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Esta tesis fue realizada bajo la dirección del Dr. José Amador Honorato Salazar. Ha sido
revisada y aprobada por el Comité Revisor y Jurado Examinador siguiente para obtener el
título de Ingeniero Forestal con orientación en Industrias:
PRESIDENTE: ______________________________
Dr. José Amador Honorato Salazar
SECRETARIO: ______________________________
M. C. Mario Fuentes Salinas
VOCAL: ______________________________
M. C. Rogelio Flores Velázquez
SUPLENTE: ______________________________
Dr. Francisco J. Zamudio Sánchez
SUPLENTE: ______________________________
Dr. Jesús Vargas Hernández
Chapingo, Texcoco, Edo. de México. Abril del 2000.
3
AGRADECIMIENTOS
Al Dr. José Amador Honorato Salazar, por la confianza depositada en el largo proceso de
aprendizaje que resultó este trabajo.
Al M.C. Juan Quintanar Olguín, Jefe del Campo Experimental San Martinito del Instituto
Nacional de Investigaciones Forestales, Agrícolas y Pecuarias en Tlahuapan, Pue., por las
facilidades otorgadas para la realización del trabajo.
Al Comité Revisor, M. C. Mario Fuentes Salinas, M. C. Rogelio Flores Velázquez, Dr.
Francisco Zamudio Sánchez y Dr. Jesús Vargas Hernández, por las sugerencias y comentarios
para la mejora del trabajo.
4
DEDICATORIA
A mis Padres, toda la familia
y a Dios mismo.
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE DE CUADROS ..........................................................................................................iv
ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................v
RESUMEN ...............................................................................................................................vii
SUMMARY............................................................................................................................ viii
1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................................1
2. OBJETIVOS ..........................................................................................................................2
2.1. General.............................................................................................................................2
2.2. Específicos .......................................................................................................................2
3. REVISIÓN DE LITERATURA ...........................................................................................3
3.1. La humedad en la madera ................................................................................................3
3.2. Sorpción de humedad en madera ....................................................................................3
3.3. Movimiento de humedad en madera................................................................................6
3.3.1. Movimiento de agua libre ........................................................................................6
3.3.2. Difusión de humedad ..............................................................................................7
3.3.2.1. Difusión de vapor de agua..................................................................................9
3.3.2.2. Difusión de agua de enlace...............................................................................10
3.4. Leyes de difusión de Fick ..............................................................................................10
3.4.1. Primera Ley de Fick...............................................................................................11
3.4.2. Segunda Ley de Fick..............................................................................................11
3.4.3. El potencial del movimiento de humedad..............................................................12
3.5. Variación de la concentración de humedad ..................................................................13
3.6. Métodos de determinación del coeficiente de difusión .................................................15
3.6.1. Método del estado constante (recipiente de difusión)............................................15
3.6.2. Método del estado dinámico (medición de sorpción) ............................................16
3.6.3. Soluciones simples a la ecuación del estado dinámico ..........................................17
ii
3.7. Factores que afectan el coeficiente de difusión de humedad.........................................19
3.7.1. Contenido de humedad o concentración ................................................................19
3.7.2. Temperatura ...........................................................................................................21
3.7.2.1. Movimiento isotérmico de humedad ................................................................21
3.7.2.2. Movimiento no isotérmico de humedad ...........................................................22
3.7.3. Humedad relativa ...................................................................................................24
3.7.4. Estructura anatómica..............................................................................................24
3.7.5. Densidad de la madera ...........................................................................................25
3.7.6. Emisión superficial ................................................................................................26
3.7.7. Espesor de la pieza.................................................................................................28
3.7.8. Contenido de extractivos........................................................................................29
3.7.9. Método de determinación.......................................................................................29
3.8. Coeficientes de difusión en madera de encino...............................................................30
3.9. Aplicación del método de diferencias finitas en la difusión de humedad .....................31
3.10. Descripción anatómica de la madera de las especies utilizadas ..................................36
4. METODOLOGÍA................................................................................................................38
4.1. Mediciones de sorpción .................................................................................................38
4.1.1. Preparación de las piezas .......................................................................................38
4.1.2. Intervalos de sorpción ............................................................................................38
4.1.3. Determinación del coeficiente de difusión.............................................................40
4.1.4. Diseño experimental ..............................................................................................41
4.2. Simulación con el método de diferencias finitas ...........................................................41
4.3. Isotermas de sorpción ....................................................................................................42
5. RESULTADOS ....................................................................................................................43
5.1. Coeficientes de difusión.................................................................................................43
5.1.1. Intervalo de sorpción.............................................................................................45
5.1.2. Dirección estructural .............................................................................................47
5.2. Simulación con el método de diferencias finitas ...........................................................49
5.2.1. Simulación de las curvas de secado .......................................................................49
iii
5.2.2. Estimación de gradientes de humedad ...................................................................53
5.3. Isotermas de sorpción ....................................................................................................55
6. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN .................................................................................................58
6.1. Coeficiente de difusión ..................................................................................................58
6.1.1. Intervalo de sorpción..............................................................................................59
6.1.2. Dirección estructural ..............................................................................................61
6.2. Curvas de secado y gradientes de humedad...................................................................63
6.2.1. Curvas de secado....................................................................................................63
6.2.2. Gradientes de humedad.........................................................................................64
6.3. Isotermas de sorpción ....................................................................................................65
7. CONCLUSIONES ...............................................................................................................68
8. RECOMENDACIONES .....................................................................................................69
9. LITERATURA CITADA....................................................................................................70
10. ANEXOS ............................................................................................................................76
iv
ÍNDICE DE CUADROS
Cuadro 1. Coeficientes de transporte de humedad utilizados para madera, fuerza motriz y su
relación con el coeficiente de difusión, D. ......................................................................12
Cuadro 2. Soluciones salinas para obtener las condiciones de humedad relativa .....................39
Cuadro 3.Coeficiente de difusión de Quercus durifolia (Qd) y Q. laurina (Ql) en mediciones
de sorpción a 20±3 °C. ..............................................................................................43
Cuadro 4. Análisis de varianza de los coeficientes de difusión.................................................44
Cuadro 5. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) entre intervalos con igual condición inicial.45
Cuadro 6. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) en intervalos de sorpción sucesivos. ............46
Cuadro 7. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) en intervalos de sorpción con igual amplitud.
...................................................................................................................................46
Cuadro 8. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) en intervalos de sorpción con igual humedad
relativa final...............................................................................................................47
Cuadro 9. Partición de la suma de cuadrados para comparación de coeficientes de difusión
entre direcciones estructurales en los intervalos de sorpción..........................................48
Cuadro 10. Datos experimentales del intervalo 98-58 usados con el método de diferencias
finitas...............................................................................................................................49
v
ÍNDICE DE FIGURAS
Fig. 1. Isotermas de sorpción de la madera a 25 °C (Okoh y Skaar, 1980).................................4
Fig. 2. Energía de sorpción del agua en la madera como función del CH (Skaar, 1972)............5
Fig. 3. Tipos de difusión en relación a la estructura de la madera (Stamm y Nelson, 1961). .....8
Fig. 4. Perfiles de concentración de humedad (t1, t 2,...,t5 = tiempos sucesivos de secado; los
porcentajes señalados son el CH medio en el gradiente específico). ..............................13
Fig. 5. Pendiente dC/dx en el perfil de concentración (g agua/cm3 madera). ...........................14
Fig. 6. Aproximaciones derivadas de una función en el punto P(x, f(x))..................................32
Fig. 7. Red dimensión-tiempo para el cálculo de concentración de humedad. .........................33
Fig. 8. a) Obtención de las piezas de polines: AA' corte para obtener las piezas longitudinales,
BB' corte para piezas radiales, y CC' corte para piezas tangenciales. b) Recipiente de
difusión............................................................................................................................38
Fig. 9. Curvas de secado de Quercus durifolia en dirección longitudinal en el intervalo 98-58.
.........................................................................................................................................50
Fig. 10. Curvas de secado de Quercus laurina en dirección longitudinal en el intervalo 98-58.
.........................................................................................................................................50
Fig. 11. Curvas de secado de Quercus durifolia en dirección radial en el intervalo 98-58.......51
Fig. 12. Curvas de secado de Quercus laurina en dirección radial en el intervalo 98-58.........51
Fig. 13. Curvas de secado de Quercus durifolia en dirección tangencial en el intervalo
98-58.............................................................................................................................52
Fig. 14. Curvas de secado de Quercus laurina en dirección tangencial en el intervalo
98-58.............................................................................................................................52
Fig. 15. Simulación de gradientes de humedad en dirección longitudinal en el intervalo
98-58.............................................................................................................................54
Fig. 16. Simulación de gradientes de humedad en dirección radial en el intervalo 98-58. .......54
Fig. 17. Simulación de gradientes de humedad en dirección tangencial en el intervalo
98-58..............................................................................................................................55
Fig. 18. Isotermas en adsorción (ad) y desorción (de) de Quercus durifolia (Qd) y
Q. laurina (Ql) a 20±3°C. .............................................................................................56
vi
Fig. 19. Curvas de sorpción experimentales del intervalo de sorpción 00-80...........................62
Fig. 20. Isotermas en adsorción de Quercus durifolia(Qd) y Q. laurina(Ql) en comparación
con las de otros autores. ................................................................................................66
Fig. 21. Isotermas a desorción de Quercus durifolia(Qd) y Q. laurina(Ql) en comparación
con las de otros autores. ................................................................................................66
vii
RESUMEN
Se determinaron los coeficientes de difusión de la madera de dos especies de encino
(Quercus durifolia Seem y Q. laurina Humb. & Bonpl.) en mediciones de sorpción a
temperatura de laboratorio (20±3 ºC), en piezas de 40 mm x 40 mm x 9 mm y la difusión
orientada en la dimensión menor. Además, se realizó la simulación de las curvas de secado y
gradientes de humedad con el método de diferencias finitas y se obtuvieron las isotermas de
sorpción. En las mediciones de sorpción, los coeficientes de difusión varían con el intervalo de
sorpción, la dirección estructural, la dirección de sorpción y con la especie únicamente en
dirección radial. Los coeficientes de difusión obtenidos (x10-7 cm2/s) variaron de 0.215 a
5.932 en dirección longitudinal, de 0.198 a 3.706 en dirección radial y de 0.122 a 2.687 en
dirección tangencial. Los coeficientes de difusión en dirección radial y tangencial son mayores
en intervalos a desorción y en dirección longitudinal mayores en intervalos en adsorción; con
menores diferencias en coeficiente de difusión entre las direcciones estructurales en intervalos a
desorción. En desorción radial y tangencial los coeficientes de difusión incrementaron con el
aumento en contenido de humedad medio de la madera en el intervalo de sorpción. El método de
diferencias finitas con un coeficiente de difusión constante ofreció una adecuada simulación
de las curvas de sorpción y la estimación de los gradientes de humedad. En ambas especies las
isotermas a desorción son una buena relación del contenido de humedad de la madera como
función de la humedad relativa.
PALABRAS CLAVE: Difusión, mediciones de sorpción, madera de encino, coeficiente de
difusión, contenido de humedad, diferencias finitas
viii
SUMMARY
Diffusion coefficients were determined on two oak wood species (Quercus durifolia
Seem and Q. laurina Humb. & Bonpl.) from sorption measurements at room temperature
(23±3ºC), with small specimens 40 mm x 40 mm x 9 mm and oriented diffusion in thickness.
Furthermore, simulations of drying curves and moisture gradients were carried out using the
method of finite differences. Sorption isotherms were also obtained. At sorption
measurements, the diffusion coefficient was affected by the relative humidity step, diffusion
direction and the sorption direction; wood specie was important only for the radial direction.
Diffusion coefficients (x10-7 cm2/s) ranged from 0.215 to 5.932 for longitudinal direction,
0.198 to 3.706 for radial direction, and 0.122 to 2.687 for tangential direction. Radial and
tangential diffusion coefficients for desorption steps exceeded adsorption steps and viceversa
for longitudinal direction, with higher differences between structural directions for adsorption
steps. Radial and tangential diffusion coefficients at desorption increased with an increase in
wood average moisture content at the desorption steps. The finite differences method with
constant diffusion coefficient gave an appropiate simulation on sorption curves and predicted
moisture gradients. For both oak species, desorption isotherms are a good relationships of the
wood moisture content as a function of relative humidity.
KEYWORDS: Diffusion, sorption measurements, oak wood, diffusion coefficient, moisture
content, finite differences.
1. INTRODUCCIÓN
Las especies de encino (Quercus spp) forman parte de los recursos maderables de México.
Su variabilidad botánica también se manifiesta en las características y propiedades de la madera,
así como en su comportamiento durante los procesos tecnológicos y el uso común de la misma.
Sin embargo, aún se carece de conocimiento en áreas específicas que mejore las posibilidades de
uso en ciertos procesos y productos.
Parte del conocimiento limitado en física de la madera son las relaciones madera-humedad,
donde se incluyen los fenómenos de sorpción, los cambios dimensionales por contracción e
hinchamiento, el movimiento de humedad capilar y por difusión, su interacción con otras
propiedades y la influencia de cambios energéticos. Entre los últimos, el calor se relaciona con la
conductividad, la difusión y la activación térmica de los procesos físicos. En especies mexicanas,
el área de física de la madera se ha enfocado a la determinación de la densidad, los cambios
dimensionales, el punto de saturación de la fibra y valores de resistencia mecánica.
La difusión de humedad es importante porque ocurre en el secado de madera, los
tratamientos de preservación, durante el prensado de tableros, en partes estructurales de madera y
en cualquier pieza expuesta a cambios de humedad. El interés en este fenómeno responde así a
consideraciones de procesos tecnológicos y de uso de la madera; sin embrago, primero es
necesario entender los procesos físicos que están detrás del comportamiento observable de la
madera, los principios fundamentales y las interrelaciones que los controlan.
El objetivo del presente trabajo fue determinar los coeficientes de difusión de humedad en
madera de Quercus durifolia Seem y Q. laurina Humb. & Bonpl., mediante mediciones de
sorpción en adsorción y desorción bajo condiciones ambientales de laboratorio; además, realizar
la simulación de curvas de secado y gradientes de humedad con el método de aproximaciones de
diferencias finitas y obtener las isotermas de sorpción. La determinación de los coeficientes de
difusión de humedad servirá para caracterizar y entender los mecanismos de movimiento de
humedad en la madera.
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2. OBJETIVOS
2.1. General
• Determinar los coeficientes de difusión de humedad en madera de Quercus durifolia Seem y
Q. laurina Humb. & Bonpl., en mediciones de sorpción bajo condiciones ambientales de
laboratorio.
2.2. Específicos
• Comparar los coeficientes de difusión de humedad determinados en condiciones de adsorción
y desorción.
• Comparar los coeficientes de difusión de humedad en las tres direcciones estructurales de la
madera.
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3. REVISIÓN DE LITERATURA
3.1. La humedad en la madera
La humedad en la madera existe en dos formas: agua líquida en los espacios vacíos y agua
de enlace dentro de la pared celular, unida mediante enlaces de hidrógeno a los sitios de sorpción
(grupos OH u otros grupos funcionales) de la celulosa, hemicelulosa y lignina.
La madera mantiene un contenido de agua de enlace estable o contenido de humedad en
equilibrio (CHE) en función de la humedad relativa de la atmósfera; el CHE aumenta hasta que la
pared celular se satura cuando se tiene alrededor de 100 % de humedad relativa en el ambiente.
La condición anterior se conoce como punto de saturación de la fibra (PSF), arriba del cual el
agua adicional en la madera está en forma líquida.
La cantidad de agua de enlace presente en la pared celular es uno de los factores principales
que determinan el comportamiento físico de la madera (Panshin y de Zeeuw, 1980). Cuando el
contenido de agua de enlace aumenta, la madera expande sus dimensiones, disminuye la
resistencia mecánica, aumenta la velocidad de difusión de humedad, aumenta la conductividad
térmica y eléctrica (Siau, 1984). Por otro lado, la presencia de agua libre aumenta drásticamente
la susceptibilidad a pudrición (Panshin y de Zeeuw, 1980). La revisión de James (1988) evidencia
la importancia de la humedad en física de la madera y los aspectos de tecnología relacionados.
Así pues, la naturaleza física de la madera depende de las fluctuaciones en contenido de humedad
(CH), por lo que es necesario su evaluación para entender donde se localiza y como se mueve la
humedad dentro de la madera.
3.2. Sorpción de humedad en madera
La sorpción de humedad se refiere al proceso combinado de adsorción y desorción de
vapor de agua por materiales higroscópicos (Stamm 1964), es decir, aquellos materiales que
presentan grupos funcionales con gran afinidad por el agua y otras sustancias polares. La
capacidad higroscópica de la madera está determinada por el número de sitios de sorpción
accesibles, principalmente en las regiones amorfas y en menor grado sobre la superficie de
regiones cristalinas, así como por el número de moléculas de agua que puede mantener cada sitio
(Siau, 1984).
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Cuando la madera se expone a un cambio en humedad relativa, gana o pierde humedad
hasta que obtiene una condición estable de contenido de humedad. A temperatura constante, la
relación entre la presión de vapor relativa o humedad relativa y el contenido de humedad de la
madera se caracteriza por las denominadas isotermas de sorpción (Fig. 1).
Fig. 1. Isotermas de sorpción de la madera a 25 °C (Okoh y Skaar, 1980)
La humedad relativa y la temperatura son los factores principales que determinan el CHE
de la madera; otros factores son las condiciones previas de secado, los esfuerzos mecánicos, la
densidad y el contenido de extractivos (Skaar 1972; Siau, 1984). La isoterma a desorción de
madera que no ha sido previamente secada es superior a la isoterma obtenida en adsorción (Fig.
1). La diferencia es el efecto de histéresis provocado por la rehidratación incompleta de sitios de
sorpción en adsorción y los esfuerzos de compresión durante el hinchamiento de la madera
(Stamm, 1964; Siau, 1984).
Existen diferentes teorías de sorpción de gases aplicables a la sorpción de vapor de agua en
la madera. En ellas se establecen diferentes mecanismos de sorpción de agua en la madera,
comparables entre una teoría y otra (Skaar, 1972; Simpson, 1980). La teoría Brunauer, Emmett y
Teller (BET) señala que la sorpción se produce por superposición de 5 a 10 capas de moléculas
de agua sobre los sitios de sorpción y la condensación capilar arriba del 70 % de humedad
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relativa. La teoría Hailwood y Horrobin (HH) considera que la humedad existe en la pared celular
como solución sólida con la madera y combinada en forma de hidratos. Por su parte, la teoría
Dent distingue entre sitios de sorpción primarios y sitios secundarios, estableciendo que el nivel
de energía de enlace es alto en los primeros e inferior en los segundos (Okoh y Skaar, 1980;
Skaar y Babiak, 1982).
El proceso de sorpción en la madera involucra cambios de energía y cambios de estado
físico del agua (Skaar, 1972). La información de mayor interés es el calor diferencial de sorpción,
El (cal/g agua), definido como la energía adicional por arriba del calor de vaporización del agua
líquida (Eo) que debe aplicarse para evaporar un gramo de agua de enlace. Expresado como El =
Ev - Eo, el calor diferencial de sorpción es la diferencia entre la energía requerida para evaporar el
agua desde la pared celular (Ev) y la energía necesaria para evaporar el agua líquida (Eo). En la
Fig. 2 se muestra la energía de sorpción en la madera como función del contenido de humedad.
Fig. 2. Energía de sorpción del agua en la madera como función del CH (Skaar, 1972).
Si Eo = 569 cal/g a 50 ºC, entonces El varía de 260 cal/g en madera seca hasta 0 cal/g en el
PSF; por lo que Ev es 829 cal/g en condición seca y 569 cal/g en el PSF. El calor diferencial de
sorpción tiene significado como la energía calorífica que debe aplicarse a las moléculas de agua
para romper el enlace que mantiene con la madera (Skaar, 1972).
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Las moléculas sorbidas en la pared celular están retenidas con diferente nivel de energía de
enlace dependiendo del contenido de humedad, con su punto más alto cerca de la condición seca
y el más bajo en el PSF donde esencialmente es igual al agua líquida (Skaar 1972). Stamm (1959)
explicó que la energía de enlace disminuye exponencialmente con la distancia entre el sitio de
sorpción y la molécula de agua retenida. Por tal motivo se requiere mayor cantidad de energía
para remover la capa de moléculas de agua más cercana a los sitios de sorpción.
3.3. Movimiento de humedad en madera
Todo el tiempo existe un continuo movimiento de humedad de una parte a otra en el
interior de la madera. El movimiento de fluidos en la madera es una combinación complicada de
flujo líquido y difusión. El primero se presenta a través de los espacios vacíos interconectados,
producido por un gradiente de presión capilar; mientras que el segundo mecanismo combina la
difusión de vapor de agua por los mismos espacios que en el flujo líquido y la difusión de agua de
enlace por la pared celular, causados por gradientes de presión de vapor y contenido de humedad,
respectivamente (Skaar, 1958; Stamm, 1967; Siau, 1984).
El movimiento de agua líquida se presenta a contenidos de humedad arriba del PSF y la
difusión de agua de enlace y vapor de agua por abajo del mismo punto. No significa que ambos
mecanismos tienen escalas de tiempo diferentes. Durante el secado de la madera las fibras
cercanas a la superficie obtienen rápidamente un contenido de humedad abajo del PSF, mientras
que el centro de la pieza todavía contiene agua líquida. Al ser la difusión más lenta que el
movimiento capilar, la difusión en las fibras cercanas a la superficie es el factor que controla el
secado y el flujo capilar tiene poca o nula importancia (Simpson y Liu, 1997).
3.3.1. Movimiento de agua libre
La magnitud de flujo líquido está determinado por la permeabilidad de la madera, es decir,
la facilidad con que los fluidos son transportados en el espacio poroso interconectado (Siau,
1984). El flujo de agua libre es más importante en magnitud comparado con el flujo de vapor de
agua y agua de enlace (Lu y Leicester, 1997).
El movimiento de agua libre en la madera difiere si los lúmenes están parcial o totalmente
llenos con agua. Cuando los lúmenes están llenos con agua, la evaporación del agua libre se
presenta hasta formarse el menisco en los poros de la membrana de la puntuación más cercana a
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la superficie de la pieza (Stamm, 1964; Kollman y Cote, 1968). Con ello se provoca una ligera
disminución en la presión de vapor relativa del menisco y se produce la salida del agua de los
lúmenes internos, con una tensión hidrostática controlada por la presión de vapor relativa del poro
de diámetro más grande.
Existe un radio crítico de poro determinado por la presión de vapor relativa y la resistencia
al límite elástico bajo compresión de la pared celular. Si el poro que conecta los lúmenes es
mayor al radio crítico, el agua se evapora desde el lumen y el menisco retrocede dentro del lumen
interno sin ejercer ningún esfuerzo sobre la pared celular. En cambio, si ninguno de los poros es
más grande que el radio crítico, la tensión establecida excede el límite elástico de la pared celular
causando el colapso de la célula cuando el agua fluye por el poro (Stamm, 1964; Siau, 1984).
Cuando existen burbujas de aire en los lúmenes, se expanden bajo la tensión establecida en
el poro, haciendo que el agua fluya más libremente desde el lumen. Al hacerlo, la burbuja del
primer lumen se expande hasta llenar la cavidad y el menisco es jalado hacia la superficie del
lumen o la cavidad de puntuación. También aumenta la curvatura de la burbuja hasta que la
resistencia a la expansión adicional excede la resistencia de expansión de burbuja en el lumen,
presentándose el flujo desde el segundo lumen hacia el primero.
Es posible que el agua líquida fluya desde un lumen alejado de la superficie de la madera.
En este caso la burbuja debe ser suficientemente grande para vencer la resistencia al flujo de
humedad. A medida que disminuye el contenido de humedad, es menor la posibilidad que un
lumen alejado de la superficie pierda su agua libre por expansión de la burbuja de aire, debido
que existe mayor número de lúmenes con burbujas completamente expandidas.
Como parte de la explicación a la velocidad de secado excesivamente lenta en encino
blanco americano, Hart y Darwin (1971) señalaron que el movimiento por capilaridad tiene una
importancia reducida en el movimiento de humedad. Explican que el agua libre permanece en el
lumen hasta que es adsorbida por la pared celular y, por tanto, se mueve por difusión.
3.3.2. Difusión de humedad
Toda molécula de agua que se mueve por difusión en la madera lo hace intermitentemente
como agua de enlace y vapor de agua. Stamm y Nelson (1961) definieron tres tipos de difusión
de humedad en madera en una traqueida (Fig. 3):
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1) Difusión cavidad-pared celular, donde el vapor de agua se mueve en el lumen bajo un
gradiente de presión de vapor, es adsorbida por las paredes celulares donde fluye bajo la
influencia de un gradiente de contenido de humedad, y se evapora en el siguiente lumen.
2) Difusión cavidad-puntuación, el vapor de agua que existe en el lumen entra en la cavidad de
puntuación y fluye como vapor de agua por los poros de la membrana de puntuación o en
forma de agua de enlace si cruza la membrana de puntuación.
3) Difusión continua de agua de enlace, en la porción de pared celular que se extiende
directamente en la dirección de difusión.
Fig. 3. Tipos de difusión en relación a la estructura de la madera (Stamm y Nelson, 1961).
Los mismos autores estimaron una participación teórica de 55 a 95 % en difusión cavidad-
pared, de 4 a 25 % para difusión cavidad-puntuación y de 0.8 a 23 % a difusión continua en el
flujo total de humedad por difusión. Al aumentar la densidad de la madera disminuyó la
participación de la difusión cavidad-pared y aumentó la participación de los otros mecanismos,
principalmente la difusión continua. En la práctica, a partir de mediciones continuas de peso
(mediciones de sorpción), solo es posible medir el flujo total por difusión o difusión combinada
de vapor de agua y agua de enlace.
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3.3.2.1. Difusión de vapor de agua
La difusión de vapor de agua en los espacios vacíos de la madera puede estimarse con la
ecuación del coeficiente de interdifusión de vapor de agua en el aire (Yao, 1966; Stamm, 1967;
Siau 1984):
75.1
2737622.0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
TP
Dv (1)
donde Dv = coeficiente de interdifusión de vapor de agua en el aire, cm2/s; P = presión total,
cmHg; T = temperatura absoluta, ºK.
La ecuación se aplica solo cuando el tamaño del espacio vacío es mayor al paso libre
promedio1 de moléculas de vapor de agua, según Skaar (1958) de 0.1 µm entre 10 y 60 ºC. En los
poros de membrana de puntuación la difusión de vapor de agua ocurre como vapor restringido
(Fig. 3) por tener un diámetro similar al paso libre promedio, por lo que no se aplican las leyes
que controlan la difusión de vapor de agua en el aire (Siau, 1984).
Cuando las moléculas de vapor de agua fluyen por los poros colisionan con la membrana
de puntuación y pueden ser adsorbidas por la pared celular, reduciendo la velocidad de flujo;
además, la frecuencia de impacto aumenta con el incremento en contenido de humedad y la
concentración de vapor de agua (Skaar, 1958; Wang y Cho, 1994).
El coeficiente de difusión restringida es 1/40 del valor correspondiente en los lúmenes
donde existe poca resistencia a la difusión de vapor de agua (Tarkow y Stamm, 1960b). Por tal
motivo, los poros de la membrana de puntuación son el factor principal que controla el flujo de
vapor de agua (Siau, 1984).
En latifoliadas, a diferencia de coníferas, las puntuaciones presentan membranas continuas
de material de pared celular (lámina media y pared primaria) orientadas al azar, sin la presencia
de torus y con poros de diámetro similar a los de puntuaciones en coníferas (Panshin y de Zeeuw,
1980; Siau, 1984).
1 El paso libre promedio, de acuerdo a la teoría cinética de gases, es la distancia promedio a que viaja una molécula entre colisiones con moléculas adyacentes (Skaar,1958).
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3.3.2.2. Difusión de agua de enlace
Sobre el movimiento de agua de enlace en la pared celular existen dos conceptos; el
primero supone movimiento de masa basado en que se produce condensación capilar en la pared
celular abajo del PSF y humedad relativa superior al 70 %, mientras que el segundo propone que
el movimiento ocurre como saltos moleculares de las moléculas de agua activadas desde un sitio
de sorpción a otro (Stamm, 1959; Choong, 1963).
A contenidos de humedad menores al 6 %, donde se presenta la primera capa de moléculas
sobre los sitios de sorpción, existe poco movimiento de agua de enlace por la gran afinidad entre
los grupos funcionales de la madera y las moléculas de agua (Skaar, 1958). Cuando aumenta el
contenido de humedad se forma una película de una o más capas de moléculas sobre la superficie
interna de la pared celular, según las teorías BET y Dent de sorpción, y el flujo de humedad se
produce como moléculas individuales sobre la misma (Skaar y Babiak, 1982).
Bramhall (1976, 1979) señala que la difusión de agua de enlace es un proceso activado, es
decir, en un momento determinado solo una pequeña fracción de las moléculas de agua están en
movimiento. Cuando una molécula de agua de enlace recibe suficiente energía para romper el
enlace que la mantiene sobre el sitio de sorpción, alcanza el estado activado, se mueve hasta ser
capturada por otro sitio de sorpción y emite su energía de activación, la recibe otra molécula y el
proceso se repite. La energía de activación (Eb) se encuentra entre el calor diferencial de sorpción
(El) y el calor de vaporización del agua de enlace (Ev), con valores entre 4,000 y 12,000 cal/mol
de agua (Skaar y Siau, 1981).
3.4. Leyes de difusión de Fick La esencia de la difusión es la tendencia de las moléculas a moverse para mantener una
distribución uniforme en el espacio que ocupan. La difusión es el transporte de masa dentro de
otro material, desde una zona de concentración superior hacia otra de concentración inferior, por
movimientos moleculares aleatorios (Stamm, 1967; Moschler y Martin, 1968; Siau, 1984).
Bramhall (1979) distingue entre difusión molecular o tipo Fick y difusión de sorpción. La
primera es el transporte de masa por movimiento aleatorio continuo de la población total de
moléculas, mientras que la segunda está limitada al movimiento aleatorio intermitente de solo una
parte de la población de moléculas. La difusión de sorpción en la madera es la difusión de agua
de enlace, limitada al movimiento de las moléculas de agua activadas.
11
Se supone que la difusión de humedad en la madera obedece las Leyes de difusión de Fick.
Sin embargo, debido que la difusión de humedad depende de la variación en concentración de
humedad de la madera, se denomina difusión en estado constante cuando la transferencia y
concentración de humedad no cambian con el tiempo, y difusión en estado dinámico si el flujo y
concentración son variables en espacio y tiempo (Siau, 1984).
3.4.1. Primera Ley de Fick
En la difusión de estado constante, dos caras opuestas de una pieza de madera se mantienen
a concentración de humedad diferente, manteniendo un gradiente de concentración constante y un
equilibrio en la velocidad de flujo de humedad (Skaar, 1954; Stamm, 1967).
La primera Ley de Fick de difusión establece que la magnitud del flujo de masa por unidad
de área es proporcional a su gradiente de concentración; misma que se utiliza para describir la
difusión de estado constante expresada como (Comstock, 1963; Stamm, 1967; Martin y
Moschler, 1970; Wang y Cho, 1994; Lu y Leicester, 1997):
dxdCDF = (2)
donde F = flujo de humedad, cm3/s; es decir, la velocidad de transferencia de humedad por
unidad de área en la dirección de difusión x; D = coeficiente de difusión de humedad, cm2/s;
(dC/dx) = cambio de concentración por unidad de distancia en la dirección de difusión, g/cm3.
3.4.2. Segunda Ley de Fick
Para la difusión de estado dinámico en la madera se utiliza la segunda Ley de Fick que
establece que para un coeficiente de difusión la velocidad en el cambio de concentración de
humedad en un punto dado de la dirección de difusión es igual a la difusión del gradiente de
humedad, y se expresa como (Comstock, 1963; Stamm, 1964, 1967; Martin y Moschler, 1970;
Simpson y Liu, 1991; Chen et al., 1994; Wang y Cho, 1994; Lu y Leicester, 1997):
2
2
dxCdD
dxdCD
dxd
dtdC
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (3)
12
donde dC/dt = velocidad de cambio en concentración con el tiempo en cualquier punto de la
dirección de difusión x; d2C/dx2 = velocidad de cambio de la velocidad de variación en
concentración con la distancia, es decir, la segunda derivada de la concentración con respecto a la
distancia. En la tercera parte de la ecuación se supone que D es constante, es decir, independiente
de la concentración de humedad (Siau, 1984; Simpson y Liu, 1991).
3.4.3. El potencial del movimiento de humedad
Parte de la discusión sobre el uso de las Leyes de Fick en la descripción del movimiento
higroscópico de humedad, se encuentra en la elección de la fuerza motriz que lo provoca. Skaar y
Babiak (1982) resumen algunos coeficientes de transporte de humedad, la fuerza motriz
considerada y su relación con el coeficiente de difusión, D (Cuadro 1).
Cuadro 1. Coeficientes de transporte de humedad utilizados para madera, fuerza motriz y su relación con el coeficiente de difusión, D.
FUERZA MOTRIZ UNIDADES COEFICIENTE, UNIDADES RELACIÓN A D
Concentración de humedad C, g/cm3 D = -F/(dC/dx), cm2/s D = D
CH fraccional m, g/g Km = -F/(dm/dx), g/cm.s Km = D(dC/dm)
% CH M, g/100g KM = -F/(dM/dx), g/100.cm.s KM = D(dC/dm)
Presión de vapor P, dina/cm2 Kp = -F/(dP/dx), g.cm/dina.s Kp = D(dC/dP)
Presión de vapor relativa h Kh = -F/(dh/dx), g/cm.s Kh = D(dC/dh)
Presión osmótica Π, dina/cm2 KΠ = -F/(dΠ/dx), g-cm/dina.s KΠ = D(dC/dΠ)
Presión de dispersión φ, dina/cm Kφ = -F/(dφ/dx), g/dina-s Kφ = D(dC/dφ)
Bramhall (1976, 1979) señaló dos enfoques entre los autores: a) difusión de agua de enlace
bajo un gradiente de humedad o concentración, limitándose a movimiento de humedad abajo del
PSF y condiciones isotérmicas, y b) en respuesta a un gradiente de presión parcial de vapor. El
problema con la presión parcial de vapor es que no puede medirse directamente en un
experimento ordinario de sorpción; en cambio el peso de la pieza puede fácilmente medirse como
función del tiempo (Cunningham et al., 1991; Söderström, 1996). Además, en el secado de
madera el contenido de humedad promedio de la madera aserrada es la información más
relevante y, para darle utilidad práctica, el potencial utilizado debe transformarse a contenido de
13
humedad. Otros autores han propuesto diferentes expresiones matemáticas para el movimiento
isotérmico de humedad, como la presión de dispersión (Skaar y Babiak, 1982; Nelson, 1986a), el
potencial químico del agua (Kawai et al., 1978a) y el potencial de moléculas activadas (Skaar y
Siau, 1981).
3.5. Variación de la concentración de humedad
La concentración o contenido de humedad de la madera cambia durante el proceso de
sorpción. Comúnmente se dice que “la madera se seca de afuera hacia adentro”, es decir, en un
momento determinado la superficie de la pieza está más seca que el interior de la misma. La
diferencia de concentración de humedad entre el interior y la superficie es el gradiente o perfil de
concentración. La Fig. 4 muestra gradientes de humedad típicos en la madera en tiempos
sucesivos de secado (t1, t2, ..., t5).
Fig. 4. Perfiles de concentración de humedad (t1, t 2,...,t5 = tiempos sucesivos de secado; los porcentajes señalados son el CH medio en el gradiente específico).
El contenido de humedad, o el equivalente en concentración de humedad, varía a lo largo
de la distancia entre el centro y la superficie de la pieza, y también con el tiempo de secado. Al
transcurrir el tiempo de secado el perfil de humedad se hace más suave y se acerca al CHE, donde
la concentración es esencialmente uniforme a lo largo del espesor de la pieza. Si el flujo de
14
humedad es proporcional al gradiente de concentración, como lo expresa la primera Ley de Fick,
la magnitud del mismo siempre será superior en t1 respecto a tiempos sucesivos de secado.
No existe manera de conocer el perfil de concentración sin seccionar la pieza de madera,
tampoco de determinar el cambio de concentración (dC/dx) en un punto específico (Fig. 5). En su
lugar se obtiene la diferencia media de concentración entre el centro de la pieza (Ca) y la
superficie de la misma (Co), como (Ca - Co)/a, donde a = un medio del espesor de la pieza, cm.
Fig. 5. Pendiente dC/dx en el perfil de concentración (g agua/cm3 madera).
El uso directo de la ec. (2) permite calcular el coeficiente de difusión para cualquier
concentración entre Ca y Co, al igual que el comportamiento del coeficiente como función de la
concentración (Skaar, 1954). Sin embargo, dado que una pieza de madera sirve solo una ocasión
para conocer el perfil de concentración, no es posible determinar en la misma pieza el desarrollo
del perfil con el tiempo.
La ec. (3) del estado dinámico ofrece una relación directa del coeficiente de difusión a los
tiempos de sorpción y los perfiles de concentración (Skaar, 1954). El cambio de concentración en
la dirección de difusión (dC/dx), tiene interpretación como la velocidad instantánea de variación
de la concentración en la dirección de difusión. Corresponde a la variación en concentración en
un mismo perfil específico, entre Ca y Co; mientras que la variación de concentración respecto al
15
tiempo se tiene entre diferentes perfiles de concentración. Así entonces, se tiene un problema
donde intervienen velocidades de variación respecto al tiempo de variables relacionadas.
3.6. Métodos de determinación del coeficiente de difusión
Skaar (1954) analizó los métodos básicos utilizados en la determinación del coeficiente de
difusión, a saber, mediciones del estado constante, mediciones del estado dinámico con
coeficiente de difusión constante y mediciones del estado dinámico con coeficiente de difusión
variable. La limitación de los mismos es que no existe forma precisa de medir el gradiente de
humedad sin tener que seccionar la pieza de madera.
3.6.1. Método del estado constante (recipiente de difusión)
Consiste de un recipiente o desecador que contiene agua destilada para mantener una
atmósfera saturada de humedad o soluciones salinas para valores inferiores de humedad relativa.
La pieza de madera se coloca sobre la boca del desecador, a manera de tapa y sellada con
parafina o resina. El desecador ensamblado se introduce en una cámara con humedad relativa y
temperatura constantes. La ganancia o pérdida de humedad que pasa a través del área conocida de
la pieza es monitoreada por pesadas continuas del desecador ensamblado (Wadsö, 1993). Con
este método se obtiene un flujo constante de humedad cuando la relación entre cambio de peso y
tiempo es lineal. El flujo de humedad es igual a la velocidad de cambio de peso dividido por el
área de la pieza expuesta a movimiento de humedad (Bramhall, 1976; Siau, 1984; Wadsö, 1993).
Si el perfil de concentración en la Fig. 5 se considera del estado constante, se tiene como primera
aproximación un perfil de humedad lineal como se muestra con la línea punteada que interseca Co
y Ca, que corresponden en este caso a las concentraciones en equilibrio de las superficies
opuestas de la pieza.
Para la ec. (2) el valor aparente del coeficiente de difusión se obtiene como (Skaar, 1954):
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
aCC
DF oa (4)
donde (Ca - Co)/a = gradiente de humedad en lugar de dC/dx, g/cm3; a = un medio del espesor de
la pieza, cm. La relación lineal se presenta solo si el coeficiente de difusión verdadero es
independiente de la concentración de humedad en el intervalo de concentración Co a Ca.
16
El uso directo de la ec. (2) requiere el perfil de concentración obtenido por seccionamiento
de la pieza para calcular el coeficiente de difusión sobre cualquier punto, digamos x = x1 , donde
dC/dx es la pendiente del perfil de concentración de humedad en el punto x1 (Fig. 5).
3.6.2. Método del estado dinámico (medición de sorpción)
Una medición de sorpción se define como el cambio de peso en una pieza de madera en
equilibrio con una humedad relativa inicial cuando se expone a humedad relativa diferente; la
ganancia o pérdida de humedad depende de la humedad relativa final y se monitorea con los
cambios de peso a intervalos regulares de tiempo (Wadsö, 1993).
Se denomina intervalo de sorpción a la diferencia entre la humedad relativa inicial y la
humedad relativa final en una medición de sorpción. Se tienen entonces intervalos de sorpción de
la forma Hi-Hf, donde Hi es la humedad relativa a que se acondicionan primero las piezas de
madera y Hf la humedad relativa final de exposición donde se hacen las mediciones de peso.
Una simplificación en la ec. (3) del estado dinámico es suponer el coeficiente de difusión
constante con el contenido de humedad, modificándose como:
2
2
dxCdD
dxdC
= (5)
La solución de Newman representa la solución más general para la ecuación anterior
(Skaar, 1954). Newman calculó E, la fracción de agua evaporable que permanece en la pieza
durante el secado, como función de (Dt/a2) para diferentes valores del producto de la relación del
coeficiente de emisión superficial (S) al coeficiente de difusión y el espesor de la pieza de madera
(Ha, donde H=S/D). La curva de Ha = ∞, donde el valor de (Dt/a2) = 0.2, se aplica cuando las
piezas son suficientemente gruesas y la velocidad del aire es adecuada. Para el cálculo del
coeficiente de difusión solo es necesario conocer el tiempo (t0.5) requerido para que ocurra la
mitad de la sorpción (E = 0.50). El cambio fraccional en contenido de humedad se calcula como
E = (m - me)/(mi - me), donde m, mi y me son los contenidos de humedad en un momento
determinado, inicial y en equilibrio, respectivamente.
Cuando el coeficiente de difusión varía con la concentración de humedad se utiliza la ec.
(3) que no tiene solución general análoga como la solución de la ec. (5). Crank y Henry (1949)
presentaron un método para determinar la variación del coeficiente de difusión con la
17
concentración a partir de las curvas de sorpción. El método es aplicado por Crank y Park (1949)
en la difusión de cloroformo en poliestireno, sistema que expande en forma similar como la
interacción madera-humedad.
3.6.3. Soluciones simples a la ecuación del estado dinámico
Para probar que las ecuaciones de Fick sirven para describir la difusión de humedad en
madera se requiere resolverlas teóricamente y comparar los resultados con datos experimentales.
La solución para la ec. (3) es bastante difícil por la variación de la concentración, además que el
análisis matemático se complica por la heterogeneidad de la madera dada por su estructura
interna y anisotropía, los cambios dimensionales y los esfuerzos involucrados (Rosen, 1983).
Para la solución de la misma, se suponen las siguientes restricciones para simplificar el análisis
(Comstock, 1963; Stamm, 1964; Martin y Moschler, 1970; Siau, 1971, 1984; Rosen, 1983):
a) El coeficiente de difusión es constante.
b) La humedad se distribuye uniformemente.
c) La difusión de humedad es unidireccional.
d) La magnitud de la resistencia superficial es pequeña, es decir, la superficie de la pieza obtiene
de inmediato la concentración de equilibrio.
e) La pieza no presenta cambios dimensionales.
f) Las condiciones de humedad y temperatura permanecen constantes.
A excepción de la segunda simplificación, que se consigue después de un largo tiempo de
acondicionamiento, las demás restricciones no están de acuerdo con el fenómeno físico
involucrado. Primero, el coeficiente de difusión no es constante porque depende de la
concentración de humedad y temperatura. Por otro lado, es cierto que cuando la pieza de madera
es delgada el flujo de humedad es principalmente en una sola dirección; sin embargo, cuando las
piezas son más gruesas ya no puede suponerse movimiento unidireccional y al sellar las piezas de
madera para restringir la difusión en una dirección puede obtenerse una velocidad de sorpción
inferior y contenidos de humedad mayores a desorción. El Kouali et al. (1992), además de
Mounji y Bouzon (1991) ampliaron la forma general de la ec. (3) para considerar al mismo
tiempo el movimiento de humedad en las tres direcciones.
18
Respecto a la resistencia superficial, cuando se ignora su efecto sobre el movimiento de
humedad el coeficiente de difusión calculado es menor al coeficiente real (Simpson y Liu, 1991).
Además, cuando la madera comienza a perder humedad por abajo del PSF o ganar humedad a
partir de la condición seca se presentan cambios dimensionales y se generan esfuerzos internos
que retrasan la obtención del CHE (Skaar, 1972).
Por último, el control de la temperatura y humedad relativa no es exacto en la práctica y
siempre habrá fluctuaciones que afectan las mediciones de sorpción, principalmente cuando las
piezas se aproximan al equilibrio (ASTM, 1992). Simpson (1982) determinó los niveles de
control de temperatura y humedad relativa necesarios para mantener el CHE dentro de límites
prescritos.
Una de las soluciones simples a la ec. (3) es la ecuación de Boltzman (Stamm, 1959,
1960a; Stamm y Nelson, 1961; Biggerstaff, 1965):
tElD
16
22π= (6)
donde los términos son los mismos que en ecuaciones anteriores y l = espesor de la pieza, cm. La
ecuación es válida para dos tercios de la sorpción (E = 0.667) donde se presenta una relación
lineal entre el cambio fraccional de humedad y el tiempo de sorpción. Hart y Darwin (1971)
presentaron dos ecuaciones, una para 0 ≤ E ≤ 0.5 y otra para 0.5 ≤ E ≤1.
La ecuación (6) se derivó sobre la base que el espesor de la pieza es constante, es decir, sin
considerar los cambios dimensionales de la madera; al hacerlo, se modifica la ecuación como
(Stamm, 1956):
[ ]dt
EsdlD22 )1(
16+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
π (7)
donde s = expansión fraccional en la dirección considerada. En este caso la función [(1+s)E]2 se
grafica contra t, con validez para dos tercios del cambio fraccional de espesor.
Crank y Park (1949) presentaron una solución para calcular el coeficiente de difusión
cuando ha ocurrido la mitad de la sorpción (E = 0.5):
5.0
204939.0t
lD = (8)
donde t0.5 = tiempo requerido para que ocurra la mitad de la sorpción, h, y se obtiene de las
curvas de sorpción.
19
3.7. Factores que afectan el coeficiente de difusión de humedad
El valor del coeficiente de difusión de humedad de una madera es diferente dependiendo de
varios factores y las interrelaciones entre los mismos; siendo afectado por la concentración o
contenido de humedad, la temperatura, la estructura anatómica (dirección de difusión), la
densidad, la emisión superficial, el contenido de extractivos, el espesor de las piezas y el método
utilizado en la determinación.
3.7.1. Contenido de humedad o concentración
El gradiente de contenido de humedad o el equivalente en gradiente de concentración de
humedad, se considera comúnmente como el potencial del movimiento isotérmico de humedad
por abajo del PSF. En general, el coeficiente de difusión depende en gran medida del contenido
de humedad por la variación de este último durante la sorpción.
Crank y Park (1949) aplicaron un método de aproximaciones sucesivas para determinar la
dependencia del coeficiente de difusión con el contenido de humedad. En un sistema que
depende del contenido de humedad, el coeficiente de difusión promedio ( D ) en el intervalo de
contenido de humedad de mi a mf, se expresa como (Simpson y Liu, 1991):
∫−= f
i
m
mif
Ddmmm
D)(
1 (9)
donde mi y mf = contenidos de humedad inicial y final del intervalo de sorpción, respectivamente,
%. El valor D puede estimarse solo cuando se conoce el gradiente de humedad de la pieza.
Cuando este último es parabólico, el contenido de humedad (m) es igual a mi ± 2/3(mi - mf)
(Stamm, 1959); aplicable solo en dirección transversal debido que en dirección longitudinal el
coeficiente de difusión disminuye con el aumento en contenido de humedad de la madera (Siau,
1984).
En el método de aproximaciones sucesivas, la primera aproximación es suponer el
coeficiente de difusión calculado con la ec. (8) un valor razonable a D . En una serie de
mediciones de sorpción, donde mi es el mismo contenido de humedad inicial en todos los
intervalos de sorpción y mf el contenido de humedad final de cada intervalo, puede establecerse
una relación entre D (mf -mi) y (mf -mi). Diferenciando la relación y dado que mi es constante, se
tiene (Simpson y Liu, 1991):
20
f
f
dmmDd
mD)(
)( = (10)
Cuando se reconoce t0.5 desde mi hasta mf en cada intervalo de sorpción, la aproximación a
D se calcula con la ec. (8) y se multiplican los coeficientes por el correspondiente mf. La
diferenciación puede hacerse por métodos numéricos o escogiendo una función matemática que
relacione ( D mf) con mf.
La primera aproximación al coeficiente de difusión se utiliza en una solución numérica
para calcular un nuevo grupo de curvas de sorpción. Con los valores t0.5 de estas nuevas curvas se
determinan nuevos valores D con la ec. (8) y se calculan aproximaciones adicionales de igual
forma que la primera. Las aproximaciones continúan hasta que los valores D son similares a los
coeficientes de difusión iniciales.
La fuerte dependencia del coeficiente de difusión sobre el contenido de humedad de la
madera se ha expresado por una función exponencial de la forma (Rosen, 1976, Simpson y Liu,
1991; Simpson, 1993):
)exp(BmAD = (11)
donde D = coeficiente de difusión, cm2/s; m = contenido de humedad, % ó %/100; A y B =
constantes de regresión. De esta manera, cuando la constante B es positiva D incrementa con el
contenido de humedad y disminuye cuando B es negativa; la dependencia es mayor cuando el
valor de B aumenta (Rosen, 1976).
En las direcciones radial y tangencial, el coeficiente de difusión aumenta en forma
exponencial con el incremento en contenido de humedad de la madera (Choong, 1963;
Comstock, 1963; Simpson, 1974, 1993; Simpson y Liu, 1991), mientras que disminuye en
dirección longitudinal (Choong, 1963; Rosen, 1976). Sin embargo, Stamm (1959) encontró que
en Picea sitchensis el coeficiente de difusión longitudinal de agua de enlace aumenta
exponencialmente con el contenido de humedad.
Simpson (1974) y Simpson y Liu (1991) determinaron en Populus sp la relación
D=0.264x10-6exp(16.8m) para el incremento exponencial del coeficiente de difusión radial, desde
0.377 a 2.48 (x10-6 cm2/s) en el intervalo de 3 a 18 % CH a 43 ºC. Rosen (1976) presentó
21
ecuaciones como la ec. (11) para datos experimentales de diferentes autores y D=1.71x10-4exp(-
0.133m) en Liriodendron tulipifera. Simpson (1993) determinó las ecuaciones Dd=1.10x10-
6exp(1.15 m) en desorción y Da=0.921x10-6exp(1.45m) en adsorción para el coeficiente de
difusión radial de Quercus rubra en el intervalo de 6 a 30 % CH y 43 ºC de temperatura.
3.7.2. Temperatura
La temperatura es uno de los factores principales que afectan la velocidad de secado de una
pieza; una temperatura superior provoca un movimiento más rápido de humedad desde el centro
de la pieza hacia la superficie y el aumento de la evaporación desde esta última (Pratt, 1986;
Simpson, 1991).
3.7.2.1. Movimiento isotérmico de humedad
En la solución de las ecuaciones de difusión en estado dinámico se considera que la
temperatura permanece constante y la inexistencia de un gradiente térmico en la madera.
Biggerstaff (1965) mostró que existe una diferencia de temperatura entre el interior de la estufa,
la superficie de la pieza y el interior de la misma, la cual aumenta en forma lineal con el
incremento en temperatura de la estufa.
Para analizar la relación entre coeficiente de difusión y la temperatura se ha utilizado la
ecuación de Arrhenius (Stamm, 1964; Yao, 1966; Skaar y Babiak, 1982; Kang y Hart, 1997):
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
RTE
CD bexp (12)
o bien como:
RTDAEb )ln( −= (13)
donde D = coeficiente de difusión, cm2/s; R = constante universal de los gases, 1.9872 cal/ºK
mol; T = temperatura absoluta, ºK; C y A = constantes de regresión (A = lnC); Eb = energía de
activación para la difusión de humedad, cal/mol. Una gráfica de lnD vs.1/T es una línea recta con
pendiente -Eb/R, de donde puede determinarse Eb. Cuando el valor de Eb es grande indica un
mayor efecto de temperatura sobre la velocidad de difusión (Kang y Hart, 1997).
La relación lineal entre lnD y (1/T) es el indicador de la difusión de humedad como un
proceso activado (Skaar, 1958; Stamm, 1959; Choong, 1965; Kang y Hart, 1997). Una molécula
22
de agua de enlace puede moverse de un sitio de sorpción a otro solo cuando recibe el mínimo de
energía cinética para vencer las fuerzas que la retienen sobre el sitio de sorpción (Bramhall, 1976,
1979). Entonces, el incremento considerable o exponencial en coeficiente de difusión provocado
por aumento en temperatura, es porque aumenta la probabilidad que más moléculas de agua
alcancen el estado activado (Stamm, 1959; Stamm y Nelson, 1961; Choong, 1963, 1965;
Biggerstaff, 1965).
A contenido de humedad constante el efecto de la temperatura sobre el coeficiente de
difusión es proporcional al efecto sobre la presión de vapor del agua en la madera (Skaar, 1958;
Stamm, 1959). Si la velocidad de difusión de vapor de agua es proporcional al gradiente de
presión de vapor y los coeficientes del término (1/T) en las ecuaciones de presión de vapor y
coeficiente de difusión en función de la temperatura son similares, puede ser que el movimiento
de humedad esté controlado por la difusión de vapor de agua. En el movimiento de agua de
enlace se comparan los coeficientes del término (1/T) en las ecuaciones de viscosidad del agua y
coeficiente de difusión en función de la temperatura.
Choong (1963) y Stamm (1964) encontraron valores de Eb cercanos a 8500 cal/mol a 10 %
de contenido de humedad. Bramhall (1979) discute que el valor debe estar entre 10,343 cal/mol
como en la evaporación y 12,000 cal/mol dados por Stamm (1959) para difusión de agua de
enlace. Nelson (1986b) señala que aunque los errores mencionados por Bramhall no deben
pasarse por alto, las diferencias de temperatura mostradas por Biggerstaff (1965) no son
suficientes para aumentar la energía de activación desde 8,500 a 12,000 cal/mol.
Skaar y Siau (1981) señalan que cuando los valores de Stamm (1959) se ajustan a una
ecuación lineal resulta la ecuación Eb = 9300 - 73m, donde m = % CH; así los valores de Eb
varían de 9100 cal/mol a 7100 cal/mol en el intervalo de 2 a 28 % CH, respectivamente.
3.7.2.2. Movimiento no isotérmico de humedad
En investigaciones de movimiento de humedad bajo condiciones no isotérmicas se
demostró la existencia de movimiento de humedad en contra del gradiente de concentración de
humedad, principalmente cuando se mantiene un gradiente de temperatura de suficiente magnitud
en dirección contraria (Peralta y Skaar, 1993). En los experimentos se aplicó un gradiente térmico
entre las dos superficies opuestas de una pieza de madera encapsulada para prevenir movimiento
de humedad hacia el exterior y asegurar un flujo de humedad neto de cero. Los resultados indican
23
un contenido de humedad superior sobre el lado más frío de la pieza y una presión de vapor
superior en el lado caliente. La aplicación de la primera Ley de Fick predice flujo de humedad
desde el lado frío hacia el caliente utilizando un gradiente de concentración y flujo de humedad
en sentido contrario basado en el gradiente de presión de vapor. Entonces, ninguno de los
gradientes de concentración y de presión parcial explica por sí solo el movimiento no isotérmico
de humedad (Bramhall, 1979; Skaar y Siau, 1981; Siau y Babiak, 1983; Siau y Zin, 1985;
Nelson, 1986c; Peralta y Skaar, 1993).
El movimiento no isotérmico de humedad puede analizarse de dos maneras (Siau, 1984):
provocado por un gradiente de potencial químico del agua, y debido a un gradiente de moléculas
de agua activadas. Las dos funciones tienen tendencia similar entre 0 y 100 ºC, igualándose a 53
% de humedad relativa (HR). Cuando se utiliza el potencial químico del agua, a 10 % HR un
gradiente térmico de 17 ºC equivale en efecto sobre el flujo de humedad a un gradiente de 1 %
CH, disminuyendo hasta 1.2 ºC a 90 % HR. En gradiente de moléculas activadas, los gradientes
térmicos de 11 °C y 4 ºC a 10 y 90 % HR, respectivamente, equivalen en efecto sobre el flujo de
humedad a un gradiente de 1 % CH. En ambos casos el efecto del gradiente térmico sobre el flujo
de humedad es mayor cuando aumenta la humedad relativa.
Aunque el análisis de difusión supone condiciones isotérmicas, la aplicación práctica más
importante del movimiento no isotérmico de humedad está en el secado de madera. Kollman y
Côté (1968) presentan gradientes de contenido de humedad y temperatura determinados durante
el secado de madera. Los gradientes de humedad tienen su valor más bajo de contenido de
humedad sobre la superficie y el más alto en el centro de la pieza; mientras que el gradiente
térmico muestra el valor de temperatura más bajo en el centro de la pieza y el más alto en la
superficie de la misma. Es de esperarse que el gradiente térmico contrarreste parcialmente el
efecto del gradiente de humedad durante la remoción del agua.
Simpson (1993) considera que cuando el secado de la madera es lento el proceso está
controlado por la difusión y la transmisión de calor es más rápida que el flujo de humedad, siendo
válido suponer condiciones isotérmicas en cada etapa de la secuela de secado.
24
3.7.3. Humedad relativa
Debido que la humedad relativa es el factor principal que determina el CHE de la madera,
en las mediciones de sorpción su efecto sobre el coeficiente de difusión se ha analizado en
función del contenido de humedad (Simpson, 1974, 1993; Simpson y Liu, 1991). En ellas es
común iniciar a desorción desde el PSF y en adsorción desde la condición seca, con un
incremento en el coeficiente de difusión con el aumento en contenido de humedad de la madera.
Por otro lado, en un intervalo de sorpción la amplitud del cambio en humedad relativa y la
dirección de sorpción influyen en la magnitud del coeficiente de difusión (McNamara y Hart,
1971).
Choong y Fogg (1968) y McNamara y Hart (1971) encontraron en intervalos de sorpción
con igual amplitud de humedad relativa, un coeficiente de difusión en desorción superior que en
adsorción. En intervalos de sorpción sucesivos el coeficiente es sucesivamente inferior en
desorción y sucesivamente mayor en adsorción. Explican que la diferencia entre desorción y
adsorción, además del efecto de histéresis, se debe al retraso en la velocidad de sorpción
provocado por la relajación de esfuerzos durante la sorpción. En general, los esfuerzos de tensión
aumentan el CHE de la madera y los esfuerzos a compresión lo reducen (Skaar, 1972; Siau,
1984). Así, al inicio de la sorpción los esfuerzos cambian el CHE de la superficie y cuando la
pieza se aproxima al equilibrio se liberan los esfuerzos y la superficie alcanza un CHE diferente.
3.7.4. Estructura anatómica
La estructura heterogénea de la madera está dada por los diferentes elementos celulares que
la conforman, sus formas, tamaños y el arreglo dentro de los anillos de crecimiento. En relación
con el movimiento de humedad los siguientes aspectos son importantes:
1. La participación relativa de los diferentes elementos celulares en el volumen total de una pieza
de madera; además, el arreglo en zonaciones de vasos, rayos, parénquima o fibras pueden crear
áreas con mayor susceptibilidad al movimiento de humedad. Simpson (1973a) encontró en
Quercus alba, Q. rubra y Q. falcata var. falcata que la difusión de humedad radial fue 1.9, 3.5
y 3.7 veces más rápida, respectivamente, en tejido de rayo que en prosénquima.
2. Los vasos en latifoliadas están dispuestos normalmente en dirección longitudinal y junto con
los lúmenes de fibras constituyen la vía más fácil para el movimiento de vapor de agua (Siau,
1984).
25
3. Las puntuaciones y perforaciones en la pared celular que interconectan los espacios vacíos, el
tamaño relativo de los mismos, la alineación en las direcciones estructurales y la presencia de
extractivos y/o tilosis afectan el movimiento de vapor de agua. En latifoliadas se dificulta el
movimiento porque los poros de membrana de puntuación no existen o tienen un diámetro
reducido, mientras que en coníferas se presentan puntuaciones aspiradas (Panshin y de Zeeuw,
1980; Siau, 1984).
Skaar (1958) encontró en Fagus grandifolia un coeficiente de difusión radial superior que
el coeficiente tangencial, atribuyendo la diferencia al efecto del tejido de rayo que representa el
20 % del volumen total de la madera en esta especie.
Stamm y Nelson (1961) determinaron en Pinus taeda a desorción desde PSF a condición
seca que el coeficiente de difusión radial fue 1.55 veces superior al coeficiente tangencial.
Explican el resultado con la contribución de los rayos en el movimiento radial, la desalineación
de las fibras en dirección tangencial, una mayor concentración de puntuaciones sobre las caras
radiales y el efecto de los anillos de crecimiento.
Choong y Fogg (1968) analizaron el efecto de la dirección estructural en Quercus sp,
Liquidambar styraciflua, Liriodendron tulipifera, Pinus sp, Juniperus virginiana, y Sequoia
sempervirens. Señalan que la alineación longitudinal de los elementos celulares es la responsable
del coeficiente de difusión longitudinal mayor que los coeficientes transversales, mientras que el
tejido de rayo y la menor cantidad de pared celular discontinua como causas de la mayor facilidad
de movimiento de humedad en dirección radial que en tangencial.
3.7.5. Densidad de la madera
La densidad de la pared celular seca varía dependiendo del fluido utilizado en la
determinación, sin embargo, puede considerarse constante con un valor de 1.53 gr/cm3 (Siau,
1984). De esta manera, la densidad en una pieza de madera depende solo del espesor de pared
celular.
Choong (1963) encontró que el coeficiente de difusión disminuye con un aumento en la
densidad y que el efecto es independiente de la dirección de difusión. Una densidad alta
proporciona mayor cantidad de pared celular para la difusión del agua de enlace y dado que su
velocidad de movimiento es inferior a la difusión de vapor de agua, disminuye la velocidad de
movimiento total de humedad y el coeficiente de difusión.
26
Yao (1966) analizó la disminución del coeficiente de difusión con el aumento en densidad
de la madera partir de una ecuación que sirve para convertir valores de coeficiente de difusión de
una densidad a otra.
Wang y Cho (1994) encontraron una relación altamente significativa entre el coeficiente de
difusión y la densidad en piezas de 2 cm de espesor. Interpretan que al reducirse el espacio vacío
en una pieza de madera, el arreglo de los lúmenes debe ser el factor crítico para el movimiento de
humedad en cualquier dirección estructural.
3.7.6. Emisión superficial
La velocidad de secado de la madera puede expresarse con dos factores: la resistencia
interna que depende del espesor de la pieza y el coeficiente de difusión, y la resistencia externa
expresada como un coeficiente de emisión superficial que depende de las condiciones de flujo
superficial de humedad y la velocidad del aire (Choong y Skaar, 1969). En piezas delgadas como
la chapa, la velocidad de secado es controlada por el coeficiente de emisión superficial, S.
Cuando aumenta el espesor de la pieza y la velocidad del aire es adecuada, el coeficiente de
difusión es más importante y puede controlar la velocidad de secado (Skaar, 1954).
Durante la sorpción la superficie de la madera queda expuesta primero al cambio de
humedad relativa y el contenido de humedad próximo a la superficie será diferente al resto de la
pieza. Para mantener el equilibrio con la humedad relativa del aire, el gradiente de humedad entre
la superficie de la madera y el aire para adsorción esta dado por (Honorato, 1994):
)( seq CCSdxdCD −= (14)
y para desorción:
)( eqs CCSdxdCD −= (15)
donde D(dC/dx) = F, flujo de humedad superficial o evaporación desde la superficie como en la
ec. (2), cm3/s; Ceq = concentración de equilibrio de la superficie con la humedad relativa del aire,
g/cm3; Cs = concentración de humedad en la superficie de la madera en un momento
determinado, g/cm3; y S = coeficiente de emisión superficial, cm/s.
27
Varios autores han desarrollado métodos para separar el efecto de la resistencia interna y
resistencia externa en el movimiento de humedad en madera. Choong y Skaar (1969) evaluaron
los coeficientes de difusión y de emisión superficial a partir de un par de curvas de secado. Rosen
(1978) aplicó el método anterior y encontró que el coeficiente de emisión superficial aumenta con
la velocidad del aire. Más recientemente, Liu (1989) desarrolló un procedimiento analítico para
determinar ambos coeficientes a partir de una sola curva de secado.
Choong y Skaar (1969) utilizaron la solución gráfica a la ec. de Newman para obtener
ambos coeficientes cuando se conoce la mitad del tiempo de secado de dos piezas de espesor
diferente y sujetas a condiciones idénticas de secado:
HaaDt 7.020.0
5.02 +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ (16)
donde D = coeficiente de difusión, cm2/s; t = la mitad del tiempo de secado, s; a = la mitad del
espesor, cm; y H = S/D,. La relación (Dt/a2)0.5 es el valor de (Dt/a2) cuando ha ocurrido la mitad
de la sorpción (E = 0.50). El coeficiente de difusión se calcula de (Dt/a2)0.5 = 0.2 cuando Ha, la
relación de resistencia interna a resistencia externa, se considera infinita. Cuando se reconocen la
mitad de los tiempos de secado, t1 y t2, respectivamente, en piezas de madera de espesor
diferente, a1 y a2, la ec. (16) puede resolverse como dos ecuaciones simultáneas:
1
1
2
2
21 )(2.0
at
at
aaD+
−= (17)
aa
DtH
2.0
7.0
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= (18)
En la determinación de H con la ec. (18) pueden utilizarse los correspondientes valores de
espesor y tiempo de cada pieza. El coeficiente de emisión superficial se calcula como S = HD. En
secado desde 25 % CH a 32 ºC, 40% HR y una velocidad del aire de 3.3 m/s, Choong y Skaar
(1969) obtuvieron un coeficiente de difusión calculado con la ec. (17) superior al valor aparente
de la ec. (16) con Ha infinita; el valor del coeficiente de emisión superficial varió de 9.4 a 15.2
x10-5 cm/s.
28
Rosen (1978) mostró que el efecto de la resistencia externa se reduce al aumentar la
velocidad del aire porque disminuye el espesor de la capa límite en la interfase madera-aire. En
adsorción a 97% HR y 25 ºC, el coeficiente de emisión superficial y la relación Ha aumentaron
con la velocidad del aire, mientras que el coeficiente de difusión permanece constante. Aún a
condiciones de velocidad del aire alta y piezas gruesas la resistencia superficial afecta
significativamente el secado. Rosen (1978) modificó la ec. (16) para evaluar la fracción de
resistencia total debida a la resistencia externa, Fer, como:
7.02.07.0
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
DSa
Fer (19)
Sus resultados indican que en piezas delgadas y baja velocidad del aire la resistencia al
movimiento de humedad es principalmente externa, la cual disminuye cuando la velocidad del
aire aumenta. Sin embargo, a velocidad del aire alta de 11.7 m/s todavía la resistencia externa
contribuye con más del 10% de la resistencia total a la adsorción.
A diferencia del método de Choog y Skaar (1969), el método de Liu (1989) requiere solo
datos de secado de piezas de igual espesor. La estimación del coeficiente de difusión y
coeficiente de emisión superficial se realiza con las siguientes ecuaciones (Simpson y Liu, 1991):
5.0
2
05.2701.0
04125.0
tdEdt
aD+
−= (20)
25.0 1963.04402.1
aDtDaS
−= (21)
donde los valores de t0.5 y dt/dE se obtienen de la curva de secado cuando E = 0.50.
3.7.7. Espesor de la pieza
Choong y Fogg (1968), McNamara y Hart (1971), Rosen (1978), además de Wang y Cho
(1994), encontraron un incremento lineal en coeficiente de difusión con el aumento en espesor de
la pieza de madera. Wadsö (1993) señala que si la sorpción puede describirse con la Ley de Fick
las curvas de sorpción de piezas con espesor diferente deben coincidir cuando se tiene una gráfica
de E vs (t1/2)/l, donde l = espesor de la pieza.
29
El aumento en coeficiente de difusión con el espesor se ha explicado con el fenómeno de
deformación dependiente del tiempo y la velocidad del aire insuficiente (McNamara y Hart,
1971), la cual involucra la resistencia superficial (Wang y Cho, 1994). Para un coeficiente de
difusión independiente del espesor, la reducción de la pieza a la mitad de su espesor requiere que
la misma gane o pierda humedad al doble de velocidad (McNamara y Hart, 1971); es decir, una
velocidad de sorpción inversamente proporcional al espesor.
3.7.8. Contenido de extractivos
Se conocen como extractivos de la madera una gran cantidad de compuestos que pueden
extraerse por medio de solventes, aunque en análisis químico de madera el término se restringe a
compuestos solubles en solventes orgánicos (Fengel y Wegener, 1989).
Stamm (1959) encontró en Sequoia sempervirens un coeficiente de difusión de agua de
enlace dos veces más grande que otras coníferas utilizadas en su estudio. Después de la
extracción de las sustancias solubles en agua a 35 ºC durante una semana, el valor del coeficiente
fue similar a las otras especies. Atribuyó lo anterior al efecto de abultamiento de los extractivos,
mismos que actúan como si existiera algo de humedad al inicio de las mediciones. Mackay
(1971) encontró en Ceratopetalum apetalum un coeficiente de difusión que disminuyó
ligeramente cuando la madera está más cerca de la médula del árbol. Al eliminar los extractivos
el coeficiente aumentó, con un incremento mayor cuando la extracción se realizó con metanol
respecto a la extracción con agua. Concluyó que la disminución se debe principalmente al
contenido de extractivos y no a la variación en densidad entre albura y médula.
3.7.9. Método de determinación
Los valores de los coeficientes de difusión en una madera son diferentes cuando se
obtienen bajo diferentes métodos (Comstock, 1963; Biggerstaff, 1965; Chen et al., 1994). Wadsö
(1993) considera que si el proceso de sorpción es controlado por la Ley de difusión de Fick, las
mediciones de sorpción deben ofrecer resultados similares a las mediciones de recipiente de
difusión. Sin embargo, debido que los métodos trabajan bajo principios diferentes, las ecuaciones
utilizadas difieren y son aproximadas por estar bajo ciertos supuestos, además de la variabilidad
inherente de la madera, los valores promedio de coeficiente de difusión son distintos.
30
3.8. Coeficientes de difusión en madera de encino
Choong y Fogg (1968) evaluaron el coeficiente de difusión seie especies, entre ellas el
encino blanco americano (Quercus sp), en los intervalos de sorpción 83-40, 00-402 y 40-83, a 38
ºC y 3.3 m/s de velocidad del aire. Hallaron diferencias significativas debido a la dirección
estructural, el espesor de las piezas e intervalos de sorpción, aunque ninguna entre albura y
duramen a pesar que difieren en permeabilidad. El coeficiente de difusión (x10-6 cm2/s) en encino
varió entre 2.1 y 8.7 en dirección longitudinal, de 0.16 a 1.15 en dirección radial y de 0.07 a 0.80
en dirección tangencial, con los coeficientes mayores en espesor de 0.50 cm y el intervalo 83-40.
Simpson (1973a) comparó coeficientes de difusión de tejido de rayo y prosénquima en
secado a 25 ºC y 45 % HR. Los coeficientes de difusión (x10-6 cm2/s) del tejido de rayo en
Quercus alba, Q. rubra, y Q. falcata fueron 2.66, 4.04 y 4.46, respectivamente, mientras que en
prosénquima fueron 1.40, 1.22 y 1.22, respectivamente.
Rosen (1974) determinó las constantes longitudinales de penetración de agua de enlace
(Pb) y de agua libre (Pf) a partir de la penetración de humedad y expansión dimensional desde 8
% CH. El valor de Pb en duramen de Quercus shumardii fue 0.61 y 18.1 (x10-4 cm2/s) a 22 y 75
ºC, respectivamente; mientras que los valores dePf fueron 2.47 y 30.23 (x10-6 cm2/s).
Simpson (1993) encontró que el coeficiente de difusión radial (x10-6 cm2/s) de Quercus
rubra incrementa con el aumento en contenido de humedad. Determinó las expresiones
Dd=1.10exp(1.15m) y Da=0.921exp(1.45m), donde Dd y Da son los coeficientes de difusión a
desorción y adsorción, respectivamente, y m = %CH/100. Además, ilustró el uso practico de las
ecuaciones anteriores en el secado de la madera previamente secada por abajo del PSF.
Chen et al. (1994) analizaron tres ecuaciones simples del estado dinámico y un
procedimiento de optimización para el cálculo de coeficientes de difusión longitudinal y
transversal, desde el PSF hasta 12 % CH en condiciones de 45 % HR, 43 ºC y 1.5 m/s de
velocidad del aire. Tomando como base el procedimiento de optimización, la ec. (8) para el
cálculo del coeficiente de difusión presentó las menores desviaciones. En duramen de encino rojo
americano (Quercus spp) los coeficientes de difusión óptimos (x10-6 cm2/s) fueron 11.13 y 3.06
en dirección longitudinal y transversal, respectivamente; mientras que en albura fueron iguales a
13.86 y 3.53.
2 El valor 00 en el intervalo 00-40 denota una condición inicial anhidra de las piezas.
31
Wang y Cho (1994) determinaron que el coeficiente de difusión (x10-7 cm2/s) de Quercus
falcata var. falcata en el intervalo 00-90 a 20 ºC, varió de 6.2 a 38.1 en dirección longitudinal, de
1.8 a 16.1 en dirección radial y de 0.7 a 11.9 en dirección tangencial. En las tres direcciones
estructurales se tuvo un incremento en el coeficiente de difusión con el aumento en espesor de la
pieza.
Simpson y Liu (1997) ajustaron una ecuación que combina el efecto del contenido de
humedad y temperatura sobre los coeficientes de difusión radiales obtenidos por Simpson (1993)
en Quercus rubra. Las expresiones obtenidas fueron D=12.9x10-6exp(-5280/T)exp(2.32m) y
D=14.8x10-6exp(-5280/T)exp(2.48m) en 1.5 y 5.1 m/s de velocidad del aire, respectivamente.
Utilizaron las ecuaciones en la predicción de las curvas de secado y los gradientes de humedad.
Kang y Hart (1997) analizaron el efecto de la temperatura sobre el coeficiente de difusión
radial en duramen de encino rojo americano (Quercus sp), a temperaturas de 32, 43, 54 y 60 ºC
en los intervalos de contenido de humedad de 43 a 10 % y de 10 a 5 %. En ambos intervalos
calcularon el coeficiente de difusión para la primera y segunda mitad de la desorción, es decir, E
≤ 0.5 y E >0.5, respectivamente. A una temperatura específica, los coeficientes de difusión de la
primera y segunda mitad de la desorción son prácticamente iguales, además que los coeficientes
son similares en ambos intervalos de contenido de humedad. El coeficiente de difusión (x10-5
cm2/s) varió de 0.077 a 2.32 en el intervalo de 43 a 10 % CH, y de 0.056 a 0.350 en el intervalo
de 10 a 5 % CH. En ambos intervalos de humedad los coeficientes de difusión incrementaron con
el aumento en la temperatura de secado.
En maderas mexicanas, Torelli y Cufar (1983) determinaron t0.5 en dirección radial de
cuarenta y tres especies tropicales en el intervalo 80-65. Con el valor medio de t0.5 de 384 y 324 h
en Quercus anglohondurensis y Q. skinnerii, respectivamente, los coeficientes de difusión
calculados con la ec. (8) son 3.21 y 3.81 (x10-7 cm2/s) en piezas con espesor de 3 cm.
3.9. Aplicación del método de diferencias finitas en la difusión de humedad
En una pieza de madera la magnitud del cambio en contenido de humedad puede obtenerse
cuando se conoce la transferencia de humedad por difusión en un período de tiempo determinado.
Se considera que la difusión instantánea de humedad en la madera está controlada por la ec. (3)
del estado dinámico, la cual puede resolverse con el método de aproximaciones de diferencias
finitas.
32
Del cálculo elemental, la derivada de una función de una variable se establece como:
xxfxxf
dxdy
x ∆−∆+
=→∆
)()(lím0
(22)
En las soluciones numéricas no puede tomarse el límite. Sin embargo, ∆x puede hacerse
muy pequeño (cercano a cero), hacer la aproximación suficientemente cercana (precisa) y que el
error no crezca al continuar el proceso (estabilidad).
Si la función f(x) y sus derivadas (Fig. 6) son valores únicos, además de funciones
continuas y finitas de x, por el teorema de Taylor se tiene (Smith, 1993):
...)('''6
)()(''2
)()(')()(32
+∆
+∆
+∆+=∆+ xfxxfxxxfxfxxf (23)
...)('''6
)()(''2
)()(')()(32
+∆
−∆
+∆−=∆− xfxxfxxxfxfxxf (24)
Fig. 6. Aproximaciones derivadas de una función en el punto P(x, f(x)).
Suponer que las derivadas son aproximadas con un procedimiento de diferencia posterior y
diferencia anterior, respectivamente; entonces se tiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∆+
∆+=
∆−∆+ ...)('''
6)()(''
2)(')()( 2
xfxxfxxfx
xfxxf (25)
33
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∆+
∆−=
∆∆−− ...)('''
6)()(''
2)(')()( 2
xfxxfxxfx
xxfxf (26)
con el lado izquierdo de las ecuaciones como las aproximaciones numéricas, f’(x) las derivadas
reales y el resto del lado derecho (entre corchetes) como el error. Se obtiene una tercera
aproximación con un procedimiento de diferencia central como:
...)('''6
)()('2
)()( 2
+∆
+=∆
∆−−∆+ xfxxfx
xxfxxf (27)
Truncando los errores involucrados en las ecuaciones anteriores, la pendiente de la tangente
en P (Fig. 6) puede aproximarse con la pendiente de la cuerda PB (ec. 25), con la pendiente AP
(ec. 26) o con la pendiente de AB (ec. 27) (Smith, 1993). Así resultan las ecuaciones o
aproximaciones de diferencias finitas.
La aplicación de las ecuaciones de diferencias finitas a la difusión de humedad consiste en
dividir la dimensión considerada (x) de una pieza de madera en n partes de igual espesor δx (x/n)
y el tiempo (t) en intervalos de tiempo δt, de forma que se obtiene una red de líneas igualmente
espaciadas que cubre la región x-t (Fig. 7). Para cada tiempo seleccionado, es razonable esperar
una aproximación numérica a la solución de la ecuación de difusión en determinado valor de x.
Fig. 7. Red dimensión-tiempo para el cálculo de concentración de humedad.
34
De esta manera la solución numérica consiste de un plano de valores de C para intervalos
de tiempo seleccionados y cierta posición de x(Fig. 7). Los valores en la red de puntos pueden
denotarse como Ci,j = C(iδx, jδt), donde cada punto representa cierta concentración de humedad,
Ci,j, con i = incremento en espesor de la pieza, x, y j = incremento en tiempo, t. Así entonces, la
ec. (3) puede aproximarse por diferencias finitas como sigue (Honorato, 1994):
( )jijijijiji CCC
xD
tCC
,1.,12,1, 2
)( +−+ +−=−
δδ (28)
donde la derivada con respecto al tiempo está en términos de una aproximación de diferencia
posterior, y la derivada respecto a la posición en términos de una diferencia central.
Resolviendo algebraicamente para Ci, j+1 se tiene la solución de diferencias finitas para la
ecuación de difusión:
( )jijijijiji CCCRCC ,1,,1,1, 2 +−+ +−+= (29)
donde R = Dδt/(δx)2.
La solución numérica inicial de C de la ec. (29) está determinada por la distribución de
contenido de humedad inicial de la pieza en t0, la cual se supone constante. Si las condiciones de
humedad alrededor de la pieza cambian, la distribución de contenido de humedad cambiará. La
aproximación a la solución de transferencia de humedad después del cambio de humedad relativa
se obtiene por evaluación de C en el primer intervalo de tiempo t1. Estos valores se utilizan para
calcular C en el siguiente intervalo de tiempo t2, y así sucesivamente. El procedimiento permite
estimar la distribución de contenido de humedad y la cantidad de humedad sorbida a diferentes
intervalos de tiempo.
Como las superficies de la madera quedan expuestas primero al cambio de humedad
relativa, el contenido de humedad próximo a las mismas será diferente al contenido de humedad
del centro de la pieza. Para mantener el equilibrio con los alrededores, el gradiente de humedad
entre la superficie de la madera y el aire está dado en adsorción por la ec. (14) y en desorción por
la ec. (15).
La aproximación de diferencias finitas de la ec. (14) en x = 0 es (Honorato, 1994):
)(2)(2,1,0,0,01,0 jjjeqjj CCRCC
xtSCC −−−+=+ δδ (30)
35
y para la ec. (15) en x = 0:
)(2)(2 ,0,0,1,01,0 eqjjjjj CCx
tSCCRCC −−−+=+ δδ (31)
En x = n se aplica la simetría C0, j+1 = Cn, j+1; y la condición necesaria para la estabilidad de
las ecuaciones anteriores es:
21
)( 2 ≤x
tDδδ (32)
Por último, la cantidad de humedad adsorbida o desorbida en el tiempo t = j puede
obtenerse integrando la concentración de humedad dentro de la madera:
∑=
=n
ijij CCH
0, (33)
Diferentes autores (Moschler y Martin, 1968; Kawai et al., 1978a, 1978b; Nadler et al.,
1985; Simpson y Liu, 1991, 1997; Simpson, 1993; Chen et al., 1996; Lu y Leicester, 1997) han
utilizado ecuaciones de diferencias finitas para estimar las curvas de sorpción y los gradientes de
humedad; utilizando un coeficiente de difusión constante o variable con el contenido de humedad
y un coeficiente de emisión superficial generalmente constante.
El análisis de difusión puede aplicarse por arriba del PSF bajo dos consideraciones
(Simpson y Liu, 1997): primera, la velocidad de secado es proporcional al gradiente de humedad,
sin hacer diferencia entre mecanismos de movimiento de humedad y obtener un coeficiente
interno de transferencia de humedad; y segunda, el secado está controlado por la difusión en las
fibras con contenido de humedad abajo del PSF y no por el movimiento capilar del interior de la
pieza. Diferentes autores (Nadler et al., 1985; Cunningham et al., 1989; El Kouali y Vergnaud,
1991; Mounji et al., 1991; Chen et al., 1996) han utilizado un coeficiente de difusión variable con
el contenido de humedad entre la condición seca y PSF, y un valor constante igual al valor
correspondiente al PSF cuando el contenido de humedad es mayor.
36
3.10. Descripción anatómica de la madera de las especies utilizadas
Quercus durifolia Seem (Fagaceae)
Subgénero Erythrobalanus (encinos rojos)
La madera tiene un color rosa o castaño muy pálido en albura, y castaño rojizo que
contrasta con el tono rojo débil de los rayos poliseriados, o castaño con vetas oscuras en duramen.
No presenta olor, sabor ligeramente amargo, brillo medio, veteado pronunciado y jaspeado en
cara radial, textura gruesa debido principalmente a los rayos poliseriados e hilo recto. Vasos con
distribución circular o semicircular, solitarios formando una banda de un poro en la madera
temprana y como hileras radiales en la madera tardía; las puntuaciones son areoladas alternas y
placa perforada simple. En el duramen algunos vasos están obstruidos por tílides. El parénquima
es de tipo vasicéntrico, reticulado y en bandas de una a tres células, siempre de color blanco. Los
rayos uniseriados y poliseriados son homogéneos; los segundos visibles a simple vista, longitud
de 5 a 40 mm en la cara tangencial y muy anchos de 362 a 400 µm. Las fibras son fibrotraqueidas
y libriformes, estas últimas más abundantes, con longitud media (1.54 a 1.60 mm), diámetro fino
a mediano (19 a 25 µm) y pared celular gruesa (6 a 8.4 µm) (Pérez, 1985; Tejeda, 1994). En
proporción relativa del volumen total, las fibras, vasos, parénquima y rayos ocupan el 50.9, 9.2,
12.8 y 27.1 %, respectivamente (Honorato, 1998). La madera es pesada, con una densidad básica
de 0.62 g/cm3 (Honorato y Fuentes, 1997).
Quercus laurina Humb. & Bonpl. (Fagaceae)
Subgénero Erythrobalanus (encinos rojos)
Albura de color rosa y duramen castaño rojizo, contrastando con los rayos poliseriados de
tono rojo débil. Sin olor ni sabor, brillo bajo, veteado pronunciado, textura gruesa debido a los
rayos poliseriados, e hilo recto. Vasos en distribución circular, solitarios formando una banda en
la madera temprana y en hileras radiales en la madera tardía; con puntuaciones areoladas alternas
y placa perforada simple. En duramen algunos vasos están obstruidos con tílides. Parénquima de
tipo vasicéntrico, reticulado y en bandas, de color blanco. Rayos uniseriados y poliseriados
homogéneos; los últimos visibles a simple vista, de 3 a 30 mm de longitud en la cara tangencial y
37
de 310 a 450 µm de ancho. Las fibras libriformes más abundantes que las fibrotraqueidas, con
longitud media (1.5 a 1.57 mm), diámetro mediano (25 µm), y pared celular gruesa (7 a 9 µm)
(Pérez 198; Honorato, 1998). En proporción relativa del volumen total, las fibras, vasos,
parénquima y rayos representan el 56.5, 11.2, 10.1 y 22.3 %, respectivamente (Honorato, 1998).
La madera es pesada, con una densidad básica de 0.60 g/cm3 (Honorato y Fuentes, 1997).
38
4. METODOLOGÍA
4.1. Mediciones de sorpción
4.1.1. Preparación de las piezas
Se utilizaron piezas libres de defectos y cepilladas manualmente de 40 mm x 40 mm x 9
mm de madera de Quercus durifolia Seem y Q. laurina Humb. & Bonpl. del estado de
Guanajuato, obtenidas de polines de 50 mm x 50 mm (Fig. 8a). La difusión de humedad se
restringió a la dimensión de espesor con la dirección estructural específica orientada en este
sentido y sellando las caras restantes con una capa de esmalte (esmalte 100 Comex®) y otra de
parafina.
Fig. 8. a) Obtención de las piezas de polines: AA' corte para obtener las piezas longitudinales, BB' corte para piezas radiales, y CC' corte para piezas tangenciales. b) Recipiente de difusión.
El sellado con esmalte se realizó cuando las piezas alcanzaron el peso anhidro a 100 ºC,
colocando nuevamente las piezas en la estufa para secado del esmalte. Inmediatamente antes del
inicio de cada condición experimental se aplicó la parafina. Previo al sellado con esmalte se
registró el peso seco y las dimensiones de las piezas, después de aplicada la parafina se registró el
peso sellado.
4.1.2. Intervalos de sorpción
Se realizaron mediciones de sorpción a temperatura de laboratorio (20±3 ºC); nueve
intervalos de sorpción en adsorción y siete intervalos a desorción. El Cuadro 2 muestra las
soluciones salinas utilizadas para mantener la condición específica de humedad relativa en los
desecadores.
39
Cuadro 2. Soluciones salinas para obtener las condiciones de humedad relativa. SOLUCIÓN H.R. (%) REFS. H.R. MEDIDA2 ( %)
Agua destilada H2O 100 3 98
Sulfato de sodio Na2SO4 93 3 92
Cloruro de amonio NH4Cl 80 2,3 80
Cloruro de calcio CaCl2.2H2O 33 1, 2, 3 58
Cloruro de litio LiCl 15 1, 2, 3 45 Refs: 1, Young (1967); 2, ASTM (1992); 3, Siau (1984). 2 Humedad relativa medida con psicrómetro.
En mediciones en adsorción, las piezas anhidras preparadas se colocaron en cada condición
de humedad relativa, es decir, en los intervalos de 00-45, 00-58, 00-80, 00-92 y 00-98. Una vez
que llegaron al equilibrio se colocaron en la condición de humedad relativa inmediata superior, es
decir, los intervalos de 45-58, 58-80, 80-92 y 92-98.
En mediciones a desorción, las piezas se acondicionaron primero a 98 % HR. Después se
colocaron en una condición de humedad relativa inferior, es decir, los intervalos de 98-92, 98-80,
98-58 y 98-45. Por último, cuando las piezas alcanzaron el equilibrio se cambiaron a la humedad
relativa inmediata inferior, es decir, los intervalos de 92-80, 80-58 y 58-45. Durante el
acondicionamiento inicial a 98 % HR se presentaron hongos sobre la superficie de las piezas.
Para eliminarlos se limpiaron las piezas, se colocaron en otro desecador y se expusieron a luz
ultravioleta por períodos de 15 min para evitar la reinfestación. Sin embargo, debido al riesgo
latente se iniciaron las mediciones a contenido de humedad inferior al correspondiente valor de
saturación.
En cada intervalo de sorpción se emplearon cuatro piezas selladas por dirección estructural,
seleccionadas al azar entre el total de piezas preparadas; en ocasiones se utilizó una pieza
adicional sin sellar para verificar CHE. Para la exposición de las piezas a una condición específica
de humedad relativa se colocaron dentro del desecador sostenidas con una malla metálica (Fig.
8b). Los desecadores se mantuvieron cerrados, abriéndolos solo para la medición de peso, espesor
y humedad relativa; mediciones hechas con balanza digital Ohaus®, micrómetro y psicrómetro de
0.001 g, 0.02 mm y 0.5 °C de aproximación, respectivamente.
En cada condición experimental, las piezas se removieron de los desecadores para medir
peso y espesor a diferentes intervalos de tiempo. Los intervalos de tiempo utilizados para las
40
mediciones fueron: a) del inicio hasta 64 h mediciones cada 4 h; b) de 64 hasta 160 h mediciones
cada 8 h; c) de 160 hasta 340 h mediciones cada 12 h; d) entre 340 y 676 h mediciones cada 24
h, y e) a partir de 676 h mediciones cada 48 h.
Las piezas se mantuvieron en los desecadores hasta que alcanzaron el CHE, es decir,
cuando no se registró cambio apreciable de peso. Se consideró tal condición cuando en tres
registros sucesivos el cambio de peso representó una variación de ±0.05 % CH durante 48 h.
4.1.3. Determinación del coeficiente de difusión
Con los valores sucesivos de peso se calculó el contenido de humedad para cada pieza con
la siguiente expresión:
1000
×−
=P
PPm st
t (34)
donde mt = contenido de humedad en el tiempo t, %; Pt = peso de la pieza en el tiempo t, g; Ps =
peso sellado de la pieza, incluye peso seco más peso del esmalte y la parafina, g; P0 = peso seco
de la pieza, g.
Para obtener mm, el contenido de humedad donde E = 0.50, se utilizó la siguiente
expresión:
2ie
immm
mm−
+= (35)
donde mi = contenido de humedad inicial de la pieza, %; me = CHE en la humedad relativa final
del intervalo de sorpción, %; y mm = contenido de humedad medio entre me y mi donde se
encuentra t0.5, %.
En el cálculo del coeficiente de difusión se empleó la ec. (8) de Crank y Park (1949), con l
= espesor de la pieza en condición seca, cm; y t0.5 = tiempo cuando ocurre mm, s. El tiempo t0.5 se
definió por interpolación directa de contenido de humedad en el intervalo de tiempo donde se
encontraba mm (Anexo 1).
41
4.1.4. Diseño experimental
En el análisis de los datos se utilizó un diseño completamente al azar en arreglo factorial,
con cuatro repeticiones por especie y dirección estructural en cada intervalo de sorpción. El
análisis de varianza se realizó con el programa Statistical Analysis System (SAS) bajo el siguiente
modelo lineal (Martínez, 1983; Steel y Torrie, 1986):
ijkijkjkikijkjiijky εαβγβγαγαβγβα +++++++= )()()()( (36)
donde: yijk = coeficiente de difusión de la i-ésima especie, j-ésima dirección estructural y k-ésimo
intervalo de sorpción; αi = efecto de la i-ésima especie; βj = efecto de la j-ésima dirección
estructural; γk = efecto del k-ésimo intervalo de sorpción; (αβ)ij = efecto de la interacción de la i-
ésima especie y j-ésima dirección estructural; (αγ)ik = efecto de la interacción de la i-ésima
especie y k-ésimo intervalo de sorpción; (βγ)jk = efecto de la interacción de la j-ésima dirección
estructural y k-ésimo intervalo de sorpción; (αβγ)ijk = efecto de la interacción de la i-ésima
especie, j-ésima dirección estructural y k-ésimo intervalo de sorpción; εijk = error experimental.
Adicionalmente, se realizaron análisis de varianza por dirección estructural y
comparaciones múltiples con la prueba de Duncan para estimar diferencias debidas a la especie y
entre intervalos de sorpción. Para las diferencias entre direcciones estructurales dentro del mismo
intervalo de sorpción se realizaron análisis de varianza con dos direcciones estructurales y la
partición de cuadrados respectiva según Steel y Torrie (1986).
4.2. Simulación con el método de diferencias finitas
Mediante un programa en lenguaje Fortran (Honorato, 1994) (Anexo 2) se utilizaron las
ecuaciones de diferencias finitas con los coeficientes de difusión y de emisión superficial
constantes para estimar las curvas de secado y los gradientes de humedad en el intervalo 98-58.
Se consideró una pieza de madera con espesor de 9 mm y tiempo total de simulación de 888 h de
secado.
En cada dirección estructural se empleó la media de coeficiente de difusión de Quercus
durifolia y Q. laurina en el intervalo 98-58. Los coeficientes de emisión superficial se calcularon
por dirección estructural y especie con la ec. (21) (Simpson y Liu, 1991), después de ajustar el
coeficiente de difusión según la expresión de Liu (1989):
42
DD 116.1'= (37)
donde D = coeficiente de difusión calculado con la ec. (8), cm2/s; y D’ = coeficiente de difusión
para utilizarlo en la ec. (21).
4.3. Isotermas de sorpción
La ecuación para la isoterma de sorpción como la predice el modelo de Hailwood y
Horrobin (1946) es de la forma:
2ChBhA
MH
−+= (38)
donde M = CHE con la presión de vapor relativa h, %; H = humedad relativa, %, con H = 100h;
A, B y C = constantes de regresión.
En el ajuste se utilizaron los CHE experimentales de los intervalos 00-983, 98-92, 98-80,
98-58 y 98-45 a desorción y 00-45, 00-58, 00-80, 00-92 y 00-98 en adsorción. En ambas
direcciones de sorpción se emplearon los CHE en las direcciones longitudinal y radial. Además,
en el ajuste se utilizaron las condiciones de 15 y 33 % HR reportadas en la literatura para las
soluciones salinas utilizadas (Cuadro 2) en lugar de 45 y 58 %, respectivamente, debido que los
CHE obtenidos en los intervalos con humedad relativa final de 45 y 58 % fueron muy bajos
(Anexo 3).
3 Los CHE en este intervalo corresponden al acondicionamiento previo a 98 % HR de las piezas que se utilizaron posteriormente en el intervalo 98-92.
43
5. RESULTADOS
5.1. Coeficientes de difusión
En el Cuadro 3 se presentan los coeficientes de difusión (media de cuatro determinaciones)
por especie, dirección de difusión e intervalo de sorpción, además de las relaciones entre
coeficientes. En el Anexo 3 se muestran los contenidos de humedad de las piezas en los
intervalos de sorpción.
Cuadro 3.Coeficiente de difusión de Quercus durifolia (Qd) y Q. laurina (Ql) en mediciones de sorpción a 20±3 °C.
Coeficiente de difusión (x10-7 cm2/s) RELACIONES INTERVALO SORPCIÓN
ESPECIE
Dl Dr Dt Dl/Dr Dl/Dt Dr/Dt
Adsorción 00-45 Qd 5.528 1.625 0.278 3.40 19.88 5.84 Ql 4.472 1.183 0.281 3.78 15.91 4.21 00-58 Qd 5.932 0.770 0.215 7.71 27.59 3.58 Ql 5.734 0.614 0.264 9.34 21.72 2.32 00-80 Qd 4.063 1.287 0.453 3.16 8.97 2.84 Ql 5.215 1.111 0.392 4.69 13.31 2.83 00-92 Qd 2.394 1.501 0.517 1.59 4.65 2.91 Ql 2.012 1.081 0.567 1.86 3.55 1.91 00-98 Qd 1.554 1.347 0.443 1.15 3.50 3.04 Ql 1.374 0.934 0.672 1.47 2.04 1.40 45-58 Qd 0.943 0.686 0.122 1.37 7.73 5.62 Ql 0.938 0.616 0.204 1.52 4.60 3.02 58-80 Qd 5.412 2.530 0.583 2.14 9.28 4.34 Ql 5.645 1.997 0.576 2.83 9.80 3.47 80-92 Qd 0.624 0.599 0.504 1.04 1.24 1.19 Ql 0.645 0.566 0.482 1.14 1.34 1.17 92-98 Qd 0.215 0.225 0.170 0.95 1.26 1.32 Ql 0.227 0.198 0.198 1.15 1.15 1.00 Desorción 98-45 Qd 2.107 2.153 1.640 0.98 1.31 1.28 Ql 2.053 1.931 1.850 1.06 1.11 1.04 98-58 Qd 2.638 2.349 1.780 1.12 1.48 1.32 Ql 2.608 2.098 2.032 1.24 1.28 1.03 98-80 Qd 2.864 2.623 2.357 1.09 1.21 1.11 Ql 3.329 2.588 2.251 1.29 1.48 1.15 98-92 Qd 3.062 3.191 2.558 0.96 1.20 1.25 Ql 3.197 3.102 2.687 1.03 1.19 1.15 92-80 Qd 2.667 2.638 1.978 1.01 1.35 1.33 Ql 2.613 2.445 2.120 1.07 1.23 1.15 80-58 Qd 4.683 3.706 2.360 1.26 1.99 1.57 Ql 4.548 3.160 2.004 1.44 2.27 1.58 58-45 Qd 0.821 0.718 0.456 1.14 1.80 1.57 Ql 0.892 0.621 0.487 1.05 1.44 1.27 Dl, Dr y Dt = coeficientes de difusión longitudinal, radial y tangencial, respectivamente.
44
El análisis de varianza (Cuadro 4)(Anexo 4) indicó diferencias altamente significativas
(P<0.01) entre coeficientes de difusión por efecto del intervalo de sorpción, la dirección de
difusión (dirección estructural de la madera) y la interacción entre ambas (AC); también un efecto
significativo (P<0.05) en la interacción especie-dirección de difusión (BC).
Cuadro 4. Análisis de varianza de los coeficientes de difusión. F. VARIACIÓN G.L. S. CUADRADOS C. MEDIO Fc Pr > F
Modelo 95 836.059 8.801 41.92 0.0001 Int. de sorpción (A) 15 343.541 22.903 109.09 0.0001 ** Especie (B) 1 0.388 0.388 1.85 0.1748 Dir. de difusión (C) 2 215.278 107.639 512.71 0.0001 ** AB 15 3.069 0.205 0.97 0.4820 AC 30 267.869 8.929 42.53 0.0001 ** BC 2 1.378 0.689 3.28 0.0390 * ABC 30 4.535 0.151 0.72 0.8603 Error 288 60.463 0.210 Total corregido 383 896.522 ** = efecto altamente significativo, * = efecto significativo
No se tuvieron diferencias en coeficiente de difusión debidas al efecto de la especie. El
efecto significativo de la interacción especie-dirección estructural sobre el coeficiente de
difusión, se manifestó únicamente en la dirección radial donde se encontró un efecto altamente
significativo debido a la especie (Anexo 5).
Los resultados de los análisis de varianza y prueba de Duncan por dirección estructural
(Anexo 5) mostraron que los valores de medias de coeficientes de difusión longitudinales
(x10-7 cm2/s) variaron de 0.215 a 5.932 en Quercus durifolia y de 0.227 a 5.734 en Q. laurina.
En ambas especies los valores mínimos se obtuvieron en el intervalo 92-98 y las medias
máximas en el intervalo 00-58.
En la dirección radial, donde se encontraron diferencias altamente significativas entre las
especies, los valores de coeficientes de difusión variaron de 0.225 a 3.706 para Quercus
durifolia y de 0.198 a 3.160 en Q. laurina, con los coeficientes de difusión ligeramente
inferiores en esta última especie. En ambas especies los coeficientes de difusión mínimos y
máximos se encontraron en los intervalos 80-58 y 92-98, respectivamente.
45
Por último, en dirección tangencial las medias de coeficiente de difusión variaron de
0.122 a 2.558 en Quercus durifolia y de 0.204 a 2.687 en Q. laurina. Las valores mínimos se
obtuvieron en el intervalo 45-58 y las medias máximas en el intervalo 98-92.
En dirección longitudinal las medias más altas de coeficiente de difusión se obtuvieron
en intervalos en adsorción, mientras que en las direcciones radial y tangencial las medias más
altas se encontraron en intervalos a desorción.
5.1.1. Intervalo de sorpción
Para distinguir las diferencias en el coeficiente de difusión entre intervalos de sorpción se
realizaron análisis de varianza y la comparación de medias con la Prueba de Duncan por
dirección estructural (Anexo 5). El Cuadro 5 muestra la comparación entre intervalos de sorpción
con igual condición inicial, condición anhidra en adsorción y 98 % HR a desorción,
respectivamente. En las direcciones radial y tangencial a desorción se encontró una disminución
en el coeficiente de difusión con la reducción en la condición de humedad relativa final del
intervalo. Para el resto de las comparaciones los resultados obtenidos no ofrecieron una tendencia
definida.
Cuadro 5. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) entre intervalos con igual condición inicial. H. R. FINAL (%) H.R.
INICIAL DIRECCIÓN
45 58 80 92 98
Longitudinal 5.000 B 5.833 A 4.639 B 2.203 C 1.464 C
00 Radial 1.404 A 0.692 C 1.199 A 1.291 A 1.140 B
Tangencial 0.279 B,C 0.231 C 0.422 A, B 0.542 A 0.557 A
Longitudinal 2.080 B 2.623 A 3.096 A 3.129 A ---- 98 Radial 2.042 C 2.223 C 2.605 B 3.146 A ---- Tangencial 1.745 D 1.906 C 2.304 B 2.622 A ---- Valores de medias en una misma línea seguidos por la misma letra no son significativamente diferentes al nivel de significancia de P = 0.05.
En el Cuadro 6 se muestran los coeficientes de difusión para comparaciones entre
intervalos de sorpción sucesivos, es decir, entre intervalos donde las piezas primero se
expusieron a una humedad relativa inicial y una vez equilibradas se cambiaron a la humedad
relativa inmediata superior en adsorción o inmediata inferior a desorción, respectivamente. En
46
general no se encontró una tendencia definida en los resultados; únicamente en dirección
tangencial a desorción se encontró que el coeficiente de difusión disminuyó con la condición
sucesivamente decreciente de humedad relativa.
Cuadro 6. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) en intervalos de sorpción sucesivos. INTERVALO DE SORPCIÓN ADSORCIÓN
00-45 45-58 58-80 80-92 92-98
Longitudinal 5.000 A 0.940 B 5.528 A 0.634 B 0.221 B Radial 1.404 B 0.651 C 2.263 A 0.582 C 0.211 D Tangencial 0.279 B 0.163 B 0.579 A 0.493 A 0.184 B
DESORCIÓN 98-92 92-80 80-58 58-45 ---
Longitudinal 3.129 B 2.640 B 4.615 A 0.856 C --- Radial 3.146 B 2.541 C 3.433 A 0.670 D --- Tangencial 2.622 A 2.049 B 2.182 B 0.471 C --- Valores de medias en una misma línea seguidos por la misma letra no son significativamente diferentes al nivel de significancia de P = 0.05.
En las comparaciones entre intervalos de sorpción con igual amplitud de humedad
relativa (Cuadro 7), para encontrar diferencias entre intervalos debido a la dirección de
sorpción, resultó que en las direcciones radial, tangencial y dirección longitudinal a humedad
relativa alta, los coeficientes de difusión a desorción fueron mayores que en adsorción. Solo en
dirección longitudinal a humedad relativa baja los coeficientes de difusión en adsorción
parecen ser superiores que a desorción.
Cuadro 7. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) en intervalos de sorpción con igual amplitud. INTERVALO DE SORPCIÓN DIREC.
45-58 58-45 58-80 80-58 80-92 92-80 92-98 98-92
Longitudinal 0.940 A 0.856 A 5.528 A 4.615 B 0.634 B 2.640 A 0.221 B 3.129 A Radial 0.651 A 0.670 A 2.263 B 3.433 A 0.582 B 2.541 A 0.211 B 3.146 A Tangencial 0.163 B 0.471 A 0.579 B 2.182 A 0.493 B 2.049 A 0.184 B 2.622 A Valores de medias en un mismo recuadro y la misma línea seguidos por la misma letra no son significativamente diferentes al nivel de significancia de P = 0.05.
47
Por último, con relación a la dirección de aproximación al equilibrio o intervalos de
sorpción con igual humedad relativa final, en las direcciones radial y tangencial los
coeficientes de difusión a desorción fueron superiores que en adsorción; mientras que en
dirección longitudinal, con excepción en 92 % de humedad relativa final, los coeficientes de
difusión en adsorción fueron mayores que a desorción (Cuadro 8).
Cuadro 8. Coeficientes de difusión (x10-7 cm2/s) en intervalos de sorpción con igual humedad relativa final.
INTERVALO DE SORPCIÓN DIREC.
00-45 98-45 00-58 98-58 00-80 98-80 00-92 98-92
Longitudinal 5.000 A 2.080 B 5.833 A 2.623 B 4.639 A 3.096 B 2.203 B 3.129 A Radial 1.404 B 2.042 A 0.692 B 2.223 A 1.199 B 2.605 A 1.291 B 3.146 A Tangencial 0.279 B 1.745 A 0.231 B 1.906 A 0.422 B 2.304 A 0.542 B 2.622 A Valores de medias en un mismo recuadro y la misma línea seguidos por la misma letra no son significativamente diferentes al nivel de significancia de P = 0.05.
5.1.2. Dirección estructural
Los resultados del análisis de varianza (Cuadro 4) mostraron que la magnitud del
coeficiente de difusión por dirección estructural depende de la especie de madera y del intervalo
de sorpción. El efecto de la especie se encontró únicamente en la dirección radial de difusión,
donde los coeficientes de difusión de Quercus durifolia fueron ligeramente superiores que los
coeficientes de Q. laurina.
En el Cuadro 3 se presentaron las relaciones entre coeficientes de difusión (Dl/Dr, Dl/Dt, y
Dr/Dt), que representan las diferencias numéricas en coeficiente de difusión entre direcciones
estructurales en un mismo intervalo de sorpción, más no las diferencias en términos estadísticos.
Para distinguir estas últimas, se realizaron análisis de varianza con dos direcciones estructurales
(Anexo 6) para realizar la partición de cuadrados según Steel y Torrie (1986) (Cuadro 9).
Cada suma de cuadrados en las comparaciones siguientes tiene un solo grado de libertad,
donde la suma de cuadrados total es igual a la suma de cuadrados de la dirección de difusión (C)
más la suma de cuadrados de la interacción intervalo de sorpción-dirección de difusión (AC) del
respectivo análisis de varianza. En cada partición se tienen 16 grados de libertad para
comparación de coeficiente de difusión por dirección de difusión, mientras que solo existen 15
grados entre medias de intervalos de sorpción. Estas pruebas F son en esencia comparaciones
48
basadas en la diferencia mínima significativa y orientadas por los resultados de otra prueba de
significancia (Steel y Torrie, 1986).
Cuadro 9. Partición de la suma de cuadrados para comparación de coeficientes de difusión entre direcciones estructurales en los intervalos de sorpción.
F. VARIACIÓN G.L. S. C. LONG-RAD S. C. LONG-TANG S. C. RAD-TANG Modelo 63 617.145 707.201 239.734 Int. de sorpción (A) 15 349.960 268.568 202.489 Dir. de difusión (C) 1 94.172 206.858 21.887 AC 15 164.175 225.112 11.946 Adsorción 00-45 1 51.732 ** 89.142 ** 5.060 ** 00-58 1 105.730 ** 125.177 ** 0.820 ** 00-80 1 47.334 ** 71.115 ** 2.412 ** 00-92 1 3.327 ** 11.340 ** 2.243 ** 00-98 1 0.417 3.285 ** 1.360 ** 45-58 1 0.336 2.418 ** 0.951 ** 58-80 1 42.651 ** 97.990 ** 11.345 ** 80-92 1 0.011 0.070 0.032 92-98 1 0.0004 0.005 0.003 Desorción 98-45 1 0.005 0.450 0.354 ** 98-58 1 0.637 2.052 ** 0.402 ** 98-80 1 0.966 2.513 ** 0.363 ** 98-92 1 0.001 1.029 ** 1.098 ** 92-80 1 0.034 1.398 ** 0.995 ** 80-58 1 5.592 ** 23.690 ** 6.262 ** 58-45 1 0.022 0.592 0.384 ** Total S. C. 16 258.795 432.266 34.084 Error 192 58.437 55.793 6.696 ** = diferencias altamente significativas
Entre las direcciones longitudinal y radial las diferencias en coeficiente de difusión fueron
altamente significativas (P<0.01) en los intervalos de sorpción 00-45, 00-58, 00-80, 00-92 y
58-80 en adsorción, además en 80-58 a desorción. Con excepción en este ultimo, en los intervalos
49
a desorción no se encontraron diferencias entre los coeficentes de difusión longitudinal y radial
dentro de un mismo intervalo de sorpción. Entre las direcciones longitudinal y tangencial las
diferencias fueron altamente significativas en la mayoría de los intervalos, con excepciones en
80-92 y 92-98 en adsorción, además de 98-45 y 58-45 a desorción. Por su parte, entre las
direcciones radial y tangencial únicamente en los intervalos 80-92 y 92-98 en adsorción no hubo
diferencias altamente significativas como en el resto de los intervalos. De los resultados
anteriores, destaca el hecho que en los intervalos 80-92 y 92-98 en adsorción no se encontraron
diferencias en coeficiente de difusión entre las direcciones estructurales.
Se tiene entonces que la mayoría de los valores de las relaciones Dl/Dr, Dl/Dt y Dr/Dt
representan diferencias reales en coeficiente de difusión entre las direcciones de difusión. Los
valores medios de Dl/Dr, Dl/Dt y Dr/Dt fueron 2.79, 8.75 y 2.94, respectivamente, en los
intervalos en adsorción y de 1.12, 1.37 y 1.31 en intervalos a desorción; es decir, las
diferencias en coeficiente de difusión entre direcciones de difusión son en general menores en
los intervalos a desorción.
5.2. Simulación con el método de diferencias finitas
5.2.1. Simulación de las curvas de secado
En el Cuadro 10 se muestran los datos experimentales del intervalo 98-58 usados en la
simulación con el método de diferencias finitas. Las comparaciones entre las curvas
experimentales y las simulaciones se hicieron en la dirección longitudinal (Figs. 9 y 10), radial
(Figs. 11 y 12) y tangencial (Figs. 13 y 14).
Cuadro 10. Datos experimentales del intervalo 98-58 usados con el método de diferencias finitas. ESPECIE DIR. D ( desv.std.) S m i (%) m f (%) m m ( %) t 0.5 (h)
Q. durifolia Long. 2.638 (0.189) 1.860 25.70 7.30 16.50 44.00
Q. laurina Long. 2.608 (0.409) 1.845 24.78 7.09 15.93 44.23
Q. durifolia Radial 2.349 (0.294) 1.631 24.25 7.30 15.77 50.97
Q. laurina Radial 2.098 (0.130) 1.524 23.55 6.88 15.21 52.06
Q. durifolia Tang. 1.780 (0.164) 1.263 24.03 7.45 15.74 64.04
Q. laurina Tang. 2.032 (0.046) 1.470 24.45 7.07 15.76 54.21 D (desv. std.) = coeficiente de difusión(desviación estándar), x10-7 cm2/s; S, x10-5 cm/s.
50
Fig. 9. Curvas de secado de Quercus durifolia en dirección longitudinal en el intervalo 98-58.
Fig. 10. Curvas de secado de Quercus laurina en dirección longitudinal en el intervalo 98-58.
51
Fig. 11. Curvas de secado de Quercus durifolia en dirección radial en el intervalo 98-58.
Fig. 12. Curvas de secado de Quercus laurina en dirección radial en el intervalo 98-58.
52
Fig. 13. Curvas de secado de Quercus durifolia en dirección tangencial en el intervalo 98-58.
Fig. 14. Curvas de secado de Quercus laurina en dirección tangencial en el intervalo 98-58.
53
Al principio del secado en todas las curvas la simulación estima contenidos de humedad
por abajo de los experimentales, las curvas coinciden alrededor de 14 % CH, después la
simulación predice contenidos de humedad arriba de los experimentales hasta 8 % CH y en
adelante ambas curvas son esencialmente iguales.
Las mayores desviaciones en contenido de humedad entre las curvas experimentales y
las simulaciones se presentaron durante las primeras 20 h de secado. En dirección longitudinal
las desviaciones más grandes fueron de hasta 3 % CH en Quercus durifolia y 2.8 % CH en Q.
laurina. En la dirección radial las mayores diferencias fueron de 3 y 2.4 % CH en Quercus
durifolia y Q. laurina, respectivamente; además, hubo desviaciones de hasta 1 % CH entre 14
y 8 % CH. Por su parte en la dirección tangencial las mayores desviaciones fueron de 2.6 %
CH en ambas especies y, al igual que en dirección radial, se presentaron diferencias de hasta 1
% CH entre 14 y 8 % CH. Con excepción en dirección longitudinal de Quercus laurina, las
desviaciones en contenido de humedad entre las curvas experimentales y las simulaciones se
encuentra ligeramente fuera de los límites del coeficiente de difusión.
5.2.2. Estimación de gradientes de humedad
Las Figs. 15, 16 y 17 muestran los gradientes de contenido de humedad en dirección
longitudinal, radial y tangencial, respectivamente. Los números que aparecen sobre cada
gradiente de humedad indican el tiempo de secado y la media de contenido de humedad de la
pieza obtenidos con la simulación.
Aún cuando no fueron determinados los gradientes experimentales para verificar la
precisión del método de diferencias finitas, la principal ventaja del método es la posibilidad
que ofrece para estimar la distribución de contenido de humedad entre el centro y la superficie
de la pieza en cualquier momento del proceso de sorpción.
En las figuras puede notarse que las superficies de las piezas no alcanzaron de inmediato
la condición de equilibrio como se supone en la ec. (8) para el cálculo de coeficiente de difusión.
Aún cuando el contenido de humedad de la superficie se aproxima rápidamente no alcanza el
CHE hasta el final del proceso de sorpción.
54
Fig. 15. Simulación de gradientes de humedad en dirección longitudinal en el intervalo 98-58.
Fig. 16. Simulación de gradientes de humedad en dirección radial en el intervalo 98-58.
55
Fig. 17. Simulación de gradientes de humedad en dirección tangencial en el intervalo 98-58.
Asimismo, puede señalarse la forma parabólica de los gradientes de humedad, con el
contenido de humedad más alto en el centro de la pieza y el más bajo en la parte cercana a la
superficie. Al comparar entre gradientes de humedad con igual contenido de humedad promedio,
el tiempo requerido para obtenerlo depende de la dirección estructural de la madera. En una
misma dirección estructural y bajo condiciones constantes de temperatura y humedad relativa, el
tiempo requerido para remover igual cantidad de humedad aumenta progresivamente al disminuir
el contenido de humedad de la pieza.
5.3. Isotermas de sorpción
Los ecuaciones obtenidas para las isotermas de sorpción de Quercus durifolia (Qd) y Q.
laurina (Ql) fueron las siguientes :
254.2510.4797.10 hhHQdM a −−
= r2 = 0.98 (39)
56
2146.2554.5504.11 hhHQlM a −−
= r2 = 0.98 (40)
2107.6999.4002.5 hhHQdM d −+
= r2 = 0.97 (41)
2467.6898.4071.5 hhHQlM d −+
= r2 = 0.97 (42)
donde Ma y Md = CHE en adsorción y desorción, respectivamente, %. En la Fig. 18 se tienen las
curvas correspondientes a las ecuaciones anteriores. Por dirección de sorpción se encontró una
buena comparación entre las especies, es decir, mostraron características de sorpción similares.
En adsorción el comportamiento fue prácticamente el mismo, con la isoterma de Quercus
laurina ligeramente inferior a Quercus durifolia. A desorción las isotermas son similares hasta
60 % HR, después la isoterma de Quercus durifolia es inferior a la isoterma de Q. laurina. En
ambas direcciones de sorpción se encontró que las isoterma de sorpción estiman contenidos de
humedad bajos a humedad relativa baja, pero principalmente en adsorción.
Fig. 18. Isotermas en adsorción (ad) y desorción (de) de Quercus durifolia (Qd) y Q. laurina (Ql) a 20±3°C.
57
Los valores de la relación de histéresis (Ma/Md) en el rango completo de humedad
relativa fueron de 0.55 y 0.84 en Quercus durifolia y Q. laurina, respectivamente, mientras
que la comparación mejoró de 60 a 100 % humedad relativa donde los valores Ma/Md fueron
de 0.99 y 0.92 en Quercus durifolia y Q. laurina, respectivamente.
58
6. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN
6.1. Coeficiente de difusión
Los coeficientes de difusión en madera de encino (Quercus spp) reportados por otros
autores (Chen et al, 1994; Choong y Fogg, 1968; Hart y Darwin, 1971; Simpson, 1973, 1993;
Simpson y Liu, 1991; Kang y Hart, 1997) están entre 0.10 y 23.2 (x10-6 cm2/s) en el rango de 20
a 60 ºC. A pesar que las condiciones experimentales no son del todo comparables, los
coeficientes de difusión de Quercus durifolia y Q. laurina obtenidos en el presente trabajo son
inferiores a los anteriores. Los coeficientes de difusión de Quercus falcata obtenidos por Wang y
Cho (1994) en piezas de 10 mm de espesor en el intervalo 00-90 a 20 ºC, fueron 10.40, 2.40 y
1.10 (x10-7 cm2/s) en dirección longitudinal, radial y tangencial, respectivamente; los cuales son
cuatro veces superiores en dirección longitudinal y dos veces superiores en dirección radial y
tangencial a los determinados en Quercus durifolia y Q. laurina en el intervalo 00-92.
Bajo las condiciones del trabajo realizado no es posible determinar las causas de la
magnitud reducida de los coeficientes de difusión calculados. Sin embargo, puede señalarse la
resistencia superficial y la temperatura de secado previo a las mediciones de sorpción como
factores que explican parcialmente la reducida magnitud de los coeficientes de difusión.
La resistencia superficial retrasa el proceso de sorpción en la madera y si no se considera
su influencia sobre el flujo superficial de humedad los coeficientes de difusión calculados son
inferiores a los valores reales (Choong, 1965; Choong y Skaar, 1969; Simpson y Liu, 1991). En
este trabajo debido que no se aplicó ninguna velocidad del aire ni se agitaron constantemente las
soluciones salinas para mejorar el flujo de humedad sobre la superficie de las piezas, el efecto de
la resistencia superficial pudo ser sustancial.
Existen resultados que indican que la temperatura de secado de las piezas previo a las
mediciones de sorpción reduce la magnitud de los coeficientes de difusión. Choong (1963)
encontró que los coeficientes de difusión de piezas secadas en estufa a 100 °C durante cuatro días
fueron 25 % inferiores a los coeficientes de piezas secadas en pentóxido de azufre durante seis
semanas. A temperaturas mayores de 100 °C se inducen reacciones termoquímicas en la madera
que provocan la disminución en higroscopicidad (Fengel y Wegener, 1989; Wang y Cho, 1994).
Las piezas utilizadas en las mediciones de sorpción se secaron en estufa a 100 °C durante al
menos 30 días, condiciones que seguramente afectaron las características de sorpción de la
59
madera, es decir, disminuyeron el CHE y la velocidad de sorpción que determina finalmente la
magnitud del coeficiente de difusión.
En relación al efecto de la especie y la dirección estructural sobre el coeficiente de
difusión, con excepción de la difusión en dirección radial, no se encontraron diferencias en
coeficiente de difusión entre las especies estudiadas. La explicación es la relativa semejanza entre
las especies utilizadas; ambas son del subgénero Erythrobalanus (encinos rojos), poseen
estructura anatómica parecida y tienen densidad básica similar. En estructura anatómica destaca
la presencia de porosidad circular, vasos con puntuaciones aereoladas y placa simple, mayor
abundancia de fibras libriformes entre los elementos celulares y la presencia de tilosis en algunos
vasos de duramen (Pérez, 1985; Tejeda, 1994). y por densidad básica se clasifican como maderas
pesadas (Honorato y Fuentes, 1997).
En cuanto a las diferencias en coeficiente de difusión entre las especies en la dirección
radial, las diferencias en proporción relativa de los elementos celulares en el volumen total de la
madera, de 5.6 % mayor en fibras y 4.8 % inferior en tejido de rayo para Quercus laurina
(Honorato, 1998), son quizá la causa de los coeficientes de difusión radiales ligeramente
inferiores en esta especie. El movimiento de humedad en dirección radial depende más de la
difusión de vapor de agua que de la difusión de agua de enlace, debido principalmente a la
participación del tejido de rayo (Skaar, 1958; Stamm y Nelson, 1961; Choong y Fogg, 1968;
Simpson, 1973). Así pues, la menor cantidad de fibras y la mayor proporción de tejido de rayo en
Q. durifolia favorecen la difusión de vapor de agua, aumentando ligeramente el flujo de humedad
y el coeficiente de difusión.
6.1.1. Intervalo de sorpción
El efecto altamente significativo del intervalo de sorpción sobre el coeficiente de difusión
se relaciona con la dirección de sorpción y la amplitud de la diferencia en humedad relativa
(McNamara y Hart, 1971).
En intervalos de sorpción con humedad relativa inicial común, para intervalos a desorción
los coeficientes de difusión radial y tangencial disminuyeron con la reducción en humedad
relativa final del intervalo. Al comparar los valores de coeficiente de difusión con el contenido de
humedad de las piezas, se tiene un incremento en el coeficiente de difusión con el aumento en
contenido de humedad promedio de la madera en los intervalos. En dirección transversal se ha
60
encontrado un incremento exponencial del coeficiente de difusión con el aumento en contenido
de humedad de la madera (Stamm, 1960b; Simpson, 1974, 1993; Simpson y Liu, 1991). Este
comportamiento a desorción se explica por la mayor movilidad de las moléculas de agua a
contenidos de humedad cercanos al PSF, donde los sitios de sorpción retienen con menos fuerza
las moléculas de agua (Stamm, 1959).
En intervalos de sorpción sucesivos, solo en difusión tangencial a desorción se encontró
un coeficiente de difusión que disminuyó con la humedad relativa final sucesivamente
decreciente. Comstock (1963) y McNamara y Hart (1971) encontraron un coeficiente de difusión
sucesivamente creciente en intervalos en adsorción y sucesivamente decreciente en intervalos a
desorción. En base a contenido de humedad la tendencia es la misma en ambas direcciones de
sorpción, es decir, un incremento en coeficiente de difusión con el aumento en contenido de
humedad de la madera. Las comparaciones realizadas se vieron afectadas por los valores de
coeficiente de difusión de los intervalos 58-80 y 80-58. Si la condición de 58 % de humedad
relativa es 33 % como lo sugiere la literatura (Young, 1967; Siau, 1984; ASTM, 1992), los
intervalos de sorpción anteriores son entonces 33-80 y 80-33, respectivamente. Es posible que
reduciendo la amplitud en estos intervalos, digamos un intervalo de sorpción intermedio, se
compruebe el resultado lógico de un coeficiente de difusión transversal que incrementa con el
aumento en contenido de humedad de la madera.
En intervalos de sorpción con igual amplitud de humedad relativa, con excepciones en
dirección longitudinal a humedad relativa baja (45 y 58 %), los coeficientes de difusión a
desorción fueron superiores que en adsorción. McNamara y Hart (1971) también lo encontraron
así, mientras que Comstock (1963) determinó en ocasiones valores más grandes en adsorción. El
resultado obtenido significa que la velocidad de sorpción es inferior en adsorción. En la dirección
radial y tangencial se debe al CHE menor que se produce en adsorción por efecto de la histéresis
y los esfuerzos de hinchamiento (Stamm, 1964; Siau, 1984), lo que reduce el gradiente de
humedad en el intervalo y, con ello, la difusión de humedad. En dirección longitudinal la difusión
de humedad ocurre principalmente como vapor de agua a bajos contenidos de humedad (Skaar,
1958), condición que se acentúa en adsorción a humedad relativa baja y que provoca una difusión
de humedad más alta que a desorción.
Por último, en comparaciones bajo el criterio de dirección de aproximación al CHE, en las
direcciones radial y tangencial los coeficientes de difusión a desorción fueron superiores que en
61
adsorción, mientras que en difusión longitudinal los coeficientes en adsorción fueron mayores
que a desorción. En adsorción las piezas de madera tienen menor contenido de humedad
promedio y dado que, en general, los coeficientes de difusión transversales incrementan con el
aumento en contenido de humedad, los coeficientes de difusión en adsorción son inferiores que a
desorción. En la dirección longitudinal la reducción en CHE en adsorción incrementa la
influencia del gradiente de presión de vapor y la participación de la difusión de vapor de agua
sobre el movimiento de humedad, que tiene como resultado una mayor velocidad de difusión en
adsorción.
6.1.2. Dirección estructural
Como en los cambios dimensionales y la resistencia mecánica, la difusión de humedad
también es anisotrópica; es decir, la magnitud del flujo de humedad y el coeficiente de difusión
dependen de la dirección de difusión o dirección estructural de la madera.
En la mayoría de los intervalos de sorpción utilizados se encontraron diferencias en
coeficiente de difusión entre las direcciones estructurales; las cuales fueron en general menores
en los intervalos a desorción. En intervalos en adsorción los valores medios de 2.79, 8.75 y 2.94
en Dl/Dr, Dl/Dt y Dr/Dt, respectivamente, indican que en promedio el coeficiente de difusión
longitudinal es casi tres veces mayor que el coeficiente radial, poco menos de nueve veces mayor
que el coeficiente tangencial, y que el coeficiente radial es tres veces mayor que el coeficiente
tangencial. Sin embargo, al considerar por separado los intervalos de sorpción sucesivos, se
reducen las diferencias en coeficiente de difusión entre las direcciones estructurales. En intervalos
a desorción los valores medios de 1.12, 1.37 y 1.31 en Dl/Dr, Dl/Dt y Dr/Dt, respectivamente,
muestran menores diferencias en coeficiente de difusión entre las direcciones estructurales, con
un coeficiente de difusión longitudinal apenas 37 % más grande que el coeficiente tangencial. De
esta manera, en la difusión de humedad el coeficiente de difusión longitudinal es superior a los
coeficientes transversales y, entre estos últimos, el coeficiente de difusión radial es mayor que el
coeficiente tangencial.
La Fig. 19 muestra las curvas de sorpción experimentales en el intervalo 00-80. En base a
contenido de humedad fraccional (E) se llega al equilibrio cuando E = 1; condición que se
alcanzó alrededor de 900 h y no se muestra en la figura. Se observa una mayor velocidad de
sorpción en dirección longitudinal, menor en dirección radial y aún más reducida en dirección
62
tangencial. Cuando el tiempo t0.5 requerido para alcanzar la condición donde E = 0.50 es pequeño
como en dirección longitudinal, se tiene un coeficiente de difusión mayor según se establece en la
ec. (8); es decir, el coeficiente de difusión es inversamente proporcional al tiempo t0.5.
Fig. 19. Curvas de sorpción experimentales del intervalo de sorpción 00-80.
La difusión diferencial de la madera entre direcciones estructurales tiene explicación en la
estructura anatómica que determina las vías de paso para los mecanismos de movimiento de
humedad. El movimiento longitudinal de humedad ocurre principalmente por los lúmenes de
fibras y los vasos, donde existe poca resistencia al flujo en forma de vapor (Choong, 1965;
Choong y Fogg, 1968). La orientación longitudinal de la mayoría de los elementos celulares que
constituyen la madera es el factor más importante para el movimiento de humedad en dirección
longitudinal.
En dirección transversal la alineación de los espacios vacíos es diferente y la humedad
tiene que cruzar mayor proporción de pared celular. La diferencia entre los coeficientes de
difusión radial y tangencial se explica por el número y naturaleza de las paredes celulares (Skaar,
1958). En dirección tangencial los rayos tienen poco efecto y es mayor el espesor de pared
celular, falta alineación de los elementos celulares y se tiene el efecto de los anillos de
crecimiento; mientras que en dirección radial la pared celular es más delgada y son menos los
cruces de pared celular, además que existe mayor concentración de puntuaciones (Skaar, 1958;
63
Stamm y Nelson, 1961; Choong y Fogg, 1968). En resumen, en la difusión radial predomina el
movimiento de vapor de agua, aunque menos que en dirección longitudinal, mientras que en
difusión tangencial se incrementa la participación del movimiento de agua de enlace, lo cual
reduce el flujo de humedad y el coeficiente de difusión.
6.2. Curvas de secado y gradientes de humedad
6.2.1. Curvas de secado
La evaluación de las ecuaciones de difusión aplicadas al movimiento de humedad en la
madera consiste en comparar las soluciones teóricas con datos experimentales de curvas de
sorpción y los gradientes de humedad. Su aplicación incluye un cierto grado de aproximación
porque la ecuación de difusión fue derivada con base en ciertas condiciones ideales. Además,
factores inherentes a la madera (estructura heterogénea, energía de activación variable, esfuerzos
dependientes del tiempo, etc.) y la violación de las condiciones iniciales y límite afectan la
comparación entre los datos teóricos y experimentales (Moschler y Martin, 1968).
En las tres direcciones estructurales la simulación subestima los resultados experimentales
de contenido de humedad cuando E < 0.5, coinciden alrededor de E = 0.5 y sobrestima el
contenido de humedad cuando E > 0.5. Las curvas no coinciden cerradamente porque la
simulación supone coeficientes de difusión y de emisión superficial constantes. En general, con el
método de diferencias finitas se obtuvo una adecuada comparación entre las curvas de secado
entre las curvas experimentales y la simulación el intervalo 98-58.
El comportamiento anterior es similar al obtenido por Chen et al. (1994) con un
coeficiente de difusión constante calculado mediante un procedimiento de optimización. Al
comparar este método con otros procedimientos para calcular el coeficiente de difusión
encontraron que la ec. (8) ofrece buenos resultados promedio de coeficiente de difusión. Así
pues, es de esperarse que ofrezca buenos resultados cuando se utiliza en la simulación de las
curvas de secado.
El suponer un coeficiente de difusión constante implica que el coeficiente de difusión es
independiente del contenido de humedad. Sin embargo, los resultados encontrados en dirección
radial y tangencial sugieren un coeficiente de difusión que incrementa con el aumento en
contenido de humedad de la pieza. Entonces, la simulación puede mejorarse con una relación
funcional entre el coeficiente de difusión y el contenido de humedad. Moschler y Martin (1968)
64
presentan relaciones funcionales entre coeficiente de difusión y contenido de humedad calculadas
con los resultados de otros investigadores.
Varios autores (Droin et al., 1988a; El Kouali et al, 1992; Mounji et al., 1991; Lu y
Leicester, 1997) han obtenido buena comparación con las curvas experimentales utilizando un
coeficiente de difusión constante. La comparación mejora al utilizar una relación lineal Chen et
al. (1996), puede hacerse también con relación exponencial obtenida por aproximaciones
sucesivas (Droin et al., 1988b; Simpson y Liu, 1991; Simpson, 1993; Honorato, 1994; Simpson y
Liu, 1997) o una relación que combina el efecto de contenido de humedad y la temperatura sobre
el coeficiente de difusión (Simpson y Liu, 1997).
6.2.2. Gradientes de humedad
Para comprobar la utilidad del método de diferencias finitas en la estimación de los
gradientes de humedad, deben obtenerse primero los gradientes mediante seccionamiento de
piezas experimentales a diferentes intervalos de tiempo. Como la evaluación de los gradientes de
humedad se realizó solo bajo el punto de vista teórico no puede establecerse si el método de
diferencias finitas ofrece buenos resultados.
Una simplificación de las ecuaciones para el estado dinámico es considerar que la
superficie de la madera obtiene inmediatamente el CHE con la humedad relativa del ambiente.
Las Figs. 16, 17 y 18 muestran que el comportamiento no es de esa manera. Sin embargo, a pesar
que el equilibrio no se alcanza de inmediato el tiempo requerido es relativamente pequeño
comparado con el tiempo total de sorpción (Moschler y Martin, 1968; Simpson, 1993), motivado
por la aproximación exponencial al equilibrio del contenido de humedad en la superficie de la
pieza (Söderström, 1996).
Respecto a la forma de los gradientes, el término parabólico no tiene el sentido estricto
para una curva que representa una función matemática específica; únicamente se utiliza para
describir la forma general de los gradientes de humedad. Con el aumento en tiempo de secado los
gradientes mantienen la forma parabólica, aunque la pendiente disminuye. Como la velocidad de
sorpción durante la sorpción es rápida al principio y disminuye gradualmente cuando se aproxima
al equilibrio, la pendiente del gradiente de humedad (dC/dx) es superior al inicio de la sorpción.
Droin et al. (1988b), El Kouali et al. (1992), además Simpson y Liu (1991) han obtenido
65
mediante diferencias finitas gradientes de humedad similares a gradientes experimentales como
los determinados por Rice y Young (1991).
La importancia de la estimación de la distribución de contenido de humedad entre el
centro y la superficie de la pieza en cualquier momento del proceso de sorpción, es que a partir
de los gradientes obtenidos es posible hacer la evaluación teórica del gradiente de
concentración de humedad (dC/dx) en cualquier punto xi de la dirección de difusión para el
cálculo directo del coeficiente de difusión. Por otro lado, el desarrollo de los gradientes de
humedad permiten entender la magnitud y distribución de los esfuerzos de secado en la madera
(Rice y Young, 1991) y, en consecuencia, los cambio dimensionales y los defectos de secado.
6.3. Isotermas de sorpción
El contenido de humedad en equilibrio de la madera depende principalmente de la
humedad relativa y la dirección de sorpción, con la isoterma a desorción superior que en
adsorción (Skaar, 1972; Siau, 1984).
La similitud de las isotermas de Quercus durifolia y Q. laurina en ambas direcciones de
sorpción indica características de sorpción similares entre las especies. En la comparación entre
adsorción y desorción, los valores de histéresis (Ma/Md) fueron de 0.55 y 0.85 en Quercus
durifolia y Q. laurina, respectivamente, en el rango completo de humedad relativa. Únicamente
en Q. laurina la relación de histéresis es similar a los valores reportados de 0.80 a 0.90 en el
intervalo de 10 a 85 % HR (Skaar, 1972; Siau, 1984; ASTM, 1992). La comparación entre las
isotermas mejoró en el intervalo de 60 a 100 % HR, donde los valores Ma/Md fueron de 0.99 y
0.92 en Quercus durifolia y Q. laurina, respectivamente.
Las isotermas en adsorción de Quercus durifolia y Q. laurina resultaron inferiores por
abajo de 70 % HR comparadas con las isotermas de latifoliadas a 25 °C obtenidas por Simpson
(1973b) y Okoh y Skaar (1980) y son muy similares a humedad relativa mayor (Fig. 20). Sin
embargo, las isotermas en adsorción no presentaron la característica forma sigmoide,
principalmente a humedad relativa baja donde los CHE son muy bajos. En las isotermas a
desorción mejoró la comparación, principalmente con la isoterma de Simpson (1973b), y son
inferiores a la isoterma de Okoh y Skaar (1980); también, la s isotermas a desorción presentan
una mayor tendencia hacia la forma sigmoide que las isotermas en adsorción (Fig. 21).
66
Fig. 20. Isotermas en adsorción de Quercus durifolia(Qd) y Q. laurina(Ql) en comparación con las de
otros autores.
Fig. 21. Isotermas a desorción de Quercus durifolia(Qd) y Q. laurina(Ql) en comparación con las de otros autores.
67
Los resultados obtenidos, particularmente en la forma de las isotermas, se deben a los
bajos CHE en 15 y 33 % HR (45 y 58 % HR en el Anexo 3) en ambas direcciones de sorpción,
pero principalmente en adsorción. La reducción observada en la higroscopicidad se explica por el
tiempo prolongado de secado (30 días o más) a 100 ºC previo a las mediciones de sorpción,
situación observada por Wang y Cho (1994). Por otra parte, no se contó con datos experimentales
intermedios entre 33 y 80 % HR que mejoren el ajuste de las curvas.
De esta manera, aún cuando se tuvieron muy buenos resultados en los ajustes por
regresión (Anexo 7), solo las isotermas en desorción de Quercus durifolia y Q. laurina pueden
considerarse como una buena relación del contenido de humedad de la madera como función de
la humedad relativa.
68
7. CONCLUSIONES
Los coeficientes de difusión de humedad en madera de Quercus durifolia Seem y Q.
laurina Humb. & Bonpl. varían con el intervalo de sorpción, la dirección estructural y la
dirección de sorpción. Entre especies difieren solo en la dirección radial de difusión.
Entre direcciones estructurales las diferencias en coeficiente de difusión varían con el
intervalo de sorpción. En las mediciones de sorpción realizadas las medias de los coeficientes de
difusión de humedad (x10-7 cm2/s) variaron de 0.215 a 5.932 en dirección longitudinal, de 0.198 a
3.706 en dirección radial y de 0.122 a 2.687 en dirección tangencial.
En las direcciones radial y tangencial los coficientes de difusión son mayores en
intervalos a desorción y en dirección longitudinal mayores en intervalo en adsorción. Además, las
diferencias en coeficiente de difusión entre direcciones estructurales son menores en los
intervalos a desorción.
Los coeficientes de difusión radial y tangencial a desorción incrementan con el aumento
en contenido de humedad promedio de la madera en el intervalo de sorpción. En dirección
longitudinal no se encontró una tendencia definida.
El método de diferencias finitas con coeficientes de difusión y emisión superficial
constantes ofrece una adecuada simulación de las curvas de secado y permite estimar los
gradientes de humedad.
En ambas especies, la isoterma a desorción son una buena relación entre el contenido de
humedad como función de la humedad relativa.
69
8. RECOMENDACIONES
En mediciones de sorpción poner especial cuidado en la preparación de las muestras, la
temperatura y el tiempo de secado de las piezas y, particularmente, en el control de las
condiciones de humedad relativa, temperatura y velocidad del aire
Ampliar las investigaciones sobre difusión de humedad en madera de las especies
mexicanas para identificar el efecto de factores como el contenido de humedad, la
temperatura, la humedad relativa y las interrelaciones entre los mismos.
Aplicar el análisis de difusión al secado de madera aserrada para el seguimiento del
contenido de humedad y el desarrollo de gradientes de humedad.
Realizar estudios para la determinación de las isotermas de sorpción en las especies de
maderas mexicanas más importantes.
70
9. LITERATURA CITADA
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76
10. ANEXOS
Anexo 1. Interpolación directa para determinar el tiempo cuando ocurre la mitad de la sorpción
(t0.5).
En las mediciones de sorpción rara vez un registro de peso coincide con el contenido de
humedad donde E = 0.5, es decir, cuando ha ocurrido la mitad de sorpción. Para identificar t0.5, el
tiempo correspondiene a E = 0.5, fue necesario interpolar entre contenidos de humedad sobre un
período de tiempo con las siguientes expresiones:
ab
ab
ttmm
V−−
= (1)
Vmm
tt maa
−−=5.0 (2)
donde V = cambio en contenido de humedad entre ta y tb, %/h; ma = contenido de humedad en ta,
%; mb = contenido de humedad en tb, %; mm = contenido de humedad donde E = 0.5, %; ta =
tiempo inferior del intervalo de tiempo, h; tb = tiempo superior en el intervalo de tiempo, h.
77
Anexo 2. Programa Fortran para la simulación de la curva de secado y perfiles de distribución de humedad (Honorato, 1994).
* ********************* * DIFUSION.FOR * ********************* * * EL PROGRAMA SIMULA LA DIFUSION DE HUMEDAD EN LA MADERA * Y EL CAMBIO DE HUMEDAD DURANTE DESORCION * * ******************************************************************** * * Parámetros: * L : LONGITUD DE LA PIEZA (cm) * NL : NUMERO DE SUBDIVISIONES LONGITUDINALES (cm) * DL : INCREMENTO LONGITUDINAL (cm) * TTOTAL : TIEMPO TOTAL DE SIMULACION (h) * DT : INCREMENTO INICIAL EN TIEMPO (h) * NTIT : NUMERO TOTAL DE INCREMENTOS DE TIEMPO * NFIT : NUMERO FINAL DE INCREMENTOS DE TIEMPO * CHI : CONTENIDO DE HUMEDAD INICIAL (%) * CHF : CONTENIDO DE HUMEDAD FINAL (%) * CD : COEFICIENTE DE DIFUSION DE LA MADERA (cm2/s) * ****************************************************************** * INTEGER T,TN,NX,NL,NTS,NTIT,NFIT REAL C(1000, 5),K,CHI,CHF,TTOTAL,TIEMPO,DT,L,CD(50,5),M(30,5),N C OPEN (1,FILE='KIN.DAT',STATUS='NEW') OPEN (2,FILE='MCAB.DAT',STATUS='NEW') WRITE(*,*) 'ESTE PROGRAMA SIMULA EL MOVIMIENTO DE AGUA EN LA' WRITE(*,*) 'MADERA DURANTE LA DESORPCION, POR LO CUAL EL' WRITE(*,*) 'CONTENIDO DE HUMEDAD INICIAL DEBE SER MAYOR' WRITE(*,*) 'QUE EL CONTENIDO DE HUMEDAD FINAL' * C Input of initial values * WRITE(*,*) 'LONGITUD DE LA PIEZA (cm)' READ (*,*) L C WRITE(*,*) 'NUMERO DE SUBDIVISIONES' READ (*,*) NL C WRITE(*,*) 'TIEMPO TOTAL DE SIMULACION ' WRITE(*,*) 'Horas' READ(*,*) HORAS
78
WRITE(*,*) 'Minutos' READ(*,*) MIN WRITE(*,*) 'Segundos' READ(*,*) SEGS C WRITE(*,*) 'CONTENIDO DE HUMEDAD INICIAL (%)' READ (*,*) CHI C WRITE(*,*) 'CONTENIDO DE HUMEDAD FINAL (%)' READ (*,*) CHF C * * Estableciendo el tamaño de la red * DL=L/NL WRITE(*,*) 'Número de Subdivisiones= ', NL * * Estableciendo el tiempo total y el número total de intervalos de tiempo * TTOTAL=HORAS*3600+MIN*60+SEGS WRITE(*,*) 'Tiempo total de simulación= ', TTOTAL NTIT=NINT(TTOTAL/10) TN=NTIT+1 * * Estableciendo la dimensión requerida * DT=10 NX=NL+1 NANS=14401 * WRITE(*,*) 'Número total de intervalos de tiempo=',TN WRITE(*,*) 'Subdivisiones (DX)=',DL K=1.631E-054 TIEMPO=0 WRITE(*,*) 'K = ',K * * Establecer la distribución inicial de contenido de humedad e iniciar arreglo * Condiciones iniciales t=0; CH=CHI 0 < x < L * DO 10 I=1,NX C(I,2)=CHI
4
El valor de 1.631x10-5 es el coeficiente de emisiòn superficial experimental en la direcciòn estructural, en este caso, direcciòn radial.
79
C(I,3)=0 CD(I,2)=2.349E-075 CD(I,3)=0 10 CONTINUE * * Imprimir condiciones iniciales * DO 20 I=1,NX WRITE(2,30) C(I,2) 20 CONTINUE 30 FORMAT(3X,22F9.4) * * Condiciones límite t > 0; CH=CHF, x=0 and x=L * C DO 60 T=1,TN C TIEMPO=FLOAT(T-1)*DT * * Calcular el coeficiente de difusión de la madera * DO 65 I=1,NX M(I,3)=(CD(I,2)*DT)/(DL*DL) 65 CONTINUE N=(K*DT)/DL * * Surperficie superior * DO 70 I=1,1 C(I,3)=C(I,2)-2*N*(C(I,2)-CHF)+2*M(I,3)*(C(I+1,2)-C(I,2)) 70 CONTINUE * * Puntos interiores * DO 80 I=2,NX-1 C(I,3)= C(I,2)+M(I,3)*(C(I-1,2)-2*(C(I,2))+C(I+1,2)) 80 CONTINUE * * Superficie inferior * DO 90 I=1,1
5
El valor de 2.349x10-7 es el coeficiente de difusiòn experimental en la direcciòn estructural específica, en este caso, direciòn radial.
80
C(NX,3)=C(I,2)-2*N*(C(I,2)-CHF)+2*M(I,3)*(C(I+1,2)-C(I,2)) 90 CONTINUE * Igualar las condiciones iniciales con las nuevas condiciones * DO 120 I=1,NX CD(I,3)=2.349E-07 TOTAL=TOTAL+C(I,3) C(I,2)=C(I,3) CD(I,2)=CD(I,3) 120 CONTINUE CH=TOTAL/NX * * Verificar la salida de resultados * IF((T.LT.NANS).AND.(MOD(T,90).EQ.0)) THEN WRITE(1,130) TIEMPO/(60*60),CH ELSE IF(MOD(T,14400).EQ.0) THEN WRITE(1,130) TIEMPO/(60*60), CH 130 FORMAT(3X,F9.4,6X,F20.4) WRITE(2,150) TIEMPO/(60*60), (C(I,2),I=1,NX) 150 FORMAT(3X,22F9.4) END IF CHI=CH TOTAL=0 60 CONTINUE * CLOSE (1,STATUS='KEEP') CLOSE (2,STATUS='KEEP') STOP END
81
Anexo 3. Resultados de coeficientes de difusión de Quercus durifolia (Qd) y Q. laurina (Ql) en mediciones de sorpción a temperatura de laboratorio (20±3 ºC).
INT. DE ESPECIE DIRECCIÓN D DESV. STD. CONTENIDO DE HUMEDAD (%) SORPCIÓN x10-7 cm2/s x10-7 cm2/s mi mm me
ADSORCIÓN 00-45 Qd Longitudinal 5.528 0.777 0.00 0.64 1.29 00-45 Qd Radial 1.625 0.530 0.00 0.68 1.36 00-45 Qd tangencial 0.278 0.004 0.00 0.27 0.54 00-45 Ql Longitudinal 4.472 0.783 .0.00 0.71 1.42 00-45 Ql Radial 1.183 0.198 0.00 0.58 1.16 00-45 Ql tangencial 0.280 0.006 0.00 0.27 0.54 00-58 Qd Longitudinal 5.932 1.167 0.00 2.21 4.43 00-58 Qd Radial 0.770 0.136 0.00 2.16 4.32 00-58 Qd tangencial 0.215 0.112 0.00 1.46 2.92 00-58 Ql Longitudinal 5.734 2.646 .0.00 2.11 4.23 00-58 Ql Radial 0.614 0.070 0.00 2.03 4.06 00-58 Ql tangencial 0.263 0.155 0.00 1.28 2.56 00-80 Qd Longitudinal 4.063 0.732 0.00 6.62 13.25 00-80 Qd Radial 1.287 0.107 0.00 6.73 13.46 00-80 Qd tangencial 0.453 0.085 0.00 6.59 13.19 00-80 Ql Longitudinal 5.215 1.112 .0.00 6.44 12.89 00-80 Ql Radial 1.111 0.227 0.00 6.42 12.85 00-80 Ql tangencial 0.392 0.078 0.00 6.30 12.60 00-92 Qd Longitudinal 2.394 0.170 0.00 10.03 20.06 00-92 Qd Radial 1.501 0.110 0.00 10.03 20.06 00-92 Qd tangencial 0.517 0.052 0.00 10.16 20.32 00-92 Ql Longitudinal 2.012 0.482 .0.00 9.71 19.42 00-92 Ql Radial 1.081 0.221 0.00 9.72 19.44 00-92 Ql tangencial 0.567 0.155 0.00 9.86 19.71 00-98 Qd Longitudinal 1.554 0.088 0.00 12.73 25.47 00-98 Qd Radial 1.347 0.061 0.00 12.79 25.59 00-98 Qd tangencial 0.443 0.085 0.00 12.90 25.81 00-98 Ql Longitudinal 1.374 0.128 .0.00 12.20 24.41 00-98 Ql Radial 0.934 0.101 0.00 12.30 24.61 00-98 Ql tangencial 0.671 0.104 0.00 12.58 25.17
82
INT. DE ESPECIE DIRECCIÓN D DESV. STD. CONTENIDO DE HUMEDAD (%) SORPCIÓN x10-7 cm2/s x10-7 cm2/s mi mm me
45-58 Qd Longitudinal 0.943 0.020 1.29 2.80 4.31 45-58 Qd Radial 0.686 0.064 1.36 2.94 4.52 45-58 Qd tangencial 0.122 0.001 0.54 1.63 2.72 45-58 Ql Longitudinal 0.938 0.092 1.42 2.88 4.35 45-58 Ql Radial 0.615 0.075 1.16 2.70 4.24 45-58 Ql tangencial 0.204 0.160 0.54 1.64 2.74 58-80 Qd Longitudinal 5.412 0.944 4.43 8.40 12.38 58-80 Qd Radial 2.530 0.289 4.32 8.34 12.36 58-80 Qd tangencial 0.583 0.181 2.92 7.76 12.61 58-80 Ql Longitudinal 5.645 2.005 4.23 8.20 12.18 58-80 Ql Radial 1.997 0.058 4.06 8.14 12.23 58-80 Ql tangencial 0.576 0.363 2.56 6.82 11.08 80-92 Qd Longitudinal 0.624 0.031 13.25 17.03 20.81 80-92 Qd Radial 0.599 0.029 13.46 17.20 20.95 80-92 Qd tangencial 0.504 0.033 13.19 17.09 20.99 80-92 Ql Longitudinal 0.645 0.046 12.89 16.61 20.34 80-92 Ql Radial 0.566 0.029 12.85 16.48 20.11 80-92 Ql tangencial 0.482 0.019 12.60 16.36 20.11 92-98 Qd Longitudinal 0.215 0.009 20.06 22.69 25.33 92-98 Qd Radial 0.225 0.011 20.06 22.54 25.03 92-98 Qd tangencial 0.170 0.007 20.32 23.00 25.69 92-98 Ql Longitudinal 0.227 0.030 19.42 21.77 24.12 92-98 Ql Radial 0.198 0.009 19.44 21.89 24.34 92-98 Ql tangencial 0.198 0.014 19.72 22.10 24.49 DESORCIÓN 98-92 Qd Longitudinal 3.062 0.181 25.24 23.38 21.83 98-92 Qd Radial 3.191 0.279 24.89 23.34 21.80 98-92 Qd tangencial 2.558 0.105 25.60 24.39 22.18 98-92 Ql Longitudinal 3.197 0.213 24.04 22.56 21.09 98-92 Ql Radial 3.102 0.312 24.29 22.72 21.15 98-92 Ql tangencial 2.687 0.087 24.47 23.00 21.53
83
INT. DE ESPECIE DIRECCIÓN D DESV. STD. CONTENIDO DE HUMEDAD (%) SORPCIÓN x10-7 cm2/s x10-7 cm2/s mi mm me
98-80 Qd Longitudinal 2.864 0.175 25.51 21.29 17.08 98-80 Qd Radial 2.623 0.310 24.13 20.67 17.22 98-80 Qd tangencial 2.357 0.125 25.76 21.54 17.33 98-80 Ql Longitudinal 3.329 0.572 24.31 20.41 16.51 98-80 Ql Radial 2.588 0.259 23.46 19.97 16.48 98-80 Ql tangencial 2.251 0.070 24.21 20.52 16.83 98-58 Qd Longitudinal 2.638 0.089 25.70 16.50 7.30 98-58 Qd Radial 2.348 0.294 24.25 15.77 7.30 98-58 Qd tangencial 1.780 0.164 24.03 15.74 7.45 98-58 Ql Longitudinal 2.608 0.409 24.78 15.93 7.09 98-58 Ql Radial 2.098 0.130 23.55 15.21 6.88 98-58 Ql tangencial 2.032 0.046 24.45 15.76 7.07 98-45 Qd Longitudinal 2.107 0.028 25.42 13.79 2.16 98-45 Qd Radial 2.153 0.075 25.51 13.90 2.28 98-45 Qd tangencial 1.640 0.121 25.75 14.77 3.80 98-45 Ql Longitudinal 2.053 0.143 24.35 13.93 2.10 98-45 Ql Radial 1.931 0.115 24.47 13.40 2.33 98-45 Ql tangencial 1.850 0.074 25.11 13.93 2.74 92-80 Qd Longitudinal 2.667 0.095 21.83 19.47 17.11 92-80 Qd Radial 2.638 0.076 21.80 19.47 17.15 92-80 Qd tangencial 1.978 0.092 22.18 19.76 17.34 92-80 Ql Longitudinal 2.613 0.072 21.09 18.90 16.71 92-80 Ql Radial 2.445 0.190 21.15 18.85 16.55 92-80 Ql tangencial 2.120 0.269 21.53 19.23 16.93 80-58 Qd Longitudinal 4.683 0.373 13.25 9.99 6.73 80-58 Qd Radial 3.706 0.503 13.46 10.19 6.92 80-58 Qd tangencial 2.360 0.337 13.19 10.36 7.54 80-58 Ql Longitudinal 4.548 0.726 12.89 9.62 6.36 80-58 Ql Radial 3.160 0.461 12.85 9.70 6.56 80-58 Ql tangencial 2.004 0.319 12.60 10.02 7.44
84
INT. DE ESPECIE DIRECCIÓN D DESV. STD. CONTENIDO DE HUMEDAD (%) SORPCIÓN x10-7 cm2/s x10-7 cm2/s mi mm me
58-45 Qd Longitudinal 0.821 0.049 7.36 5.55 3.75 58-45 Qd Radial 0.718 0.073 7.31 5.56 3.81 58-45 Qd tangencial 0.456 0.052 7.46 5.78 4.11 58-45 Ql Longitudinal 0.892 0.125 7.18 5.43 3.69 58-45 Ql Radial 0.622 0.055 6.90 5.24 3.57 58-45 Ql tangencial 0.487 0.043 7.09 5.43 3.76 Los valores de contenido de humedad son: mi = contenido de humedad inicial de la pieza, mf = CHE en la humedad relativa final del intervalo de sorpción y mm = contenido de humedad medio entre mi y mf donde se encuentra t0.5.
Anexo 4. Resultados del análisis de varianza del coeficiente de difusión y pruebas de Duncan para intervalo de sorpción y dirección estructural.
Source DF Sum Squares Mean Square F Value Pr > F Model 95 836.0593034 8.8006242 41.92 0.0001 INT. SORP (A) 15 343.5413503 22.9027567 109.09 0.0001 ESPECIE (B) 1 0.3884306 0.3884306 1.85 0.1748 DIREC (C) 2 215.2781200 107.6390600 512.71 0.0001 A*B 15 3.0694351 0.2046290 0.97 0.4820 A*C 30 267.8689792 8.9289660 42.53 0.0001 B*C 2 1.3780143 0.6890072 3.28 0.0390 A*B*C 30 4.5349738 0.1511658 0.72 0.8603 Error 288 60.4630327 0.2099411 Corrected Total 383 896.5223361 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.932558 24.89409 0.458193 1.84057031
85
Anexo 5 Resultados del análisis de varianza y pruebas de Duncan por dirección estructural. 1. Dirección longitudinal Source DF Sum Squares Mean Square F Value Pr > F Model 31 402.9339900 12.9978706 23.21 0.0001 INT. SORP (A) 15 396.9750473 26.4650032 47.25 0.0001 ESPECIE (B) 1 0.0000025 0.0000025 0.00 0.9983 AB 15 5.9589402 0.3972627 0.71 0.7696 Error 96 53.7671375 0.5600743 Corrected Total 127 456.7011275 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.882271 26.31265 0.748381 2.84418750 Duncan's Multiple Range Test for variable: D
Duncan Grouping Mean N RHREL A 5.833 8 00-57 B A 5.529 8 58-80 B C 5.000 8 00-45 C 4.639 8 00-80 C 4.616 8 80-58 D 3.130 8 98-92 D 3.097 8 98-80 E D 2.640 8 92-80 E D 2.623 8 98-58 E F 2.203 8 00-92 E F 2.080 8 98-45 G F 1.464 8 00-98 G H 0.941 8 45-58 G H 0.856 8 58-45 H 0.635 8 80-92 H 0.221 8 93-98 Duncan's Multiple Range Test for variable: D Duncan Grouping Mean N ESPECIE A 2.844 64 Qd A 2.844 64 Ql
86
2. Dirección radial Source DF Sum Squares MeanSquare F Value Pr > F Model 31 120.4386664 3.8851183 79.87 0.0001 INT. SORP (A) 15 117.7302279 7.8486819 161.35 0.0001 ESPECIE (B) 1 1.7131005 1.7131005 35.22 0.0001 AB 15 0.9953380 0.0663559 1.36 0.1811 Error 96 4.6698525 0.0486443 Corrected Total 127 125.1085189 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.962674 13.52136 0.220555 1.63115625 Duncan's Multiple Range Test for variable: D Duncan Grouping Mean N RHREL A 3.433 8 80-58 B 3.146 8 98-92 C 2.605 8 98-80 C 2.542 8 92-80 D 2.264 8 58-80 D 2.224 8 98-58 D 2.042 8 98-45 E 1.404 8 00-45 F E 1.291 8 00-92 F E 1.199 8 00-80 F 1.141 8 00-98 G 0.692 8 00-58 G 0.670 8 58-45 G 0.651 8 45-58 G 0.583 8 80-92 H 0.212 8 92-98 Duncan's Multiple Range Test for variable: D Duncan Grouping Mean N ESPECIE A 1.7468 64 Qd B 1.5155 64 Ql
87
3. Dirección tangencial Source DF Sum Squares Mean Square F Value Pr > F Model 31 97.40852699 3.14221055 148.89 0.0001 INT. SORP (A) 15 96.70505437 6.44700362 305.48 0.0001 ESPECIE (B) 1 0.05334195 0.05334195 2.53 0.1152 AB 15 0.65013068 0.04334205 2.05 0.0189 Error 96 2.02604275 0.02110461 Corrected Total 127 99.43456974 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.979624 13.88368 0.145274 1.04636719 Duncan's Multiple Range Test for variable: D Duncan Grouping Mean N RHREL A 2.6225 8 98-92 B 2.3041 8 98-80 C B 2.1820 8 80-58 C D 2.0490 8 93-80 D 1.9065 8 98-58 E 1.7449 8 98-45 F 0.5794 8 58-80 F 0.5576 8 00-98 F 0.5424 8 00-92 F 0.4931 8 80-92 F 0.4716 8 58-45 G F 0.4228 8 00-80 G H 0.2792 8 00-45 H 0.2393 8 00-58 H 0.1841 8 92-98 H 0.1634 8 45-58 Duncan's Multiple Range Test for variable: D Duncan Grouping Mean N ESPECIE A 1.0668 64 Ql A 1.0260 64 Qd
88
Anexo 6. Resultados de análisis de varianza para partición de la suma de cuadrados. 1. Longitudinal y radial Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 63 617.5451244 9.8023036 32.21 0.0001 INT. SORP(A) 15 349.9602019 23.3306801 76.66 0.0001 ESPECIE (B) 1 0.8586339 0.8586339 2.82 0.0947 DIREC (C.) 1 94.1724681 94.1724681 309.41 0.0001 AB 15 4.4216591 0.2947773 0.97 0.4901 AC 15 164.7450732 10.9830049 36.09 0.0001 BC 1 0.8544691 0.8544691 2.81 0.0955 ABC 15 2.5326191 0.1688413 0.55 0.9059 Error 192 58.4369900 0.3043593 Corrected Total 255 675.9821144 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.913552 24.65454 0.551688 2.23767188 2. Longitudinal y tangencial Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 63 707.2006211 11.2254067 38.63 0.0001 INT. SORP (A) 15 268.5679569 17.9045305 61.61 0.0001 ESPECIE (B) 1 0.0263048 0.0263048 0.09 0.7638 DIREC (C.) 1 206.8581041 206.8581041 711.86 0.0001 AB 15 2.9978310 0.1998554 0.69 0.7948 AC 15 225.1121447 15.0074763 51.64 0.0001 BC 1 0.0270397 0.0270397 0.09 0.7607 ABC 15 3.6112399 0.2407493 0.83 0.6451 Error 192 55.7931803 0.2905895 Corrected Total 255 7 62.9938013 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.926876 27.71140 0.539064 1.94527734
89
3. Radial y tangencial Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 63 239.7338012 3.8052984 109.11 0.0001 INT. SORP. (A) 15 202.4890314 13.4992688 387.08 0.0001 ESPECIE (B) 1 0.5809298 0.5809298 16.66 0.0001 DIREC (C.) 1 21.8866078 21.8866078 627.58 0.0001 AB 15 0.9868669 0.0657911 1.89 0.0266 AC 15 11.9462508 0.7964167 22.84 0.0001 BC 1 1.1855127 1.1855127 33.99 0.0001 ABC 15 0.6586018 0.0439068 1.26 0.2318 Error 192 6.6958952 0.0348745 Corrected Total 255 246.4296965 R-Square C.V. Root MSE D Mean 0.972828 13.94924 0.186747 1.33876172 Anexo 7. Indicadores de regresión obtenidos en el ajuste de las isotermas de sorpción.
ESPECIE DIR. SORPCIÓN C.M. ERROR S.C. REGRESIÓN S.C. TOTAL R2
Q. durifolia Adsorción 0.94 2020.03 2054.83 0.98
Q. laurina Adsorción 1.24 2205.61 2251.60 0.98
Q. durifolia Desorción 0.74 940.64 967.62 0.97
Q. laurina Desorción 0.73 996.24 1032.17 0.97