ejercicios del capitulo 4

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico

EJERCICIOS DEL CAPITULO 4

EJERCICIO 13:

En un problema similar al del ejercicio 11 es necesario garantizar que la resistencia minima que tienen un envase de plástico en posición vertical sea de 20kg. Para evaluar esto se obtuvieron los siguientes datos mediante pruebas destructivas:

28.3 26.8 26.6 26.5 28.1 24.8 27.4 26.2 29.4 28.6 24.9

25.2 30.4 27.7 27.0 26.1 28.1 26.9 28.0 27.6 25.6 29.5

27.6 27.3 26.2 27.7 27.2 25.9 26.5 28.3 26.5 29.1 23.7

29.7 26.8 29.5 28.4 26.3 28.1 28.7 27.0 25.5 26.9 27.2

27.6 25.5 28.3 27.4 28.8 25.0 25.3 27.7 25.2 28.6 27.9

a) Análisis exploratorio (histograma y las estadísticas descriptivas, diagrama de caja)

b) Estime un intervalo de confianza para la media al 95% c) Un estudio suponía que la µ=25. Dada la evidencia de los datos , ¿tal

supuesto es correcto d) Estime un intervalo de confianza para la desviación estándar al 95%

SOLUCION X: RESISTENCIA ENVASE PLASTICO (KG) Del análisis exploratorio podemos concluir lo siguiente: Los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior (20Kg) se cumple con la calidad exigida Media y mediana están alrededor de 27 kg, además su desviación es 1,43kg Coef Var= 5,25% Los límites reales se encuentra el 97,3% entre 22,93 y 31,51Kg El diagrama de caja nos señala cierta simetría de la información y que se encuentra los bigotes alejados de la especificación inferior. Estadísticas descriptivas: resistencia(kg) Conteo

Variable total Media Desv.Est. CoefVar Mínimo Q1 Mediana

resistencia(kg) 55 27,220 1,430 5,25 23,700 26,200 27,300

N para

Variable Q3 Máximo Rango IQR Modo moda

resistencia(kg) 28,300 30,400 6,700 2,100 26,5. 27,6. 27,7. 28,1 3


Variable Sesgo Kurtosis

resistencia(kg) -0,12 -0,32

30

28

26

24

22

20

resis

ten

cia

(kg

)

20

27,3

Gráfica de caja de resistencia(kg)

30,428,827,225,624,022,420,8

14

12

10

8

6

4

2

0

resistencia(kg)

Fre

cu

en

cia

20 22,93 31,51

Media 27,22

Desv.Est. 1,430

N 55

1

4

6

14

11

8

7

3

1

Histograma de resistencia(kg)Normal

Inferior

Especificación

Inferior

Lim. Real

Superior

Lim. Real


Ho: µ=25 kg Ha: µ≠25 kg

Como no se conoce la desviación estándar poblacional y el parámetro a probar es la Media Poblacional µ entonces se escoge la distribución 1 T b y c) T de una muestra: resistencia(kg) Prueba de mu = 25 vs. no = 25

Media del

Error

Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 95% T

resistencia(kg) 55 27,220 1,430 0,193 (26,833. 27,607) 11,52

Variable P

resistencia(kg) 0,000

Valor p < Alfa (0,05) entonces se rechaza ho la media es diferente de 25 El intervalo de confianza: “Con una confianza del 95% se puede afirmar que la media verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 26,833 y 27,607 Kg” d) Determinar el intervalo de confianza para la desviación estándar para lo cual primero hay que saber si los datos siguen distribución normal o no

313029282726252423

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

resistencia(kg)

Po

rce

nta

je

Media 27,22

Desv.Est. 1,430

N 55

KS 0,059

Valor P >0,150

Gráfica de probabilidad de resistencia(kg)

ALFA=0.05

Ha: los datos no siguen una distrb, normal

HO: los datos siguen una distrb, normal

valorp > alfa

Los datos son normales

Se acepta Ho



Prueba e IC para una desviación estándar: resistencia(kg) Método

El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal.

El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas

Variable N Desv.Est. Varianza

resistencia(kg) 55 1,43 2,04

Intervalos de confianza de 95%

IC para IC para

Variable Método Desv.Est. varianza

resistencia(kg) Estándar (1,20. 1,76) (1,45. 3,10)

Ajustado (1,22. 1,73) (1,49. 2,99)

El intervalo de confianza: “Con una confianza del 95% se puede afirmar que la desviación estándar verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 1,20 y 1,76 Kg”

EJERCICIO 16:


En la fabricación de discos compactos una variable de interés es la densidad mínima (grosor) de la capa de metal, la cual no debe ser menor de 1.5 micras. Por experiencia se sabe que la densidad minima del metal casi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque en el método actual también se miden los radios 32,40 y 48. Se realizan siete lecturas en cada radio, lo cuál da un total de 35 lecturas, de las cuales solo se usa la mínima. A continuación se presente una muestra histórica de 18 densidades mínimas. TABLA DE DENSIDADES

a) Argumente en términos estadísticos si las densidades mínimas individuales

cumplen con la especificación de 1.5 micras. Sugerencia aplique la regla empírica.

b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mínima.

c) Proporcione un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar. d) Dibuje el diagrama de cajas para los datos e interprete los resultados.

Solución: X: densidad mínima (grosor) micras Variable Aleatoria Continua (MEDICION) Especificación Inferior: Ei= 1,5 micras Regla Empírica: µ ± 3 σ ( Es lo mismo que los limites reales) El proceso es capaz ya que los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior tanto así aplicando 6 sigma se obtiene un limite µ±6σ de 1.5522 es decir que de 1 millón de CD existen “0” que no cumple esa calidad. Como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

1.81 1.97 1.93 1.97 1.85 1.99 1.95 1.93 1.85

1.87 1.98 1.93 1.96 2.02 2.07 1.92 1.99 1.93


2.041.921.801.681.56

7

6

5

4

3

2

1

0

Densidad

Fre

cu

en

cia

1.5 1.746 2.13381.5522

Media 1.94

Desv.Est. 0.06463

N 18

2

7

5

3

1

Histograma de DensidadNormal

Inferior

Especificación

Inferior

Lim. RealSuperior

Lim. Real

De acuerdo a los resultados los datos cumple con la especificación mínima dado el 99.7% de los datos es superior 1.75 micras

b) Para hallar el intervalo de confianza de la “µ” Como la varianza poblacional es desconocida se aplica “1T” Utilizando el Minitab:

T de una muestra: Densidad Media del

Error

Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 99%

Densidad 18 1.9400 0.0646 0.0152 (1.8959, 1.9841)

Interpretación: “ Se puede afirmar con un 99% de confianza que la media verdadera de la densidad mínima se encuentra entre 1.8959 y 1.9841 micras”

C) Para hallar el intervalo de confianza de la “σ”, para lo cual es necesario determinar si los datos siguen o no una distribución NORMAL para lo cual utilizamos la prueba o TEST de NORMALIDAD prueba de KOLMOGOROV como se observa a continuación:


2.102.052.001.951.901.851.80

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Densidad

Po

rce

nta

jeMedia 1.94

Desv.Est. 0.06463

N 18

KS 0.161

Valor P >0.150

Ha: Los datos no siguen distribución normal

Ho: Los datos son normales

Valor p > Alfa


Acepta Ho

Se concluye que los datos siguen una DISTRIBUCIÓN NORMAL Hallando el intervalo de confianza para la σ se obtiene Prueba e IC para una desviación estándar: Densidad Método

El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal.

El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas

Variable N Desv.Est. Varianza

Densidad 18 0.0646 0.00418

Intervalos de confianza de 99%

IC para

Variable Método Desv.Est. IC para varianza

Densidad Estándar (0.0446, 0.1116) (0.00199, 0.01246)

Ajustado (0.0441, 0.1144) (0.00194, 0.01310)

Interpretación: “ Se puede afirmar con un 99% de confianza que la σ verdadera de la densidad mínima se encuentra entre 0.0446 y 0.1116 micras”

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico D) Diagrama de CAJAS o BOXPLOT Se observa que el 50% de los datos es superior o Inferior a 1.94 micras, los datos se encuentran muy por encima de la Especificación Inferior.

2.1

2.0

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

De

nsid

ad

1.5

1.94

Gráfica de caja de Densidad

EJERCICIO 23: Bajo condiciones controladas, en un laboratorio se evaluó en 10 hombres y 10 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes:

MUJER HOMBRE

75 74

77 72

78 77

79 76

77 76

73 73

78 75

79 73


78 74

80 75

a) ¿Cuáles son en realidad los tratamientos que se comparan en este estudio? b) ¿Las muestras son dependientes o independientes? c) ¿La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para

mujeres? SOLUCIÓN X: Las temperaturas Mujeres (°F) Y: Las temperaturas Hombres (°F) Son poblaciones independientes PRIMER PASO SI SON NORMALES O NO APLICANDO KOLMOGOROV SE CONCLUYE QUE SON NORMALES COMO SE OBSERVA EN LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y VALORES P

79787776757473727170

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

HOMBRE

Po

rce

nta

je

Media 74.5

Desv.Est. 1.581

N 10

KS 0.129

Valor P >0.150

Gráfica de probabilidad de HOMBRENormal


828078767472

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

MUJER

Po

rce

nta

je

Media 77.4

Desv.Est. 2.066

N 10

KS 0.223

Valor P >0.150

Gráfica de probabilidad de MUJERNormal

LOS DATOS HOMBRES Y MUJERES SON NORMALES

PASO 2 PROBAR SI LAS VARIANZAS SON IGUALES

HO: VAR 1 = VAR 2

HA: VAR 1 ≠ VAR2

HOMBRE

MUJER

4.03.53.02.52.01.51.0

Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para Desv.Est.

HOMBRE

MUJER

8078767472

Datos

Estadística de prueba 1.71

Valor P 0.438

Estadística de prueba 0.03

Valor P 0.860

Prueba F

Prueba de Levene

Prueba de igualdad de varianzas para MUJER, HOMBRE

Ha: Varianza 1 diferente Varianza2

Ho: Varianza 1= Varianza2

Ademas se intersectan sus intervalos de confianza

Es decir las varianzas son iguales

Acepto Ho

0.438 > 0.05

Valor p > alfa

Como son Normales

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Prueba de varianzas iguales: MUJER, HOMBRE Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para desviaciones estándares

N Inferior Desv.Est. Superior

MUJER 10 1.35115 2.06559 4.15938

HOMBRE 10 1.03426 1.58114 3.18387

Prueba F (distribución normal)

Estadística de prueba = 1.71, valor p = 0.438

Prueba de Levene (cualquier distribución continua)

Estadística de prueba = 0.03, valor p = 0.860

Como son NORMALES se selecciona la PRUEBA F

Valor p (0.438 ) > alfa

Acepto HO LAS VARIANZAS SON IGUALES

Ho: µX=µY

Ha: µX≠µY

Realizando la prueba 2T porque son independientes

Prueba T e IC de dos muestras: MUJER, HOMBRE T de dos muestras para MUJER vs. HOMBRE

Media del

Error

N Media Desv.Est. estándar

MUJER 10 77.40 2.07 0.65

HOMBRE 10 74.50 1.58 0.50

Diferencia = mu (MUJER) - mu (HOMBRE)

Estimado de la diferencia: 2.900

IC de 95% para la diferencia: (1.172, 4.628)

Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 3.53 Valor P = 0.002 GL = 18

Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 1.8394

Conclusión: Valor p < alfa SE RECHAZA HO es decir las medias de las temperaturas de los hombres y las mujeres es diferente.


Además se puede afirmar que la media de las mujeres es mayor ya que el intervalo de confianza para la diferencia de las medias es positivo.

EJERCICIO 24: Se prueban 10 partes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcentaje multiplicado por 10. Los resultados fueron los siguientes

TEMPERATURA BAJA

TEMPERATURA ALTA

17.2 21.4

17.5 20.9

18.6 19.8

15.9 20.4

16.4 20.6

17.3 21

16.8 20.8

18.4 19.9

16.7 21.1

17.6 20.3

Descriptive Statistics: T. Baja; T. Baja

Descriptive Statistics: T. Baja; T. Alta Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1

T. Baja 10 0 17,240 0,266 0,842 0,709 4,89 15,900 16,625

T. Alta 10 0 20,620 0,165 0,520 0,271 2,52 19,800 20,200

N for

Variable Median Q3 Maximum Range IQR Mode Mode Kurtosis

T. Baja 17,250 17,800 18,600 2,700 1,175 * 0 -0, 39

T. Alta 20,700 21,025 21,400 1,600 0,825 * 0 -0,81

Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean

1 10 17,240 0,842 0, 27

2 10 20,620 0,520 0, 16

Difference = mu (1) - mu (2)

Estimate for difference: -3,380

95% CI for difference: (-4,037; -2,723)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -10,80 P-Value = 0,000 DF = 18

Both use Pooled StDev = 0,6998


Retrieving project from file: 'C: \DOCUMENTS AND

SETTINGS\PC1ESCRITORIO \ EJERCICIO 24 CAP 4.MPJ'

Box Plot Of. T. Baja; T. Alta

EJERCICIO 25: Una compañía de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercancía de un depósito a otro. La mayor preocupación es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar 5 chóferes de un grupo de 10 y se asignaron a la ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. Los datos obtenidos fueron:

RUTA TIEMPO DE VIAJE

A 18 24 30 31 32

B 22 29 34 25 35

a) ¿Existen diferencias significativas entre las rutas? Plantee y pruebe las hipótesis estadísticas correspondientes?

b) En caso de rechazar la hipótesis del inciso a), dibuje los diagramas de cajas simultáneos para determinar cuál ruta es mejor.

Descriptive Statistics: A; B

18.5

18.0

17.5

17.0

16.5

16.0

21.6

21.2

20.8

20.4

20.0

T. Baja T. Alta

Boxplot of T. Baja; T. Alta

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Variable N * Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum

A 5 0 27,00 2,65 5,92 18,00 21,00 30,00 31,50 32,00

B 5 0 29,00 2,51 5,61 22,00 23,50 29,00 34,50 35,00

Two-Sample T-Test and CI * NOTE * Graphs cannot be made with summarized data.

Sample N Mean StDev SE Mean

1 5 27, 00 2, 65 1, 2

2 5 29, 00 2, 51 1, 1



95% CI for difference: (-5,86; 1,86)


EJERCICIO 26: Se tiene dos proveedores de una pieza metálica cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a 20.25 cm. Se toman dos muestras de 14 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación:

PROVEEDOR DIAMETROS DE LAS PIEZAS DE CADA PROVEEDOR

1

21.38 20.13 19.12 19.85 20.54

18 22.24 21.94 19.07 18.6

21.89 22.6 18.1 19.25

2

21.51 22.22 21.49 21.91 21.52

22.06 21.51 21.29 22.71 22.65

21.63 22.22 21.92 20.82

a) Prueba la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en

cuánto a sus medias. b) Prueba la hipótesis de igualdad de varianza. c) Si las especificaciones para el diámetro son 20.25 mm +/- 2.25 mm, ¿Cuál

proveedor produce menos piezas defectuosas? d) Con cuál proveedor se quedaría usted

PROVEEDOR 1 PROVEEDOR 2 VAR S1 VAR S2 21.38 21.51 2.507 * 18 22.06 0.276 * 21.89 21.63 *


20.13 22.22 0.36980 22.4 21.51 * 22.60 22.22 * 19.12 21.49 * 21.94 21.92 * 18.01 21.91 * 19.85 22.71 3.05045 19.07 20.82 * 19.25 21.52 * 20.54 22.65 * 18.6 Descriptive Statistics: Proveedor 1; Proveedor 2 Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1

Proveedor 1 14 0 20,194 0,423 1,583 2,507 7,84 18,000 18,953

Proveedor 2 14 0 21,819 0,140 0,525 0,276 2,41 20,820 21,505

N for

Variable Median Q3 Maximum IQR Mode Mode Kurtosis

Proveedor 1 19,990 21,903 22,600 2,950 * 0 -1,44

Proveedor 2 21,770 22,220 22,710 0,715 21,51; 22,22 2 -0,18

Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean

1 14 20,19 1,58 0,42

2 14 21,819 0,525 0,14



95% CI for difference: (-2,541; -0,709)



Test for Equal Variances

95% Bonferroni

confidence

intervals

for standard

deviations

Sample N

Lower

StDev

Upper

2

1

3.02.52.01.51.00.5

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

Test Statistic 9.08

P-Value 0.000

F-Test



EJERCICIO 27: En Kocaoz, S. Samaranayake, V.A. Nanni A. (2005), se presenta una investigación donde se estudian dos tipos de barra de polímero, cuya tensión se refuerza con Fibra de vidrio(FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero son utilizadas para reforzar concreto por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barra se muestran a continuación:

TIPO DE BARRA

RESISTENCIA

A 939 976 1025 1034 1015 1015 1022 815

22,7122,65

22,2222,0621,92

21,9121,63

21,5221,51

21,4921,29

20,82

120100806040200

Pro

ve

ed

or 2


22,7122,65

22,2222,0621,92

21,9121,63

21,5221,51

21,4921,29

20,82

232221201918

Pro

ve

ed

or 2

Proveedor 1

Test Statistic 0.12

P-Value 0.427

F-Test

Test for Equal Variances for Proveedor 1


B 1025 938 1015 983 843 1053 1038 938

a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para demostrar la hipótesis c) Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Para rechazar o no la

hipótesis apóyese tanto ene l criterio de valor-p como en el valo0r crítico de tablas

d) Explique como se obtiene el valor-p de inciso anterior e) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos f) ¿Existe algún tratamiento mejor?

Descriptive Statistics: A; B Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance Minimum Q1 Median

A 8 0 980,1 26,1 73,8 5439,6 815,0 948,3 1015,0

B 8 0 979,1 24,7 69,9 4891,8 843,0 938,0 999,0

N for

Variable Q3 Maximum IQR Mode Mode Kurtosis MSSD

A 1024,3 1034,0 76,0 1015 2 3,96 3365,0

B 1034,8 1053,0 96,8 938 2 0,79 6317,6

Two-Sample T-Test and CI SE

Sample N Mean StDev Mean

1 8 980,1 73,8 26

2 8 979,1 69,9 25


Estimate for difference: 1,0

95% CI for difference: (-76,1; 78,1)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 0,03 P-Value = 0,978 DF = 14


Test for Equal Variances 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Sample N Lower StDev Upper

1 8 46,1412 73,7536 168,931

2 8 43,7562 69,9414 160,200

F-Test (Normal Distribution)

Test statistic = 1,11; p-value = 0,892



2

1

1751501251007550


Test Statistic 1.11

P-Value 0.892

F-Test


ejercicios del capitulo 4

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