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ENSEÑAR A RAZONAR CON TECNOLOGÍA
Marco Barrales Venegas
Colegio Alemán de Concepción – Universidad San Sebastián. Chile
INTRODUCCIÓN
Este artículo tiene por finalidad intercambiar ideas o abrir nuevas y profundas
discusiones sobre la adecuada utilización de las TIC en el aprendizaje de la matemática
y las ciencias. En la actualidad la tecnología ofrece cada vez más y mejores recursos
que abren nuevas perspectivas para lograr mejores resultados en los procesos de
enseñanza – aprendizaje en todos los niveles educativos. En sintonía con esto, es
fundamental que el profesor conozca y se familiarice con estas herramientas, en
especial con las calculadoras graficas para que sean incorporadas en su práctica
docente.
DESARROLLO
Sin duda, las condiciones en las que actualmente se lleva a cabo la enseñanza han
cambiado y siguen cambiando a una velocidad vertiginosa; nuestra sociedad se esta
reformulado, se introducen nuevas variables y no se detiene, en ocasiones esta situación
resulta agobiante para los que estamos inmerso en el mundo de la educación. Por lo
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cual los agentes de la educación también deberíamos cambiar, me refiero a los
maestros y adaptarnos a los nuevos escenarios, los jóvenes(educandos) no tienen
problemas para ajustar sus pensamientos, sus ideas, sus metas a estos cambios que la
sociedad demanda, no por nada son los llamados: nativos digítales. Otro agente también
importante en este proceso son los deseos y expectativas de los padres de familia y de
las empresas que han cambiado. Se están elaborando nuevos planes de enseñanza o
algunos ya han puesto en vigencia (ajustes curriculares). Las editoriales de textos
escolares reaccionan igual que como los fabricantes de software y calculadoras. La
enseñanza escolar no sólo está cuestionada, sino que también tiene que seguir
desarrollándose en concordancia con las necesidades actuales, si se quiere vencer los
problemas existentes y responder a los desafíos en la escuela y en la sociedad. En todo
esto, los responsables de la educación de nuestro país están muy de acuerdo. ¡Aprender
en lugar de ser instruido! Este es el lema que tiene que aplicarse en los hechos.
Conceptos como aprendizaje activo, aprendizaje orientado al descubrir, aprendizaje
para resolver problema, el trabajo en proyectos, la enseñanza abierta (que permite al
alumno desarrollar aptitudes y habilidades para una sociedad democrática y dirigida por
el desarrollo de la ciencia) y otros aspectos más, reflejan en gran medida las directrices
de de los actuales programas. Esto no significa, por cierto, que la enseñanza basada y
centrada en el profesor ya no sea válida, pero nuestra el éxito que están teniendo en los
últimos años los conceptos de aprendizaje anteriormente señalados y que enfatizan la
importancia y la urgencia del trabajo y aprendizaje asumidos con responsabilidad
propia por parte de los alumnos.
Me sumo a la frase de Diesterweg que dice: “Lo que el alumno mismo no ha elaborado
y no ha producido, no es parte de él, ni tampoco lo posee”
LOS IMPACTOS DE LA NUEVA TECNOLOGÍA
La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora gráfica (TI-
nspire) y software específicos (TI-nspire Edición profesor, Cabri, Derive, etc.), así
como el sistema Navigator, están comenzando a influir fuertemente en los intentos por
reorientar nuestra educación matemática adecuadamente, de forma que se aprovechen
al máximo de tales instrumentos.
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Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza y sus mismos
contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. El acento habrá que ponerlo,
también por esta razón, en la comprensión de los procesos matemáticos más bien que
en la ejecución de ciertas rutinas que en nuestra situación actual ocupan todavía gran
parte de la energía de nuestros alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad
del tiempo que en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su
preparación para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que
algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.
“La tecnología permite el acceso a un mayor número de conceptos matemáticos
y sus aplicaciones, y a modelos matemáticos tradicionalmente inaccesibles en los
niveles más elementales.
Como resultado, el uso apropiado de la tecnología facilita que más estudiantes
puedan aprender con más profundidad y usar más efectivamente un mayor número de
conceptos matemáticos.”
Una de las preguntas más frecuentes después de las conferencias, seminarios o
conversaciones sobre uso de tecnología es cómo plantear problemas y proponer tareas
usando estas herramientas. Muchos profesores y se podría decir todos, tienen una
colección de problemas que son sus favoritos.
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La respuesta es: no hay que cambiar todo; tome su propia colección de
problemas y trate de darles otro punto de vista. Así, en muchos casos se le da a los
problemas un giro en la dirección correcta para que adopten una nueva calidad,
enfocados en nuevos objetivos, con otras miradas o simplemente se leen de una manera
no tan común.
De acuerdo al nuevo enfoque metodológico impulsado por las Reformas
Educacionales, se orienta al proceso de construcción y adquisición de habilidades
intelectuales, en especial las relativas a procesos de abstracción y generalización,
formulación de conjeturas, proposición de encadenamientos argumentativos y la
utilización y análisis de modelos que permitan describir y predecir el comportamiento
de algunos fenómenos en diversos contextos.
Los planes y programas están orientados a realizar actividades relacionadas,
considerando en lo posible varios contenidos: Geometría, Aritmética, Álgebra,
Análisis, Estadística, Trigonometría,... también utilizando otras asignaturas.
Naturalmente al estudiar separadamente estos temas, a nuestros alumnos les es
difícil establecer las relaciones existentes entre ellos. Con la tecnología de TI-nspire
podemos trabajar en clase actividades de matemática integrando los ejes temáticos para
hacerles ver la matemática como un todo, podemos trabajar un problema en varios
ambientes y movernos entre ellos sin peder la idea básica. Además, haciendo problemas
de matemática integrada podemos hacer que los alumnos hagan investigaciones a
niveles de enseñanza escolar, bachillerato y universitaria.
¿QUÉ ENTENDEMOS POR INTEGRAR EJES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA?
Un argumento muy común en los docentes es que no les alcanza el tiempo
para estudiar a profundidad todos los ejes y contenidos del mapa curricular.
Aunque parezca mentira, si se toman problemas ricos, en la práctica cuesta
más aislar un eje que integrarlo con los demás. Sin embargo, en general, se persiste en
la modalidad de pensar la enseñanza fragmentada de los contenidos de cada eje a través
de tareas que no exigen o facilitan una mirada matemática más integradora.
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La educación matemática realista considera entre sus principios fundamentales
el de interconexión “La Educación Matemática Realista no hace profundas distinciones
entre los ejes curriculares, lo cual da una mayor coherencia a la enseñanza y hace
posibles distintos modos de matematizar las situaciones, bajo distintos modelos y
lenguajes, logrando alta coherencia a través del currículo. Freudenthal propicia la
interrelación entre ejes tan pronto, tanto tiempo y tan fuertemente como sea posible
(Freudenthal,1991:118). Justamente la resolución de situaciones problemáticas realistas
a menudo exige establecer conexión y la aplicación de un amplio rango de
comprensiones y herramientas matemáticas”.
Un buen problema, implica una red conceptual que lo hace accesible y rico
para la clase, en tanto promueve la búsqueda de distintas estrategias, el uso de distintos
leguajes matemáticos y demanda también, distintos contenidos de los ejes curriculares.
Probemos esto: busquemos un “buen problema”, trabajémoslo, y después de
“sacarle todo el jugo”, hagamos una lista de los contenidos trabajados. ¡Nos vamos a
sorprender!
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Sugerencia: Confeccionar una tabla de doble entrada en donde figuren los
problemas trabajados y los contenidos y/o ejes del currículum; entonces, cada vez que
se trabaje un “buen problema”, efectuar el registro en la tabla y, de esta manera, se
podrá realizar un control de los contenidos trabajados. Así, promediando el año, se
puede hacer un balance y evaluar aquello que haya que reforzar o falte trabajar.
No olvidar que razonar en matemática tiene que ver con: Justificar estrategias y
procedimientos, formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, usar propiedades y
relaciones, encontrar patrones y expresarlos matemáticamente. Utilizar argumentos
propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una
memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.
Ahora para lograr todo lo anterior debemos generar una atmósfera que estimule a los
estudiantes a explorar, comprobar y aplicar ideas. Esto implica que los maestros
escuchen con atención a sus estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso
extensivo y reflexivo de los materiales físicos que posibiliten la comprensión de ideas
abstractas.
Crear en el aula un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del
proceso docente. Toda afirmación hecha, tanto por el maestro como por los estudiantes,
debe estar abierta a posibles preguntas, reacciones y reelaboraciones por parte de los
demás.
A continuación se presenta un ejemplo de un problema clásico que promueve
la integración de temas curriculares:
Por ejemplo se pide construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de
cartón de 100 cm largo por 70 cm ancho, recortando
cuadrados iguales en las 4 esquinas y doblando
posteriormente por las prolongaciones de los lados de los
cuadrados, luego calcular el valor del lado de los
cuadrados recortados para que el volumen de la caja
obtenida sea máximo.
No es fácil la comprensión de este problema, si no
va acompañado de unos dibujos. Como tampoco lo es
asumir que el volumen resultante no es siempre el mismo. Un buen camino sería hacer la
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construcción, traer papel y tijeras, para luego medir con una buena regla y llegar a la
respuesta.
Otro camino sería hacer el dibujo en el plano y determinar las relaciones de los
lados de la caja y tomando valores distintos del cuadrado sacado en cada esquina hacer
una tabla de datos (lado del cuadrado versus volumen) y tantear la respuesta, es un buen
método y también con los datos podemos representar la grafica y observar la situación.
La solución o camino más normal el aplicar álgebra para determinar las relaciones y
luego nociones básicas de cálculo (derivadas) matemática formal. El camino más
atrayente para nuestros nativos digitales es usar una visualización digital o informática
de la situación, es decir aplicar un software o calculadora que les permita modificar la
figura y mediante una animación tener una visión global del problema (tablas, grafica,
dibujo, relaciones y ecuaciones), no es un trabajo fácil, pero los alumnos quedan
encantados.
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ESQUEMA de TRABAJO
Utilizando la aplicación de geometría en la TI-nspire, podemos recrear la
situación para encontrar la solución en forma geométrica y las respuestas a las
interrogantes del problema.
Con las herramientas de medidas
podemos calcular el valor del alto, el ancho
y el largo de la caja y con ello determinar el
volumen, luego utilizando la animación
podemos tantear la solución.
También acá podemos representar
la gráfica del lugar geométrico que se genera al modificar el alto o lado del cuadrado
que sacamos.
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Aprovechando las variables lado ( x alto) y volumen (V) en el ambiente
geométrico podemos construir una tabla de valores en forma automática y en forma
numérica podemos determinar la solución.
Con la nube de puntos que se generó en la tabla de datos podemos ahora entrar al
ambiente de estadística y determinar el modelo matemático o función en base a una
regresión matemática, lo cual nos da otras posibilidades de trabajo.
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Para terminar podemos trabajar en el ambiente calculadora y con la herramientas de
cálculo determinar la solución en forma algebraica y compararlo con las soluciones
anteriores.
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CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
1.FREUDENTHAL, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Kluwer Academic Publishers.
2.POLYA, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Trillas, México. [Versión en español de la
obra How to solve it publicada por Princeton University Prees en 1945].
3.CARRAL, M. (2002). Construcción de funciones con Cabri Géomètre. Memorias Segundo Encuentro
de Matemática. Colegio Alemán de Concepción. Chile.
4.KEYTON, M. (1996). 92 Geometric Explorationes on the TI-92. Dallas: Texas Instruments, Inc.
5.VONDER, Ch. y ENGEBRETSEN, A. (1996). Geometric Investigations for the Classroom. Dallas:
Texas Instruments, Inc.
6.T3 ESPAÑA. (1998). Cabri-géomètre en la calculadora TI-92. Madrid: Texas Instruments.
7.MORA, J. A. y MONZÓ, O. (1999) Coordenadas en Cabri Géomètre II, Un acercamiento al Análisis
y la Estadística. Memorias IX J.A.E.M. Lugo, España.
La resolución de problemas utilizando una metodología
activa (constructivista) y permitiendo el uso de
tecnología, calculadora grafica resulta motivadora y
entretenida, ya que los alumnos pueden experimentar
varios métodos (geométrico, analítico, gráfico,
numérico) para resolver un problema y avanzar a su
ritmo, lo cual les permite entender el concepto en forma
más profunda y tener una visión global de la situación a
estudiar.
Trabajando con esta metodología se logra no solo
adquirir competencias en el campo de la matemática,
sino también en el trabajo grupal de los estudiantes. La
discusión de las soluciones y la elección del mejor
método de investigación serán un significativo aporte al
aprendizaje del respeto a las opiniones ajenas y el
reconocimiento del error propio y el acierto ajeno como
también el respeto al que se equivoca.
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8.BARRALES, M. (2002). Geometría y Análisis con la TI-92. Memoria II Encuentro de Matemática.
Colegio Alemán de Concepción. Talleres Diario El Sur S.A.
9.GONZÁLEZ, J. M. (2003). Connecting Álgebra and Geometry Using Locus and the Voyage 200.
Memoria 15th Annual T3 International Conference. Nashville, Tennessee.
10. BARRALES, M. (2003). A way from Geometry to Analysis. Memoria 15th Annual T3 International
Conference. Nashville, Tennessee.
11. BARRALES, M. (2003). Construcción geométrica de la función seno. Revista Innovaciones
Educativas, Cuarta Edición. Texas Instruments.