elementos y estructura de un modelo
TRANSCRIPT
Dinámica de Sistemas
Elementos y estructura de un modelo.
Construyendo modelos
Profesor: Javier TorrealdeaCiencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Elementos y estructura de un modelo de Dinámica de Sistemas
Introducción
Dinámica de Sistemas es un nombre propio que designa un determinado método de construcción de modelos de sistemas sociales susceptibles de ser simulados por ordenador. El origen de esta técnica se remonta a finales de los años cincuenta y su implantación definitiva se produce durante la década de los sesenta. El desarrollo de este método se debe al trabajo de J. W. Forrester del Instituto Tecnológico de Massachussets, el cual por primera vez utilizó técnicas pertenecientes a las disciplinas de ingeniería automática para el estudio de procesos sociales y económicos. Forrester construyó un puente entre los métodos empleados por los ingenieros en problemas tecnológicos y los métodos específicos de estudio de sistemas sociales. Al igual que ocurre en la automática, la búsqueda de los lazos de realimentación que operan dentro de un sistema y la forma en que estos determinan el comportamiento dinámico del mismo constituye la piedra angular sobre la que descansa la Dinámica de Sistemas.
Un aspecto notable del método es su enorme capacidad descriptiva. Los modelos se representan mediante unos diagramas conocidos como diagramas de flujo. Un diagrama de flujo es una descripción gráfica del sistema en estudio construida de acuerdo a unas determinadas reglas. La claridad de estos diagramas en cuanto representación de la estructura global del sistema y de las relaciones entre las variables que lo constituyen es tan sorprendente que los modelos pueden ser presentados a no especialistas y ser inmediatamente entendidos. Ello hace posible su crítica y una confianza o desconfianza en los modelos fundamentada en un conocimiento completo de las hipótesis utilizadas en su construcción. Aspecto este nada desdeñable por cuanto, a menudo, aceptar la simulación por ordenador como medio para conocer la realidad suele ser más un tema de fe ciega depositada en los modelistas que de análisis racional de unos modelos que resultan completamente inaccesibles a la mayor parte de los estudiosos.
En los ámbitos en los que la Dinámica de Sistemas intenta construir modelos de funcionamiento no suele haber leyes de comportamiento perfectamente establecidas. Los sistemas objeto de su estudio no están descritos por leyes matemáticas de carácter cuantitativo preciso y aceptadas unánimemente por la comunidad científica. En estos sistemas sí que hay expertos que conocen bien aquello con lo que trabajan, pero no siempre hay unanimidad de criterio entre los propios expertos. Es de notar, por otra parte, que el reino de las matemáticas es tremendamente limitado dentro del espectro total del conocimiento. De hecho, la matemática sólo aparece en todo su esplendor dentro de las regiones más profundas de la física teórica.
No obstante, para que la Dinámica de Sistemas decida ocuparse de un problema, se requiere que, aun cuando no se conozcan leyes precisas que lo describan, los elementos que integran el sistema problemático posean atributos cuantificables y puedan llegar a ser establecidas relaciones funcionales de naturaleza cuantitativa entre dichos atributos. Así, con esta técnica, se han realizado aportaciones de interés en terrenos tan diversos como biología, economía, gestión empresarial, urbanismo, psicología y muchos otros.
2
La simulación por ordenador requiere dos tipos de actividad diferentes. La primera de ellas es la construcción del modelo, se trata de la fase de modelado. La segunda tarea consiste en la introducción del modelo en el ordenador y en la explotación del mismo de acuerdo con los objetivos que indicaron su construcción. Se trata de la fase de simulación propiamente dicha. Aunque ambas fases estén siempre presentes en todo proceso de simulación por ordenador, deseamos destacar una importante diferencia relativa al énfasis, a la importancia que se le asigna a cada una de estas dos fases, en función de los intereses concretos del investigador que recurre a la simulación por ordenador.
Pues bien, el modelador proveniente de disciplinas tecnológicas pone el énfasis en la segunda fase, en la ejecución y explotación del modelo. Este modelador construye modelos, no porque necesite el modelo, sino porque necesita ver que es lo que resulta en el ordenador. Para él, el modelo no supone ninguna aportación nueva al conocimiento. De hecho, conocía con toda precisión el modelo a utilizar antes de construirlo, conocía sus elementos constituyentes y las leyes precisas de interacción entre esos elementos. Lo que no podía hacer, sin ayuda del ordenador, era obtener la información cuantitativa precisa que de dichas leyes se infiere. Su interés es, precisamente, esa información exacta y ha recurrido al ordenador bien por la dificultad técnica de encontrar una solución analítica de su problema o bien porque encontrarla manualmente le hubiese llevado un tiempo desmedido. El énfasis, pues, está en la simulación, y en la simulación cuantitativa precisa. El modelo en sí no ha aportado conocimiento porque las leyes eran ya conocidas, se disponía ya de una teoría definida. La construcción del modelo ha podido requerir, que duda cabe, una gran destreza y habilidad por parte del modelador pero ningún conocimiento realmente nuevo ha aportado el modelo en sí.
Por el contrario, el modelador que trabaja con Dinámica de Sistemas tiene para con los modelos que produce una relación diametralmente opuesta. Es obvio que construye modelos para ser simulados por ordenador, pero esto no es lo más importante o, al menos, no es lo único importante. El modelador se encuentra con un problema perteneciente a un dominio poco estructurado. No existen leyes universalmente aceptadas sobre como funciona el sistema en el que se encuadra el problema en estudio. No se sabe con seguridad siquiera cuáles son los elementos de interés ni como están relacionados entre sí. Para poder avanzar reúne expertos en el tema y trata de unificar criterios, trata de llegar a hipótesis consensuadas con las que construir el modelo. A continuación introduce el modelo en el ordenador y éste establece las consecuencias dinámicas de las hipótesis utilizadas. Esto es nada más, y tampoco nada menos lo que muestra una ejecución de simulación. Muestra el resultado de unas hipótesis, las consecuencias dinámicas de las opiniones de expertos en el sistema bajo estudio. La mente humana es buena para establecer relaciones estructurales pero lo es menos para seguir las implicaciones dinámicas de tales relaciones. Así, constantemente podemos observar como expertos en una determinada materia, coincidiendo en las hipótesis de partida no están de acuerdo en las consecuencias de dichas hipótesis. El ordenador es bueno en esta tarea, determina las consecuencias de unas hipótesis de partida con unicidad.
Hay, por lo tanto, un gran énfasis en la construcción del modelo. Un modelo terminado supone un conocimiento que previamente no existía. Supone el descubrimiento de una especie de teoría de funcionamiento del sistema en estudio. Por lo tanto, la Dinámica de Sistemas es, antes que nada, un método de construcción de
3
modelos. Una vez construido el modelo, al simularlo en el ordenador, no se estará interesado en una respuesta cuantitativa precisa. La búsqueda de valores precisos de las variables no sería consistente ni con la realidad de los sistemas con los que habitualmente se trabaja ni con la filosofía general subyacente en la construcción del modelo. La información que se busca es más bien de tipo cualitativo tal como tendencias al crecimiento o decrecimiento, al equilibrio o la fluctuación y, especialmente, si cabe esperar y de qué pueden depender modificaciones radicales de estas tendencias.
El acuerdo entre expertos que es necesario para construir un modelo posee otra dimensión de gran dificultad. La vida es infinitamente rica en interacciones, detalles y matizaciones que confluyen en una determinada situación conflictiva. Un modelo de Dinámica de Sistemas se construye para arrojar alguna luz sobre los motivos de un comportamiento anómalo o simplemente, no siendo anómalo, sobre el que desearíamos actuar o comprender. De la multitud potencialmente infinita de implicaciones que pueden confluir sobre nuestro problema debemos seleccionar un conjunto que sea manejable y que sea responsable en lo fundamental del comportamiento en cuestión. O dicho en otras palabras, debemos extender nuestro consenso no solo a las hipótesis introducidas sino también a la suficiencia de las mismas, teniendo presente que necesariamente infinidad de posibles implicaciones deberán quedar fuera de nuestro modelo. Este es uno de los trabajos más delicados que debe realizar el modelador y significa que debe abordarse con gran tiento la tarea de definir el propósito del modelo y la frontera del mismo. A menudo se critican modelos porque no pueden dar cuenta de aspectos para los que no fueron construidos. No estará de más insistir en que no se puede evaluar un modelo mas que con referencia al propósito para el que ha sido construido. No podemos simplemente en abstracto decir que un modelo es bueno o es malo. La tarea más importante del modelador es definir con precisión el problema que pretende ser abordado por el modelo. En palabras de Forrester:
" La habilidad de la persona que decide usar un modelo se manifiesta inmediatamente. Su primera decisión es hacer preguntas pertinentes que tengan respuestas de interés. Las preguntas triviales no pueden menos que conducir a respuestas triviales. Las preguntas que son demasiado generales no sirven para centrar el problema. Las preguntas que son demasiado restrictivas pueden confinar la investigación en regiones que no contienen ninguna respuesta. Las preguntas que son imposibles de contestar solo pueden conducir a desencanto".
Elementos y estructura de un modelo
En esta sección presentamos cómo es la estructura de un modelo de Dinámica de Sistemas. En el primer apartado se hace una presentación somera de los componentes de un modelo la cual se complementa, en el segundo apartado, con un comentario sobre su global.
Diagramas causales
Los primeros estadios de la conceptualización de un modelo requieren definir el propósito del mismo. En función de ello hay decidir qué elementos han de ser tomados en consideración y cuáles de entre ellos están relacionados de forma que lo que ocurre en uno afecta de manera inmediata al otro. Por cuanto nuestro interés se centra en la
4
variación en el tiempo del valor cuantitativo atribuido a cada elemento (variable), las influencias buscadas son las que su manifestación consista en que una variable aumente o disminuya en función de que otra, de la cual depende, experimente algún tipo de variación. Una forma natural de representar elementos y relaciones es mediante un grafo orientado. A veces, cuando el sentido de la influencia es conocido, se suele incluir un signo más o un signo menos que hace alusión a una influencia del mismo sentido o de sentido opuesto según el caso. Por ejemplo, si la densidad de coches aumenta o disminuye cabe esperar que el numero de accidentes también aumente o disminuya respectivamente. Existe, por tanto, una influencia en el mismo sentido. Por el contrario, las ventas de coches seguramente dependerán del precio de los mismos pero la influencia será esta vez de sentido opuesto.
Densidad de coches Accidentes
Ventas de cochesPrecio -
+
Fig.1. Dependencia causal entre variables
Establecer un grafo en el que aparezcan representados todos los elementos que componen el modelo junto con sus relaciones supone un paso importante en la definición de la estructura del mismo. Un grafo de esas características se conoce como diagrama causal o de influencias. No obstante, metodológicamente no es recomendable la construcción de un diagrama causal exhaustivo como primera fase en la construcción de un modelo aun cuando diagramas parciales o globales a alto nivel jerárquico puedan ser buenos como mecanismo de ayuda a la conceptualización. Sin embargo, de cara a facilitar la comprensión de las hipótesis introducidas en el modelo, es de gran ayuda disponer de un diagrama causal exhaustivo para la presentación del mismo a un público interesado. Dicho diagrama causal siempre puede deducirse sin dificultad una vez finalizada la construcción del modelo.
Lazos realimentados
El tipo de problemas en los que habitualmente trabaja la Dinámica de Sistemas se caracteriza porque en éstos siempre aparecen relaciones causales estructuradas en bucles cerrados. Ello no es sorprendente por cuanto detrás de un bucle cerrado de relaciones causales subyace el principio filosófico de que nada se hace impunemente. Una acción ejecutada por o sobre un elemento del bucle se propaga por el mismo de manera que tarde o temprano esa acción repercute sobre sus propios valores futuros. Esto es habitual en las organizaciones en las que el hombre es una parte más de las mismas, las cuales constituyen en buena medida nuestro principal objeto de estudio. Conviene distinguir dos tipos de lazos realimentados, lazos positivos y negativos. Positivos son aquellos en los que una variación en un elemento se ve reforzada por las influencias mutuas entre los elementos. Por el contrario, en los lazos negativos una variación en cualquiera de sus
5
elementos tiende a ser contrarrestada por las influencias en sentido contrario que se generan en el lazo. La figura 2 muestra un ejemplo de ambos tipos de lazo.
Población
nacimientos
+
+
Población
muertes
+
-
Fig.2. Lazos positivo y negativo
Es importante notar que dinámicamente un lazo positivo tiende a producir situaciones de crecimiento o decrecimiento ilimitado, mientras que un lazo negativo tiende a producir equilibrio. Desde el punto de vista de la causalidad un modelo está siempre estructurado como un conjunto de lazos positivos y negativos interconectados entre sí. El comportamiento dinámico del mismo dependerá de cómo se vaya produciendo la alternancia en el dominio entre la tendencia a crecer o decrecer de los unos y la tendencia al equilibrio de los otros.
Tipos de variables
Distinguiremos tres tipos de variables en función de su propio cometido en el modelo. Variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares.
Los niveles suponen la acumulación en el tiempo de una cierta magnitud. Son las variables de estado del sistema, en cuanto que los valores que toman determinan la situación en la que se encuentra el mismo.
6
Los flujos expresan de manera explicita la variación por unidad de tiempo de los niveles. No es siempre inmediato decidir cuál de los tres tipos será el apropiado para representar a un elemento determinado del sistema real en estudio. Pensar en un cierto nivel de agua y en un grifo que lo abastece es una buena metáfora para mejor comprender los significados respectivos de estos dos tipos de variable.
Las variables auxiliares son, como su nombre indica, variables de ayuda en el modelo. Su papel auxiliar consiste en colaborar en la definición de las variables de flujo y en documentar el modelo haciéndolo más comprensible.
Además de las variables reseñadas, en todo modelo habrá también parámetros, o sea, variables que se mantienen constantes durante todo el horizonte temporal de ejecución del modelo.
Organización de las variables y parámetros. Representación gráfica
Toda variable de nivel va unida a una o más variables de flujo las cuales son responsables de la variación de la primera. De hecho, un nivel sólo cambia en cuanto se llena o vacía por los flujos que le afectan. Dejaremos que sean las figuras las que muestren al lector la representación gráfica de los componentes de un diagrama de flujo.
Fig.3. Organización de las variables de Nivel y Flujo en un diagrama
En la figura 3 puede verse un diagrama de flujo en abstracto y un ejemplo de un posible fragmento de modelo concreto con idéntica estructura. En él aparece una variable de nivel junto con una variable de flujo que lo llena. Matemáticamente la variable de flujo supone la variación por unidad de tiempo del nivel y se representa con un cierto aspecto de válvula que está controlando el fluir de la magnitud que se acumula en el nivel. Su valor se establece en función de una variable auxiliar y de un parámetro. A su vez, la variable auxiliar depende del nivel y de otro parámetro. Las líneas de información representan la dirección de las relaciones de dependencia entre las variables.
7
NivelFlujo
Auxiliar
Parámetro 1
Parámetro 2
ProfesoresContratación
Diferencia
Profesoresnecesarios
Tiempo decontratación
En todo sistema dinámico autónomo, la variación de sus estados depende de los valores en que se encuentran dichos estados. Resulta pues natural que un modelo mantenga la siguiente organización:
I. Las líneas de información tienen siempre como punto de partida inicial los niveles o los parámetros (al fin y al cabo un parámetro no tiene otra misión que la de informar de su valor) y como punto de destino final los flujos. Dicho de otra manera, las variables de flujo son función de los niveles y de los parámetros.
II. Las variables auxiliares forman parte de los caminos de información. De hecho, usualmente aparecerán variables auxiliares entre la información que arranca en los niveles y su destino final en los flujos. Estas variables van configurando la función que finalmente definirá a un flujo, de manera que documentan en forma comprensible cada paso en el tratamiento de la información que determina la definición de la variable de flujo.
III. Por lo dicho, no tiene sentido un bucle cerrado construido únicamente con variables auxiliares. En todo lazo cerrado debe de aparecer un nivel y, en consecuencia, al menos un flujo.
IV. Cuando un sistema no sea autónomo, es decir, cuando existan variables exógenas influyendo en el comportamiento del mismo, una o más líneas de información podrán evidentemente, y excepcionalmente, tener su origen en una variable auxiliar. Si así no fuera, la variable exógena no podría influir de ninguna manera en el modelo.
La figura 4 muestra cuatro diagramas, tres de ellos incorrectos, con los que se pretende ilustrar las ideas comentadas.
El diagrama a) es correcto. En el diagrama b) la información se genera en el flujo para terminar en el nivel lo cual es incorrecto. Podríamos aceptar como posible la toma de información desde un flujo. Si bien no es práctica recomendable, cabe pensar que el valor de un flujo pueda interesar en otra parte del sistema. No obstante, el hecho de informar a un nivel es algo carente de sentido puesto que un nivel no es un punto de toma de decisiones. Un nivel solo se ve afectado por la entrada o salida en el mismo de un flujo real de una magnitud que le hace aumentar o disminuir según el caso. El diagrama c) es completamente absurdo. Un flujo llenando una variable auxiliar es un dibujo humorístico para una persona familiarizada con los diagramas de Forrester. Es algo así como una manguera llenando de gasolina el medidor en lugar del depósito. El diagrama d) supone un circulo vicioso que sólo es posible cuando se verifique la igualdad entre todas las variables. No puede configurarse un lazo realimentado sólo con variables auxiliares.
8
NivelFlujo
Auxiliar
Parámetro 1
Parámetro 2
(a)
9
Nivel
Flujo
Parámetro
(b)
10
Flujo 1
Nivel Auxiliar
Flujo 2
(c)
Auxiliar1Auxiliar 2
Auxiliar 3
(d)
11
Fig. 4. Algunos errores posibles en el diagrama de flujo, (a) es correcto.
Subsistemas conservativos
En un modelo hay que atribuir dimensiones a sus variables de manera que todas ellas se midan en unas determinadas unidades de medida. Si los niveles se miden en unas ciertas unidades, sus flujos asociados deberán medirse en esas mismas unidades partido tiempo.
Una organización típica es aquella en la que un flujo está ligado a dos niveles de manera que actúa como una válvula de paso entre los mismos. Lo que sale de uno de ellos entra en el otro. Pues bien, una regla fundamental de construcción de diagramas de flujo exige que no puedan mezclarse distintas unidades. De esta manera los niveles se asocian entre sí en cascada o en paralelo formando estructuras por las que solo circula el mismo tipo de unidades bajo el control de flujos que se miden en esas mismas unidades por unidad de tiempo. Esas estructuras son conservativas en el sentido de que si incluimos en el balance los sumideros y las fuentes la cantidad total de la magnitud acumulada en las mismas se conserva. La figura 5 muestra un par de subsistemas conservativos. Nótese que los subsistemas conservativos están por su propia naturaleza aislados unos de otros. La única conexión posible entre ellos, y, además, necesaria, es a través de líneas de información que conecten niveles de un subsistema con flujos del otro.
12
Personal enformación
Personalproduciendo
Contratación
Aprendizaje
Despidos
Materialbruto
Materialelaborado
producción
Productividad
( personas/mes)
( personas/mes)
( personas/mes)
( unidades)
( unidades)
( personas)
( personas)( unidades/mes)
( unidades/persona*mes)
Fig.5. Dos subsistemas conservativos unidos por líneas de información
Ecuaciones
Todas las relaciones entre las variables deben ser explícitamente cuantificadas. La forma más frecuente de establecer la relación entre dos variables es mediante una expresión analítica que proporciona la función que relaciona ambas variables. Poco más puede decirse en abstracto a cerca de las ecuaciones por cuanto dependerán muy específicamente de cada situación particular. Conviene, no obstante, hacer un mínimo comentario referente a cada tipo de variable.
Las ecuaciones de variables auxiliares pueden adoptar cualquier forma analítica si bien, por su propia naturaleza de variables añadidas para simplificar la descripción, no tienen porque ser expresiones complicadas. Muchas veces no conoceremos la relación algebraica precisa pero podremos tener un conocimiento expresable mediante una gráfica. Esta gráfica se traducirá en una tabla en el momento de su implementación. Esta forma de establecer dependencias es muy útil cuando nuestro conocimiento de la relación entre dos variables auxiliares tiene un carácter experimental y, también, cuando desconociendo la naturaleza exacta de la relación deseamos introducir hipótesis plausibles para la misma.
13
Poblacióneuskaldun
Población total
Relaciónpoblacióneuskaldún
Porcentajeuso
euskara
Tabla con losvalores
Fig. 6. Una ecuación auxiliar implementada mediante una tabla de valores.
Las ecuaciones más problemáticas de decidir siempre son las correspondientes a algunos flujos. En particular a aquellos que definen las políticas del sistema. Téngase en cuenta que los cambios en el estado del sistema corresponden a los flujos. Por ello, los flujos son los puntos del modelo donde se plasman las decisiones importantes. Cuál va a ser la política de contratación, cuál la de incremento de la inversión, de que dependen los contagios, son ejemplos de flujos típicos. Una buena parte del esfuerzo de construcción del modelo deberá dedicarse a la determinación de estos flujos.
Las ecuaciones correspondientes a los niveles son siempre iguales. Un nivel es siempre y por definición la integración de todos los flujos que le afectan. Tal es así, que estas ecuaciones pueden ser escritas automáticamente por la máquina si se dispone del compilador adecuado.
De esta manera, una vez establecidas todas las relaciones, si especificamos los valores que inicialmente tienen los niveles y atribuimos valores a los parámetros dispondremos de un conjunto de ecuaciones que el ordenador integrará numéricamente para proporcionarnos la evolución temporal de las variables. Dicho conjunto de ecuaciones es el modelo matemático propiamente dicho. Existen compiladores de simulación específicos de Dinámica de Sistemas.
Resumen
Un modelo de Dinámica de Sistemas es en última instancia un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. En cualquier caso, el modelador sin formación específica no tiene por qué reconocer el modelo matemático subyacente. El
14
Graph Lookup - Tabla con los valores
100
00 1
esfuerzo del método se centra precisamente en servir de intermediario entre el mundo real y la representación matemática del mismo que el ordenador va a utilizar para calcular las evoluciones temporales que consideremos de interés.
Situados en la perspectiva del modelista, su primera tarea consiste en determinar cuáles son los elementos que integran el modelo de acuerdo con los objetivos establecidos y decidir cuáles de ellos están relacionados entre sí. En esta tarea puede ser de ayuda ir construyendo un diagrama que muestre los elementos e ir especificando aquellos que están relacionados entre sí. Un diagrama de estas características se conoce como diagrama causal. En un diagrama causal la naturaleza de la relación entre los elementos no está todavía explicitada, se trata de una fase inicial en la conceptualización del modelo en la que se establece qué elementos pueden estar directamente relacionados y cuáles no. Simultáneamente, no después de terminar el diagrama causal, se debe iniciar la clasificación de las variables que aparecen en el modelo. De acuerdo con las reglas de modelado de Dinámica de Sistemas hay dos tipos importantes de variables que deben ser discernidas. Las variables de estado del sistema, llamadas niveles y las variables responsables del cambio de las variables de estado, llamadas flujos. El modelador debe de encajar los niveles con los flujos responsables del cambio de los mismos construyendo subsistemas por los que circula un flujo continuo de una misma materia desde un nivel a otro o entre un nivel y un sumidero o fuente. A estos subsistemas, en los que la variación en un nivel se produce a expensas de una variación opuesta en otro nivel la cuál está regulada por flujos que a modo de válvulas controlan el fluir de una magnitud entre niveles, les llamamos subsistemas conservativos. El modelador debe, además, buscar los lazos de realimentación que definen los valores de las variables de flujo en función de los niveles y las tomas de información que relacionan entre sí los diversos subsistemas conservativos del modelo. A continuación debe de precisar las relaciones entre las variables las cuales se establecerán mediante ecuaciones o relaciones funcionales de naturaleza experimental o hipotética. Las ecuaciones para los niveles resultan inmediatas de establecer por cuanto suponen la integración de los flujos que les afectan a partir de un determinado valor inicial. Para escribir las ecuaciones de los flujos el modelista se valdrá de ecuaciones auxiliares con idea de documentar la dependencia de los flujos respecto de los niveles. Deberán, también, especificarse valores de los parámetros.
Bibliografía
Business Dynamics
John D. Sterman, MacGraw-Hill, 2000.
Modelling the Environment
Andrew Ford, Island Press, 1999.
Introduction to computer simulation: a system dynamics modelling approach
N. Roberts et al., Addison Wesley, 1983.
15
Dinámica de Sistemas
J. Aracil y A. Gordillo, Alianza Universidad, 1997.
World Dynamics
J.W. Forrester-Mit Press, 1974.
Software project dynamics; an integrated approach
T.Abdel-Hamid y S.E. Madnick-Prentice Hall 1991.
Software para Dinámica de Sistemas: VensimVentana Systems,Inc., Harvard, Massachusetts.
16
Construyendo modelos
Ejercicio 1
Construye un diagrama de flujo (representación de Forrester) y escribe ecuaciones que
se ajusten al contenido semántico que representa cada uno de los siguientes diagramas
causales. Simula cada modelo pero, antes de ver el resultado, dibuja en una hoja de
papel lo que esperas que ocurra. Familiarízate con Vensim.
precio
cambio en el precio
tasa de inflación
+
+
+
a)
temperatura café
cambio temperatura
temperatura habitación
constante café
diferencia de temperaturas+
-
+
+-
b)
17
población
muertes
nacimientos
tasa de nacimiento
+
-
+
-
+
alimento per cápita
producción anual de alimento
disponibilidad de alimento
tasa de mortalidad
+-
+
+
+
alimento normal per cápita
-c)
Ejercicio 2
Mientras haya oportunidades de empleo en un núcleo urbano gente se ve atraída hacia el
lugar. El crecimiento de la población, debido a la inmigración, tiende a producir un
incremento en el volumen de negocios dentro del área. La expansión económica
adicional crea oportunidades de empleo adicionales.
Mientras dura el crecimiento económico, el crecimiento de la población tiende a
producir un crecimiento de casas a ritmo elevado para poder acomodar a toda la
población. Suponiendo que sólo se dispone de una extensión fija de terreno para uso
comercial y de viviendas el incremento de casas y locales comerciales hace que
disminuya el terreno para la posible expansión comercial del área. Conforme la falta de
terreno comienza a dificultar el crecimiento, las oportunidades de empleo disminuyen.
La disminución de oportunidades de empleo detiene la inmigración y el incremento de la
población se frena.
Se pide:
18
Medita y construye un diagrama de flujo y ecuaciones. Dibuja la evolución temporal
esperable.
19
Ejercicio 3
Se trata de estudiar la conservación de una determinada población de ballenas sometida
a una extinción importante por acción de la pesca. Si la población se encuentra por
debajo de un cierto umbral se tiene una situación de subpoblación. En esas condiciones
las tasas de nacimiento bajan debido a que por la falta de densidad es difícil que se
encuentren parejas, falta de protección para las crías etc.
Si la población se encuentra por encima de otro umbral máximo se tiene una situación
de superpoblación que determina problemas de densidad relativamente elevada, por lo
que los nacimientos totales tienden a estabilizarse mientras que las tasas de mortalidad
tienden a aumentar.
Se supone que la mortalidad debida a la pesca es proporcional a la población total, pero
que debido al aumento de eficacia en la tecnología pesquera los sistemas de detección
cada vez más sofisticados pueden ir aumentando la constante de proporcionalidad.
Se pide:
¿ Qué salida esperas obtener del ordenador? Dibújala.
1. Diagrama de flujo y ecuaciones. Se supone que podrás acceder a la
información que necesites. No obstante, a falta de información exacta
procura inventarte unos valores razonables para los parámetros que necesites.
2. Si un año especialmente adverso muriesen un numero importante de
ballenas, sea por motivos naturales o por fortuna de la flota pesquera, ¿ qué
pasaría? Dibújalo y compruébalo en la máquina.
20
Ejercicio 3. Ballenas
Ballenas
Densidad relativa
Efecto en nacimientos Efecto en muertes
Nacimientos Muertes
Pesca
Tasa de nacimientosTasa de muertes
Tasa normal muertesTasa normal nacimientos
Constante de pescaBallenasini
Extension
nacimientosfun muertesfun
Densidad
Densidad de referencia
Catastrofe
activador pesca
Graph for Ballenas
4 M
3 M
2 M
1 M
0
33
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3
2 2
22 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
1
1
11
11
1 1 1 11850 1880 1910 1940 1970 2000
Time (años)
Ballenas : pesca08 ballenas1 1 1 1 1
Ballenas : pesca06 ballenas2 2 2 2 2
Ballenas : pesca03 ballenas3 3 3 3 3
activador pesca=STEP(1,1870)
Units: **undefined**
21
Ballenas = INTEG(+Nacimientos-Muertes-Pesca,Ballenasini)Units: ballenas
Ballenasini=3.1821e+006
Units: ballenas
Catastrofe=(1/TIME STEP)*PULSE(1940,TIME STEP)
Units: ballenas/año
Constante de pesca=0.03
Units: uno/año
Densidad=Ballenas/Extension
Units: ballenas/(kmetro*kmetro)
Densidad de referencia=0.01
Units: ballenas/(kmetro*kmetro)
Densidad relativa=Densidad/Densidad de referencia
Units: adimensional
Efecto en muertes = muertesfun(Densidad relativa)Units: **undefined**
Efecto en nacimientos = nacimientosfun(Densidad relativa)Units: **undefined**
Extension= 1e+008
Units: kmetro*kmetro
FINAL TIME = 2000Units: años
INITIAL TIME = 1850Units: años
Muertes= Ballenas*Tasa de muertes+0.4*Ballenas*Catastrofe
Units: ballenas/año
muertesfun([(0,0)-(4,5)],(0,1),(0.5,1),(1,1),(2,1),(2.22356,1.09649),
(2.41692,1.25),(2.54985,1.42544),(4,5))Units: adimensional
Nacimientos = Ballenas*Tasa de nacimientosUnits: ballenas/año
nacimientosfun([(0,0)-(4,2)],(0,0.5),(0.108761,0.719298),(0.217523,0.877193),
(0.338369,0.964912
22
),(0.5,1),(2,1),(2.18731,0.982456),(2.3565,0.938596),(2.53776,0.868421),(2.70695,0.798246),(4,0.25))Units: adimensional
PescaUnits: **undefined**
SAVEPER = 1Units: años
Tasa de muertes = Efecto en muertes*Tasa normal muertesUnits: uno/año
Tasa de nacimientos =Efecto en nacimientos*Tasa normal nacimientosUnits: uno/año
Tasa normal muertes=1/70
Units: uno/año
Tasa normal nacimientos= 1/14
Units: uno/año
TIME STEP = 0.0625Units: años
23
Graph Lookup - muertesfun
5
00 4
Graph Lookup - nacimientosfun
2
00 4
Ejercicio 4
Introducción de un producto en el mercado
Un distribuidor de un producto mantiene una política agresiva de introducción del mismo en el mercado. Para ello destina una parte del beneficio de las ventas a incrementar el número de vendedores. Pensemos, por ejemplo, que vende ordenadores a un determinado precio que suponemos constante y que de cada ordenador vendido una parte del beneficio se destina a mantener vendedores. En conjunto, si sabemos cuál es el coste de un vendedor y sabemos en un momento dado cuántos son los pedidos totales que ha recibido la empresa sabremos cuál es el número indicado de vendedores, es decir, aquellos que pueden mantenerse de acuerdo al presupuesto de que se dispone para vendedores. El número real de vendedores tiende a ser el de vendedores indicados pero, por motivos de que hay que contratar a las personas adecuadas, se tarda un tiempo en el ajuste.
Los pedidos que la empresa consigue dependen, naturalmente, del número de vendedores y de la eficacia en las ventas de estos. Por eficacia en las ventas de un vendedor entendemos el número de pedidos que es capaz de conseguir por unidad de tiempo. En general la eficacia en las ventas dependerá de factores tales como la habilidad del vendedor, la calidad del producto, los precios y la presión de la competencia etc. No obstante, a efectos de este ejercicio, supondremos todos estos factores fijos y que determinan una eficacia media idéntica para cada vendedor que tan sólo depende del plazo de entrega. El plazo nominal de entrega, y por otra parte mínimo, es dos meses. En estas condiciones un vendedor puede llegar a conseguir cerca de 40 pedidos por mes. Conforme el plazo de entrega aumenta los potenciales compradores irán redirigiendo su compra hacia productos de la competencia. Debe notarse, y esto es importante, que no se conoce nunca el plazo real de entrega. Posiblemente se le ha dicho al cliente, y de buena fe, que va a ser dos meses y luego resulta que son cuatro. Pero, el plazo de entrega que influye en la eficacia en las ventas no es el plazo real de entrega, sino el plazo conocido. El plazo de entrega se va conociendo con retraso y es este plazo conocido (el real retrasado) el responsable del cambio de actitud del potencial comprador.
Conforme los vendedores consiguen pedidos, y en la medida en que no se satisfacen instantáneamente sino con un cierto retraso, estos se acumulan como pedidos pendientes. La empresa tiene una capacidad límite de distribución de 2000 unidades por mes. Mientras los pedidos a satisfacer por unidad de tiempo no excedan esta capacidad límite la empresa podrá mantener su retraso nominal de dos meses en la entrega. Si más y más pedidos deben ser satisfechos debido al aumento del número de vendedores, llegará un momento en el que, al no poder suministrar a la velocidad requerida, el plazo en la entrega aumentará. Este es de hecho el motivo del aumento del plazo, no un capricho, sino la imposibilidad de dar abasto.
Supondremos un número inicial de vendedores igual a 10. Un número inicial de pedidos pendientes igual a 800. La parte del beneficio en ventas que en definitiva se destina a mantener vendedores 100 Euros. El coste total de un vendedor 2000 Euros/mes. El tiempo para que el retraso real en la entrega se llegue a conocer 6 meses. El tiempo de ajuste del número de vendedores a los que requiere el mercado 20 meses.
24
Se pide:
Meditar un rato sobre la estructura global que se está describiendo. ¿Qué comportamiento cabe esperar?
Construye un modelo preciso. Simúlalo y estudia cómo se comporta al variar algún parámetro al que pueda ser sensible.
25
Vendedores
Contratación
Tiempo de ajuste de vendedores
Vendedores indicados
Presupuesto
Coste por vendedor
Pedidos
<Eficacia en las ventas>
Fracción destinada a vendedores
vendedoresini
Lazo positivo de vendedores
PedidosPendientes
Lazo negativo de eficacia en ventas
Pedidos salientes
Eficacia en las ventas
Entrega tabla
Velocidad de entrega
Plazo de entrega
Tiempo de reconocimiento
Plazo conocido
Flujo percepción
Eficacia tabla
Pedidos
<Vendedores>
Plazo normal
Límite pendientes
Pedidos entrantes
26
27
50 pedidos/(persona*mes)150 personas
4,000 pedidos/mes
30 pedidos/(persona*mes)75 personas
2,000 pedidos/mes
10 pedidos/(persona*mes)0 personas0 pedidos/mes
3
3
3
3
3
3
3
3
3
22
2
2
2
2
2 22
1 1 1 1 11
1
1 1
0 16 32 48 64Time (meses)
Eficacia en las ventas : Nominal pedidos/(persona*mes)1 1 1
Vendedores : Nominal personas2 2 2 2 2 2 2
Pedidos : Nominal pedidos/mes3 3 3 3 3 3 3
50 pedidos/(persona*mes)150 personas
4,000 pedidos/mes
30 pedidos/(persona*mes)75 personas
2,000 pedidos/mes
10 pedidos/(persona*mes)0 personas0 pedidos/mes
3
3
3
3
3
3
33
3
2
2
2
22
2 2
221 1 1
1
1
1
1
1
1
0 16 32 48 64Time (meses)
Eficacia en las ventas : ajustevende 10 pedidos/(persona*mes)1 1
Vendedores : ajustevende 10 personas2 2 2 2 2 2
Pedidos : ajustevende 10 pedidos/mes3 3 3 3 3 3
Simulation Control Paramaters
FINAL TIME = 72Units: meses
INITIAL TIME = 0Units: meses
SAVEPER = 0.0625Units: meses
TIME STEP = 0.0625Units: meses
******************************** .eficacia********************************
Eficacia en las ventas = LOOKUP EXTRAPOLATE ( Eficacia tabla , Plazo conocido / Plazo normal )
Units: pedidos/(persona*mes)
Eficacia tabla ( [(0,0)-(5,60)],(0,45),(0.513814,42.8873),(1,40),(1.77881,34.6479) ,(2.56129,28.3099),(5,4) )
Units: pedidos/(persona*mes)
Entrega tabla ( [(0,0)-(2,4000)],(0,0),(0.8,1600),(0.92268,1788.73),(1.00515,1901.41) ,(1.18041,1971.83),(1.5,2000),(2,2000) )
Units: pedidos/mes
Flujo percepción = ( Plazo de entrega - Plazo conocido ) / Tiempo de reconocimiento
Units: meses/mes
Límite pendientes = 4000Units: pedidos
Pedidos = Eficacia en las ventas * Vendedores Units: pedidos/mes
Pedidos entrantes = Pedidos Units: pedidos/mes
Pedidos Pendientes = INTEG( Pedidos entrantes - Pedidos salientes , 800) Units: pedidos
Pedidos salientes = Velocidad de entrega Units: pedidos/mes
Plazo conocido = INTEG( Flujo percepción , 2) Units: meses
28
15
11.25
7.5
3.75
0
2 2 2 2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
11
1
1
1
0 12 24 36 48 60 72Time (meses)
Plazo conocido : ajustevende 10 meses1 1 1 1 1 1
Plazo de entrega : ajustevende 10 meses2 2 2 2 2 2
Plazo de entrega = Pedidos Pendientes / Velocidad de entrega Units: meses
Plazo normal = 2Units: meses
Tiempo de reconocimiento = 6Units: meses
Velocidad de entrega = Entrega tabla ( Pedidos Pendientes / Límite pendientes )
Units: pedidos/mes
******************************** .Vendedor********************************Contratación = ( Vendedores indicados - Vendedores ) / Tiempo de ajuste de vendedores
Units: personas/mes
Coste por vendedor = 2000Units: euros/(persona*mes)
Fracción destinada a vendedores = 100Units: euros/pedido
Presupuesto = Fracción destinada a vendedores * Pedidos Units: euros/mes
Tiempo de ajuste de vendedores = 20Units: meses
Vendedores = INTEG( Contratación , vendedoresini ) Units: personas
Vendedores indicados = Presupuesto / Coste por vendedor Units: personas
vendedoresini = 10
Units: personas
29
Ejercicio 5. Meseta Kaibab
La meseta Kaibab tiene una extensión de unos 727000 acres y está situada en la parte norte del Gran Cañón en Arizona. Con anterioridad a 1907 existía un rebaño de ciervos de aproximadamente 4000 individuos. En 1907 se estableció una recompensa por la caza de pumas, lobos y coyotes, todos ellos predadores naturales de ciervos. En un periodo de unos 15 ó 20 años hubo una aniquilación considerable de estos predadores y, consecuentemente un inmediato incremento en la población de ciervos.Para 1918 la población de ciervos había aumentado más de 10 veces. El evidente exceso de animales en la zona dio lugar a la primera de una serie de advertencias, que investigadores competentes realizaron, en el sentido de una necesidad urgente de cambiar la política de recompensas, o de llevar a cabo un rápido proceso de reducción de ciervos, sacándolos de la región.En ausencia de predación por sus predadores naturales, o por el hombre como cazador, el rebaño alcanzó 100000 individuos en 1924. Debido a la falta de comida suficiente el 60% del rebaño murió en dos inviernos sucesivos. La destrucción de tanta vegetación, debida al exceso de pastoreo, impidió la recuperación de la reserva de alimentos hasta el punto de que la muerte de nuevos animales y la reducción de la tasa de natalidad condujo a una población de la mitad de la que teóricamente podía haber sido mantenida.
30
Se pide:
a) Meditar sobre el tipo de estructura que puede ser responsable del comportamiento histórico observado.
b) Construye un modelo de Dinámica de Sistemas y utilízalo para simular diversas hipótesis que desees estudiar.
31
Modelo Kaibab
CiervosHierba Predadores
Tiempo recuperación +
-
-
Ciervos
Crecimiento ciervos
Tasa ciervos
Ciervos
Disponibilidad alimento
<Hierba>
Alimento per cápita
Alimento necesario
f tasa ciervo
Predación <Ciervos matados>
<Predadores>
32
Predadores
Crecimiento predadores
Tasa predadores
Ciervos matados
Densidad ciervos
Extensión <Ciervos>
f tasa predadores
Tasa caza
f ciervos matados
Caza
Predadores
Hierba
Pastoreo
<Ciervos>
Hierba comida ciervo
<Disponibilidad alimento>
f hierba comida
Crecimiento hierba
Capacidad hierba
Tiempo crecimiento
Salud terrenof tiempo creci
Efecto heladas
<Time>f heladasHierba
******************************** .Ciervos********************************
Alimento necesario = 3
Alimento per cápita = Hierba / Ciervos
Capacidad hierba = 540000
33
Caza = Predadores * Tasa caza * STEP ( 1, 1907)
Ciervos = INTEG( Crecimiento ciervos - Predación , 4000)
Ciervos matados = f ciervos matados ( Densidad ciervos )
Crecimiento ciervos = Ciervos * Tasa ciervos
Crecimiento hierba = Efecto heladas * ( Capacidad hierba - Hierba ) / Tiempo crecimiento
Crecimiento predadores = Predadores * Tasa predadores
Densidad ciervos = Ciervos / Extensión
Disponibilidad alimento = Alimento per cápita / Alimento necesario
Efecto heladas = f heladas ( Time )
Extensión = 800000
f ciervos matados ( [(0,0)-(0.1,120)],(0,0),(0.01,10),(0.0181269,21.7105),(0.0283988,38.8158) ,(0.041994,66.4474),(0.0510574,82.8947),(0.0598187,92.7632),(0.0728097,98.6842) ,(0.1,100) )
f heladas ( [(1900,0)-(1950,1)],(1900,1),(1931.57,1),(1931.57,0.3),(1934,0.3) ,(1934,0.5),(1934,0.5),(1935,1) )
f hierba comida ( [(0,0)-(4,4)],(0,0),(1.00302,2),(1.29305,2.54386),(1.54683,2.84211) ,(1.71601,2.91228),(1.94562,2.98246),(2.39275,2.98246),(2.98489,2.98246) ,(4,3) )
f tasa ciervo ( [(0,-1)-(4,0.4)],(0,-1),(1,0),(1.18557,0.109155),(1.42268,0.16831) ,(1.74227,0.2),(2,0.2),(3,0.2),(4,0.2) )
f tasa predadores ( [(0,-1)-(15,0.2)],(0,-1),(3.78866,-0.243662),(4.76804,-0.104225) ,(6,0),(7.28093,0.043662),(9.02062,0.0690141),(13.6598,0.1),(15,0.1) )
f tiempo creci ( [(0,0)-(1,20)],(0,20),(0.0463918,15.6338),(0.0876289,12.2535) ,(0.154639,8.30986),(0.242268,5.91549),(0.35567,3.94366),(0.458763,2.25352) ,(0.548969,1.40845),(0.652062,1.05634),(0.744845,0.84507),(0.837629,0.56338) ,(0.93299,0.528169),(1,0.5) )
Hierba = INTEG( Crecimiento hierba - Pastoreo , 540000)
Hierba comida ciervo = f hierba comida ( Disponibilidad alimento )
Pastoreo = Ciervos * Hierba comida ciervo
Predación = Ciervos matados * Predadores
Predadores = INTEG( Crecimiento predadores - Caza , 300)
Salud terreno = Hierba / Capacidad hierba
Tasa caza = 0.3
Tasa ciervos = f tasa ciervo ( Disponibilidad alimento )
34
Tasa predadores = f tasa predadores ( Ciervos matados )
Tiempo crecimiento = f tiempo creci ( Salud terreno )
TIME STEP = 0.125
******************************** .Control********************************
Simulation Control Paramaters
FINAL TIME = 1940
INITIAL TIME = 1900
SAVEPER = TIME STEP
Tiempo de crecimiento de la hierba en función de la salud del terreno (Hierba/ Capacidad hierba).
Hierba comida por ciervo en función de la disponibilidad de alimento.
35
Graph Lookup - f tiempo creci
20
00 1
Graph Lookup - f hierba comida
4
00 4
Tasa de crecimiento neto de ciervos en función de la disponibilidad de alimento.
Tasa crecimiento de predadores en función de los ciervos matados por predador.
Ciervos matados por predador en función de la densidad de ciervos.
36
Graph Lookup - f tasa ciervo
0.4
-10 4
Graph Lookup - f tasa predadores
0.2
-10 15
Graph Lookup - f ciervos matados
120
00 0.1
37
100,000100
600,00060
50,00050
300,00030
0000
4
4
4
4
44
4 4 4 4 4
3 3 3 33
3
3
3
3
3 3 3
2
2
2
22 2 2 2 2 2 2 2
1 11
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1905 1915 1925 1935Time (años)
Ciervos : Current 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Predadores : Current 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Hierba : Current 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Disponibilidad alimento : Current 4 4 4 4 4 4 4
Ejercicio 6Cortes en el suministro de heroína aumentan la delincuencia
El Diario Donostiarra24/Enero/2001
Donostia- La próxima vez que oiga que ha habido una redada policial y que una cantidad considerable de heroína ha sido aprehendida no crea que las calles de la ciudad, su coche o su piso van a estar por ello más seguros. De hecho, un estudio reciente del tráfico de heroína en San Sebastián demuestra que cuanto más se controla el mercado de heroína resulta más probable que usted sea robado o que su casa sea desvalijada por un adicto necesitado de su dosis.
El estudio, que va a hacerse público en menos de una semana, ha sido realizado por la Comisión para el estudio de las drogas dependiente de la Dirección de Sanidad del Gobierno Vasco. Dada su importancia, muy probablemente tendrá repercusiones más allá del ámbito de nuestra ciudad. Dicho estudio proporciona la primera evidencia estadística que pone en entredicho la creencia común de que un aumento de la presión policial para reducir el suministro de heroína debe conducir a una reducción de la delincuencia. Por el contrario, el estudio muestra que los embargos de heroína conducen, tan sólo, a precios más elevados y que como resultado de la subida del precio la delincuencia aumenta. Las cifras muestran que como resultado de una subida de un 10% en el precio de la heroína la delincuencia aumenta, en promedio, un 3% siendo esta cifra superior en las zonas menos céntricas de nuestra ciudad.
El estudio se ha basado en un análisis de los precios de la heroína y el número de delitos relacionados con la droga a lo largo de un periodo de 40 meses desde junio de 1997 hasta setiembre de 2000. Los datos sobre precios se han obtenido de la Brigada de Narcóticos de la Ertzaintza y las estadísticas sobre delincuencia provienen de los ordenadores de la Policía Municipal de San Sebastián.
La Comisión para el estudio de las drogas admite que "una comunidad que tuviera éxito en eliminar o virtualmente eliminar, su suministro de heroína podría solucionar su problema de drogo delincuencia en no mucho tiempo". No obstante, esto no se ha conseguido en ningún sitio y la policía lo que consigue es capturar grandes alijos de droga que reducen tan sólo temporalmente el suministro de heroína.
"Aunque el sentir convencional mantiene que tales esfuerzos conducen a una reducción de la delincuencia", dice el estudio, algunas personas que conocen mejor el escenario de la heroína creen que ocurre precisamente lo contrario. Según ellos, "éxitos marginales en reducir el suministro de heroína conducen a mayor, no menor, índice de delincuencia".
La Comisión concluye que su estudio sobre tráfico de heroína en San Sebastián "sugiere que el sentir convencional es erróneo y que la gente más familiarizada con el problema de la heroína está en lo cierto. Es decir, reducciones temporales en el suministro y en la disponibilidad de heroína no producen la reducción de delincuencia que los responsables políticos y el público en general quieren, semejantes esfuerzos producen un incremento en la delincuencia que nadie desea".
38
Basándote en la descripción anterior se desea que:
a) Definas el objetivo del modelo que vas a construir estableciendo los dos modos de referencia descritos en la ficción anterior en los que se muestre la evolución temporal de las variables que consideres de interés.
b) Construyas un modelo de Dinámica de Sistemas capaz de reproducir los dos modos de referencia establecidos, escribiendo ecuaciones precisas y asignando valores razonables a los parámetros utilizados.
c) Utilices el modelo para estudiar diversas políticas de actuación o diversos escenarios posibles analizando los resultados obtenidos.
39
Modelo
Consumo de heroína
Heroina
Consumo
<Adictos>
Consumo por adicto
Disponibilidad
Demanda
Dosis normal <Adictos>
f consumo
Relación
Relación normal
Entrada de heroina
Consumopromedio
Efecto precio en entrada
<Relación precio>
Aprehensión
f precio en entrada
Presión policial
<Time>
f policia
Activador 1
Activador2
40
Precio de la heroína
Precio
<Disponibilidad>
Precio instantaneo Ajuste precio
Tiempo ajuste precio
f disponibilidad en precio
Precio normal
Efecto disponibilidad en precio
Preciopercibido
Relación precio
Adictos y delitos
Adictos
Cambio adictos
Capacidad soportable
Tiempo ajuste
Heroinapromedio
<Dosis normal>
<Relación normal>
<Heroina>
<Disponibilidad>
f ajuste
<Precio>
Dinero necesario
Frecuencia de delitos
Dinero por delito
Delitos
41
Ecuaciones
******************************** Adictos y Delitos********************************
Adictos = INTEG( Cambio adictos , 2000) Units: Adictos
Cambio adictos = ( Capacidad soportable - Adictos ) / Tiempo ajuste Units: Adictos/semanaFlujo de ajuste de los adictos a la capacidad soportable.
Capacidad soportable = Heroína promedio / ( Dosis normal * Relación normal ) Units: AdictosNúmero de adictos que pueden mantenerse con normalidad con la heroína
promedio.
Delitos = Adictos * Frecuencia de delitos Units: Delitos/semana
Dinero necesario = Dosis normal * Precio Units: Pesetas/(semana*adicto)Dinero semanal necesario para mantener su hábito por adicto.
Dinero por delito = 30000Units: Pesetas/delitoDinero que un adicto obtiene por término medio por delito.
f ajuste ( [(0,0)-(1,26)],(0,2),(0.0592784,6.77465),(0.113402,10.4366),(0.185567,15.0141), (0.273196,18.8592),(0.360825,21.9718),(0.443299,23.8028),(0.518041,24.6268),(0.713918,25.3592) ,(1,26) )
Units: semanasTabla que da el tiempo de ajuste de drogadictos en función de la disponibilidad.
Frecuencia de delitos = Dinero necesario / Dinero por delito Units: Delitos/(semana*adicto)Numero de veces por semana que un adicto debe delinquir para sostener su
adicción.
Heroína promedio = SMOOTH ( Heroína , 52)
42
Units: GramosPromedio a largo plazo de la heroína disponible en el mercado.
Tiempo ajuste = f ajuste ( Disponibilidad ) Units: semanas
******************************** Consumo de Heroína********************************
Activador 1 = 0Units: adimensionalActiva (1) o desactiva (0) la presión policial a largo plazo.
Activador2 = 0Units: adimensionalActiva (1) o desactiva (0) la aprehensión policial puntual.
Aprehensión = 0.2 * Heroína * PULSE ( 2, TIME STEP ) / TIME STEP * Activador2 Units: Gramos/semanaAprehensión policial puntual de heroína
Consumo = Adictos * Consumo por adicto Units: Gramos/semana
Consumo por adicto = f consumo ( Disponibilidad ) Units: Gramos/(semana*adicto)
Consumo promedio = SMOOTH ( Consumo , 12) Units: Gramos/semanaConsumo promediado en tres meses.
Demanda = Adictos * Dosis normal Units: Gramos/semanaDemanda semanal total de heroína
Disponibilidad = Relación / Relación normal Units: adimensional
Dosis normal = 3.5Units: Gramos/(semana*adicto)Dosis normal media de un adicto a la semana
Efecto precio en entrada = f precio en entrada ( Relación precio ) Units: adimensionalEfecto del precio medio de la heroína en el suministro de heroína hacia la zona.
43
Entrada de heroína = Consumo promedio * Efecto precio en entrada * ( 1 - Presión policial )
Units: Gramos/semana
f consumo ( [(0,0)-(4,4)],(0,0),(0.103093,1.30986),(0.154639,1.77465),(0.247423,2.29577),(0.340206,2.66197) ,(0.402062,2.85915),(0.463918,3.05634),(0.556701,3.23944),(0.680412,3.38028),(0.824742,3.4507) ,(1,3.5),(2,3.5),(3,3.5),(4,3.5) )
Units: Gramos/(semana*adicto)Tabla de consumo per cápita en función de la disponibilidad
f policia ( [(0,0)-(250,1)],(0,0),(53.4794,0),(75.3866,0.0246479),(89.5619,0.0598592),(106.314,0.144366) ,(117.268,0.323944),(125,0.5),(125.644,0.75),(247.423,0.75) )
Units: adimensional
f precio en entrada ( [(0,0)-(6,5)],(0.123711,0.0528169),(0.340206,0.299296),(0.634021,0.616197) ,(1,1),(1.29897,1.25),(1.79381,1.74296),(2.33505,2.25352),(2.87629,2.65845),(3.44845,3.02817) ,(4.05155,3.23944),(4.62371,3.32746),(5.01031,3.39789),(5.98454,3.4331) )
Units: adimensionalEfecto del precio en la entrada de heroína. Un precio elevado indica
simultáneamente un déficit de la misma y un mercado atractivo por lo que se incrementará el flujo de entrada.
Heroína = INTEG( Entrada de heroína - Consumo - Aprehensión , 28000) Units: GramosHeroína a la venta.
Presión policial = f policia ( Time ) * Activador 1 Units: adimensional
Relación = Heroína / Demanda Units: semanasRelación heroína a la venta entre demanda total.
Relación normal = 4Units: semanasEl tiempo que se prevé como deseable para aguantar sin nuevo suministro. Por
debajo de la cantidad de heroína que permite aguantar ese tiempo el mercado empieza a alarmarse y a considerar que la heroína comienza a escasear.
******************************** .Precio de la heroína********************************
Ajuste precio = ( Precio instantáneo - Precio ) / Tiempo ajuste precio Units: Pesetas/(semana*gramo)
44
Flujo de ajuste del precio real al precio instantáneo que es el que corresponde al equilibrio para esas condiciones de mercado.
Efecto disponibilidad en precio = f disponibilidad en precio ( Disponibilidad ) Units: adimensional
f disponibilidad en precio ( [(0,0)-(4,5)],(0,5),(0.113402,3.67958),(0.195876,2.95775),(0.412371,2.02465) ,(0.608247,1.51408),(1,1),(1.75258,0.9),(2,0.9),(3,0.9),(4,0.9) )
Units: adimensionalEfecto de la disponibilidad en el precio de la heroína. El mercado no suele
descender el precio cuando la disponibilidad aumenta, sí al revés.
Precio = INTEG( Ajuste precio , 16000) Units: Pesetas/gramo
Precio instantaneo = Efecto disponibilidad en precio * Precio normal Units: Pesetas/gramoPrecio que corresponde según el mercado a la disponibilidad dada. Le llamo
instantáneo en el sentido de que es el que debería ser si el mercado se ajustase instantáneamente. Pero, no lo hace, lleva un cierto tiempo que el precio sea el que corresponde.
Precio normal = 16000Units: Pesetas/gramoPrecio normal de un gramo. A largo plazo, podría tomarse como un nivel.
Precio percibido = SMOOTH ( Precio , 2) Units: Pesetas/gramoPromedio del valor del precio en los últimos tres meses.
Relación precio = Precio percibido / Precio normal Units: adimensionalRelación que nos dice si el precio está más alto o más bajo de lo normal.
Tiempo ajuste precio = 1Units: semanasEl tiempo de ajuste es muy pequeño en el mercado de heroína. De hecho puede
que los efectos se noten de un día para otro.
******************************** .Control********************************
Simulation Control Paramaters
FINAL TIME = 250Units: semanasThe final time for the simulation.
45
INITIAL TIME = 0Units: semanasThe initial time for the simulation.
SAVEPER = 0.1Units: semanasThe frequency with which output is stored.
TIME STEP = 0.01Units: semanasThe time step for the simulation.
Tabla que da el tiempo de ajuste de drogadictos en función de la disponibilidad de heroína.
46
Graph Lookup - f ajuste
26
00 1
Graph Lookup - f disponibilidad en precio
5
00 4
Efecto de la disponibilidad en el precio de la heroína. El mercado no suele descender el precio cuando la disponibilidad aumenta, sí al revés.
Tabla de consumo per cápita en función de la disponibilidad
Una aprehensión aislada de heroína en t=2
47
Graph Lookup - f consumo
4
00 4
40,000 Gramos20,000 Pesetas/gramo
6,000 Delitos/semana
30,000 Gramos15,000 Pesetas/gramo
4,000 Delitos/semana
20,000 Gramos10,000 Pesetas/gramo
2,000 Delitos/semana
3 3
3
33 3
33
33
33 3 3 3 3 3
2 22
2
2 22
22
2
22
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 11
11
11
11
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Time (semanas)
Heroina : Normal Gramos1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Precio : Normal Pesetas/gramo2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Delitos : Normal Delitos/semana3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Acción policial intensa que imposibilita la entrada de heroína
48
40,000 Gramos60,000 Pesetas/gramo20,000 Delitos/semana
2,000 Adictos
20,000 Gramos30,000 Pesetas/gramo10,000 Delitos/semana
1,000 Adictos
0 Gramos0 Pesetas/gramo0 Delitos/semana0 Adictos
4 4 4 4 4 44
4
4
4
4
44
3 3 3 3 3 3
3
3
3
3
33
3
2 2 2 2 22
2
2
22 2 2 2
1 1 1 1 11
1
11 1 1 1 1
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250Time (semanas)
Heroina : Presion Policial Gramos1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Precio : Presion Policial Pesetas/gramo2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Delitos : Presion Policial Delitos/semana3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Adictos : Presion Policial Adictos4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4