errores matemáticos en el área de álgebra básica que
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Universidad Nacional Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Escuela de Matemática
Errores matemáticos en el área de álgebra básica que
manifiestan estudiantes del curso Matemática Fundamental, de la carrera Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional
Trabajo Final de Graduación sometido a consideración del Tribunal Evaluador como requisito parcial para optar por el grado de Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
Estudiante: Emanuelle Parra Rodríguez Tutores: M.Sc. Marianela Alpízar Vargas Dr. Miguel Picado Alfaro Asesores: M.Sc. Jesennia Chavarría Vásquez Dr. Ronny Gamboa Araya
Campus Omar Dengo Heredia, Costa Rica
05/05/2021
i
Agradecimientos
Primeramente, agradezco a Dios por guiar mis pasos y permitirme completar este
trabajo, que sin duda es el resultado de mucho esfuerzo y dedicación.
Agradezco a todos mis familiares, por su cariño y acompañamiento en mi proceso de
formación. A mi esposa, por ser un apoyo incondicional en los buenos y los malos momentos,
por escucharme y motivarme en cada momento que lo necesité.
Le agradezco a los miembros del comité asesor, por la dedicación y las
recomendaciones brindadas, sus aportes fueron muy valiosos en el proceso.
Finalmente, agradezco a los tutores por la disposición y los aportes en el desarrollo
de la investigación; gracias por su acompañamiento en cada etapa, ya que fueron una guía
muy importante para el logro de esta meta.
ii
Tabla de contenidos
CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN Introducción .................................................................................................................... 1
1.1 Tema de investigación ...................................................................................................... 1
1.2 Problema de investigación ................................................................................................ 1
1.3 Justificación .................................................................................................................... 3
1.4 Objetivos .................................................................................................................... 8
1.4.1 Objetivo general .......................................................................................................... 8
1.4.2 Objetivos específicos .................................................................................................. 8
1.5 Antecedentes .................................................................................................................... 9
1.5.1 Causas y orígenes de errores matemáticos ................................................................. 9
1.5.2 Errores y dificultades en el aprendizaje del álgebra básica ...................................... 10
1.5.3 Los docentes de matemática en la detección de carencias, dificultades y errores en la
asignatura de matemática ................................................................................................... 15
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO Introducción .................................................................................................................. 17
2.1 Educación Matemática ................................................................................................... 17
2.1.1 Contexto de la investigación ..................................................................................... 19
2.2 Errores en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática ................................ 21
2.2.1 El error y la dificultad matemática ........................................................................... 21
2.2.2 Concepción de error como fuente de adquisición del conocimiento en matemática 23
2.2.3 Características de errores matemáticos ..................................................................... 24
2.3 El álgebra básica ............................................................................................................. 25
2.3.1 Expresiones algebraicas ............................................................................................ 27
2.4 Didáctica del álgebra básica ........................................................................................... 29
2.4.1 El docente formador de estudiantes de enseñanza de la matemática y la detección de
errores matemáticos ........................................................................................................... 31
2.4.2 Errores matemáticos y la formación de estudiantes de enseñanza de la matemática 31
2.5 Caracterización de estudios sobre errores matemáticos ................................................. 32
2.5.1 Estudios sobre errores ............................................................................................... 32
iii
2.5.2 Categorías de errores matemáticos en álgebra básica ............................................... 33
CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
Introducción .................................................................................................................. 39
3.1 Tipo de investigación ..................................................................................................... 39
3.2 Fuentes de información .................................................................................................. 40
3.2.1 Estudiantes de nuevo ingreso al curso MAC400 Matemática Fundamental ............ 40
3.2.2 Docentes que imparten el curso MAC400 Matemática Fundamental ...................... 40
3.2.3 Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública (MEP)
para la Educación General Básica y el Ciclo Diversificado (2012) .................................. 40
3.2.4 Fuentes Bibliográficas .............................................................................................. 41
3.3 Criterios para la selección de las fuentes de información .............................................. 41
3.3.1 Perfil de estudiante de nuevo ingreso al curso MAC400 Matemática Fundamental 41
3.3.2 Perfil de docente que imparte el curso MAC400 Matemática Fundamental ............ 42
3.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de la información ..................................... 42
3.4.1 Test diagnóstico ........................................................................................................ 42
3.4.2 Pruebas parciales escritas del curso MAC400 Matemática Fundamental (registro
documental) .............................................................................................................. 46
3.4.3 Entrevista .............................................................................................................. 46
3.4.3.1 Entrevista Semiestructurada .................................................................................. 47
3.5 Procedimientos para la recolección de la información ................................................... 48
3.5.1 Etapa I: Primera aplicación del test diagnóstico ....................................................... 48
3.5.2 Etapa II: Recolección de solucionarios producidos por los estudiantes del curso
MAC400 Matemática Fundamental en las pruebas parciales ordinarias ........................... 49
3.5.3 Etapa III: Segunda aplicación del test diagnóstico ................................................... 49
3.5.4 Etapa IV: Aplicación de entrevista semiestructurada a docentes ............................. 50
3.6 Categorías y unidades de análisis ................................................................................... 51
3.6.1 Errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas .......................................... 51
3.6.1.1 Errores matemáticos que se manifiestan al ingresar al curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas .......................................... 52
iv
3.6.1.2 Errores matemáticos que se manifiestan en el desarrollo del curso MAC400
Matemática Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas ...................... 53
3.6.2 Consistencia del error matemático en la simplificación de expresiones algebraicas 53
3.6.2.1. Frecuencia de los errores detectados en los instrumentos de evaluación ............. 53
3.6.2.2 Incidencia de los errores detectados, según las unidades temáticas del curso ....... 54
3.7 Análisis de Datos ............................................................................................................ 54
3.7.1 Codificación para el análisis de datos ....................................................................... 55
3.7.1.1 Sujetos y grupos ..................................................................................................... 55
3.7.1.2 Instrumentos .......................................................................................................... 56
3.7.1.3 Ítems donde no se identifican errores .................................................................... 57
3.7.1.4 Unidades temáticas ................................................................................................ 57
3.7.1.5 Clasificación de errores matemáticos en la simplificación de expresiones
algebraicas ............................................................................................................ 58
3.7.2 Etapas del análisis de datos ....................................................................................... 58
3.7.2.1 Análisis de errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400
Matemática Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas ...................... 59
3.7.2.2 Análisis de la consistencia del error matemático en la simplificación de expresiones
algebraicas ............................................................................................................ 60
CAPÍTULO IV. RESULTADOS
Introducción .................................................................................................................. 63
4.1 Errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas ............................................. 63
4.1.1 Errores matemáticos que se manifiestan al ingresar al curso MAC400 Matemática
Fundamental .............................................................................................................. 64
4.1.1.1 Errores identificados en el test 1 (Datos primarios) .............................................. 64
4.1.1.2 Clasificación general de errores matemáticos determinados en el ingreso al curso
MAC400 Matemática Fundamental (CG) ......................................................................... 79
4.1.2 Errores matemáticos manifestados en el desarrollo del curso MAC400 Matemática
Fundamental .............................................................................................................. 82
v
4.1.2.1 Errores identificados en el test 2 y en las pruebas parciales ordinarias del curso
(datos primarios) ............................................................................................................ 83
4.1.2.2 Clasificación general de errores matemáticos determinados en el desarrollo del
curso MAC400 Matemática Fundamental (CGF) ............................................................. 99
4.2 Consistencia del error matemático en la simplificación de expresiones algebraicas ... 101
4.2.1 Cuantificación de errores por instrumento y por unidad temática .......................... 101
4.2.1.1 Cuantificación de errores cometidos en el test 1 ................................................. 101
4.2.1.2 Cuantificación de errores cometidos en el test 2 ................................................. 106
4.2.1.3 Cuantificación de errores cometidos en las pruebas parciales ordinarias del curso ..
.......................................................................................................... 110
4.2.2 Análisis comparativo de frecuencias ...................................................................... 115
4.2.2.1 Análisis comparativo según el test diagnóstico ................................................... 116
4.2.2.2 Análisis comparativo según las pruebas parciales ordinarias .............................. 123
4.3 Errores matemáticos que identifica el docente en las producciones de estudiantes del
curso MAC400 Matemática Fundamental .......................................................................... 128
4.3.1 Resultados de entrevistas ....................................................................................... 128
4.3.2 Síntesis del análisis de las entrevistas ..................................................................... 137
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES
Introducción ................................................................................................................ 140
5.1 Conclusiones ................................................................................................................ 140
5.2 Limitaciones ................................................................................................................ 148
5.3 Recomendaciones ......................................................................................................... 149
5.3.1 Para la escuela de matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica ............ 149
5.3.2 Para los docentes de matemática de educación superior ........................................ 150
5.3.3 Para futuras investigaciones ................................................................................... 151
Referencias bibliográficas ................................................................................................ 153
Anexos ................................................................................................................................ 161 Anexo 1: Test diagnóstico de conocimientos en la simplificación de expresiones algebraicas,
dirigido a estudiantes de nuevo ingreso al curso MAC400 Matemática Fundamental ...... 161
vi
Anexo 2: Contenidos algebraicos considerados de los Programas de Estudio de Matemáticas:
III Ciclo de la Educación General Básica para la elaboración del test diagnóstico. .......... 172
Anexo 3: Criterios de selección de ejercicios planteados en el test diagnóstico dirigido a
estudiantes matriculados en el curso MAC400 Matemática Fundamental......................... 175
Anexo 4: Guía de entrevista semiestructurada aplicada a docentes a cargo del grupo de
estudiantes matriculados en el curso MAC400 Matemática Fundamental......................... 177
Anexo 5: Errores que se identificaron en el test 1 .............................................................. 181
Anexo 6: Errores que se identificaron en las pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso
MAC400 Matemática Fundamental ................................................................................... 203
Índice de tablas
Tabla 1 Descripción del contenido de los ítems del test diagnóstico ................................... 44
Tabla 2 Detección de errores matemáticos por ítem y por estudiante, en el test 1 ............... 65
Tabla 3 Detección de errores matemáticos por ítem y por estudiante, en el test 2 ............... 83
Tabla 4 Ítems considerados para el análisis de las pruebas parciales ordinarias del curso
MAC400 Matemática Fundamental ..................................................................................... 87
Tabla 5 Relación entre los ítems de las pruebas parciales ordinarias donde se detectaron
errores matemáticos y cada estudiante de la muestra. .......................................................... 90
Tabla 6 Frecuencia de errores cometidos en el test 1, por ítem, según la clasificación CG
............................................................................................................................................ 102
Tabla 7 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 1,
por ítem, según las unidades temáticas del curso ............................................................... 105
Tabla 8 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 2,
por ítem, según la clasificación CGF ................................................................................. 106
Tabla 9 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 2,
por ítem, según las unidades temáticas del curso ............................................................... 109
Tabla 10 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores identificados en la
primera prueba parcial ordinaria, por ítem, según la clasificación CGF. ........................... 110
Tabla 11 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores identificados en la
segunda prueba parcial ordinaria, por ítem, según la clasificación CGF ........................... 111
vii
Tabla 12 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores identificados en la
tercera prueba parcial ordinaria, por ítem, según la clasificación CGF ............................. 113
Tabla 13 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en las
pruebas parciales ordinarias del curso MAC400 Matemática Fundamental, según las
unidades temáticas involucradas en el curso ...................................................................... 114
Tabla 14 Frecuencia de datos registrados como NR y NIE en el test 1 y test 2, según los ítems
involucrados. ...................................................................................................................... 116
Tabla 15 Frecuencia absoluta y porcentual, según los errores identificados en el test 1 y test
2, bajo la clasificación CGF. .............................................................................................. 118
Tabla 16 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 1
y el test 2, según las unidades temáticas del curso relacionadas. ....................................... 121
Tabla 17 Frecuencia de datos registrados como NR y NIE en el test 1 y test 2, según los ítems
involucrados. ...................................................................................................................... 123
Tabla 18 Frecuencia absoluta y porcentual, según los errores identificados en pruebas
parciales ordinarias aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental, bajo la
clasificación CGF. .............................................................................................................. 125
Tabla 19 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en las
pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental, según
las unidades temáticas del curso relacionadas .................................................................... 127
Tabla 20 Errores matemáticos al simplificar productos de polinomios, identificados por cada
docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental .................................. 130
Tabla 21 Errores matemáticos al calcular potencias de polinomios, identificados por cada
docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental. ................................. 132
Tabla 22 Errores matemáticos al aplicar métodos de factorización, identificados por cada
docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental. ................................. 133
Tabla 23 Errores matemáticos al efectuar sumas y restas de fracciones algebraicas,
identificados por cada docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental.
............................................................................................................................................ 135
viii
Índice de figuras Figura 1. Procesamiento de los resultados de la primera aplicación del test diagnóstico y
conformación de la clasificación CG. .................................................................................. 59
Figura 2. Procesamiento de los resultados de la segunda aplicación del test diagnóstico y las
pruebas ordinarias parciales aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental, y
conformación de la clasificación CG. .................................................................................. 60
Figura 3. Esquema referente al análisis de la información en el estudio. Fuente: Elaboración
propia del investigador. ........................................................................................................ 62
Figura 4. Ilustración del error S3 cometido por el estudiante A9 en el test 1. ..................... 68
Figura 5. Ilustración del error P9 cometido por el estudiante A1 en el test 1 ...................... 68
Figura 6. Ilustración del error OE2 cometido por el estudiante C3 en el test 1. .................. 69
Figura 7. Ilustración del error AS2 cometido por el estudiante B3 en el test 1. ................... 70
Figura 8. Ilustración del error PB2 cometido por el estudiante C5 en el test 1. ................... 70
Figura 9. Ilustración del error EA3 cometido por el estudiante A7 en el test 1. .................. 71
Figura 10. Ilustración del error O2 cometido por el estudiante C3 en el test 1. ................... 71
Figura 11. Ilustración del error EFS2 cometido por el estudiante B5 en el test 1. ............... 72
Figura 12. Ilustración del error EFA1 cometido por el estudiante C6 en el test 1. .............. 73
Figura 13. Ilustración del error EFD3 cometido por el estudiante A6 en el test 1. .............. 73
Figura 14. Ilustración del error FAC1 cometido por el estudiante A4 en el test 1. .............. 74
Figura 15. Ilustración del error RP3 cometido por el estudiante C1 en el test 1. ................. 74
Figura 16. Asociación entre los tipos de errores iniciales del test 1 y las categorías de errores
propuestas por Cervantes y Martínez (2007). ....................................................................... 75
Figura 17. Asociación entre los tipos de errores iniciales del test 1 y las categorías de errores
de García (2010). .................................................................................................................. 77
Figura 18. Asociación entre las categorías de errores iniciales del test 1 y las categorías de
errores propuestas por Movshovitz-Hadar et al. (1987). ...................................................... 78
Figura 19. Ilustración de un error de la clase ET1.12 cometido por el estudiante A5 en el test
2. ........................................................................................................................................... 86
Figura 20. Ilustración un error de la clase ET1.5 cometido por el estudiante B1 en el test 2.
.............................................................................................................................................. 86
ix
Figura 21. Ilustración de un error de la clase ET1.7 cometido por el estudiante B2 en el test
2. ........................................................................................................................................... 86
Figura 22. Ilustración de un error de la clase ET1.11 cometido por el estudiante C7 en el test
2. ........................................................................................................................................... 87
Figura 23. Ilustración de un error de la clase AP4 cometido por el estudiante A8 en la primera
prueba parcial. ...................................................................................................................... 93
Figura 24. Ilustración del error OR1 cometido por el estudiante B4 en la segunda prueba
parcial. .................................................................................................................................. 94
Figura 25. Ilustración del error OR3 cometido por el estudiante C6 en la segunda prueba
parcial. .................................................................................................................................. 95
Figura 26. Ilustración del error OI2 cometido por el estudiante B2 en la segunda prueba
parcial. .................................................................................................................................. 96
Figura 27. Ilustración del error OI4 cometido por el estudiante B2 en la segunda prueba
parcial. .................................................................................................................................. 96
Figura 28. Ilustración del error OI6 cometido por el estudiante B2 en la tercera prueba parcial.
.............................................................................................................................................. 97
Figura 29. Ilustración del error OE5 cometido por el estudiante C5 en la tercera prueba
parcial. .................................................................................................................................. 98
Figura 30. Ilustración del error DV1 cometido por el estudiante C3 en la tercera prueba
parcial. .................................................................................................................................. 98
Figura 31. Ilustración del error en la clase ET1.4 cometido por el estudiante A4 en el test 2.
............................................................................................................................................ 108
Figura 32. Ilustración del error en la clase ET1.4 cometido por el estudiante A2 en el test 2.
............................................................................................................................................ 110
1
Capítulo I Planteamiento de la investigación
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se realizará una descripción general del planteamiento de la
investigación. Se incluye el tema de estudio, la delimitación del problema que dio origen al
estudio, así como las preguntas generadoras, la justificación y los objetivos.
1.1 TEMA DE INVESTIGACIÓN
El tema de esta investigación se enfoca en el estudio de errores matemáticos
manifestados por estudiantes de enseñanza de la matemática, al efectuar simplificaciones de
expresiones algebraicas.
Para un tratamiento más específico, el estudio se llevó a cabo con estudiantes
matriculados en el curso MAC400 Matemática Fundamental durante el I ciclo de 2018; dicho
curso forma parte del plan de estudios de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza
de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica.
Por otra parte, los errores matemáticos que se estudiaron corresponden a aquellos
manifestados por los estudiantes, a partir de una prueba diagnóstica y evaluaciones escritas
parciales ordinarias del curso, además de entrevistas semiestructuradas aplicadas a docentes
que impartieron el curso, durante el ciclo lectivo.
1.2 PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Entre las principales actividades que debe desarrollar un docente durante el proceso
de enseñanza-aprendizaje, se destaca la evaluación de las producciones del educando, antes,
durante y después del abordaje de cada contenido, con el fin de comprobar el logro de
objetivos y la asimilación adecuada de cada concepto (De Castro, 2012).
El estudio de errores en las producciones en matemática se ha vuelto un tema de
interés en la comunidad de docentes e investigadores en Educación Matemática, esto debido
a la pluralidad de interpretaciones que existen, los orígenes y los tratamientos que se les
puede dar a los mismos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje (Saucedo, 2007). Es
inquietante identificar en estudiantes que han tenido un excelente rendimiento académico en
2
los niveles de Educación Media, grandes dificultades y errores matemáticos graves en los
primeros niveles de la educación superior. En algunas ocasiones los motivos u orígenes de
las dificultades en matemática se atribuyen a la metodología que implementa el docente, a
una concepción errónea de ciertos temas a partir de experiencias previas, o incluso, a la
complejidad natural del contenido (Huitrado y Climent, 2013).
En este sentido, Cervantes y Martínez (2007) señalan que la detección y el estudio
del error, debe darse a partir de las producciones estudiantiles, evaluando los procedimientos
matemáticos en diversas áreas, especialmente en aritmética y álgebra.
El proceso de análisis y detección de dificultades presentes en las producciones de
los estudiantes se realiza desde la fase inicial de cada ciclo de formación. Es imprescindible
que estos procesos se lleven a cabo desde etapas muy tempranas, tomando como uno de los
componentes de análisis, el error observable que manifieste el estudiante durante su proceso
de enseñanza- aprendizaje. Es claro que, en esta etapa, el error identificable, responde a una
formación previa, y el mismo debe ser evaluado durante su evolución ante diversos contextos
(Mejía, 2004).
Los errores y las dificultades durante el proceso de enseñanza-aprendizaje en
matemática tienen un carácter natural. En estudios realizados por De Castro (2012), Ruano,
Socas y Palarea (2008), se evidencia una predominancia de errores en los desarrollos
algebraicos, donde los estudiantes llegan al punto de considerar propiedades inexistentes
como válidas y son utilizadas de manera inconsciente con total naturalidad.
Considerando la información descrita, se delimita el problema de investigación, a
partir de las siguientes cuestiones.
¿Qué errores matemáticos manifiestan los estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas, tomando como base
únicamente los conocimientos previos con los que ingresa un estudiante a la universidad?
¿Qué errores manifiestan estos estudiantes en las pruebas escritas del curso MAC400
Matemática Fundamental? ¿prevalecen estos errores en todo el curso?
Por otro lado, el docente es clave en la evaluación y la detección de las dificultades
que presenta el estudiantado, tanto en la rendición de evaluaciones escritas, como en las
3
presentaciones orales y el desenvolvimiento de los educandos (Huitrado y Climent, 2013).
Por consiguiente, surgen siguientes interrogantes.
¿Qué tipo de errores matemáticos detectan los docentes que imparten el curso
MAC400 Matemática Fundamental durante en el proceso de enseñanza-aprendizaje? ¿En qué
contenidos observan una mayor incidencia de los errores?
Aunado a lo anterior, es de gran importancia distinguir metodologías de clasificación
y caracterización de errores matemáticos manifestados en producciones estudiantiles, de
modo que surgen ciertas interrogantes que permiten dirigir el estudio en este aspecto: ¿cómo
detectar y categorizar los errores manifestados por los estudiantes de enseñanza de la
matemática al simplificar expresiones algebraicas? ¿Qué tipos de categorizaciones de errores
matemáticos existen, a partir del trabajo con expresiones algebraicas?
Estas interrogantes enmarcan el problema de investigación para este estudio, dirigido
al análisis sistemático de dificultades que manifiestan los estudiantes de enseñanza de la
matemática, a través de errores. Específicamente se pretende profundizar en aquellos errores
matemáticos de tipo algebraico, por medio de la descripción y clasificación, con el fin de
brindar información que permita potenciar el proceso de mejora en la formación inicial de
futuros profesionales en docencia matemática en Costa Rica.
1.3 JUSTIFICACIÓN
A partir del siglo XXI, se han desarrollado diversas modificaciones en materia
laboral, tecnológica, de transmisión de información y en los componentes que se encuentran
inmersos en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática; tales cambios han implicado
modificaciones en el currículo, que van desde la actualización en materia y recursos, hasta la
formación de futuros profesionales en docencia matemática (Escuela de Matemática, 2017).
Para hacerle frente a estos cambios, muchas propuestas señalan el mejoramiento de
la enseñanza y aprendizaje, donde se expandan las oportunidades educativas y se reduzcan
las brechas entre ofertas formativas y demandas del mercado de trabajo. Tal y como
argumenta la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica (2017):
El Gobierno de Costa Rica apuesta una vez más por programas de Educación
Matemática que adecuen la oferta educativa a las necesidades de inserción de la
4
población estudiantil al mercado de trabajo, sin descuidar los aspectos esenciales de la
formación para la vida en sociedad, brindando oportunidades para el desarrollo de
conocimientos, habilidades y competencias (Plan Nacional de Desarrollo 2011-2014,
Ministerio de Planificación Nacional y Política Económica, 2010) (p.10).
A partir de la demanda que hace el Gobierno de Costa Rica, se vuelve pertinente la
formulación de propuestas curriculares que se basen en el desarrollo de competencias
orientadas a la formación de docentes en matemática, donde se fomenten habilidades,
actitudes y aptitudes, desde una postura crítica e integral asociada al campo laboral,
pedagógico y didáctico. En este caso el propósito formativo sugiere una educación integral
que no se reduzca meramente a contenidos, dando énfasis en el desarrollo de competencias
que permitan vincular significativamente la matemática como ciencia básica, con el ámbito
tecnológico, sociocultural, investigativo e interdisciplinario, donde se destaque la
aplicabilidad de esta disciplina en la solución de diversos problemas (Escuela de Matemática
de la Universidad Nacional de Costa Rica, 2017).
Estas exigencias nacionales en Educación Matemática y la aprobación de los
Programas de Estudio de Matemáticas del Ministerio de Educación Pública (MEP) en el
2012, han motivado a los responsables de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza
de la Matemática que se imparte en la UNA a realizar transformaciones en cuanto al modelo
curricular y los enfoques didácticos de dicha carrera. En la Escuela de Matemática de la
Universidad Nacional de Costa Rica (2017) se menciona que ambio y
otros, es fundamental, el rediseño de programas de estudio en distintas especialidades e
implementación del diseño curricular basado en normas de competencias, para reforzar las
áreas científicas; lógicas, matemáticas y tecnoló
De este modo, durante el período comprendido entre el año 2014 y 2016 se efectúa el
Matemática con salida lateral al Profesorado - 2005 dando origen a la nueva propuesta, la
cual entra en vigor el 1 de enero del 2017, siendo MAC400 Matemática Fundamental el
primer curso del área de matemática en que se implementa este nuevo plan.
Según la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica (2017), el
plan de estudios de la carrera BLEM (2017) establece una reformulación en los programas
5
de los cursos que componen la malla curricular, tanto a nivel de contenidos, como en las
estrategias metodológicas y los ejes curriculares. Se debe destacar que se incorporaron
nuevas asignaturas y se suprimieron algunas de las establecidas en el plan terminal. Con
respecto al abordaje de los cursos a lo largo de la carrera, el plan considera una serie de
competencias que, por su naturaleza, se definen como generales y específicas, aparte de una
formación integral en la que se contemplan una serie de ejes transversales.
El curso MAC400 Matemática Fundamental es primordial en la formación de los
estudiantes de enseñanza de la matemática. En este se abordan conceptos básicos del álgebra
desde un enfoque teórico-práctico, orientados al desarrollo de capacidades primordiales para
la comprensión de contenidos avanzados y entornos a los cuales se enfrentará el futuro
profesional. En el programa oficial del curso MAC400 Matemática Fundamental 1 la Escuela
de Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica (2017) señala que:
Este curso pretende homogenizar, en los estudiantes, los conocimientos básicos en
Matemática relacionados con el álgebra básica que se enseñan a nivel de educación
secundaria, con el propósito de que adquieran las herramientas que les permitan la
comprensión de conceptos matemáticos que se abordan en los cursos siguientes (p.1).
Por sus componentes, esta asignatura posibilita la evaluación de los conocimientos
que posee el estudiante en correspondencia con la formación que ha recibido en educación
media, especialmente si trabajamos con el álgebra básica, ya que según el programa oficial
del curso MAC400 Matemática Fundamental de la carrera BLEM (I ciclo 2018), esta
asignatura se encuentra enmarcada en esta área. Entre las temáticas que se desarrollan en este
curso se encuentran los métodos de factorización, operaciones básicas (suma, resta,
multiplicación y división) con polinomios y fracciones algebraicas, ecuaciones e
inecuaciones de grado mayor e igual que uno, ecuaciones e inecuaciones de tipo
fraccionarias, radicales y con valor absoluto, al igual que sistemas de ecuaciones e
inecuaciones. Por lo que se vuelven contenidos clave para el diagnóstico, la detección y el
tratamiento de errores en la simplificación de expresiones algebraicas.
1 Programa oficial del curso para el I ciclo de 2018 que se establece a partir del Plan de Estudios de la
carrera BLEM (2017)
6
Engler et al. (2004)
matemáticos aparecen sistemáticamente errores y, por eso, dicho proceso deberá incluir
criterios de diagnóstico, corrección y superación mediante actividades que promuevan el
Cabe destacar que el estudio de errores tiene un carácter que posibilita la extensión
investigativa, donde el campo de estudio sigue mostrando ciertas variables desconocidas que
no pueden ser controladas ni prestablecidas (Huitrado y Climent, 2013). Aunque se han
realizado múltiples investigaciones en la detección, categorización e interpretación de
errores matemáticos, así como los motivos que subyacen el razonamiento empleado por
estudiantes desde niveles básicos en las carreras de ingeniería, o escolarización
preuniversitaria, son escasos los estudios de errores matemáticos enfocados en estudiantes
de enseñanza de la matemática, donde posiblemente el componente disciplinar del área tendrá
mayor profundidad e intensidad que la de un estudiante que recibe un curso que involucra la
matemática como componente de servicio instrumental.
Durante su inserción a la carrera, el estudiante de enseñanza de la matemática convive
gradualmente en un contexto ajeno al de su proceso de escolarización previa, donde se
vuelven necesarias las justificaciones, validaciones y argumentaciones de los procesos
llevados a cabo, se le exige un razonamiento mayormente abstracto a la hora de enfrentar un
problema, por lo que la formación recibida a nivel de secundaria pierde cierta objetividad y
en ocasiones, es concebida de manera distinta, principalmente ante componentes algebraicos
(Olmedo et al., 2015).
A partir de los componentes y las necesidades mencionadas anteriormente, así como
el componente de álgebra básica que predomina en el curso curso MAC400 Matemática
Fundamental, se enmarca el propósito de la investigación, que tiene como finalidad el estudio
de errores matemáticos comunes en la simplificación de expresiones algebraicas que
manifiestan los estudiantes matriculados en esta asignatura.
Es importante destacar que la información que sea recabada de la investigación
contribuye de manera significativa con el proceso de enseñanza-aprendizaje del estudiantado
que se inicia en el estudio del álgebra básica. Según Saucedo (2007), la identificación de
errores que manifiestan los discentes posibilita la generación de herramientas metodológicas
7
para su tratamiento en correspondencia con las dificultades mostradas y la organización de
estrategias curriculares remediales que aseguren la prevención y corrección de errores
identificados. Se destacan la evaluación diagnóstica sobre la tendencia de errores
persistentes, la planificación de la enseñanza en función de evidenciar los errores
categorizados, el análisis cualitativo de errores a través de entrevistas semiestructuradas
donde el estudiante se enfrenta a tareas algebraicas, así como la confección de inventarios de
errores clasificados por unidades temáticas para reforzar aquellas donde haya mayor
incidencia de errores.
Aunado a lo anterior, este tipo de estudios, aparte de proporcionar evidencias de la
forma en que los estudiantes enfrentan distintas tareas algebraicas, promueve el desarrollo de
una postura reflexiva y crítica en la superación de dificultades durante su proceso de
formación, de modo que contribuye con el proceso de autorregulación del aprendizaje.
8
1.4 OBJETIVOS
El problema planteado para esta investigación conlleva al establecimiento de
objetivos en correspondencia con el foco de estudio. A continuación, se enuncian el objetivo
general y los objetivos específicos de la investigación.
1.4.1 Objetivo general
Analizar los errores matemáticos manifestados por estudiantes del curso MAC400
Matemática Fundamental, de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la
Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica, cuando resuelven tareas que
involucran la simplificación de expresiones algebraicas durante el año académico 2018, para
el establecimiento de indicadores de interpretación y previsión de errores matemáticos.
1.4.2 Objetivos específicos
Identificar los errores matemáticos mostrados por estudiantes del curso MAC400
Matemática Fundamental cuando simplifican expresiones algebraicas en la resolución de
diversas tareas.
Describir los errores matemáticos asociados a la simplificación de expresiones algebraicas
que identifica el profesorado de la asignatura en las producciones de los estudiantes
durante el curso MAC400 Matemática Fundamental durante el año académico 2018.
Categorizar los errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400
Matemática Fundamental cuando simplifican expresiones algebraicas.
Establecer indicadores de consistencia de los errores matemáticos manifestados por
estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental, en la resolución de tareas sobre
simplificación de expresiones algebraicas durante el año académico 2018.
9
1.5 ANTECEDENTES
En este apartado se expone la revisión literaria relevante para analizar y sintetizar
resultados obtenidos en trabajos previos sobre el tema en estudio. Esta revisión permitirá
tomar un mayor posicionamiento del tema, de modo que se generen esquemas metodológicos
para la detección y el tratamiento de errores, según el planteamiento del estudio y el contraste
con otros que estén asociados.
1.5.1 Causas y orígenes de errores matemáticos
El análisis de errores y dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje se
presenta como un componente muy valioso desde un enfoque didáctico, debido a que el error
forma parte del proceso de construcción y formalización ante nuevos conceptos, aunque
muchas veces suelen concebirse de manera perjudicial o como indicador de una debilidad en
el proceso de formación (Vega, Molina y Castro, 2012).
Autores como Booth (1988), Brousseau, Davis y Werner (1986), Astolfi (1999) y
Abrate, Pochulu y Vargas (2006) revelaron a través de diversos estudios que algunos errores
están vinculados a concepciones inadecuadas de aspectos fundamentales de la matemática,
creencias, actitudes y rigidez del pensamiento. Estos autores convergen en la idea de que los
estudiantes poseen concepciones alternativas hacia la disciplina que se asocian directamente
con obstáculos.
Una de las categorías más comunes que podemos encontrar en el análisis de errores
matemáticos se relaciona con la extrapolación de operaciones, métodos, reglas, o estrategias,
que son válidas en ciertas situaciones, pero no en otras. En este sentido, Radatz (1979), Booth
(1988), Brousseau et al. (1986), Astolfi (1999), Cadenas (2007) y González (2011), ponen
de manifiesto que este tipo de error resulta de falsas generalizaciones sobre operadores o
propiedades numéricas y el uso de métodos informales generados por parte de los estudiantes.
Los autores refieren que este tipo de errores se presenta con mayor frecuencia al realizar
operaciones combinadas con números racionales.
Por otro lado, Radatz (1979) y Cadenas (2007) destacan el aspecto formal del
lenguaje matemático, la sintaxis de este y las inferencias lógicas, como elementos que
repercuten en el aprendizaje de nuevos conceptos, símbolos y vocabulario matemático. Estas
10
dificultades se manifiestan en errores matemáticos presentes en las producciones de los
estudiantes.
Por otro lado, Radatz (1979), Astolfi (1999) y Cadenas (2007) determinan que ciertos
errores se originan a partir de dificultades relacionadas con aspectos cognitivos y
capacidades. Propiamente se manifiestan en dificultades para obtener información espacial,
sobrecarga cognitiva donde se presenta una reducida capacidad de retener información y
esquemas conceptuales formados a partir de un aprendizaje ineficiente de hechos o destrezas;
lo cual se traduce con una inadecuada interpretación de los significados y se apela a la
complejidad del contenido.
De este modo vemos que existe un acercamiento al aspecto intelectual y algunas
limitaciones en referencia con capacidades que puedan surgir en los sujetos. Profundizando
en esta área, podemos encontrar autores como Lucchini, Cuadrado y Tapia (2006), Franchi
y Hernández de Rincón (2004), los cuales han realizado investigaciones enfatizando en que
las dificultades que presenta el estudiante tienen una naturaleza intelectual y psicológica,
donde se han producido alteraciones en funciones específicas como la percepción, la función
simbólica, el desarrollo del pensamiento operatorio, la organización espacial, la memoria, el
desarrollo lingüístico y la estabilidad emocional.
1.5.2 Errores y dificultades en el aprendizaje del álgebra básica
Gran parte de los docentes de matemática en ejercicio indican que los alumnos
cometen errores de manera reiterada, con serias dificultades para identificar y corregir los
mismos. Estas dificultades son asociadas con deficiencias en la comprensión de conceptos y
en la manera en que conciben el álgebra básica de forma inmediata (García, 2010).
En el campo investigativo de errores y dificultades que presentan los estudiantes
durante su formación matemática, específicamente en álgebra básica, es posible encontrar
múltiples hallazgos; a continuación, se citan algunos.
Las dificultades que presentan los alumnos en el aprendizaje del álgebra básica
posibilitan el estudio de errores desde dos perspectivas: los errores que tienen su origen en
un obstáculo y los que se presentan propiamente por la ausencia de un significado (Socas,
2011). A la última se le asocian dos procedencias distintas: la relacionada a la complejidad
11
de los objetos matemáticos, y la relacionada con el componente afectivo y emociones hacia
el álgebra básica.
Según el estudio bibliográfico realizado por Kilpatrick, Gómez y Rico (1998), se
evidencia que en el siglo XX el alcance de los estudios relacionados con errores matemáticos
básicamente se reducía a recuentos del número de soluciones incorrectas a ciertas categorías
de problemas y en algunos casos examinar un conjunto de posibles causas de estos. Sin
embargo, a partir del siglo XXI, los propósitos del análisis de errores se han dirigido
mayormente a preparar ejercicios donde la estructura de cada enunciado o algoritmo refleje
dificultades intrínsecas, a partir de medidas dadas por la población estándar.
Las dificultades en álgebra básica se pueden concebir desde la educación secundaria
y aparecen de manera sistemática en los cursos de educación superior; Matz (1982) (citado
en Gallardo y Rojano (1988)) investiga la uniformidad de los errores cometidos por los
estudiantes al resolver problemas algebraicos en el nivel medio superior. Entre los resultados
de la investigación se determinó que los errores frecuentes en álgebra elemental son
originados por una adaptación del conocimiento aritmético que se ha generalizado o
extrapolado en forma inadecuada. De manera similar, en un estudio realizado por Mejía
(2004) con estudiantes de educación media, se pone de manifiesto su limitada comprensión
de la factorización de expresiones polinómicas, ya que mantienen aisladas sus ideas sobre
conceptos íntimamente relacionados.
Aunado a lo anterior, Booth (1988), Huitrado y Climent (2013), Egodawatte (2009),
González (2011), Sánchez y Guerrero (2004), Iriondo (2016) y Socas (2011) señalan que los
estudiantes encuentran dificultades en la transición de la aritmética al álgebra básica, por lo
que muchos de los errores que manifiestan en cursos avanzados están vinculados con este
proceso de transición. Considerando este aspecto, se argumenta que el cambio conceptual
entre un área y otra genera un choque cognitivo, donde se presentan dificultades relacionadas
con la interpretación de los símbolos y las letras.
12
Muchos errores matemáticos se vinculan directamente con problemas de la
aritmética que quedaron sin resolver. González (2011) argumenta que:
La transición de la aritmética al álgebra es quizás el camino más complejo al cual se
enfrentan los estudiantes de secundaria ya que es el enlace para construir los
significados de objetos algebraicos, lo cual genera conflictos que no permiten avanzar
en el aprendizaje (p. 116).
La investigación sugiere que, en general, la manipulación simbólica se vuelve una
tarea difícil para muchos estudiantes.
Cervantes y Martínez (2007) realizaron una investigación cuyo propósito era
describir algunos tipos de errores frecuentes que cometen estudiantes de educación
secundaria cuando pretenden solucionar ejercicios que requieren manipulaciones
algebraicas; además, trataron de identificar las posibles fuentes del error y establecer una
alternativa metodológica que permitiera minimizar la presencia de los errores detectados.
Dentro de sus resultados, Cervantes y Martínez (2007) clasifican cada tipo de error
por patrones y frecuencias. En primer lugar, hacen referencia a los errores por linealización,
los cuales se basan en las transformaciones lineales que se estudian en cursos avanzados de
álgebra básica, sin tener conocimiento de estas; este es el error presentado con mayor
frecuencia y se puede observar en las producciones que involucran productos notables,
potencias y simplificación de fracciones algebraicas. En segundo lugar, con menor frecuencia
se detectaron errores por extensión de cancelación en fracciones algebraicas, que hacen
referencia al tratamiento de sumas y productos por igual, en el numerador o el denominador,
donde se aplican de manera errónea, cancelaciones.
Por otra parte, Rojas y Loaiza (2013) realizan un estudio exploratorio en el cual
analizan errores algebraicos cometidos por estudiantes que ingresan a primer semestre de la
carrera de Ingeniería Electromecánica de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de
Colombia (UPTC). En el estudio los autores crearon una prueba diagnóstica con ítems
planeados según categorías que se adoptan de estudios sobre errores en la enseñanza-
aprendizaje de la matemática, realizados por investigadores de la comunidad científica de
Educación Matemática.
13
Entre los resultados, Rojas y Loaiza (2013) determinaron de manera precisa la
frecuencia con que eran cometidos los errores destacados; con mayor frecuencia (83,3%) los
estudiantes presentaron un empleo incorrecto de propiedades y definiciones; categoría en la
que se consideran errores asociados con el empleo inadecuado de la propiedad distributiva,
a cancelación de términos en fracciones algebraicas que involucran polinomios sin factores
en común, así como el uso de generalizaciones incorrectas sobre números. Con un porcentaje
similar (79,2%), se presentó el error en la interpretación correcta del lenguaje (al transcribir
un problema de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico).
Por otro lado, Egodawatte (2009) realiza una investigación enfocada en una población
de estudiantes de secundaria, donde analiza los errores en cuanto a patrones y sus causas.
Dentro del estudio predominan tres tipos de errores principales que se discuten con sus
causas, utilizando un enfoque psicológico cognitivo. Las áreas donde se encontraron los tipos
de error más importantes fueron: transformación de problemas de palabras en lenguaje
algebraico (49,4%), omisión de paréntesis (38,7%) y operaciones equivocadas en la
resolución de ecuaciones (29,2%).
Otro estudio que tiene fuertes puntos de intersección con los presentados
anteriormente es el que desarrolla Saucedo (2007) con alumnos ingresantes a la Universidad
Nacional del Litoral (UNL). En este se tienen por objetivos identificar, categorizar y analizar
los errores matemáticos cometidos por los estudiantes. El autor establece una serie de
hipótesis para la investigación: existen dificultades comunes en la comprensión del álgebra
básica en los alumnos, que se manifiestan cometiendo los mismos errores. Los alumnos
inscritos en carreras que poseen una fuerte formación en matemática por ejemplo las
ingenierías, cometen menos errores algebraicos que aquellos que se inscriben para carreras
que poseen una sola asignatura de matemática. El conocimiento e identificación de los errores
proporciona elementos para el desarrollo de propuestas áulicas.
La población considerada en este estudio fue un conjunto de 1317 estudiantes que
rindieron la asignatura matemática para ingresar a distintas carreras que se dictan en las
facultades de la UNL. La población se dividió en estratos teniendo en cuenta la calificación
obtenida (aprobado o no aprobado) y la carrera elegida (matemática básica a cursar: A o B).
Cabe aclarar que los estudiantes que cursan Matemática básica A, la tienen como única
14
asignatura de esta área en su carrera, mientras que los que cursan Matemática B tienen otras
asignaturas de matemáticas en su carrera, por ejemplo, las ingenierías. En total se trabajó con
una muestra de 132 estudiantes, donde 37 estaban matriculados en Matemática A y 95 en
Matemática B.
Entre los errores más frecuentes sobresale el empleo incorrecto de propiedades y
definiciones algebraicas, asociado a errores de tipo conceptual: los alumnos hacen un uso
inapropiado de propiedades y definiciones cuando tratan de aplicar reglas conocidas a ciertos
problemas. La mayoría de estos errores se dan bajo el desarrollo de falsas generalizaciones y
al aplicar linealidad de algunas operaciones. Esta observación reafirma uno de los resultados
obtenidos por Cervantes y Martínez (2007).
De igual manera, se dan errores durante la utilización de procedimientos parcialmente
correctos para otro concepto. También se presentaron errores, denominados por Saucedo
(2007) como errores de prerrequisito, que se destacan en aquellos incisos donde para
resolverlos se necesitaban conocer temas previos vinculados con las operaciones aritméticas.
Por último, se detectó la falta de interpretación en los ítems expresados con enunciados donde
tienen que traducir datos al lenguaje simbólico.
Vega et al. (2011) realizaron un estudio con jóvenes pertenecientes al bachillerato en
secundaria, con el fin de identificar y clasificar las estrategias empleadas por los estudiantes
para diferenciar los modos de actuación al operar con expresiones algebraicas. En una de las
tareas se dio una mayor frecuencia de estudiantes que interrumpieron dichas estrategias o
cometieron algún error en la manipulación, posiblemente debido a la dificultad de trabajar
con términos compuestos, en concreto con potencias. Otro error evidenciado, en menor
proporción, fue la simplificación parcial de fracciones algebraicas. Por otra parte, se destaca
la complejidad presentada al trabajar con términos compuestos, que involucran dos
igualdades notables, pero únicamente la aplicación de una de ellas conduce a la
simplificación de la fracción dada.
Por otro lado, Esteven, Berenguer y Castillo (2016) llevan a cabo un estudio de
diagnóstico con estudiantes de la Licenciatura en Educación Matemática Física, de la
Universidad de Oriente, con el fin de determinar las principales dificultades que manifiestan
los estudiantes al resolver problemas matemáticos de distintos tipos. El estudio reveló que
15
los estudiantes tienen limitaciones al utilizar estrategias de análisis e imprecisiones en las
soluciones matemáticas, con un limitado proceso de retrospección del proceso desarrollado,
donde no verifican la respuesta obtenida con los datos originales.
1.5.3 Los docentes de matemática en la detección de carencias, dificultades y errores en la asignatura de matemática
Es importante destacar el papel del docente en el proceso de interpretación y
detección de carencias, dificultades y errores que impiden que el alumnado obtenga
aprendizajes significativos. A continuación, se exponen estudios que reflejan el
protagonismo del docente en tareas relacionadas con el análisis y tratamiento de errores.
Primeramente, se describe una investigación de corte exploratorio que se realizó en
Zacatecas México, en este caso los investigadores Huitrado y Climent (2013) analizaron el
conocimiento de los docentes evaluadores de olimpiadas de matemática en referencia con los
errores relativos al álgebra básica que cometen los estudiantes de esta modalidad. En el
estudio se evaluaron cuatro docentes de olimpiadas.
En su investigación, Huitrado y Climent (2013), categorizaron algunas actitudes y
concepcione
engloban la reflexión del docente sobre su propia práctica y el proceso de enseñanza-
aprendizaje de los estudiantes. Dentro de los saberes que manifiestan los autores se
encuentran:
Saber que un error es respuesta a la interpretación de una pregunta (SERP). Se
refiere al reconocimiento de que un error es una respuesta, una manifestación de voluntad
de resolver la tarea, problema o ejercicio y que no es una respuesta cualquiera, al azar,
sino que trata de ser aceptada.
Saber que el mismo error puede tener diferente origen (SEDO). Este saber se
caracteriza por la apertura a la diversidad de procesos de pensamiento de los alumnos, en
especial de los errores. Estudia las causas a profundidad y considera casos variables.
Saber reconstruir los procedimientos alternativos de los alumnos (SRPA). Este saber
supone creatividad, constructivismo y dinamismo en los procesos que desarrolla el
estudiante. Disminuye el nivel de formalismo y el rigor. Involucra varias alternativas y
16
formas de solución, de manera que el resultado del alumno sea muy provechoso en su
formación.
De esta manera, gran parte de los saberes que presentan los maestros tienen sus raíces
en el hábito, el precedente, la opinión o las impresiones de otros saberes.
En contraste, Gandulfo et al. (2013) realizan un estudio en el cual se analizan y
categorizan los errores más frecuentes que identifican los docentes de matemática durante la
aplicación de los exámenes estandarizados de ingreso a las carreras de Ingeniería de la
Facultad Regional Paraná de la Universidad Tecnológica Nacional y a la Licenciatura en
Sistemas de Información de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la UADER.
Para llevar a cabo la investigación se realizaron una serie de talleres comunicativos
con el personal docente, de donde se destacaron una serie de dificultades que manifiestan los
estudiantes:
No distinguen los distintos conjuntos numéricos.
No utilizan correctamente las operaciones aritméticas básicas con números enteros
Presentan mucha dificultad en la interpretación y aplicación de propiedades (exponentes
enteros, valor absoluto, desigualdades, entre otros). Así como la interpretación gráfica en
funciones, soluciones de inecuaciones y soluciones de sistemas de ecuaciones.
realizar ecuaciones de manera mecánica, sin interpretaciones de este tipo.
En una entrevista que se aplicó a los docentes se evidenció que los mismos no
propician dicha actividad en sus estudiantes, por lo que se dan mayores dificultades en los
procesos durante la resolución del problema. Entre los resultados se determina que muchas
de las dificultades tienen su origen en los enfoques teóricos y didácticos desarrollados por el
docente; se afirma que los problemas son abordados de manera mecánica, a partir de un sin
número de ejemplos análogos, reduciendo la búsqueda de alternativas de resolución y un
enfoque de pensamiento inductivo precedente al deductivo.
17
Capítulo II Marco teórico
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se realizará una síntesis de la información que se utilizó como
respaldo teórico para el estudio. La fundamentación teórica permite realizar una valoración
de los resultados y el estado en diferentes investigaciones, para formular y fundamentar las
posteriores etapas del estudio.
2.1 EDUCACIÓN MATEMÁTICA
En ocasiones, como
una especialidad profesional que, en épocas pasadas, no difería con las funciones que debe
desempeñar un matemático; es decir, no existía una diferenciación entre el docente de
matemática y el matemático. Esta situación cambió durante el proceso evolutivo de la
pedagogía y la didáctica en matemática; se empezaron a marcar roles, habilidades, y
parámetros que cualificaban a estos profesionales, sin hacer comparaciones, teniendo en
cuenta que existe una intersección entre los dos campos del saber (Planas, 2012). Ruiz, et al.
(2009) afirman que:
La Educación Matemática se dirige hacia las actividades, resultados y construcciones
teóricas realizadas por individuos. De esta forma, se trata más bien de una ciencia
social. Los factores sociales que intervienen en la Educación Matemática son muchos
y esto hace que se establezca una relación privilegiada con otras disciplinas científicas
que abordan el objeto social. No es el caso de las Matemáticas (p. 31).
Según, Ruiz y Chavarría (2003) la epistemología de la matemática buscaría explicar
cuáles son los procesos de construcción matemática, la vinculación entre las construcciones
subjetivas, conocimiento objetivo por aprobación de la comunidad científica y aquellos
procesos de comunicación sociocultural, a partir de los constructos teóricos, etc.
En contraste con lo anterior, Godino (2000) considera que la Educación Matemática
en un sistema social, heterogéneo, en el que es necesario distinguir tres componentes:
La acción práctica y reflexiva sobre el proceso enseñanza-aprendizaje de la matemática.
18
El uso de la tecnología didáctica para desarrollar materiales o recursos, usando los
conocimientos científicos disponibles.
La investigación científica que trata de comprender el funcionamiento de la enseñanza-
aprendizaje de la matemática en su conjunto, así como de los sistemas didácticos
específicos.
Tomando como referencia estos componentes de la Educación Matemática, el
presente estudio se encuentra enmarcado en la acción práctica y la reflexión sobre el proceso
de enseñanza-aprendizaje, a partir del área de algebra básica. La investigación va orientada
a la evaluación de los procedimientos que desarrolla el estudiantado a partir de una asignatura
que presenta una predominancia en la rama del álgebra básica, con base en la metodología
natural que se desarrolla en el entorno áulico.
Por otro lado, se vuelve relevante la caracterización del análisis de errores en el
abordaje del álgebra básica, enmarcado en el constructo semiótico de la Educación
Matemática; el estudio de la semiótica ha despertado el interés en el ámbito de Educación
Matemática, esto debido a que gran parte de la actividad matemática es de carácter simbólico
y según Radford (2006) la semiótica se consolida como un campo que parte del carácter que
tienen los artefactos y los signos como portadores de convenciones y de los razonamientos
de los individuos y el contexto cultural.
E
producciones en matemática exige herramientas de análisis semiótico complejas y adaptadas
Si consideramos el paradigma educativo que se establece bajo la acción docente en
el estudio y análisis de las producciones del estudiante, con el fin de fomentar la reflexión
crítica y la autorregulación en la construcción del conocimiento, se puede concebir el modelo
de enseñanza-aprendizaje a partir de la visión constructivista, que postula la generación de
herramientas que impliquen la construcción y reconstrucción del saber por medio de la
discriminación ante distintas situaciones de aprendizaje (Ruiz y Chavarría, 2003).
Los errores matemáticos cometidos por estudiantes en diversos cursos se han
presentado como una problemática recurrente en el campo de la investigación en Educación
Matemática. Según Engler et al. (2004) y Socas (2011), durante el abordaje de nuevos
19
conocimientos matemáticos los errores se presentan de una manera sistemática, por lo que
este proceso demanda criterios de diagnóstico, corrección y superación de estos mediante
actividades que promuevan la autocrítica de los estudiantes. Además, estos autores indican
que al tratar con el análisis de errores lo más preocupante es la persistencia y masividad de
los mismos, estos inciden en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos y es
necesario superarlos para obtener logros en el proceso formativo.
2.1.1 Contexto de la investigación
En el campo de estudio de la Educación Matemática, autores como Perrenoud (2005),
Cano (2008), Rueda (2009) y Zamora (2011) hacen referencia al enfoque por competencias,
formación por competencias, planes de estudio basados en el enfoque por competencia y
propuestas educativas por competencias, como parte de algunas tendencias curriculares que
forman parte del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Según el modelo
curricular de la carrera Enseñanza de la Matemática que se imparte en la Universidad
Nacional de Costa Rica (UNA), el curso MAC400 Matemática Fundamental se enmarca
desde un enfoque por competencias. Por esta razón resulta conveniente clarificar la
genealogía del concepto de competencias y su relación con el currículo de esta disciplina
asociada con la Educación Matemática.
El término competencia puede concebirse desde muchos puntos de vista: Perrenoud
(2005) define competencias como la aptitud para enfrentar eficazmente un conjunto de
situaciones análogas, movilizando a conciencia y de manera rápida, pertinente y creativa,
múltiples recursos cognitivos: saberes, capacidades, micro-competencias, informaciones,
valores, actitudes, esquemas de percepción, de evaluación y de razonamiento. De manera
similar, Rueda (2009), define una competencia como la capacidad de responder a demandas
complejas y llevar a cabo tareas diversas de forma adecuada. En este caso supone una
integración entre conocimientos, valores, habilidades prácticas, actitudes y otros
componentes, que permiten el logro eficaz de una actividad específica.
El concepto de competencias considerado en el plan de estudios de la carrera BLEM
(2017) adopta la definición de González y Wagenaar (2003), quienes comprenden
sus aplicaciones, aptitudes, destrezas y responsabilidades) que describen los resultados del
20
aprendizaje de un determinado programa o cómo los estudiantes serán capaces de
de las competencias generales se adopta bajo la propuesta de competencias genéricas de
Tuning (González y Wagenaar, 2003), destacando como competencias específicas: las
competencias en matemática, las pedagógicas y las didáctico-matemáticas (Escuela de
Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica, 2017).
De las competencias específicas que establece la Escuela de Matemática de la
Universidad Nacional de Costa Rica (2017), en el Plan de Estudios de la carrera BLEM 2017,
para el curso MAC400 Matemática Fundamental se consideran aquellas que destacan
habilidades, capacidades o atributos, que se espera que muestre el estudiante de enseñanza
de la matemática. Específicamente se consideran:
M1. Comprender los conceptos básicos de la matemática superiores desde una
perspectiva universitaria para su formación como docente de matemática.
M3. Entender los conceptos fundamentales de la matemática a través de su evolución
sociohistórica para la comprensión de la disciplina y su enseñanza en diferentes
contextos.
M4. Construir e interpretar modelos matemáticos a partir de situaciones reales para
reconocer la importancia de la matemática en la vida cotidiana
A nivel curricular, el enfoque por competencias que se adopta en la carrera se focaliza
mayormente en el proceso de enseñanza-aprendizaje activo por parte del alumno, para
construir su conocimiento, reduciendo la instrucción tradicional de enseñanza. Este proceso
demanda algunas modificaciones en la función del docente, el cual pasa de trasmisor de
contenidos a facilitador de oportunidades de crecimiento, tal y como afirma Perrenoud
(2005), uno de los autores referidos en el sustento teórico de la componente curricular. A
eden aprenderlo (y, por
Cabe destacar que autores, tales como como Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009),
Zamora (2011) y Cano (2008), afirman que bajo el enfoque por competencias es necesario
reducir sesiones presenciales dedicadas al conocimiento conceptual sobre el que
21
tradicionalmente se producen errores y no se logran los estándares del desempeño académico
propuestos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, reformulando el trabajo en clase, para
promover aprendizaje cooperativo y el debate, en la construcción de conocimiento.
2.2 ERRORES EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
2.2.1 El error y la dificultad matemática
Los errores y las dificultades en la enseñanza-aprendizaje de la matemática se
presentan como un foco de estudio significativo en Educación Matemática. Tal y como
afirma Socas (2011), existe una variedad de resultados y esquemas teóricos que permiten
realizar descripciones e interpretaciones; sin embargo, existen muchos aspectos que aún
requieren solución.
Cuando se evalúan las producciones de los estudiantes de matemática, se debe
comprender que, en cierto modo, las fuentes primarias de su conocimiento están asociadas
con su formación previa, en correspondencia con sus experiencias de enseñanza-aprendizaje.
Saucedo (2007) afirma que la presentación de un error puede ser un indicador de su estado
del saber o bien de su manera del conocer.
Para poder caracterizar adecuadamente los errores en el proceso de la enseñanza-
aprendizaje de la matemática es importante valorar algunos conceptos que se encuentran
inmersos en la teoría de dificultades y errores en la enseñanza-aprendizaje del álgebra básica,
siendo esta última el área disciplinar de interés en este estudio.
El Dictionary (2002), define el error como una idea, opinión o expresión que una
persona considera correcta pero que en realidad es falsa o desacertada. De una manera más
específica, Apolinar (2011), refiere que,
cuando aplica incorrectamente una propiedad de los números u omite un cálculo para la
Partiendo del significado que brinda Apolinar (2011) y Dictionary (2002), podemos
discriminar el concepto de error desde dos perspectivas: el error visto como un concepto
asimilado de manera incorrecta y este dado como una acción desacertada en diferentes
producciones. Estos no se pueden concebir de igual manera, ya que una producción
22
matemática que sea incorrecta no necesariamente implica que hubo una asimilación
incorrecta del concepto.
P razonables, pero no
origen del error exige una restructuración de la forma en la que hemos aprendido un concepto
o la forma en la que empleamos algunas técnicas.
Para esta investigación se adopta la definición de error matemático en congruencia
con Abrate et al. (2006) y Gandulfo et al. (2013) quienes hacen referencia a este cuando el
alumno realiza alguna acción o argumenta de una manera que no es válida desde el punto de
vista de la intuición matemática; son aquellos conocimientos que los jóvenes han aprendido
con cierto grado de inexactitud, preservando los criterios de ser intrínsecamente válidos y
sólidos, pero equivocados.
Para este estudio es fundamental marcar la diferencia entre el concepto de error y
dificultad matemática. La RAE (2017) define dificultad como embarazo, inconveniente,
oposición o contrariedad que impide conseguir, ejecutar o e
Considerando esta definición, una dificultad puede resultar en el logro o el fracaso de una
tarea determinada, puede ser manifestada de manera explícita en algún proceso, o
simplemente darse de manera indirecta a nivel cognitivo sin ser externada por el individuo,
por lo que la evaluación y detección de las mismas se vuelve una tarea compleja si tomamos
como referencia producciones escritas a nivel general.
dificultad matemática se entenderá según la definición que brindan
autores como Lucchini et al. (2006), Carrión (2007), García (2010) y Olmedo et al. (2015),
quienes refieren dificultad matemática como una carencia, conocimiento deficiente,
incompleto o contrariedad, que es causa de uno o varios errores matemáticos. En otras
palabras, la dificultad matemática se manifiesta a través de errores, siendo estos últimos el
foco de interés de esta investigación.
En el estudio es de interés analizar errores matemáticos que el estudiante manifieste
en las operaciones que involucren simplificaciones con polinomios y fracciones algebraicas,
considerando las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación,
factorización y racionalización.
23
2.2.2 Concepción de error como fuente de adquisición del conocimiento en matemática
Los errores en matemática se presentan de forma natural como una fuente de
aprendizaje, donde los estudiantes tienen la posibilidad de percatarse del hecho de no lograr
el alcance de una solución correcta a un problema; punto del cual tomarán la decisión de
buscar otra alternativa para la resolución correcta del ejercicio y con esto superar esta barrera,
o simplemente insistir en el error que evidentemente lo llevará a fracasar en la tarea (Franchi
y Hernández, 2004). Por ello, los docentes se ven obligados a utilizar los errores que detectan
durante la instrucción como un medio de aprendizaje, donde se genere la oposición de nuevos
conocimientos; sin embargo, para esta labor se debe tener seguridad de las características del
error y su naturaleza. En este contexto, Lucchini et al.
parte del proceso de construcción del conocimiento y pueden ser el motor que provoque un
avance o un cambio, transformándose así, en un elemento constitutivo e innovador del
proc
Los errores son considerados un componente fundamental del conocimiento
científico, tal y como afirman Kilpatrick et al. (1998), Gandulfo et al. (2013); los errores se
establecen como una posibilidad permanente de generación y consolidación del
conocimiento. La manera de conocer se torna como uno de los componentes del
conocimiento, aunque se fundamente en concepciones incorrectas que se crean como válidas,
organizaciones insuficientes, hipótesis tentativas, o inferencias no válidas, esto representa el
acceso a la adquisición, asimilación y el aprendizaje a partir de procesos remediales.
En las palabras de Gandulfo et al. (2013) los errores son sinónimo de un saber distinto,
no de una ausencia de saber y no dependen solo del alumno, sino que inciden otras variables:
el entorno educativo, el docente, el aspecto sociocultural y el currículo. Sin embargo, esta
manera de generar estructuras mentales para ampliar el conocimiento sobre cierta temática
debe darse a partir de una etapa correctiva, debido a que, en su defecto, se reducen a
conclusiones inválidas basadas en la objetividad de fundamentos teóricos o socioculturales.
Estas argumentaciones ponen de manifiesto que el estudio de errores engloba un
campo muy complejo que no se puede reducir solamente a deficiencias cognitivas o espacios
incompletos en la secuencia de adquisición de conocimientos. De hecho, es una forma
compleja de reaprender, como argumenta Cadenas (2007), quien afirma que l error no es
24
solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, de la casualidad, sino que es un
resultado de un conocimiento anterior, que ha tenido su interés, su éxito, pero que ahora se
revela falso o simplemente inadecuado (p. 69).
Para Brousseau et al. (1986) y Olmedo et al. (2015), los errores matemáticos se
originan a partir de concepciones inadecuadas que son útiles en reducidos contextos, por lo
que resultan inapropiadas. Estas concepciones son dadas sobre objetos matemáticos que, en
muchos casos, conducen a la utilización de métodos originales a partir de procedimientos
equivocados. De modo que las concepciones inadecuadas parten de procesos cognitivos que
están en concordancia con la generación de esquemas conceptuales basados en imágenes
mentales que se asocian a cada concepto. Entonces, dependiendo de la construcción
matemática de esta imagen (sea correcta o incorrecta), se generan los esquemas conceptuales
que pueden llegar a ser incompletos; por tal razón, se destaca la importancia de conocer las
concepciones acerca de los objetos algebraicos que tengan los estudiantes y docentes en
general.
2.2.3 Características de errores matemáticos
Según las diversas líneas de investigación sobre estudios teóricos de errores en el
aprendizaje de la matemática, existen áreas de estudio donde se engloba la taxonomía de los
errores y diversas caracterizaciones de estos, que permiten comprender las causas que
subyacen los procesos metacognitivos del alumnado en múltiples situaciones.
Partiendo de investigaciones realizadas por expertos tales como Brousseau et al.
(1986), Kilpatrick et al. (1998) y Olmedo et al. (2015), se pueden observar ciertas
particularidades que presentan a nivel general los errores matemáticos. En este sentido se
vuelve vital establecer una caracterización de errores matemáticos que permitan determinar
propiedades generales del error a tratar. Estos autores coinciden en la afirmación de que los
errores se presentan permanentemente en el proceso enseñanza-aprendizaje en las
producciones de los alumnos, por lo que constituyen un elemento estable en tales procesos.
Por otro lado, Kilpatrick et al. (1998) indican que el error matemático generalmente se
presenta de manera persistente, ya que en algunos casos tardan mucho tiempo en
desaparecer; de hecho, se presentan resistentes y pueden cambiar por sí mismos, ya que la
corrección exige una reorganización de esquemas conceptuales creados por el estudiante.
25
Generalmente son sistemáticos y de fácil detección, donde se ponen de manifiesto procesos
mentales que se encuentran inmersos en la aplicación de métodos incorrectos que el
estudiante considera correctos.
Cabe destacar que para el estudio se considera vital el concepto de consistencia de error propuesto por Rico (1995), quien indica que un error matemático es consistente si se
presenta con regularidad, permanencia, estabilidad y coherencia al realizar tareas o resolver
problemas matemáticos con poca variabilidad. En este sentido, se establece una hipótesis
para el estudio: durante el desarrollo del curso MAC 400 Matemática Fundamental los errores
que se identifiquen al inicio serán inconsistentes con respecto a los que se detectan al final,
dada la reducción de dificultades por los contenidos estudiados en este. Se considera esta
hipótesis, dado que conforme se aborden contenidos temáticos donde se demande la
simplificación de expresiones algebraicas, a partir de las operaciones con polinomios y
fracciones algebraicas, el estudiante tendrá un mayor bagaje y la oportunidad de aplicar
medidas remediales para corregir los errores manifestados que se detecten en evaluaciones
previas.
Aunado a lo anterior, Kilpatrick et al. (1998), indican que los errores pueden diferir
en cuanto al grado de incorrección; que involucra procedimientos ineficientes, incompletos
e inaceptables. También se destaca una variación de los errores en cuanto al contexto
matemático; o sea, si se trabaja con algoritmos, teoremas, definiciones, etc.
2.3 EL ÁLGEBRA BÁSICA
Según Serrano (2000), el origen del término álgebra se remonta al año 830, a partir
de un libro titulado Al-
Musa alkhuwarizmi. El título de este libro se puede traducir como Restauración y
simplificación.
Según Thomas, Ramos y Maldonado (2014) el álgebra básica es una rama de la
matemática que permite estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y
los números; esto a partir de la generalización y las ecuaciones algebraicas. Dentro de este
marco podemos encontrar las fracciones algebraicas o expresiones racionales algebraicas,
que forman parte de la transición de las fracciones numéricas, así como las operaciones
respectivas entre fracciones. En este caso, Fernández de Carrera (2005) (citado en Thomas,
26
et al. (2014)) indica que una fracción al a razón de
polinomios. Estas expresiones racionales son la extensión de los números racionales y se
Olmedo et al. (2015), al igual que Serrano (2000), González (2011) y Vega et al.
(2012), señalan que históricamente el álgebra básica surge como una necesidad por
sistematizar, describir y generalizar los procedimientos inmersos en la aritmética. Esto
justifica que muchas veces el álgebra básica
las operaciones con expresiones algebraicas partan de las operaciones básicas aritméticas. En
este apartado se definen algunos conceptos importantes que permiten enmarcar la presente
investigación.
El estudio se apoya en una de las clasificaciones que propone Molina (2012) sobre
las concepciones que se tienen del álgebra básica desde el contexto educativo; en este caso
se entenderá el estudio del álgebra básica, a partir del estudio de Estructuras . El álgebra
básica se entiende aquí como el estudio de estructuras por medio de las propiedades que se
le atribuyen a las operaciones con números reales y polinomios. Esta concepción tiene una
estrecha conexión con el álgebra básica como aritmética generalizada.
Por otro lado, para el estudio es relevante conocer la interpretación y los usos de la
variable en matemática. Este elemento es primordial para la comprensión del álgebra básica
y en general, se torna como un elemento relevante en conceptos tales como: expresión
algebraica, polinomio, ecuación, inecuación, función y otros.
que puede ponerse en lugar de cualquier elemento de un conjunto, sean números u otros
objetos. Las variables son uno de los instrumentos más poderosos para expresar las
regularidades que se encuentran en matemáticas
Cabe destacar que el estudio está enfocado en el análisis de producciones donde se
ejecute la simplificación de expresiones algebraicas por medio de operaciones básicas
definidas para polinomios y expresiones algebraicas fraccionarias, por lo que, en
correspondencia con estos autores, variable se entenderá como indeterminada o expresión de
patrones generales, mayormente utilizada en los enunciados que son verdaderos para todos
27
los elementos de un conjunto específico. No se considera ésta desde la concepción de
incógnita, constante o parámetro.
2.3.1 Expresiones algebraicas
Es necesario brindar una definición precisa para expresiones algebraicas, desde los
fundamentos más básicos que permitan comprender los objetos matemáticos que se
encuentran vinculados en el álgebra básica. En el estudio es importante adoptar un concepto
delimitado que permita dar un sustento teórico en correspondencia con la simplificación de
expresiones algebraicas.
Puig (2003) afirma que las expresiones algebraicas son comprendidas como un
lenguaje simbólico. El autor refiere que las expresiones algebraicas son un ejemplo de la
imbricación de los tres tipos de signos en la escritura matemática: las letras que representan
índices, los signos aritméticos +, -, y otros, que son símbolos y la unión de estos, que es un
ícono; es decir, la expresión algebraica es un ícono. Entendiéndose los iconos como signos
que tienen alguna semejanza con el objeto y tienen el carácter que los hace significar incluso
si el objeto no existiera. Los índices no se parecen a los objetos correspondientes, sino que
lo señalan, fuerzan la atención hacia ellos, pero no los describen.
Por otra parte, Torres y Calderón (2000) afirman que existen algunas tareas comunes
que deben realizar los estudiantes con expresiones algebraicas: evidenciar el valor o valores
de la letra, o, hallar el valor algebraico de una expresión; otras, donde se debe transformar la
expresión en una más simple, o con determinada característica. Para esta investigación el
foco de estudio estará dado a partir de esta última tarea, de manera que se evalúen operaciones
con polinomios y expresiones fraccionarias, tanto en ejercicios que formen parte del abordaje
de estos contenidos, como en aquellos que estén asociados y se aborden en las unidades
posteriores a nivel del curso MAC400 Matemática Fundamental; es decir, no es de interés
hallar el valor numérico de una incógnita asociada en alguna expresión, ni el dominio de
variables que satisfagan ciertas relaciones entre expresiones.
Para la investigación se concebirá una expresión algebraica tal y como lo definen
algebraica es una combinación
de números reales con letras, operaciones (suma, resta, producto, división, raíces y
28
Aunado a lo anterior, se adopta la posición de Arias y Poveda (2014) y Godino y Font
(2003), quienes afirman que el concepto de expresión algebraica no involucra la ecuación,
inecuación, función u otra relación entre expresiones de este tipo, interpretada como una
expresión algebraica; de hecho, los mismos autores señalan que una ecuación es una igualdad
entre dos expresiones algebraicas en una o más variables llamadas incógnitas y una
inecuación es la comparación de dos expresiones algebraicas en una o más variables mediante
los cuatro símbolos de desigualdad, las cuales no generan nuevas expresiones, sino que
valores numéricos o conclusiones, a partir relaciones entre ellas.
Una vez definida la expresión algebraica, es de suma importancia delimitar la
clasificación de expresiones algebraicas que se tomará para ser consistentes en el lenguaje
empleado. Específicamente se adopta la clasificación general que brindan Rodríguez,
Maldonado, y Navarro (2016), quienes refieren cinco tipos de expresiones algebraicas:
Expresión algebraica entera. Una expresión algebraica es entera, sí y solo sí las
indeterminadas están sometidas a operaciones enteras: adición, sustracción,
multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo.
Expresión algebraica fraccionaria (fracciones algebraicas). Una expresión algebraica
es fraccionaria sí y solo sí hay en ella, como mínimo, una indeterminada que figura como
divisor en un cociente, o (su expresión equivalente), como base de una potencia de
exponente entero negativo
Expresión algebraica racional. Una expresión algebraica es racional sí y solo sí no hay
en ella indeterminada alguna que se presente como parte del subradical de una raíz que
no se simplifique como una expresión algebraica entera.
Expresión algebraica irracional. Una expresión es irracional si y solo si hay en ella,
como mínimo, una indeterminada sometida a la operación de radicación que no se
simplifique como una expresión algebraica entera.
A su vez, las racionales e irracionales forman el conjunto de expresiones algebraicas
reales.
expresiones algebraicas racionales es la unión de los conjuntos de las expresiones algebraicas
enteras y fraccionarias.
29
2.4 DIDÁCTICA DEL ÁLGEBRA BÁSICA
Actualmente se tiene referencia de diversos comités y actividades de interés, en las
cuales participan grandes exponentes de la Didáctica del Álgebra; se pueden destacar el
International Group for the Psychology of Mathematics Education (IGPME) y la European
Society for Research in Mathematics Education (ERME), que han tenido un alcance
investigativo muy amplio en la disciplina. Estas entidades han reunido grupos internacionales
de docentes de matemática e investigadores que dedican parte significativa de sus
investigaciones al estudio de estructuras algebraicas y áreas vinculadas con el pensamiento
algebraico y numérico, como tópicos de interés disciplinar en los distintos niveles de
escolarización. Los expertos que han participado en estas actividades han generado múltiples
aportes en el álgebra básica, donde se pueden destacar distintas áreas: evaluaciones
argumentativas, la visualización, representación, modelación y otros (Wilhelmi, 2017).
Dentro de los procesos de significación y comunicación en Educación Matemática,
Socas (2011) señala tres aspectos del lenguaje algebraico que juegan un papel importante en
el diseño de investigaciones: el diseño instruccional de actividades que pretende cubrir
aspectos esenciales en el Lenguaje Algebraico, llevar al estudiante de su conocimiento
informal al desarrollo más abstracto y formal del álgebra básica; y respetar los principios
básicos de la autonomía intelectual del alumnado. Asimismo, este autor manifiesta múltiples
facetas que han tenido repercusiones en el desarrollo curricular: el lenguaje, los procesos de
pensamiento algebraico y aspectos novedosos en el desarrollo matemático.
Aún en la actualidad siguen vigentes las ideas que plantea Booth (1988), quien señala
que no podemos asegurar que se hayan generado grandes beneficios en las propuestas
curriculares que se siguen a nivel superior, tomando como referencia las problemáticas que
se enfrentan en esta área desde los niveles básicos; esta observación se da a nivel mundial,
debido a que son pocos los países donde los docentes hayan incorporado los resultados más
relevantes de investigaciones en pensamiento algebraico.
Se ha demostrado que los modelos de enseñanza tradicional no son suficientemente
funcionales para lograr un adecuado aprendizaje en el desarrollo de habilidades de
razonamiento y generalización desde el pensamiento algebraico. En este sentido, Olmedo et
al. (2015) repetición de ejercicios, la aplicación de reglas algorítmicas y
30
definiciones, la utilización de ejemplos y contraejemplos, no son suficiente para que los
11).
Cabe resaltar que en el proceso de enseñanza-aprendizaje del álgebra básica se ha
profundizado en el desarrollo curricular, a partir del uso de la historia y el estudio de procesos
cognitivos desarrollados por el alumnado. En este aspecto, Socas (2011) afirma que se debe
dar énfasis en los aspectos de lenguaje y la semiótica, incorporando mediadores tecnológicos
y haciendo uso de los aportes que se han dado desde la matemática más desarrollada, con el
fin de profundizar en contenidos y tareas que consideren el papel de los errores a partir de
dificultades, donde se potencie la construcción del conocimiento algebraico en diferentes
etapas.
Autores como Huitrado y Climent (2013), González (2011), Egodawatte (2009) y
Socas (2011) apelan a la consideración que se hace cuando se toma como punto de origen
del álgebra básica y los aspectos negativos en la enseñanza-aprendizaje de la misma, la teoría
de la aritmética como única antecesora; argumentan que el álgebra básica no se debe
considerar, únicamente, como una generalización de la aritmética, sino que más bien el
álgebra básica está implicada en un cambio de estructura mental y la dificultad que conlleva
está asociada con los modelos de representación y la formalización en la resolución de
problemas.
En el estudio de las dificultades en matemática que presentan los estudiantes en el
campo del álgebra básica, Vega et al. (2011) afirman que se vuelve imprescindible el sentido
estructural de las expresiones que asocian fracciones algebraicas, específicamente en
aquellas operaciones que involucran algunas igualdades notables: cuadrado de la diferencia,
diferencia de cuadrados; así como la propiedad distributiva y la relación con los métodos de
factorización. El sentido estructural se entiende, en este caso, según la definición que brindan
Linchevski & Livneh (1999) (como se citó en Vega et al., 2011),
estructural refiere, de forma general, a una colección de habilidades relacionadas con
transformar expresiones algebraicas, que permite hacer un mejor uso de las técnicas
En este sentido Vega et al. (2011) refieren que el análisis de niveles del
sentido estructural en operaciones algebraicas nos permite obtener información de las
31
habilidades necesarias para hacer un uso eficiente de las técnicas algebraicas que deben
emplear los estudiantes, especialmente al operar con fracciones.
2.4.1 El docente formador de estudiantes de enseñanza de la matemática y la detección
de errores matemáticos
Es de gran interés para el estudio recabar información sobre la presencia de errores
matemáticos, en correspondencia con las funciones del docente que instruye a futuros
profesionales en docencia matemática, con respecto a la construcción del pensamiento
algebraico, la transmisión de este y el tratamiento a nivel laboral.
Con respecto al papel del docente formador en matemática y su función en el campo
del pensamiento algebraico, se deben contemplar las concepciones previas sobre errores, que
no solamente han de manifestar los aprendices, sino que también, desde su perspectiva,
manifiesta el docente de matemática consolidado. Según Molina (2012) el docente presupone
errores en el uso correcto de la aritmética y el álgebra básica, cuando se trabaja con
estudiantes ingresantes a la universidad. Estas concepciones surgen a partir de las creencias,
actitudes y experiencias obtenidas en torno a la matemática.
Aunado a lo anterior, Kilpatrick et al. (1998) afirman que es sumamente importante
que el docente tenga una amplia claridad acerca de sus propias concepciones sobre el
aprendizaje en el álgebra básica, los errores y la matemática en general, para poder contribuir
con el aprendizaje y la superación del sentimiento negativo y de rechazo que tienen los
estudiantes hacia los errores.
De esta manera, se vuelven vitales la detección y el diagnóstico de errores que pueda
constituir un docente al trabajar con una población de estudiantes de enseñanza de la
matemática, con el fin de valorar medidas correctivas que permitan destacar estas
deficiencias para contribuir con su proceso de enseñanza-aprendizaje.
2.4.2 Errores matemáticos y la formación de estudiantes de enseñanza de la matemática
Autores como Kilpatrick et al. (1998), Godino y Font (2003), Huitrado y Climent
(2013), y Esteven, Berenguer y Castillo (2016), afirman que el análisis en el pensamiento
algebraico se está consolidando como uno de los componentes vitales en la formación de
estudiantes de enseñanza de la matemática.
32
Durante la formación inicial, el estudiante enfrenta situaciones que le exigen
habilidades y aptitudes para comprender, interpretar y manipular ciertos fenómenos
algebraicos con el fin de completar su formación en matemática y en docencia, de manera
que pueda obtener un amplio panorama sobre las aplicaciones del álgebra básica y el
desarrollo del razonamiento en esta área, desde distintos niveles (Godino y Font, 2003).
Se vuelve imprescindible la ratificación de concepciones deficientes y la generación
de autorreflexiones referentes a errores cometidos en cada tarea; esto con el fin de que en su
futura labor se construyan herramientas cognitivas que le permitan fomentar la
autorregulación en el aprendizaje, la formulación de propuestas con esquemas correctivos en
situaciones donde se contrasten las concepciones erróneas con las asertivas, de manera que
se promueva una reestructuración adecuada de los esquemas previos.
Finalmente, cabe destacar que la tipología de errores que manifiestan los estudiantes
de enseñanza de la matemática puede diferir con respecto a estudiantes de otras carreras que
no presentan un amplio componente matemático. Tal y como afirman Olmedo et al. (2015),
en su formación, al estudiante de enseñanza de la matemática se le exige un alto grado de
rigurosidad, justificaciones, argumentaciones y validaciones, que deben ser sometidas a las
demostraciones y comprobaciones por un modelo inductivo. Es en este punto donde se vuelve
vital el manejo algebraico que los estudiantes posean de los niveles de escolarización previos,
dado que se hacen notables una serie de errores en tareas básicas, que según los autores
pueden tener un carácter sistemático, causado por los deficientes hábitos de estudio, o
concepciones inadecuadas de objetos matemáticos.
2.5 CARACTERIZACIÓN DE ESTUDIOS SOBRE ERRORES MATEMÁTICOS
Para realizar una indagación holística sobre el análisis de errores es fundamental la
caracterización de algunas investigaciones, donde se destaquen constructos claves del área,
entre los cuales se encuentra el pensamiento algebraico. Estos serán pertinentes para la
determinación de los componentes metodológicos más apropiados según los propósitos del
estudio. Aparte de esto, se precisa del tratamiento que se les ha dado a los errores
matemáticos, los tipos de errores encontrados, la forma en que se han detectado y las
principales líneas de investigación.
2.5.1 Estudios sobre errores
33
Tomando como base los propósitos y el problema de investigación planteados para el
estudio, esta investigación se apoya en tres líneas de investigación destacadas por Rico
(1995). En primera instancia se pretende realizar un estudio sobre elementos y taxonomías
en la clasificación de errores matemáticos, tanto a nivel general, como a nivel algebraico, con
el fin de establecer categorías a través de un trabajo de campo. Asimismo, uno de los fines
es realizar una indagación sobre estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto
a la capacidad para detectar, analizar y tratar los errores de sus alumnos. Respeto a una tercera
línea de investigación, el estudio tendrá un carácter estadístico, donde se evaluará la
frecuencia y se caracterizará la consistencia de errores que se presenten a través del curso
MAC400 Matemática Fundamental.
Considerando los enfoques investigativos que presenta Socas (2011), el estudio se
encuentra enmarcado en el área dirigida a la descripción y estudio de respuestas, o procesos
de solución de estudiantes y docentes en tareas específicas del pensamiento algebraico.
Tal y como afirman Iriondo (2016) y Socas (2011), estas líneas de investigación han
sido trascendentales y han favorecido el campo de la Educación Matemática con múltiples
avances curriculares; de los cuales se destaca la enseñanza diagnóstica, que permite
identificar deficiencias en el estudiantado, principalmente con el propósito de detectar, prever
y dar un tratamiento de correctivo sobre estos.
2.5.2 Categorías de errores matemáticos en álgebra básica
A continuación, se exponen categorías de errores matemáticos que han sido generadas
por expertos en Educación Matemática a través de diversas investigaciones. Estas categorías
han sido seleccionadas como fundamento teórico para la elaboración de categorías de análisis
en la investigación, adaptadas de modo que posibiliten el estudio de errores en las
producciones algebraicas que manifiestan los estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental.
Diversos estudios ponen de manifiesto una categoría básica de fallos manifestados
por el estudiante, los cuales no están asociados directamente con deficiencias cognitivas o
problemas de mayor gravedad, sino que se asocian con cuestiones como el desorden al
operar, el descuido y la falta de revisión de respuestas. En este sentido, Carrión (2007) brinda
una clasificación de tres clases. En primer lugar, hace referencia a errores de entrada, los
34
cuales se presentan ante la lectura del enunciado en un problema y en la transcripción de
datos, por ende, van de la mano con problemas de visión. Este tipo de error presenta una
menor frecuencia y se da por descuidos, pero claramente alteran el procedimiento y la
respuesta esperada. En segundo lugar, se destacan los errores de operación, en los cuales se
encuentran aquellos que alteran, durante el proceso intermedio, el resultado en la operación.
En esta categoría se encuentra la omisión de signos aritméticos, el operar sin respetar la
prioridad y orden, uso inadecuado de elementos en estructuras algebraicas y otros.
Finalmente, se alude a los errores de escritura, que se dan durante las fases de transición de
una etapa a otra en cada operación; se dan también en la comunicación de resultados, sea
escrita o verbal.
Una de las categorizaciones que ha tenido mayor relevancia en el análisis de errores
es la que brinda Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987), quienes enuncian:
Datos mal utilizados. Se incluyen aquí aquellos errores que se han producido por alguna
discrepancia entre los datos que aparecen en una cuestión y el tratamiento que le ha dado
el alumno; principalmente asociados con valores determinados por una lectura o
transcripción incorrecta, o una respuesta inconsistente con el enunciado.
Interpretación incorrecta del lenguaje. Se incluyen en este caso los errores debidos a
una traducción incorrecta de hechos matemáticos descritos en un lenguaje simbólico a
otro lenguaje simbólico distinto. Están mayormente asociados con el componente de
formalidad en el lenguaje utilizado.
Inferencias no válidas lógicamente. Esta categoría incluye aquellos errores que se
producen por falacias de razonamiento, y no se deben al contenido específico. Se
encuentra asociada al uso inadecuado de las leyes lógicas que relacionan un antecedente
con un consecuente, y las tautologías tradicionales.
Teoremas o definiciones deformados. Se incluyen aquí aquellos errores que se
producen por deformación de un principio, regla o definición identificable. Muchas veces
dado por la generalización de otras reglas y la falta de enlace con las premisas o axiomas.
Falta de verificación en la solución. Se incluyen aquí los errores que se presentan
cuando cada paso en la realización de la tarea es correcto, pero el resultado final no es la
35
solución de la pregunta planteada. Principalmente manifestados por descuido o errores
leves que se evidencian por falta de verificación.
Errores técnicos. Se incluyen en esta categoría los errores de cálculo, errores al tomar
datos de una tabla, errores con manipulaciones algebraicas, etc.
Existen algunas categorizaciones más generales, donde se presentan menos categorías
del error matemático de una manera holística. En este sentido, según la actitud del estudiante
y el modo de actuación, se consideran Azcárate, Casadevall y Casellas (1996) (como se citó
en García, 2010), quienes proponen la siguiente clasificación de errores orientados al análisis
de producciones en matemática en distintas áreas:
Errores estructurales: relacionados con los conceptos esenciales implicados.
Errores arbitrarios: el alumno se comporta arbitrariamente sin tener en cuenta los datos
del problema.
Errores ejecutivos: errores en la manipulación, si bien los conceptos implicados pueden
ser comprendidos.
Si estudiamos parte de las categorizaciones que se han generado específicamente en
el área del álgebra básica, encontramos varios autores que han adaptado tipologías de errores
que permiten describir los procesos más comunes y las causas que presenta el estudiante, esto
desde etapas muy tempranas, hasta el ámbito universitario. Muchas de las investigaciones
profundizan en el estudio de fracciones algebraicas y las dificultades típicas al simplificar,
otras engloban las operaciones que incluyen ciertos productos notables; estos conceptos van
de la mano con la resolución de ecuaciones, inecuaciones y contenidos posteriores al álgebra
básica, lo cual sugiere que, si el error no es corregido desde etapas tempranas, va a incidir en
la asimilación y el desarrollo de operaciones más complejas (Olmedo et al., 2015).
Desde esta perspectiva, se consideran relevantes las categorías que aporta García
(2010), a partir de un estudio de errores y dificultades al resolver tareas algebraicas,
manifestados por alumnos de un curso introductorio de matemática a nivel de licenciatura en
el Centro Universitario de la Costa Sur de la Universidad de Guadalajara, México.
Propiamente en el curso de Matemática I, durante el 2008. A continuación, se puntualizan
las categorías de interés según la naturaleza del estudio.
36
Errores al realizar operaciones aritméticas-algebraicas: se incluyen en esta
clasificación aquellos procedimientos en los que el estudiante no realiza correctamente
operaciones básicas con polinomios; tales como la adición y sustracción con términos
semejantes, o distribuciones en el producto.
Procedimiento inconcluso: se basa en ejercicios que el estudiante resuelve parcialmente,
o no interpreta correctamente la respuesta obtenida.
Procedimientos propios incorrectos e inferencias no validas: en las pruebas se
utilizaban métodos a partir de inferencias parcialmente correctas, errores en la
transcripción de datos, o simplemente el desarrollo de procedimientos que no siguen la
indicación del enunciado.
Aplicación parcial de regla de factorización por factor común: se extrae el factor
común, pero no se continúa factorizando el otro factor obtenido. También se destaca la
aplicación incorrecta de leyes de potencia al factorizar.
Asociación incorrecta de productos notables: se dan generalizaciones o inferencias
inválidas sobre productos notables; en algunos casos, no se identifican los términos
utilizados en el producto notable, o hay una asociación incorrecta de signos.
Uso de la aritmética ignorando las reglas del álgebra básica: el alumno intenta
resolver la expresión algebraica como una operación aritmética, ya sea suma, resta o
multiplicación de los coeficientes y exponentes de esta.
Error en la determinación de la potencia de otra potencia: se presentan al aplicar la
potencia del binomio de potencias, el estudiante no aplica la propiedad de potencia
correctamente.
Resolución aditiva de la potencia de un binomio: generalizan la propiedad de potencia
sobre la potencia de un producto al aplicar la linealidad en la suma, ocurre con exponente
cuadrado y cubos.
Error al realizar productos de polinomios: en este error el alumno descompone la
expresión algebraica en factores simples, pero se equivoca al multiplicarlos para
encontrar el resultado.
Error de cálculo simple: se presentan errores por cálculos apresurados, donde el alumno
descuida las operaciones básicas aritméticas; por lo general, continúa con procedimientos
correctos sin detectar el error.
37
Se debe valorar que en este caso las categorías que brindan Movshovitz-Hadar et al.
(1987) se presentan de una forma generalizada a múltiples situaciones, mientras que las
expuestas por García (2010) están enfocadas en casos particularizados con operaciones
algebraicas.
Para finalizar este apartado, se detalla una caracterización de errores en tareas
algebraicas propuesta por Cervantes y Martínez (2007). Estos autores establecen:
Errores de linealización: donde el estudiante adopta la estructura de una transformación
lineal para ciertas operaciones aritmético-algebraicas entre expresiones algebraicas,
donde este proceso de linealización no aplica. Los autores señalan que es el error más
frecuente en las producciones, dada su simplicidad y atractivo. Se muestran a
continuación algunos ejemplos que ilustran esta categoría.
Linealidad según la propiedad ( ) ( ) ( )F x y F x F y
( )n n nx y x y x y x y
Linealidad según la propiedad ( ) ( )F ax aF x
ln(3 ) 3ln( )x x (2 ) 2n nx x nx n x
Errores de extensión de la cancelación: donde el estudiante considera generalizable la
propiedad de simplificación de una expresión algebraica fraccionaria por medio de la
supresión de factores comunes, en casos donde no se satisfacen las condiciones. Se
muestran algunos ejemplos que ilustren este tipo de errores.
AB CD B DAC
AB CD B DA C
2 21A B
A B A B AB CD B CD
AC C
Errores de extensión en el producto nulo: se presenta cuando se da una extensión de
la propiedad 0 0 0ab a b de manera que se considera válida
ab d a d b d
38
Errores de truncamiento: originado cuando se omite o trunca una parte de alguna
fórmula o conclusión directa desde inferencias lógicas que estén incompletas.
2 2 2
0 0 0
0 0 0
xy x y
xy x y
x y x xy y
Este tipo de errores se presenta principalmente en el tema de inecuaciones. Sin embargo,
el interés en el estudio es evaluar los procesos de simplificación en expresiones
algebraicas que involucren las operaciones básicas con polinomios y expresiones
algebraicas fraccionarias, por lo que la tipología de errores que se determine se elaborará
de una manera delimitada, de modo que, en lugar de analizar la resolución correcta y
completa de una ecuación o inecuación, se estudien los procedimientos algebraicos de
interés involucrados en ésta.
Cabe recalcar que las categorías de errores que fueron expuestas en este apartado
fueron sintetizadas con el fin de constituir las clasificaciones generales de errores
matemáticos que se analizaron en la investigación.
39
Capítulo III Metodología
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se realizará una descripción de los componentes metodológicos que
permitirán clarificar la orientación y el enfoque del estudio, el tipo de población a la que va
dirigido, las fuentes de información, las técnicas e instrumentos que se utilizaron en la
recolección de la información, la manera en que se procesaron los datos, y una descripción
detallada del proceso de análisis e interpretación de estos.
3.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
El estudio se encuentra enmarcado en el área de la Educación Matemática y según su
enfoque metodológico, el tipo de investigación es mixto, con una predominancia del
componente de investigación cualitativa l
enfoque mixto es un proceso que recolecta, analiza y vincula datos cuantitativos y
cualitativos en un mismo estudio o una serie de investigaciones para responder a un
(p. 755). En este sentido, durante el análisis de ciertos datos en
el estudio, fue necesario examinar frecuencias y realizar comparaciones entre valores
numéricos, especialmente en el estudio de consistencia de los errores matemáticos que sean
categorizados, motivo por el cual el estudio adquiere un carácter de investigación con
enfoque cuantitativo.
Por otro lado, se llevó a cabo un estudio de corte descriptivo e interpretativo, con el
fin de explorar los desarrollos algebraicos de los estudiantes, considerando ciertas tendencias
ante evaluaciones de carácter algebraico. Bajo esta perspectiva, Hernández, Fernández y
Baptista (2010) refieren que el tipo de estudio descriptivo e interpretativo, en la investigación
cualitativa, está basado en la comprensión del significado de las acciones de seres vivos,
donde se busca la interpretación y descripción de lo que se capta activamente en un entorno
natural. Asimismo, estos autores afirman que a
comprender y profundizar los fenómenos, explorándolos desde la perspectiva de los
participantes en un ambiente natural y en rel
40
el fenómeno de estudio y las técnicas de análisis de información que se emplearon, sugieren
la tipología de investigación cualitativa, como un componente dominante.
3.2 FUENTES DE INFORMACIÓN
El estudio se llevó a cabo en el curso MAC400 Matemática Fundamental de la carrera
Enseñanza de la Matemática, que se imparte en la Universidad Nacional de Costa Rica,
durante el año 2018. Específicamente, se han definido tres fuentes de información que serán
fundamentales para el alcance de los objetivos planteados:
3.2.1 Estudiantes de nuevo ingreso al curso MAC400 Matemática Fundamental
La población del estudio fue conformada por los estudiantes de nuevo ingreso
matriculados en el curso MAC400 Matemática Fundamental, correspondiente al primer nivel
de la carrera. Dado que el estudio posee componentes de corte cualitativo y se precisa de
información detallada sobre las producciones estudiantiles a lo largo de este curso, es
fundamental llevar a cabo un seguimiento detallado de los informantes que hayan completado
el ciclo lectivo, de manera que no presenten una condición de desertores, o se hayan
ausentado en alguna prueba escrita aplicada durante el curso. Cabe destacar que, de acuerdo
con los registros de la Escuela de Matemática, para el I ciclo de 2018, en el curso MAC400
Matemática Fundamental se matricularon 93 estudiantes, de los cuales se conformaron tres
grupos de 25 estudiantes y uno de 18.
3.2.2 Docentes que imparten el curso MAC400 Matemática Fundamental
Se consideraron, como fuente de información, los docentes que impartieron el curso
durante el I ciclo de 2018, debido a que interesa la descripción de los errores matemáticos
más comunes, cometidos por los estudiantes, que estos identifican y los contenidos temáticos
en los que los detectan. Esta descripción fue vital para el contraste entre la información
referente a errores matemáticos que fue recabada través de las pruebas escritas que se
aplicaron en el curso y los datos que suministraron los docentes a partir de su interacción en
este.
3.2.3 Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública
(MEP) para la Educación General Básica y el Ciclo Diversificado (2012)
41
Una de las aristas de esta investigación está orientada a la identificación de errores
matemáticos basados en conocimientos previos que son requeridos y se encuentren inmersos,
al cursar la asignatura MAC400 Matemática Fundamental. En este sentido, el programa
oficial del curso MAC400 Matemática Fundamental establece que
necesario que el estudiante domine los conceptos matemáticos establecidos en el Programa
de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública (MEP) para la Educación
General tanto, dicho programa se vuelve
imprescindible como una fuente de información de carácter bibliográfico. Esta indagación
permitió confeccionar un test diagnóstico en correspondencia con los contenidos que se
abordan a nivel preuniversitario y durante el curso MAC400 Matemática Fundamental.
3.2.4 Fuentes Bibliográficas
Además de las fuentes mencionadas anteriormente, se consideran otras de naturaleza
bibliográfica que fueron pertinentes, tales como la literatura presentada por autores que hayan
establecido categorías de errores en estudios vinculados a este, el programa oficial del curso
MAC400 Matemática Fundamental para el ciclo respectivo, el Plan de estudios de la carrera
BLEM 2017 y otras.
3.3 CRITERIOS PARA LA SELECCIÓN DE LAS FUENTES DE INFORMACIÓN
Debido a la naturaleza del estudio, la selección de las fuentes de información se basa
en criterios que permitan asegurar la menor variabilidad entre los sujetos y el procesamiento
adecuado de información.
Para la selección de los estudiantes informantes se han establecido y definido dos
criterios, que se presentan a continuación.
3.3.1 Perfil de estudiante de nuevo ingreso al curso MAC400 Matemática
Fundamental
Se consideran aquellos estudiantes que matriculan por primera vez el curso MAC400
Matemática Fundamental y que no hayan cursado asignaturas a nivel universitario que
contemplen temas de álgebra básica, debido a que un estudiante que haya sido desertor o
haya reprobado alguna asignatura similar, puede manifestar errores matemáticos originados
en la misma. Este aspecto es fundamental para establecer la muestra de informantes, ya que,
42
en primera instancia, se seleccionan los tres grupos donde la cantidad de estudiantes que
satisfacen la condición de interés sea predominante. Asimismo, se establece como criterio de
selección, que los estudiantes informantes de la muestra hayan realizado todas las pruebas
parciales escritas aplicadas durante el curso.
De esta manera se determinó una muestra de 24 estudiantes informantes, los cuales
fueron seleccionados de tres grupos, respectivamente con 6, 7 y 11 estudiantes que cumplen
con este perfil.
3.3.2 Perfil de docente que imparte el curso MAC400 Matemática Fundamental
Se consideran aquellos docentes que impartieron el curso MAC400 Matemática
Fundamental durante el primer ciclo de 2018. Es importante mencionar que, se consideró la
disponibilidad de los docentes que se encontraban a cargo del curso, desde el inicio del ciclo,
ya que se precisaba de los permisos respectivos para la aplicación del test diagnóstico y la
recolección de las evaluaciones escritas aplicadas a los estudiantes.
3.4 TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Las técnicas e instrumentos considerados para recolectar la información del estudio
se establecen en concordancia con los objetivos planteados, con una predominancia en el
enfoque cualitativo. Se realizó una indagación documental para definir la clasificación de
errores vinculados con las producciones escritas estudiantiles que serán utilizados como
fundamento del análisis; se elaboró un test diagnóstico, que se aplicó al inicio y al final del
ciclo lectivo; se llevó a cabo la recolección de las pruebas parciales escritas ejecutadas por
los estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental durante el I ciclo de 2018.
Además, se aplicó una entrevista semiestructurada que fue administrada a docentes que
impartieron el curso MAC400 Matemática Fundamental.
3.4.1 Test diagnóstico
Se aplicó una prueba o test diagnóstico para evaluar los conocimientos desarrollados
en educación secundaria (determinados en el Programa de Estudios del MEP) que estén en
correspondencia con los contenidos abordados en el curso MAC400 Matemática
Fundamental. Por medio de esta prueba se detectaron errores asociados con la simplificación
43
de expresiones algebraicas; específicamente en dos etapas claves del curso: en las primeras
semanas del curso (sin que hayan abordado contenidos de álgebra básica en el curso) y otra,
en las últimas semanas del ciclo, una vez que se habían aplicado todas las pruebas ordinarias
del curso. El propósito de la primera aplicación fue identificar los errores que tienen como
base los conocimientos de educación secundaria, mientras que en la segunda aplicación se
buscaba contrastar la información recabada a lo largo del ciclo con el fin de evaluar la
consistencia de los errores matemáticos detectados.
Se habla de una prueba o test, considerando que este es uno de los instrumentos más
adecuados y confiables para evaluar los contenidos respectivos. En concordancia con
Bayardo (1987), quien afirma que:
las pruebas o test son instrumentos de medición constituidos por una serie de
estímulos (preguntas, expresiones para completar, proposiciones para relacionar,
problemas por resolver, actividades, actividades por realizar, etc.) que se le presentan
al individuo para suscitar respuestas (p. 44).
El test diagnóstico está constituido por dos módulos. El primer módulo fue
conformado por una serie de preguntas generales de carácter personal, entre las que se
incluyen algunas preguntas que se utilizaron como filtro para delimitar la muestra de
estudiantes en el estudio. En estos ítems se especifica si el estudiante ha repetido el curso, ya
sea de manera parcial (desertores) o completa; la cantidad de veces que lo ha matriculado; si
han cursado alguna asignatura de matemática a nivel universitario, y otros.
El segundo módulo está constituido por nueve ítems referentes a los contenidos que
involucran simplificaciones de expresiones algebraicas. La elaboración de estos ítems toma
como base las consultas bibliográficas sobre expresiones algebraicas en las que comúnmente
se cometen errores de tipo algebraico, esto en correspondencia con las clasificaciones del
error. Los ejercicios involucrados implican la realización de procedimientos algebraicos y
están diseñados bajo cierta intencionalidad con el fin de determinar aquellos errores que se
cometen y la frecuencia con que se manifiestan; todos los ítems del instrumento fueron de
desarrollo (ver anexo 1).
Cabe destacar que, para la elaboración del segundo módulo, se consideraron los
conocimientos de la Educación General Básica del III Ciclo, sin perder congruencia con los
44
contenidos inmersos el curso MAC400 Matemática Fundamental (véase anexo 2). En la
estructuración de este módulo se realizó una adaptación de la prueba aplicada por García
(2010) para la detección de errores; esta fue considerada como prueba diagnóstica en el
Primer Examen Departamental en Matemática del Centro Universitario de la Costa Sur de la
Universidad de Guadalajara México, durante el año 2008 y 2009.
Para asegurar la validez del instrumento se han tomado en consideración las
características propias que preserva García (2010) en su instrumento, y el juicio de docentes
expertos que laboran en la Universidad Nacional de Costa Rica.
En la tabla 1 se expone el conocimiento a desarrollar (presentes en el Programa de
Estudios del MEP), la habilidad específica y el ejercicio propuesto para abordar el
conocimiento y la habilidad respectiva, en la simplificación de expresiones algebraicas. Cabe
indicar que las habilidades específicas se adaptan del Programa de Estudios del MEP.
Tabla 1 Descripción del contenido de los ítems del test diagnóstico
Conocimiento Habilidad específica Ejercicios propuestos Operaciones con polinomios y Productos notables
Utiliza correctamente los productos notables y las operaciones aritmético-algebraicas para simplificar expresiones algebraicas enteras.
Efectúe la operación y simplifique al máximo los resultados
3 24 (5 3 3 )xy x y xy x y 2 2(2 5) (1 3 )x x 2 2 216 ( 4)( 4)z z z
Factorización de polinomios
Factoriza correcta y completamente la expresión algebraica. En este caso, también se evalúa la correcta simplificación de los factores determinados.
Factorice al máximo 3 2 2 3a a b ab b
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias
Efectúa correctamente cada operación involucrada con las expresiones algebraicas fraccionarias y simplifica al máximo los resultados.
Efectúe las siguientes operaciones y simplifique al máximo.
2 2
3 2
2
2 2 2
2
2 6 5
6 9 96
12 366 55 11
1
x x
x x xx x
x xa a ab b
ab ab
45
Conocimiento Habilidad específica Ejercicios propuestos
Ecuaciones de primer y segundo grado en una incógnita
Simplifica correctamente los polinomios involucrados en ecuaciones que son reducibles a ecuaciones de primer y segundo grado.
Determine el conjunto solución de cada ecuación
5 1 2 6
3 2 6 23 3
x x
x x x x
Nota: Conocimientos tomados de los Programas de Estudio de Matemáticas del MEP (2012) para el III Ciclo de la Educación General Básica.
Aunado a lo anterior, se consideraron criterios específicos para la selección de los
ejercicios del test, tomando en cuenta la pertinencia de los procedimientos involucrados en
cuanto al estudio de errores, la integración de los contenidos temáticos y una inclusión óptima
de elementos, sin reiterar procesos. Esto con el fin de elaborar una evaluación holística que
responda al propósito del instrumento. Los criterios para la selección de los ejercicios
involucrados en la prueba se presentan en el Anexo 3.
Es importante mencionar que, de los temas involucrados a nivel de educación
secundaria, la racionalización y la resolución de inecuaciones no se contemplan en los
ejercicios del test, debido a que el propósito principal es analizar las producciones en la
simplificación de expresiones algebraicas, no en la estructura del desarrollo que tiene inmerso
estos contenidos. En el caso de la racionalización, se quiere evaluar, prioritariamente, la
simplificación final de la fracción, para lo cual se contemplan ejercicios que tengan este
enfoque en el test; al igual, para el tema de inecuaciones (que tiene menor profundidad a
nivel de educación secundaria) se evaluó la simplificación de los términos involucrados, no
la estructura completa de la inecuación, por lo que solamente se contempla el tema de
ecuaciones.
Se debe añadir que en este instrumento se adjunta un consentimiento informado en el
cual se indica el propósito la investigación, las actividades a realizar, la duración de la
aplicación y se extendió la solicitud del consentimiento para reproducir posteriormente los
solucionarios de cada prueba ordinaria escrita aplicada en el curso. Todo lo anterior
garantizando los criterios de confidencialidad respectivos.
46
3.4.2 Pruebas parciales escritas del curso MAC400 Matemática Fundamental
(registro documental)
Otra de las fuentes que brindó información es la prueba ordinaria escrita que rinde el
estudiante durante el curso. En este sentido, se recolectaron los solucionarios de las pruebas
ordinarias parciales escritas que realizaron los estudiantes de los grupos seleccionados, al
final del curso se descartaron de la muestra los estudiantes que no realizaron el total de las
pruebas. De igual manera, se contemplan los permisos para la recolección de estos
documentos, por parte de la coordinación de la cátedra y los demás docentes encargados.
Las pruebas parciales específicas que se utilizaron para la recolección son aquellas
que involucraban tareas que impliquen la simplificación de expresiones algebraicas. Se
determina que los tres exámenes parciales escritos cumplen con esta condición. Según la
revisión del programa oficial del curso MAC400 Matemática Fundamental, el primer examen
parcial contempla operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con
polinomios, métodos de factorización: factor común, agrupación, fórmulas notables,
inspección, fórmula general para factores cuadráticos, completar cuadrados, teorema del
factor, cambio de variable, operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con
fracciones algebraicas. El segundo examen parcial involucra ecuaciones lineales y
cuadráticas, inecuaciones lineales y cuadráticas, ecuaciones e inecuaciones de grado superior
a dos. En el tercer examen parcial se evalúan ecuaciones con fracciones racionales, radicales
y valor absoluto, inecuaciones con fracciones racionales, radicales y valor absoluto, sistemas
de ecuaciones y sistemas de inecuaciones. No obstante, de estas pruebas fueron considerados
solamente aquellos ítems de desarrollo que reflejen simplificaciones de expresiones
algebraicas.
Cabe señalar que este proceso de recolección se realizó posterior a la revisión
ordinaria de cada prueba y de manera previa a la entrega de resultados por parte de cada
docente encargado, por lo que se mantuvo una comunicación activa con los docentes para
solicitar de manera efectiva los permisos respectivos y coordinar el momento de la
reproducción de dichos instrumentos.
3.4.3 Entrevista
47
Dada la necesidad de interactuar con los docentes informantes, para poder determinar
la frecuencia de ciertos errores matemáticos, interpretar las producciones de los estudiantes
y contrastar la información obtenida durante el ciclo, se emplea una entrevista
semiestructurada que se describe a continuación.
Entrevista Semiestructurada
Según Hernández, et al. (
guía de asuntos o preguntas y el entrevistador tiene la libertad de introducir preguntas
adicionales para precisar conceptos u obtener mayor información sobre los temas deseados
(es decir, no todas cia
esta definición, se aplica una entrevista semiestructurada a los docentes a cargo del curso
MAC400 Matemática Fundamental durante el I ciclo 2018, según la elección de la muestra
de estudiantes. En este caso, uno de los propósitos fue distinguir los errores matemáticos
percibidos por el docente durante la evolución del curso y realizar un contraste con la
información que se obtuvo sobre errores matemáticos manifestados por los estudiantes en
este ciclo. Asimismo, se determinó si el docente capta errores que no se manifestaron en las
pruebas parciales escritas, debido a la estructura de cada evaluación.
Por otro lado, se determinaron los errores detectados por los docentes relativos a las
temáticas que involucran simplificaciones de expresiones algebraicas, tomando como
referencia ciclos previos y aquellos detectados en el I ciclo de 2018. Además, será de gran
relevancia conocer desde la percepción del docente, las unidades temáticas donde se
manifiesta el error para establecer un criterio de consistencia.
La entrevista se aplicó de manera individual, por medio de una guía de preguntas
prestablecidas (ver anexo 4). Ésta se llevó a cabo de forma oral, apoyada de un documento
que se le entregó a cada docente, donde deben realizar apuntes para ilustrar errores
matemáticos cometidos por estudiantes, que identificó en el curso MAC400 Matemática
Fundamental. No obstante, en la aplicación se les detalla a los docentes los componentes de
confidencialidad y anonimato sobre la información recabada.
Esta técnica se empleó una vez que se aplicaron todas las evaluaciones ordinarias del
curso; es decir, en el cierre del ciclo lectivo.
48
Finalmente, para facilitar el proceso de sistematización y análisis de datos, la
información recolectada con este instrumento se registra por medio de una grabadora de
audio y, posteriormente, se transcribe para su adecuado tratamiento en el análisis.
3.5 PROCEDIMIENTOS PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Previo a la inmersión al campo, se solicitó, por medio de una carta dirigida a la
coordinadora de la cátedra del curso MAC400 Matemática Fundamental, los permisos
necesarios para la aplicación de los instrumentos de recogida que se han detallado. Se le
informa sobre los objetivos de la investigación, el tipo de instrumentos diseñados y los
requeridos a partir del curso; así como los detalles de confidencialidad y tratamiento que se
le dará a los datos.
Posteriormente a la aprobación de la coordinadora del curso, se le informó del estudio
a los docentes encargados de impartir el curso durante el ciclo elegido. Se les comunicó el
propósito, el tipo de instrumentos que se aplicarían y se coordinaron las semanas en que sería
conveniente la aplicación de cada instrumento; específicamente, se acordaron los períodos
de aplicación de manera que el docente tenga disponibilidad, considerando que no se vea
afectado el desarrollo del curso.
La recolección de la información se divide en una serie de etapas que siguen un orden
cronológico, según la naturaleza de cada instrumento; estas se detallan a continuación.
3.5.1 Etapa I: Primera aplicación del test diagnóstico
Para recolectar la información por medio del test diagnóstico se solicitó a cada
docente, por medio de una carta, el aval para la aplicación del instrumento. En la carta se
exponen los principales datos de investigación, se brindan los detalles de la aplicación, la
duración y los criterios de confidencialidad considerados. Es importante mencionar que se
consideró el cronograma de actividades del curso, con el fin de realizar la aplicación con
antelación al abordaje de los contenidos que se incluyen en el instrumento, dado que con esta
evaluación se pretenden evaluar errores que manifiesten los estudiantes a partir de sus
conocimientos previos abordados en la educación secundaria.
Los permisos de aplicación del test fueron obtenidos en la primera semana del
calendario institucional del primer ciclo 2018, de donde se avaló la administración de la
49
prueba para la segunda semana, en la sesión de clases correspondiente. El instrumento se
aplicó individualmente y debía completarse de forma escrita. Solo se le permitió al estudiante
utilizar lápiz y borrador para contestar esta prueba; el uso de la calculadora estuvo prohibido
para este fin. La duración promedio de la administración de la prueba fue de 30 minutos.
3.5.2 Etapa II: Recolección de solucionarios producidos por los estudiantes del curso
MAC400 Matemática Fundamental en las pruebas parciales ordinarias
Una vez aplicado el test diagnóstico, se realizó una clasificación de los estudiantes
según el perfil que presentan, respecto a los criterios considerados a través del primer módulo
del test. Cabe recalcar que la finalidad de esta actividad fue realizar un filtro para establecer
la muestra de informantes utilizada en el estudio.
Para registrar las producciones de los discentes se reprodujo el solucionario elaborado
por cada estudiante en las tres pruebas parciales, mediante fotocopia. Los permisos para
llevar a cabo la reproducción de los solucionarios en cada prueba parcial escrita se solicitaron
con dos semanas de anticipación a la aplicación de estas. Para llevar a cabo esta actividad se
contactó al docente encargado del grupo y el personal administrativo de la Escuela de
Matemática de la Universidad Nacional, con el fin de coordinar la reproducción de los
solucionarios desde este recinto, a partir de una lista con los nombres de los estudiantes
seleccionados y la identificación. En reproducción de las producciones de los educandos fue
necesaria la previa revisión de las pruebas por parte del docente y la devolución inmediata
de los exámenes originales, una vez obtenidas las copias. Solo aquellos estudiantes que
realizaron las tres pruebas parciales ordinarias conformaron la muestra considerada en el
análisis de datos.
3.5.3 Etapa III: Segunda aplicación del test diagnóstico
En esta etapa se aplicó por segunda vez el instrumento utilizado en la etapa I. En este
caso, se suprime el primer módulo y se preserva el segundo, referente al desarrollo del
contenido matemático.
El propósito de la aplicación del instrumento en esta etapa se enmarca en el estudio
de la consistencia de los errores matemáticos detectados a partir de la primera aplicación.
Tomando como referencia la propiedad de consistencia para un error que refiere Rico (1995),
50
se busca evaluar el error a partir de tareas que presenten poca variabilidad y se den en
condiciones muy similares, para determinar su consistencia o inconsistencia. Los datos
obtenidos en la segunda aplicación del instrumento fueron contrastados con la información
determinada en la primera aplicación.
Las pautas para la segunda aplicación del test diagnóstico siguieron la misma
estructura de la primera. Se obtuvieron los permisos respectivos de manera que se posibilitó
la aplicación entre la semana 13 y 15 del ciclo lectivo (con una diferencia de 11 semanas de
la primera aplicación). Cabe mencionar que, la administración del test se realizó previo a la
aplicación de la tercera prueba parcial; sin embargo, los contenidos de esta prueba no
correspondían al tipo de ejercicios planteados en el test diagnóstico, por lo que la totalidad
de los contenidos algebraicos necesarios para la rendición del test habían sido abarcados en
el curso.
3.5.4 Etapa IV: Aplicación de entrevista semiestructurada a docentes
Por último, con el fin de sintetizar los errores detectados por los docentes del curso y
contrastar esta información con la obtenida a través de las pruebas aplicadas en el curso, se
aplicó la entrevista semiestructurada a los docentes a cargo de los grupos en que se tomaron
las muestras de estudiantes informantes.
Para la aplicación del instrumento se coordinó con el docente el momento y el lugar
en que posea mayor disponibilidad. La aplicación de la entrevista se estructuró en dos fases:
en la primera (aplicada la segunda semana del mes de octubre de 2018) se recolectaron datos
generales sobre el perfil de los docentes entrevistados y sobre los errores matemáticos que
han identificado desde su experiencia en cursos de matemática, dicha información se registró
en grabadora de audio y tuvo una duración promedio de 10 minutos; para la segunda fase a
los entrevistados se le proporcionó (al final de la primera fase), de manera impresa, el
instrumento orientado a la ilustración de errores matemáticos detectados en el curso MAC400
Matemática Fundamental, el cual completaron de forma escrita y se recolectó durante la
tercera y cuarta semana del mes de octubre.
51
3.6 CATEGORÍAS Y UNIDADES DE ANÁLISIS
Según Hernández et al. (2010), las categorías de análisis están conformadas por
conceptos, experiencias y hechos que provienen de distintas fuentes inmersas en la
investigación, donde están involucrados los objetivos, la estructuración de los instrumentos
de recolección y aquellos componentes de interés relacionados con las referencias
bibliográficas durante la codificación cualitativa.
En este sentido, para el estudio se han establecido dos categorías de análisis: (1)
errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental
en la simplificación de expresiones algebraicas y (2) consistencia del error matemático en la
simplificación de expresiones algebraicas. En la primera categoría se clasifican los errores
que emergen en las pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso y en las aplicaciones
del test diagnóstico, en correspondencia con las categorías de errores propuestas por
Movshovitz-Hadar et al. (1987), Cervantes y Martínez (2007) y García (2010), además, se
presentan los errores que identifica cada docente en las producciones de los estudiantes; en
la segunda categoría se estudia la consistencia del error matemático identificado en la
simplificación de expresiones algebraicas, donde se valora la frecuencia y prevalencia de los
errores respecto a las unidades temáticas y las pruebas aplicadas para la recolección de datos.
A continuación, se detalla cada categoría de análisis y las respectivas subcategorías.
3.6.1 Errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas
En esta categoría se estudian errores de distinta naturaleza: algunos son de carácter
general en la estructura de un ejercicio, donde se contempla el tratamiento incorrecto o
inadecuado de los datos involucrados en el desarrollo; otros, son más específicos en el campo
del álgebra básica, donde se consideran las operaciones y estructuras propias involucradas en
la simplificación de expresiones algebraicas. El estudio de esta categoría se basa en la
caracterizaron y clasificación los errores identificados, en correspondencia con Movshovitz-
Hadar et al. (1987), Cervantes y Martínez (2007) y García (2010), quienes afirman que al
trabajar con los contenidos matemáticos se destacan:
Discrepancias entre el enunciado del ejercicio en cuestión y el tratamiento que se le da a
los datos.
52
Uso de teoremas, definiciones e inferencias no válidas, debidas a la generalización de
otras reglas y la falta de enlace con las premisas.
Transcripción incorrecta de información entre una etapa a otra, durante la resolución de
un ejercicio.
Comunicación incorrecta de resultados de manera escrita o falta verificación de
soluciones.
Proceso de resolución inconclusa, donde se aplican procedimientos de manera correcta,
pero la resolución del ejercicio se da de manera incompleta.
Estas situaciones fueron evaluadas en operaciones básicas entre polinomios, tales
como la suma, la resta, la multiplicación, la potenciación (potencias de monomios y
productos notables) y la división (algoritmo para dividir dos polinomios, o bien, un polinomio
por un monomio); al efectuar métodos de factorización; al desarrollar operaciones básicas
entre expresiones algebraicas fraccionarias, tales como la suma, la resta, la multiplicación y
la división, además de los métodos de racionalización.
Para analizar esta categoría se definieron dos subcategorías de análisis, que
corresponden a las clasificaciones de errores generadas en el estudio:
Errores matemáticos que se manifiestan al ingresar al curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas
En esta subcategoría se clasificaron los errores matemáticos que se manifiestan en la
primera aplicación del test diagnóstico. El propósito de esta prueba es caracterizar y clasificar
los errores matemáticos con que ingresan los estudiantes al curso, razón por la cual la prueba
se administró previo al abordaje de los contenidos involucrados del curso. En esta
subcategoría se definen las clases que conforman la clasificación general de errores
matemáticos que se manifiestan estudiantes al ingresar al curso MAC400 Matemática
Fundamental, en correspondencia con las categorías propuestas por Movshovitz-Hadar et al.
(1987), Cervantes y Martínez (2007) y García (2010).
53
Errores matemáticos que se manifiestan en el desarrollo del curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas
En esta subcategoría se clasificaron los errores matemáticos que se manifiestan en las
pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental y la
segunda aplicación del test diagnóstico. El propósito de estas pruebas es identificar y
clasificar los errores matemáticos que cometen los estudiantes en el desarrollo del curso, por
lo que cada aplicación tiene una ubicación temporal en el ciclo lectivo, que la distingue de
las demás. Además, en esta subcategoría se presenta un contraste entre la información
recabada a través de la entrevista semiestructurada aplicada a docentes y los datos que reveló
el estudio a partir de las pruebas parciales ordinarias y el test diagnóstico.
3.6.2 Consistencia del error matemático en la simplificación de expresiones
algebraicas
Como se ha indicado, esta categoría tiene como base la definición de consistencia de
un error matemático que propone Rico (1995), quien define esta característica desde la
frecuencia, regularidad, permanencia y estabilidad que presenta un error ante la resolución
de tareas o problemas con poca variabilidad. En este caso, se tiene como propósito evaluar
la consistencia de los errores que manifiesten los estudiantes, a partir del abordaje del curso;
es decir, al enfrentar diversas pruebas escritas. Esta categoría será evaluada considerando dos
subcategorías de análisis:
Frecuencia de los errores detectados en los instrumentos de evaluación
Se consideran dos tipos de frecuencia a partir de las categorías de errores
determinadas: una a nivel interno de cada instrumento (comparando la frecuencia del error
por instrumento) y otra a nivel externo, entre los instrumentos (comparando la frecuencia de
estudiantes que cometieron el error por cada instrumento). Es importante destacar que uno
de los componentes del análisis de consistencia se dará por medio de la comparación entre
los datos que brindan las aplicaciones del test diagnóstico (inicio y final del curso).
54
Incidencia de los errores detectados, según las unidades temáticas del curso
Este aspecto contempla la comparación de frecuencias del error detectado en
correspondencia con cada uno de los contenidos temáticos que se abordan en el curso. La
finalidad es identificar las unidades temáticas donde se dio una mayor incidencia del error,
por medio de la clasificación de los ítems involucrados en cada evaluación escrita y el análisis
de la frecuencia del error.
3.7 ANÁLISIS DE DATOS
El análisis de la información se llevó a cabo desde un enfoque descriptivo, tomando
como base los instrumentos de recolección de la información.
En la primera etapa de análisis, mediante el test diagnóstico, se detectaron errores que
están relacionados con los conocimientos previos al curso. En este caso, la descripción y el
tratamiento de los errores se determinó en correspondencia con las categorías de errores
planteadas por los autores Movshovitz-Hadar et al. (1987), Cervantes y Martínez (2007), y
García (2010). Cabe señalar que la aplicación del test diagnóstico en la etapa final permitió
identificar los errores que persisten o son consistentes a través del curso. El contraste entre
los datos obtenidos en etapas distintas se realizará a través de comparaciones, desde la
clasificación de errores emergentes en el estudio y una serie de matrices que permitan
identificar, describir y cuantificar los errores.
La consistencia de los errores fue evaluada desde diferentes aristas, donde se
contemplan las aplicaciones del test diagnóstico y los errores que se identifican a través de
las pruebas parciales del curso. En este sentido, se determinaron frecuencias de errores
individuales y colectivos, se considera la regularidad de los errores que presentaron
permanencia a través del ciclo y aquellos que, por el contrario, se redujeron gradualmente.
El procesamiento de los datos y la descripción de errores por instrumento, así como
la cuantificación de frecuencia de errores, se llevó a cabo por medio de una sistematización
y clasificación de la información en tablas y matrices, que permitieron realizar
comparaciones y conteos de errores detectados. Este tratamiento de los datos fue aplicado
tanto para el test diagnóstico, como para las pruebas parciales escritas y las entrevistas.
55
Luego de haber analizado los resultados del test diagnóstico aplicado en las primeras
semanas del ciclo, se identificaron nuevos errores que no se ubicaban en la clasificación CG,
por lo que se amplió gradualmente hasta crear la clasificación general de errores CGF, que
responde a errores identificados en el desarrollo del curso. A partir de estos aspectos
metodológicos, el estudio estuvo dirigido al análisis de errores matemáticos en la
simplificación de expresiones algebraicas que el estudiante manifestó en las producciones
escritas, donde realizó algún procedimiento desacertado; no se consideraron como errores
aquellos ejercicios omitidos por el estudiante, que no presenten un desarrollo en la resolución.
Por otra parte, se llevó a cabo un análisis descriptivo de la entrevista semiestructurada
aplicada a los docentes, con el fin de comparar y caracterizar los errores que estos detectaron
en las producciones de sus estudiantes durante el ciclo lectivo. Este análisis permitió
contrastar la tipología de errores determinada a partir de las pruebas parciales ordinarias y el
test diagnóstico. Con el propósito de fortalecer, y comparar las técnicas de análisis
empleadas, se realizaron triangulaciones entre los hallazgos obtenidos durante las
aplicaciones del test diagnóstico, las pruebas parciales del curso y las entrevistas a docentes.
De acuerdo con Benavides y Gómez (2005) la triangulación de los datos comprende la
utilización de varios métodos de corte cualitativo para estudiar un fenómeno de manera
global, por lo que la triangulación consiste en la verificación, comparación e interpretación
de la información obtenida en diferentes momentos, donde la inconsistencia en los hallazgos
no disminuye la credibilidad de las interpretaciones; por el contrario, el análisis de estas
inconsistencias brinda información sobre la fuente que produjo los datos en el fenómeno y
las características que lo acompañaban.
3.7.1 Codificación para el análisis de datos
En esta sección se presenta la codificación implementada en el procesamiento de los
datos. Se consideraron códigos para los sujetos involucrados en el estudio, clasificaciones de
errores, instrumentos aplicados en la recolección de datos y contenidos involucrados en estos,
etc.
Sujetos y grupos
Los sujetos y grupos corresponden a las fuentes de información involucradas en los
tres grupos de estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental. Se crearon códigos
56
para los docentes a cargo, para cada estudiante de un grupo respectivo y para los grupos
correspondientes. Cabe recalcar que se determinó una muestra de 24 estudiantes que
satisfacen el criterio de selección para el estudio; a continuación, se presentan los códigos
empleados para estos componentes.
Docente A: docente a cargo del grupo conformado por 11 estudiantes.
Docente B: docente a cargo del grupo conformado por 6 estudiantes.
Docente C: docente a cargo del grupo conformado por 7 estudiantes.
Grupo A: grupo de estudiantes que imparte el docente A. Los estudiantes de este grupo se
Grupo B: grupo de estudiantes que imparte el docente B. Los estudiantes de este grupo se
co
Grupo C: grupo de estudiantes que imparte el docente C. Los estudiantes de este grupo se
C7.
Instrumentos
Los instrumentos corresponden al test diagnóstico y a las pruebas parciales ordinarias
del curso. El test diagnóstico está constituido por nueve ítems de desarrollo, donde se
combinan ejercicios relativos a operaciones básicas con polinomios y con expresiones
algebraicas fraccionarias, además de ecuaciones polinomiales; estos ítems fueron codificados
primera aplicación (test 1) se ejecutó al inicio del ciclo, en esta los estudiantes debían
completar individualmente la prueba previo al abordaje de los temas correspondientes en el
curso (evalúa conocimientos previos o de ingreso); la segunda aplicación (test 2) consistió
en repetir el test, pero al final del ciclo lectivo, una vez que se abordó la totalidad de los
contenidos del curso.
Las pruebas parciales ordinarias corresponden a las aplicadas por los docentes del
curso; se aplicaron tres pruebas. Estas incluían ítems de selección única, falso y verdadero,
respuesta breve y desarrollo; sin embargo, de estas pruebas, para la investigación se
consideraron únicamente los ejercicios de desarrollo relacionados con operaciones básicas
57
con polinomios, operaciones básicas con fracciones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones.
En la primera prueba parcial se determinaron cuatro ítems: PO-1.1, PO-1.2, PO-1.3, y PO-
1.4; en la segunda, cinco ítems: PO-2.1, PO- -2.5; y en la tercera prueba, cinco
ítems: PO-3.1, PO- -3.5.
Ítems donde no se identifican errores
Corresponde a la manera en que el estudiante expresa o no una resolución en cada
ítem de las pruebas. Se identifican dos tipos: (1) Resolución donde no se identificaron errores
y se obtuvo una respuesta correcta al ejercicio (NIE) y (2) ítem sin resolución o
procedimiento (NR).
Unidades temáticas
Las unidades temáticas establecidas en el programa oficial del curso MAC400
Matemática Fundamental por la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional de Costa
Rica (2017) han sido codificadas con el fin de sistematizar y dar un tratamiento cuantitativo
a los datos. Los códigos generados se presentan a continuación.
UT1 Operaciones aritmético-algebraicas con polinomios.
UT1.1 Suma y resta de polinomios.
UT1.2 Producto entre polinomios.
UT1.3 División entre polinomios.
UT1.4 Potenciación de polinomios.
UT1.5 Radicación de polinomios.
UT2 Operaciones aritmético-algebraicas con fracciones algebraicas.
UT2.1 Simplificación de una expresión algebraica fraccionaria.
UT2.2 Suma y resta de expresiones algebraicas fraccionarias.
UT2.3 Producto entre expresiones algebraicas fraccionarias.
UT2.4 División entre expresiones algebraicas fraccionarias.
UT2.5 Racionalización de expresiones algebraicas radicales.
UT3 Factorización de polinomios.
UT4 Ecuaciones.
UT4.1 Ecuaciones polinomiales de primer grado.
UT4.2 Ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que dos.
58
UT4.3 Ecuaciones radicales.
UT4.4 Ecuaciones con valor absoluto.
UT4.5 Ecuaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias.
UT5 Inecuaciones.
UT5.1 Inecuaciones polinomiales de primer grado.
UT5.2 Inecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que dos.
UT5.3 Inecuaciones radicales.
UT5.4 Inecuaciones con valor absoluto.
UT5.5 Inecuaciones entre expresiones algebraicas fracciones.
UT6 Sistemas de ecuaciones lineales.
UT7 Sistemas de inecuaciones lineales.
UT8 Problemas de aplicación que involucran ecuaciones.
UT9 Problemas de aplicación que involucran inecuaciones.
UT10 Aritmética básica.
Clasificación de errores matemáticos en la simplificación de expresiones algebraicas
Las clases de errores matemáticos que cometen estudiantes al simplificar expresiones
algebraicas en el curso fueron codificadas de la siguiente manera. Las clases de errores
matemáticos de la clasificación CG se codificaron por ET1.1, ET1. ; las clases
de errores determinadas en la clasificación CGF son conformadas a partir de la adición de
clases a la clasificación CG; es decir, en la clasificación CGF están presentes clases de errores
contenidas en CG y nuevas clases codificadas como ET2.1, ET2.2, ET2.3.
A continuación, se describen las etapas que orientan el análisis de datos de forma
estructurada, a partir de las categorías de análisis.
3.7.2 Etapas del análisis de datos
A continuación, se muestra un esquema que resume las etapas del análisis de datos del
estudio. Las etapas se ordenaron cronológicamente, según el orden en que se administraron
los instrumentos de recolección para el estudio de cada categoría de análisis.
59
Análisis de errores matemáticos cometidos por estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental en la simplificación de expresiones algebraicas
El análisis de esta categoría inicia con la clasificación de los errores matemáticos que
se manifiestan al ingresar al curso MAC400 Matemática Fundamental (CG), para tal fin se
aplicó el test 1 y se analizaron los resultados. La composición de esta clasificación sigue las
fases: (1) se identificaron de los errores o datos primarios del test 1 (datos primarios), donde
versan aquellos errores directamente observables del instrumento; es decir, aquellos datos
que no han sido sujetos a procesamiento o manipulaciones, únicamente se han agrupado por
semejanzas; (2) se sintetizaron los datos primarios, en correspondencia con las categorías de
errores propuestas por Movshovitz-Hadar et al. (1987), Cervantes y Martínez (2007) y García
(2010); y (3), se crearon las clases que conforman la clasificación general de errores
matemáticos (CG), a partir de la síntesis del paso anterior. En la figura 1 se presenta el
proceso de sistematización descrito en esta subcategoría.
Figura 1. Procesamiento de los resultados de la primera aplicación del test diagnóstico y conformación de la clasificación CG.
Una vez creada la clasificación CG, se procede con la clasificación de los errores
matemáticos que se manifiestan en el desarrollo del curso MAC400 Matemática
Fundamental (CGF), obtenidos de las pruebas parciales ordinarias del curso y del test 2. El
procesamiento requerido para esta clasificación fue muy similar al descrito en el caso de CG,
con la diferencia de que la clasificación CG se utiliza como criterio para clasificar nuevos
errores, que cumplan con alguna de las clases definidas. Las etapas llevadas a cabo son: (1)
se identificaron de los errores o datos primarios del test 2, y las pruebas parciales ordinarias;
(2) se sintetizaron los datos primarios, en correspondencia con las categorías de errores
propuestas por Movshovitz-Hadar et al. (1987), Cervantes y Martínez (2007), García (2010)
y la clasificación CG; y (3), se crearon las clases que conforman la clasificación general de
errores matemáticos (CGF). En la figura 2 se presenta el proceso de sistematización utilizado
Resultados de la primera aplicación del test diagnóstico (datos primarios)
Análisis de correspondencia entre los datos primarios y las
categorías de autores
Clasificación de errores matemáticos
CG
60
para clasificar los errores manifestados en las pruebas parciales ordinaras y la segunda
aplicación del test diagnóstico.
Figura 2. Procesamiento de los resultados de la segunda aplicación del test diagnóstico y las pruebas ordinarias parciales aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental, y conformación de la clasificación CG.
Finalmente, se analizaron los resultados de la entrevista semiestructurada aplicada a
docentes que impartieron el curso MAC400 Matemática Fundamental en el ciclo 1 de 2018,
una vez finalizado este ciclo; para hacer el análisis: (1) se describen los entrevistados, (2) se
realiza una síntesis de los errores detectados por los docentes y (3) se hace un contraste de
los errores detectados por los docentes, con los hallazgos obtenidos a partir de las pruebas
aplicadas en el curso, con el fin de complementar la detección de errores matemáticos
manifestados por estudiantes al simplificar expresiones algebraicas en el desarrollo del curso
MAC400 Matemática Fundamental.
Análisis de la consistencia del error matemático en la simplificación de expresiones
algebraicas
Para analizar esta categoría se dio un tratamiento cuantitativo a los datos recolectados.
A partir de las codificaciones empleadas y las clasificaciones generadas, se determinaron las
frecuencias de cada error por estudiante y por ítem en los instrumentos; además, se determinó
la frecuencia de cada error por unidad temática. Para llevar a cabo el análisis comparativo de
estos elementos se siguieron las siguientes fases.
Cuantificación de errores por instrumento y por unidad temática: se da un tratamiento
cuantitativo de los datos por medio de frecuencias absolutas y porcentuales que permitan
determinar en qué medida se manifestaron los errores matemáticos detectados por
instrumento, según las clasificaciones elaboradas y las unidades temáticas involucradas en
cada período. Este proceso se aplica en el test 1, test 2 y en las pruebas parciales ordinarias.
Resultados de las pruebas parciales
ordinarias y la segunda aplicación del test diagnóstico (datos primarios)
Análisis de correspondencia entre los datos primarios, las
categorías de autores y la clasificación CG
Clasificación de errores matemáticos
CGF
61
Análisis comparativo de frecuencias: se comparan las frecuencias con que se presentaron los
errores detectados en distintos períodos del ciclo lectivo, con el fin de describir las
variaciones y prevalencia de estos en el curso. Este análisis se desarrolla en dos etapas: (1)
análisis comparativo entre el test 1 y test 2, y (2) comparación entre las pruebas parciales.
En la figura 3 se muestra un esquema que resume la estructuración del presente
análisis.
62
Figu
ra 3
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63
Capítulo IV Resultados
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se describen y analizan los hallazgos que se obtuvieron a partir de
los datos recolectados. Los apartados del presente capítulo están estructurados en
correspondencia con las etapas del análisis propuesto para el estudio, como se sigue:
La categoría de análisis correspondiente a los errores matemáticos cometidos por
estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental en la simplificación de expresiones
algebraicas, fue abordada mediante dos subcategorías, que se trabajaron de forma
consecutiva. Estas subcategorías corresponden a los errores matemáticos que manifiestan los
estudiantes al ingresar al curso y aquellos que se manifiestan en el desarrollo del curso. En
cada subcategoría se sintetizó la información recolectada a través del diagnóstico y las
pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso, con el fin de crear las clasificaciones
generales de errores CG y CGF. Por último, se presenta el análisis de los errores matemáticos
que identifica el docente en las producciones de estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental, a partir de la síntesis de los resultados de la entrevista semiestructurada
aplicada a docentes y el contraste de los datos con los errores detectados en las pruebas
aplicadas.
La categoría de análisis correspondiente a la consistencia del error matemático en la
simplificación de expresiones algebraicas fue desarrollada mediante la cuantificación de
errores por instrumento y por unidad temática, y el análisis comparativo de frecuencia de
errores.
4.1 ERRORES MATEMÁTICOS COMETIDOS POR ESTUDIANTES DEL CURSO MAC400 MATEMÁTICA FUNDAMENTAL EN LA SIMPLIFICACIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En esta sección se presentan los errores matemáticos que manifestaron estudiantes
del curso MAC400 Matemática Fundamental al resolver tareas que involucran la
simplificación de expresiones algebraicas. Se parte de los errores matemáticos que se
manifiestan al ingresar al curso, emergentes del test 1; dicha información se sintetizó y dio
64
origen a la clasificación general de errores matemáticos CG. Luego, se presentan los errores
matemáticos que se manifestaron en el desarrollo del curso, donde se examinaron errores
emergentes de las pruebas parciales ordinarias y del test 2; la síntesis de esta información dio
origen a la clasificación general de errores CGF.
4.1.1 Errores matemáticos que se manifiestan al ingresar al curso MAC400
Matemática Fundamental
A continuación, se presentan el análisis y los resultados obtenidos tras la primera
aplicación del test 1, el cual se realizó con una muestra de 24 estudiantes matriculados en el
curso MAC400 Matemática Fundamental, durante el I ciclo de 2018. Esta sección se divide
en dos apartados: (a) errores identificados en el test 1 (datos primarios); donde no se ha
sintetizado ni procesado la información, únicamente se describen los errores que son
directamente observables de las resoluciones emitidas en el test 1, y (b) Clasificación general
de errores matemáticos determinados en el ingreso al curso MAC400 Matemática
Fundamental (CG); derivada de la síntesis y procesamiento de los datos primarios, a partir
de la comparación y el contraste con las categorías propuestas por expertos en el área.
Errores identificados en el test 1 (Datos primarios)
En primera instancia, se describen errores matemáticos sin discriminar la naturaleza
del contenido temático que se desarrolla en cada ejercicio; aunque los ejercicios formulados
en el test 1 responden a contenidos específicos, el proceder de los estudiantes puede ser
inconsistente con el tipo de operación correcta; es decir, en un ejercicio donde se deben sumar
polinomios, puede que un estudiante proceda con un esquema de factorización, ya sea
aplicado bajo las condiciones correctas o incorrectas de la expresión que se le presenta.
Es importante mencionar que, para este estudio, en la unidad temática de resolución
de ecuaciones, no será considerada como incorrecta la omisión de la conectiva que denota
equivalencia o implicación de una igualdad a otra. El curso MAC400 Matemática
Fundamental es el primero de la malla curricular en la carrera Bachillerato y Licenciatura en
Enseñanza de la Matemática, este pretende homogenizar, en los estudiantes, los
conocimientos básicos relacionados con el álgebra básica que se enseñanza en secundaria, de
modo que el componente de formalidad en el lenguaje no es evaluado con extrema
rigurosidad; además, los estudiantes concluyeron un proceso formativo de educación
65
diversificada donde cumplieron con lo estipulado en los Programas de Estudio del MEP; en
estos se admite la omisión de las conectiva
, en el desarrollo de una ecuación. De este modo, en una ecuación
de la forma 2 3 5 4x x , se determina una equivalencia en los siguientes desarrollos:
2 3 5 4
2 4 5 3
x x
x x
2 3 5 4
2 4 5 3
x x
x x
2 3 5 4
2 4 5 3
x x
x x
En la tabla 2 se resume la relación entre ítems del test 1, donde se manifestó al menos
un error
el ítem donde se detectó al menos un error en la resolución y el código que identifica al
estudiante que lo cometió. En esta se brinda el total de ejercicios con errores por cada
estudiante y el total de estudiantes que erraron por cada ítem.
Cabe destacar que uno de los errores que se presentó con mayor frecuencia es el que
una expresión y otra. Este error no se consideró en el registro de incidencias en cada
instrumento, con el fin de posibilitar la detección y el conteo de otros errores de mayor
relevancia en correspondencia con el área del álgebra básica.
Tabla 2 Detección de errores matemáticos por ítem y por estudiante, en el test 1
Ítem del test 1 Estudiante I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total
A1 NIE 8 A2 NIE 8 A3 NR NR NR NR NIE NR 3 A4 NR NR NR 6 A5 NIE NR NR NIE 5 A6 NR NR NR 6 A7 NR NR NIE 6 A8 NR NR NIE 6 A9 NR 8 A10 NR NR NR NR 5 A11 NIE NIE NR NR NIE 4 B1 NR NIE 7 B2 NR NR NR NR NIE 4
66
Ítem del test 1 Estudiante I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total
B3 NR NR NR NIE 5 B4 NIE NIE NIE 6 B5 NIE 8 B6 NIE NIE NIE NIE 5 C1 NR NR NR NIE 5 C2 9 C3 NR 8 C4 NIE NIE NR NR 5 C5 NR 8 C6 NR NIE 7 C7 NR NR 7
Total 16 22 19 13 17 17 16 8 21 149 Nota: NIE=ítems donde se identificó una resolución correcta y completa; NR=ítem sin resolución o procedimiento. Fuente: Elaboración propia del investigador.
Una vez aplicado el test 1, se detectó que, el ítem I8 presentó mayor frecuencia de
resoluciones correctas; principalmente en los grupos A y B. Este ítem corresponde al tema
de ecuaciones polinomiales de primer grado, donde se solicita hallar el conjunto solución
correspondiente. Esto sugiere que los estudiantes tienen manejo de las técnicas de despeje y
operaciones básicas (suma, resta y producto) con polinomios de primer grado. Por otra parte,
en el ítem referente a ecuaciones cuadráticas, y los de operaciones combinadas entre
polinomios de grado mayor o igual que dos, se manifestaron múltiples errores.
Otro dato que destacar es la dificultad que presentan los estudiantes al enfrentar
ejercicios donde se solicita simplificar una operación combinada entre fracciones
algebraicas; o aquellos donde se solicita simplificar una fracción algebraica. Los ítems I4, I5,
I6 e I7, corresponden a este tipo de operaciones; fueron los que presentaron mayor frecuencia
en la ausencia de respuestas y errores en cuanto a la resolución. La mayoría de los errores se
manifestaron por medio de la cancelación de términos entre el numerador y denominador de
una fracción; aplicación de esquemas estructurales inválidos, en cuanto a las operaciones
básicas.
Para analizar la información obtenida se examinó el test 1 de cada estudiante y se
describió cada error identificado por ítem; después, se clasificaron los errores según las
características en común. Los errores detectados en el test 1 fueron clasificados y ordenados
67
en tablas; cada caso se encuentra codificado y cuenta con una ilustración tomada del
instrumento. El objetivo de esta clasificación es sintetizar la información y hacer un contraste
de los hallazgos del diagnóstico con las categorías de los autores, con el fin de elaborar la
clasificación general de errores CG.
En el test 1 se distinguieron 10 tipos de errores manifestados por los estudiantes: (1)
errores al efectuar sumas y restas de polinomios (S), (2) errores al efectuar productos entre
polinomios (P), (3) errores estructurales de operaciones en ecuaciones (OE), (4) errores en la
asociatividad de polinomios (AS), (5) errores al desarrollar potencias de un binomio (PB),
(6) errores en la simplificación de operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias
(EF), (7) errores en la estructura de factorización (FAC) y (8) resolución parcial o inconclusa
(RP), (9) errores aritméticos (EA) y (10) errores de omisión, o inserción de datos inadecuados
(O).
A continuación, se presenta una descripción de cada tipo de error según el contenido
en que se detectó; el propósito es sistematizar esta información para utilizarla en la creación
de la clasificación general de errores matemáticos, emergente del test 1.
Errores al efectuar sumas y restas de polinomios (S)
El error del tipo S se manifestó de distintas formas: (1) se suman monomios no
semejantes, donde se extrapola la propiedad del producto de potencias para bases iguales; (2)
se omiten coeficientes numéricos, o exponentes; (3) se generan nuevos esquemas operativos
inválidos, que son generalizados en otros ejercicios; (4) en ejercicios de factorización se
evidencia la intención de operar con sumas y restas, y viceversa. Cabe señalar que estos
errores no solo se presentaron en ejercicios correspondientes a operaciones entre polinomios,
sino que se manifestaron en ejercicios con fracciones algebraicas y otros. En total se
identificaron ocho formas diferenciadas (S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7 y S8) en que se produjo
este tipo de error; en el anexo 5 se muestra de manera detallada cada uno de estos errores con
la descripción respectiva y un ejemplo tomado de alguno de los estudiantes participantes. En
la figura 4 se ilustra el caso S3; dicho caso fue más frecuente que los demás.
68
Figura 4. Ilustración del error S3 cometido por el estudiante A9 en el test 1.
En este caso se efectúa la suma (o resta) de monomios no semejantes; escribe como
resultado un monomio: el coeficiente numérico queda determinado por la suma (o resta) de
los coeficientes que preceden; el factor literal del resultado queda determinado por el
producto de los factores que preceden.
Errores al efectuar productos entre polinomios (P)
En cuanto a los errores del tipo P, se destacan tres clases de productos: entre un
monomio y un polinomio de más de un término; entre dos polinomios de más de un término;
y, entre monomios.
Se determinó que hay mayor frecuencia en: (1) errores asociados con la ley
distributiva del producto respecto a la suma, tanto de una constante por un polinomio, como
entre polinomios; (2) errores asociados con la ley de potencias: producto de potencias de
igual base y la ley para la potencia de una potencia, y (3) otros errores que se relacionan
principalmente con la omisión de paréntesis. En total se dis
P12, en los que se evidenciaron errores matemáticos en el producto de polinomios, los cuales
se ilustran en el anexo 5 con un ejemplo y la descripción respectiva. En la figura 5 se destaca
el caso más reiterado: el error de tipo P9. En este error se observa que, cuando las expresiones
se encuentran delimitadas por paréntesis que denotan asociación, estos son sustituidos por un
producto. De modo que el producto solo se determina entre los elementos consecutivos que
se encontraban al lado de cada paréntesis, omitiendo la ley distributiva.
Figura 5. Ilustración del error P9 cometido por el estudiante A1 en el test 1.
Errores estructurales de operaciones en ecuaciones (OE)
En el tipo OE destacan errores derivados de operaciones aritmético-algebraicas que
se manifiestan en la estructura de una ecuación; son errores muy particulares de esta área,
69
que no pueden ser identificados en otro tipo de ejercicios. Los errores observados se basan
en la aplicación incorrecta de propiedades que permiten simplificar una ecuación,
esencialmente al aplicar una operación en ambos miembros de la igualdad. El tipo OE quedó
conformado por cuatro casos: OE1, OE2, OE3 y OE4. En el anexo 5 se ilustra cada situación
por medio de un ejemplo y la respectiva descripción. Cada caso se detectó una sola vez en el
test 1.
En la figura 6 se puede apreciar el caso OE2 donde el estudiante C3 intenta despejar
la incógnita presente en un producto, restando la misma en el miembro opuesto de la
igualdad.
Figura 6. Ilustración del error OE2 cometido por el estudiante C3 en el test 1.
Errores en la asociatividad de polinomios (AS)
Respecto a la propiedad de asociatividad, en el error AS versan diversos casos de
errores; algunos se generan de estructuras que retornan en el producto de polinomios, donde
los estudiantes no delimitan los términos con paréntesis, y por ende no identifican la
distribución a realizar; otros, se generan por la manipulación incorrecta de los signos de cada
término asociado. Se distinguieron dos casos donde se manifiestan este tipo de errores:
AS1 y AS2, repetidos en dos y tres ocasiones, respectivamente. En el anexo 5 se presentan
de manera detallada cada error por medio de un ejemplo y la descripción respectiva; en la
figura 7 se destaca el caso AS2, que fue más frecuente en la prueba. En este caso, al realizar
el producto de polinomios de más de un término el estudiante omite los paréntesis que
denotan asociación, por lo que no aplica la ley distributiva entre estos, y así, el resultado es
un producto parcial.
70
Figura 7. Ilustración del error AS2 cometido por el estudiante B3 en el test 1.
Errores al desarrollar potencias de un binomio (PB)
Las formas del error de tipo PB son muy diversas; algunas exhiben un manejo
incorrecto de las leyes de potencias; otras, aplicación de linealidad al calcular potencias
donde se omiten los productos notables. No obstante, hay que señalar que los polinomios
involucrados en la base de cada potencia son lineales; en uno se plantea una diferencia y en
el otro, una suma. Los casos identificados se codificaron como PB1, PB2, PB3, PB4, PB5,
PB6, y PB7; cada error se ilustra de manera detallada por medio de un ejemplo y la
descripción correspondiente en el anexo 5.
En la figura 8 se presenta la situación PB2, que se manifestó como uno de los errores
más reiterados; se evidencia como el estudiante C5 calcula incorrectamente la potencia de un
binomio por medio de un binomio conformado por la potencia de cada término de la base
(con igual exponente al que se eleva el binomio), donde preserva la operación entre estos.
Figura 8. Ilustración del error PB2 cometido por el estudiante C5 en el test 1.
Errores aritméticos (EA)
En cuanto a los errores del tipo EA, se destacan aquellos manifestados por el cálculo
incorrecto de operaciones básicas en aritmética que contemplan suma, resta, producto,
cociente, radicales o potencias con números; cada situación se presenta en el anexo 5 por
medio de un ejemplo y su respectiva descripción. En este caso se distinguen tres situaciones
particulares que presentaron alta frecuencia: EA1, EA2, y EA3. La forma más reiterada fue
la EA3, con una frecuencia de 8 detecciones; las demás, no presentaron más de dos casos, en
cada una. En la figura 9 ilustra se puede evidenciar como la suma del miembro de la derecha
71
es calculado incorrectamente, donde el estudiante demuestra que no maneja las propiedades
de números reales al desarrollar sumas o restas con números negativos.
Figura 9. Ilustración del error EA3 cometido por el estudiante A7 en el test 1.
Errores de omisión o inserción de datos (O)
En el tipo de error O se consideran: (1) la omisión de datos o signos, donde se
suprimen de un paso al siguiente; (2) la inclusión de símbolos o términos inconsistentes con
el procedimiento de resolución; y (3) la transcripción de datos de manera incorrecta. En total
se distinguen tres situaciones delimitadas donde se manifiesta este tipo de errores: O1, O2,
O3 cada error se ilustra en el anexo 5 con un ejemplo y la respectiva descripción. En la figura
10 se ilustra el error del tipo O2, donde el estudiante C3 genera de forma inválida una
ecuación, en un ejercicio donde se le solicitó desarrollar una operación combinada entre
polinomios.
Figura 10. Ilustración del error O2 cometido por el estudiante C3 en el test 1.
Errores en la simplificación de operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias (EF)
En los errores del tipo EF, referentes a expresiones algebraicas fraccionarias, se
presentaron situaciones que involucran errores al desarrollar operaciones básicas con
polinomios: se presentan diversos errores asociados con sumas y restas de polinomios;
errores determinados a partir de la omisión de términos y signos, tales como la asociatividad
con paréntesis; aplicación incorrecta de leyes de potencias. Además, se presentó una alta
cantidad de errores debidos al manejo estructural de las operaciones básicas de simplificación
entre fracciones algebraicas: simplificación de una fracción algebraica, suma, resta,
multiplicación y división.
72
Los procedimientos que muestran los estudiantes sugieren que hay cierto manejo en
la estructura de simplificación; sin embargo, se manifiestan resoluciones parcialmente
correctas, así como la intención de simplificar al máximo los resultados, con una ausencia de
sentido en los procedimientos de factorización involucrados en el desarrollo.
Se obtuvo un total de veinte casos distintos en los que los estudiantes manifiestan
errores al operar con fracciones algebraicas. Estos se dividen en tres clases: (1) errores al
simplificar una expresión algebraica fraccionaria (EFS), donde se dieron diez casos distintos;
(2) errores al efectuar sumas o restas de fracciones (EFA), donde se dieron cuatro casos, y
(3) errores al efectuar divisiones o productos entre fracciones algebraicas (EFD), donde se
dieron seis casos. Cada error identificado se ilustra en el anexo 5 por medio de un ejemplo y
la respectiva descripción. A continuación, se presenta, por medio de un ejemplo, cada una de
estas clases.
Uno de los casos de mayor frecuencia en la clase EFS2 se presenta en la figura 11,
donde se puede apreciar que el estudiante B5 simplifica por medio de leyes de potencias los
términos del numerador y denominador, sin haber empleado una previa factorización entre
estos miembros.
Figura 11. Ilustración del error EFS2 cometido por el estudiante B5 en el test 1.
En la clase EFA se desataca la situación de mayor frecuencia, con la resolución
presentada por el estudiante C6 que se muestra en la figura 12; este generó una estructura de
simplificación incorrecta al restar dos expresiones algebraicas fraccionarias; el desarrollo
mostrado sugiere un manejo limitado del algoritmo a seguir, donde se restan los numeradores
entre sí, y respectivamente los denominadores, de manera incorrecta.
73
Figura 12. Ilustración del error EFA1 cometido por el estudiante C6 en el test 1.
Para la clase EFD, en la figura 13 se destaca el error manifestado por el estudiante
A6, respecto a una división de expresiones algebraicas fraccionarias. Se puede apreciar que,
para llegar a la expresión fraccionaria del resultado, el estudiante invierte el numerador y
denominador de la expresión divisora, luego genera una suma del numerador con el
numerador de la expresión que no se alteró, al igual que lo hace con los denominadores
respectivos.
Figura 13. Ilustración del error EFD3 cometido por el estudiante A6 en el test 1.
Errores en la estructura de factorización (FAC)
Se evidenciaron dificultades muy marcadas en los métodos de factorización. Los
errores mostrados sugieren que, en la mayoría de los casos, algunos estudiantes interpretan
incorrectamente el concepto de factorización, ya que muestran desarrollos inconsistentes con
el enunciado de este tipo de ejercicios. Se evidenció que, al aplicar métodos de factorización,
lo hacen de forma parcial, o bien, aplican un método sin verificar que el polinomio cumple
con las condiciones necesarias para su desarrollo; mostrando así, un manejo deficiente de
este contenido. Se distinguen tres casos reiterados de errores del tipo FAC, codificados por
FAC1, FAC2 y FAC3; cada caso se ilustra detalladamente en el anexo 5 por medio de un
ejemplo y la descripción respectiva. En la figura 14 se presenta el caso que fue más reiterado:
FAC1. En este ejemplo el estudiante A4 actúa de forma inconsistente en un ejercicio donde
se le solicita factorizar: intenta simplificar por medio del algoritmo incorrecto creado para la
suma y la resta de polinomios.
74
Figura 14. Ilustración del error FAC1 cometido por el estudiante A4 en el test 1.
Errores por resolución parcial o inconclusa (RP)
En la tipología de errores RP se encuentran aquellos errores en los que las operaciones
mostradas son correctas, pero se no se llega a la respuesta final del ejercicio. Asimismo, se
exhiben procedimientos que son incorrectos y culminan con la generación de una expresión
que, aunque no se obtiene de la secuencia de pasos correctos, se puede simplificar, pero los
estudiantes no proceden con tal simplificación.
A diferencia de las tipologías de errores que han sido expuestas, en esta los
estudiantes interpretan adecuadamente el enunciado y actúan correctamente en una serie de
pasos que responden a una misma estructura de simplificación; sin embargo, no completan
el desarrollo hasta llegar a la respuesta correcta solicitada. Versan cuatro casos distinguidos
entre las producciones de los estudiantes: RP1, RP2. RP3 y RP4. En el anexo 5 se presentan
detalladamente cada caso por medio de un ejemplo y la descripción correspondiente.
En la figura 15 se ilustra el caso RP3; dicho caso es el más reiterado en esta tipología
de errores. En esta resolución se evidencia que los procedimientos aplicados son correctos;
sin embargo, no se llega a una simplificación máxima de la expresión brindada, que es lo que
se solicita en el ítem.
Figura 15. Ilustración del error RP3 cometido por el estudiante C1 en el test 1.
A continuación, se procesan los datos primarios por medio de dos etapas: (1) se
realiza un contraste de los datos primarios con las categorías propuestas por los autores
seleccionados en la fundamentación teórica, y (2) se definen las clases creadas de la
clasificación general de errores matemáticos CG.
75
Contraste entre datos primarios y categorías de autores
Como se mencionó en el planteamiento del análisis de datos, para establecer una
clasificación general de errores matemáticos (que será la base de evaluación de aquellos
errores manifestados en diversas pruebas aplicadas durante el curso) es necesario realizar un
contraste de la información que se ha descrito respecto a las categorizaciones aportadas por
los autores que dan sustento teórico al estudio.
De las categorías de errores propuestas por Cervantes y Martínez (2007) tuvieron una
correspondencia con los errores determinados del test 1 tres clases de errores: (1) errores de
truncamiento, (2) errores de linealización y (3) errores de la extensión de la cancelación. Esta
correspondencia se ilustra en la figura 16.
Figura 16. Asociación entre los tipos de errores iniciales del test 1 y las categorías de errores propuestas por Cervantes y Martínez (2007).
A partir de los hallazgos del test 1 se determinó que la categoría identificada con mayor
frecuenci de fórmulas o leyes donde
los estudiantes identifican la estructura a desarrollar, pero omiten algún término en la
respuesta o no verifican por completo las condiciones del método aplicado, por lo que
76
errores de linealización
son determinados en el cálculo del cuadrado de un binomio; se manifiestan por la omisión
del producto notable y el error al calcular la potencia de un monomio.
La categorización que brinda García (2010), a diferencia de la anterior, se presenta
de una forma más generalizada, donde todos los casos de error identificados en el test 1
presentaron una correspondencia con las categorías propuestas por el autor. En la figura 17
se exponen las relaciones entre los errores determinados en el test 1 y las categorías
planteadas por dicho autor.
77
Figu
ra 1
7. A
soci
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cía
(201
0).
78
A partir de la información obtenida en el test 1, se determinó que de las categorías
definidas por dicho autor se manifestó con ma errores al realizar operaciones aritmético-algebraicas procedimientos propios
incorrectos e inferencias no válidascategorías con mayor frecuencia de casos, ya que los estudiantes generan estructuras de
simplificación o esquemas de trabajo incorrectos, pero originales y consistentes, que son
aplicados a lo largo de toda la prueba; es decir, errores que se muestran como contenidos
aprendidos de manera incorrecta, pero han sido asimilados y adaptados en diversos entornos.
En la figura 18, se ilustran los vínculos que hay entre los errores determinados en el test 1 y
las categorías de errores definidas por Movshovitz-Hadar et al. (1987).
Figura 18. Asociación entre las categorías de errores iniciales del test 1 y las categorías de errores propuestas por Movshovitz-Hadar et al. (1987).
79
En cuanto a la categorización que brindan Movshovitz-Hadar et al. (1987),
teoremas o definiciones deformadas rminados se integra la mayoría de
los casos detectados en la prueba, donde los estudiantes adaptan principios utilizados en
álgebra básica a formas personalizadas con ciertas modificaciones, que les permite
generalizar reglas para resolver ejercicios específicos.
la interpretación incorrecta del lenguaje datos mal utilizadosse muestran como categorías interrelacionadas que tuvieron mayor frecuencia en ejercicios
de factorización. En estos casos algunos estudiantes no interpretaron correctamente la
instrucción de factorizar, debido a que, en lugar de aplicar métodos de factorización,
intentaban realizar sumas y restas de términos no semejantes.
La relación que existe entre los casos de errores detectados en el test 1 con las
categorías de errores propuestas por los autores, permitió caracterizar y sintetizar la
información. A partir de estos resultados, fue posible crear una clasificación general de
errores matemáticos con que ingresan los estudiantes al curso, la cual se presenta en el
siguiente apartado.
Clasificación general de errores matemáticos determinados en el ingreso al curso MAC400
Matemática Fundamental (CG)
A partir de la organización de los datos que se presentó en la sección anterior, se
clasificaron los errores matemáticos que presentan estudiantes al simplificar expresiones
algebraicas, en el momento que ingresan al curso MAC400 Matemática Fundamental. Esta
clasificación se define en congruencia con las categorías propuestas por por Movshovitz-
Hadar et al. (1987), Cervantes y Martínez (2007) y García (2010) y los contenidos que se
abordaron en el test 1. A continuación, se presentan las clases de errores que conforman la
clasificación general de errores matemáticos determinados en el ingreso al curso MAC400
Matemática Fundamental (CG).
Establecimiento de esquemas operacionales inválidos al realizar operaciones
aritmético-algebraicas con polinomios (ET1.1): se utilizan teoremas o definiciones que
son adaptados del álgebra básica de polinomios de forma incorrecta, con lo que establece
procedimientos propios incorrectos y generalizados ante ejercicios específicos. Estos
esquemas se identifican en sumas, restas y productos de polinomios; también, al efectuar
80
potencias de polinomios. En esta clase de error, los estudiantes no reconocen los
procedimientos correctos que deben ser aplicados, sino que actúan de forma subjetiva.
La clasificación está conformada por los casos S1, S2, S3, S5, S6, S7, P1, P2, P5, P8,
P10, P11, P12, AS1, PB4 y PB5.
Teoremas y propiedades deformadas en la resolución ecuaciones (ET1.2): se utilizan
propiedades inválidas que están relacionadas con principios básicos para simplificar una
ecuación; sin embargo, altera los mismos y los adapta de forma generalizada. Estos casos
únicamente se pueden determinar en una ecuación, ya que se precisa de la estructura
operativa en ambos miembros de la igualdad, tal como los principios necesarios para
despejar una incógnita. En esta clasificación están contemplados los casos OE1, OE2,
OE3 y OE4.
Establecimiento de esquemas operacionales inválidos al realizar operaciones
aritmético-algebraicas con expresiones algebraicas fraccionarias (ET1.3): se utilizan
teoremas o definiciones incorrectas que son adaptados de la estructura operativa al
simplificar operaciones con fracciones, con lo que establece procedimientos propios
incorrectos y generalizados ante ejercicios específicos. En esta clasificación los
estudiantes muestran un reducido nivel de interpretación en cuanto a los algoritmos a
desarrollar, especialmente en sumas, restas, productos y cocientes de fracciones
algebraicas. La clasificación es conformada por los casos EFD1, EFD3, EFD4, EFA1,
EFA4, EFA5, EFS1, EFS3, EFS4, EFS5, EFS6, EFS9 y EFS10.
Discrepancia entre el enunciado del ejercicio en cuestión y el tratamiento de los datos
(ET1.4): se interpreta incorrectamente el lenguaje del enunciado, por lo que utiliza los
datos de manera incorrecta; expone una estructura inconsistente que no corresponde al
esquema operativo adecuado para el ejercicio. Aunque los procedimientos que se
establecen son correctos en otros contextos, no son adecuados en los ejercicios donde se
manifiesta este error. La clasificación queda conformada por los casos FAC1, S4 y S8.
Verificación parcial de las condiciones en el método de factorización (ET1.5): no se
verifican todas las condiciones que amerita el método de factorización a utilizar; aunque
selecciona el método correcto, no es aplicado de manera adecuada, debido a los
componentes que requiere. En métodos como el factor común, extrae un factor
81
incorrecto; en el de inspección, no verifica la totalidad de las condiciones que permiten
descomponer los términos, etcétera. Esta clasificación queda conformada por los casos
FAC2 y FAC3.
Extrapolación incorrecta de la ley distributiva del producto respecto a la suma (ET1.6): se aplica una distribución de la suma respecto al producto, o de la suma respecto a la
suma, al operar con polinomios. Infiere que la ley distributiva del producto respecto a la
suma es extrapolable en estos contextos. En este caso el estudiante reconoce cómo sumar
o multiplicar monomios, pero desarrolla una distribución inconsistente. Esta clasificación
la conforman los casos P1, P4 y P6.
Truncamiento en un principio, fórmula, o estructura, al simplificar una operación
aritmético-algebraica (ET1.7): se reconoce la operación que necesita desarrollar, pero
omite algunos datos que son necesarios en el resultado, o trunca parte de la fórmula que
se está aplicando. Esta situación es más reiterada en el caso del producto entre
polinomios, donde se realiza una distribución parcial de los términos, y el caso de las
operaciones suma y división entre fracciones algebraicas, donde incurre en el error a la
hora de determinar un denominador común, o bien, simplificar la división. Otro caso
contenido en esta clasificación es la distribución del -1 que genera un cambio de signo en
un polinomio. Esta clasificación queda conformada por los casos AS2, P3, P4, P7, P9,
EFA2, EFA3 y EFD2.
Extensión de la cancelación en la simplificación de una fracción algebraica (ET1.8): se
reconoce la simplificación de la expresión algebraica fraccionaria a realizar, por medio
de la simplificación de factores en común entre el numerador y denominador; sin
embargo, no realiza la factorización de estos miembros, y, aun así, elimina los términos
o factores de cada término, en común, presentes en el numerador y denominador. Esta
clasificación queda delimitada por los casos EFS2, EFS7 y EFS8.
Linealización en la potencia de un polinomio (ET1.9): no se identifica la operación
necesaria para desarrollar el producto notable que se establece; se escribe como resultado
la potencia de cada término, separadas por el signo precedente en la base; alude a los
errores por linealización que definen Cervantes y Martínez (2007). Esta clasificación
queda conformada por los casos PB1, PB2, PB3, PB7 y PB8.
82
Errores aritméticos (ET1.10): manifiesta errores determinados por el cálculo incorrecto
de operaciones básicas en aritmética que contemplan la suma, la resta, el producto, el
cociente, radicales o potencias, con números. Esta clasificación es equivalente a los
errores del tipo EA.
Errores por la omisión o inserción de datos de forma inválida (ET1.11): se considera la
omisión de datos o signos, donde se suprimen estos elementos de un paso al siguiente, de
manera inválida; la inclusión de símbolos o términos inconsistentes con el procedimiento
de resolución; y, la transcripción de datos de manera incorrecta. Esta clasificación es
equivalente a los errores del tipo O
Resolución parcial o inconclusa (ET1.12): los procedimientos mostrados son correctos,
pero el ejercicio se muestra inconcluso, ya que la respuesta que se brinda como final no
cumple con ser la solución adecuada, según el enunciado del ejercicio. Asimismo, se
exhiben procedimientos que son incorrectos y culminan con la generación de una
expresión que, aunque no se obtiene de la secuencia de pasos correctos, se puede
simplificar; sin embargo, los estudiantes no proceden con tal simplificación. Esta
clasificación es equivalente a los errores del tipo RP.
Con el criterio generado a través de esta clasificación de errores se evaluaron los
errores emergentes en las pruebas parciales ordinarias y en el test 2, donde se ubicaron en la
clasificación CG, según las características, las incidencias que cumplen con alguna de las
descripciones de determinadas, o bien, se definieron nuevas clases que permitieron extender
la clasificación actual. Además, la clasificación CG fue necesaria para el tratamiento
cuantitativo de los errores, donde se desarrolló el análisis de consistencia por medio de la
comparación de frecuencias.
4.1.2 Errores matemáticos manifestados en el desarrollo del curso MAC400 Matemática Fundamental
En los siguientes apartados, se describen los resultados obtenidos en la aplicación del
test 2 y las pruebas parciales ordinarias del curso. Para organizar los resultados se siguió un
procesamiento de datos similar al empleado en el test 1. Los errores que se ajusten a alguna
clase de la clasificación CG, se ubican directamente sobre esta, a partir de las características
que se manifiesten en la resolución; los nuevos errores que no se ajusten a la clasificación
83
CG tienen un procesamiento análogo al de los datos utilizados para crear dicha clasificación:
se describe cada error identificado por ítem, se establece una correspondencia entre las
incidencias identificadas y las categorías propuestas por Movshovitz-Hadar et al. (1987),
Cervantes y Martínez (2007) y García (2010); por último, se presenta la clasificación general
de errores matemáticos determinados en el desarrollo del curso MAC400 Matemática
Fundamental (CGF).
Errores identificados en el test 2 y en las pruebas parciales ordinarias del curso (datos
primarios)
Este apartado se inicia con un conteo general relativo al grado de participación de los
estudiantes en el desarrollo del test 2; es decir, los ítems donde no se presentaron respuestas
(NR), aquellos donde las resoluciones mostradas fueron totalmente correctas (NIE) y otros,
donde hubo al menos un error.
En la tabla 3 se resume la relación entre ítems del test 2, donde se manifestó al menos
asociación entre
el ítem donde se detectó al menos un error en la resolución y el código que identifica al
estudiante que lo cometió. En esta se brinda el total de ejercicios con errores por cada
estudiante y el total de estudiantes que erraron por cada ítem.
Tabla 3 Detección de errores matemáticos por ítem y por estudiante, en el test 2
Ítem del test 2 Estudiante I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total
A1 NIE NIE NIE NIE NIE NIE 3 A2 NIE NIE NIE 6 A3 NIE NIE NIE NIE 5 A4 NIE NIE NIE 6 A5 NIE NIE 7 A6 NIE NIE NIE NIE NIE 4 A7 NIE NIE NIE NIE NIE 4 A8 NIE NR NIE 6 A9 NIE NIE NIE NIE NIE 4 A10 NIE NIE 7 A11 NIE NIE NIE NIE NIE NIE 3 B1 NIE NIE NIE 6 B2 NIE NIE NIE NIE 5 B3 NIE NIE NIE NIE NIE NIE 3
84
Estudiante I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total B4 NIE NR NIE NIE 5 B5 NIE NIE NIE NIE 5 B6 NIE NR NR NR NR 4 C1 NIE NIE NIE NIE 5 C2 NIE NIE NIE 6 C3 NR NR NR NR 5 C4 NIE NIE NIE NIE NIE 4 C5 9 C6 NIE NIE NIE NIE 5 C7 NR NIE 7
Total 17 17 22 12 23 11 4 7 11 124 Nota: NIE=ítems donde se identificó una resolución correcta y completa; NR=ítem sin resolución o procedimiento. Fuente: Elaboración propia del investigador.
Del total de respuestas registradas de los estudiantes que realizaron el test 2 se
contabilizaron nueve ejercicios sin respuesta (NR), 81 ejercicios sin errores en la resolución
y 34 ejercicios donde los estudiantes manifestaron al menos un error matemático. El estudio
reveló que la mayor concentración de ejercicios sin respuesta se concentró en dos estudiantes:
C3 y B6; aunado a la frecuencia de estudiantes que no cometieron errores en su resolución,
se pone de manifiesto una mayor participación en las resoluciones efectuadas en la prueba,
en comparación con la aplicación del test 1.
Según la información obtenida, los ítems que presentaron menor frecuencia de
estudiantes con errores fueron I7 e I8; en cada uno, 16 de los 24 estudiantes resolvieron de
forma correcta cada ejercicio. En este caso el ítem I7 corresponde a la simplificación máxima
de la expresión3 2
2
6
12 36
x x
x x; el ítem I8 a la resolución de la ecuación lineal
5 1 2 6x x . Estos ítems se caracterizan por ser de baja complejidad, debido a que
demandan operaciones básicas entre polinomios de grado 1 (en una variable) y estructuras
cortas de simplificación para fracciones algebraicas, donde los estudiantes no requirieron
efectuar una suma, resta, multiplicación o división entre fracciones, únicamente deben
factorizar los miembros de la fracción, para la respectiva simplificación.
Cabe señalar que todos los errores manifestados en el test 2 están ubicados en la
clasificación CG, determinada a partir del test 1.
85
A continuación, se describen los datos más representativos recabados del test 2, en
correspondencia con la clasificación CG. Las incidencias que se presentan fueron elegidas
por su prevalencia y reiteración en la prueba, con el fin de realizar el análisis de consistencia
que se presenta más adelante.
El ítem I5 presentó la mayor cantidad de estudiantes que erraron en su resolución; en
este caso fueron más reiterados los esquemas operacionales inválidos al realizar la resta de
dos expresiones algebraicas fraccionarias (ET1.3). En este ítem se solicita efectuar la resta
2 2
2 6 5
6 9 9
x x
x x x y su resultado debe ser simplificado al máximo. En su resolución se
mostraron diversos errores en la estructura algebraica de simplificación que conlleva la
operación, donde muchos estudiantes intentaron linealizar la operación en los miembros de
las fracciones: en el resultado de la operación se presenta una fracción compuesta por el
numerador que corresponde a la resta de los numeradores que preceden; en el denominador
de la respuesta se aplica la resta de los denominadores que preceden. Esta situación sugiere
que la mayoría de los estudiantes poseen una noción limitada respecto al algoritmo correcto
en la diferencia de fracciones.
Aunado a lo anterior, se puede afirmar que hay un dominio más amplio en el tema de
simplificación de una fracción algebraica y en las operaciones de producto y cociente, que
en el algoritmo que exige una resta o suma de fracciones algebraicas. La mitad de los
estudiantes erraron al resolver el ítem I4, el cual viene dado por una división de expresiones
algebraicas fraccionarias. En este ítem hubo mayor frecuencia de errores por resoluciones
parciales o inconclusas (ET1.12), donde las resoluciones mostradas estaban precedidas de
operaciones correctas.
Las resoluciones parciales o inconclusas (ET1.12), se presentaron como el error más
reiterado en el test 2. Se detectaron dos ítems con mayor frecuencia de este error: I4 e I9, los
cuales se componen de una división entre fracciones algebraicas y una ecuación cuadrática,
respectivamente. Sin embargo, en el caso de la ecuación, algunos estudiantes lograron
determinar los valores de la incógnita, pero no concluían con el conjunto solución, por lo que
se puede afirmar que en el ítem I4 fue más frecuente el error de esta clasificación. En la figura
19 se evidencia cómo el estudiante A5 efectúa correctamente la división entre las fracciones
86
algebraicas, pero no simplifica al máximo la fracción del resultado (debido a una
factorización incompleta), donde el enunciado lo indicaba.
Figura 19. Ilustración de un error de la clase ET1.12 cometido por el estudiante A5 en el test 2.
Otra clase de error que se presentó de forma reiterada fue la ET1.4, donde los
estudiantes discrepaban entre la indicación del ejercicio y el tratamiento que se les da a los
datos. Esta situación tuvo alta frecuencia en el ítem I1, donde los estudiantes deben efectuar
una operación que combina suma, resta y producto entre polinomios, y da como respuesta un
polinomio parcialmente factorizado. En la figura 20 se puede evidenciar tal situación.
Figura 20. Ilustración un error de la clase ET1.5 cometido por el estudiante B1 en el test 2.
Un error que se manifestó en reiteradas ocasiones fue el ET1.7; en este caso, con alta
frecuencia en el ítem I2, que corresponde al desarrollo de una operación entre polinomios,
donde se involucran potencias de binomios. En la figura 21 se evidencia como un estudiante
desarrolla un producto notable donde trunca el resultado al escribir de forma incorrecta un
término de la respuesta.
Figura 21. Ilustración de un error de la clase ET1.7 cometido por el estudiante B2 en el test 2.
Por último, se destaca el error ET1.11; aunque se presentó en menor frecuencia que
los anteriores, presenta una inconsistencia marcada en resoluciones del ítem I6, que
87
corresponde a la factorización de un polinomio. En la figura 22 se puede apreciar que el
estudiante C7 omite, de manera inconsistente, uno de los factores en un producto.
Figura 22. Ilustración de un error de la clase ET1.11 cometido por el estudiante C7 en el test 2.
A nivel general, los errores manifestados en el test 2 fueron ubicados en la
clasificación CG, de modo que este instrumento no generó extensiones en la clasificación.
Para el análisis de errores matemáticos identificados en las resoluciones de las
pruebas parciales ordinarias se seleccionaron los ítems de desarrollo que se presentan en la
tabla 4. Las pruebas parciales ordinarias estaban conformadas por ítems de falso o verdadero,
complete y desarrollo; sin embargo, se eligen, solamente, los ítems de desarrollo, porque
estos permiten evaluar de forma global e integral la resolución que efectúa cada estudiante.
El primer ítem de desarrollo de la primera prueba parcial se ha omitido en el análisis,
debido a que su estructura, únicamente, involucra operaciones aritméticas combinadas lo cual
no es parte de los propósitos de este estudio.
Tabla 4 Ítems considerados para el análisis de las pruebas parciales ordinarias del curso MAC400 Matemática Fundamental Ítems de la primera prueba parcial Código Enunciado del ítem PO-1.1 Realice la siguiente división de polinomios y exprese el resultado de la forma
( ) ( ) ( ) ( )p a q a c a r a .
4 3 2 215 5 2 4 1a a a a a a
PO-1.2 Simplifique la siguiente expresión algebraica.
2 3
3 x y x y x y
PO-1.3 Factorice el siguiente polinomio al máximo. 4 2 2 48 4x x y y
PO-1.4 Factorice el siguiente polinomio al máximo. 4 2 2 3 49 24 16a a b ab b
88
Ítems de la segunda prueba parcial Código Enunciado del ítem PO-2.1 Racionalice el denominador de la expresión
2
3 3
1
2 1
x
x x
Simplifique la expresión resultante. PO-2.2 Realice las operaciones indicadas y simplifique la expresión resultante.
2 2
2 2 3 2
4 2 84 12 5 4
a a aaaa a a a a
PO-2.3 Resuelva y dé el conjunto solución para la siguiente ecuación con incógnita x . 2
2
1 44 1
a x ax
bb
PO-2.4 Resuelva y dé el conjunto solución de la siguiente desigualdad. 3 22 13 6 0x x x
PO-2.5 Se tiene una cierta cantidad de mosaicos que sirven para cubrir el piso de una habitación. Hay dos habitaciones cuadradas, de dimensiones x y 1xrespectivamente. Si se utilizan dichos mosaicos para cubrir el piso de la habitación de lado x sobran 27 mosaicos y si se utilizan para la habitación de lado 1x faltan 40 mosaicos. ¿Cuántos mosaicos hay en total?
Ítems de la tercera prueba parcial Código Enunciado del ítem PO-3.1 Resuelva y dé el conjunto solución de la siguiente ecuación.
4 4 2 1x x x PO-3.2 Resuelva y dé el conjunto solución de la siguiente ecuación.
2
2
4 8 93 5 2 15
x x xx x x x
PO-3.3 Resuelva y dé el conjunto solución de la siguiente inecuación. 2 2 48 4x x x
PO-3.4 Resuelva y dé el conjunto solución de la siguiente inecuación. 2 5 7x x
PO-3.5 Resuelva y dé el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones. 1 3
2 3 4 24 4
14 2 2 3 1 5
2
x y x
x x y
Fuente: Ejercicios tomados de los exámenes parciales ordinarios, I Ciclo 2018, del curso MAC400 Matemática Fundamental.
89
Las pruebas parciales ordinarias evalúan algunos temas que no son considerados en
el test diagnóstico, de modo que es natural que emerjan nuevos tipos de errores que no se
ubiquen en la clasificación CG.
Es importante destacar que estas pruebas se recolectaron una vez que los docentes
habían realizado la revisión de las resoluciones emitidas por los estudiantes y previo a la
entrega de resultados, por lo que algunas imágenes que se exponen, referentes al desarrollo
de los estudiantes, pueden tener anotaciones del docente.
A continuación, se presentan los resultados más representativos de las pruebas
parciales ordinarias, donde se destaca el tipo de resoluciones emitidas por estudiante, la
frecuencia de ítems donde no se presentaron procedimientos en la resolución y aquellos
donde las resoluciones fueron totalmente correctas. El análisis y tratamiento cuantitativo de
estos casos se realiza más adelante.
En la tabla 5 se resume la relación entre los ítems de las pruebas parciales ordinarias
donde se manifestó al menos un error matemático y los estudiantes de cada grupo. El símbolo
os un error en la resolución y el
código que identifica al estudiante que lo cometió
90
Tabl
a 5
Re
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ón e
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Estu
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PO-
1.1
PO-
1.2
PO-
1.3
PO-
1.4
PO-
2.1
PO-
2.2
PO-
2.3
PO-
2.4
PO-
2.5
PO-
3.1
PO-
3.2
PO-
2.3
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3.4
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20
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raci
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ropi
a de
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estig
ador
.
91
El total de ítems donde los estudiantes manifestaron errores fue similar en la primera
y la segunda prueba parcial; sin embargo, hubo un aumento importante de errores en la
tercera prueba parcial, respecto a las anteriores, concentrados en el ítem PO-3.3, que
corresponde a la determinación del conjunto solución (considerando la incógnita) de la
ecuación:
2
2
1 44 1
a x ax
bb
Donde a y b corresponden a parámetros. En este caso, la mayoría de los errores se
concentró en la verificación parcial de las condiciones para efectuar los métodos de
factorización (ET1.5) y en las resoluciones parciales (ET1.12).
En el ítem PO-2.5 se identificaron 20 estudiantes con errores y únicamente dos con
resoluciones correctas; en el problema de aplicación los estudiantes manifestaron una
deficiente interpretación del lenguaje algebraico, con lo que la solución se redujo a
ecuaciones inválidas como esquema de solución. Este ítem presentó la mayor cantidad de
errores del tipo ET1.4.
En los ítems PO-3.1 y PO-3.2 alrededor de la mitad de los estudiantes resolvieron a
la perfección cada ejercicio, respectivamente 11 y 14 estudiantes obtuvieron una respuesta
correcta; la otra proporción cometieron al menos un error. Estos ítems corresponden a las
ecuaciones
4 4 2 1x x x ; 2
2
4 8 93 5 2 15
x x xx x x x
.
En las ecuaciones indicadas muchos estudiantes erraron al expresar el conjunto
solución, dado que no consideraban el estudio del dominio real en cada caso.
El total de ítems resueltos de manera correcta fue mayor en la tercera prueba parcial,
al comparar con las otras pruebas. En esta prueba se detectaron pocos ítems sin respuesta;
sin embargo, en el caso de PO-3.2 y PO-3.4 los datos revelaron que la proporción de
estudiantes que erró fue levemente mayor que la de aquellos que no cometieron ningún error
en la solución.
92
Los errores ET1.4, ET1.5 y ET1.12 fueron representativos en la resolución de la
primera prueba parcial, especialmente en el ítem PO-1.4, donde ningún estudiante resolvió
correctamente el ítem correspondiente a la factorización del polinomio
4 2 2 3 49 24 16a a b ab b , uno de los estudiantes no respondió este ítem.
La mayor proporción de estudiantes efectuaron de forma correcta la división
4 3 2 215 5 2 4 1a a a a a a ; el resto cometió al menos un error. La mayoría
de los estudiantes que erraron manifestaron incidencias en las sumas, restas o
multiplicaciones involucradas en el algoritmo de la división, donde se evidenciaron errores
del tipo ET1.1.
A continuación, se presenta el procesamiento y clasificación de los errores
identificados en las pruebas parciales ordinarias. El procesamiento de esta información es
análogo al desarrollado para la generación de la clasificación CG.
En las pruebas parciales se presentaron 11 de las 12 clases de errores de la
clasificación CG; únicamente estuvo ausente la clase ET1.6 correspondiente a la
extrapolación incorrecta de la ley distributiva del producto respecto a la suma. Además, se
distinguieron cuatro tipos de errores nuevos que no se manifestaron en el test 1: (1) errores
al asociar un producto notable (AP), (2) errores en operaciones que involucran expresiones
algebraicas radicales (OR), (3) errores en la resolución de inecuaciones (OI) y (4) errores al
definir el valor absoluto de un polinomio (DV). Cabe añadir que, los errores matemáticos al
resolver ecuaciones (OE) se evidenciaron en dos situaciones no identificadas en el test 1,
tales casos se codifican como OE5 y OE6.
A continuación, se presenta una descripción de cada tipo de error según el contenido
en que se detectó y se sintetiza la información en correspondencia con las categorías de los
autores, con el fin de conformar la clasificación de errores CGF.
Errores al asociar un producto notable (AP)
Los errores del tipo AP están conformados por la asociación incorrecta de los
productos notables para potencia cuadrada de un binomio y la potencia cúbica de un binomio;
la mayoría de los discentes que cometió este error asocia la potencia del binomio con el
93
resultado de otros productos notables que no corresponden. En total se identificaron cinco
formas diferenciadas (AP1, AP2, AP3, AP4 y AP5) en que se produjo este tipo de errores;
estas se detallan en el anexo 6. Entre las situaciones más comunes identificadas se distinguen
múltiples aplicaciones de tres operaciones incorrectas:
2
3 2 2
3 2 2
x y x y x y
x y x y x xy y
x y x y x xy y
En la figura 23 se evidencia un caso de los errores AP donde el estudiante A8 asocia
incorrectamente el producto notable cuando desarrolla el cubo del binomio; no se trata de un
error al intentar expresar 3 2
x y x y x y , ya que en el primer (término relativo al
cuadrado de un binomio) desarrolla a la perfección la expresión.
Figura 23. Ilustración de un error de la clase AP4 cometido por el estudiante A8 en la primera prueba parcial.
Los errores del tipo AP, de acuerdo con Movshovitz et al. (1987), se deben a
inferencias no válidas lógicamente; según García (2010), este error es de tipo ejecutivo en la
asociación incorrecta de productos notables, donde los estudiantes identifican la estructura,
pero ejecutan la fórmula de manera errónea. En función de la clasificación propuesta por
Cervantes y Martínez (2007), se puede pensar que los estudiantes proceden por medio de la
linealización n n nx y x y ; sin embargo, no se tiene la suficiente evidencia para
afirmar que esta es la manera de proceder. Dado que no hay ninguna clase de error de la
clasificación CG que incorpore las características de la situación expuesta, se vuelve
necesaria la extensión de la clasificación, a partir de este error.
Errores en operaciones que involucran expresiones algebraicas radicales (OR)
En la tipología de errores OR se identificaron cinco casos con error (OR1, OR2, OR3,
OR4, y OR5), donde se involucran operaciones entre expresiones algebraicas radicales. Los
94
procedimientos desacertados se pueden reducir a ejercicios donde se desarrollan
racionalizaciones, o bien, sumas, restas, productos y potencias con expresiones radicales. En
el anexo 6 se muestra de manera detallada cada uno de los errores que conforman la tipología
OR, con la descripción respectiva y un ejemplo. A continuación, se describen dos de los casos
más reiterados en las pruebas.
En las racionalizaciones de expresiones que involucran binomios, que incorporan
expresiones radicales cúbicas, algunos estudiantes manifestaron una asociación incorrecta
del factor de racionalización, de modo que no se formulaba un factor de racionalización que
permitiera completar el producto notable 2 2 3 3a b a ab b a b , sino que se
generaba una inferencia inválida respecto al producto de conjugados o bien un factor de
racionalización necesario para expresiones de un solo término radical. En algunos casos
establecen operaciones incorrectas tales como:
32 23
3 3 3 3
32 23
3 3
3 3 3 3
3 3
(2 1)2 1 2 1
(2 1)
2 12 1 2 1
2 1
x xx x x x
x x
x xx x x x
x x
En la figura 24 se expone el caso donde el estudiante B4 asocia incorrectamente el
factor de racionalización; este manifestó un factor determinado por la diferencia de los
cuadrados de cada término precedente.
Figura 24. Ilustración del error OR1 cometido por el estudiante B4 en la segunda prueba parcial.
Otro error reiterado fue el caso OR3 referente a la simplificación de una suma o resta
de expresiones radicales, donde se emplean propiedades o teoremas deformados respecto a
95
leyes básicas de radicales; en general, se tiende a linealizar la operación por medio de la suma
o resta de los subradicales. Uno de los estudiantes que ejecutó este error fue C6, quien
escribió como resultado de la diferencia de dos expresiones radicales cúbicas como el radical
cúbico de la diferencia de los subradicales precedentes (ver figura 25).
Figura 25. Ilustración del error OR3 cometido por el estudiante C6 en la segunda prueba parcial.
En general, los errores identificados en las operaciones aritmético-algebraicas entre
expresiones radicales se encuentran en la categorización denominada por Cervantes y
Martínez (2007) como errores por linealización; en el caso de Movshovitz et al. (1987),
podemos ubicar este error en la clasificación de Teoremas o definiciones deformados.
Además, la asociación incorrecta del factor de racionalización para binomios, de manera
similar al caso de la asociación incorrecta de los productos notables que se destacó en AP, se
relaciona con una inferencia no válida lógicamente, en función de la categoría propuesta por
Movshovitz et al. (1987) y García (2010), donde los estudiantes infieren que el esquema de
racionalización para binomios que involucran raíces cuadradas o monomios que incluyen
radicales, puede ser generalizado para binomios que involucran raíces cúbicas.
Errores en la resolución de inecuaciones (OI)
La tipología de error OI se manifestó por medio del truncamiento en la estructura de
simplificación de una inecuación, errores al evaluar los signos de una expresión algebraica
de forma tabular y errores asociados con el dominio real de una inecuación entre expresiones
anexo 6 se muestra de manera detallada cada uno de los errores que conforman la tipología
OI. Cabe aclarar que en la prueba se evaluaba un ejercicio referente al tema de inecuaciones
lineales con parámetros y una inecuación polinomial de grado 3.
Los errores más reiterados se detectaron en la inecuación cúbica, a la hora de hacer
el estudio de signos de forma tabular y dar el conjunto solución. En el caso de la inecuación
lineal con parámetros, la mayoría de los errores responden a otras áreas: (a) factorización, (b)
sumas y restas con polinomios, o bien, (c) aritmética básica. A continuación, se presentan
dos de los casos más frecuentes en las pruebas parciales.
96
El desarrollo presentado por el estudiante B5 en la resolución de una inecuación
polinomial se expone en la figura 26, donde se pone de manifiesto el error correspondiente
al estudio incorrecto del estudio del signo de un polinomio lineal en los números reales; este
error fue reiterado cuando el coeficiente principal del polinomio es negativo.
Figura 26. Ilustración del error OI2 cometido por el estudiante B2 en la segunda prueba parcial.
En la figura 27 se presenta una simplificación parcial de una inecuación polinomial,
derivado de una implicación incorrecta; en este caso el estudiante B2 trunca la estructura de
simplificación a desarrollar en el análisis de signos del polinomio, con lo que la respuesta
presentada es errónea.
Figura 27. Ilustración del error OI4 cometido por el estudiante B2 en la segunda prueba parcial.
De acuerdo con Movshovitz et al. (1987), los errores detectados en las inecuaciones
polinomiales pueden ser clasificados como inferencias no válidas, teoremas o principios
deformados del estudio de signos de forma tabular, y errores técnicos; desde la perspectiva
de García (2010), los errores son manifestados como procedimientos propios e incorrectos.
Para Cervantes y Martínez (2007), estos errores se establecen como truncamientos en la
estructura de inecuaciones, donde el estudiante verifica parcialmente las condiciones
necesarias para determinar el conjunto solución, especialmente cuando omite algunos casos
que se presentan al estudiar los signos de un polinomio.
97
Otro elemento importante de la tipología OI se dio al considerar el dominio real en
una inecuación que involucra expresiones radicales. Se determinó que la resolución que
presentaron los estudiantes, en algunos casos, presentó errores en el cálculo del dominio real
o en la interpretación de este, y no en las propiedades algebraicas empleadas para simplificar
las inecuaciones originales, esencialmente en la resolución de la inecuación
2 2 48 4x x x .
Por otro lado, algunos estudiantes no consideraron el estudio del dominio real. Un
caso particular de esta situación se presenta en la figura 28, en la resolución presentada por
el estudiante B2. En este caso se omitió el dominio real del término radical, con lo que se
incurrió en un error al escribir el resultado.
Figura 28. Ilustración del error OI6 cometido por el estudiante B2 en la tercera prueba parcial.
Errores en la resolución de ecuaciones (OE)
Antes de presentar los errores del tipo OE, se debe aclarar que la tipología se definió
en el análisis del test 1, de modo que la situación que se expone a continuación (codificada
por OE5) corresponde a una extensión de los casos en que se manifestó la tipología OE.
El error del tipo OE detectado en las pruebas parciales está asociado con el dominio
real de las ecuaciones que involucran expresiones algebraicas fraccionarias. Algunos
estudiantes omitieron este componente en la resolución de las ecuaciones, con lo que
incluyeron una restricción en el conjunto solución. En general, los procedimientos que se
manifestaron en la simplificación de la ecuación fraccionaria son correctos, a excepción de
98
la etapa donde se establece el conjunto solución. En la figura 29 se ilustra el error OE5
cometido por el estudiante C5.
Figura 29. Ilustración del error OE5 cometido por el estudiante C5 en la tercera prueba parcial.
Errores al definir el valor absoluto de un polinomio (DV)
El error del tipo DV se presentó en dos formas (DV1 y DV2), las cuales corresponden
a errores manifestados al expresar la definición del valor absoluto de un polinomio, al
resolver la inecuación 2 5 7x x . En algunos casos esta situación no impactó la
resolución de la inecuación, ya que la interpretación de la función en cada intervalo fue
correcta. En la figura 30 se presenta una de las formas más reiteradas en que se manifestó
este error.
Figura 30. Ilustración del error DV1 cometido por el estudiante C3 en la tercera prueba parcial.
En el anexo 6 se muestra de manera detallada cada una de las clases errores que
conforman la tipología DV.
De acuerdo con Movshovitz et al. (1987) este tipo de errores se deben a datos mal
utilizados y teoremas o definiciones deformados, donde se ejecuta de forma natural la
definición asimilada de manera errónea; en el caso de García (2010), este error se manifiesta
como un procedimiento propio incorrecto o inferencia no válida.
99
Clasificación general de errores matemáticos determinados en el desarrollo del curso
MAC400 Matemática Fundamental (CGF)
A partir de la síntesis de los errores matemáticos determinados en las pruebas
parciales ordinarias y el test 2, en correspondencia con Movshovitz-Hadar et al. (1987),
Cervantes y Martínez (2007) y García (2010), se genera la clasificación general de errores
matemáticos determinados en el desarrollo del curso MAC400 Matemática Fundamental
(CGF). Cabe destacar que esta clasificación está compuesta por los errores de la clasificación
CG (por ser recurrentes en los instrumentos) y cinco clases nuevas, que se definen a
continuación.
Asociación incorrecta de un producto notable (ET2.1): se da una asociación inadecuada
de un producto o fórmula notable, necesario para desarrollar una potencia de un binomio,
o bien, un producto de polinomios. En estas operaciones los estudiantes reconocen que
se requiere alguno de los productos notables para efectuar la simplificación, pero el
desarrollo que se manifiesta corresponde al producto notable inadecuado. Esta clase de
errores es más reiterada en el cubo de un binomio y en la suma o diferencia de cubos. La
componen los errores del tipo AP.
Asociación incorrecta del factor de racionalización al trabajar con expresiones radicales
cúbicas (ET2.2): se asocia incorrectamente el factor necesario para desarrollar la
racionalización de un polinomio que posee radicales. El estudiante que comete este error
reconoce la estructura operativa de simplificación, pero formula inadecuadamente el
factor que multiplica y divide. En la mayoría de los casos, asocia la racionalización de
binomios que involucran radicales cúbicos, con aquella donde el binomio posee raíces
cuadradas; es decir, extrapola la idea del conjugado para radicales cúbicos. Además, es
común que se generen factores de racionalización similares a los aplicados con monomios
que poseen radicales. Esta clase está compuesta por los errores del tipo OR1, OR2 y OR4
Teoremas y propiedades deformadas al simplificar una operación aritmética algebraica
entre expresiones algebraicas radicales (ET2.3): en esta clase se encuentran los errores
debidos a la deformación de un principio o uso de propiedades inválidas para efectuar
operaciones básicas entre expresiones algebraicas radicales, donde versan la suma, resta
y el producto. En estos casos se omiten las propiedades básicas de radicales y se generan
100
esquemas nuevos de simplificación inválidos. En esta clase se encuentran los errores del
tipo OR3 y OR5.
Teoremas y propiedades deformadas en la resolución de inecuaciones (ET2.4): los
errores que componen esta clase son muy variados a la hora de simplificar y resolver una
inecuación. Se encuentran: (a) errores en las operaciones necesarias para despejar la
incógnita de una inecuación lineal; (b) errores debidos al truncamiento en la evaluación
de signos de una expresión algebraica, por el estudio de casos parciales; (c) errores
debidos a la construcción e interpretación incorrecta de una tabla de signos relativa a un
polinomio o fracción algebraica; (c) errores debidos a la omisión del dominio real de una
inecuación. La clase ET2.4 está compuesta por los errores del tipo OI.
Errores al expresar la definición del valor absoluto de un polinomio (ET2.5): esta clase
está conformada por errores donde se expresa la definición del valor absoluto de un
polinomio de forma incorrecta, ya sea porque no se complete la definición formal, o bien,
porque se modifique alguno de los elementos en la definición. En la mayoría de los casos
donde se manifestó este tipo de errores, la solución de los ejercicios no se vio afectada en
su totalidad, dado que la interpretación del valor absoluto era incorrecta, aunque no se
expresara adecuadamente. Esta clase está compuesta por los errores del tipo DV.
La clasificación CGF fue empleada en el análisis cuantitativo de los errores
matemáticos determinados a través de los instrumentos de recolección y en la
correspondencia determinada con las unidades temáticas que se involucraron en el curso.
Cabe añadir que, el tratamiento cuantitativo de consistencia se basa en los contenidos que
fueron prevalentes en las dos aplicaciones del test diagnóstico y en las pruebas parciales
ordinarias del curso.
101
4.2 CONSISTENCIA DEL ERROR MATEMÁTICO EN LA SIMPLIFICACIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La consistencia de los errores matemáticos identificados es evaluada por medio de un
tratamiento cuantitativo de la información recolectada. En esta sección se presenta la
cuantificación de errores por cada instrumento y unidad temática involucrada en el curso;
también, se realiza un análisis comparativo de frecuencias, donde se evalúan las aplicaciones
del test diagnóstico y las pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso MAC400
Matemática Fundamental.
4.2.1 Cuantificación de errores por instrumento y por unidad temática
En este apartado presentan las frecuencias de cada error por estudiante y por ítem, en
cada instrumento. Además, se determinó la frecuencia de cada error por unidad temática.
Esta información es analizada en correspondencia con las clasificaciones generales de errores
determinadas por el investigador a través del curso: la clasificación CG y la clasificación
CGF.
El papel que tiene este análisis cuantitativo es fundamental para estudiar la
consistencia de los errores entre el test 1 y test 2, los cuales se han aplicado en dos etapas del
ciclo lectivo. La primera aplicación reveló errores en que incurren los estudiantes, según los
conocimientos que poseen de niveles preuniversitarios; la segunda, evidenció aquellos
errores identificados durante el abordaje de contenidos en el curso MAC400 Matemática
Fundamental.
A partir de las tres pruebas parciales ordinarias se determinaron relaciones entre los
errores matemáticos y las unidades temáticas abordadas en el curso, donde se valora la
prevalecen de cada error durante todo el ciclo lectivo.
Cuantificación de errores cometidos en el test 1
Aunque cada ítem diseñado en el test 1 responde a un tipo específico de unidad
temática, al evaluar las producciones se evidenció que la unidad a desarrollar no determinó
la tipología de los errores identificados en el mismo. Esta situación se evidencia cuando
algunos estudiantes intentan factorizar en ejercicios que corresponden al desarrollo de sumas
entre polinomios, o bien cuando se generan esquemas propios e incorrectos al efectuar sumas
102
y restas, pero son empleados en los ejercicios de factorización y de simplificación de
operaciones entre fracciones algebraicas, donde no se requieren este tipo de operaciones. En
la tabla 6 se presenta la frecuencia de errores cometidos en el test 1, por ítem, según la
clasificación CGF.
Tabla 6 Frecuencia de errores cometidos en el test 1, por ítem, según la clasificación CG Ítem del test 1 Clase de
error I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total Fr
ETI.1 19 13 16 12 7 9 10 4 12 102 38,6% ETI.2 0 0 0 0 1 0 0 2 1 4 1,5% ETI.3 0 0 0 3 13 0 5 0 0 21 8% ETI.4 2 0 1 1 1 8 0 0 0 13 4,9% ETI.5 0 0 0 0 1 1 1 0 0 3 1,1% ETI.6 0 0 3 0 0 0 0 0 1 4 1,5% ETI.7 1 8 3 2 1 0 3 1 10 29 11% ETI.8 0 0 0 5 2 0 2 1 0 10 3,8% ETI.9 0 9 0 0 1 1 0 0 0 11 4,2% ETI.10 2 2 3 0 1 0 0 0 1 9 3,4% ETI.11 0 4 6 4 6 5 2 1 8 36 13,6% ETI.12 3 0 1 2 3 5 2 1 5 22 8,3% Total 27 36 33 29 37 29 25 10 38 264 100%
Fr 10,2% 13,6% 12,5% 11% 14% 11% 9,5% 3,8% 14,4% 100% Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
Se contabilizaron un total de 264 operaciones con error manifestadas por estudiantes
en el test 1, los cuales están agrupados en 12 clases de la clasificación CGF. De estos, 38,6%
corresponden al establecimiento de esquemas operacionales inválidos al realizar operaciones
aritmético-algebraicas con polinomios (ET1.1); 13,6%, a errores manifestados por la omisión
o inserción de datos (ET1.11); el resto de los errores identificados se presentaron en
porcentajes bajos y homogéneos, donde la verificación parcial de las condiciones en el
método de factorización (ET1.5) se manifestó como el error con menor frecuencia: cometida
únicamente por tres estudiantes.
La baja frecuencia del error ET1.5 podría deberse a que la minoría de los estudiantes
desarrollaron factorizaciones en ejercicios donde se requería; es decir, la mayoría no resolvió
este tipo de ejercicio; no efectuaron desarrollos a partir de un enunciado explícito, ni en
103
ejercicios referentes a simplificaciones de expresiones fraccionarias donde era necesario
factorizar. Por otra parte, la mayoría de los estudiantes que resolvieron estas operaciones
incurrió en errores asociados con el desarrollo de sumas y restas inválidas, entre monomios
no semejantes. La información sugiere que la mayor parte de los estudiantes participantes no
comprenden la instrucción de factorizar o no manejan los métodos necesarios para llevar a
cabo una factorización cuando eran requeridos al simplificar fracciones algebraicas.
Otro dato que se debe destacar es la frecuencia con que se manifestaron errores al
aplicar teoremas y principios deformados al realizar operaciones aritmético-algebraicas con
expresiones algebraicas fraccionarias (ET1.3), donde se podría pensar que pocos estudiantes
cometieron errores, debido a una resolución correcta; sin embargo, este valor se debe a que
pocos estudiantes desarrollaron de forma completa los ejercicios referentes a operaciones con
fracciones. La extensión en la estructura de simplificación que exigen las operaciones con
fracciones algebraicas conllevó una mayor dificultad para los mismos, por lo que la mayor
parte de los estudiantes no alcanzaron etapas avanzadas en la resolución, donde se evidencien
errores propios de fracciones que no hayan sido categorizados. Los errores más comunes en
estos ítems son del tipo ET1.1.
Uno de los aspectos a considerar en el análisis de consistencia es la frecuencia del
error según cada ítem del test 1; es natural considerar que el tema que se desarrolla en algunos
ítems responde a una mayor concentración de errores del mismo contenido. Por ejemplo, si
es un ítem donde se debe efectuar una suma de polinomios se esperan más errores relativos
a sumas; sin embargo, en algunos casos se contradice esta premisa, como se mostrará en los
siguientes párrafos.
En cuanto a los errores cometidos por ítem del instrumento, el 14,4% de la totalidad
de los errores detectados en el ítem I9, que corresponde a la resolución de la ecuación
3 2 6 23 3x x x x
Aunque el ítem corresponde al tema de ecuaciones cuadráticas, el mayor porcentaje
de errores manifestados son del tipo ET1.1 al simplificar, por separado, las operaciones
presentes en cada miembro de la ecuación; la menor proporción de errores se debe a teoremas
y propiedades deformadas en la resolución de la ecuación (ET1.2), donde se emplean
104
propiedades operativas básicas de ecuaciones de manera simultánea en los miembros de esta,
como el producto o la adición de un término en ambos miembros, o bien, en la determinación
del conjunto solución de la ecuación.
Otro dato por destacar es la frecuencia con que se cometieron errores en el ítem I5, el
cual corresponde a la simplificación de la operación
2 2
2 6 5
6 9 9
x x
x x x
De los 37 errores manifestados, 13 errores corresponden a la clase ET1.3, donde los
estudiantes establecen esquemas operacionales de simplificación inválidos para la resta; siete
de los 24 errores restantes son de la clase ET1.1, que han sido generalizados y aplicados en
otros ítems referentes a simplificaciones, donde los estudiantes mostraron un trabajo análogo.
El 13,6% de la totalidad de los errores cometidos por ítem se concentró en el ítem I2,
el cual consiste en el desarrollo y simplificación del resultado de la operación 2 2
2 5 1 3x x . En este ejercicio se detectaron un total de ocho errores que consisten
en la clase ET1.7, asociados con el desarrollo del producto notable del cuadrado del binomio,
donde se reconoce la fórmula, pero no se aplica de manera completa; además, 13 errores
ubicados en la clase ET1.1, los cuales están asociados con el cálculo incorrecto de sumas o
restas en la base de la potencia; nueve errores que consisten en la clase ET1.9, donde los
estudiantes elevan cada término de la base, sin identificar el producto notable; dos errores de
la clase ET1.10, y cuatro errores asociados con la omisión o inserción de datos del tipo
ET1.11.
En contraste con lo anterior, el ítem en que hubo menor concentración de errores fue
el I8, el cual consiste en una ecuación lineal; se determinó que únicamente 10 de los 264
errores se manifestaron en esta ecuación. Este ítem fue resuelto por la mayor parte de la
muestra, sin cometer errores; esta situación sugiere un manejo adecuado en los conceptos y
técnicas para enfrentar ejercicios de este tipo.
Los siguientes resultados permiten identificar y caracterizar las unidades temáticas
involucradas en el test 1, según la frecuencia de errores. En la tabla 7 se resumen las
105
proporciones de errores categorizadas según las unidades temáticas distinguidas en el
desarrollo del error por cada ítem del instrumento. Es importante mencionar que en la
elaboración del test diagnóstico no todas las unidades temáticas del curso fueron
involucradas; algunas forman parte de los contenidos involucrados en las pruebas parciales
ordinarias.
Tabla 7 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 1, por ítem, según las unidades temáticas del curso Ítem del test 1 Unidad I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total Fr UT1.1 18 5 11 6 6 11 5 2 8 72 27,3% UT1.2 4 10 14 4 5 3 0 1 13 54 20,5% UT1.4 0 16 1 0 1 0 0 0 0 18 6,8% UT2.1 0 0 0 6 8 0 14 1 2 31 11,7% UT2.2 0 0 0 0 13 0 0 0 0 13 4,9% UT2.4 0 0 0 8 0 0 0 0 0 8 3,0% UT3 2 2 4 4 1 13 6 1 2 35 13,3%
UT4.1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0,8% UT4.2 0 0 0 0 1 0 0 0 9 10 3,8% UT10 3 3 3 1 2 2 0 3 4 21 8% Total 27 36 33 29 37 29 25 10 38 264 100%
Fr 10,2% 13,6% 12,5% 11% 14% 11% 9,5% 3,8% 14,4% 100% Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
De las 264 operaciones detectadas con error en la prueba, el 27,3% (72 errores) se
manifestaron por medio del desarrollo incorrecto de operaciones en la unidad UT1.1 (suma
y resta de polinomios.); de estos, 32 se manifestaron donde este procedimiento es totalmente
inconsistente con la naturaleza del enunciado del ejercicio, por ejemplo, al trabajar con
ejercicios de factorización, donde las condiciones no eran las adecuadas para efectuar una
suma o resta de monomios (situación presente en las etapas de la simplificación de
expresiones algebraicas fraccionarias).
El 20,5%, (54 errores) de los errores identificados en la prueba se concentró en el
desarrollo incorrecto de operaciones en la unidad UT1.2 (producto entre polinomios), donde
versa el producto entre monomios; de un monomio y un polinomio, y entre dos polinomios.
Estos errores están distribuidos en ítems cuyas unidades temáticas muestran asociación con
106
la resolución desarrollada; tales errores se manifestaron con mayor frecuencia en los ítems
I2, I3 e I9, que corresponden respectivamente al desarrollo y simplificación de la operación2 2
2 5 1 3x x , la simplificación de 2 2 216 4 4z z z y la resolución de
la ecuación 3 2 6 23 3x x x x .
Otro dato por destacar es que 19,6% (52 errores), de la totalidad de errores cometidos,
se manifestó por medio del desarrollo incorrecto de operaciones entre expresiones
algebraicas fraccionarias, dichas operaciones se evidenciaron en las unidades UT2.1
(simplificación de una expresión algebraica fraccionaria), UT2.2 (suma y resta de
expresiones algebraicas fraccionarias) y UT2.4 (división entre expresiones algebraicas
fraccionarias). Cabe destacar que en el ítem I5, que corresponde al desarrollo y simplificación
máxima de2 2
2 6 5
6 9 9
x x
x x x, únicamente cinco estudiantes manifestaron un esquema
operativo consistente con el algoritmo para efectuar una resta de fracciones; los demás,
operaban de forma errónea e inconsistente, sin mostrar procedimientos adecuados para la
diferencia. Esta situación sugiere que la mayoría de los estudiantes presenta dificultades a la
hora de reconocer un algoritmo para efectuar una diferencia de fracciones.
Cuantificación de errores cometidos en el test 2
A continuación, se presentan resultados cuantitativos sobre los errores detectados en
el test 2; el tratamiento cuantitativo de estos datos se desarrolló en congruencia con el análisis
del test 1, donde fue considerada la clasificación CG. En la tabla 8 se resumen las
proporciones de errores identificados en el test 2, por ítem, según las clases de la clasificación
CG.
Tabla 8 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 2, por ítem, según la clasificación CGF Ítem del test 2
Clase de error I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total Fr ETI.1 2 1 3 0 1 2 0 0 1 10 7,1 ETI.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ETI.3 0 0 0 2 10 1 0 0 0 13 9,2
107
Clase de error I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total Fr ETI.4 12 7 12 0 2 0 0 0 0 33 23,4 ETI.5 0 1 1 1 1 7 1 0 1 13 9,2 ETI.7 0 6 0 2 7 0 0 0 2 17 12,1 ETI.8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1,4 ETI.9 0 1 3 0 0 0 0 0 0 4 2,8 ETI.11 1 0 1 0 2 4 2 0 0 10 7,1% ETI.12 3 1 5 8 1 3 2 7 9 39 27,7% Total 18 17 25 13 26 17 5 7 13 141 100%
Fr 12,8%
12,1%
17,7%
9,2%
18,4%
12,1%
3,6%
5%
9,2%
100%
Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
Se contabilizó un total de 141 operaciones con error, manifestados por los estudiantes
en el test 2; el 27,7% de los errores corresponden a resoluciones parciales o inconclusas
(ET1.12); el 23,4%, a discrepancia entre el enunciado del ejercicio y el tratamiento de los
datos (ET1.4); el 12,1%, al truncamiento en un principio, fórmula, o estructura, al simplificar
una operación aritmético-algebraica (ET1.7); las demás clasificaciones se presentaron en
porcentajes más bajos, con la particularidad de que no se detectaron casos en los errores del
tipo ET1.2, ET1.6 y ET1.10.
Estos datos revelan que los estudiantes resolvieron ecuaciones lineales y cuadráticas
de manera correcta; reconocieron de forma efectiva la propiedad distributiva del producto
respecto a la suma, y no la extrapolaron en el sentido recíproco. Asimismo, no se tiene
registro de errores aritméticos en este instrumento, lo que sugiere que la formación recibida
en el curso ha fortalecido esta área de manera asertiva.
Es importante destacar que dos de las proporciones de errores más bajas se mostraron
en los tipos ET1.8 y ET1.9, donde se evidenció que los estudiantes presentaron menos
dificultades en la potenciación de binomios y en la simplificación de una expresión algebraica
fraccionaria; en estas, los estudiantes reconocen la estructura de simplificación a desarrollar,
aunque escriben algunas respuestas parciales que no están simplificadas al máximo. Para el
caso de las operaciones de suma y resta entre fracciones algebraicas (unidad UT2.2), los
desarrollos no se mostraron de una manera tan asertiva en comparación con la simplificación
de una única fracción, ya que los estudiantes muestran dificultades al reconocer la estructura
o algoritmo necesario para obtener una solo fracción como resultado y, con ello, no logran
108
alcanzar la etapa de simplificación. Cabe señalar que en los ejercicios se solicita expresar la
respuesta simplificada al máximo.
Con base en la frecuencia con que se presentaron errores en cada ítem, se determinó
que la mayor proporción de errores se concentró en dos ejercicios: el ítem I3 e I5, que
corresponden, respectivamente, al desarrollo de la operación 2 2 216 4 4z z z y a
la simplificación máxima de la operación 2 2
2 6 5
6 9 9
x x
x x x.
En el caso de la operación con fracciones, el resultado ratifica las observaciones
referentes al manejo inadecuado de las operaciones con sumas y resta de fracciones
algebraicas, donde se establecen esquemas operativos inválidos de la clase ET1.3. El caso
identificado en I3 estuvo conformado por dos clases de errores: ET1.4 y ET1.12; donde los
estudiantes manifestaron procedimientos inconsistentes con el ejercicio en cuestión (en lugar
de desarrollar, intentaban factorizar) y, con menor frecuencia, aquellos donde los estudiantes
mostraron resoluciones inconclusas. En la figura 31 se puede apreciar la situación en que un
estudiante intenta factorizar el ejercicio en que se solicita desarrollar y simplificar.
Figura 31. Ilustración del error en la clase ET1.4 cometido por el estudiante A4 en el test 2.
Otro ítem que presentó una proporción importante de errores (12,8%) fue el I1, en el
cual hubo mayor frecuencia de errores de tipo ET1.4. En este caso los estudiantes adicionaron
un paso extra inconsistente con el desarrollo de la operación combinada de suma, resta y
producto de polinomios: factorizaban el resultado. Además, cuando el ejercicio demandaba
métodos de factorización (como el ítem I6), los estudiantes procedían por medio de una suma
de términos no semejantes; lo cual sugiere una limitación en cuanto a la comprensión del
lenguaje empleado en la instrucción de cada ejercicio asociado.
A continuación, se presentan los resultados obtenidos al analizar la frecuencia de
errores en función de las unidades temáticas asociadas con cada error. En la tabla 9 se muestra
109
un resumen de las proporciones de errores determinados por cada área temática involucrada
en el test 2. Cabe destacar que el test 2 corresponde al mismo instrumento empleado en el
test 1, pero con diferencia en el período de aplicación.
Tabla 9 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 2, por ítem, según las unidades temáticas del curso Ítem del test 2 Unidad I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Total Fr UT1.1 16 8 15 0 3 0 1 0 1 44 31,2% UT1.2 2 3 2 0 1 0 0 0 3 11 7,8% UT1.4 0 4 5 0 0 0 0 0 0 9 6,4% UT2.1 0 0 0 6 3 0 2 0 0 11 7,8% UT2.2 0 0 0 0 16 1 0 0 0 17 12% UT2.4 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 4,3% UT3 0 2 4 1 3 16 2 0 2 30 21,3%
UT4.1 0 0 0 0 0 0 0 7 1 8 5,7% UT4.2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 3,5% Total 18 17 26 13 26 17 5 7 12 141 100%
Fr 12,8% 12,1% 18,4% 9,2% 18,4% 12,1% 3,5% 5% 8,5% 100% Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
En cuanto a frecuencia de errores determinados por unidad temática, los datos
revelaron que la unidad de sumas y restas entre polinomios (UT1.1) se posicionó con el
mayor porcentaje de errores matemáticos; se determinaron un total de 44 errores (31,2%) en
esta área, donde la mayoría se concentraron entre los ítemes I1, I2 e I3, que corresponden a
combinaciones de operaciones aritmético-algebraicas entre polinomios, donde se incluye la
potenciación de binomios.
En la unidad UT3 (factorización de polinomios), se evidenció que la mayor
concentración de errores se manifestó en el ítem I6, donde los errores de la clase ET1.4
tuvieron mayor frecuencia, con un total de 7 casos. En la figura 32 se puede detallar el caso
en que un estudiante interpreta correctamente la instrucción del ejercicio de factorización,
pero intenta aplicar la técnica sin verificar la totalidad de las condiciones en las expresiones.
110
Figura 32. Ilustración del error en la clase ET1.4 cometido por el estudiante A2 en el test 2.
Por otro lado, en la unidad de ecuaciones cuadráticas (UT4.2) se exhibió la menor
frecuencia de errores presentes en el test 2: un total de cinco incidencias de error en el ítem
I9. Las demás unidades temáticas presentaron porcentajes de errores bajos y homogéneos.
Cuantificación de errores cometidos en las pruebas parciales ordinarias del curso
En la primera prueba parcial se identificaron un total de 79 operaciones donde se
cometieron errores matemáticos; la distribución de frecuencias de estos errores, según la
clasificación CGF y los ítems de la prueba, se presenta en la tabla 10.
Tabla 10 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores identificados en la primera prueba parcial ordinaria, por ítem, según la clasificación CGF. Ítem de la primera prueba parcial
Clase de error PO-1.1 PO-1.2 PO-2.2 PO-2.3 Total Fr ETI.1 3 9 2 2 16 20,3% ETI.5 0 2 5 11 18 22,8% ETI.7 0 9 0 1 10 12,7% ETI.8 1 0 0 0 1 1,3% ETI.9 0 1 0 1 2 2,5% ETI.10 0 0 1 0 1 1,3% ETI.11 0 4 3 8 15 19% ETI.12 1 1 2 6 10 12,7% ET2.1 0 6 0 0 6 7,6% Total 5 32 13 29 79 100%
Fr 6,3% 40,5% 16,5% 36,7% 100% Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
En esta prueba fueron más reiterados los errores debidos a la verificación parcial de
las condiciones de factorización (ET1.5), concentrados en el ejercicio PO-1.4 referente a la
factorización máxima de la expresión 4 2 2 3 49 24 16a a b ab b , con 11 casos detectados,
del total de 18 en esta clase; los cinco casos restantes se determinaron en la factorización del
polinomio 4 2 2 48 4x x y y (PO-2.3). La información sugiere que los estudiantes presentan
111
dificultades al factorizar un polinomio, en especial cuando este se presenta de forma
multivariable.
Por otro lado, los errores debidos a la generación de procedimientos propios e
incorrectos en operaciones aritmético-algebraicas con polinomios (ET1.1) tuvieron una
frecuencia importante, donde nueve de estos errores se manifestaron al simplificar la
expresión 2 33( ) ( ) ( )x y x y x y (ítem PO-1.2). Aunado a lo anterior, este ítem
presentó seis casos donde los estudiantes manifestaron asociaciones incorrectas del producto
notable para desarrollar el cubo de la diferencia y uno donde se asoció incorrectamente el
cuadrado de la diferencia (ET2.1). Es importante destacar que los errores del tipo ET1.2,
ET1.3, ET1.4 y ET1.6, no se manifestaron en esta prueba.
En la segunda prueba parcial se determinó un total de 120 errores en operaciones
matemáticas, cometidos por estudiantes del curso, cuya distribución de frecuencias por clase
e ítem, se muestra en la tabla 11.
Tabla 11 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores identificados en la segunda prueba parcial ordinaria, por ítem, según la clasificación CGF
Ítem de la segunda prueba parcial Clase de error PO-2.1 PO-2.2 PO-2.3 PO-2.4 PO-2.5 Total Fr
ETI.1 3 1 2 0 2 8 6,7% ETI.2 0 0 2 0 1 3 2,5% ETI.3 0 7 2 0 0 9 7,5% ETI.4 1 0 1 2 17 21 17,5% ETI.5 1 4 6 9 0 20 16,7% ETI.7 2 1 0 0 1 4 3,3% ETI.8 2 4 1 0 0 7 5,8% ETI.9 4 1 0 0 0 5 4,2% ETI.11 3 3 4 0 2 12 10% ETI.12 2 1 5 2 6 16 13,3% ET2.2 6 0 0 0 0 6 5% ET2.3 1 0 0 0 0 1 0,8% ET2.4 0 0 0 8 0 8 6,7% Total 25 22 23 21 29 120 100%
Fr 20,8% 18,3% 19,2% 17,5% 24,2% 100% Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
112
En la segunda prueba parcial hubo un aumento en el total de errores detectados, con
respecto a la primera; una de las posibles causas de este cambio es el aumento de operaciones
a realizar debido a la inclusión de ítems con una mayor concentración de operaciones
aritmético-algebraicos con expresiones fraccionarias. Los datos revelaron que la mayor
proporción (17,5%) se manifestó por medio de discrepancias en el tratamiento que se le dio
a la traducción del lenguaje coloquial del problema de aplicación PO-2.5 al lenguaje
simbólico, error que pertenece a la clase ET1.4. En este caso la mayoría de los estudiantes
no logró establecer la ecuación cuadrática que permite llegar a la solución de este. Cabe
destacar que el ítem PO-2.5 presentó 29 errores del total de 120, siendo esta la mayor
frecuencia de errores por ítem.
En esta prueba se determinaron 20 casos de la clase ET1.5, de los cuales la mayor
frecuencia (nueve casos) se dio en la resolución de la inecuación 3 22 13 6 0x x x
que corresponde al ítem PO-2.4. Además, seis errores se manifestaron por empleo incorrecto
de técnicas de factorización al determinar el valor de la incógnita en la ecuación2
2
1 44 1
a x ax
bb. Estos ítems tuvieron una frecuencia importante en cuanto a la
clase ET1.12, que corresponde a resoluciones parciales o inconclusas, con un 13,3% del total
de errores identificados en la prueba.
En el ítem PO-2.1 se determinó un total de seis errores del tipo ET2.2, donde, en
muchos casos, las asociaciones incorrectas del factor de racionalización para binomios que
involucran radicales cúbicos se basaban en la inclusión del conjugado, como si se tratase de
una racionalización que involucra raíces cuadradas.
En esta prueba únicamente un estudiante erró al simplificar un radical. Sin embargo,
el error ET2.4 se manifestó en ocho ocasiones en el ítem correspondiente a la resolución de
la inecuación 3 22 13 6 0x x x ; específicamente, a la hora de estudiar los signos
del polinomio por medio de tablas y a la hora de dar una respuesta en el ejercicio. Cabe
señalar que en la prueba no se manifestaron los errores ET1.6, ET1.10 y ET2.1.
113
En la tercera prueba parcial se detectaron un total de 79 operaciones con error; en la
tabla 12 se presenta la distribución de frecuencias por cada clase de la categoría CGF y cada
ítem de la prueba.
Tabla 12 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores identificados en la tercera prueba parcial ordinaria, por ítem, según la clasificación CGF Ítem de la tercera prueba parcial
Clase de error PO-3.1 PO-3.2 PO-3.3 PO-3.4 PO-3.5 Total Fr ETI.1 0 0 1 0 2 3 3,8% ETI.2 2 0 0 0 4 6 7,6% ETI.3 1 0 0 0 0 1 1,3% ETI.4 1 5 1 3 1 11 13,9% ETI.5 0 2 2 0 0 4 5,1% ETI.7 5 1 0 3 4 13 16,5% ETI.9 3 0 1 0 0 4 5,1% ETI.10 0 0 1 1 5 7 8,9% ETI.11 1 1 0 0 2 4 5,1% ETI.12 1 3 3 1 1 9 11,4% ET2.3 2 0 0 0 0 2 2,5% ET2.4 1 0 9 3 0 13 16,5% ET2.5 0 0 0 2 0 2 2,5% Total 17 12 18 13 19 79 100%
Fr 21,5% 15,2% 22,8% 16,5% 24,1% 100% Nota: Fr=frecuencia relativa porcentual. Fuente: Elaboración propia.
Un total de 13 errores se produjeron por medio del truncamiento en la estructura de
resolución de una inecuación (errores de la clase ET2.4), donde fueron más reiteradas las
incidencias en la inecuación 2 2 48 4x x x . Además, se dieron 13 casos en los que
se truncaron fórmulas, o principios al resolver operaciones aritmético-algebraicas (errores de
la clase ET1.7), distribuidos de manera homogénea entre el ítem PO-3.1, PO-3.4 y PO-3.5.
Con una menor frecuencia (seis casos), se destaca la inconsistencia que se manifestó
cuando al determinar el conjunto solución de la ecuación fraccionaria en el ítem PO-3.2 sin
considerar que el valor involucrado es una restricción (errores de la clase ET1.2). Cabe
destacar que únicamente dos estudiantes cometieron errores de la clase ET2.5, donde se
114
expresó incorrectamente la definición del valor absoluto en la inecuación 2 5 7x x ,
situación que no influyó en la resolución de la inecuación.
En ítem PO-3.5, correspondiente al sistema de ecuaciones lineales, se presentaron
diversos errores: dos casos en los que se manifestó la clase ET1.1, relativos a esquemas
operacionales inválidos para la suma y el producto de polinomios; cuatro casos donde se
produjeron errores del tipo ET1.2, específicamente en las propiedades empleadas para
despejar la incógnita al operar con ecuaciones lineales, cinco casos referentes a errores
aritméticos, y otros en frecuencias más bajas. En esta prueba no se manifestaron los errores
del tipo ET1.6, ET1.8, ET2.1 y ET2.2.
Respecto a las unidades temáticas involucradas de los ítems evaluados en las pruebas
parciales ordinarias, se determinó la frecuencia de errores identificados de la clasificación
CGF que corresponde a cada prueba. En la tabla 13 se resumen las proporciones de errores
categorizadas, según las unidades temáticas distinguidas en el desarrollo de cada error.
Tabla 13 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en las pruebas parciales ordinarias del curso MAC400 Matemática Fundamental, según las unidades temáticas involucradas en el curso
Primera prueba parcial Segunda prueba parcial Tercera prueba parcial Unidad temática Fa Fr Fa Fr Fa Fr
UT1.1 17 21,50% 5 4,20% 2 2,50% UT1.2 9 11,40% 2 1,70% 10 12,70% UT1.3 1 1,30% 1 0,80% 0 0 UT1.4 3 3,80% 1 0,80% 2 2,50% UT1.5 * * 1 0,80% 2 2,50% UT2.1 2 2,50% 10 8,30% 1 1,30% UT2.2 * * 6 5% 0 0 UT2.3 * * 7 5,8 * * UT2.4 * * 2 1,70% * * UT2.5 * * 10 8,30% * * UT3 47 59,50% 20 16,70% 4 5,10%
UT4.1 * * 15 12,50% 5 6,30% UT4.2 * * 7 5,80% 1 1,30% UT4.3 * * * * 1 1,30% UT4.5 * * * * 9 11,40%
115
Primera prueba parcial Segunda prueba parcial Tercera prueba parcial Unidad temática Fa Fr Fa Fr Fa Fr
UT5.1 * * * * 3 3,80% UT5.2 * * 11 9,20% * * UT5.3 * * * * 17 21,50% UT5.4 * * * * 10 12,70% UT6 * * * * 3 3,80% UT8 * * 22 18,30% * * UT10 0 0 0 0 9 11,40% Total 79 100% 120 100% 79 100%
Nota: Fa= frecuencias absolutas; Fr= frecuencias relativas porcentuales; * simboliza que la unidad temática no estuvo presente en la prueba por estructura de los ejercicios. Fuente: Elaboración propia.
Con base en las unidades temáticas analizadas en el estudio de las pruebas parciales
ordinarias se determinó que, en la primera y segunda prueba parcial, la unidad
correspondiente a la factorización de un polinomio (UT3) tuvo una mayor incidencia de
errores, donde la mayoría se concentró en los ítems PO-1.4 y PO-2.4; sin embargo, hubo una
disminución sustancial de estos casos de la primera a la tercera prueba. En la tercera prueba
parcial la mayor proporción de incidencias de errores se manifestó al efectuar productos entre
polinomios (UT1.2) y al resolver inecuaciones con valor absoluto (UT5.4), estos casos se
concentraron en los ítems PO-3.4 e PO-3.5; no obstante, la cantidad de casos detectados en
cada una de las unidades involucradas en la prueba fue baja y homogénea, de modo que no
hubo una diferencia muy marcada con respecto a las otras unidades. Cabe destacar que había
ciertos contenidos que no se presentaban en común entre las tres pruebas, dado que el temario
para cada instrumento es distinto.
4.2.2 Análisis comparativo de frecuencias
Este análisis comparativo se organiza en dos apartados que toman como base la
información recabada con el test diagnóstico y con las pruebas parciales ordinarias. El
objetivo de este análisis es describir las variaciones y la prevalencia de los errores a través
del curso. Se presenta el análisis del test diagnóstico, por medio de la comparación de
frecuencias de errores obtenidas del test 1 y test 2; además, un análisis comparativo entre las
frecuencias de errores reiterados en las pruebas parciales ordinaras.
116
Análisis comparativo según el test diagnóstico
En este apartado se aborda el análisis de consistencia basado en los hallazgos
obtenidos en el test 1 y el test 2. Para esto, se hace una comparación referente a la frecuencia
de los errores identificados y a la concentración de estos, a nivel de unidades temáticas y de
la categorización CGF. No obstante, se debe considerar que cada instrumento evalúa distintas
etapas de aprendizaje en los estudiantes, por lo que es de esperar que la totalidad de errores
que se detectaron no sea igual; para hacer una comparación más integral, se trabajará con la
concentración y proporción de errores relativa a cada prueba, además de las frecuencias
absolutas.
Los resultados revelan que hubo una diferencia muy marcada en la cantidad de
ejercicios en que los estudiantes no escribieron ningún procedimiento de resolución (NR) y
aquellos donde hubo resoluciones totalmente correctas. En la tabla 14 se muestra la
frecuencia de estudiantes que se identificó con alguna de estas condiciones.
Tabla 14 Frecuencia de datos registrados como NR y NIE en el test 1 y test 2, según los ítems involucrados.
Ítem del test diagnóstico
Test 1 Test 2 NR NIE NR NIE
I1 2 6 0 7 I2 2 0 1 6 I3 2 3 1 1 I4 10 1 0 12 I5 7 0 0 1 I6 7 0 3 10 I7 7 1 4 16 I8 2 14 1 16 I9 3 0 1 12
Total 42 25 11 81 Nota: NIE=ítems donde se identificó una resolución correcta y completa; NR=ítem sin resolución o procedimiento. Fuente: Elaboración propia del investigador.
El estudio reveló que en todos los ítems del test diagnóstico la cantidad de estudiantes
que no presentaron respuestas se redujo considerablemente entre la primera y segunda
117
aplicación. Un dato por destacar es que los ítems detectados como NR en el test 1 se
manifestaron de forma dispersa entre los estudiantes, siendo el estudiante C3 quien presentó
mayor frecuencia en esta condición (un total de cinco ítems sin respuesta), mientras que ocho
de los 11 detectados en el test 2 se concentraron en dos estudiantes: B6 y C3.
Este dato evidencia que, en general, los estudiantes presentaron mayor seguridad al
emitir un desarrollo en la resolución de cada ítem del test 2. Los datos revelaron que los
estudiantes se vieron más limitados en la resolución del test 1, en la cual únicamente
utilizaban conocimientos adquiridos en la formación preuniversitaria, sin haber abordado los
contenidos correspondientes en el curso MAC400 Matemática Fundamental. Es posible
afirmar que una de las causas del aumento de resoluciones correctas del test 1 al test 2, se
debe a que, en general, mejoró el manejo de los métodos de factorización y el desarrollo de
operaciones básicas con polinomios y fracciones algebraicas.
En el ítem I4, que corresponde al desarrollo y simplificación máxima de 2 2 2
2
6 55 11
1
a a ab bab ab
, presentó la mayor cantidad de estudiantes que no emitieron una
respuesta (Test 1): un total de 10 estudiantes presentaron la condición NR en este ejercicio;
únicamente un estudiante presentó una resolución correcta; y los demás, presentaban
resoluciones con al menos un error, donde la mayoría manifestó errores de la clase ET1.1.
En contraste, en la aplicación del test 2, 12 estudiantes resolvieron correctamente este ítem y
no se identificaron estudiantes en la condición NR; el resto, cometieron al menos un error.
Además, se debe señalar que en el estudio se consideró como premisa que la
reducción en la frecuencia de errores sería notoria conforme el ciclo lectivo progresara, dado
el mecanismo de corrección de errores que desarrolla cada estudiante en el proceso
evaluativo. En efecto, la cantidad de errores detectados en el test 1 se redujo de 264 errores
matemáticos a 141: una diferencia de 123 errores, donde se dio una reducción de 42 ejercicios
identificados sin respuesta (NR) en el test 1, a solamente 11 en el test 2, y un aumento de las
resoluciones totalmente correctas (NIE), que pasaron de 25 del test 1 a 82 en el test 2.
En el test 1 y el test 2 el número de estudiantes con resoluciones correctas en el ítem
I8 (referente a la solución de una ecuación lineal) fue mayor que en el resto de los ejercicios;
en el test 1 se identificaron 14 estudiantes, mientras que en test 2, 16. En ambas pruebas se
118
evidenció el dominio de las propiedades necesarias para despejar una incógnita en una
ecuación.
Un dato que se marcó una diferencia en las dos aplicaciones del test diagnóstico es el
aumento de operaciones asertivas en los ítems I6 e I7 en el test 2, en comparación con el test
1, donde se evidenció un mayor dominio en los métodos de factorización y la estructura de
simplificación al trabajar con expresiones algebraicas fraccionarias. En la primera aplicación
únicamente un estudiante resolvió de manera correcta el ítem I7 y ninguno el I6, mientras
que en la segunda aplicación 10 mostraron una resolución totalmente correcta en I6 y 16 en
I7.
A continuación, se presenta el análisis comparativo entre la frecuencia de errores
identificados en el test 1 y en el test 2, con respecto a la clasificación CGF. Es importante
recalcar que en ambas aplicaciones del instrumento únicamente se detectaron errores de la
clasificación CGF, por lo que dicha información posibilita el estudio de consistencia en el
instrumento de manera holística. Bajo la definición de consistencia adoptada para el estudio,
se afirma que un error es consistente en la prueba si prevalece en distintas aplicaciones con
la misma frecuencia o bien, se concentra en la misma proporción respecto al total registrado.
En la tabla 15 se presenta la frecuencia de cada error detectado en las dos aplicaciones del
test, según la clasificación CGF.
Tabla 15 Frecuencia absoluta y porcentual, según los errores identificados en el test 1 y test 2, bajo la clasificación CGF.
Ítem Test 1 Test 2 Fa Fr Fa Fr
ET1.1 102 38,6% 10 7,1% ET1.2 4 1,5% 0 0% ET1.3 21 8% 13 9,2% ET1.4 13 4,9% 33 23,4% ET1.5 3 1,1% 13 9,2% ET1.6 4 1,5% 0 0% ET1.7 29 11% 17 12,1% ET1.8 10 3,8% 2 1,4% ET1.9 11 4,2% 4 2,8%
119
Ítem Test 1 Test 2
Fa Fr Fa Fr ET1.10 9 3,4% 0 0% ET1.11 36 13,6% 10 7,1% ET1.12 22 8,3% 39 27,7% Total 264 100% 141 100%
Nota: Fa= frecuencias absolutas; Fr= frecuencias relativas porcentuales. Fuente: Elaboración propia del investigador.
Se determinó que los errores establecidos en la categorización CGF se manifiestan de
una manera inconsistente, respecto a la aplicación del test 1 y test 2. Los errores del tipo
ET1.1, ET1.3, ET1.6, ET1.7, ET1.8, ET1.9, ET1.10 y ET1.11 presentaron una disminución
importante de frecuencias del test 1 al test 2; el resto de los errores presentaron un aumento
de frecuencia.
La frecuencia más alta de errores pasó de manifestarse como esquemas operacionales
inválidos al realizar operaciones aritmético-algebraicas con polinomios (ET1.1), a
resoluciones parciales o inconclusas (ET1.12). Los errores de la clase ET1.1 se redujeron en
92 casos para un total de 10 casos en la aplicación test 2; además, los ítems del test 1 donde
se identificó este error, tuvieron un aumento en la cantidad de resoluciones correctas. Esta
situación sugiere que una mayor proporción de estudiantes desarrolló correctamente las
propiedades al operar con polinomios, después de haber abordado estos temas en el curso.
Cabe destacar que el aumento de incidencias que se dio a nivel de resoluciones parciales o
inconclusas (ET1.12) se concentró en el ítem I4 e I9, que corresponden respectivamente a la
simplificación de una división de fracciones algebraicas y a la resolución de una ecuación
cuadrática. Esto no implica que con el desarrollo del curso se agravó este tipo de error, sino
que en el test 2 los estudiantes manifestaron más operaciones correctas, pero no completaban
el ejercicio; mientras que en el test 1, cometían errores de otra naturaleza que no reflejaban
operaciones correctas desde el principio de la resolución. En este sentido, el aumento del
error ET1.12 se puede ver como una ganancia a nivel operativo, en cuanto a la cantidad de
operaciones correctas efectuadas.
Los errores debidos a omisión o inserción de datos de forma inválida (ET1.11)
disminuyeron de manera considerable: se pasó de 36 a 10 casos donde los estudiantes
manifestaron este error; lo cual sugiere que los estudiantes resuelven cada ejercicio sin
120
presentar u omitir datos de forma inconsistente con la secuencia de procedimientos que
desarrolla.
Por otro lado, se destaca el cambio de frecuencia que se dio en la clasificación ET1.4,
donde se dio un aumento en los errores debidos a discrepancias entre el enunciado del
ejercicio y el tratamiento de los casos. Específicamente, se pasó 13 a 33 incidencias de este
tipo; sin embargo, las situaciones donde se presentó esta incidencia son distintas. En el test 1
la gravedad con que el error impacta la resolución del ítem es mayor que la identificada en
el test 2. En el test 1, el error se concentró en un ítem donde se solicita factorizar al máximo
un polinomio, pero los estudiantes proceden por medio de operaciones inválidas e
inconsistentes para la suma, en lugar de factorizar, desde el principio de la resolución;
mientras que en el test 2, se concentró en un ejercicio donde se solicita desarrollar una
operación combinada entre polinomios, pero una vez que se escribe la respuesta correcta,
esta es factorizada, sin que el enunciado solicite efectuar una factorización.
La verificación parcial de las condiciones en los métodos de factorización (ET1.5)
tuvo un aumento de 10 incidencias entre el test 1 y el test 2, donde tuvo mayor impacto la
agrupación parcial de los términos a la hora de efectuar la factorización por agrupamiento.
No obstante, este aumento se debe a hubo más estudiantes que no contestaron esta pregunta
en el test 1 que en el test 2; además, la mayor proporción de estudiantes que respondían el
ítem relativo a factorización en el test 1, manifestaban una resolución inconsistente o
discrepante con el enunciado, donde no se evidenció el manejo o intención de aplicar un
método de factorización. La diferencia con el test 2 es que en este sí se evidenció la intención
de factorizar los polinomios, solo que, en algunos casos, con verificaciones parciales de las
condiciones necesarias en los métodos.
Cabe destacar que en el test 2 no se manifestaron errores de tipo ET1.2, ET1.6 o
ET1.10. Es decir, los estudiantes no mostraron dificultades al operar con las propiedades
básicas relativas al despeje de incógnitas en ecuaciones polinomiales o en la determinación
del conjunto solución, además, no incurrieron en el error manifestado como extrapolación
incorrecta de la distribución de una suma respecto a un producto, y no cometieron errores en
operaciones de aritmética básica con números.
121
Con el fin de comparar las unidades temáticas donde se da una mayor incidencia de
errores matemáticos entre el test 1 y 2, a continuación, se estudia la frecuencia de los errores
por unidad temática presente en las aplicaciones del instrumento. En la tabla 16 se resumen
las frecuencias de errores categorizadas según las unidades temáticas distinguidas en el
desarrollo cada error.
Tabla 16 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en el test 1 y el test 2, según las unidades temáticas del curso relacionadas.
Unidad temática
Test 1 Test 2 Fa Fr Fa Fr
UT1.1 72 27,3% 44 31,2% UT1.2 54 20,5% 11 7,8% UT1.4 18 6,8% 9 6,4% UT2.1 31 11,7% 11 7,8% UT2.2 13 4,9% 17 12% UT2.4 8 3% 6 4,3% UT3 35 13,3% 30 21,3%
UT4.1 2 0,8% 8 5,7% UT4.2 10 3,8% 5 3,5% UT10 21 8% 0 0% Total 264 100% 141 100%
Nota: Fa= frecuencias absolutas; Fr= frecuencias relativas porcentuales Fuente: Elaboración propia del investigador.
A nivel porcentual, se puede afirmar que los errores fueron consistentes en la mayoría
de las unidades, aunque exista una amplia diferencia en la totalidad de errores entre el test 1
y el test 2. Cabe destacar que las proporciones que se muestran a continuación se determinan
a partir del total de errores detectados en cada aplicación del test diagnóstico: 264 errores
identificados en el test 1 y 141 errores en el test 2. Este aspecto es un indicador de que el
estudio cuantitativo de errores, según las unidades temáticas, es más informativo a nivel
proporcional que absoluto.
En ambas aplicaciones, los datos revelaron que en la unidad de sumas y restas entre
polinomios (UT1.1) estuvo concentrada la mayoría de los errores. No obstante, esta
frecuencia hace referencia a esquemas generalizados de forma inválida (ET1.1) en el caso
122
del test 1, y al error de factorizar un resultado parcialmente correcto en una suma (error de la
clase ET1.4), en el caso test 2; es decir, la primera aplicación evidencia un conocimiento más
limitado del contenido.
En la unidad relativa al producto entre polinomios (UT1.2) hubo una disminución
notable de errores entre el test 1 y el test 2: hubo una disminución de 43 de errores, que en
su mayoría pasaron de presentarse como esquemas propios e inválidos al desarrollar la
operación 2 2 216 4 4z z z (error del tipo ET1.1), a estar dispersos en ítems
referentes a operaciones combinadas con polinomios, en cantidades bajas.
Otra diferencia importante se dio en el aumento de errores que se generó en la unidad
de ecuaciones polinomiales de primer grado (UT4.1): un aumento de dos a ocho errores;
siendo esta, una de las unidades del test 1 distinguida por presentar la menor frecuencia de
errores. Este aumento se debe a que en el ítem relativo a la resolución de una ecuación
cuadrática para el test 1 la mayoría de los estudiantes no contestaron la pregunta y, de los que
mostraron algún procedimiento, no completaban la resolución; en el test 2 se presentaron
desarrollos más extensos y objetivos en este ejercicio, aunque algunos con errores al emitir
el conjunto solución.
En el test 1 tuvieron mayor frecuencia los errores que se ubican en unidades referentes
a operaciones aritmético-algebraicas con polinomios (UT1), tal como la adición y el
producto; sin embargo, en la segunda aplicación del test diagnóstico se pusieron de
manifiesto errores debidos a resoluciones parciales o inconclusas (ET1.12), donde los
estudiantes mostraban operaciones correctas, pero no determinaron el conjunto solución.
En las unidades referentes a operaciones aritmético-algebraicas con expresiones
algebraicas fraccionarias (UT2) se destaca la disminución de errores que hubo en la unidad
referente a simplificación de una fracción (UT2.1): se pasó de 31 errores a 11; la mayor parte
de estos, debidos resoluciones parciales o inconclusas (ET1.12), no a inconsistencias con la
estructura de simplificación en el ejercicio (ET1.8). Este dato sugiere que la mayor parte de
los estudiantes mejoraron en el uso de las técnicas de factorización y simplificación en una
fracción.
123
A nivel porcentual, la unidad de sumas entre expresiones algebraicas fraccionarias
(UT2.2) y la correspondiente a factorización de polinomios (UT3), muestran diferencia entre
la aplicación del test 1 y el test 2; sin embargo, esta diferencia es de cinco errores en cada
unidad. Las demás unidades se presentaron de una forma más homogénea, en cuanto a la
totalidad de errores detectados en cada aplicación.
Análisis comparativo según las pruebas parciales ordinarias
En este apartado se establece el criterio de consistencia relativo a las pruebas parciales
ordinarias aplicadas en la recolección de la información. Serán consideradas la
categorización CGF derivada de estos instrumentos y las unidades temáticas involucradas en
el análisis de errores. Con el fin de evaluar la consistencia de los errores de forma evolutiva,
se estableció un orden cronológico entre una prueba y otra, según el período en que fueron
aplicadas.
Es importante mencionar que no se puede emitir un criterio de comparación sobre la
frecuencia absoluta de los errores detectados entre una prueba y otra; al ser exámenes
distintos, la cantidad de ejercicios o procedimientos que demanda cada uno es variable, por
lo que se compararon las frecuencias relativas porcentuales, según los ítems evaluados en
cada prueba.
En la tabla 17 se muestra la frecuencia de estudiantes que se identificó con la
condición NIE o NR, según cada ítem de las pruebas parciales ordinarias.
Tabla 17 Frecuencia de datos registrados como NR y NIE en el test 1 y test 2, según los ítems involucrados.
Condición Ítem Total Ítems de la primera prueba parcial PO-1.1 PO-1.2 PO-1.3 PO-1.4
NIE 19 3 12 0 34 NR 0 1 2 1 4
Ítems de la segunda prueba parcial PO-2.1 PO-2.2 PO-2.3 PO-2.4 PO-2.5
NIE 7 9 1 10 2 29 NR 0 0 0 1 2 3
124
Condición Ítem de la tercera prueba parcial Total PO-3.1 PO-3.2 PO-3.3 PO-3.4 PO-3.5
NIE 11 14 9 13 7 54 NR 0 0 1 0 1 2
Nota: NIE=ítems donde se identificó una resolución correcta y completa; NR=ítem sin resolución o procedimiento. Fuente: Elaboración propia del investigador.
Del total de ítems evaluados en las pruebas muy pocos estudiantes presentaron
ejercicios sin respuesta (NR); no más de dos estudiantes por cada prueba presentó esta
condición, donde hubo una reducción gradual de la primera prueba parcial a la segunda. Esta
proporción de estudiantes muestra una diferencia marcada con respecto a la proporción de
estudiantes que no emitieron respuestas en el test 1, donde el 43,7% presentó tal condición.
El estudio reveló que la mayor concentración de resoluciones correctas en la primera
prueba parcial se dio en el ítem PO-1.1, correspondiente al desarrollo de la división
4 3 2 215 5 2 4 1a a a a a a con un total de 19 estudiantes que efectuaron a
la perfección esta operación. La mayor cantidad de estudiantes que presentó resoluciones
correctas en la segunda prueba parcial fue de 10, específicamente en el ítem PO-2.4,
correspondiente a la resolución de la inecuación 3 22 13 6 0x x x . En la tercera
prueba parcial, la concentración de estudiantes con resoluciones correctas fue más dispersa
y homogénea, con una cantidad mayor en el ítem PO-3.2, que corresponde a la resolución de
la ecuación 2
2
4 8 93 5 2 15
x x xx x x x
.
Además, se determinó que la cantidad de ítems en la condición NIE tuvo una
disminución gradual de la primera a la segunda prueba parcial; una posible explicación de
este cambio es la estructuración de la segunda prueba, la cual exige en la resolución de cada
ejercicio procedimientos más extensos y demanda la asimilación de más tópicos, en
comparación con la prueba anterior. Sin embargo, en la tercera prueba parcial la tasa de
ejercicios resueltos de manera correcta aumentó.
Aunado a lo anterior, el porcentaje de ítems donde se determinó al menos un error
presentó un alza de la primera prueba, a la tercera, con diferencias muy leves. Los errores
125
detectados en cada prueba son de distinta naturaleza; a continuación, se desarrolla un análisis
cuantitativo referente a la clasificación de errores que estuvieron en común en las tres pruebas
parciales ordinarias, con el fin de estudiar la consistencia que presentaron estas incidencias.
Particularmente, en las tres pruebas se manifestaron en común los errores de tipo ET1.1,
ET1.5, ET1.7, ET1.9, ET1.11 y ET1.12.
En la tabla 18 se presenta la frecuencia de cada error detectado en las tres pruebas
parciales ordinarias, según la clasificación CGF. Los totales presentados en cada prueba
parcial ordinaria son relativos al total de 79 errores registrados en la primera prueba parcial;
120 en la segunda; y, 79 en la tercera.
Tabla 18 Frecuencia absoluta y porcentual, según los errores identificados en pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental, bajo la clasificación CGF.
Ítem PI PII PIII
Fa Fr Fa Fr Fa Fr ETI.1 16 20,30% 8 6,70% 3 3,80% ETI.5 18 22,80% 20 16,70% 4 5,10% ETI.7 7 8,90% 4 3,30% 13 16,50% ETI.9 2 2,50% 5 4,20% 4 5,10% ETI.11 15 19% 12 10% 4 5,10% ETI.12 10 12,70% 16 13,30% 9 11,40% Total 68 86,20% 65 54,20% 37 47%
Nota: Fa= frecuencias absolutas; Fr= frecuencias relativas porcentuales; IP=primera prueba parcial ordinaria; IIP=segunda prueba parcial ordinaria; IIIP=tercera prueba parcial ordinaria Fuente: Elaboración propia del investigador.
El estudio reveló que, a nivel porcentual, la concentración de errores por cada prueba
parcial ordinaria fue consistente en el caso del error ET1.12. Sin embargo, esta situación no
se dio en los demás errores detectados para cada prueba, donde hubo una reducción
importante en la proporción manifestada para los errores ET1.1, ET1.5 y ET1.11, se dio un
aumento en la concentración de errores de la clase ET1.9 y la concentración de errores de la
clasificación ET1.7 disminuyó de la primera a la segunda prueba parcial, pero aumentó en la
tercera prueba parcial ordinaria.
Los datos obtenidos pusieron de manifiesto que el establecimiento de esquemas
operacionales inválidos al realizar operaciones aritmético-algebraicas con polinomios
126
(ET1.1) se redujo de manera importante durante la evolución del ciclo lectivo; este error fue
corregido casi en la totalidad de los casos al llegar a la tercera prueba parcial, al punto de
detectar únicamente tres incidencias en esta.
Los errores manifestados como una verificación parcial de las condiciones en el
método de factorización (ET1.5) se redujeron (a nivel porcentual) considerablemente al
evaluar las pruebas de forma consecutiva; no obstante, se debe considerar que en la primera
prueba parcial este error se concentró en un ítem donde se debía factorizar un polinomio de
dos variables por distintos métodos, mientras que, en las demás pruebas parciales, se
manifestó en polinomios de una sola variable factorizables por el método de división
sintética. Esta situación sugiere que los estudiantes presentan mayores dificultades al efectuar
factorizaciones con polinomios de más de una variable.
Aunado a lo anterior, el ejercicio PO-1.4, referente a la factorización del polinomio
de dos variables, fue determinante en la disminución de la concentración de errores del tipo
ET1.11 evidenciada de la primera a la tercera prueba parcial ordinaria; en la primera prueba
el alto porcentaje en esta clase se debe a que los estudiantes omitieron datos en el ítem al
intentar factorizar de manera incongruente.
La cantidad de resoluciones parciales o inconclusas (ET1.12), en las tres pruebas
parciales fue similar. Aunque los ejercicios responden a distintas unidades temáticas, el
estudio puso de manifiesto que la factorización, la resolución de problemas aplicados del
tema de ecuaciones, y las inecuaciones, se presentan como contenidos donde este tipo de
errores se presentó en mayores proporciones.
El truncamiento en las operaciones necesarias para desarrollar productos notables y
el producto de polinomios (ET1.7) se manifestó de manera considerable, con un impacto
importante en las tres pruebas parciales ordinarias. El aumento del error ET1.7 no fue
consistente respecto al tipo de ejercicios en que se manifestó con mayor proporción: se
concentró en ejercicios referentes al desarrollo del cubo de un binomio en la prueba PI,
mientras que tuvo mayor frecuencia en el producto de polinomios para la prueba PIII.
A continuación, se comparan las frecuencias de errores por unidad temática,
determinadas en las tres pruebas parciales ordinarias. En la tabla 19 se presentan las
frecuencias de errores relativas a las unidades temáticas que se desarrollan en común en las
127
tres pruebas parciales, donde se manifestó al menos un error: UT1.1 (suma y resta de
polinomios.), UT1.2 (producto entre polinomios), UT1.4 (potenciación de polinomios),
UT2.1 (simplificación de una expresión algebraica fraccionaria), UT3 (factorización de
polinomios) y UT10 (aritmética básica).
Tabla 19 Frecuencia absoluta y porcentual, relativa al total de errores cometidos en las pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental, según las unidades temáticas del curso relacionadas
PI PII PIII Unidad temática Fa Fr Fa Fr Fa Fr
UT1.1 17 21,50% 5 4,20% 2 2,50% UT1.2 9 11,40% 2 1,70% 10 12,70% UT1.4 3 3,80% 1 0,80% 2 2,50% UT2.1 2 2,50% 10 8,30% 1 1,30% UT3 47 59,50% 20 16,70% 4 5,10% UT10 0 0 0 0 9 11,40% Total 78 99% 38 31,70% 28 35,50%
Nota: las frecuencias absolutas se denotan por Fa y las frecuencias relativas porcentuales por Fr; IP=primera prueba parcial ordinaria; IIP=segunda prueba parcial ordinaria; IIIP=tercera prueba parcial ordinaria. Fuente: Elaboración propia del investigador.
Se determinó que la mayor parte de los errores se concentró en dos unidades
temáticas: la factorización de polinomios (UT3), en la primera y segunda prueba parcial; en
la factorización de polinomios (UT3) y en el producto entre polinomios (UT1.2), en la tercera
prueba parcial.
En la unidad correspondiente a la factorización de polinomios (UT3) se dio una
disminución de errores marcada entre cada prueba consecutiva, donde se pasó de 47 errores
identificados en la primera prueba parcial a un total de cuatro errores en la tercera prueba
parcial. Cabe mencionar que la complejidad y el tipo de ejercicio donde se presentó la
mayoría de los errores varía. En la primera prueba parcial la mayor concentración de errores
en esta unidad se dio en la factorización del polinomio 4 2 2 39 24 16a a b ab ; en la
segunda prueba parcial la mayoría de los errores se presentaron en la factorización del
polinomio 3 22 13 6x x x ; y en la tercera prueba parcial, los errores se concentraron
en la factorización de dos trinomios cuadráticos en una variable.
128
Otro dato por destacar es la reducción de errores en cuanto a la suma y resta de
polinomios (unidad UT1.1), donde se pasó de 17 casos en la primera prueba parcial a dos
casos en la tercera prueba. Dado que las operaciones presentes en cuanto a la suma y resta de
polinomios fueron homogéneas en las tres pruebas, se evidenció una mejoría en esta unidad
a lo largo del ciclo.
La alta frecuencia de errores en el producto de polinomios de la tercera prueba parcial
fue detectada en el sistema de ecuaciones lineales, donde se involucraron coeficientes
numéricos fraccionarios. En este caso, la aparición de errores en la unidad de aritmética
básica (UT10) de la prueba se generó en el mismo ítem, lo cual sugiere que los estudiantes
poseen dificultades en el producto y la adición entre fracciones numéricas. En la primera y
segunda prueba parcial no se identificaron errores aritméticos.
4.3 ERRORES MATEMÁTICOS QUE IDENTIFICA EL DOCENTE EN LAS PRODUCCIONES DE ESTUDIANTES DEL CURSO MAC400 MATEMÁTICA
FUNDAMENTAL
A continuación, se presentan los hallazgos obtenidos con la entrevista
semiestructurada aplicada a los docentes a cargo de los grupos del curso MAC400
Matemática Fundamental. Los datos recabados a partir de la entrevista se sintetizaron y se
contrastaron con las clasificaciones generales de errores matemáticos determinados en el
desarrollo del curso.
4.3.1 Resultados de las entrevistas
La entrevista se aplicó a tres docentes (A, B y C) durante el mes de octubre, de 2018.
A continuación, se detallan algunas características de los entrevistados.
Docente A: mujer, con experiencia de cuatro ciclos lectivos impartiendo Matemática
Fundamental; su máximo grado académico alcanzado es maestría, con énfasis en
Matemática Educativa.
Docente B: hombre, con experiencia de un ciclo lectivo impartiendo Matemática
Fundamental; su máximo grado académico alcanzado es maestría, con énfasis en
Didáctica de la Matemática.
129
Docente C: mujer, con experiencia de dos ciclos lectivos impartiendo Matemática
Fundamental; su máximo grado académico alcanzado es maestría, con énfasis en
Matemática Educativa.
Los docentes entrevistados ilustraron, con ejemplos particulares, los errores
matemáticos que cometieron sus estudiantes al efectuar operaciones básicas con polinomios
y expresiones algebraicas fraccionarias, los cuales detectaron durante el I ciclo de 2018, en
su grupo del curso MAC400 Matemática Fundamental. Para cada situación, los docentes
indicaron las unidades temáticas del curso donde fue común la presencia del error. Cabe
añadir que las situaciones manifestadas no se limitan exclusivamente a la apreciación de los
resultados de las pruebas parciales y el test diagnóstico, surgen del criterio y experiencia de
los entrevistados durante el desarrollo del curso.
En términos generales, los errores ilustrados por los docentes presentan una
correspondencia con las clasificaciones emitidas en el estudio. A continuación, se hace un
análisis de esta información. Los errores ilustrados por los docentes se presentan agrupados
por tema.
Errores al efectuar una suma o resta de polinomios
En el contenido de suma y resta de polinomios únicamente se ilustró una situación
exhibida por la docente A:
2 4 2 2
5 3 2 2
3
12 5 3
17 3
14
xy x y x y
x y x y
x y
En este ejemplo se evidencia una limitada noción respecto al concepto de monomios
semejantes y al método de la suma y resta entre polinomios. Se establece un esquema de
operaciones propio e inválido para la operación suma y resta de polinomios, de modo que
este error se vincula a la clase ET1.1. Según lo indicado por la docente, este error es común
al inicio del ciclo, cuando se aborda el tema de operaciones básicas con polinomios; no es
tan frecuente en los demás temas del curso. Cabe destacar que los demás docentes
entrevistados no reportaron errores en el tema de sumas y restas con polinomios.
130
Errores al efectuar un producto de polinomios
Para el producto entre polinomios los docentes entrevistados ilustraron siete errores que
se presentan a continuación en la tabla 20.
Tabla 20 Errores matemáticos al simplificar productos de polinomios, identificados por cada docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental
Docente entrevistado Casos de errores ilustrados
Docente A
2
2 4 1
2 4 4
x x x
x x x x (1.1)
2
22 3 4 3x x (1.2)
3 2 4
2 6 12
2
2 2
xy x y
x y xy
(1.3)
Docente B
2 2
3 1 2
3 2
x x x x
x x x x (1.4)
Docente C
2 24 6 4 6x x (1.5)
2 3
5 3 2
7 4 2
7 28 14
x x x
x x x
(1.6)
2 3
5
7 4 2
7 4 2
x x x
x x (1.7)
Fuente: entrevista semiestructurada aplicada a docentes del curso MAC400 Matemática Fundamental.
A partir de los ejemplos ilustrados, se puede evidenciar que la mayor parte de los
errores se genera cuando se aplica la ley distributiva de forma parcial, donde no se
131
multiplican todos los términos de los polinomios, en especial cuando se trata de distribuir un
-1 en un producto entre polinomios.
Por otro lado, se evidencia que los docentes A y B coinciden con el proceder de los
estudiantes en los casos (1.1), (1.2), y (1.4), donde se omite el paréntesis necesario para
agrupar la expresión que será multiplicada por -1, con lo que no efectúa tal operación de
forma correcta. El docente C ilustró una situación similar a la anterior el caso (1.5) y (1.7),
con la diferencia de que en lugar de efectuarse la multiplicación de un -1 por un polinomio,
se multiplica un monomio no constante. La docente C presenta otra situación particular no
ilustrada por los demás docentes: en el caso (1.6) se distribuye el monomio por cada término
del segundo factor, con la particularidad de no distribuir el coeficiente -1.
Estos errores son congruentes con la clase de errores ET1.7, debido a que el
estudiante reconoce que la operación corresponde a un producto, pero efectúa un desarrollo
donde se trunca en el principio de la ley distributiva. Cabe destacar que la omisión de
paréntesis que denotan productos está en correspondencia con los errores matemáticos en el
producto de polinomios
El caso (1.3) es un tipo de error que únicamente indicó la docente A y fue muy
reiterado en el test 1, se trata de un error del tipo ET1.1, ya que se crea un esquema
operacional inválido para el producto, donde se incurre en error al multiplicar los grados de
los monomios involucrados para generar el grado del monomio resultante.
Según los docentes entrevistados, las situaciones evidenciadas para el producto no
fueron frecuentes en todo el curso, fueron más reiteradas en operaciones básicas con
polinomios y con fracciones algebraicas, en las primeras unidades del curso.
Errores al efectuar de potencias de polinomios
En cuanto a las potencias de polinomios, se distinguen tres situaciones ilustradas que
se presentan en la tabla 21.
132
Tabla 21 Errores matemáticos al calcular potencias de polinomios, identificados por cada docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental.
Docente entrevistado Casos de errores ilustrados
Docente A
2 23 5 9 25
(2.1)
Docente B
2
2 1 2 1x x (2.2)
Docente C
34 7 4x y x y (2.3)
2 2 2x y x y (2.4) Fuente: entrevista semiestructurada aplicada a docentes del curso MAC400 Matemática Fundamental.
La docente A y la docente C, coinciden en un error que se manifestó al desarrollar la
potencia de un binomio en los casos (2.1) y (2.4). En estos desarrollos se pone de manifiesto
la linealización de la potencia del binomio, donde, en lugar de aplicar el producto notable
correspondiente, se expresa como resultado el binomio conformado por la potencia de cada
término de la base. Este error es congruente con la clase ET1.9 y fue identificado por los
docentes en el tema de operaciones básicas con polinomios y operaciones básicas con
fracciones algebraicas.
El docente B presenta un desarrollo donde se pone de manifiesto la aplicación
incorrecta de las leyes de potencia en monomios. El desarrollo sugiere un truncamiento en la
ley por aplicar, donde únicamente se calculó la potencia de uno de los factores de la base.
Por las características, el truncamiento de esta ley o principio corresponde a la clase de errores
ET1.7. El docente indicó que la situación fue reiterada en los temas operaciones básicas con
polinomios, ecuaciones e inecuaciones radicales.
La situación que destaca la docente C, en el caso (2.3), evidencia un esquema
operacional que no es válido para la potencia de un producto, donde se aplica un cálculo con
los exponentes de las potencias que es inconsistente con la ley correspondiente. Este error no
fue indicado por los demás docentes. El error se ubica en la clase ET1.1 y, según el criterio
133
del docente, únicamente fue prevalente al inicio del curso, cuando se abordó el tema de
operaciones básicas con polinomios.
Errores al aplicar métodos de factorización
En los métodos de factorización se distinguen cinco errores ilustrados por los
entrevistados. Estos se presentan en la tabla 22.
Tabla 22 Errores matemáticos al aplicar métodos de factorización, identificados por cada docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental.
Docente entrevistado Casos de errores ilustrados
Docente A
22 6 2 2 3
2 2
3
(3.1)
6 9 2 3 4 2 3 62
(3.2)
Docente B
2 2 4 3 3 24 2 4 2
(3.3)
2 2
(3.4)
Docente C
2 21 1 1
(3.5)
Fuente: entrevista semiestructurada aplicada a docentes del curso MAC400 Matemática Fundamental.
Como se puede apreciar en los errores indicados, algunos desarrollos responden a una
misma clase de error. En general, se pueden determinar errores debidos al truncamiento de
las condiciones para factorizar un polinomio, asociaciones incorrectas de productos notables
y factorizaciones correctas, pero incompletas.
A partir de la tabla 22 se pone de manifiesto que el error del caso (3.1) mostrado por
la docente A, evidencia una falta de verificación de las condiciones suficientes para que la
factorización sea válida y se procede sin considerar esta situación. Este error se ubica en la
clase ET1.5 y se estableció como prevalente en los métodos de factorización y en las
134
operaciones básicas con fracciones algebraicas. Cabe señalar que tal situación no fue
planteada por los demás docentes.
Otra situación particular fue la que expuso el docente B en el caso (3.3), donde
presenta una factorización que es correcta, pero no completa o máxima. Se apela a la
resolución parcial del ejercicio de factorización, que es congruente con la clase de errores
ET1.12. Dicha situación únicamente se establece como reiterada en la unidad de operaciones
básicas con polinomios.
Los tres docentes plantearon situaciones que coinciden en la clase de errores ET2.1,
relativa a la asociación incorrecta de productos notables. Particularmente en los casos (3.2),
(3.4) y (3.5), se evidencian factorizaciones donde se asocia de manera inadecuada los
productos notable correspondientes; sin embargo, se puede apreciar la intención de factorizar
los polinomios.
Los docentes entrevistados indicaron que estas situaciones fueron reiteradas en la
unidad de métodos de factorización y en las operaciones básicas entre expresiones
algebraicas fraccionarias.
Errores al efectuar operaciones básicas combinadas entre polinomios
Respecto a la prioridad de operaciones al simplificar una operación combinada entre
polinomios, el docente C exhibió la siguiente situación.
2 2 2
2 2 2
3 1
3 1
x y x y x
x y x y x
En este desarrollo se pone de manifiesto que algunos estudiantes desconocen el orden
de prioridad en las operaciones básicas con polinomios. En este caso, se prioriza la resta ante
el producto. Por las características del error a nivel operativo, la situación se puede ubicar en
la clase de errores ET1.1; sin embargo, no es una situación común en los resultados obtenidos
a través del test diagnóstico y las pruebas parciales ordinarias. La docente C indicó que la
situación es común al inicio del curso, en el tema de operaciones básicas con polinomios.
135
Errores al simplificar una fracción algebraica
Respecto a la simplificación de una fracción algebraica, únicamente se destacó un
ejemplo, que presentó la docente A. El ejemplo consiste en la simplificación de una fracción
compuesta por polinomios definidos en una sola variable:
2
3 2
2
3 2
3
1
3 3 11
3 3 11
3 3
x
x x xx
x x x
x x
Tal y como se puede observar en la ilustración anterior, se suprimen términos en
común entre el numerador y denominador, sin que estos sean factores de cada expresión. Es
Este tipo de errores fue muy común en el diagnóstico aplicado en el curso y se vincula con
la clase ET1.8. El docente afirma que el error fue común al introducir el tema de operaciones
básicas con expresiones algebraicas fraccionarias.
Errores al efectuar sumas y restas entre expresiones algebraicas fraccionarias
Se distinguen tres desarrollos donde los docentes A y B ilustraron errores
matemáticos asociados con las operaciones suma y resta con fracciones algebraicas, estos
casos se presentan en la tabla 23.
Tabla 23 Errores matemáticos al efectuar sumas y restas de fracciones algebraicas, identificados por cada docente entrevistado del curso MAC400 Matemática Fundamental.
Docente entrevistado Casos de error ilustrados
Docente A
22
3 2 3 2
11 3
1 1 3
a a aa a
a a a a a (4.1)
2 2
3 2 3 2
1 3 1 3
1 1
a a a a
a a a a a a (4.2)
136
Docente entrevistado Casos de error ilustrados
Docente B
2
2
3 6
2 2 2
3 2 2 6
2 2 2
x x
x x x
x x x x
x x x
(4.3)
Fuente: entrevista semiestructurada aplicada a docentes del curso MAC400 Matemática Fundamental.
En los tres ejemplos presentados en la tabla 23 se establecieron procedimientos o
esquemas operacionales inválidos al realizar las operaciones de suma y resta. Se puede
afirmar que unos desarrollos son más inconsistentes que otros, tomando como referencia el
procedimiento correcto en cada caso; concretamente, en el caso (4.1), el proceder es
totalmente inconsistente, ya que, en lugar de seguir la estructura de simplificación para la
suma, se muestra un desarrollo asociado con el algoritmo de la división; el caso (4.2), no
refleja ningún algoritmo válido al operar con fracciones algebraicas, el desarrollo se reduce
a linealizar la operación suma entre los numeradores y los denominadores respectivos; en el
caso (4.3) el error únicamente se identifica cuando se determina el denominador común para
la resta, pero el resto de los elementos surgen de la estructura correcta. En términos generales,
estos errores se ubican en la clase ET1.3. Ambos docentes afirman que estos errores se
evidenciaron en la introducción a operaciones básicas con fracciones algebraicas, pero no
prevalecieron en todo el curso.
Errores matemáticos en el producto de expresiones algebraicas fraccionarias
La docente C planteó un error particular detectado en el producto de expresiones
algebraicas fraccionarias:
b a bba b
ba b
a b b
137
El proceder en este ejercicio sugiere que se da la omisión de los paréntesis de
asociación que delimitan los polinomios a multiplicar los numeradores, con lo que no se
efectúa la operación adecuadamente. Este error se ubica en la clase ET1.11 de la clasificación
general de errores detectados en el curso. Según el criterio del docente, este error prevalece
de manera reiterada tanto en la introducción al tema de operaciones básicas con fracciones
algebraicas, como en ecuaciones e inecuaciones que involucran este tipo de operaciones.
4.3.1 Síntesis de resultados de las entrevistas
En este apartado se presenta un contraste entre los hallazgos que reveló la
entrevista a docentes con los resultados del test diagnóstico y las pruebas parciales ordinarias
aplicadas en el curso MAC400 Matemática Fundamental.
Las situaciones ilustradas por los entrevistados, relativas a la presencia de errores,
son muy diversas; sin embargo, se determinó que estas corresponden a particularizaciones de
algunos tipos de errores que conforman la clasificación general de errores obtenida por medio
del test diagnóstico y las pruebas parciales ordinarias, específicamente errores del tipo ET1.1,
ET1.3, ET1.5, ET1.7, ET1.8, ET1.9, ET1.11 y ET1.12. Sin embargo, la docente C detectó
una situación que no se identificó en el test diagnóstico, ni en las pruebas parciales: un error
debido al manejo inadecuado del orden de prioridad en las operaciones combinadas entre
polinomios, donde se prioriza una resta ante un producto entre polinomios. Es importante
considerar este error como un foco de atención en el abordaje de los contenidos, ya que puede
incidir en unidades posteriores que tienen como base las operaciones básicas entre
polinomios.
A partir de la entrevista, se determinó que los docentes plantearon más situaciones de
error al efectuar un producto entre polinomios, donde se puso de manifiesto la dificultad en
cuanto a la ley distributiva, especialmente cuando hay cambios de signos. Esta información
reafirma la prevalencia que tuvieron los errores en el producto de polinomios, detectados en
el test diagnóstico y las pruebas parciales; con más incidencias en el test 1 y en la tercera
prueba parcial.
Otro dato que resaltar, es que únicamente la docente A presentó un ejemplo de error
al efectuar sumas y restas de polinomios; los demás docentes no destacaron incidencias en
este tema. Al hacer una revisión de las pruebas aplicadas a los estudiantes, se determinó que
138
en las dos aplicaciones del test diagnóstico se detectó un número importante de errores en
esta unidad temática, al igual que en la primera prueba parcial, donde efectivamente la
mayoría de las incidencias de este tipo de errores se dieron en el grupo A; sin embargo, en el
grupo B y C también se presentó este tipo de error, aunque en menor frecuencia.
A pesar de que los errores debidos al desarrollo de productos notables que presentaron
los docentes fueron identificados en desarrollos equivalentes en el test diagnóstico y en las
pruebas parciales ordinarias, en la muestra de estudiantes de estudio este tipo de error no se
identificó en la primera prueba parcial; el error fue más frecuente en el test 1 y en las dos
últimas pruebas parciales ordinarias, en ejercicios que involucran productos notables. Los
datos sugieren que hubo un mejor manejo de este contenido para la prueba en la que evalúa
como tema de examen, que en las pruebas donde es requerido como conocimiento previo.
En la unidad de operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias, los docentes
plantearon menos situaciones de error, en comparación con las operaciones básicas al trabajar
con polinomios. Con base en los hallazgos obtenidos del test diagnóstico y de las pruebas
parciales, se puede evidenciar que hubo una menor cantidad de incidencias debidas a errores
en operaciones básicas con fracciones algebraicas. Tal situación es consistente con la limitada
cantidad de casos que presentaron los docentes. Se sabe que los procedimientos necesarios
para simplificar operaciones básicas con fracciones algebraicas se basan significativamente
en operaciones básicas con polinomios, especialmente la factorización. No obstante, la
situación planteada por la docente A, respecto a la simplificación de una fracción algebraica,
se manifestó de manera importante en la segunda prueba parcial y en el test 1; para cada
prueba, la frecuencia con que se presentó este error fue uniforme en los tres grupos.
La importancia de esta entrevista radica en la detección y percepción que tienen los
docentes sobre los errores que poseen los estudiantes, tales procesos se dan desde una
perspectiva más general que la información obtenida del test diagnóstico y las pruebas
parciales ordinarias. Esto debido a que cada docente evalúa constantemente los aprendizajes
en los discentes, de forma grupal e individualizada, en todas las etapas del curso. Las
conclusiones y resultados que se pueden determinar, a partir de las pruebas aplicadas para la
detección de errores, son relativas a una muestra de estudiantes, de modo que no permiten
139
captar algunas situaciones que detecta un docente, las cuales enriquecen y complementan el
análisis de los errores.
140
Capítulo V Conclusiones, limitaciones y recomendaciones
INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se destacan los resultados más sobresalientes obtenidos en la
investigación, en correspondencia con los objetivos planteados. Se complementan estas
conclusiones con un apartado de recomendaciones dirigidas a la Escuela de Matemática de
la UNA, a los docentes de matemática en ejercicio y estudiantes de enseñanza de la
matemática y se brindan sugerencias respecto a temas de estudio para investigaciones futuras,
en relación con el análisis de errores y dificultades presentes en el proceso de enseñanza-
aprendizaje en matemática. Además, se señalan las limitaciones presentes en el estudio.
Por la naturaleza del estudio, los resultados que se exponen en este apartado no deben
ser generalizados a la población de estudiantes de enseñanza de la matemática; sin embargo,
permiten promover prácticas que favorezcan el análisis de dificultades en matemática, la
detección e interpretación temprana de errores, y su uso en una formación más integral, donde
se modifique la percepción negativa que hay hacia estos.
5.1 CONCLUSIONES
En el objetivo general de esta investigación se planteó Analizar los errores
manifestados por estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental, de la carrera
Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de
Costa Rica, cuando resuelven tareas que involucran la simplificación de expresiones
algebraicas durante el año académico 2018, para el establecimiento de indicadores de
interpretación y previsión de errores matemáticos. El desarrollo de este objetivo está en
correspondencia con el alcance de cuatro objetivos específicos, que se exponen a
continuación.
En el primer objetivo específico se estableció identificar los errores mostrados por
estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental cuando simplifican expresiones
algebraicas en la resolución de diversas tareas. Para llevar a cabo este propósito se consideró
la información obtenida a través del test diagnóstico, y las pruebas parciales ordinarias
141
aplicadas en el curso. Cabe destacar que, la consecución de este objetivo se basa en la
identificación de errores o datos primarios, directamente observables de las producciones del
estudiantado en cada instrumento; es decir, no habían sido sujetos a manipulación o
sistematización.
A partir de las pruebas aplicadas a los estudiantes, se distinguieron dos tipos de
errores: (1) los errores identificados en el test 1, que presentan los discentes cuando ingresan
al curso MAC400 Matemática Fundamental, los cuales se determinan previo a la instrucción
y desarrollo de los contenidos algebraicos en el curso; y (2) errores que se manifestaron
durante el abordaje de los temas en el curso a partir de las pruebas parciales ordinarias y el
test 2.
El test 1 permitió identificar 10 tipologías de error, diferenciadas por la unidad
temática y el tipo de operaciones ejecutadas de forma incorrecta; se identificaron: (1) errores
al efectuar sumas y restas de polinomios, (2) errores al efectuar productos entre polinomios,
(3) errores estructurales de operaciones con ecuaciones, (4) errores en la asociatividad de
polinomios, (5) errores al desarrollar potencias de un binomio, (6) errores en la simplificación
de operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias, (7) errores en la estructura de
factorización, (8) resolución parcial o inconclusa, (9) errores aritméticos y (10) errores de
omisión, o inserción de datos inadecuados. Los errores detectados en cada tipología se
detallan en el anexo 5. De estas operaciones con error, destacan con mayor frecuencia los
errores debidos a la suma y resta de monomios no semejantes, donde algunos estudiantes
crean algoritmos o reglas inválidas para efectuar los desarrollos; con una frecuencia
importante, pero menor al primer caso, se manifestaron errores al efectuar productos entre
polinomios, principalmente al ejecutar la ley distributiva del producto respecto a la suma.
Además de los errores matemáticos mencionados, se determinaron otros casos que no
son particulares de un contenido en específico, sino que se presentaron de forma más general
en diversas unidades temáticas de la prueba; tales como, errores ocasionados por la omisión
en inserción de datos de forma incorrecta, la prioridad operativa al combinar las operaciones
suma, resta y producto de polinomios, y la resolución parcial o inconclusa de un ejercicio.
La mayoría de los errores identificados en el test 1 fueron prevalentes en el test 2; sin
embargo, en el test 2 no se identificaron errores debidos a: (1) la aplicación incorrecta de
142
propiedades básicas en una igualdad, necesarias para la simplificación de ecuaciones
polinomiales y (2) la omisión o inserción de datos de forma inválida. Cabe añadir que la
frecuencia de los errores comunes en las dos pruebas se redujo considerablemente en el test
2.
La evaluación de las resoluciones de las pruebas parciales ordinarias aplicadas en el
curso reveló que, además de los errores determinados en el test 1, surgieron cinco tipos de
errores nuevos: (1) errores al asociar un producto notable, (2) errores en operaciones que
involucran expresiones algebraicas radicales, (3) errores en la resolución de inecuaciones,
(4) errores al analizar el dominio real de una ecuación y (5) errores al definir el valor absoluto
de un polinomio; las operaciones con error identificadas en cada tipología se detallan en el
anexo 6. Los errores que se identificaron con mayor presencia en el curso son debidos a la
verificación parcial de las condiciones necesarias para ejecutar una factorización, donde las
operaciones manifestadas sugieren un reconocimiento del método de factorización necesario,
pero se dan errores al ejecutar la técnica de factorización.
En el segundo objetivo específico se planteaba categorizar los errores cometidos por
estudiantes del curso MAC400 Matemática Fundamental cuando simplifican expresiones
algebraicas. Para el alcance de este objetivo, se realizó una síntesis de los datos primarios
(errores identificados en el primer objetivo) recabados a través de cada prueba aplicada y el
contraste con las categorías de errores creadas por Movshovitz-Hadar et al. (1987), Cervantes
y Martínez (2007) y García (2010). Este análisis dio origen a dos clasificaciones generales
de errores matemáticos: (1) clasificación general de errores matemáticos determinados en el
ingreso al curso MAC400 Matemática Fundamental (CG) y (2) clasificación general de
errores matemáticos determinados en el desarrollo del curso MAC400 Matemática
Fundamental (CGF).
La clasificación CG de errores matemáticos identificados en el ingreso al curso estuvo
conformada por 12 clases de errores: (1) establecimiento de esquemas operacionales
inválidos al realizar operaciones aritmético-algebraicas con polinomios (ET1.1), (2)
teoremas y propiedades deformadas en la resolución ecuaciones (ET1.2), (3) establecimiento
de esquemas operacionales inválidos al realizar operaciones aritmético-algebraicas con
expresiones algebraicas fraccionarias (ET1.3), (4) discrepancia entre el enunciado del
143
ejercicio en cuestión y el tratamiento de los datos (ET1.4), (5) verificación parcial de las
condiciones en el método de factorización (ET1.5), (6) extrapolación incorrecta de la ley
distributiva del producto respecto a la suma (ET1.6), (7) truncamiento en un principio,
fórmula, o estructura, al simplificar una operación aritmético-algebraica (ET1.7), (8)
extensión de la cancelación en la simplificación de una fracción algebraica (ET1.8), (9)
linealización en la potencia de un polinomio (ET1.9), (10) errores aritméticos (ET1.10), (11)
errores por la omisión o inserción de datos de forma inválida (ET1.11) y (12) resolución
parcial o inconclusa (ET1.12). De las clases de errores definidos en la clasificación, el
establecimiento de esquemas operacionales inválidos al realizar operaciones aritmético-
algebraicas con polinomios (ET1.1) tuvo mayor presencia en el test 1, dicho dato está en
correspondencia con los errores identificados al efectuar sumas, restas y productos entre
polinomios; además, la clase de errores debidos a la omisión o inserción de datos de forma
inválida (ET1.11), destacó como la segunda clase con mayor cantidad de incidencias de error
en esta prueba.
Esta clasificación de errores permitió caracterizar de manera general y disjunta las
operaciones erróneas efectuadas por los estudiantes en el test 1. Esto posibilitó generar un
criterio más detallado para clasificar los errores que surgieron en el test 2 y en las pruebas
parciales ordinarias.
Los errores identificados en la clasificación CG fueron recurrentes en las pruebas
parciales ordinarias del curso y el test 2, por esta razón la clasificación CGF se compone
exclusivamente por las clases de errores de la primera clasificación y cinco clases nuevas,
que no se identificaron con el test 1, ni el test 2: (1) asociación incorrecta de un producto
notable (ET2.1), (2) asociación incorrecta del factor de racionalización al trabajar con
expresiones radicales cúbicas (ET2.2), (3) teoremas y propiedades deformadas al simplificar
una operación aritmética algebraica entre expresiones algebraicas radicales (ET2.3), (4)
teoremas y propiedades deformadas en la resolución de inecuaciones (ET2.4), y (5) errores
al expresar la definición del valor absoluto de un polinomio (ET2.5). Cabe destacar que la
clase de errores más recurrente en el curso corresponde a la verificación parcial de las
condiciones en el método de factorización (ET1.5), con mayor frecuencia en el test 2 y en las
primeras dos pruebas parciales ordinarias.
144
Las clasificaciones de errores creadas en el estudio constituyen un recurso de
diagnóstico valioso, cuya información está orientada a la detección y previsión de los errores
en distintas etapas del curso; además, se generaron indicadores cualitativos y cuantitativos
sobre las unidades temáticas en las que hay mayores concentraciones de error. Dicha
actividad posibilita la reorientación en el proceso de enseñanza-aprendizaje, donde el docente
pueda generar actividades que promuevan el desarrollo de medidas correctivas, la
argumentación, la retrospección y autocrítica, para evitar que tales falencias se estandaricen
y repercutan en contenidos posteriores.
En cuanto al tercer objetivo específico, donde se planteó describir los errores
asociados a la simplificación de expresiones algebraicas que identifica el profesorado de la
asignatura en las producciones de los estudiantes durante el curso MAC400 Matemática
Fundamental durante el año académico 2018, se aplicó una entrevista semiestructurada a
docentes del curso MAC 400, donde se solicitó ejemplificar, con situaciones específicas, los
errores matemáticos que detectaron en el curso y las unidades temáticas donde estos fueron
más comunes.
La mayoría de las situaciones ilustradas por los entrevistados corresponden a
particularizaciones de algunos tipos de errores que conforman la clasificación CGF,
específicamente errores debidos al establecimiento de esquemas operacionales inválidos al
realizar operaciones aritmético-algebraicas con polinomios y con expresiones algebraicas
fraccionarias, a la verificación parcial de las condiciones en el método de factorización, al
truncamiento en un principio, fórmula, o estructura, al simplificar una operación aritmético-
algebraica, a la extensión de la cancelación en la simplificación de una fracción algebraica,
a la linealización en la potencia de un polinomio, aquellos manifestados como omisión o
inserción de datos de forma inválida y los debidos a la resolución parcial o inconclusa de un
ejercicio. No obstante, la docente C expresó que un error recurrente en el curso se manifestó
por medio del manejo inadecuado del orden de prioridad en las operaciones combinadas entre
polinomios, donde se prioriza una resta ante un producto entre polinomios. Tal situación no
fue identificada por medio de las pruebas aplicadas en la recolección de los datos, por lo que
se evidencia una perspectiva distinta que amplía y complementa la detección de errores.
145
Se determinó que los docentes plantearon más situaciones de error al efectuar el
producto entre polinomios, donde se puso de manifiesto la dificultad en cuanto a la ley de
distributiva, especialmente cuando hay cambios de signos. Esta información reafirma la
prevalencia que tuvieron los errores en el producto de polinomios, detectados en el test
diagnóstico y las pruebas parciales; con más incidencias en el test 1 y en la tercera prueba
parcial.
La cantidad de ejemplos sobre situaciones de error planteadas por los docentes fue
muy homogénea en cuanto al tema en que se identificaron; sin embargo, un dato que se debe
destacar es que, únicamente, la docente A presentó un ejemplo de error relativo a las
operaciones suma y resta de polinomios. Este dato reafirma la mayor proporción de errores
en esta temática, identificada en el grupo A, especialmente en el test 1, relativo a los errores
que se cometen en el ingreso al curso.
Otro dato importante que reveló la entrevista es que los docentes se enfocaron en
ejercicios relacionados con operaciones básicas con polinomios y con expresiones
algebraicas, donde se excluye el tema de ecuaciones, inecuaciones, y otros, que se abordan a
partir de la segunda prueba parcial ordinaria del curso. Puede que esta situación se deba a
que estos temas están involucrados en la mayoría de los temas abordados en el curso, por lo
que permiten una evaluación constante durante el ciclo lectivo.
Cabe destacar la importancia de la detección y percepción que tienen los docentes
sobre los errores o dificultades que poseen los estudiantes, ya que estos procesos se dan desde
una perspectiva general del curso, complementaria a los hallazgos que se obtuvieron de las
pruebas aplicadas en la recolección de los datos. Se debe aclarar que las conclusiones y
resultados que se pueden determinar, a partir de las pruebas aplicadas para la detección de
errores, son relativas a una muestra de estudiantes, de modo que no permiten captar algunas
situaciones que detecta un docente en la población de estudio, las cuales enriquecen y
complementan el análisis de los errores.
En el cuarto objetivo específico del estudio se planteaba establecer indicadores de
consistencia de los errores manifestados, por estudiantes del curso MAC400 Matemática
Fundamental, en la resolución de tareas sobre simplificación de expresiones algebraicas
146
durante el año académico 2018. A continuación, se exponen las conclusiones obtenidas para
este propósito.
La diferencia entre la cantidad de ejercicios que se presentaron sin respuesta y con
resoluciones parcial, o totalmente correctas, entre los resultados del test 1 y las demás pruebas
aplicadas en el curso, puso en evidencia que hubo mayor participación y confianza en los
discentes para emitir resoluciones al ser partícipes de las sesiones del curso MAC400
Matemática Fundamental.
A partir del análisis comparativo entre el test 1 y el test 2, se determinó que, en el
desarrollo de ejercicios al inicio del ciclo lectivo, los discentes se mostraron más limitados a
la hora de emitir resoluciones, en especial, en los referentes a métodos de factorización y el
manejo de operaciones básicas con polinomios. Esta situación se vio mayormente marcada
en el desarrollo de operaciones con fracciones algebraicas en el test 1. En la evaluación del
test 2 se confirmó que el papel del estudiante, en las resoluciones de ejercicios, fue más
activo: la cantidad de resoluciones incompletas, ejercicios sin respuestas y resoluciones
totalmente completas, evidencian esta diferencia en las dos aplicaciones del test diagnóstico.
La extensión en la manipulación algebraica que se dio en el test 2, resultó en un
aumento de frecuencia en errores particulares que no se había detectado, posiblemente por la
ausencia de respuestas de algunos estudiantes en el test. La mayoría de los errores
determinados en esta prueba prevalecen en sus dos aplicaciones, pero se diferencian en
cuanto a la objetividad de los procedimientos mostrados. Este es un indicador de que los
errores no son consistentes en las dos aplicaciones del diagnóstico. Cabe añadir que, en el
test 2 no se identificaron las clases de errores test 1 compuestas por teoremas y propiedades
deformadas al operar con ecuaciones, la extrapolación incorrecta de la ley distributiva del
producto respecto a la suma, y cálculos aritméticos.
En cuanto a las pruebas parciales ordinarias, el estudio reveló que hubo una
disminución en la cantidad de ítems resueltos de forma correcta y en el total de errores
cometidos, al pasar de la primera a la tercera prueba parcial. Una de las posibles explicaciones
a esta situación, puede que sea el requerimiento de manipulaciones algebraicas más extensas
y la necesidad de asimilar más tópicos, dado el carácter acumulativo que tienen los
contenidos del curso.
147
El estudio reveló que, de los errores comunes en las tres pruebas parciales ordinarias,
aquellos debidos al establecimiento de esquemas operacionales inválidos al realizar
operaciones aritmético-algebraicas con polinomios, verificación parcial de las condiciones
en el método de factorización y errores por la omisión o inserción de datos de forma inválida,
se redujeron de manera importante durante la evolución del ciclo lectivo; estos errores fueron
corregidos, casi en su totalidad, al llegar a la tercera prueba parcial. Las demás clases de
errores comunes se presentaron en cantidades inferiores y homogéneas.
Las unidades temáticas donde hubo mayor incidencia de errores, por cada prueba
parcial, fueron: la factorización de polinomios, en la prueba en la primera y segunda prueba
parcial; factorización de polinomios y los problemas de aplicación que involucran
ecuaciones, en la segunda prueba parcial; y, las inecuaciones con valor absoluto y el producto
entre polinomios, en la tercera prueba parcial. Cabe mencionar que no es posible emitir un
análisis comparativo general que contemple la frecuencia de todos los errores identificados
en las pruebas parciales ordinarias, debido a la variabilidad de los contenidos presentes en
estas.
Para finalizar con esta sección de exponen algunas conclusiones y reflexiones
respecto a la percepción del error en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
En concordancia con Socas (2011), los errores se perciben como acciones
desacertadas que precisan de una sanción o penalización, donde el docente considera que su
propósito de instrucción o enseñanza no ha sido alcanzado de manera efectiva; no obstante,
con el presente estudio se busca promover un cambio de concepción de este constructo e
instar a los docentes a implementar actividades de diagnóstico, previsión y tratamiento de los
errores, como componente en la planificación de la enseñanza y el acompañamiento del
estudiantado en su aprendizaje.
Un error debe concebirse como un indicador de la forma en que debemos reconstruir
y reorientar el proceso formativo, es una fuente valiosa de información que permite potenciar
los esquemas de construcción de nuevos conocimientos. De acuerdo con Lucchini et al.
(2006) y Gandulfo et al. (2013), la identificación temprana de los errores, complementada
con evaluaciones y el desarrollo de actividades de aprendizaje, donde estos sean
involucrados, permite al estudiante discutir, razonar, reflexionar y discriminar, sobre su
148
aprendizaje, con el fin de superar el error y aceptarlo como un conocimiento desacertado. El
diagnóstico y tratamiento de los errores deberían considerarse como actividades inherentes
al quehacer de un docente. Tal y como afirma Socas (2011) al abordar nuevos conocimientos
matemáticos los errores se presentan de una manera sistemática, por lo que este proceso
demanda criterios de diagnóstico, corrección y superación de estos mediante actividades que
promuevan la autocrítica de los estudiantes.
A nivel universitario, estas actividades se vuelven fundamentales para conocer el
perfil de ingreso y los conocimientos previos que posee un estudiante cuando enfrenta una
asignatura nueva; en este contexto, se obtiene información primordial sobre las carencias y
dificultades conceptuales que tienen los discentes, las cuales revelan un punto de partida que
permite fortalecer el proceso de enseñanza-aprendizaje, con la planificación de la instrucción
inclusiva, orientada a la compensación de los aprendizajes de una manera integral, sin centrar
la retroalimentación a una medida cuantitativa en una prueba o actividad.
Autores como Brousseau et al. (1986), Kilpatrick et al. (1998) y Olmedo et al. (2015)
coinciden en que los errores matemáticos se presentan de manera estable, persistente y
sistemática, en el proceso de enseñanza-aprendizaje. De acuerdo con estos autores, las
actividades de diagnóstico no deben orientarse únicamente a la etapa inicial de un curso, ya
que algunos errores prevalecen a lo largo de un ciclo lectivo, y en ocasiones, aparecen nuevos
errores en distintos períodos de un mismo ciclo lectivo. Por esta razón, se vuelve esencial el
tratamiento cuantitativo y el seguimiento en la evolución de cada error, de forma periódica,
con el fin de obtener la información necesaria para la planificación, reorientación y ejecución
de estrategias didácticas, donde se canalice el impacto de los errores en la construcción de
nuevos contenidos y se dé un uso adecuado de estos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
5.2 LIMITACIONES
La conformación de la muestra de estudiantes estuvo restringida a la selección de
sujetos que completaron las tres pruebas parciales ordinarias aplicadas en el curso, por lo que
ciertas etapas del análisis y procesamiento de los datos se postergaron, respecto a lo
establecido en el cronograma de la investigación, hasta completar la muestra.
Las unidades temáticas relativas a operaciones aritmético-algebraicas, identificadas
en los Programas de Estudio de Matemáticas del MEP, no presentan una correspondencia
149
total con los contenidos del curso MAC400 Matemática Fundamental. Estas unidades fueron
planteadas con menor profundidad a nivel de secundaria, de modo que los contenidos
involucrados en el test diagnóstico estuvieron restringidos con el fin evaluar la prevalencia
de los errores a lo largo del ciclo. La inclusión de ítems basados en los temas que no fueron
considerados en el instrumento podría ampliar la información relativa a las producciones de
los estudiantes, a los errores identificados, y al análisis de consistencia entre las dos
aplicaciones de la prueba.
Aunque los diagnósticos administrados durante las sesiones de clase se coordinaron
con los docentes anticipadamente, en algunos casos se contó con un tiempo restringido que
limitó la cantidad de información emitida por los estudiantes. Cabe añadir que no fue posible
aplicar el test 1 a la totalidad de la población de estudiantes, ya que algunos no se presentaron
en estas sesiones de clase.
Por último, dado que un error matemático puede ser parte de distintos procesos de
resolución y por la variedad de pruebas analizadas, se dificultó el procesamiento de los datos
y el establecimiento de una clasificación definitiva de errores matemáticos. Cabe añadir que
la categorización e interpretación de los errores mostrados está sujeta al criterio del
investigador y a las condiciones generadas en el curso; no existe una categorización general
de errores con la que se puedan examinar los errores emergentes en cualquier curso o
modalidad de enseñanza, por esta razón el diagnóstico de errores debe propiciarse de forma
reiterada en cada asignatura.
5.3 RECOMENDACIONES
En esta sección se presentan algunas recomendaciones que surgen de esta
investigación; estas van dirigidas a la escuela de matemática de la UNA, a los docentes de
matemática en educación superior, además se sugieren temas y líneas de investigación, como
complemento y extensión del presente estudio, que pueden resultar oportunas y
enriquecedoras en esta área.
5.3.1 Para la escuela de matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica
150
Realizar talleres de capacitación donde se involucren estrategias didácticas para abordar
el estudio y análisis de errores matemáticos, donde se diagnostiquen, cualifiquen y
cuantifiquen los errores presentes antes, durante y después de un curso.
Promover proyectos de investigación dedicados al diagnóstico, observación,
interpretación y análisis de dificultades y errores matemáticos presentes en estudiantes
que cursan la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática, donde
se valoren medidas correctivas y se generen reflexiones sobre la importancia de los
errores en la práctica profesional de un docente, así como el análisis del impacto y
evolución de los errores en cursos más avanzados de la carrera.
Propiciar espacios donde los docentes puedan compartir experiencias e intercambiar
propuestas sobre actividades áulicas, que estén centradas en el análisis y superación de
errores matemáticos, además, complementar los cursos del componente pedagógico de la
carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la matemática con este tipo de
estrategias de trabajo.
Coordinar espacios de discusión entre docentes formadores de estudiantes de la carrera
Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática y docentes de educación
secundaria, donde se comuniquen propuestas y experiencias sobre el diagnóstico y el
tratamiento de los errores matemáticos presentes en los conocimientos previos, desde un
enfoque cualitativo y cuantitativo, con el fin de proyectar las unidades temáticas que
requieran un mayor reforzamiento y, así, reorientar y fortalecer el proceso de formación
inicial y continua de los estudiantes de enseñanza de la matemática.
5.3.2 Para los docentes de matemática de educación superior
Evaluar los conocimientos adquiridos y las deficiencias conceptuales presentes en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de los educandos mediante diagnósticos que se
apliquen periódicamente en un mismo ciclo lectivo, con el fin de dar seguimiento, validar
y reorientar el planteamiento de las actividades áulicas que sean adecuadas, en
correspondencia con la reiteración de errores matemáticos y las dificultades prevalentes.
Categorizar y conceptualizar los errores matemáticos que se identifican por curso,
considerando las unidades temáticas donde los educandos presentan mayores deficiencias
conceptuales, con el fin de proporcionar información pertinente para el diagnóstico, la
151
evaluación, atención y previsión de errores, en cursos posteriores que tengan como base
conceptual los contenidos analizados.
Valorar un proceso de evaluación que no se reduzca a pruebas donde se asigna un puntaje
que acredite, o desacredite, el nivel de conocimientos aprendidos por los educandos.
Complementar el proceso evaluativo con dinámicas como el debate y la discusión
enfocadas en el análisis y comunicación de dificultades, errores y aspectos que deben ser
atendidos para una adecuada comprensión y profundización sobre el pensamiento
matemático, donde se promueva la introspección, reflexión, discriminación y
retroalimentación, con el fin de que los estudiantes rectifiquen sus aprendizajes a partir
de estas interacciones.
Desarrollar dinámicas de clase, evaluaciones y unidades didácticas, considerando los
errores matemáticos analizados en este y otros estudios, como un componente del
tratamiento curricular, que permita profundizar y dar seguimiento al proceso de
enseñanza-aprendizaje de los educandos.
5.3.3 Para futuras investigaciones
Realizar estudios cualitativos sobre las posibles causas y la prevalencia de los errores
matemáticos presentes en la formación inicial de estudiantes de la carrera Bachillerato y
Licenciatura en Enseñanza de la Matemática, con un enfoque longitudinal. En este
sentido, con el fin de dar seguimiento a los avances alcanzados, se recomienda utilizar la
clasificación de errores diseñada en el presente estudio y, de este modo, potenciar y
robustecer el proceso categorización y análisis de los errores matemáticos.
Repetir esta investigación con nuevas cohortes de estudiantes matriculados en el curso
MAC400 Matemática Fundamental, donde se considere aumentar el tamaño de la
muestra, aunque haya desertores en el curso. La información puede ser pertinente y
enriquecer el análisis con distintos perfiles de estudiantes, al valorar la consistencia de
los errores por segmentaciones de la muestra.
Considerar entre los aspectos metodológicos de futuras investigaciones, la coordinación
y aplicación de las pruebas diagnósticas y otros instrumentos, fuera de las horas lectivas,
con el fin de tener mayor amplitud respecto al tiempo de administración y, por ende,
captar más detalles en la información expresan las personas estudiantes.
152
Reformular el test diagnóstico para estudiar contenidos que estén en correspondencia
entre la educación secundaria y los primeros cursos de la carrera Bachillerato y
Licenciatura en Enseñanza de la Matemática, donde se valoren áreas que no fueron
contempladas para el curso MAC400 Matemática Fundamental; por ejemplo, la
geometría o teoría de funciones.
Replicar el presente estudio con estudiantes de otras carreras y otros niveles educativos,
donde se posibilite el estudio comparativo de distintas muestras, con el fin de evaluar la
prevalencia de los errores matemáticos en distintos niveles y tener un panorama más
amplio sobre los orígenes y causas de los errores que manifiestan los discentes.
Realizar estudios dirigidos a la percepción e interpretación del docente de matemática,
donde se analicen los errores matemáticos que se detectan en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, de modo que se valoren las posibles causas y características de estos.
Diseñar propuestas didácticas y actividades evaluativas que se puedan implementar en
cursos de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática, con las
que se aproveche el análisis de errores matemáticos como un elemento del currículo, en
la prevención, detección y rectificación de concepciones inadecuadas.
153
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161
Anexos
ANEXO 1: TEST DIAGNÓSTICO DE CONOCIMIENTOS EN LA SIMPLIFICACIÓN
DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS, DIRIGIDO A ESTUDIANTES DE NUEVO
INGRESO AL CURSO MAC400 MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
CONSENTIMIENTO INFORMADO
Estimado(a) estudiante:
Mi nombre es Emanuelle Parra Rodríguez, soy estudiante de Licenciatura en la
carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad
Nacional. Estoy llevando a cabo una investigación como parte del Trabajo Final de
Graduación. El propósito de la investigación es analizar los errores matemáticos que
manifiestan estudiantes de enseñanza de la matemática al efectuar simplificaciones de
expresiones algebraicas.
Por su perfil, como estudiante de la carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza
de la Matemática, ha sido seleccionado(a) para participar en esta investigación.
En la primera parte de dicha investigación usted debe completar un test diagnóstico
sobre contenidos básicos referentes a la simplificación de expresiones algebraicas, dicho test
no tendrá algún valor asociado a los rubros de evaluación en el curso, por lo que no afectará
su nota.
Aparte, para llevar a cabo una detección y clasificación de los errores matemáticos,
uno de los instrumentos imprescindibles en la recolección de datos son las producciones
algebraicas en cada prueba ordinaria escrita que se rinde durante el curso. En este sentido, se
recolectarán por medio de la reproducción fotocopiada los solucionarios de las pruebas
ordinarias escritas que los estudiantes desarrollen, con antelación a la entrega de resultados.
Si acepta participar en la investigación, se le solicitará completar el test diagnóstico y el
permiso para reproducir posteriormente los solucionarios de cada prueba ordinaria escrita.
162
La información que nos suministre será mantenida bajo estricta confidencialidad y
su nombre no será utilizado en ningún informe cuando los resultados de la investigación sean
publicados. Su participación en esta actividad es voluntaria. Tiene el derecho a negarse a
participar o a interrumpir su participación en cualquier momento.
Participar en estas actividades no significa ningún riesgo, ni físico, ni psicológico,
ni legal. Tampoco obtendrá algún beneficio directo personal; sin embargo, es posible que los
investigadores amplíen sus conocimientos acerca de los temas de estudio y que tales
resultados sean de utilidad para mejorar las condiciones de enseñanza-aprendizaje en la
formación de docentes en matemática.
Si desea ampliar alguna información puede comunicarse con la M.Sc. Marianela
Alpízar Vargas, directora del proyecto de investigación, al correo
[email protected]; o con el suscrito Emanuelle Parra Rodríguez, estudiante
del grado de licenciatura en Enseñanza de la Matemática, al correo
[email protected]. Muchas gracias por su colaboración.
He leído la información descrita anteriormente. El investigador me ha explicado los
detalles del estudio y ha evacuado mis dudas. Voluntariamente doy mi consentimiento para
participar en el estudio que se está llevando a cabo bajo las condiciones expuestas en este
documento.
__________________ ______________ Firma del participante Fecha
163
Universidad Nacional de Costa Rica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Escuela de Matemática
Test diagnóstico de conocimientos previos en la simplificación de expresiones algebraicas
Este test está compuesto por dos módulos. En el primero se solicita información general del
estudiante. En el segundo se establecen ejercicios referentes a simplificación de expresiones
algebraicas variadas; este se compone de 9 ítems de desarrollo. Verifique que el instrumento
presente la estructura completa.
Instrucciones Generales
No inicie hasta que le den la orden.
Tiene 30 minutos para completar el instrumento.
Lea cada pregunta cuidadosamente.
Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada. Puede completar el instrumento con
lápiz, lapicero tinta azul o negra.
Escriba las respuestas únicamente en el instrumento que se le está brindando en el espacio
correspondiente, o marque una equis (X) según se le solicite en cada instrucción
específica. Debe ser lo más exhaustivo posible a la hora de resolver los ejercicios y anotar
todos los procedimientos que utilizó.
la hoja de borrador (se adjunta al final).
NO se permite el uso de calculadoras.
Asegúrese de haber completado todos los ítems antes de entregar el test diagnóstico.
INFORMACIÓN GENERAL
Nombre completo: ______________________________________.
Número de cédula: ________________________________.
Sexo: ( ) Hombre ( ) Mujer
¿Ha estado matriculado en el curso Matemática Fundamental I, código MAB 300?
( ) Sí (pase a la pregunta 6.) ( ) No
No. de Test:
164
¿Es la primera vez que usted matricula el curso MAC400 Matemática Fundamental?
( ) Sí ( ) No (pase a la pregunta 6.) ¿Ha estado matriculado en algún curso de matemática a nivel universitario? (no considere el curso
Matemática Fundamental)
( ) Sí ( ) No (pase a la pregunta 6.) ¿En cuál o cuáles cursos ha estado matriculado?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
EJERCICIOS DE DIAGNÓSTICO
ÍTEMS DE DESARROLLO. Escriba en el espacio que se le brinda todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta a cada ejercicio.
1. Efectúe cada una de las siguientes operaciones y simplifique al máximo los resultados.
a) 3 24 5 3 3xy x y xy x y
(I1)
b) 2 22 5 1 3x x
(I2)
c) 2 2 216 4 4z z z
(I3)
165
d) 2 2 2
26 55 11
1a a ab b
b ab a
(I4)
e) 2 2
2 6 56 9 9
x xx x x
(I5)
2. Factorice al máximo el siguiente polinomio. 3 2 2 3a a b ab b
(I6)
166
3. Simplifique al máximo la siguiente fracción. 3 2
26
12 36x x
x x
(I7)
4. Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones a) 5 1 2 6x x
(I8)
b) 3 2 6 23 3x x x x
(I9)
Hoja de borrador
(se añade una hoja de borradores)
167
Solucionario de ítems planteados 6. Efectúe cada una de las siguientes operaciones y simplifique al máximo los resultados.
a) 3 24 5 3 3xy x y xy x y
Solución: 3 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2
4 5 3 3
20 12 12 producto de monomio por polinomio21 12 12 Suma de monomios
xy x y xy x y
x y xy x y x yx y xy x y
b) 2 22 5 1 3x x
Solución:
2 2
2 2
2 2
2
Opción 1
2 5 1 3
4 20 25 1 6 9 desarrollo de producto notable
4 20 25 1 6 9 distribución del 126 24 5 simplificación
x x
x x x x
x x x xx x
2 2
2
2
Opción 2
2 5 1 3
2 5 1 3 2 5 1 3 desarrollo de producto notable
6 2 5 1 3 distribución del 1
6 5 4 suma y resta
30 24 5 4 producto de polinomios26 24 5 simplificación
x x
x x x x
x x x
x x
x x xx x
c) 2 2 216 4 4z z z Solución:
168
2 2 2
4 2
4 2
Opción 1
16 4 4
16 16 desarrollo de producto notableSimplificación
z z z
z zz z
2 2 2
4 2 2 2
4 2
Opción 2
16 4 4
16 4 4 16 producto de polinomiosSimplificación
z z z
z z z zz z
d) 2 2 2
26 55 11
1a a ab b
b ab a
Solución: 2 2 2
2
2
2
2
2
6 55 111
5 11 11factorización de términos
1 1 1
5 11 1aplicación del cociente
1 1 11
5 11 1desarrollo de producto
1 1 11
5simplificación
1
a a ab bb ab a
a a b ab b a b
a a a bb b b a
a a a bb b b a
a ab b
e) 2 22 6 5
6 9 9x x
x x x
Solución:
169
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2 6 56 9 9
2 6 5 factorización de denominadores3 33
2 6 3 5 ( 3)= suma utilizando homogenización
3 3
2 6 6 18 5 15=3 3
3 27 18= desarrollo de numerador y simpl3 3
x xx x x
x xx xx
x x x xx x
x x x x xx x
x xx x
ificación
7. Factorice al máximo el siguiente polinomio. 3 2 2 3a a b ab b
Solución:
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
2 2
2
3
Opción 1
agrupamiento
factor común (induciendo el segundo término)
factor común compuesto
producto notable
ley de potencia
Opción 2
a a b ab b
a a b ab b
a a b b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b
a 2 2 3
3 2 2 3
2 2 2 2
2 2
2
agrupamiento
factor común (induciendo el segundo término)
factor común compuesto
producto notable
ley de potencia
a b ab b
a ab a b b
a a b b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b
Nota: A nivel de Educación secundaria los estudiantes no han trabajado factorizaciones con productos notables que involucren cubos ni aquellas que involucren divisiones sintéticas.
170
8. Simplifique al máximo la siguiente fracción. 3 2
26
12 36x x
x x
Solución: 3 2
2
2
2
2
612 36
6factorización de todos los términos
6
ley de potencias6
x xx x
x xx
xx
9. Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones
a) 5 1 2 6x x Solución: 5 1 2 6
5 5 2 67 5 6 implificación de términos7 11
11 despeje711 respuesta7
x xx xx sx
x
S
b) 3 2 6 23 3x x x x Solución:
171
2
2
2
2
3 2 6 23 3
3 6 6 23 69 productos3 7 6 23 69 03 30 75 0 reducción a la forma estándar
3 10 25 0 factor común constante (otra alternativa es aplicar
x x x x
x x x xx x xx x
x x
2
directamente la fórmula general)
3 5 0 factorización máxima5 05 determinación de incógnita
S= 5
xxx
172
ANEXO 2: CONTENIDOS ALGEBRAICOS CONSIDERADOS DE LOS PROGRAMAS
DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS: III CICLO DE LA EDUCACIÓN GENERAL
BÁSICA PARA LA ELABORACIÓN DEL TEST DIAGNÓSTICO.
En los contenidos contemplados en la unidad de Relaciones y Álgebra, que se
destacan en los Programas de Estudio de Matemáticas del MEP (2012) para el Tercer Ciclo
de la Educación General Básica, se establece se trabajará en este ciclo con tareas que
envuelven actividades de simbolización y la manipulación matemática correcta de
expresiones algebraicas .
A continuación, se detallan algunos de los cocimientos desarrollados para este ciclo
y las habilidades específicas respectivas
En octavo año
Expresiones algebraicas
Concepto de expresión algebraica
Valor numérico
Monomios: Monomios Semejantes, Operaciones con monomios, Factor numérico y factor literal.
Polinomios: Operaciones con polinomios y Productos notables
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Habilidades específicas
Efectuar operaciones con monomios: suma, resta, multiplicación y división.
Clasificar expresiones en monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos.
Sumar, restar y multiplicar polinomios.
Utilizar productos notables para desarrollar expresiones algebraicas.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Resolver ecuaciones algebraicas fraccionarias que se reducen a ecuaciones del primer grado con
una incógnita (pp. 333-334).
En noveno año
Expresiones algebraicas
173
Factorización.
División de polinomios.
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
Racionalización.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Habilidades específicas
Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.
Efectuar división de polinomios.
Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas.
Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita Resolver
ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita (p. 338-339).
Cabe destacar que para el tratamiento del tema factorización se indica, dentro de las
indicaciones puntuales, que se trabaja con polinomios en una o dos variables con no más de
cuatro términos. Las técnicas que se utilizan son:
Factor común y fórmulas notables2.
Grupos y factor común.
Grupos y diferencias de cuadrados.
Factorización por inspección de trinomio cuadrático perfecto (p. 338).
Asimismo, se indica que las racionalizaciones que se desarrollarán son de uno o dos términos. En
caso de ser dos términos se contempla cuando al menos uno posea raíz cuadrada, para aplicar
la fórmula notable de la diferencia de cuadrados.
Por otro lado, se dan las siguientes indicaciones puntuales metodológicas referentes al tema de
operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias:
2 Las fórmulas notables por utilizar son: 2 2a b a b a b , 22 22a ab b a b ,
22 22a ab b a b
174
Para las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias (suma, resta, multiplicación, división)
utilice solamente dos expresiones cuyo numerador y denominador sean monomios, binomios
o polinomios de no más de cuatro términos (con una o dos variables). (MEP, 2012, p. 347).
175
ANEXO 3: CRITERIOS DE SELECCIÓN DE EJERCICIOS PLANTEADOS EN EL
TEST DIAGNÓSTICO DIRIGIDO A ESTUDIANTES MATRICULADOS EN EL
CURSO MAC400 MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
Tabla 24 Criterios para selección de ejercicios planteados en el test diagnóstico Ejercicios propuestos Criterio de selección de ejercicios
Efectúe la operación y simplifique al máximo los resultados
3 24 5 3 3xy x y xy x y
2 22 5 1 3x x
2 2 216 4 4z z z
En los tres ejercicios se busca la simplificación por medio de operaciones aritméticas básicas. En el 1. se pretende evaluar las operaciones producto y suma, la correcta distribución del producto respecto de la suma y leyes de potencias básicas. En el 2. Se evalúa la correcta aplicación de los productos notables, para esto se incorpora un término con resta y otro con suma. Posteriormente el estudiante debe distribuir el -1 adecuadamente y simplificar. En el 3., se busca que el estudiante aplique la fórmula notable respectiva y simplifique; nótese que debe realizar una doble potencia. En caso de que el estudiante no recuerde la aplicación del producto notable en el 3., podrá realizar, en su defecto, una distribución de binomios; lo que le permite al estudiante trabajar distribuciones de un monomio por un polinomio (en el caso del ejercicio 1.) o de dos polinomios (ejercicio 2.)
Factorice al máximo
3 2 2 3a a b ab b
En primera instancia, en el ejercicio se pretende que el estudiante sea capaz de realizar agrupamientos adecuados (solo funcionarán dos tipos de agrupamientos en parejas) que lo lleven a obtener factores en común dentro de cada grupo. Si el estudiante avanza en el ejercicio se verá obligado a aplicar una factorización por producto notable para llegar a la respuesta factorizada al máximo.
176
Ejercicios propuestos Criterio de selección de ejercicios
Efectúe las siguientes operaciones y simplifique al máximo
2 2
2 6 5
6 9 9
x x
x x x 3 2
2
6
12 36
x x
x x 2
2 2 2
6 55 3
1 11
a a ax a
b ab b
Con estos ejercicios se pretende abarcar de una manera global las cuatro operaciones aritméticas con fracciones algebraicas. Note que en los tres ejercicios se involucran diversos métodos de factorización; sin embargo, han sido seleccionados con cierta intencionalidad. En los ejercicios 5. y 6. el estudiante debe factorizar por fórmula notable de trinomio cuadrático perfecto (o inspección en su defecto), mientras que en el 7. se debe realizar una inspección. Pensando en el caso de que el estudiante no logre operar adecuadamente en los ejercicios 5. y 7., se diseñó el ejercicio 6., donde solamente debe simplificar la fracción.
Por otro lado, el ejercicio 7. permite evaluar el trabajo con la operación cociente y a la vez, producto.
Cabe destacar que el ejercicio 5. fue seleccionado por ser un caso particular de la suma, donde se debe trabajar meticulosamente la ley distributiva; caso donde se presentan errores comunes.
Determine el conjunto solución de cada ecuación
5 1 2 6x x
3 2 6 23 3x x x x
En este caso se consideran los únicos tipos de ecuaciones contemplados según los Programas de Estudio de Educación Media en el área de álgebra básica: las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas. Las dos ecuaciones exigen al estudiante un adecuado manejo de operaciones básicas entre polinomios y la simplificación de términos; así como la propia estructura que permite hallar el conjunto solución, según el tipo de ecuación.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
177
ANEXO 4: GUÍA DE ENTREVISTA SEMIESTRUCTURADA APLICADA A
DOCENTES A CARGO DEL GRUPO DE ESTUDIANTES MATRICULADOS EN EL
CURSO MAC400 MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
Universidad Nacional de Costa Rica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Escuela de Matemática
Guía de entrevista semiestructurada aplicada a docente que imparte el curso MAC400 Matemática Fundamental durante el I ciclo de 2018
A continuación, se presenta el instrumento que se utilizó como guía durante la
entrevista para docentes del curso MAC400 Matemática Fundamental, el propósito de dicha
entrevista es describir los errores matemáticos que detectan los mismos en los estudiantes de
dicho curso, a partir de su experiencia en el aula.
Fecha de entrevista: _______________
INFORMACIÓN GENERAL
Nombre del docente entrevistado: __________________________________________.
Grado académico: ________________________________.
Ciclos en que ha impartido el curso Matemática Fundamental (considere los cursos con códigos MAC400 Matemática Fundamental y MAB 300 Matemática Fundamental I):
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
PREGUNTAS ABIERTAS
1. Con respecto a su experiencia docente en los cursos de matemática de educación
universitaria, ¿qué errores matemáticos referentes a las operaciones básicas con
polinomios y expresiones algebraicas fraccionarias ha identificado en las producciones
de los estudiantes? En este ítem se le aclara al encuestado qué se entenderá por operación básica con
polinomios y expresiones algebraicas fraccionarias, en correspondencia con la
fundamentación teórica del estudio. A continuación, se describen las mismas.
178
Operaciones básicas con polinomios: operaciones aritmético-algebraicas con
polinomios (OP), donde se incluyen la suma, resta, multiplicación y división entre
polinomios, productos notables y se incluye la factorización de polinomios (FP),
donde se apliquen métodos de factorización a polinomios de una o más variables.
Operaciones básicas con expresiones algebraicas fraccionarias: operaciones
aritmético-algebraicas con fracciones algebraicas (OF), donde se incluyen la suma,
resta, multiplicación y división entre expresiones algebraicas fraccionarias.
También, se considera la racionalización, donde estén presentes términos con raíz
cuadrada y cúbica.
2. Brinde algunos ejemplos donde se ilustren errores matemáticos, que cometieron los
estudiantes de manera frecuente al efectuar operaciones básicas con polinomios y
expresiones algebraicas fraccionarias, que haya identificado durante el I ciclo de 2018
en su grupo del curso MAC400 Matemática Fundamental.
Se dan las indicaciones del instrumento para la ilustración de errores (adjunto en la
siguiente página).
179
Instrumento para la ilustración de errores matemáticos detectados por el docente del
curso MAC400 Matemática Fundamental, durante el I ciclo de 2018.
Indicaciones generales 1. Utilice el espacio correspondiente en la tabla 25 para ilustrar con ejemplos el error
detectado, referente a las operaciones básicas con polinomios y expresiones algebraicas
fraccionarias.
2. Indique en cuáles contenidos temáticos se presentó el error, según los contenidos del
curso MAC400 Matemática Fundamental que se le presentan a continuación.
a. A1: Operaciones aritmético-algebraicas con polinomios.
b. A2: Operaciones aritmético-algebraicas con fracciones algebraicas.
c. A3: Factorización de polinomios.
d. A4: Ecuaciones polinomiales.
e. A5: Ecuaciones radicales.
f. A6: Inecuaciones polinomiales.
g. A7: Inecuaciones radicales.
h. A8: Inecuaciones con valor absoluto.
i. A9: Inecuaciones entre expresiones fracciones algebraicas.
j. A10: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
Debe marcar con una equis (X) el código que corresponde a la codificación del
contenido temático donde se presentó el error (Puede marcar varias opciones).
180
Tabla 25 Ilustración de error matemático detectado por el docente del curso MAC400 Matemática Fundamental, durante el I ciclo de 2018
Ilustración de error detectado Presente en contenido
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
A10
Fuente: Elaboración propia del investigador. Nota: Por cada error que sea señalado se utiliza una tabla de esta naturaleza.
181
ANEXO 5: ERRORES QUE SE IDENTIFICARON EN EL TEST 1 Errores al efectuar sumas y restas de polinomios (S)
Tabla 26 Formas en que se manifestaron los errores del tipo S, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error S1: genera una constante distinta de cero como
resultado de una resta de dos monomios iguales.
Figura 33. Ilustración del error S1 cometido
por el estudiante A4. S2: al efectuar la suma (resta) de monomios no
semejantes escribe como resultado un monomio:
el coeficiente numérico queda determinado por la
suma (resta) de los coeficientes que preceden; el
factor literal, por el producto de los factores que
preceden, con el grado de la suma (resta) según
sea la operación entre los monomios. Los
procedimientos sugieren que al trabajar con
variables de exponente 1 o monomios de
coeficiente numérico 1, el estudiante asume que
hay un 0 en el valor numérico.
Figura 34. Ilustración del error S2 cometido
por el estudiante C2.
S3: al efectuar la suma (resta) de monomios no
semejantes escribe como resultado un monomio
que se compone de manera análoga a la
estructura determinada en el caso S2; con la
única diferencia de considerar de manera
correcta el exponente 1 de cada variable en la que
no se muestra exponente
Figura 35. Ilustración del error S3 cometido
por el estudiante A7.
S4: establece como resultado de una operación
combinada entre sumas y restas, una división de
los términos de manera inconsistente con el
procedimiento de simplificación.
182
Figura 36 X. Ilustración del error cometido por el estudiante A6.
Descripción del error Ilustración del error
S5: efectúa sumas (restas) entre monomios
mónicos de una variable como un monomio
mónico cuyo grado es la suma (resta) de los
grados precedentes y preserva 1 como
coeficiente numérico.
Figura 37 X. Ilustración del error S5
cometido por el estudiante B2.
S6: simplifica una resta o suma de un monomio
con una constante por medio de su producto.
Figura 38 X. Ilustración del error S6
cometido por el estudiante C2. S7: considera cada monomio como el desarrollo
de sumar cada variable del factor literal la
cantidad de veces que indica su exponente, donde
- nteceda al monomio indica que
el opuesto de la primera variable se sumó la
cantidad de veces que indica el exponente. Es
decir, aplica los esquemas: m m n
m n
nx x m n x
x y mx ny
Figura 39 X. Ilustración del error S7
cometido por el estudiante C3.
S8: aplica un procedimiento inconsistente con la
simplificación de sumas y restas entre
polinomios: al finalizar una simplificación de
operaciones combinadas entre suma, resta y
producto, factoriza el resultado, cuando la
instrucción del ejercicio no lo indica.
Figura 40 X. Ilustración del error S9
cometido por el estudiante C3.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
183
Errores al efectuar productos entre polinomios (P)
Tabla 27 Formas en que se manifestaron los errores del tipo P, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error P1: aplica distribución del producto de un
monomio por una diferencia de binomios, sin
que la diferencia esté agrupada: el monomio se
multiplica correctamente por el primer binomio,
pero el mismo se multiplica por el segundo
término del primer binomio y a la vez por el
binomio del segundo término.
Figura 41 X. Ilustración del error P1 cometido por el estudiante B5.
P2: si dos polinomios (ambos en una variable)
se multiplican, y están delimitados por
paréntesis, omite los paréntesis y en lugar del
producto establece una suma. Figura 42 X. Ilustración del error P2 cometido por el estudiante C2.
P3: al multiplicar un monomio por un binomio
aplica distribución entre los coeficientes
numéricos, pero el factor literal del monomio
solo es multiplicado se multiplica por el primer
término del polinomio.
Figura 43 X. Ilustración del error P3 cometido
por el estudiante C1.
P4: distribuye la suma de un escalar con un
polinomio: cuando al escalar se le suma un
polinomio delimitado por paréntesis que solo
poseen sumandos en su interior aplica
distribución de la suma respecto a la suma,
multiplicando cada término del polinomio que
posea variables por el escalar y suma en caso de
que el término interno sea un escalar.
Figura 44 X. Ilustración del error P4 cometido
por el estudiante C5.
Descripción del error Ilustración del error
184
P5: No aplica la ley distributiva en el producto
entre un monomio y un polinomio; omite el
paréntesis que delimita el polinomio y
multiplica el monomio con los monomios
semejantes contenidos en el polinomio. Figura 45 X. Ilustración del error P5 cometido
por el estudiante C7.
P6: genera una distribución de la suma respecto
del producto de polinomios.
Figura 46 X. Ilustración del error P6 cometido por el estudiante A2
P7: si dos binomios se encuentran delimitados
por paréntesis, establece como resultado un
polinomio compuesto por: la suma de los
primeros términos de cada polinomio
precedente, la suma de los últimos términos de
cada binomio y el producto de los demás
términos (aplicando la ley distributiva). En
algunos casos las sumas que se presentan son el
resultado del esquema incorrecto de adición que
ha construido el estudiante en todo el
instrumento.
Figura 47 X. Ilustración del error P7 cometido por el estudiante A5
P8: si dos binomios se multiplican establece
como resultado: el monomio compuesto por la
suma de las constantes libres y el producto de los
términos variables.
Figura 48 X. Ilustración del error P8 cometido
por el estudiante A10.
185
Descripción del error Ilustración del error P9: cuando las expresiones se encuentran
delimitadas por paréntesis que denotan
asociación, estos son sustituidos por productos.
De modo que el producto solo se determina entre
los elementos consecutivos que se encontraban
al lado de cada paréntesis. Es decir, omite la
asociación del paréntesis.
Figura 49 X. Ilustración del error P9 cometido
por el estudiante A1.
P10: al multiplicar dos monomios semejantes de
distinto signo, escribe como resultado un
monomio cuyo coeficiente numérico queda
definido por el opuesto aditivo de la suma de los
valores absolutos de los coeficientes
precedentes y cuyo factor literal queda dado por
el producto de los factores literales.
Figura 50 X. Ilustración del error P10 cometido por el estudiante A4.
P11: al multiplicar dos monomios distintos
definidos en una sola variable, multiplica los
coeficientes numéricos de manera correcta, pero
no aplica la propiedad de potencias en el factor
literal: define como factor literal del monomio
resultante el factor precedente de mayor grado
(si son iguales, escribe la variable en común sin
sumar exponentes).
Figura 51 X. Ilustración del error P11 cometido por el estudiante B2.
P12: efectúa el producto de dos monomios
asociando con el algoritmo de una suma: la
potencia de exponente n es considerada como
sumar n veces la base de la potencia y los
productos de potencias de base distinta son
considerados sumas.
Figura 52 X. Ilustración del error P12
cometido por el estudiante C5.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
186
Errores estructurales de operaciones en ecuaciones (OE)
Tabla 28 Formas en que se manifestaron los errores del tipo OE, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error OE1: al dividir (o multiplicar) un término en
ambos lados de una ecuación no aplica la ley
distributiva: considera que para simplificar un
término de una operación combinada que
involucra el producto en una ecuación,
únicamente lo debe dividir (o multiplicar) en
algunos términos; es decir, no asocia para
aplicar ley distributiva.
Figura 53 X. Ilustración del error OE1 cometido por el estudiante C1.
OE2: simplifica un producto presente en un lado
de una ecuación restando uno de los factores en
el lado contrario de la igualdad.
Figura 54. Ilustración del error OE2 cometido
por el estudiante C3. OE3: al trabajar con una ecuación cuadrática,
reduce el grado 2 por medio del cálculo de la raíz
cuadrada en ambos miembros de forma
incorrecta: solamente cambia el exponente 2 por
1, en el caso de polinomios; determina la raíz de
las constantes libres y altera el signo de esta.
Figura 55. Ilustración del error OE3 cometido
por el estudiante A7.
OE4: en una ecuación, al obtener las raíces
cuadradas de un cuadrado perfecto igualado a
una constante, no considera los dos posibles
resultados.
Figura 56. Ilustración del error OE4 cometido
por el estudiante C5.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
187
Errores en la asociatividad de polinomios (AS)
Tabla 29 Formas en que se manifestaron los errores del tipo AS, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error AS1: asocia términos semejantes
de un polinomio cambiando los
signos de los coeficientes
numéricos de manera incorrecta.
Figura 57 X. Ilustración del error AS1 cometido por el estudiante A1.
AS2: al realizar una división de
fracciones algebraicas no asocia
los polinomios que deben ser
multiplicados, por lo que no
aplica ley distributiva entre estos:
no delimita con paréntesis cada
polinomio, de modo que al
multiplicar solamente involucra
el último término del primer
polinomio con el primer término
del segundo polinomio.
Figura 58 X. Ilustración del error AS2 cometido por el
estudiante B3.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
188
Errores al desarrollar potencias de un binomio (PB)
Tabla 30 Formas en que se manifestaron los errores del tipo PB, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error PB1: al elevar al cuadrado un
binomio genera un binomio
conformado por el cuadrado de
cada término sin elevar los
factores literales y preservando la
operación entre los términos del
binomio.
Figura 59 X. Ilustración del error PB1 cometido por el
estudiante A9.
PB2: al calcular la potencia de un
binomio genera un binomio
conformado por la potencia de
cada término de la base (con
igual exponente al que se eleva el
binomio), preservando la
operación entre estos.
Figura 60 X. Ilustración del error PB2 cometido por el
estudiante C5.
PB3: establece como resultado
de la potencia un binomio
compuesto por los mismos
términos de la base a excepción
de la variable, la cual queda
elevada al cuadrado.
Figura 61 X. Ilustración del error PB3 cometido por el
estudiante A6.
189
Descripción del error Ilustración del error PB4: establece como resultado
del cuadrado del binomio un
trinomio compuesto por el
cuadrado del primer término
(omitiendo el cuadrado del factor
literal, si existe), más el doble del
producto del primer término por
el segundo, más el segundo
término al cuadrado (omitiendo
el cuadrado del factor literal, si
existe).
Figura 62 X. Ilustración del error PB4 cometido por el
estudiante A7.
PB5: al elevar al cuadrado un
binomio conformado por una
resta de monomios, escribe como
resultado, el cuadrado del primer
término; menos el doble del
primer término; por el opuesto
del segundo; más el cuadrado del
segundo término.
Figura 63 X. Ilustración del error PB5 cometido por el estudiante B6.
PB6: establece como cuadrado
de un binomio el cuadrado del
primer término, omitiendo el
cuadrado del coeficiente
numérico de cada monomio en
una variable, y el cuadrado del
segundo término, separando
estos términos por el signo que
separa los términos precedentes.
Figura 64 X. Ilustración del error PB6 cometido por el
estudiante C7.
190
PB7: al calcular el cuadrado de
un binomio genera como
resultado un binomio compuesto
por el doble del término de la
base.
Figura 65 X. Ilustración del error PB7 cometido por el
estudiante B2.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
191
Errores aritméticos (EA)
Tabla 31 Formas en que se manifestaron los errores del tipo EA, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error EA1: al calcular la potencia de un número el
resultado obtenido es incorrecto.
Figura 66 X. Ilustración del error EA1 cometido
por el estudiante A1. EA2: obtiene un resultado incorrecto al
calcular una suma o resta numérica.
Figura 67 X. Ilustración del error EA2 cometido
por el estudiante C2. EA3: al multiplicar o dividir dos números
enteros obtiene un resultado incorrecto. Ya sea
en cuanto al signo resultante o el valor
absoluto del resultado.
Figura 68 X. Ilustración del error EA3 cometido
por el estudiante B2.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
192
Errores de omisión o inserción de datos (O)
Tabla 32 Formas en que se manifestaron los errores del tipo O, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error O1: suprime símbolos, variables o números en
algunos términos, sin mostrar cálculos involucrados.
Figura 69 X. Ilustración del error O1
cometido por el estudiante A4. O2: genera variables o símbolos en términos que no
las poseen. En este caso la inclusión de los
elementos provoca un error en los procedimientos.
Figura 70 X. Ilustración del error O2
cometido por el estudiante C3.
O3: cambia el valor o la posición de un término de
un paso al siguiente, sin mostrar cálculos
involucrados.
Figura 71 X. Ilustración del error O3
cometido por el estudiante A10.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
193
Errores en la simplificación de operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias (EF)
Tabla 33 Formas en que se manifestaron los errores del tipo EF, según el test 1.
Descripción del error Ilustración del error EFS1: simplifica una fracción
numérica generada por los
coeficientes que poseen el numerador
y denominador de una fracción
algebraica como el valor absoluto de
la diferencia entre el numerador y el
denominador; además, genera como
resultado del factor literal el producto
de los factores precedentes.
Figura 72 X. Ilustración del error EFS1 cometido por el
estudiante C3.
EFS2: simplifica una fracción
algebraica incorrectamente: suprime
los factores variables semejantes de
cada término que estén en común en
el numerador y denominador, sin
mostrar una previa factorización. Si
en algún término de coeficiente
principal 1, -1, o reduce a la constante
1, se suprime por completo el factor
literal, se omite y no se escribe nada
en su lugar.
Figura 73 X. Ilustración del error EFS2 cometido por el
estudiante B5.
194
Descripción del error Ilustración del error EFS3: simplifica una fracción
algebraica de manera incorrecta.
Considera los términos semejantes en
el numerador y el denominador,
suprime el factor literal en ambos
términos y realiza una suma entre los
coeficientes numéricos precedentes
para determinar la posición y el signo
del número resultante: si la suma es
negativa los posiciona en el
denominador; si es positiva, lo
posiciona en el numerador.
Figura 74 X. Ilustración del error EFS3 cometido por el
estudiante A1.
EFS4: simplifica una fracción
algebraica de manera incorrecta.
Aplica la propiedad de potencia del
cociente para términos que poseen las
mimas variables en el factor literal
presentes en el numerador y
denominador. Realiza una resta entre
los coeficientes numéricos
precedentes para determinar la
posición y el signo del número
resultante: si la resta es negativa los
posiciona en el denominador, si es
positiva lo posiciona en el numerador.
Figura 75 X. Ilustración del error EFS4 cometido por el
estudiante A6.
195
Descripción del error Ilustración del error
EFS5: para simplificar, descompone
la fracción algebraica en sumas
parciales que se obtienen al separar
los términos del numerador y
denominador, para asociar de forma
vertical.
Figura 76 X. Ilustración del error EFS5 cometido por el
estudiante A11. EFS6: simplifica los términos
variables de una fracción algebraica
que son semejantes entre el
numerador y el denominador: resta al
término del numerador el del
denominador y escribe el resultado en
el numerador como un término más
del resultado. Esto sin una previa
factorización.
Figura 77 X. Ilustración del error EFS6 cometido por el
estudiante B1.
EFS7: al simplificar una fracción
algebraica suprime completamente
los términos del numerador y
denominador que son semejantes.
Figura 78 X. Ilustración del error EFS7 cometido por el
estudiante B4.
196
Descripción del error Ilustración del error EFS8: al simplificar una fracción
algebraica divide los términos del
numerador entre algún término de
exponente menor o igual del
denominador (sin haber factorizado la
expresión). En las divisiones entre
coeficientes numéricos y constantes
libres genera la expansión decimal del
resultado.
Figura 79 X. Ilustración del error EFS8 cometido por el
estudiante B5.
EFS9: simplifica los términos
variables entre un numerador y el
denominador de una expresión
algebraica fraccionaria de manera
incorrecta: escribe como resultado de
la fracción un monomio conformado
por la división de los coeficientes
numéricos y cada variable en común
elevada a la suma de los exponentes
precedentes.
Figura 80. Ilustración del error EFS9 cometido por el
estudiante C3.
EFS10: simplifica una fracción
algebraica como el producto del
numerador por el opuesto del
denominador: lo hace sin delimitar
con paréntesis cada término.
Figura 81. Ilustración del error EFS10 cometido por el
estudiante C6.
197
Descripción del error Ilustración del error
EFD1: simplifica la división de dos
expresiones algebraicas fraccionarias
como una fracción cuyo numerador
está conformado por los numeradores
precedentes separados por la
operación de resta, respectivamente
los denominadores esto sin delimitar
con paréntesis cada polinomio.
Figura 82. Ilustración del error EFD1 cometido por el estudiante A2.
EFD2: establece como resultado de
una división entre expresiones
algebraicas fraccionarias una
expresión algebraica entera de forma
incorrecta; para esto utiliza la
transposición de los términos
denominadores en torno al signo de
división y transforma este signo en
uno de suma.
Figura 83. Ilustración del error EFD2 cometido por el
estudiante A5.
EFD3: establece como resultado de
una división entre expresiones
algebraicas fraccionarias una
expresión algebraica fraccionaria de
forma incorrecta: para determinar tal
expresión fraccionaria invierte el
numerador y denominador de la
expresión divisora y suma el
numerador con el numerador de la
expresión que no se alteró, al igual
que lo hace con los denominadores
respectivos.
Figura 84. Ilustración del error EFD3 cometido por el
estudiante A6.
198
Descripción del error Ilustración del error
EFD4: simplifica una división de
fracciones algebraicas de forma
incorrecta: establece en el numerador
resultante el polinomio conformado
por sumar el producto del primer
numerador por el segundo
denominador con el producto del
primer denominador con el segundo
numerador; en el denominador
resultante escribe el factor que no esté
en común en los denominadores que
preceden.
Figura 85. Ilustración del error EFD4 cometido por el
estudiante C2.
EFA1: linealiza la resta (o suma) de
expresiones algebraicas fraccionarias:
simplifica la operación entre las
expresiones algebraicas fraccionarias
como una fracción cuyo numerador
está conformado por los numeradores
precedentes (de la izquierda), el signo
-
(derecha) seguido del signo;
respectivamente el denominador se
compone por los denominadores
-
denominador posterior; esto sin
delimitar con paréntesis cada
polinomio.
Figura 86. Ilustración del error EFA1 cometido por el
estudiante C6.
199
Descripción del error Ilustración del error
EFA2: establece como resultado de
una resta entre expresiones
algebraicas fraccionarias, una
expresión algebraica entera; para esto
utiliza la transposición de los
términos denominadores en torno al
signo central de resta y transforma
este signo en uno de suma.
Figura 87. Ilustración del error EFA2 cometido por el
estudiante A5.
EFA3: al desarrollar la resta (o suma)
de dos expresiones algebraicas
fraccionarias establece un
denominador común inadecuado:
para su conformación considera
algunos factores que no dividen los
denominadores precedentes, con lo
que al establecer los nuevos
numeradores los resultados son
incorrectos.
Figura 88. Ilustración del error EFA3 cometido por el
estudiante C6.
EFA4: simplifica la resta de dos
expresiones algebraicas fraccionarias
con una estructura incorrecta:
transpone los términos del sustraendo
y resta cada término al respectivo
numerador y denominador del
minuendo, formando así una sola
fracción.
Figura 90. Ilustración del error EFA4 cometido por el
estudiante C5.
200
Descripción del error Ilustración del error EFA5: simplifica una resta de
fracciones algebraicas como una
fracción compuesta por la suma de los
numeradores precedentes y cuyo
denominador queda determinado por
la suma de los denominadores
precedentes.
Figura 91. Ilustración del error EFA5 cometido por el
estudiante C7.
EFA6: simplifica una resta (o suma)
de fracciones algebraicas de forma
incorrecta: establece en el numerador
resultante el polinomio conformado
por sumar el producto del primer
numerador por el segundo
denominador con el producto del
primer denominador con el segundo
numerador; en el denominador
resultante escribe máximo divisor
común entre los denominadores
precedentes.
Figura 92. Ilustración del error EFA6 cometido por el
estudiante C2.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
201
Errores en la estructura de factorización (FAC)
Tabla 34 Formas en que se manifestaron los errores del tipo FAC, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error FAC1: presenta una resolución que es
inconsistente con los métodos de
factorización: intenta reducir la expresión
asociando con simplificación por medio
de sumas y restas aplicadas de forma
incorrecta (generalizadas de las sumas y
restas manifestadas en toda la prueba).
Figura 93. Ilustración del error FAC1 cometido por el
estudiante A4.
FAC2: efectúa el método de factorización
por inspección de manera incorrecta:
descompone el primer y tercer término de
cada trinomio cuadrático como producto
de dos factores, con el fin de factorizar,
pero no verifica las condiciones que se
deben satisfacer con respecto al término
lineal.
Figura 94. Ilustración del error FAC2 cometido por el
estudiante C5.
FAC3: al extraer el factor común comete
un error con los signos del segundo factor:
distribuye de manera incorrecta el signo
de cada término, según el factor común
obtenido.
Figura 95. Ilustración del error FAC3 cometido por el
estudiante C5.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
202
Errores por resolución parcial o inconclusa (RP)
Tabla 35 Formas en que se manifestaron los errores del tipo RP, según el test 1
Descripción del error Ilustración del error RP1: el procedimiento para simplificar
fracciones algebraicas es inconcluso. No
simplifica al máximo las fracciones
algebraicas; se debe considerar que el
procedimiento previo es incorrecto
(generalizado de la suma y la resta errónea,
mostradas en la prueba).
Figura 96. Ilustración del error RP1 cometido por
el estudiante A4.
RP2: descompone los términos de un
polinomio que se solicita factorizar, pero no
aplica métodos de factorización entre estos:
Establece la factorización de cada término,
pero no busca relaciones con los demás
términos del polinomio.
Figura 97. Ilustración del error RP2 cometido por
el estudiante B1.
RP3: aunque el procedimiento mostrado al
simplificar la expresión algebraica es
correcto, no completa el ejercicio; el
resultado mostrado es parcial.
Figura 98. Ilustración del error RP3 cometido por el estudiante B6.
Fuente: Elaboración propia del investigador.
203
ANEXO 6: ERRORES QUE SE IDENTIFICARON EN LAS PRUEBAS PARCIALES ORDINARIAS APLICADAS EN EL CURSO MAC400 MATEMÁTICA
FUNDAMENTAL Errores al asociar un producto notable (AP)
Tabla 36 Formas en que se manifestaron los errores del tipo AP, según las pruebas parciales ordinarias Descripción del error Ilustración del error
AP1: el producto notable para cubo de una diferencia se asocia con la diferencia de cubos, pero en el resultado incluye un factor que se vincula con cuadrado de la diferencia con los signos formulados incorrectamente.
Figura 99. Ilustración del error AP1 cometido por el
estudiante A10.
AP2: reconoce el producto notable para el cubo de una diferencia; sin embargo, al escribir la respuesta adiciona un factor que no corresponde.
Figura 100. Ilustración del error AP2 cometido por el estudiante C6.
AP3: genera una formulación parcialmente correcta para el producto notable de la suma de cubos, pero comete un error en la formulación del trinomio, el cual corresponde al cuadrado de una diferencia.
Figura 101. Ilustración del error AP3 cometido por
el estudiante C2.
AP4: asocia el producto notable para el cubo de la diferencia con la equivalencia para la diferencia de cubos.
Figura 102. Ilustración del error AP4 cometido por el estudiante A8.
AP5: asocia el cuadrado de una diferencia con el resultado de la diferencia de cuadrados.
Figura 103. Ilustración del error AP5 cometido por
el estudiante A10. Fuente: Elaboración propia.
204
Errores en operaciones que involucran expresiones algebraicas radicales (OR)
Tabla 37 Formas en que se manifestaron los errores del tipo OR, según las pruebas parciales ordinarias
Descripción del error Ilustración del error OR1: asocia la racionalización de un
binomio que involucra radicales
cúbicos con la racionalización de un
monomio que involucra radicales,
donde se multiplica por la misma
expresión y se calculan potencias de los
términos en el subradical, de manera
que al multiplicar las expresiones se
simplifiquen los radicales; sin
embargo, las potencias del subradical
se calcula por término y no por factor.
Figura 104. Ilustración del error OR1 cometido por el
estudiante C6.
OR2: asocia la racionalización de un
binomio que involucra radicales
cúbicos con la racionalización de un
monomio que involucra radicales,
donde se multiplica por la misma
expresión y se calculan potencias de los
términos en el subradical, de manera
que al multiplicar las expresiones se
simplifiquen los radicales; sin
embargo, las potencias del subradical
se calcula por término y no por factor,
y se omiten los coeficientes principales
en algunos subradicales.
Figura 105. Ilustración del error OR2 cometido por el
estudiante C5.
205
Descripción del error Ilustración del error
OR3: linealiza la diferencia entre
expresiones radicales: escribe como
resultado el radical de la diferencia de
los subradicales.
Figura 106. Ilustración del error OR3 cometido por el
estudiante C5.
OR4: asocia la racionalización de un
binomio que involucra radicales
cúbicos con la racionalización de un
monomio que involucra radicales,
donde se multiplica por la misma
expresión y se calculan potencias de los
términos en el subradical, de manera
que al multiplicar las expresiones se
simplifiquen los radicales.
Figura 107. Ilustración del error OR4 cometido por el
estudiante B4.
OR5: efectúa el producto de
expresiones radicales del mismo índice
como el radical cuyo subradical
corresponde a la suma de las
expresiones subradicales precedentes.
En este caso preserva el índice en el
resultado.
Figura 108. Ilustración del error OR5 cometido por el
estudiante A2.
Fuente: Elaboración propia.
206
Errores en la resolución de inecuaciones (OI)
Tabla 38 Formas en que se manifestaron los errores del tipo OI, según las pruebas parciales ordinarias
Descripción del error Ilustración del error
OI1: expresa de forma tabular los signos
de diversos binomios lineales y al
escribir el polinomio conformado por el
producto de estos binomios, modifica
uno, con lo que el estudio de signos
resulta incorrecto.
Figura 109. Ilustración del error OI1 cometido por el
estudiante B6.
OI2: expresa incorrectamente, en una
tabla, los signos de aquellos binomios
lineales que poseen coeficiente principal
negativo; se establecen signos
contrarios, de modo que la situación
sugiere que omite el coeficiente
principal.
Figura 110. Ilustración del error OI2 cometido por el estudiante B5.
OI3: al dividir un número negativo en
ambos miembros de una inecuación
preserva el símbolo de desigualdad, con
lo que se incumple la propiedad básica
de simplificación.
Figura 111. Ilustración del error OI3 cometido por el
estudiante C7.
OI4: concluye que un producto de
factores tiene signo positivo si cada uno
de los factores es positivo, con lo que
trunca los casos que deberían analizarse
en la inecuación.
Figura 112. Ilustración del error OI4 cometido por el estudiante B4.
207
Descripción del error Ilustración del error
OI5: interpreta incorrectamente el
dominio real de las expresiones que
involucra una inecuación en resolución;
establece una solución que es
incongruente con el análisis del dominio
real.
Figura 113. Ilustración del error OI5 cometido por el
estudiante A5
OI6: no plantea el análisis del dominio
real en una inecuación que involucra
expresiones algebraicas radicales.
Además, establece una solución
incongruente con la interpretación de
una desigualdad.
Figura 114. Ilustración del error OI6 cometido por el estudiante C6.
Fuente: Elaboración propia.
208
Errores en la resolución de ecuaciones (OE)
Tabla 39 Forma en que se manifestó el error del tipo OE, según las pruebas parciales ordinarias
Descripción del error Ilustración del error OE5: no plantea el análisis del
dominio real en una ecuación que involucra expresiones algebraicas fraccionarias; establece un conjunto solución que contiene una restricción para los valores de la incógnita.
Figura 115. Ilustración del error OE5 cometido por el estudiante
A5.
Fuente: Elaboración propia.
Errores al definir el valor absoluto de un polinomio (DV)
Tabla 40 Formas en que se manifestaron los errores del tipo DV, según las pruebas parciales ordinarias Descripción del error Ilustración del error
DV1: plantea una definición incongruente para el valor absoluto de un monomio lineal, donde lo define como dos desigualdades que asocian a la expresión evaluada.
Figura 116. Ilustración del error DV1 cometido por
el estudiante C6
DV2: plantea una definición incongruente para el valor absoluto de una expresión lineal; lo define como dos expresiones que involucran al valor absoluto de la misma expresión original.
Figura 117. Ilustración del error DV2 cometido por
el estudiante A6
Fuente: Elaboración propia.