza (2008), por ejemplo, comenta que la teoríadeconjuntos“esuninstrumentoadecuadoparalasistematizacióndelainformaciónrelevantequepermiteenfocarunproblemaensutotalidad,deslindandoenélloqueesfundamental”(p.83).
Porsuparte,Kleiman(2009)señalaquelateoríadeconjuntosesuna“estructuralógicaqueunificalosconceptosmásfundamentalesmediante un lenguaje intuitivo y simple” (p. 5). Él mismo destaca que buena parte del conocimientomatemáticomodernoocupaenmenoromayormedidalateoríadeconjuntos.
Elestudiodelateoríadeconjuntosesimportanteporquetepermitiráenfocarelanálisisdeproblemassocialesdesdeunaperspectivalógico-matemática,sinqueellosignifiquepasarporaltolacomplejidadymultidimensionalidaddeloshechossociales.Porelcontrario,elanálisisatravésdelenguajematemáticodebemejorarlacomprensiónysistematizacióndeunproblema,yfomentarlacreatividadparagenerarhipótesisdetrabajo.
Para el estudio de este tema hemos desarrollado el contenido puntual, en un lenguaje sencillo y abundando enexplicaciones,conlaintencióndequeellenguajematemáticoporsísólonoseaunimpedimentoparatucomprensiónyusodelosconceptoselementalesdelateoríadeconjuntos.
Además,eneldesarrollodecontenidoencontrarásvariosejemplosqueserefierenaunarealidadconcreta:elestudiodelosgruposyhechossocialesquetenemosalamano.Lohicimosasíparaquepuedasutilizarlosconceptosmatemáticosen las situaciones de análisis que corresponden a las ciencias sociales. De esta manera, te proporcionamos uncomplementoalostextosclásicossobrelateoríadeconjuntos,enloscualespredominanlosejemplosabstractosyenlenguajematemático.
Los conceptos abordados en esta unidad te permitirán identificar elementos, conjuntos (grupos) y relaciones, en ladescripcióndeproblemassociales.Podrásenunciarlascaracterísticasquedeterminanlapertenenciadeunelementoaunconjunto.Éstaesunatareadeclasificaciónqueponeenprácticaelestudiodecategoríassociales.
Además, podrás identificar las operaciones que pueden darse entre conjuntos, por ejemplo, la inclusión, la unión,intersección, complementación y diferencia; si pensamos que dichos conjuntos representan unidades de estudio, esposibleanticiparlautilidadquetieneidentificarlafactibilidaddelasoperacionesmencionadas.Elestudiodelasrelacionesyfuncionesentreconjuntosfomentalahabilidadparadetectarposiblesrelacionesentrevariablesdeestudio.
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Objetivo particular
Altérminodelaunidad,elalumnoserácapazde:
• Distinguirladiferenciaentrerelacionesyfuncionesenelcontextodeladescripcióndegruposycategoríassociales.• Entenderelconceptodevariable,correlaciónycausacióndesdelaperspectivamatemática,aplicadosaproblemassociales
relevantes(pobreza,clase,identidad,producción,opinión).
Temario
TEMA 1. Lenguaje Matemático y Teoría de Conjuntos
1.1.Conjuntos,ydescripcióndegrupos,individuosyunidadessociales1.1.1.Definicióndeconjuntoyelemento1.1.2.Complementodeconjuntos1.1.3.Interseccióndeconjuntos1.1.4.Unióndeconjuntos1.1.5.Inclusióndeconjuntos1.1.6.Igualdaddeconjuntos
1.2.Definicióndeuniverso,pertenencia1.2.1.Notación1.2.2.Operaciones(pertenencia,unión,intersección)1.2.3.Relaciones1.2.4.Funciones
1.2.4.1.Graficarrelacionesyfunciones1.2.4.2.Clasificacióndefunciones1.2.4.3.Operacionesdefunciones
Exposición de los temas
1.1. Conjuntos y descripción de grupos, individuos y unidades sociales
1.1.1. Definición de conjunto y elemento
Kleiman(2009)exponequeladefinicióndeconjuntopuedeestablecersedemaneraintuitiva,apartirdenuestraexperienciaenelmundo,yensuformamáselementalserefiereaunacoleccióndefinidadeelementos.
Estoselementospuedenserobjetos,personas,instituciones,animales,conceptos,ideas,periodostemporales,características,hechos,etcétera.
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Conjuntodeedificios.Tomadodehttps://mx.wikimedia.org/wiki/Archivo:Vista_de_um_conjunto_residencial_em_Guar%C3%A1_(DF).jpg
Conjuntodeatletas.Tomadodehttps://mx.wikimedia.org/wiki/Archivo:Conjunto_espa%C3%B1ol_1999_Budapest.PNG
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Unelementoes,porlotanto,unmiembrodeunconjuntodeterminado.
Haytrescondicionesparaestablecerunconjunto:
1. Lapertenenciadeunelementoaun conjuntodebeestar definida sinambigüedad.Esdecir, se sabesi unelementoperteneceaun conjuntoono.Por ejemplo, si pensamosenel conjuntode científicas reconocidas conunNobel, esindispensabledeterminarsiMarieCurieestáentreellasono.
ConjuntodecientíficasconNobel={MarieCurie,GertyCori,MariaGoeppert,DorotyCrowfoot,IrèneJoliot,RosalynSussman}
2.Loselementosnoserepitenenunmismoconjunto.Sipensamosenelconjuntodenúmerodemascotasporpersona,aunquevariaspersonastienenlamismacantidaddemascotas,sólomencionaremoscadacantidadunavez.
Conjuntodecantidadmascotasporpersona={0,1,2,3,4,5…}
3.Loselementospuedenaparecerencualquierordenysiguesiendoelmismoconjunto.Ejemplo:
ConjuntodelenguasmáshabladasenHidalgo={náhuatl,otomí,tepehua,mixteco}ConjuntodelenguasmáshabladasenHidalgo={tepehua,náhuatl,otomí,mixteco}
Notación
Quizánotastequecadavezquemencionounconjuntoescriboloselementosentrellavesyseparadosporcomas,sedebeaqueeslanotaciónmatemáticadeunconjunto.Entonces,lanotaciónsonlossímbolosqueseusanparadefinirconjuntosdemaneraescrita.Losconjuntosgeneralmenteserepresentanconletrasmayúsculas,porejemplo:
M={ConjuntodeniñosensituacióndecalleenOaxacadeJuárez}P={ConjuntodemujeresensituacióndeviolenciaenSanPedroNuevoLeón}V={ConjuntodevaronesconenfermedadesmentalesenMéxico}
Lalecturadeunconjuntoexpresadoconnotaciónescomosigue:
C={soltero,casado,divorciado,viudo}Selee“loselementosdelconjuntoCsonsoltero,casado,divorciadoyviudo”.
E={alcoholismo,ansiedad,depresión,fobia}Selee“loselementosdelconjuntoEsonalcoholismo,ansiedad,depresiónyfobia”.
Enlosejemplosanterioreshemosescritotodosloselementosdeunconjuntodentrodelasllaves,aesoselellamanotaciónporextensión.Perocuandoloselementosdeunconjuntosondecenasomilesesimprácticomencionarlostodos,porloqueenesoscasosusamoslanotaciónporcomprensión:
Y={MunicipiosdeMéxico}Z={DerechohabientesdelIMSS}
Lanotaciónpor comprensión tambiénutilizaotrossímbolosmatemáticos, como labarra “|”, se lee “tal que”, y literalespararepresentaraloselementos.Sesueleutilizaralaletra“x”pararepresentaraloselementos,perobienpodríasercualquierotraletra.Veamosunejemplo:
A={x|xesunríonacional}Seleeasí:“ElconjuntoAestáformadoporloselementosxtalquexesunríonacional”.
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Luegolanotaciónpuedeexpresarseconrangossinosreferimosamedidas.Porejemplo:
T={x|140>x≥90}Selee“elconjuntoTestáformadoporloselementosxtalquexesmenorque140ymayoroigualque90”.
Elconjuntoanteriorpuedereferirsealatalla(estatura)delosestudiantesdeunaprimariaexpresadaencentímetros.
Paradenotarqueunelementoespartedeunconjuntoseusaelsímbolo ,queselee“pertenecea”.Porelcontrario,siunelementonoperteneceaunconjuntosecruzaelsímbolo yselee“nopertenecea”.Porejemplo:
P={LaPrensa,Ovaciones,Metro,Publimetro,Reforma,ElGráfico,LaJornada}
Entonces:
ReformaDSelee“ReformapertenecealconjuntoP”.
ElPaísD Selee“ElPaísnopertenecealconjuntoP”.
Otroejemplo.Sea:
F={m|180≥x>90}ElconjuntoFtienelosnúmerosmayoresque90(sinincluira90)ymenoresoiguala180.
Así:
180 FSelee“180pertenecealconjuntoF”.
90 FSelee“90nopertenecealconjuntoF”.
ElconjuntoFpodríarepresentarlospesosdemujeresdeestaturamediaquepadecenobesidad.
Cardinalidad
Lacardinalidadeselnúmerodeelementosquecontieneunconjunto,seescribeasí:n(A),yselee“cardinalidadndelconjuntoA”.
Parael conjuntode siglosde la era cristiana tenemosuna cardinalidadde21, porqueactualmente vivimosenel sigloXXI.Revísaloacontinuación.
H={I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X,XI,XII,XII,XIV,XV,XVI,XVII,XVIII,XIX,XX,XXI}
n(H)=21Selee“lacardinalidaddelconjuntoHesiguala21”.
Los conjuntos cuya cardinalidadpodemos calcular se llaman conjuntos finitos.Pero tambiénhay conjuntos infinitos, que sucardinalidadesimposibledeterminar,porejemplo,elconjuntodenúmerosrealesqueseextiendeyextiendeyextiende.
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Conjunto universal
Elconjuntouniversalouniversoesaquelquecontienetodosloselementosenuncasodeestudioenparticular.Porejemplo,siestuviéramosestudiandolascaracterísticasdelospintores,escultoresyactores,nuestroconjuntouniversalpuedeserllamado“Artistas”yloscontieneatodos.
Otro ejemplo, si hablamos de “el sector turismo”, “el sector agropecuario”, “el sector industrial” y “otros sectores”, entoncespodemosdefinirnuestroconjuntouniversalcomo“lossectoresproductivosdelpaís”.
Siestudiamosprimarias,secundariasypreparatorias,eluniversopuedeserlasinstitucioneseducativas.
ElconjuntouniversalsedenotaconelsímboloΩoconelsímboloU.
1.1.2. Complemento de conjuntos
Elcomplementodeunconjuntosetratadelconjuntointegradoportodosloselementosqueestánenelconjuntouniversalperonoestánenunconjuntodeterminado.EntoncesparaelconjuntoF,sucomplementose integrapor todos loselementosquepertenecenaluniversoynopertenecenaF.Uncomplementosedenotaconapóstrofo‘,oconunsuperíndicec.
LoentenderemosmejorconundiagramaVenn-Euler:
EláreacoloreadacorrespondealcomplementodelconjuntoFseescribeasí:
F’={Biología,Antropología,Geografía}
Existendoscasosespecialesparalacomplementación:
Elcomplementodelconjuntovacíoeselconjuntouniversal c=ΩElcomplementodelconjuntouniversaleselconjuntovacíoΩc=
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1.1.3. Intersección de conjuntos
Lainterseccióneselconjuntoformadoportodosloselementosquepertenecensimultáneamenteadosomásconjuntos.Serepresentaconelsímbolo∩.EnelsiguientediagramaVenn-Eulersepresentasombreadaeláreaquerepresentalainterseccióndetresconjuntos,seexpresadelasiguienteforma:
A∩B∩C={Jalisco}Selee“AintersecciónBintersecciónCigualaJalisco”.
Observa en el diagrama anterior cómo la intersección es una operación que nos permite detectar los elementos que estánpresentesesvariosconjuntosalavez,porejemplo,elEstado“Jalisco”esproductordemaíz,decañadeazúcarydesorgo.
1.1.4. Unión de conjuntos
Launióndeconjuntosseformaportodosloselementosquepertenezcanadosomásconjuntos.Serepresentaconelsímbolo.EnelsiguientediagramaVenn-EulerestásombreadaeláreaquerepresentalaunióndelosconjuntosA,ByC:
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Seexpresadelasiguienteforma:
A B C={Sinaloa,Jalisco,Veracruz,Michoacán}
Selee“AuniónBuniónCincluyeaSinaloa,Jalisco,Veracruz,Michoacán”.Notaqueaunqueunelementopertenezcaadosomásconjuntos,enlaunióndelosconjuntossemencionaunasolavez.
1.1.5. Inclusión de conjuntos
Lainclusiónsedacuandounconjuntocontieneaotro.Estotambiénseexpresacomoqueunconjuntoessubconjuntodeotro.Paraanotarunarelacióndeinclusiónseutilizaelsímbolo .
Siporelcontrariosequiereanotarqueunconjuntonoestáincluidoenotro,seusaelsímbolo
Porejemplo:
V={x|x=trabajadoresasalariados}W={x|x=trabajadoresquepercibenunsalariomínimo}
ParalosconjuntosanterioressepuededecirqueW VSelee“WestáincluidoenV”o,bien,“WessubconjuntodeV”.
Podemosdefinirloanteriorporquelostrabajadoresquepercibenelsalariomínimonecesariamentesontrabajadoresasalariados,aunqueenelconjunto“V”tambiénpuedenexistirotrostrabajadoresquepercibenmásdeunsalariomínimo.
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Otroejemplo:
Y={x|x=trabajadoressindicalizados}V={x|x=trabajadoresasalariados}
Alreflexionarsobrelosconjuntosanterioresnotamosquenonecesariamentetodoslostrabajadoresasalariadostambiénestánsindicalizados,porellopodemosestablecerque
V Y,esdecir,VnoestáincluidoenYo,bien,VnoessubconjuntodeY.
Observaeldiagramaquerepresentalasoperacionesdeinclusióndescritas:
Existencasosespecialesenlainclusióndeconjuntos:
• SilosconjuntosAyBsoniguales,entoncespodemosdecirqueAessubconjuntodeBytambiénqueBessubconjuntodeA.• Todoconjuntoessubconjuntodesímismo,aestarelaciónseledenominainclusiónimpropiaysesimbolizacon ,dela
siguienteformaA A.• Existeunconjuntovacíosimbolizadoconϕqueestáincluidoencualquierotroconjunto.
1.1.6. Igualdad de conjuntos
Laigualdadentredosomásconjuntosseestablecesiemprequetenganexactamentelosmismoselementos.Cuandoestoocurreseanotaasí:
A=BSelee“elconjuntoaesigualalconjuntoB”.
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Siporelcontrariolosconjuntossondesiguales,seanotaasí:
A≠BSelee“elconjuntoAesdiferentealconjuntoB”.
Veamosunejemplo:
R={x|x=ramasdelderecho}Selee“Rcontieneloselementosxtalquexrepresentaalasramasdelderechopúblico”.
D={Administrativo,Constitucional,Penal,Procesal,Laboral,Tributario}
EnelconjuntoRsemenciona,porcomprensión,lasramasdelderechopúblicoquesonelderechoadministrativo,constitucional,penal,procesal,laboralytributario;justamenteloselementosdelconjuntoD.Porelloestosconjuntossoniguales,entoncessepuedeanotarque:
R=D
Otroejemplo:
I={x|x=Médicos}N={x|x=Pediatras}
Aunquetodoslospediatrassonmédicos,notodoslosmédicossonpediatras.Porelloestepardeconjuntosnosoniguales,yseanotadelasiguienteforma:
N≠I
1.2. Definición de universo, pertenencia
Elconjuntouniversalouniversoestáconstituidoportodosloselementosdeestudioenunasituaciónparticular.Estoquieredecirquecadainvestigadordefineelconjuntouniversaldeestudioparaunproblemadeterminado.Incluso,paraunmismoproblemasepuedenplantearvariasposibilidadesdeconjuntouniversal.
Aunqueparaladefinicióndelconjuntouniversalelinvestigadortieneamplialibertad,sítendráqueestablecerunconjuntopreciso,yquesemantendráfijomientrasrealizaunanálisisbasadoenteoríadeconjuntos.
1.2.1. Notación
El conjuntouniversal sedenotaconel símboloΩoconel símboloU;en losdiagramasVenn-Euler se representacomounrectánguloquecontienetodosloselementos.Observaqueenlasiguienteimagensehasombreadotodoelconjuntouniversal.
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Elaboraciónpropia.
1.2.2. Operaciones (pertenencia, unión, intersección)
Unavezquesedefineunconjuntouniversalseasumenlassiguientespropiedades:
• Pertenencia: Todoconjuntoessubconjuntodelconjuntouniverso.• Unión: Launióndeunconjuntoconelconjuntouniversaldapor resultadoelconjuntouniversal.Porellosedicequeel
conjuntouniversalesunelementoabsorbentedelaunión.• Intersección: Lainterseccióndeunconjuntoconelconjuntouniversaldaporresultadoelconjuntoinicial.Porellosedice
queelconjuntouniversalelunelementoneutroenlaintersección.
1.2.3. Relaciones
Unarelaciónvinculaloselementosdeunconjuntoconloselementosdeotroconjunto.Veámoslográficamente:
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Se expresa como un conjunto de parejas ordenadas, donde el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundoelementoalsegundoconjunto.Delasiguienteforma:
Sean los conjuntos:E={Guerrero,Coahuila,Yucatán,Jalisco} y
C={Chilpancingo,Saltillo,Mérida,Guadalajara}
Se propone la siguiente relación:R={(Guerrero,Chilpancingo),(Coahuila,Saltillo),(Yucatán,Mérida),(Jalisco,Guadalajara)}
Otrosejemplosderelacionespuedenser:
Sean los conjuntos:M={Angélica,Laura,Vanesa,Carolina} y H={3,4,5}
Se propone la siguiente relación:R={(Angélica,4),(Laura,3),(Vanesa,4),(Carolina,5)}
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Unejemplomás:
Sean los conjuntos:M={6,9,13,19} y H={5000,6000,8000,16000,30000}
Se propone la siguiente relación:R={(6,5000),(6,6000),(9,8000),(13,16000),(19,30000)}
Podrásencontrartrestiposderelaciones:
Deunelementodelprimerconjuntoaunelementodelsegundoconjunto.
Demásdeunelementodel primer conjuntoaunelementodelsegundoconjunto.
Deunelementodel primer conjuntoamásdeunelementodelsegundoconjunto.
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Dominio y rango
Enunarelaciónsepuededeterminareldominioyelrango.
• Eldominioeselconjuntoformadoporlosprimeroselementosdelosparesordenados,yseescribeasí:D(R).• Elrangoeselconjuntoformadoporlossegundoselementosenlosparesordenadoyseescribeasí:r(R).
Veámoslográficamente:
D(R)= {Guerrero,Coahuila,Yucatán,Jalisco}r(R)={Chilpancingo,Saltillo,Mérida,Guadalajara}
Encienciassocialesestudiamos las relacionesentreconjuntosparaproponervínculosquenosayudenaexplicarypredecircaracterísticasdenuestrosobjetosdeestudio.
1.2.4. Funciones
Unafunciónesunarelaciónconlassiguientestrescaracterísticas:
• Tieneundominio(generalmentesedenotaconlaletraX).• Tieneunrango(generalmentesedenotaconlaletraY).• Tieneunaregladecorrespondenciaconlassiguientesrestricciones:
1.Cadaelementodeldominiodebetenernecesariamenteunelementoasociadoenelrango.2.Unelementodeldominionopuedetenermásqueunsóloelementoasociadoenelrango.
Unafunciónsedenotageneralmenteconlaletraf.
Observagráficamentecuálesrelacionessonfuncionesycuálesno:
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Imaginaqueunafunciónesunaespeciede“caja”querecibeunvalorX,loevalúayarrojacomoresultadounvalorY:
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Unafuncióngeneralmenteseexpresaasí:Y=f(X)yselee“YigualafuncióndeX”.
LaletraXrepresentaacualquieradeloselementosdeldominiodelafunción,esdecir,suvalorirácambiando,porellosedicequeesunavariable.
TambiénelvalordeYtomarávaloresdistintos,deentrelosvaloresposiblesparaelrango,porellotambiénesunavariable.
Además,sabemosqueelvalordeYdependedelvalorqueseleasigneaX,poresodecimosqueesunavariabledependiente.EncambioelvalordeXnodependedeotravariable,poresodecimosqueesunavariableindependiente.
Hastaahorahemosrepresentado las funcionescondiagramasoconparejasordenadasdeelementos,pero¿quépasaríasituviéramosunarelacióncuyodominioestáintegradoporunacantidadinfinitadeelementos?¡Exacto!Hacerundiagramaoanotartodaslasparejasposiblesesimpráctico.Porello,losdominiosdelasfuncionessuelenrepresentarseconecuaciones,ademásseindicaquétipodeelementospuedenpertenecer.Porejemplo:
Loanteriorselee“Yigualaxcuadrada.Siemprequexpertenecealosnúmerosnaturales,esmayoroiguala2yesmenoroigualque6”.
Otroejemplo:
Queselee“Yesiguala2x,xpertenecealosnúmerosreales.Enestecasonoseaclaraconcuálnúmeroiniciaofinalizax,loquesignificaquesusvaloresvandemenosinfinitoainfinito,seescribiríaasí: ”.
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Para saber más…
Repasaladiferenciaentrerelaciónyfunción,enelsiguientevideo:https://youtu.be/qd8QHJEo-6o
1.2.4.1. Graficar relaciones y funciones
Lasfuncionespuedenrepresentarsemediantegráficas.Paraelaborarlagráficadeunafunción,determinacuálessonlospuntosquedebessituarenunejecartesiano,esdecir,lascoordenadasXyY.Dichascoordenadasseacomodanenunatabladedobleentradaotabulación.Veamosunejemplo:Dadalafunción latabulaciónquetepermitirágraficarlafuncióneslasiguiente.
Enlatabulaciónanteriorlosvaloresdexseobtuvierondeldominiodelafunción: ,selee“xpertenecealosnúmerosnaturales,xesmayoroiguala2,xesmenoroiguala6”.Entendiendoeldominiosabemosquelosúnicosvaloresposiblesparaxson:2,3,4,5y6.
Despuéslosvaloresde“y”seobtuvieronresolviendolafunciónparacadavalordex,así:
X
2
3
4
5
6
Y
4
9
16
25
36
Y =22
Y =32
Y =42
Y =52
Y =62
UnavezterminadalatabulaciónpodemoselaborarlagráficaacomodandolospuntosX,Y.Semuestraacontinuación:
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Finalmente,podemosespecificarlosconjuntosqueformaneldominioyelrangodelafunción:
a)Dominio{2,3,4,5,6}b)Rango{4,9,16,25,36}
1.2.4.2. Clasificación de Funciones
Puedenclasificarseeninyectivas,suprayectivasybiyectivas.
Enlasfuncionesinyectivasparavaloresdiferenteseneldominiohayvaloresdiferentesenelrango.Observaestacaracterísticaenlasiguienteimagen:
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Enlassuprayectivascadaelementodelrangodebetenerasociadounelementoeneldominio.
Finalmente,lasfuncionesbiyectivassontantoinyectivascomosuprayectivas:
1.2.4.3. Operaciones de funciones
Confuncionesesposiblerealizarlassiguientesoperacionesalgebraicas:suma,resta,multiplicaciónydivisión.Tambiénpodemoshacerunaquintaoperaciónllamadacomposición.Acontinuaciónexplicaremoscadaunadeellas.
SumaDadasdosfuncionesfyg,lasumadeéstasseexpresaasí:
f(x) +g(x)= (f+g) (x) Selee“fdexmásgdexigualafmásg,dex”.
Unpropiedadimportantedelasumadefuncionesesqueeldominiodeunasumadefuncionesesigualalainterseccióndelosdominiosdecadafunción.Seexpresadelasiguienteforma:
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Dominio de (f+g) (x) es igual a Df ∩ DgSelee“dominiodefmásg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg”.
Veamosunejemplo:
Seanf(x) = x2-1g(x) = x+3
Entonces(f + g)(x) = x2 - 1+(x +3)
Simplificandotérminosqueda:(f + g)(x) = x2 +x +2
Para saber más…
Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicaunasumadefunciones:https://youtu.be/uXumaGG1yws
RestaDadasdosfuncionesfyg,larestadeestasfuncionesseexpresaasí:
f(x) - g(x)= (f - g) (x) Selee“fdexmenosgdexigualafmenosg,dex”.
Tambiéneldominiodeunasumade funcioneses iguala la intersecciónde losdominiosdecada función.Seexpresade lasiguienteforma:
Dominio de (f - g) (x) es igual a Df ∩ Dg
Selee“dominiodefmenosg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg”.
Veamosunejemplo:
Seanf(x) = x2 - 1g(x) = x + 3
Entonces(f-g)(x)=x2-1-(x+3)
Simplificandotérminosqueda:(f - g)(x) = x2 - x - 4
25
Para saber más…
Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicaunarestadefunciones:https://youtu.be/L5Bwmis_d18
Producto o multiplicaciónDadasdosfuncionesfyg,larestadeestasfuncionesseexpresaasí:
f(x) . g(x) = (f . g) (x)Selee“fdexporgdexigualafporg,dex”.
Tambiéneldominiodeunproductodefuncionesesigualalainterseccióndelosdominiosdecadafunción.Seexpresadelasiguienteforma:
Dominio de (f . g) (x) es igual a Df ∩ Dg
Selee“dominiodefporg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg”.
Veamosunejemplo:
Seanf(x)= x^2-1g(x) = x+3
Entonces(f . g)(x) = (x2 - 1)(x + 3)
Resolviendolamultiplicaciónqueda:(f . g)(x) = x3 + 3x2 - x - 3
Para saber más…
Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicaunproductodefunciones:https://youtu.be/EV9TRVYs36k
Cociente o divisiónDadasdosfuncionesfyg,ladivisióndeestasfuncionesseexpresaasí:
f(x) / g(x) = (f/g) (x) Selee“fdexentregdexigualafentreg,dex”.
26
Tambiéneldominiodeuncocientedefuncioneses iguala la intersecciónde losdominiosdecadafunción,excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.Seexpresadelasiguienteforma:
Dominio de (f/g) (x) es igual a Df ∩ Dg,g(x)≠0
Selee“dominiodefporg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg,siemprequegdexseadiferentede0”.
Veamosunejemplo:
Sean
f(x)=x2-1g(x)=x+3
Entonces
(f/g)(x)=(x2-1)/(x+3)
Resolviendolafracciónqueda:
(f/g)(x)=x-3+8/(x+3)Siemprequex+3≠0
Para saber más…
Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicauncocientedefunciones:https://youtu.be/_hJkxqoZlCQ
ComposiciónConsisteenevaluarunafunciónenotra.Dadasdosfuncionesfyg,lacomposicióndeéstasseexpresaasí:
f(x) • g(x)=f(g(x))
Selee“fdexcompuestagdexigualafcompuestag,dex”.
Siemprequeeldominiodexpertenezcaaldominiodeg(x),yeldominiodeg(x)pertenezcaaldominiodef(x).Seexpresadelasiguienteforma:
Dominiode
Selee“dominiodefcompuestagdex,igualax,talquexpertenecealdominiodeg,ygdexpertenecealdominiodefdex”.
Veamosunejemplo:
Sean
f(x)= x2-1g(x)= x+3
27
Entonces
Para saber más…
Revisaenelsiguientevideounaintroducciónalacomposicióndefunciones:https://youtu.be/Nc7dtwfgqtM
Siaúntienesdudassobrelasoperacionesconfuncionesrevisaelsiguientevideo:
Operacionesconfunciones:suma,resta,multiplicaciónydivisión,https://youtu.be/78QxHDCibIE
Sagrera,E.(25demarzode2016).Lasfuncionesylavidacotidiana[Archivodevideo].Consultadodehttps://youtu.be/GH5DKqCwSAk
En conclusión…
Lateoríadeconjuntossepuedeocuparparaanalizarhechossocialesdeformasistemática.Permiteconceptualizaralosgruposy procesos sociales como conjuntos con propiedades conocidas, sobre los que pueden plantearse operaciones de unión,intersección,inclusión,complementariedad.Estasoperacionestienenunfundamentomatemáticoquebrindacoherenciaysolidezaunanálisisbasadoenteoríadeconjuntos.
Enestaunidadrevisamosqueunconjuntoesunacoleccióndeelementos.Dichoselementospuedenserpersonas,objetos,ideas,etc.Secumplentrescondicionesparadelimitaraunconjunto:primerocadaelementoperteneceaunoomásconjuntosdemaneradefinitiva,sinambigüedad;segunda,loselementosnoserepitenenunmismoconjunto,ytercera,noimportaelordenenelqueseexpresenloselementosdelconjunto.
Paraelanálisisdeunasituaciónenparticularexisteunconjuntouniversalquecontieneatodosloselementosposiblesdeestudio.Esteconjuntoesdelimitadoporelinvestigadordeacuerdoalascaracterísticasdelproblemadeinvestigación.Lalibertadparadefinirloestáacotadapordoscaracterísticas:sedebeestablecerdemaneraprecisaunavezdelimitadoeluniversosemantienefijodurantetodoelprocesodeanálisis,
Parausar lateoríadeconjuntostenemosunanotaciónparticular,entrecuyossímbolospodemosdestacar lossiguientes: losconjuntosserepresentanconletrasmayúsculas,elconjuntouniversalconelsímboloU,enconjuntovacíoseexpresaconɸ,lapertenenciadeunelementoaunconjuntoserepresentaconelsímbolo ,porlotanto,paraexpresarqueunelementonoperteneceaunconjuntousamoselmismosímbolocruzado .
28
Podemosrealizarlassiguientesoperacionesconconjuntos:unión,intersección,inclusión,igualdadycomplemento.Launióndedosomásconjuntosseformaconloselementosqueestánpresentesendichosconjuntos;encasodequeunelementoestépresenteenmásdeunconjuntosóloseincluyeunavezenelresultadodelaoperaciónunión.LauniónserepresentaconelsímboloU.
Laintersecciónseformaconloselementosqueestánpresentesdemanerasimultáneaendosomásconjuntos;serepresentaconelsímbolo ∩.Existe inclusióncuandotodos loselementosdeunconjuntopertenecenaotroconjunto,aestaoperacióntambiénseleconocecomosubconjunto,sesimbolizacon .
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente losmismos elementos, esta situación se representa con el símbolo =, enconsecuencia,silosconjuntossondiferentesserepresentaconelsímbolo≠.Finalmentelaoperacióncomplementoincluyeatodosloselementosqueformanpartedelconjuntouniversalmenosloselementosdeunconjuntodeterminado,serepresentaconelapóstrofo.
Unarelaciónvinculaelementosdeunconjuntoconloselementosdeotroconjunto.Cuandoloselementosdelosconjuntossonnúmerosseformaunconjuntodeparesordenados(x,y)quesepuedengraficarenuncuadrantecartesiano.Dichasgráficassonrepresentacionesvisualesdelarelación,sonútilesparaproporcionarunadescripcióndelascaracterísticasdelarelación,esdecir,nosfacilitansuinterpretación.
Paratodarelaciónsepuededefinirundominioyunrango.Eldominioestáconstituidoportodoslosprimeroselementosdelosparesordenados,generalmenterepresentadosporlaliteral“x”,estoselementossegraficanenelejedelasabscisas.Elrangosontodoslossegundoselementosdelosparesordenados,serepresentanconlaliteral“y”ysegraficanenelejedelasordenadas.
Existe un caso particular de relación, llamado función, que se caracteriza porque todos los elementos de su dominio estánrelacionadosúnicamenteconunelementoenelrango.Elvalordelafuncióndependedelvalordeloselementosdeldominio,porellounafunciónesunaexpresiónmatemáticaquepermitemodelarelcomportamientodeunavariabledependienteconrespectoaunaomásvariablesindependientes.
Encienciassocialesestudiamos las funcionesentreconjuntosparaproponervínculosquenosayudenaexplicarypredecircaracterísticasdenuestrosobjetosdeestudio.Porejemplo,lafunciónquedefineelcomportamientodelaofertaylademandanosdicequeelincrementodelademandaelevaelpreciodelosbienesyservicios.
Fuentes básicas de consulta
Básica
Elorza,H.(2008).Estadísticas para las Ciencias Sociales, del Comportamiento y de la salud(3.ªed.).México:CengageLearningEditores.
García-Ferrando,M.(1999).Socioestadística: Introducción a la estadística en sociología.Madrid:Alianza.
Rioboo,J.yDelOro,C.(2000).Representaciones gráficas de datos estadísticos.Madrid:AC.
Zeisel,H.(1999).Dígalo con números.México:FCE.
Complementaria
Kleiman,A.(2009).Conjuntos: Aplicaciones matemáticas a la administración.México:Limusa.
29
El Comportamiento Demográficoen México
Introducción
Enlaactualidad,laestadísticasehaconvertidoenunmétodoefectivoparadescribirconprecisiónlosvaloresdedatospolíticos,sociales,económicos,psicológicos,etc.,puesesunaherramientapararelacionaryanalizardichosdatos.
Laestadísticasedivideenestadísticadescriptivayestadísticainferencial.
• Laestadísticadescriptivaodeductivarequieredelusodemodelosnuméricosygráficospararesumirypresentardatos,eslaqueincluyelastécnicasqueserelacionanconelresumenyladescripcióndedatosnuméricos.
• Estadísticainferencialoinductiva:Consisteeninferirpropiedadesdeunapoblaciónsobrelabasedeunamuestraconresultadosconocidos,sebasadadirectamenteenlateoríadelaprobabilidad.Esunadisciplinapuramentedeductivaqueproporcionaunabaseracionalparaelrazonamientoinductivo.
Objetivos particulares
Altérminodelaunidad,elalumnoserácapazde:
• Seleccionaryvalorarresultadosydatossociodemográficos.• Representardatossociodemográficos.• Comprenderlalógicadelaestadísticaylosmodeloselementales.• Dominarlaestadísticadescriptivayrealizaroperacionesestadísticasbásicasconlafinalidaddehacerinferencias
generalessobrepoblacionesdelimitadas.
Temario
Tema 2. Estadística
2.1.Introducciónalaestadísticaencienciassociales2.1.1.Estadística,cienciayobservación
2.1.1.1.Inferenciasdelaspoblaciones.Estadísticasvitalesyestadísticasmatemáticas2.1.1.2.Utilidadylimitantesdelaestadísticaenlascienciassociales2.1.1.3.Poblaciónymuestras
2.1.1.3.1.Tiposdemuestras2.1.1.3.2.Tiposdeencuestas,general
2.1.2.Estructuradeinformación,métodosdeinvestigación2.1.3.Variables,medición2.1.4.Anotaciónestadística
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2.2.Frecuencias2.2.1.Distribucióndefrecuencias2.2.2.Distribuciones:tablasygráficas(relacionesx,y)
2.2.2.1.Presentacióndetablas,intervalos2.2.2.2.Histogramas,gráficasdebarra,polígonos
2.2.3.Tendenciacentraltotal2.2.4.Promedio,media,moda
2.2.4.1.TeoremadetendenciacentralySkwenessyKurtosis2.3.Variabilidad
2.3.1.Rangoyrangointercuartil2.3.2.Desviaciónestándar
2.4.Diseñodehipótesisenlascienciassociales2.4.1.CausalidadycorrelaciónPearson2.4.2.Hipótesisnula2.4.3.Pruebasdehipótesis
2.4.3.1.Errorestándar2.4.3.2.Estimación2.4.3.3.Índicedeconfianza
2.5.Modelosprobabilísticos2.5.1.Normal2.5.2.Binomial2.5.3.Poisson
Exposición de los temas
2.1. Introducción a la estadística en ciencias sociales
2.1.1. Estadística, ciencia y observación
La estadística es una rama de lasmatemáticas que, mediante las técnicas que proporciona, permite recolectar, organizar,presentar,analizare interpretardatos,yaseadeunamuestrao inferirsobreunapoblación, locualpermitetomardecisionesacertadas.
CienciaEsunadisciplinaqueutilizaelmétodocientíficoconlafinalidaddehallarestructurasgenerales.
Observación o datoAcadaresultadoqueseobtienealrealizarunexperimentoselellamadatouobservación.
2.1.1.1. Inferencias en las poblaciones. Estadísticas vitales y estadísticas matemáticas
Lainferenciaestadísticaesunprocesoqueseñalalosaspectoscontenidosenunapoblación,utilizandoúnicamentelainformaciónde unamuestra. El uso de la inferencia estadística tiene grandes ventajas, ya que se ahorra tiempo y dinero al recolectarinformacióndeunamaneramássencilla.
Lasestadísticasvitalesson“elresultadodelrecuentodeloshechosocurridosenlavidadelapoblación,comoson:nacimientos,matrimonios,divorcios,defuncionesymuertesfetales.Lasestadísticasvitalessonelementosbásicosparaelanálisisdemográfico
31
delasituacióndeunpaís,asícomounodelosrequisitosparapoderllevaracabolaplanificacióndeldesarrolloeconómicoysocial.Yaqueproporcionaninformaciónsobrelatendenciadelcrecimientonaturaldelapoblaciónbasándoseenlastasasdenatalidadymortalidad;sobrelaconductadesuscomponentes,sudistribucióngeográficaymediantesuagregaciónalolargodeltiempo,sobreeltamañodelapoblaciónysuestructura.Porotrolado,permiteidentificaralosgruposdemandantesdeserviciosmédicos,educación,vivienda,etc.”(INEGI,2003,p.1).
Laestadísticaesunaramadelasmatemáticasqueestudialarecolección,organizaciónyanálisisdelosdatos,losresumeysimplificaparasuanálisisyestudio.
2.1.1.2. Ventajas y limitantes de la estadística en las ciencias sociales
Laestadísticacuentaconunaseriedetécnicasquetienenaplicaciónenlasmásdiversasdisciplinas,elusodeellasdependedelconocimientodelaspersonasquelasapliquen.Asimismo,proveeloselementosbásicosparafundamentarunainvestigación.
Limitantes:Alutilizarlaestadísticaesimportantecuidarcómoseobtiene,cuantificaypresentanlosdatosparanodarunmalusodeellos,porqueestopuedehacerquelaspersonasinterpretenmallainformacióny,portanto,eltrabajopierdevalidez.Además,estálaéticadequienesrecolectanlainformaciónynointervenirenlosdatosqueseobtienen.
Consideraquelosproblemasdeinvestigaciónsocialrequierenestardefinidosteóricamentedemaneracorrecta,delocontrariodepocoserviráelusodeunaparatoestadístico(García,1989).
2.1.1.3. Población y muestras
Lapoblaciónouniversosedefinecomoelconjuntodetodoslosindividuos,objetos,omedidasqueposeenalgunacaracterísticacomúnobservable.Porejemplo,todaslasmujeresquesonmadressolterasdeciertopaís.
Lamuestraesunsubconjuntodelapoblación,seleccionadamedianteprocedimientosaleatorios(alazar)opormétodosdirigidosaobtenerrepresentatividaddelapoblacióndedondeseobtiene.Lasmuestrassonconsideradascomounaautenticarepresentacióndelapoblacióndondetodosycadaunodelosindividuosobjetostienenlamismaoportunidaddeserseleccionados,mediantelosdiferentestiposdemuestreo.
2.1.1.3.1.Tiposdemuestras
Muestras de convenienciaCuandolaconvenienciasealaconsideraciónfundamentalysóloseescojanparaobservaciónlasunidadeselementalesmásfácilmenteaccesibles,elsubconjuntoresultantedetodasellasodeunapoblaciónestadísticaasociada,constituyeunamuestradeconveniencia.
Ejemplo:Encuestaalas10personasquesalgandeunaempresaacercadecuántogananyseobtieneasíunpromediode20000dólaresalaño;estas10personasnorepresentanlafuerzalaboralcomountodo,niunmismonivel.
Muestras de juicioÉsteesuntipodemuestramáscompleja,yaquesebasaenlaexperienciaprevia,juegaunpapelimportanteenlaseleccióndeunidadeselementalesparaobservación.Sinembargo,formulardichojuiciopuedeserpuntomenosqueimposible,enespecialcuandolasunidadeselementalessonheterogéneasylamuestradeseadaespequeña.
32
Ejemplo:Sihubiera600hombresy400mujeresysetuvieraunamuestrade4hombresy6mujeres,enestesentido,lamuestravendríaenunaminiaturadelapoblación.¿Quépasacontodaslascaracterísticasquetienelaspersonas,comolaedad,educación,ingresoyraza?
Muestras aleatorias (o de probabilidad)Sondegran importancia,puesevitanelproblemade lacarenciade representatividad,es lamuestraaleatoriaomuestradeprobabilidad,lacualesunsubconjuntodetodaslasunidadesdeunapoblaciónasociadadesuscaracterísticas,queseescogeporunprocesoaleatorioquedaráacadaunidaddeunapoblaciónasociadaunaposibilidadpositivayconocidadeseleccionarse(aunquenonecesariamenteigual).
2.1.1.3.2.Tiposdeencuestas,general
Unaencuestaesunatécnicacuantitativaqueconstadeunaseriedepreguntasrealizadasaunamuestrarepresentativadeunapoblación,diseñadaparaobtener informaciónespecíficade losparticipantes.Apartirdeestosepuedenobtenermedicionescuantitativasdecualidadestantoobjetivascomosubjetivasdelapoblación.Lasencuestaspuedenserclasificadasdedistintasmaneras.
TIPOS DE ENCUESTAS
Asistida por computadoraTradicional
Encuesta telefónica Encuesta personal Encuesta por correo Encuesta electrónica
En centros comerciales
Asistida por computadoraEn casa Panel por
correoCorreo CorreoCorreo electrónico
Malhotra,N.(2008).Clasificacióndelatécnicadeencuesta[esquema].Tomadode:Investigacióndemercados,p.184.
2.1.2. Estructura de información, métodos de investigación
Unavezrecolectadalainformaciónporalgunatécnicacuantitativa,éstasepuedeanalizarmedianteunmétododeinvestigaciónquepermitalamejortomadedecisiones.
Elsiguientediagramamuestraelprocesocuantitativo.
33
Sampieri,R.(2006)Procesocuantitativo.[esquema].Tomadode:Metodologíadelainvestigación,p.5.
2.1.3. Variables, medición
Variable:característicaofenómenoquepuedetomardiferentesvalores.
Existendosclasesdedatos,loscualesprovienendelassiguientesvariables.
Proceso cuantitativo
Idea Planteamiento del problema
Fase 1F ase 2F ase 3F ase 4F ase 5
Fase 10 Fase 9F ase 8F ase 7F ase 6
Revisión de la literatura y desarrollo
del marco teóricoVisualización del
alcance del estudio
Elaboración del reporte de resultados
Análisis de los datos Recolección de los datos
Desarrollo del diseño de investigación
Variable continua
Es aquella que puede tomar cualquier valor entre dosvalores dados, los datos obtenidos respecto a éstas sellamandatoscontinuos,puedenserenterosofraccionarios(altura,peso,velocidad,gasolinaqueseexpendeporhora,etc.).Elresultadoseobtienedemedir.
Variable discreta
Aquellascuyamediciónsólopuedeexpresarseennúmerosenteros(númerodepersonasqueentranaunrestaurante,número de personas en una empresa, etc.) porque nopuede tomar un valor cualquiera entre dos dados. Losdatosqueseobtienenconrespectoaéstasellamandatosdiscretos.Elresultadoseobtienedecontar.
Niveles de medición
Losnivelesdemediciónoescalasdemediciónrigenloscálculosquesellevanacaboconelfinderesumirypresentarlosdatos.Determinanlaspruebasestadísticasquesedebenrealizar.
Existencuatronivelesdemedición:nominal,ordinaldeintervaloyderazón.Lamediciónmásbaja,correspondealnivelnominal.Lamásalta,oelnivelqueproporcionalamayorinformaciónrelacionadaconlaobservación,eslamediciónderazón.Elsiguientecuadropresentalaclasificacióndedichosniveles.
34
VARIABLES DISCRETAS O DISCONTINUAS
Sonaquellasqueutilizanvaloresnuméricosoalfanuméricos,tambiénserefiereadatoscualitativos.
•Losdatossóloseclasifican.• Ninguna respuesta valemásqueotra.•Noimportaelorden.•Noexistejerarquía.
Ejemplos:
Sí,No
Losnúmerosdelasplayerasdejugadoresdefutbol.
El género de las personas enunauniversidad.
Marcadeautomóviles.
• Diferencias significativasentre los valores. (magnitudesy distancia entre los númerosdesuescala).
Ejemplos:
Las temperaturas de lasdiferentes zonas geográficasdelmundo.
Laedadde losestudiantesdeprimersemestre.
La talla de vestido o trajes deungrupodepersonas.
• Los datos se clasifican deacuerdoaunajerarquía.• No se conoce la diferenciaentreunvaloryotro.•Noesequidistante.
Ejemplos:
Bueno,Malo,Regular
Alto,Medio,Bajo
Calificaciones en un examen(MB,B,R,NA).
•Cuentaconunceroabsoluto(elcerorepresentalaausenciatotaldemedida).• Cociente o Razón entre dosnúmerosdelaescala.
Ejemplos:
Númerodeempresasalasqueselesdioconsultoría.
Peso,estatura.
Númerodellamadasrealizadasenuncall center.
VARIABLE CONTINUAS O ESCALARES
Sonaquellasvariablescuyosvaloresdentrode lamismarepresentan la información exacta, también se refiere adatoscuantitativosocontinuos.
VARIABLE NIVELES DE MEDICIÓN S DISCRETAS O DISC
NOMINALES INTERVALOORDINALES RAZÓN
Elniveldemediciónde losdatosrige loscálculosquese llevanacaboconelfinderesumirypresentar losdatos.Tambiéndeterminalaspruebasestadísticasquesedebenrealizar.
2.1.4. Notación estadística
Lanotaciónestadísticaonomenclaturaesunlenguajesimbólicoqueseusapararepresentardealgunaformaideasuoperacionesmatemáticas.
Lanomenclaturaqueseusaenestasnotassepresentarádeacuerdoconlostemasquesevayanmencionando.
2.2. Frecuencias
Frecuencias:númerodevecesqueocurreuneventouobservación,serepresenta(f).
35
2.2.1. Distribución de frecuencias
Losdatosordenadosengruposocategoríasrecibenelnombrededistribucióndefrecuencias.Sisetieneunconjuntodedatos,primerohayqueorganizarlosenformaordenadayensubconjuntosquepresentancaracterísticassimilares(mismaasignatura,mismaedad,mismaestatura,etc.),conelpropósitodefacilitarsuinterpretación.
2.2.2. Distribuciones: tablas y gráficas (relaciones x, y)
Elprimerprocedimientoqueseempleaparaorganizary resumirunconjuntodedatos,organizándolossegúnsuclaseysufrecuencia,esunatabladefrecuencias.
Estatablapuedeserutilizadaparaorganizaryresumirdatoscualitativosydatoscuantitativos.
Ejemplo1:Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasesunamuestraaleatoriade130personasenedaddevotarenlaciudadMparaelegiraunnuevorepresentante,estáclasificadaporgrupodeedad.
Frecuencia
1828262533
Grupo de edad
(18-24](24-30](30-36](36-42](42-48]
Enlaprimeracolumnaseencuentranlasclasesointervalosdondeseclasificanlosdatosdelamuestraobtenida.Elparéntesisindicaellímiteinferiordeclaseyelcorcheteellímitesuperiordeclase.Porloqueelnúmerodevecesqueserepiteeleventosóloesenesaclase.
Enlasegundacolumnaseencuentranelnúmerodevecesqueserepiteeleventoencadaclase.
2.2.2.1Presentacióndetablas,intervalos
Considerando el ejemplo 1, con los datos recolectados de lamuestra de votantes se presenta el desarrollo de laTabla dedistribucióndefrecuenciasabsolutasyrelativas.
Tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativas
Estasfrecuenciassedeterminandelasiguientemanera:
LaXiesunpromedioaritméticodeclase,queseobtienesumandoloslímitesrealesdeclaseydividiéndolosentredos.
Delaclase2tenemos(24+30)/2=27
Lafrseobtienededividirlafdecadaclaseentreeltotaldedatosuobservaciones(enestecasoson130).
36
Lafadeunaclaseseobtienedesumarlafadeesaclaseylafdelaclasesiguiente.Elresultadodelaclase2es18+27=46.
Lafradeunaclaseseobtienedesumarlafracumuladadeesaclaseylafrecuenciarelativadelaclasesiguiente.Elresultadodelafradelaclase3es0.35+0.20=0.55.
Nomenclatura:
f:frecuenciaabsolutaXi:marcadeclaseopromediodeclaseFr:frecuenciarelativafa:frecuenciaabsolutaacumuladafra:frecuenciarelativaacumulada
2.2.2.2.Histogramas,gráficasdebarra,polígonos
Losgráficossonlarepresentacióndelosdatosenformadedibujo,detalmaneraquelapersonaquelosveapuedacomprenderlosdatosrecabadossintenerqueremitirseaunatabladefrecuencias.
Lasgráficasseclasificansegúneltipodedatos,sisoncualitativosocuantitativos.
f
1828262533130
fr
18/130=0.140.220.200.190.251.00
Xi
2127333945
fa
18467297130
fra
0.140.350.550.751.00
Grupo de edad(clases o intervalos)
18-2424-3030-3636-4242-48Totales
GRÁFICOS
BarrasCircular
Datos cualitativos Datos cuantitativos
Dispersión HistogramaLíneas
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Histograma
Gráficadebarrasverticalessinespaciamientoentreellas,construidacolocandoenelejeverticalalasfrecuenciasabsolutasorelativasyenelejehorizontalaloslímitesrealesdeclasedeunatabladefrecuencias.
Polígono
Esunagráficaconstruidaconsegmentosdelíneasrectasqueunenlospuntosobtenidosalcolocarenelejehorizontallosvaloresmediosdeclaseyenelejeverticalalasfrecuenciasabsolutasorelativas.
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Ojiva de frecuencias acumuladas
Esunagráficaconstruidaconsegmentosdelíneasqueunenlospuntosobtenidosalcolocarenelejehorizontalalaslíneassuperioresdeclaseyenelejeverticalalasfrecuenciasacumuladasabsolutasorelativas.
Frecuencia absoluta acumulada (fa)
Variable (frontera superior o límite superior de clase)
2.2.3 Tendencia central total
Lasmedidasdetendenciacentralsonmedidasdescriptivasqueindicanhaciadóndetiendenaconcentrarselosvalorescontenidosenunconjuntodedatos.
2.2.4. Media (promedio), media, moda
Lasmedidasdetendenciacentralmásutilizadassonlamedia,medianaymoda.
Mediaeselpuntodelrangoodistribuciónporencimaopordebajodelcualhayunnúmeroexactamenteigualdeunidadesdedesviación.Seobtienedividiendolasumadetodaslaspuntuacionesporelnúmerodeéstas.
Medianaeseldatocentralomedidadeposición.
Modaeselvalorquemásvecesserepite.
Para datos agrupados
Lamediaaritméticaopromediosedenotacon:
=mediamuestralµ=mediapoblacional
39
Secalculaconlafórmulasiguiente:
Media
Mediana
LRi=límiterealinferiordelaclasequecontienelamediana.n=núm.totaldeobservacionesenladistribucióndefrecuencias(nparamuestra).fa=frecuenciaacumuladadelaclasequecontienelamediana.fc = número de observaciones en la clase que contiene la mediana (donde se estátrabajando).i=tamañodelintervalodeclase.
Moda
Donde:LRi=límiterealinferiordelaclasequecontienelamoda.d1=diferenciaentrelafrecuenciadelaclasemodalylafrecuenciadelaclaseprecedente.d2=diferenciaentrelafrecuenciadelaclasemodalylafrecuenciadelaclasesiguiente.i=tamañodelintervalodeclase.
Deladistribucióndefrecuenciasdelejemplo1,determinarlasmedidasdetendenciacentral.
Solución:
Media
Realizarelproductodelafrecuenciaabsolutaconlamarcadeclase,decadaclase.
Delaclase3setiene26x33=858,estosehacecontodaslasclasesparadeterminarlasumatoriayéstaes4452.
Frecuencia
1828262533
130
Xi
2127333945
f *Xi
3787568589751485
4452
fa
18467297130
Grupo de edad
18-2424-3030-3636-4242-48
CLASES
12345
TOTALES
40
Sustituyendoenlafórmulasetiene:
Mediana
Seobtieneapartirdeobtener laposicióncentral n/2 =(130)/2=65,éstaseencuentraen laclase3,deacuerdoa lafórmulafa=46,ylafcquelecorrespondees26.Sustituyendoenlafórmulatenemos:
Moda
Enelcasodedatosagrupadosseidentificalaclasemodal,esdecir,laclasequecontengamásdatosolademayorfrecuencia.Enestecasoes28,porloqueseprocedeadeterminard1=28–18=10yd2=28–26=2
Sustituyendoenlafórmula:
Para datos no agrupados
Media
Mediana:seordenanlosdatosdemaneraascendenteodescendente.
Moda:Eselvalorquemásserepiteenunaseriededatos.
41
Ejemplo2:Sepreguntólaedadaungrupodeestudiantesqueseencuentranenlaparadadelaruta2delPumaBús,seobtuvolosiguiente:
Añosdeedad181819191920202020212123242525
Determinar:
Media
Mediana
Unavezordenadoslosdatos,eldatocentralomedidadeposiciónes20añosdeedad.
Moda
Laedadquemásserepitees20añosdeedad.
2.2.4.1.Teoremadetendenciacentralyasimetría(Skweness)yKurtosis
Lasmedidasdetendenciacentraldanunvalorrepresentativodeladistribucióndefrecuenciassituadoenunlugarintermedio(promedio)alrededordelcualseencuentranotrosvalores.Indicancuáleselcomportamientodelosdatos,esdecir,haciadóndetiendenaagruparse.
AsimetríadePearson,elcoeficientedeasimetríadePearsonmideladesviacióndelaasimetría,expresandoladiferenciaentrelamediaylamedianaconrespectoaladesviaciónestándardelgrupodemediciones.Lasfórmulasson:
Paraunadistribuciónsimétrica,elvalordelcoeficientedeasimetríaessiempre0,porquelamediaylamedianasoniguales.
Paraunadistribuciónconasimetríapositiva,lamediaessiempremayorquelamediana,porloqueelvalordelcoeficienteespositivo.
Paraunadistribuciónconasimetríanegativa,lamediaessiempremenorquelamediana,porloqueelvalordelcoeficienteesnegativo.
42
Coeficientedeasimetríaα3
α3>0sesgoalderechooasimetríapositivaα3=0insesgadaα3<0sesgoizquierdooasimetríanegativa
Lafórmulademomentossedeterminapara…
DatosagrupadosDatosnoagrupados
Lacurtosisesunamedidadeapuntamientodeunadistribucióndefrecuencias,eselgradodeconcentraciónalrededordelamediasuresultadorepresentaelgradodeapuntamientodeunadistribución,esdecir,quétanpuntiagudooquétanaplanadaeslacurvadeunadistribución.
Lasformasdeunadistribuciónsimétricarecibendistintosnombres.
Leptocúrtica: Eslacurvadondesetienemayorapuntamiento.
43
Mesocúrtica: Deacuerdoaladistribucióndevalores,niesplana,nipuntiaguda,tieneunaproporcionalidaddeconcentraciónalrededordelcentrodeladistribucióndefrecuencias.
Platicúrtica: Setienepocaconcentraciónomenorapuntamientoalrededordelcentroenambasdirecciones,suformaesplana.
Elíndicedecurtosissedeterminadeacuerdoalosdatosquesetengan,puedenserdeunamuestraodeunapoblación,oquelosdatosseencuentrenagrupadosonoagrupados.Serepresentamediantelaexpresiónα4
44
ysucálculoserealizamediantelafórmulademomentosparadatosagrupados.
Elcuartomomentoessiemprepositivoyseusaparaconocerelapuntamientodeladistribuciónocoeficientedecurtosis.Cuandoelíndicedecurtosises:
α4=3mesocurticaα4>3leptocurticaα4<3platicurtica
Elcuartomomentosirvecomounamedidaabsolutadeapuntamientoocurtosis.
Paradatosnoagrupados
Ejemplo3:Conlosdatosdelejemplo1,determinarelíndicedecurtosis.
La tabla siguiente presenta los datos que se requieren para determinar la curtosis (recordemos que lamedia ya se habíacalculado).Seagreganlascolumnasparacalcularlacurtosis.
Xi
2127333945
fa
18467297130
f *Xi
3787568589751485
4452
30421372
266253993
9058
51409867228
2615625483153
1080130
f
1828262533
130
Grupo de edad(clases o intervalos)
18-2424-3030-3636-4242-48
Totales o ∑
45
Media
Desviaciónestándar
Secalculaelmomento4,sustituyendoenlafórmula
momento4
ysedeterminaelcoeficientedecurtosissustituyendoenlafórmula
comoα4=1.69,y1.69<3laformaesplaticurtica,esdecir,setienepocaconcentraciónomenorapuntamientoalrededordelcentro.
2.3. Variabilidad
Lavariabilidadodispersiónpermitecomprenderquétandispersos(esparcimiento)seencuentranlasobservacionesconrespectoaunpuntomedioopromedio.Esdecir,esunnúmeroqueindicaelgradodedispersiónenunconjuntodedatosconrespectoalpromedio.
2.3.1. Rango y rango intercuartilElrangooamplitud,seclasificacomounamedidadedistancia.Enelcasodeunadistribucióndefrecuenciasseencuentraalconsiderarelvalordellímitesuperiorrealdelaúltimaclasemenoselvalordellímiterealinferiordelaprimeraclase.
Para datos agrupados
R=LSC-LIC
Donde:
R=RangooamplitudLSC=LímitesuperiorrealdelaúltimaclaseLIC=Límiteinferiorrealdelaprimeraclase
46
Elrango intercuartílico permitemedirladispersióndelosdatosyesladiferenciaentreelprimeroyeltercercuartil.Loscuartilesdividenalaseriededatosencuatropartesporcentuales.
Q1=25%Q2=50%Q3=75%Q4=100%
ElvalordelQ2eselquecoincideconlamedianaopuntomedio.PorloqueelQ3indicaqueeselvalordelcualquedantrescuartaspartespordebajode75%.Loscuartilessecalculanconlafórmuladelamediana,sólocambiaelnúmerodelcuartiladeterminar.
Donde:
m=1,2,3elnúmerodecuartilacalcular.Li=Límiteinferiordelaclasedondeseencuentraelcuartilm.n=númerodedatos.fa=frecuenciaacumuladadelaclasequeprecedealaclasedelcuartilm.i=tamañodelintervalodelaclasedelcuartilm.
El rango intercuartil se determina con la fórmula siguiente:
R=Q3-Q1
Conlosdatosdelatabladefrecuenciasabsolutasyrelativasdelejemplo1,determinarelrangoyelrangointercuartil.
Solución:
Rango
R=LSC-LICSustituirenlafórmulalosdatoscorrespondientes.
R=48-18=38añosdeedadParaelrangointercuartil,primerosecalculanQ3yQ1
Xi
2127333945
fr
0.140.220.200.190.25
1.00
fra
0.140.350.550.751.00
fa
18467297130
f
1828262533
130
Grupo de edad(clases o intervalos)
18-2424-3030-3636-4242-48
Totales
47
Sustituyendoenlafórmulasetiene
PorlotantoR=42.12–27.10=15.02
Para datos no agrupados
Elrangosepuedeconocerapartirdeunamuestraordenadadetamañon,endondeelrangoesladiferenciaquehayentreelvalormáximoyelvalormínimodelaserieoconjuntodedatos.
R = Dm – dm
Donde:
Dm=Valormayordm=Valormenor
Rango intercuartil
Elrango intercuartiles ladiferenciaentreelprimeroytercercuartil,permitemedir laextensiónodispersiónde losdatos.Secalculaconlafórmula:
R = Q3 - Q1
Paradatosnoagrupadosloscuartilessecalculanconlafórmula:
Donde:
Q=cuartil.m=1,2,3elnúmerodecuartilacalcular.X=laposicióndelcuartilacalcularparaencontrarsuvalor.n=númerodedatos.
Conlosdatosdelejemplo2,calcularelrangoyelrangointercuartil.
Sepreguntólaedadaungrupodeestudiantesqueseencuentranenlaparadadelaruta2delPumaBús,seobtuvolosiguiente:
Añosdeedad181819191920202020212123242525
48
Rango
Solución
Sustituyendoenlafórmula
R=25–18=7
Rangointercuartil,determinarprimerolaposicióndeQ3yQ1yobtenerelvalordeloscuartiles ,estoindicaqueelvalordelcuartilseencuentraenlaposicióndoce.
estoindicaqueelvalordelcuartilseencuentraenlaposicióncuatro.
2.3.2. Desviación estándar
Ladesviaciónestándaresunamedidadevariabilidadquetomaencuentaladispersióndelosvaloresdelosdatosrespectoasumediaysuresultadoseexpresaenlasmismasunidadesdelavariablequeseexamina.SerepresentaconlaletraSparalamuestrayσparalapoblación.
Fórmulas para datos agrupados
Fórmulas para datos no agrupados
Datos agrupados
Con los datos del ejemplo 1
Determinar:
Desviaciónestándar
49
Solución
Seagregaunacolumnapararealizarloqueindicaelnumeradordeafórmulacomosemuestraenlasiguientetabla.
Xi
2127333945
fa
18467297130
18(21–34)2=3,0421372
266253993
9058
f
1828262533
130
Grupo de edad(clases o intervalos)
18-2424-3030-3636-4242-48
Totaleso∑
Sustituyendoenlafórmula
Datos no agrupados
Con los datos del ejemplo 2
Sepreguntólaedadaungrupodeestudiantesqueseencuentranenlaparadadelaruta2delPumaBús,seobtuvolosiguiente:
Añosdeedad181819191920202020212123242525
Determinar:
Desviaciónestándar
Solución:
Primerocalcularloqueindicalafórmulaenelnumerador(lamediayasehabíacalculadoyes21),sepuederealizarunatablaparaqueseamásprácticoelcálculo.
50
Sustituyendoenlafórmulasetiene
Referencias
INEGI. (2003). Síntesis metodológica de las estadísticas vitales. México: Dirección General de Estadística. Dirección deestadísticas demográficas y Sociales. Consultado de http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/espanol/metodologias/registros/sociales/sm_ev.pdf
García-Ferrando,M.(1989).Socioestadística:Introducciónalaestadísticaensociología.Madrid:Alianzaeditorial.
Malhotra,N.(2008).InvestigacióndeMercados.México:PearsonPrenticeHall.
Hernández,R.,Fernández,C.,Baptista,P.(2010).Metodologíadelainvestigación.México:McGraw-Hill.
Tiposdeencuesta:http://www.tiposde.org/escolares/123-tipos-de-encuestas/#ixzz4PxJzA9ef
WhatisSkewness-BusinessStatisticsTips.Disponibleen:https://youtu.be/RAekTsenqPI
2.4. Diseño de hipótesis en las ciencias sociales
Unahipótesisesunaafirmaciónsobreunacaracterísticadelapoblaciónestudiada.Paraconocersipodemosaceptarorechazarunahipótesisrecabamosinformacióndelapoblación.Sinembargo,nosiempreseráposiblerecabarinformacióndetodosloselementosdelapoblación;enesocasostomaremosdatosdeunaovariasmuestras.Estosdatossesometenaunprocedimientoestadísticollamadopruebadehipótesisparaaceptarorechazarnuestrasafirmacionesiniciales.
García(1989),enSocioestadística,nosexplicaque“Unaparteimportantedelainvestigaciónquesellevaacaboenelcampodelasociologíaestárelacionadaconlaaceptabilidadorechazodelashipótesisquesededucendelasteoríassociológicas”(p.157).Porello,enestetemarevisaremosenquéconsisteeldiseñodeunahipótesisycómoseponenaprueba.
2(18-21)2=183(19-21)2=124(20-21)2=42(21-21)2=0(23-21)2=4(24-21)2=92(25-21)2=32
∑ 79
51
2.4.1. Causalidad y correlación Pearson
Unacorrelaciónesunarelación,estadísticamentesignificativa,entredosvariables.Nosinteresaestudiarcorrelacionesporquesidosvariablesestáncorrelacionadaspodríamospredecirelcomportamientodeunavariableenfuncióndelaotra.Laposibilidaddecorrelaciónentredosvariablespuedeservistacomounsupuesto,esdecir,unahipótesis;existenprocedimientosparaanalizarlaexistenciadecorrelaciones.
Esposibleanalizarlarelaciónentrevariablesutilizandográficosdedispersión,comolossiguientes:
Lafigura(a)muestraunarelaciónlinealpositivaentre“x”y“y”,estoquieredecirquesiaumentaxtambiénaumentaydemaneramásomenosproporcional.
Lafigura(b)muestraunacorrelaciónlinealnegativaentre“x”y“y”,esdecir,siaumentaxdisminuyey,demaneramásomenosproporcional.
Ademásdelaapreciacióngráficadeunacorrelaciónexistenformasdemedirlaintensidadconlaqueserelacionandosvariables.ParavariablescuantitativasexisteelcoeficientedecorrelaciónlinealocoeficientedePearson.Esteestadísticoarrojaunresultadoentre-1y1.CuandoelvalordelcoeficientedePearsonescero,decimosquenohaycorrelaciónentrelasvariables.Sielvalordelcoeficienteesnegativodecimosquehayunacorrelaciónlinealnegativa,yporelcontrariosiespositivohayunacorrelaciónlinealpositiva.Entremásseacerqueelvalordelcoeficientea-1oa1másfuerteserálacorrelaciónentrelasdosvariables.
Cuandoseestudiancorrelacionesesposiblecaerenelerrordeconsiderarlascomorelacionescausales,esdecir,suponerqueunavariablecausaaotra.Sinembargo,esposiblequeunaterceravariableestéinfluyendoenelcomportamientodelasdosvariablesestudiadas.Aesaterceravariableselellamainterviniente.
Para saber más…
Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicauncasoqueconfundeunacorrelaciónconcausalidad:https://youtu.be/h01rR3M1OT8
52
2.4.2. Hipótesis nula
Recordemosqueenestadísticaunahipótesisesunsupuestosobreelvalordeunparámetropoblacional.Porejemplo,podemossuponerquelosingresosmediosdelostrabajadoresdelsectordelaconstrucciónson7000pesos.Enestecasonuestrahipótesisserefierealamediadeunavariableparatodaunapoblación.
Lahipótesisdepartidasellamahipótesisnula.Escomúnqueseformuleunahipótesisnulanoconelpropósitodeprobarlasinoderechazarlaydeestamaneraprobarlaafirmacióndeseada.Porejemplo,sisequieredemostrarqueunmétododeestudiodaresultadosdiferentesaotro,laprimerahipótesisnulasería“losmétodosdanelmismoresultado”;luegohacemoslapruebaysirechazamosestaprimerahipótesisalmenoshabremosobtenidoevidenciadequelosmétodosestadísticosnodanelmismoresultado.LahipótesisnulasedenotaconH0
Alaevidenciadequelahipótesisnulaesrechazablelellamamoshipótesisalternativa.Usualmente,lahipótesisalternaserefierealahipótesispropuestaporelinvestigador.Siguiendonuestroejemplo,laevidenciadequelosmétodosestadísticosnodanelmismoresultadoesnuestrahipótesisalternativa.
Lahipótesisnulaessometidaaunapruebadehipótesisconlacualselerechazaoseleacepta.Encasodequeselerechace,seasumecomofactiblelahipótesisalterna.
2.4.3 Pruebas de hipótesis
Yacomentamosqueunahipótesisestadísticaesunaafirmaciónsobreunacaracterísticadelapoblaciónestudiada.Veamosunejemplo:“loshabitantesdelaciudadparticipanenpromedioentresactosdecorrupciónalmes”;éstaesunaafirmaciónsobreelparámetromediadelapoblaciónestudiada.
Ahora,unapruebadehipótesisesunprocedimientogeneralmenteaceptadoparatomarunadecisión:seaceptaoserechazalahipótesis.Tambiénesconocidacomopruebadesignificancia,testdehipótesis,ensayodehipótesisocontrastedehipótesis.
Uncontrastedehipótesisconsisteencompararlahipótesisnulaversuslahipótesisalternativa,paraellosedividenlosdatosmuestralesendoszonas,lazonadeaceptaciónylazonaderechazo.Elvalorqueresultedelapruebadehipótesiscaeráenlazonadeaceptaciónoenlazonaderechazo.Paraejemplificaresteconceptográficamenteobservalaimagendelasiguientedistribuciónmuestral:
53
Sielestadísticodecontrastecaeenlaregiónderechazo,entoncesrechazamoslahipótesisnula.Sielestadísticodecontrastecaeenlaregióndeaceptaciónentoncesaceptaremoslahipótesisnula.
Alaregiónderechazoseleconocecomoregión críticay lospuntosqueladelimitansonconocidoscomopuntos críticos de rechazo.
García(1989)consideraquelosprocedimientosestandarizadosquesesiguenenlaspruebasdedecisiónestadísticasonlossiguientes:
● Formulacióndelashipótesisestadísticas○ Hipótesisnula○ Hipótesisalternativa
● EleccióndeunapruebaestadísticaconsumodeloasociadoparacontrastarH0.● Especificacióndeunniveldesignificaciónyuntamañodelamuestra.● EncontrarladistribuciónmuestraldelapruebaestadísticaenelsupuestoH0.● Definicióndelaregiónderechazodelahipótesisnula.
Ladefinicióndehipótesisnulaehipótesisalternativayasehaexplicadoenelapartado4.2.
Encuantoalaeleccióndeunapruebaestadística,diremosquesetratadeelegirunestadísticodecontraste,esdecir,unavariablealeatoria,cuyadistribuciónmuestralnospermitedeterminarlaprobabilidadasociadaaundeterminadovalorparaelestadístico.
Alcriterioqueutilicemosparasabersiaceptamosorechazamoslahipótesisnulalellamamosregladedecisión.Consisteendefinirlazonaderechazoylazonadeaceptacióndelahipótesisnula.Lazonaderechazocontieneatodoslosvaloresparaelestadísticodecontrastequesealejandelahipótesisnulayporlotantoespocoprobablequeocurransidichahipótesisesverdadera.
Lapruebadecontrastepuedeserunilateralsiparatomarladecisiónutilizamossólovaloresdeunodelosextremosdelagráfica,comosemuestraenlasiguienteimagen:
Tambiénpodemoshaceruncontrastebilateralsiutilizamosambosextremosdelagráfica.
54
2.4.3.1.Errorestándar
ExistelaposibilidaddeunavezconcluidalapruebadehipótesisrechazarH0cuandoenrealidadsíeraverdadera;enestecasosedicequesecometeunerrordetipoI.Oporelcontrario,podríamosaceptarH0cuandoenrealidaderafalsa,aestoselellamaerrordetipoII.Veámosloenlasiguientetabla:
SellamaniveldesignificacióndeunapruebadehipótesisalaprobabilidaddecometerunerrordetipoI.Serepresentaconlaletragriegaalfaα.
Elnivelsignificanciaonivelderiesgosedefinecomo laprobabilidadderechazar lahipótesisnulacuandoesverdadera.Esposiblequequienrealizalapruebadehipótesisdetermineelniveldesignificancia.
Para saber más…
Repasaelconceptodetiposdeerroresconelsiguientevideo:https://youtu.be/XEULRVqVT0U
2.4.3.2.Estimación
Losmétodosbásicosdelaestadísticainferencialsonlaestimaciónyelcontrastedehipótesis.
Deunapoblaciónseextraeunamuestra,apartirdedichamuestrasedeterminanunaseriedeestadísticos(mediamuestral,varianzamuestral,etc.),yatravésdelosprocedimientosdeestimaciónycontrastesehallanlosparámetros(mediapoblacional,varianzapoblacional,etc.)quedescribenadichapoblación.
55
Laestimaciónpuederealizarsededosmaneras:
• Estimaciónpuntual:determinaunvalorúnicoparaelparámetro.• Estimaciónporintervalodeconfianza:sedeterminaunintervalodentrodelcualpuedeestarelparámetro.
Para saber más…
Revisaenelsiguientevideoladiferenciaentreunaestimaciónpuntualyunaestimaciónporintervalo:https://youtu.be/DPpSrsndLJQ
Generalmente se realizan estimaciones por intervalo, porque tenemos mayor probabilidad de acertar sobre el valor de unparámetrosidecimosqueseencuentraentretodoslosnúmerosposiblesenmarcadosporellímiteinferiordelintervaloyellímitesuperiordelintervalo.
Matemáticamenteestablecemoslasiguientedefinición:
Selee“thetaesmayoroigualquethetauno,ymenoroigualquethetados”.
Dondeeselparámetroaestimary sonloslímitesinferiorysuperiorrespectivamente.
Antesderevisarelprocedimientodeunaestimaciónporintervalos,veamosalgunosconceptos:
Variabilidad del parámetroHabitualmenteseusaladesviacióntípicapoblacional.
Error de estimaciónMidelaprecisióndelaestimación.Cuantamásprecisiónnecesitemos,másestrechodebeserelintervalodeconfianza,yporlotantomenorseráelerrordeestimación.Unmenorerrorgeneralmenterequieredemuestrasmásgrandes.
Nivel de confianzaEslaprobabilidaddequeelvalordelparámetroqueestamosbuscandosesitúeenelintervalodeconfianza.Sedenotaconygeneralmenteseexpresacomoporcentaje,eshabitualtenernivelesdeconfianzadel95%y99%.Comoyahabrásobservado,siaumentamoselanchodeunintervalotenemosunmayorniveldeconfianzaperotambiénadmitimosunmayorerrordeestimación.
Valor αSe leecomovaloralfa.Conocidocomoniveldesignificación,es laprobabilidadde fallaren laestimacióndelparámetro.Secalculacomo ladiferenciaentre lacerteza (laprobabilidad1)yelniveldeconfianza.Entoncessiestablecemosunniveldeconfianzade.95,alfaesiguala1-0.95,esdecir,alfaesiguala0.05.
Valor crítico ZEselvalordeunaabscisaenunadistribución.Normalmentelosvalorescríticosestántabulados.
Para saber más…
RevisaelsiguientevideoparaconocercómoutilizarunatabladevaloresZ:https://youtu.be/UEVkpAIEB1w
56
Existendiversosprocedimientosparaencontrarelintervalodeconfianzadeunparámetro,revisaunodeellosenelsiguientevideo:
Para saber más…
Procedimientopararealizarunaestimaciónporintervalodeconfianza:https://youtu.be/N36TGN8k2tY
2.4.3.3.Índicedeconfianza(niveldeconfianza)
Comoya revisamosenelpuntoanteriorelniveldeconfianza indica laproporcióndevecesqueseráciertounparámetroalseleccionarmuchasmuestras.
Ahoraqueconoceslosconceptosreferentesalaestimaciónesimportantequelosusesparainterpretarelvalordeunparámetro.Porejemplo:sitedicenqueunvalorpromediosesitúaen24puntos,con3puntosdemargendeerroryunniveldeconfianzadel95%,debemosentenderqueelvalordelpromedioenrealidadsesitúaentre22.5y25.5puntosconunaconfianzadeacertareneseintervaloel95porciendelasvecesquelocalculemos.Loslímitesdelintervalodeconfianzaseobtienendeañadiralparámetrolamitaddelmargendeerrorhaciaabajoylamitadhaciaarriba.
Para saber más…
Repasaelconceptodeniveldeconfianzarevisaelsiguientevideo:https://youtu.be/YDFzX4fT1BU
2.5. Modelos probabilísticos
Antesdeexplicartelosmodelosprobabilísticostecomentaremosdemanerageneralenquéconsistelateoríadelaprobabilidadysuimportancia.
Estateoríaestudiaquétanposibleesqueocurraunevento.Porejemplo,¿quétanprobableesquebajociertascondicioneslluevahoy?¿Quétanprobableesqueallanzarunamonedacaigaáguila?
LateoríadelaprobabilidadtienesuorigenenlostrabajosdeAntoineGombaud—llamadoCaballerodeMéré—,BlaisePascalyPierredeFermat.Gombauderaunjugadorasiduosobretododecartasydados,ytratandodeencontrarlamejormaneradeganarestosjuegosplanteóvariosproblemasmatemáticosrelacionadosconlaprobabilidaddeobtenerunouotrovalorenalgúnmomentodeljuego.PascalyFermat,juntoconGombaud,comenzaronaresolverlosproblemaspropuestos,yesteconocimientoseconvirtióenelfundamentodelateoríadelaprobabilidad(Hald,p.42).
Matemáticamente,laprobabilidaddequeuneventoocurraseexpresadelasiguienteforma:
P(x)=Casosfavorables/Casosposibles
Selee“laprobabilidaddequeocurraxesigualaloscasosfavorablesentreloscasosposibles”.
57
Parasabermás…
Revisaelsiguientevideopararepasarelconceptodeprobabilidad:https://youtu.be/D4Udmu3FHZA
Porúltimo,podemoscomentarqueelobjetivodeunmodeloprobabilísticoespredecir lamaneraencomoprobablementesecomportaráunavariablealeatoria.
Unavariablealeatoriaesaquellacuyovalorestádeterminadoporelazar,esdecir,puedetomarunvalordentrodeunconjuntodevaloresposibles.Hayvariablesaleatoriasdiscretasycontinuas.Lasdiscretastomanvaloresdiscontinuosylascontinuastomanvaloressininterrupciones.Veamosalgunosejemplos:
• Cantidad de personas formadas en una fila.Esunavariablediscretaporquenopuedehaber2.5personas.Sólopuedehaber2o3personas.Esdecir,elvalordelavariableseveinterrumpido,esdiscontinuo.
• Consumo de refresco al día.Elconsumoderefrescosepuedemedirenlitrosyesposibletener2.1litros,2.18litros,2.1842litrosyasíhastaelinfinito.Porlotanto,lavariabletienevalorescontinuosquenuncaseinterrumpen.
Enelsiguienteesquemaseobservalarelaciónentrelaestadísticadescriptiva,elestudiodelaprobabilidadylacreacióndeunmodeloteórico.
EsquemaadaptadodeTriola,2004,p.182.
Losmodelosparaencontrarlaprobabilidaddecadavalordeunavariablealeatoriaseconocencomodistribuciones de probabilidad. Unadistribucióndeprobabilidadseconcretaenunafórmula,gráficaotabla.
Todadistribucióndeprobabilidadcumplelassiguientescondiciones:
• Lasumadelasprobabilidadesdetodoslosvaloresdexesiguala1.• Laprobabilidaddecadavalorxesmayoroiguala0ymenoroiguala1.
58
Acontinuaciónmencionaremosalgunasdelasdistribucionesdeprobabilidadmásusadas,brevemente,porquelasestudiarásconmásdetallecuandorealiceslaactividaddeaprendizaje.
2.5.1. Normal
Enunadistribuciónnormalunavariablealeatoriacontinuaserepresentagráficamentecomounacurvasimétrica,enformadecampana(llamada campana de Gauss).Esladistribuciónmásutilizadaporquemuchosfenómenosestudiadossedistribuyenconestaforma.
Unacaracterísticaevidentedeldiagramaanterioresquecoincidenenelmismopuntoelvalormedio,lamedianaylamodadeladistribución.
Para saber más…
Observaelsiguientevideopararevisarcómoseobtieneunaprobabilidadconunadistribuciónnormalhttps://youtu.be/csBanoXXmPc
2.5.2. Binomial
Ladistribuciónbinomialsirveparaestudiarlaprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscretaquepuedetomarunodedosvalores.Cumpleconlassiguientescondiciones:
• Seefectúounnúmerofijodeensayos.• Elresultadodeunensayonoafectaaelresultadodelresto.• Todoslosensayosdebenclasificarseendoscategorías.• Lasprobabilidadessemantienenconstantesparacadaensayo.
Unadelasfórmulasgeneralmenteempleadases:
59
Donde:x=númerodeéxitosen“n”ensayosn=númerodeensayosp=probabilidaddeéxitoq=probabilidaddefracaso(qesiguala1menosp)
Para saber más…
Revisaelsiguientevideoparaconocercómosecalculaunprobabilidadconelmodelobinomial.https://youtu.be/bfbp2WaMYV8
2.5.3. Poisson
LadistribucióndePoissonseutilizaparacalcularlaprobabilidaddequeocurrauneventoduranteunintervaloespecífico.Dichointervalopuedereferirseatiempo,distancia,volumenocualquiermagnitudsimilar.
Seocupalafórmula:
Donde:x=númerodeocurrenciasdeunsucesoduranteunintervalo=mediadeladistribucióne=númeroeuler=2.71828
Para saber más…
RevisaelsiguientevideoparaverunejemplodecálculodeunaprobabilidaddePoisson:https://youtu.be/uAcWCOOPWa8
60
Referencias
García-Ferrando,M.(1989).Socioestadística:Introducciónalaestadísticaensociología.España:Alianza.
Hald,A.(2003).AHistoryofprobabilityandstatisticsandtheirapplicationsbefore1750.NuevaJersey:JohnWiley&Sons.
Elorza,H.(2008).Estadísticasparalascienciassociales,delcomportamientoydelasalud(3.ªed.).México:CengageLearningEditores.
Triola,M.(2008).Estadística(9.ªed.)México:PearsonEducación