Estabilidad de taludes homogéneos de pie con cohesión y fricción 1

Julio Cesar Quiroz Vaca2

Profesor Universitario e Ingeniero Civil Santa Cruz, 12 de diciembre del 2015

Resumen Los métodos para determinar el factor de seguridad de taludes simples homogéneos cohesivos y friccionantes se basan en técnicas complejas basadas en gráficos, a través de ábacos y la consulta de tablas. En esta investigación se plantea un método alternativo relativamente simple fundado en la estimación de una ecuación polinómica de diversos grados. Esta ecuación es el resultado de un ajuste por mínimos cuadrados de las observaciones producidas como soluciones exactas mediante el método analítico del círculo de fricción y Fellenius para taludes cohesivos y friccionantes. Estas observaciones se refieren al ángulo central (θ) y al ángulo de la cuerda (α), evaluados ambos, en función de la inclinación del talud (β) y un ángulo de fricción (ϕ) para el caso del círculo de fricción. En el caso del método sueco (Fellenius) se proponen unos gráficos de fácil manejo para encontrar dichos ángulos utilizando algunas características más del talud (cohesión, peso unitario y altura). Las ecuaciones estimadas y los gráficos propuestos permiten evaluar de forma sencilla, los datos necesarios para encontrar el factor de seguridad del talud de una forma rápida y práctica. Las ecuaciones propuestas se aplican al caso de taludes homogéneos sin filtraciones cohesivos y friccionantes(c ≠ 0, ϕ ≠ 0). La validación de las ecuaciones propuestas se realizó mediante la comparación con la solución exacta, logrando excelentes resultados. Palabras Claves: Círculo de fricción, ajuste por mínimos cuadrados, círculo de falla, estabilidad de taludes homogéneos, método de Fellenius. 1. Introducción Para taludes en suelo homogéneo con cohesión y fricción, los doctores Gilboy y A. Casagrande, desarrollaron un método para el análisis de la estabilidad de taludes en fallas de rotación. Este método consiste en determinar el estado de equilibrio de un polígono de fuerzas en donde los vectores representan: el peso propio de la masa de suelo contenida en el círculo de falla, la reacción del suelo considerando la fricción y la cohesión del suelo. Las letras tienen el sentido que se desprende de la Figura 1.

1 Segundo artículo de investigación presentado al programa de Doctorado en Ciencia y Tecnología de la Unidad de Postgrado de la Facultad de Tecnología de la UAGRM. 2 Master en Ingeniería del Agua. Universidad Juan Misael Saracho, Tarija, Bolivia.

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Figura 1. Método del círculo de fricción en suelos homogéneos El vector W corresponde al peso de la masa de suelo delimitada por la superficie, el talud y el plano de falla circular. Este peso se calcula determinando el área de influencia y multiplicándolo por el peso específico del suelo. La línea de acción del vector W es vertical por los efectos de la gravedad. El vector C corresponde a la fuerza cohesiva y es la cohesión necesaria cn para lograr el equilibrio estático, multiplicada por la cuerda L' de la circunferencia.

C = (cn )( L') (1) La línea de acción del vector C es paralela a la cuerda L' y su distancia al origen del círculo (brazo de momento), es igual a:

𝑋𝑋 = 𝐿𝐿𝐿𝐿′𝑅𝑅 (2)

El vector F corresponde a la fuerza de fricción (suelo – suelo) necesaria para lograr el equilibrio estático. La línea de acción del vector F pasa por el punto de intersección de las líneas de acción de W y de C. Forma un ángulo ϕ con respecto a la normal del arco y es tangente al círculo de fricción. Resolviendo el polígono de fuerzas se puede determinar la magnitud de C, con lo que se puede determinar el valor de la cohesión necesaria cn para lograr el equilibrio estático y compararla con la cohesión real del suelo c. Para poder conocer el factor de seguridad de la superficie de falla propuesta, en función de la cohesión se tiene:

𝐹𝐹𝐹𝐹𝐶𝐶 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛

(3) De la misma forma puede aplicarse a la fricción si el valor propuesto del ángulo de fricción interna es menor que el real:

𝐹𝐹𝐹𝐹𝜑𝜑 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝜑𝜑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝜑𝜑𝑛𝑛

(4)

3

2. Evaluación del factor de seguridad Método de Taylor En el método del círculo de fricción los tres vectores que forman el polígono de fuerzas W, C y F, deben ser concurrentes (interceptarse en un punto), y la dirección de la fuerza F debe ser tangente al círculo ϕ. Así también, Taylor propone un método para determinar el factor de seguridad de este análisis respecto a la resistencia al esfuerzo cortante del suelo en donde el factor de seguridad del talud sea igual al factor de seguridad en función de la cohesión y el factor de seguridad en función de la fricción, o sea:

FS = FSC = FSϕ El método consiste en determinar varias veces el factor de seguridad de una misma superficie de falla por el método del círculo ϕ, proponiendo diferentes valores del ángulo de fricción ϕn, graficándose los valores de FSc y FSϕ.

Figura 2. Criterio de Taylor para determinar el factor de seguridad El Método Sueco Es un procedimiento de análisis de estabilidad respecto a la falla por rotación, en los que se considera que la superficie de falla es un cilindro, cuya traza con el plano en el que se calcula es un arco de circunferencia. Existen varios procedimientos para aplicar este método a los distintos tipos de suelo, a fin de ver si un talud dado tiene garantizada su estabilidad. Método de las dovelas Podemos también calcular el factor de seguridad por el método ordinario de las dovelas, donde la fórmula viene dada por la ecuación (5).

4

( )

∑

∑=

=

=

=

∆−+∆= ni

iii

ni

iiiiii

W

luWlcFS

1

1

))sin((

))tan()cos((

β

φβ (5)

Como en el caso de los taludes con cohesión y fricción sin filtraciones se tiene u = 0, la ecuación (5) se transforma en (6).

( )

∑

∑=

=

=

=

+∆= ni

iii

ni

iiii

W

WlcFS

1

1

))sin((

))tan()cos((

β

φβ (6)

donde:

c: cohesión; il∆ : longitud segmental del arco;

φ : ángulo de fricción interna. βi: ángulo de cada dovela con respecto a la horizontal;

3. Fundamentación del método alternativo de evaluación Los proyectistas utilizan software y métodos gráficos para determinar el factor de seguridad de taludes homogéneos con cohesión y fricción. Cuando utilizan los segundos generalmente calculan directamente el factor de seguridad no encontrando algunos datos geométricos como ser el centro del círculo y el radio. Por esta razón, fruto de esta investigación, se propone un método de evaluación del factor de seguridad mediante ecuaciones sencillas y/o la utilización de gráficos para encontrar los datos geométricos mencionados y luego calcular el factor de seguridad. Este análisis de regresión y/o empleo de gráficos ha sido realizado sobre las observaciones generadas por las complejas fórmulas analíticas del método del círculo de fricción (Taylor) y método sueco (Fellenius). 4. Las ecuaciones propuestas 4.1. Método del círculo de fricción (Taylor) Como señalado, el punto de partida de la fórmula propuesta son los valores obtenidos al aplicar las ecuaciones del círculo de fricción (Taylor) para círculos de pie de talud. En efecto, al ir variando el ángulo del talud, (β desde 10o a 90o), se obtienen los ángulos θ y α, (ángulo central y ángulo de la cuerda del círculo respectivamente) para un valor del ángulo de fricción (ϕ) correspondiente. Estos valores se obtienen minimizando estos ángulos con la finalidad de reducir al mínimo posible, el factor de seguridad. Con estos valores se realiza un ajuste de la curva por mínimos cuadrados de manera a obtener una ecuación θ = f(β) y α = f(β) para un ángulo de

5

fricción(ϕ) dado como se puede observar en la Figura3 y Figura5. También se puede utilizar la Figura 4 (como se explica más adelante), para calcular (α), lo que nos permite encontrar en forma rápida el círculo crítico de falla (el radio y las coordenadas del centro del círculo) de un talud homogéneo. Dicho esto, las ecuaciones propuestas para encontrar α tienen la forma que sigue en (7) hasta (11). Para ϕ = 5o (Válido para 10 o < β < 90 o) α =1.15476+0.846132β-0.00437519β2+0.00000947669β3+0.0000000240115β4; (7) con un coeficiente de determinación igual a 100%, (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (7) es de 2.40894 (4-2.40894=1.591) con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra dentro del límite inferior (DL=1.39) y superior(DU=1.60). Para ϕ = 12.5o (Válido para 15 o < β < 90 o) α =1.33092+0.958582β-0.00491299β2+0.00000298663β3+0.0000000667639β4; (8) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (8) es de 1.76783 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.37) y superior (DU=1.59). Para ϕ = 20o(Válido para 25 o < β < 90 o) α =1.09323+1.02795β-0.0041774β2-0.0000153123β3+0.000000146408β4; (9) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (9) es de 1.98164 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.31) y superior (DU=1.57). Para ϕ = 27.5o(Válido para 30 o < β < 90 o) α =1.60784+1.00822β-0.00135525β2- 0.0000523529β3+0.000000285463β4; (10) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (10) es de 2.16676 (4-2.16676 = 1.83324) con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.28) y superior (DU=1.56). Para ϕ = 35o(Válido para 40 o < β < 90 o) α =3.14649+0.889415β+0.0037019β2- 0.000108901β3+0.000000483992β4 ; (11)

6

con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (11) es de 1.83229 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.20) y superior (DU=1.54). Los indicadores de la bondad del ajuste indican que el modelo de regresión responde a los supuestos sobre la distribución de los errores. El valor de los coeficientes de regresión muestran que el ajuste de las formulas propuestas es perfecto. En el método propuesto se muestran de dos formas: gráfica y analítica. Si se desea realizar un cálculo rápido se puede hacer uso de la Figura 3, y si se requiere trabajar con mayor exactitud se pueden emplear las formulas de (7) hasta (11).

Figura 3. Determinación del ángulo de la cuerda (α) en función de (β) y (ϕ) En la Figura 3 se entra con una inclinación (β), se traza una línea vertical hasta interceptar la curva del ángulo de fricción interna (ϕ), luego se traza una línea horizontal desde la intersección hasta el eje de las ordenadas encontrando (α). Alternativamente se puede utilizar la Figura 4 para obtener el ángulo α de acuerdo a un ángulo de talud (β) dado en función del ángulo de fricción interna. (Este grafico suele ser útil cuando se

7

trabaja con ángulos de talud de 40 a 90 grados, múltiplos de 5 y con cualquier ángulo de fricción interna). Utilizando la Figura 3 y Figura 4 obtenemos los mismos resultados.

Figura 4. Gráfico para determinar el ángulo de la cuerda (α) en función de (ϕ) y (β) En la Figura 4 se entra con el ángulo de fricción interna (ϕ), se traza una línea vertical hasta interceptar la curva de la inclinación del talud (β), luego se traza una línea horizontal desde la intersección hasta el eje de las ordenadas encontrando (α). Se puede hacer uso de las ecuaciones propuestas para encontrar θ/2 de acuerdo a (12) hasta (17). Para ϕ = 5o (Válido para 10 o < β < 90 o) θ/2 =-2401.34+3531.09β-0.25-2049.32β-0.5+811.99β0.25-106.81β0.5-0.000309062 β2; (12) con un coeficiente de determinación igual a 100%, (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (12) es de 1.6934 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra dentro del límite inferior (DL=1.36) y superior (DU=1.62). Para ϕ = 12.5o (Válido para 20 o < β < 90 o)

8

θ/2 =-128.554 - 6533.22β-2+ 307.801β-0.5+ 38.302β0.5- 3.0715β+ 0.00286407β2 ; (13) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (13) es de 1.80219 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.31) y superior (DU=1.61). Para ϕ = 20o (Válido para 28 o < β < 90 o) θ/2=-25452.8+41029.6β-0.25-25590.6β-0.5+7270.15β0.25- 802.821β0.5+0.00803311β2; (14) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (9) es de 1.5191con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.31) y superior (DU=1.61). Para ϕ = 27.5o (Válido para 33 o < β < 90 o) θ/2 =1935.69-521205β-2+196521β-1.5- 10739.7β-0.5 - 105.917β0.5+0.00573144 β2 ; (15) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (10) es de 1.505 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra entre el límite inferior (DL=1.25) y superior(DU=1.60). Para ϕ = 35o (Válido para 42o < β < 90 o) θ/2=1756.07+95360100β-4+313435β-2-7736.64β-0.5-108.258β0.5+0.00730115β2 ; (16) con un coeficiente del 100% (R2 = 1). El test de Durbin Watson de la ecuación (16) es de 1.76846 con un nivel de significación del 5% por lo que se encuentra por arriba del límite superior. Límite inferior (DL=1.16) y superior (DU=1.59). Para encontrar el ángulo central también se puede hacer uso de la Figura 5.

9

Figura 5. Gráfico propuesto para determinar el ángulo (θ) en función de (β) y (ϕ) En la Figura5 se entra con una inclinación (β), se traza una línea vertical hasta interceptar la curva del ángulo de fricción interna (ϕ), luego se traza una línea horizontal desde la intersección hasta el eje de las ordenadas encontrando (θ/2). Para verificar nuestra formulación empleamos la solución exacta de los ángulos de inclinación de taludes más comunes en la práctica, obteniendo los resultados de la Tabla 1.

Tabla 1. Comparación de resultados (en grados sexagesimales)

Soluciones exactas Fórmulas propuestas φ = 5 o 20 o 35 o 5 o 20 o 35 o β α α

90.00 50.351 58.215 65.545 50.352 58.215 65.545 75.00 44.762 52.863 60.046 44.762 52.864 60.047 60.00 38.53 46.323 52.59 38.53 46.322 52.588 45.00 31.334 38.101 42.746 31.333 38.097 42.728

10

En la primera columna de la Tabla 1 aparece la variable independiente 𝜷𝜷, en la 2da y 3er columna se muestran valores de α (solución exacta) para diferentes valores de ángulo de fricción interna (5o, 20o y 35o). En las columnas 3 y 4 se tiene los valores obtenidos con las fórmulas propuestas (7), (9) y (11). Se observa que los valores que dan las fórmulas propuestas son muy aproximados a la solución exacta. También se puede emplear las formulas (8) y (10) para valores intermedios que dan una exactitud similar a las ya mostradas.

Tabla 2. Comparación de resultados (en grados sexagesimales)

Soluciones exactas Formulas propuestas

φ = 5 o 20 o 35 o 5 o 20 o 35 o β θ θ

90.00 28.546 24.298 19.82 28.537 24.242 19.825 75.00 49.468 43.754 37.906 49.459 43.696 37.909 60.00 68.542 59.74 49.398 68.532 59.680 49.405 45.00 84.912 68.89 45.66 84.903 68.829 45.711

En la primera columna de la Tabla 2 aparece la variable independiente 𝜷𝜷, en la 2da, 3er y 4ta columna se muestran valores de θ (solución exacta) para diferentes valores de ángulo de fricción interna (5o, 20o y 35o). En las columnas 4, 5 y 6 se tiene los valores obtenidas con la fórmulas propuestas (12), (14) y (16) respectivamente. Se observa que los valores que dan las fórmulas propuestas son muy aproximados a la solución exacta, también se puede emplear las formulas (13) y (15) para valores intermedios que dan una exactitud similar a las ya mostradas. 4.2. Método Sueco de las dovelas (Fellenius). Los gráficos propuestos son obtenidos al aplicar las ecuaciones del método de las dovelas (Fellenius) para círculos de pie de talud. En efecto, al ir variando ϒH/c (desde 0.01 hasta 100), se obtienen los ángulos θ y α, (ángulo central y ángulo de la cuerda del círculo respectivamente). Para un valor de inclinación del talud fijo (β) se obtienen curvas con distintos ángulos de fricción (ϕ). Estos valores se obtienen minimizando estos ángulos con la finalidad de reducir al mínimo posible, el factor de seguridad, lo que nos permite encontrar en forma rápida el círculo crítico de falla (el radio y las coordenadas del centro del círculo) de un talud homogéneo. Se puede observar en las gráficas que si utilizamos valores altos del ángulo de fricción del material se incrementa el valor de α aproximándose al ángulo del talud. El ángulo central (θ) del círculo disminuye a medida que se incrementa el ángulo de fricción. Para la utilización del gráfico de la Figura 6 se procede de la siguiente manera. Se calcula el valor de ϒH/c, se prolonga y recta vertical hasta interceptar la curva con el ángulo de fricción (ϕ) deseado, luego se traza una recta horizontal para obtener el ángulo de la cuerda (α). El mismo procedimiento se utiliza para encontrar el ángulo central (θ).

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Figura6. (α) en función de ϒH/C y de (ϕ) para ángulos de talud (β) de 45o

En la Figura 7 se muestra el gráfico de obtención del ángulo central.

Figura7. (θ) en función de ϒH/C y de (ϕ) para ángulos de talud de 45o 5. Cálculo del factor de seguridad En esta sección se utiliza las fórmulas propuestas para evaluar el factor de seguridad según los métodos expuestos para los datos que figuran a continuación.

c = 20 KN/m2 ϕ = 20o ϒm = 17 KN/m3

H = 5 m.

12

β = 60o Procedimiento 1. Si resolvemos por el método del círculo de fricción (Taylor), de acuerdo a la ecuación (9) tenemos: α =1.09323+1.02795 (60)-0.0041774 (60)2-0.0000153123 (60)3+0.000000146408 (60)4 = 46.322o De acuerdo a la formula 14 (también se puede utilizar la Figura5) tenemos: θ/2=-25452.8+41029.6(60)-0.25-25590.6(60)-0.5+7270.15(60)0.25- 802.821(60)0.5+0.00803311 (60)2 = 29.84 o; de donde: θ = 59.68 o Se prosigue evaluando el radio y las coordenadas del centro del círculo.

94.6)268.59csc()322.46csc(

25

=

=R m

mXc 971.1)322.46sin()

268.59sin(

)322.46268.59sin(

25

−=−

=

mYc 662.6)322.46sin()

268.59sin(

)322.46268.59cos(

25

=−

=

Con el centro del círculo (Xc, Yc) y el radio (R), calculamos el factor de seguridad, igual a 1.85, con la ayuda de una planilla realizada en Microsoft Excel3 En el Anexo 3 se muestra otro ejemplo con los datos de la referencia 12. Procedimiento 2 Si resolvemos por el método sueco de las dovelas (Fellenius) hacemos uso de las Figuras 6 y 7 tenemos: Utilizamos el grafico para β = 60o 3 Para más detalle ver Anexo 1

13

ϒH/c = (17)(5)/20 = 4.25 Con este valor interceptamos la curva correspondiente al ángulo de fricción (φ = 20o) dando como resultado: α = 42 o

θ = 64.5 o

00.7)2

5.64csc()42csc(25

=

=R m

mXc 186.1)42sin()

25.64sin(

)422

5.64sin(25

−=−

=

mYc 901.6)42sin()

25.64sin(

)422

5.64cos(25

=−

=

Con el centro del círculo (Xc, Yc) y el radio (R), calculamos el factor de seguridad, igual a 1.79, con la ayuda de una planilla realizada en Microsoft Excel4 Se puede observar que en un talud con las mismas características las fórmulas del método de las dovelas (Fellenius) da un factor de seguridad menor con respecto al método del círculo de fricción, por lo que se puede decir que este método es más conservador. 6. Conclusión Con la aplicación de las fórmulas propuestas en un caso, y los gráficos en el otro, podemos calcular fácilmente el factor de seguridad de un talud homogéneo con cohesión y fricción donde el círculo de falla pasa por el pie de talud como se ha demostrado, sin tener que recurrir a tanteos. Las fórmulas son válidas para taludes con inclinaciones (de acuerdo al caso) desde 10o a 90o. Se pudo verificar que el método del círculo de fricción con respecto al método sueco (Fellenius) dan como resultado centros y radios diferentes (aunque cercanos), ya que como se puede observar el primer método es un método simplificado al suponer que los centro de falla críticos pasan por

4 Para más detalle ver Anexo 2

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el círculo de fricción, lo que proporciona factores de seguridad más elevados con respecto al segundo método. Referencias 1.- M. J. Goodman, J. L. Chameau and C. W. Lovell (1983) "Design of compacted clay embankments for improved stability and Settlement performance", Indiana department of highways, joint highways research project, Purdue University. 2.- Dalim Kumar Majumdar (1964) "Simplified Approach to the Problem of Stability of Soil Slopes Under Horizontal Earthquake and Pore Pressure", All Graduate Theses and Dissertations. Paper 1586.Utah State University, Logan. 3.- Jiang, B. S., M. F. Cai, and A. Z. LV (2004) “Analytical Calculation of Slope Stability,” Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, Vol. 23, No. 16, pp 2726-2729. 4.- Shuangshuang Xiao, Kemin Li, Xiaohua Ding, Li Ma and Tong Liu (2014) "Numerical Calculation on Stability of Circular Slip Slopes", electronic journal of geotechnical engineering. 5.- Juarez Badillo, Rico Rodriguez (1981) "Mecánica de Suelos" , Editorial Limusa, Tomo II, 3ra. Edición, México. 6.- Taylor Donald W.( 1937) , "Stability of Earth Slopes", Journal of the Boston Society of Civil Engineers, Vol. XXIV, No3. 7.- W. Fellenius (1936) , “Calculation of the stability of earth dams”, In Transactions, 2nd Congress on Large Dams, Washington, Vol. 4. 8.- Said M. Easa & Ali R.Vatankhah (2011), "Explicit Equation for safety factor of simple slopes",www.arpapress.com/Volumes/Vol7Issue1/IJRRAS_7_1_11.pdf. 9.- Das, Braja M. (2001), "Fundamentos de ingeniería geotécnica", 1ra Edición, Thomson Editores. 10.- Suarez Jaime (2014), "Deslizamientos: Análisis Geotécnico", Tomo 1, Edición electrónica, Colombia. 11.- P. Purushothama Raj (2008), "Soil Mechanics & Foundation Engineering", Pearson Education, New Delhi India. 12.- Radoslaw L. Michalowski (2002), "Stability Charts for Uniform Slopes", Journal Of Geotechnical And Geoenvironmental Engineering.

15

ANEXO 1

16

ANEXO 2

17

ANEXO 3

Otro ejemplo haciendo uso de los datos de la referencia 12.

c = 10 KN/m2 ϕ = 20o ϒm = 17 KN/m3

H = 10 m. β = 30o

Procedimiento 1 Si resolvemos por el método del círculo de fricción (Taylor) de acuerdo a la ecuación (9) tenemos:

α =1.09323+1.02795 (30)-0.0041774(30)2-0.0000153123(30)3+0.000000146408(30)4 = 27.877o α = 27.877o De acuerdo a la formula 14(también se puede utilizar la figura5) tenemos: θ/2=-25452.8+41029.6(30)-0.25-25590.6(30)-0.5+7270.15(30)0.25- 802.821(30)0.5+0.00803311(30)2 θ/2 = 31.106 o θ = 62.212 o

699.20)2212.62csc()877.27csc(

210

=

=R m

mXc 166.1)877.27sin()

2212.62sin(

)877.272212.62sin(

210

=−

=

mYc 666.20)877.27sin()

2212.62sin(

)877.272212.62cos(

210

=−

=

Con el centro del círculo (Xc, Yc) y el radio (R), calculamos el factor de seguridad, igual a 1.3 (mismo resultado que referencia 12), con la ayuda de una planilla realizada en Microsoft Excel5

5 Para más detalle ver Anexo 4

18

ANEXO 4

19

ANEXO 5

20

Figura6. (α) en función de ϒH/C y de (ϕ) para ángulos de talud (β) de 60o, 75o y 89o

21

22

Figura7. (θ) en función de ϒH/C y de (ϕ) para ángulos de talud de 60o, 75o y 89o