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Pablo Medina Cofré
20-04-2010
EL57A EL57A –– SISTEMAS ELSISTEMAS ELÉÉCTRICOSCTRICOSDE POTENCIA IDE POTENCIA I
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Líneas de transmisión
• Permiten la propagación del campo electromagnético.
• En SEP, diremos que permiten la “transmisión de energía”.
• Operan en diversas tensiones.• Caso Chileno:
– Hasta 500 kV en transmisión, y mayoritariamente en 220 [kV].
– En distribución se tiene 13.2, 13.8 y 20 [kV] como tensiones representativas.
– En Santiago, existe un “anillo”en 110 kV.
– En el sur, existen líneas en 154 [kV]. No se desarrollan más proyectos de nuevas líneas en dicha tensión.
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Proyecto de líneas
• Caso alta tensión (típicamente ≥ 110 [kv]).
• Diseño civil.- Especialidad de estructuras.- “Cargas” determinadas por especialidad eléctrica.
• Diseño eléctrico:– Verificación reglamento de corrientes fuertes.
– Distancias mínimas f-t y f-f.– Determinación de aislación y cable de guardia.
– Determinación de conductores de fase.
Cruceta
Patas
Cuerpo
CanastilloC.G.
Aisladores
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Proyecto de líneas.
• Caso cables aislados. (típicamente en media y baja tensión, i.e, V≤25 [kV].
• Diseño civil:– Requerido en caso de banco
de ductos en hormigón armado y canaletas.
– En casos especiales, apoyo geotécnico y geológico.
• Diseño eléctrico.– Determinación de conductor
y estudio de corrientes inducidas.
– Diseño del tendido:• Banco de ductos.• Canaleta.• Directamente enterrados.
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Nerd-o-meter
• ¿Cuál es la potencia de un rayo?
• Hint: es la potencia necesaria para que funcione el “Capacitor de flujo”.
a) 1,11 GWb) 1,21 GWc) 1,31 GW
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Electromagnéticamente hablando…
Modelo equivalente monofásico por unidad de longitud.
Modelo equivalente por unidad de longitud.
1
2
3
N
R1’L11’
G1’ C11’
G2’C22’
G3’ C33’
R2’L22’
R3’L33’
C13’ C23’
C12’
L12’
L23’L13’
Nos gustaría llegar a …
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Modelo de línea de transmisión
• Supongamos que conocemos los parámetros y que tenemos un equivalente monofásico.
• La línea se modela a través de ecuaciones diferenciales y parámetros distribuidos.
• Ecs. Diferenciales se obtienen a partir de las leyes de voltaje y corriente aplicadas a la figura.
G’dxC’dx
R’dxL’dxI(x,t)
I(x,t)+dI(x,t)V(x,t)+dV(x,t)V(x,t)
x dx
( )'
' ' 0
Z
VR j L I
xω
∂+ + =
∂&
&&
14243
( )'
' ' 0
Y
IG j C V
xω
∂+ + =
∂&
&&
14243
F{}( ) ( ) ( ), ,
' , ' 0V x t I x t
R I x t Lx t
∂ ∂+ + =
∂ ∂
( ) ( ) ( ), ,' , ' 0
I x t V x tG V x t C
x t
∂ ∂+ + =
∂ ∂
Ecuación del telégrafo
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Modelo de línea de transmisión
• Tomando derivada respecto de x en las ecuaciones anteriores, y combinando ambas expresiones, se llega a que los fasores voltaje y corriente deben resolver una ecuación de onda:
( ) ( )2
20
V xZY V x
x
∂− ⋅ =
∂
&& &
( ) ( )2
20
I xZY I x
x
∂− ⋅ =
∂
&& & &
( )( )
( )( )
2' ' ' '
' ' ' '
ZY R j L G j C
R j L G j C
j
γ ω ω
γ ω ω
γ α β
= = + +
= + +
= +
& &
Constante de
atenuación
Constante de
fase
( ) ( ) ( ) xxV x bV x a eV x eγγ−+ −= + = +⋅ ⋅& &&
( ) ( ) ( ) 1 1x
c
x
c
I x b eI x aZ
I eZ
x γγ−+ −⋅= + = + − ⋅&& &
( )( )
[ ]'
'c
V x ZZ Ohm
I x Y
+
+= =
&&
&
a y b se determinan a partir de C.B.
1c
c
YZ
= &&
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Parámetros ABCD
• Las ecuaciones para V(x) e I(x) se puede escribir:
( )( )
1 1 0
0
x
xc c
aV x e
Y Y bI x e
γ
γ
− = −
&
&
• En particular:
( )( ) {
( )( ) {
0
1 1 1 10 0,
0 0
b bY Y E
c c c c
V V
a aV V e
Y Y Y Yb bI I e
γ
γ
− = = − −
l
l
l
& & l& & l
14243 142431424314243 14243
1
0 0
1
0
V Yb b Y V
V YEY V
−
−
= ⇒ =
=l
( )( )
( )( )0cosh sinh
0sinh cosh
c
c
V VZ
I IY
γ γγ γ
−=
−
& &&l l l& &&l l l
( )( )
( )( )
0 cosh sinh
0 sinh cosh
c
c
V VZ
I IY
γ γγ γ
=
& && ll l& && ll l
Parámetros
ABCD
ℓ s el largo de la línea
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Relación matriz ABCD y modelo pi
• El caso general de un modelo pi:
Z
Y1 Y2V0
I0
Vℓ
Iℓ
A=1+Y2ZB=ZC=Y1+Y2+ZY1Y2D=1+Y1Z
• En el caso de la línea con la línea A=D, luego Y1=Y2=Y/2:
1 cosh 1 1tanh
2 sinh 2c c
Y
Z Z
γ γγ−
= =l l
l Z
Y/2 Y/2V0
I0
Vℓ
Iℓ
A=1+ZY/2B=ZC=Y(1+ZY/4)D=A
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Aproximación de “línea corta”
• En este caso, las funciones hiperbólicas se aproximan al valor de su argumento:
( )'sinh ' ' ' ' '
'c
ZZ Z Z Y Z R j L
Yγ ω= ≈ ⋅ = = +& & l l l l
( )1 ' ' ' 'tanh ' '
2 2 ' 2 2c
Y Y Z Y YG j C
Z Z
γω= ≈ ⋅ = = +
& ll
&
• En el caso de líneas aéreas, la aproximación es válida para largos menores a 250 km.
• En el caso de líneas de cables aislados, la aproximación es válida para largos menores a 30 km.
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Capacitancia
• Cada conductor de una línea de Tx se modela como una línea de carga [C/un. long.].
• Entre conductores y tierra existe una diferencia de potencial.
( ) ( )1 11 1 12 1 2 13 1 3' ' ' 'q C V C V V C V V= + − + −& & & & &&
1q1’ 2
q2’
3q3’
C11’V1
C22’V2
C33’V3
C13’V1-V3
C23’V2-V3C12’
V1-V2
V=0
( )1 11 12 13 1 12 2 13 3' ' ' ' ' 'q C C C V C V C V= + + − −& & &&
1 12 1
1
1 1
2 21 1 2 2
1
1 2 1
1
' ' '
'
' ' ' '
'
' ' '
n
k n
k
n
k n
k
n nn
n n k
k
C C C
q V
q C C C V
q V
C C C
=
=
=
− −
− − =
− −
∑
∑
∑
L&&
&& L
M MM M O M
&&
L [ ] [ ]' 'q C V = &&
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Capacitancia
• Los elementos de C dependen de todo el conjunto de conductores, lo cual puede ser poco práctico.
• Analíticamente, lo que se calcula es la inversa de la matriz de capacitancia. Los elementos de esta matriz se llaman “coeficientes de potencial”
[ ][ ]' 'V K q = & &
• Para el cálculo de los coeficientes de potencial se utiliza el método de las imágenes, considerando que:
– Suelo es conductor perfecto.– El campo de cada conductor es radial, i.e., el resto de los conductores no alterna la uniformidad de la carga en los conductores.
• Se calcula el campo eléctrico en el espacio, generado por un conductor y su imagen. El campo en el espacio generado por toda la línea, es la suma de las contribuciones de cada par “conductor-imagen”.
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Capacitancia
• Campo producido por el par j-ésimo en el punto P.
hj
P
rjp
rj*p
qj’
-qj’
V=0
* *
0 0 *
' '1 1ˆ ˆ
2 2
j jPar
j j j jp j p
jp j p
q qE E E r r
r rπε πε= + = −
& && & &
2rc
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Capacitancia
• El potencial generado por el par j-ésimo:
*
0 0 0
P P P
Par Par
j j j jV E dr E dr E dr= − ⋅ = − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫r r r& & & &
hj
P
rjp
rj*p
qj’
-qj’
V=0O
0
j j
P
j E ddr E rdrE ⋅− ⋅ = − − ⋅∫ ∫∫r&r& r&
0 0
0
'l
'l
2
n
ln
2
'n
2
j
j
j jp
E dr
j j
c
j
j
c
j
p
q h
r
E
q h
r
dr
q r
rε
ε
π
π
πε
⊥
⋅−
= −
=
∫r&
&
1424
&
3
r
& &
Se puede demostrar que:*
0
'ln
2
j j pPar
j
jp
q rV
rπε=
&&
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Capacitancia
• El potencial del conductor k-ésimo respecto del suelo, debido a todas las cargas es:
*
1 10
1' ln ' '2
n nj k
k j j kj
j jjk
rV q q K
rπε= =
= =∑ ∑& & &
• rjk y rj*k corresponden a la distancia entre los centros del conductor k y el conductor j y su imagen.
• Si j=k, rjk=rc y rj*k=2hj.• En estas expresiones, se desprecia el radio de los conductores frente a las distancias entre conductores y sus respectivas imágenes.
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Capacitancia
• Analicemos la fase 1 de una línea de simple circuito:
3*11 2*1
1 1 2 3
0 21 31
21ln ln ln
2c
rh rV q q q
r r rπε
= + +
& & & &
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2*1 2 3*1 3 1 21 2 31 3
0
1ln 2 ln ln ln ln ln
2cV h q r q r q r q r q r q
πε = + + − + +
& & & & & & &
( ) ( ) ( )1 1 1 2*1 2 3*1 3 1
0
1ln 2 ln ln ln
2 c
DV h q r q r q q
rπε
= + + +
& & & & &
• Si los conductores son los vértices de un triángulo equilátero de lado D y además se considera un sistema trifásico balanceado: 0321 =++ qqq &&&
11*31*2 2hrr ≈≈• Si también consideramos que los conductores están muy alejados del suelo,
es decir:
0
1 1 1
0
21ln '
2ln
c
c
DV q C
r D
r
πεπε
= ⇒ =
& &…Y por simetría se tiene lo mismo para las otras fases
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Transposición de fases
• ¡La vida es triste Venancio!... existen pocas líneas en configuración triangular.
• Cada fase se tiene una capacitanciadiferente, por lo que la línea introduce un desbalance en el sistema.
• Adicionalmente, el sistema no tendrá un equivalente monofásico.
• Solución: realizar una transposición de la línea.
a
b
c
Posición 1
Posición 2
Posición 3Ver video
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Transposición de fases
• Para caracterizar a una fase, se toma un promedio de la tensión por unidad de longitud:
1 2 3
1 1 1
13
Tramo Tramo TramoTranspuesto V V V
V+ +
=& & &
&
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
1 2 3 2*1 3*2 3*1
1 1 2
0
3*1 2*1 3*2 21 32 31
3 1 2
3*1 2*1 3*2
ln 2 ln 2 ln 2 ln ln ln1
2 3 3
ln ln ln ln ln lnln
3 3
ln ln ln
3
Transpuesto
c
h h h r r rV q q
r r r r r rq r q q
r r r
πε
+ + + += +
+ + + ++ − −
+ ++
& & &
& & &
32*1 3*2 3*1
1 13
0 1 2 3
1ln ln
2 2
Transpuesto
c
r r rDMGV q
r h h hπε
= −
& &
Considerando: 1 2 3q q q− = +& & &
321 32 31
DMG r r r=
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Transposición de fases
• El último logaritmo natural da cuenta de la existencia de un plano de tierra.
• Si se considera que los conductores están alejados del suelo, se tiene que:
2*1 3*1 3*2 1 2 32 2 2r r r h h h≈ ≈ ≈ ≈ ≈
0
1 1 1
0
21ln
2ln
Transpuesto
c
c
DMGV q C
r DMG
r
πεπε
= ⇒ =
& &
• Finalmente:
¡ Y lo anterior se tiene para todas las fases!
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Múltiples conductores por fase
• Conocido también como:– Conductores fasciculados.– Bundled conductors.
• Razones para su uso:– Minimización de “efecto corona”, especialmente sobre 500 kV.
– Límite térmico de conductores.
• Para efectos de cálculo, se trata como un único conductor con un “radio equivalente”.
23eq cr r d= ⋅
d d
d
d
eq cr r d= ⋅
d
dd
d
341,09eq cr r d= ⋅
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Inductancia
• Se debe calcular la caída de tensión en cada fase:
– Debido a circulación de la corriente de la propia fase.
– Debido a circulación de la corriente de las demás fases.
• La constante de proporcionalidad que relaciona corriente con caída de tensión se llama “Inductancia”.
– Inductancia propia.– Inductancia mutua.
L11 ’
L33 ’
L22 ’ L31’
L32’
L23’
1
2
3
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Inductancia mutua.
• Se analiza el caso general para calcular la inductancia mutua entre dos circuitos.• Por el circuito B circula una corriente Ib:
– “Viene” por el conductor 3.– “Retorna” por el conductor 4.
• Por el circuito A circula una corriente Ia:– “Viene” por el conductor 1.– “Retorna” por el conductor 2.
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Inductancia mutua.
• Se desprecia efecto pelicular, por lo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor.
• Los conductores se dividen en “filamentos” de área “muy pequeña”, por lo que la corriente que circula por ellos es ∆I=J ∆s.
• Densidad de corriente uniforme, implica que J=I/S, para cada conductor. Luego, ∆I=I∆S/S.
• El “circuito cerrado” formado por los filamentos k y l del Circuito B, enlaza una porción del campo magnético producido por los filamentos i y j del Circuito B.
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Inductancia mutua
• Los flujos enlazados son:
( ) ( )[ ]ikilao
r
r
aoikl rr
S
SI
r
dr
S
SIil
ik
lnln22 1
1
1
1, −
∆=
∆=∆Φ ∫ π
µπµ
( ) ( )[ ]jkjlao
r
r
aojkl rr
S
SI
r
dr
S
SIjl
jk
lnln22 2
1
2
1
, −∆
=∆
−=∆Φ ∫ πµ
πµ
• El flujo total enlazado por los filamentos l y k es la suma de todos los flujos producidos por el circuito a:
( ) ∑∑==
∆Φ+∆Φ=Φn
j
jkl
n
i
iklakl
1
,
1
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∆−∆+∆−∆=Φ ∑ ∑∑∑
= ===
n
i
n
j
jl
n
j
jkik
n
i
ilao
akl SrS
SrS
SrS
SrS
I
1 1
2
21
2
2
1
11
1
1
ln1
ln1
ln1
ln1
2πµ
• Haciendo tender n a infinito, los delta de superficie tenderán a cero, y por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−−=Φ ∫ ∫ ∫∫
1 2 21
2
2
2
2
1
1
1
1
ln1
ln1
ln1
ln1
2S S S
jkjlik
S
ilao
akl dSrS
dSrS
dSrS
dSrS
Iπµ
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Inductancia mutua
• Estamos en la búsqueda de una constante de proporcionalidad que indique cual es el flujo que enlaza el circuito b, generado por el circuito a.
• Problema: dependiendo de cómo se escojan los pares (k,l), se tendrán distintas expresiones para el flujo enlazado.
• Solución: tomar un promedio sobre los n2 pares (k,l).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2 2
1 1 2 221 1 1 1 2 2
1
1 2 2 1
1 1 11 2 2 1
1 1 1 1 1ln ln ln ln
2
1 1 1 1 1 1 1ln ln ln ln
2
n no a
kl il ik jl jkal k S S S S
n n no a
il jl jk ik
l l kS S S
Ir dS r dS r dS r dS
n S S S S
Ir dS r dS r dS r dS
S n S n S n S
µπ
µπ
= =
= = =
Φ = − − +
= − + −
∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫
∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫1
1
1n
k Sn=
∑ ∫
• Nuevamente haciendo n tender a infinito, y aplicando la definición de inductancia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 1 4 2 3 2 3 1
1 4 2 4 2 3 1 3
1 4 2 4 2 3 1 3
ln lnln ln
2
kl jl jkil ika oab
a S S S S S S S S
r rr rL dS dS dS dS dS dS dS dS
I S S S S S S S S
µπ
Φ= = − + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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Inductancia mutua
• Se define el concepto de “distancia media geométrica” entre un área i y un área j como:
1 3
13
ln2
o n nab
nn
g gL
g g
µπ
=
( )∫ ∫=iS Sj
jiij
ji
ij dSdSrSS
g ln1
ln
=
1324
2314ln2 gg
ggL oab π
µ
• Si los circuitos a y b comparten su retorno, i.e, los conductores 2 y 4 se superponen formando un conductor n:
• Si los radios de los conductores son iguales y son mucho menores a la distancia de separación:
( ) ( ) ( )12 12 1 2 12 1 2 12 12 12
1 1ln ln ln ln
S S S S
g r dS dS D dS dS D g DSS SS
= ≈ = ⇒ ≈∫ ∫ ∫ ∫
1 2
12
12
ln2
o n n
nn
g gL
g g
µπ
=
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Inductancia propia
• La inductancia propia da cuenta del flujo enlazado y producido por el mismo circuito.
• Por lo tanto, se puede suponer que el circuito a se superpone al circuito, y luego aplicar la definición de inductancia mutua.
2
1
11
11
ln2
o n
nn
gL
g g
µπ
=
• El radio medio geométrico gaa para un círculo de radio rc es:1
411 cg e r
−=
• Esta expresión se obtiene al aplicar la definición:
( )1 1
11
1 1
1ln ln
ij i j
S S
g r dS dSS S
= ∫ ∫
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Inductancia
• La caída de tensión en la fase a de un simple circuito es:
( )3 3 3
1 1 1 1 1
1 1 1
k k k k k
k k k
d dv L I V j L I
dt dtω
= = =
= Φ = ⇒ =∑ ∑ ∑& &
2
0 1 1 2 1 3
1 1 2 3
11 12 13
ln ln ln2
n n n n n
nn nn nn
g g g g gV j I I I
g g g g g g
µω
π
= + +
& & & &
( )3 3 3
0 1
1
1 1 1 1
1ln ln ln
2
nk kn k k
k k knn k
gV j I g I I
g g
µω
π = = =
= + +
∑ ∑ ∑& & & &
• Si el sistema es balanceado y el retorno común está muy lejos:
( ) ( )3 3 3
1 2 3
1 1 1
0, ln ln 0k n n n fn kn k fn k
k k k
I g g g g g I g I= = =
= ≈ ≈ ≈ ⇒ ≈ =∑ ∑ ∑& & &
0
1 1 2 314
12 13
1 1 1ln ln ln
2c
V j I I ID De r
µω
π −
= + +
& & & &
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Inductancia
• De la misma forma que se hizo para la capacitancia, se tendrá que para una línea triangular o con transposición:
[ ]{
70
1
70
1 1 114
4 10 /
'
ln ' 2 10 ln2 eqH mc
L
DMG DMG HV j I L
r me r µ π
µω
π −
−
−=
= ⇒ = ⋅
& &
1442443¡ Y lo anterior se tiene para todas las fases!
1 4 23eq cr e r d−= ⋅
d d
d
d
1 4
eq cr e r d−= ⋅
d
dd
d
1 4 341,09eq cr e r d−= ⋅
• Y en el caso de tener conductores fasciculados:
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Carta de operación de una línea de transmisión
• Conocido también como diagrama de círculo.• Idea: Dadas las tensiones en los extremos transmisor y receptor, establecer
el lugar geométrico de la potencia compleja en el extremo receptor:* * *
*
*
t rt r r r
V A VV AV BI I
B
−= + ⇒ =
&& &&& & & & &
&
2**
*
* *
rr tr r r
A VVVS V I
B B= = −
& && && & &
& &
0r r
t
V V A A
V B B
αδ β
= ∠ ° = ∠
= ∠ = ∠
&&
& &
( ) ( )
( ) ( )
2
2
cos cos
sin sin
r t rr
r t rr
V V V AP
B B
VV V AQ
B B
β δ β α
β δ β α
= − − −
= − − −
• Si se considera que:
( ) ( )2 22 2
cos sin r tr rr r
VVV A V AP Q
B B Bβ α β α
+ − + + − =
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Diagrama de círculo
• Al igual que el generador, existe un límite térmico de la línea.• Luego, la carta debe dar cuenta de ambos límites simultáneamente.
[ ],r rP Q
P
Q
( ) ( )2 2
cos , sinr rV A V A
B Bβ α β α
− − −
r tV VRadio
B=