el57a –sistemas el Éctricos de potencia i · • en sistemas de potencia, interesa mucho saber...
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Pablo Medina Cofré
24-08-2010
EL57A EL57A –– SISTEMAS ELSISTEMAS ELÉÉCTRICOSCTRICOSDE POTENCIA IDE POTENCIA I
Herramientas matemáticas.
• En general, en ingeniería podemos separar el estudio de los fenómenos en:– Régimen permanente.– Transitorios.
• Un buen conocimiento del régimen permanente es necesario, ya que la mayor parte del tiempo los sistemas operan ahí.
• Herramientas de cálculo simples, que permitan aprovechar el hecho de que d/dt=0 o que se tienen “sistemas harmónicos”, son muy necesarias.
El root mean square.
• Para una función f(t) en el intervalo [to,to+T], se define el valor medio cuadrático (RMS) como:
( )0
0
21t T
t
f f t dtT
+
= ∫
• Para una función sinusoidal de amplitud A y período T=1/(2πf)
( )12
2 2
0
1cos 2
12
f
f A ft dt
f
π
ππ
= =∫2
A
( ) ( )2 1 1cos 2
2 4u sen u= +
• En electricidad, a la amplitud se le llama “valor efectivo”. Luego:
2
ef
RMS
VV =
El root mean square.
• Si se calcula la energía disipada por la resistencia del circuito en un ciclo:
( )( )
( ) ( ) ( )( )2 2cos cosef efV t V t
i t p t v t i tR R
ω ω= ⇒ = =
( ) ( ) ( )1 1
22 2
2 2
0 0
1 1cos
2
f f
ef
ef
VE t p t dt V t dt
R R
π π
ω= = = ⋅ =∫ ∫2
RMSV
R
• El VRMS de la fuente alterna es el voltaje de una fuente continua que entrega la misma energía a la resistencia durante un ciclo.
( )cosefV tω
2ef
RMS
VV =
Transformada fasorial.
• Motivación: calcular la tensión del condensador:
( ) ( ) ( )2 cosRMS c c
dV t RC v t v t
dtω ϕ+ = +
( )cosefV tω
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )2 2 2 2
2 cos sin1 0
11
cef
c
V s
RC s ss
v
sV
RC R
s
C
ϕ ω ϕ
ω ω
⋅ −
+ + ++
+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
cos sin2 1 0ef c c
sV sRC V s RCv
s s
ϕ ω ϕω ω
− = + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )2 2 2 2
cos cos cos sin sin /
cos cos sin
t t t L
sL t
s s
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
ωω ϕ ϕ ϕ
ω ω
+ = −
+ = −+ +
Transformada fasorial.
• En sistemas de potencia, interesa mucho saber el comportamiento en régimen permanente sinusoidal.
– En el caso del condensador, si t es “grande”, el término en verde(respuesta a entrada cero) desaparece.
– El término en rojo, en el dominio del tiempo, tiene una componente transiente y otra harmónica.
• Por lo tanto, sería conveniente contar con una herramienta que permita calcular la respuesta de régimen permanente, despreciando los términos transitorios.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )2 2 2 2
2 cos sin1 0
11
cef
c
V s
RC s ss
v
sV
RC R
s
C
ϕ ω ϕ
ω ω
⋅ −
+ + ++
+=
Transformada fasorial.
( ){ } ( ){ }cos j j t j t
ef RMSF v t F V t V e e Veϕ ω ωω ϕ= + = = &
( ) ( ) ( ){ }{ }
Re 2 cos sin
Re 2
RMS
j t j
RMS
v t V t j t
V e eω ϕ
ω ϕ ω ϕ= + + +
= ⋅
• En una ecuación diferencial, si la función “forzante” es de frecuencia angular ω, las soluciones de estado estable también.
• La transformada fasorial de una función (o fasor) es única para todo t. También se puede ver que es lineal.
• El factor ejωt está siempre presente, razón por la cual suele omitirse. Lo mismo ocurre con el factor raíz de dos.
( ) ( )cosefv t V tω ϕ= +
Transformada fasorial.
• Transformada de la derivada:
( ) ( ){ }2 cos 2 sinef ef
dF V t F V t
dtω ϕ ω ω ϕ + = − +
( )0
12 cos
t
efF V t Vj
ω ϕω
+ =
∫ &
2j
j j t j j t
RMS RMSV e e e j V e eπ
ϕ ω ϕ ωω ω= =
• La derivada “giró” al fasor en 90° y lo multiplicó por ω.
• En términos prácticos, el operador derivada se reemplaza por el operador jω.
• Se propone demostrar que:
( ){ }j F v t j Vω ω= = &( ) cos
2sen t t
πω ϕ ω ϕ
+ = − + +
Transformada fasorial.
• Volviendo a nuestro ejemplo:
( ) ( ) ( )2 cosef c c
dV t RC v t v t
dtω ϕ+ = +
( ) ( ){ } ( ){ }j
RMS c cV e j RC F v t F v tϕ ω= +
( )1 j
c RMSV j RC V e ϕω+ =&
( )( )
( )( )1
2
12 cos tan
1c efv t V RC
RCϕ ω
ω
−= ++
( )( )( )1tan
2
1
1
j RC
c RMSV V eRC
ϕ ω
ω
−+=
+&
Cálculo en p.u.
• Esta materia se estudió en los cursos anteriores.
• Sin embargo, el trabajo en este curso se hace con esta metodología, razón por la cual se analizará al menos el uso de “base trifásica”.
• Motivación: Analizar el circuito de la figura:
IL
Vfn Z
IL
Vfn Z
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]. . . . . .
fn L
ff
V V Z Ohm I A
V p u Z p u I p u
=
⇓
=
3 1
3
3
ff fnb b
b b
V V
S Sφ φ
=
=( )
3
3
1 1 3
2
22
1
33
3
ff L L
ff
ff
fn ff
b
b b b b
b
b
b b
b
b b b
SS V I I
V
V
V VZ
S S S
φ
φ
φ φ φ
φ
= ⇒ =
= = =
Cálculo en p.u.
• Definiendo dos cantidades bases, se tienen las restantes.
• En el curso, V y S serán las bases principales.• El cálculo en p.u. se utiliza porque:
– Evita complicaciones con las unidades– Permite la rápida detección de errores (ej.: en los SEP’s, las tensiones son valores cercanos a uno).
– El trabajo en sistemas con diferentes niveles de tensión se simplifica … no es necesario incorporar “transformadores ideales” a la representación.
• Para que el método “funcione”, la base trifásica de potencia debe ser común para todo el sistema.
Cálculo en p.u.
1 1 1 1
2 1 2 2
ideal
ideal
V Z I V
V Z I V
= +
= − +
& & &
& & &
1 1
1 1 1 2 2 2
2 2
ideal ideal
ideal ideal
V VV Z I V Z I
V V= + +& & & & & &
* *
1 1 2 2ideal idealV I V I=& &
2
1 1
1 1 1 2 2
2 2
ideal ideal
ideal ideal
V VV I Z Z V
V V
= + +
& & & & &
{3
11 2 21 1
11 2 2 11
1
3
3
ideal
ideal
b
totfn fn b
bb b bb
b
S
VV V VI Z
VV V V VI
I
φ
= +& && &
[ ] [ ] [ ] [ ] 121 1 1 2
1 2
. . . . . . . . ideal
ideal
tot bff ff
b
VVV p u I p u Z p u V p u
V V= +& & & &
Si se eligen los voltajes bases de ambos sectores iguales a la relación de vueltas, ¡todo se simplifica!
1idealV
2idealV
1Z 2Z
Potencia activa y reactiva monofásica.
• La potencia instantánea consumida por una carga es:
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 cos 2 cosrms rmsp t v t i t V t I tω ω ϕ= = +
( ) ( )2 cos cosrms rmsV I t tω ω ϕ= +
( ) ( )...¿ ?
cos cos 2
Constante Conocido
rms rms r
Oscil
ms rms
a al doble de
V I V I t
ω
ϕ ω ϕ= + +1442443 144424443
• Expandiendo el término oscilante:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos cos cos 2 sin sin 2rms rms rms rms rms rmsp t V I V I t V I tϕ ϕ ω ϕ ω= + −
( )( ) ( )( ) 1 cos 2 sin 2p t t tP Qω ω= + −
¡Bautizo!
Potencia Activa Potencia Reactiva
Potencia activa y reactiva monofásica.
• Al integrar en un periodo la potencia instantánea:– El primer término nunca es cero, pero oscila.
– El segundo término es cero, por lo que no produce trabajo útil.
• Para probar lo anterior, analizaremos el sistema físico de la derecha. Calcularemos cuál es el trabajo que desarrolla en un ciclo cada componente de la potencia instantánea.
ω
I
( )( ) ( )( ) 1 cos 2 sin 2p t t tP Qω ω= + −
Potencia activa y reactiva monofásica.
• Concepto de potencia compleja:
* cos sinrms rms rms rmsS VI V I jV I P jQϕ ϕ= = + = +& &&
( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }
2 cos
2 cos
rms rms
j
rms rms
V F v t F V t V
I F i t F I t I e ϕ
ω
ω ϕ
= = =
= = + =
&
&
• La forma de la expresión anterior se debe en parte al uso de valores efectivos en la definición de fasores.
Potencia activa y reactiva trifásica.
• La potencia instantánea en un sistema trifásico es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 a a b b c cp t v t i t v t i t v t i tφ
= + +
• Si el sistema es equilibrado:
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3
cos cos cos 120 cos 1202
cos 120 cos 120rms rms
t t t tp t V I
t tφ
ω ω ϕ ω ω ϕ
ω ω ϕ
− + − ° − − ° + =
+ ° − + °
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
0
3cos cos 2 cos 2 240 cos 240rms rmsp t V I t t tφ
ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ = + + + + − ° + − + °
14444444444244444444443
( )3
3 cosrms rmsp t V Iφ
ϕ=
Potencia activa y reactiva trifásica.
• La potencia activa es constante y genera trabajo neto no nulo en un ciclo.
• A diferencia del caso monofásico, no tiene “componente reactiva”, pero existe componente reactiva en cada una de las fases.
• Por un asunto de uniformidad, se asume que existe una potencia reactiva trifásica y Q3f=3Q1f
• ¿Qué potencia es esta si no “existe” la potencia reactiva trifásica?
Fuente: ABB