Enseñar, es un oficio difícil, tal vez despiadado, pues

no podemos dar a nuestros alumnos lo que nosotros no somos.

Lo mejor de nuestra enseñanza es, en fin de cuentas,

la humanidad que haya en nosotros.Si no proponemos algo humano,

nuestro papel es irrisorio.

Willy Servais (1913-1979)

EL PRIVILEGIO DE POSAR JUNTO A GUY BROUSSEAU

V SEM (Simposio de Educación Matemática)Investigación en Didáctica de la Matemática

5 al 9 de Mayo de 2003 en Chivilcoy, Pcia. De Bs. As.

La Didáctica de la matemática puede describirse como la disciplina científica y el campo de investigación cuyo fin es:

Identificar, caracterizar, y comprender los fenómenos y procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, e influir en el sistema

de enseñanza. Incluye dos polos de actividades:

Teorización de los fenómenos de Enseñanza y Aprendizaje, a través de sus teorías fundadoras:

Influir en el sistema de enseñanza a partir de la

Teoría de las Situaciones Didácticas (Guy Brousseau, 1.970)

Teoría de la Transposición Didáctica (Chevallard )Teoría de los Campos Conceptuales (Gérard

Vergnaud, 1.981)

Ingeniería Didáctica propuesta por Michel Artigue

en 1.988.Refiere a la preparación experimentación y análisis

de las situaciones didácticas.

La Didáctica de la Matemática estudia la transformación de los conocimientos en el entorno específicamente escolar del sujeto, considerando dos hipótesis fundamentales:

Hipótesis constructivista: El alumno construye por sí mismo sus conocimientos y el sentido de los mismos.

Hipótesis epistemológica: Los problemas y las situaciones son fuente de significación donde emergen los conceptos matemáticos.

SISTEMA DIDÁCTICO

Completá la etiqueta:

A) (alumno) plantea: 14,60 / 0,750 y no sabe cómo seguir

M) (maestro) dialoga con el alumno:…………. Pensemos juntos………… ¿si compras 2 Kg de queso? A) $14,60 * 2M) ¿si compras 5 Kg de queso? A) $14,60 * 5M) ¿Cuál es la operación para 2Kg y para 5Kg? A) MultiplicaciónM) Entonces, ¿ si compras 0,750 Kg? B) Hago $14,60 * 0,750

Ejemplo de interrelaciones

EL BUEN QUESO

Precio por Kg: : $14,60Peso del paquete: 0,750 KgPrecio a pagar : ………………

(Propuesto por Roland Charnay en 1.996, para niños de 10 ú 11 años)

Aspectos que debieran formar parte del trabajo matemático escolar Vincular siempre que sea posible, la construcción o reconstrucción de un concepto con el tipo de cuestiones que le han dado origen.Poner en juego el razonamiento conceptual y formular las hipótesis que serán puestas a prueba.Someterse a las leyes que rigen el desarrollo interno de las técnicas matemáticas.Integrar al trabajo con la técnica, la justificación de dicha técnica. ¿Por qué los alumnos se resisten a estudiar Matemática? Falta de visibilidad social de las actividades matemáticas.La Matemática que se presenta en la escuela está sobrecargada de exigencias ajenas a la disciplina Matemática.La teoría del Currículum se centra principalmente en los problemas referentes a la secuenciación, temporalización y presentación de contenidos matemáticos predeterminados.

La enseñanza de la Matemática debe centrarse en el desarrollo de aptitudes para:

Entender conceptos y métodos matemáticosDiscernir relaciones matemáticasRazonar lógicamenteAplicar conceptos, métodos y relaciones matemáticas para resolver problemas no matemáticos.

Un problema matemático supone una tarea en la cual el alumno está interesado (motivación intrínseca). El docente debe apuntar al desarrollo de:

Capacidades metacognitivas: El alumno interpreta el propio proceso del pensamiento.Un punto de vista matemático: El alumno ve la Matemática como algo que tiene sentido naturalmente.

La Didáctica de la Matemática es un programa de Investigación Científica Porque, siguiendo a Lakatos:

Existe una comunidad científica que comparte un marco teórico y que valida las teorías elaboradas por sus integrantes.

Los resultados son admitidos (en el marco teórico elegido) como válidos después de un cierto tiempo.

Su discurso se pretende racional y referido a datos empíricos observables.

Se estudió la posibilidad de reproducir los hechos didácticos y se concluyó que un resultado debe ser estable en contextos semejantes.

Alguien, desde otro marco, es quien debe ocuparse de probar que un resultado no es válido (y no el investigador que lo produjo).

Hay luchas por la delimitación del campo de investigación. Está en juego la definición del “espacio de problemas”.

La validación es de carácter social marcada por la evolución de la comunidad de investigación.

Jean Brun (1.994) analiza las preocupaciones de la Epistemología genética y de la Didáctica

Distintos significantes para un mismo significado(Campo multiplicativo de Vergnaud)

Dos “nombres” distintos pueden referirse a un mismo concepto.

Ingeniería didáctica (Michel Artigue, 1.988)Una metodología de investigación.

Se identifican cuatro fases:

Análisis Previos: Se componen de diversos estudios que se pueden realizar a partir de un marco teórico y de los conocimientos didácticos ya adquiridos en el campo estudiado.

Diseño y análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería: Comprende las posibilidades de acción, decisión y elección de los alumnos en función de sus conocimientos así como las posibilidades de control y validación.

Experimentación: Se implementa el diseño planteado.

Análisis a posteriori y evaluación. Se apoya en el conjunto de datos recogidos en la fase anterior:

observaciones de las sesiones de enseñanza, y producciones de los alumnos dentro y fuera de la clase.

Situación Didáctica (Guy Brousseau-1.970)

La fase de Institucionalización es altamente significativa en el

proceso cognitivo: El docente “hace saber” al alumno que los

conocimientos que ha puesto en funcionamiento corresponden a

saberes de los cuales podrá “disponer” en otras ocasiones.

La institucionalización cambia el contrato didáctico: El docente

ahora puede exigir el saber institucionalizado y el alumno lo debe

saber.

Es importante recordar que es posible instalar, en el terreno de la

enseñanza de las operaciones la experiencia de “hacer matemática

en el aula” como una construcción social.

La teoría de situaciones no es un modelo de enseñanza. Se trata de una modelización para el “estudio” de las condiciones específicas de la difusión de conocimientos matemáticos.

Las relaciones entre las producciones teóricas y las prácticas efectivas de enseñanza no pueden reducirse al aplicacionismo; estas relaciones implican todo un trabajo específico que forma parte de la Didáctica de la Matemática.

Cohesión interna de la Matemática Todas las partes se relacionan en un todo armónico sin contradicciones.

Los conceptos se relacionan entre sí de diferentes maneras: Un mismo concepto tomado en contextos diferentes no puede dar lugar a contradicciones y, conceptos distintos tienen conexión entre sí.

Ejemplos:

Construir el sentido del conocimiento

¿Qué características deben tener los problemas que se proponen

en el aula?

Problemas que desencadenen un trabajo del alumno “que implique una buena reproducción

por parte del alumno de una actividad científica exigiría que actúe, que formule, que pruebe,

que construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que las intercambie con otras, que

reconozca aquellas que son conformes a la cultura, que tome aquellas que le son útiles, etc.”

(Brousseau, 1986).

Problemas donde el conocimiento al que apunta aparezca como necesario, el conocimiento

que se quiere que aprenda aparezca como la solución óptima y posible de descubrir al

problema que se plantea.

Problemas donde los alumnos pongan en juego el conocimiento que poseen y que

ofreciéndoles algún tipo de dificultad los torne insuficientes y los obligue a producir nuevos

conocimientos modificando los que hasta entonces poseían.

Problemas adecuados para hacer evolucionar las concepciones del alumno, es decir,

formulados al menos en dos marcos.

Problemas con sentido para los alumnos, que contextualicen el conocimiento a enseñar.

Veamos algunos ejemplos:

Problema donde

el objeto de

estudio

(logaritmación)

aparece por

necesidad

Resolución en diferentes marcosProblema: Si encuentras el área de la figura sombreada de violeta, de dos modos distintos, descubrirás una importante propiedad algebraica.Resuelve : a) En el marco geométrico y, b) En el marco algebraico

b) Solución algebraica

Como se trata de operaciones y números se pueden expresar las relaciones en el marco algebraico.

Aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y a la diferencia, las propiedades conmutativa y asociativa del producto y la ley cancelativa: (A + B) . (A – B) = A.A – A.B + B.A – B.B = A2 - B2

Conclusión: El producto entre la suma y la diferencia de dos términos, es una diferencia entre los cuadrados de dichos términos.

El problema de los problemas: Para superar las tradicionales “hojas de cuentas”(Elaborado por el Prof. Leopoldo Varela para un curso de Matemática organizado por Pro-Ciencia en 1981.)

Situación problemática vinculada a lo cotidiano (extra-matemática).

8

PROPUESTA DE TRABAJO :

Lea el trabajo de DOUADY, R, “Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica Instrumento-objeto, juego de marcos”, en: En Cuaderno de didáctica de las matemáticas Nº3.

a) Especifique cómo define Douady la dialéctica instrumento-objeto. b) Explicite las fases de su secuencia de enseñanza.

c) Aplíquelas a la situación problemática vista, donde el objeto de estudio (logaritmación) aparece por necesidad.

PROPUESTA DE TRABAJO :

En la producción de Douady y Brousseau, la secuencia de enseñanza se descomponen en varias fases: Compárelas.Seleccione alguna situación problemática de la Matemática e identifique en ella las diferentes fases propuestas por Brousseau.

PROPUESTA DE TRABAJO : Expresen (justificando), sus acuerdos parciales, totales o

inexistentes respecto de las siguientes cuestiones:

La actividad matemática: La matemática es una habilidad humana a la que todos pueden acceder de manera placentera.

La reflexión: En el ámbito de nuestras clases, reflexionar sobre los problemas planteados significa comparar los procedimientos utilizados por distintos alumnos para resolver un mismo problema, detectar los errores, determinar la estrategia más eficaz de resolución, analizar las representaciones que se han utilizado, debatir sobre las argumentaciones, etc.

La provisoriedad de los conocimientos: La construcción de un concepto se realiza a lo largo de un tiempo, por lo tanto los conocimientos de los cuales se apropian nuestros alumnos son provisorios, incompletos, parcialmente eficaces y parcialmente inconexos.

Dialéctica instrumento-objeto: Los conocimientos implicados en las actividades matemáticas están impregnados de dos momentos: status instrumento y status objeto.

PROPUESTA DE TRABAJO : En grupos analizar los siguientes textos