ejercicios de control y simulaciÓn de procesos (listo)

“EJERCICIOS DE CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS”

KELLY PAOLA CERPA POZO

ING. MELANIO A. CORONADO

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERÍA QUIMICA

Ejercicio 6.13. En la sección 4-2.3, un reactor químico no isotérmico esta modelado en detalle. Calcule la ganancia y el periodo ultimo de un controlador de temperatura proporcional para el reactor asumiendo que la válvula de control esta instalada sobre la línea de reactantes, para manipular el flujo de reactantes f (t) porcentaje con caída de presión constante y α=50, y el transmisor de temperatura tiene un rango de 640 a 700R. La constante de tiempo de la válvula y el transmisor se pueden despreciar. Dibuje el diagrama de bloques del lazo de control de la temperatura que muestra todas las funciones de transferencia. Sugerencia: Para simplificar el sistema asuma que todas las variables de entrada, incluyendo el flujo de refrigerante son constantes. Use una válvula de presión lineal con caída de presión constante y sobredimensionada en un 100%.

Información del procesoV=12.36 ft3 k0=8.33*108 ft3/(lbmol*min)E=27.820 Btu/lbmol R=1.987 Btu/(lbmol °R)ρ=55lbm / ft3 Cp=0.88 Btu/lbm°F∆ H=−12000Btu / lbmol U=75 Btu/(h*ft2*°F)A= 36 ft2 ρc=62.4 lbm/ ft 3 C pc=1.0 lbm / ft 3 Vc=1.56 ft3

Valores en estado estacionarioCai(t)=0.5975lbmol/ft3 Ti(t)= 635 °RTc=602.7 °R f=1.3364 ft3/minCA(t)=0.2068 lbmol/ft3 T(t)=678.9 °RTci(t)=540 °R f(t)=0.8771 ft3/min

Solución:

Se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de salida del fluido que se procesa, T(t), con la temperatura de entrada de flujo de reactantes, Ti(t), la tasa de flujo del agua de enfriamiento, fc(t) y la temperatura de entrada del fluido que se procesa Ti(t).

Un balance de moles del componente A, en estado dinámico

f (t ) c Ai ( t )−V r A ( t )−f ( t ) cA (t )=Vdc A

dt(1)

1ecuación ,2 incognitas [r A (t ) , c A( t)]

donde:

V= volumen del líquido en el reactor ft3.

La velocidad de reacción nos da otra ecuación:

r A ( t )=k0 exp ( −ERT (t ))cA2

(2)

2ecuaciones ,3 incognitas [T (t) ]

Linealizando (2)

r A ( t )=rAs+( ∂r A∂T (t) )ss (T ( t )−T s )+( ∂r A

∂c A( t))ss (c A(t )−c As )

rAs=k0 exp ( −ERT s

)c As2

C1=( ∂ r A∂T (t))ss=

k 0E

RT s2 exp ( −E

RT s)c As

2

C2=( ∂r A∂c A( t))ss=2k 0exp ( −E

RT s)c As

r A (t )=k0 exp ( −ERT s )cAs2+

k0 E

RT s2 exp ( −E

RT s )cAs2 (T ( t )−T s )+2k 0exp ( −ERT s )cAs (c A(t )−c As )

r A ( t )=rAs+C1 (T ( t )−T s )+C2 (cA (t)−cAs )

Reemplazando (4) en (1)

f (t ) c Ai ( t )−V r As−V C1 (T ( t )−T s )−V C2 (c A(t )−c As )−f ( t ) c A ( t )=VdcAdt

Linealizando el primer y último término del lado izquierdo de la ecuación (5)

f (t ) c Ai ( t )=f s c Ais+ f s [c Ai(t )−c Ais ]+cAis [ f ( t )−f s ]

f (t ) c A (t )=f sc As+ f s [c A(t)−c As ]+cAs [ f (t )−f s ]

(4)

(5)

Reemplazando los términos linealizados en (5)

f s c Ais+ f s [c Ai( t)−c Ais ]+c Ais [ f (t )−f s ]−V r As−V C1 (T (t )−T s )−V C2 (cA (t )−cAs )−f s cAs−f s [c A (t )−c As ]−c As [ f (t )−f s ]=Vdc A(t)dt

Evaluando (6) en estado estacionario

f s c Ais+ f s [c Ais−cAis ]+c Ais [ f s−f s ]−V r As−V C1 (T s−T s )−V C2 (c As−cAs )−f sc As−f s [c As−c As ]−c As [ f s−f s ]=VdcAsdt

f s c Ais−V r As−f s c As=VdcAsdt

Restando (6) y (7)

f s [c Ai( t)−c Ais ]+c Ais [ f ( t )−f s ]−V C1 (T ( t )−T s )−V C2 (c A (t )−c As )−f s [ cA (t )−cAs ]−cAs [ f ( t )−f s ]=Vd [c A (t )−c As ]

dt

Definiendo las variables de desviación

F ( t )=f ( t )−f s

Γ ( t )=T ( t )−T s

C A (t )=c A ( t )−c As

C Ai (t )=c Ai (t )−cAis

f sCAi ( t )+c AisF (t )−V C1Γ ( t )−V C2C A (t )−f sC A ( t )−c AsF (t )=VdC A (t )dt

f sCAi (t )+[c Ais−c As ]F (t )−V C1Γ (t )−[V C2+ f s ]C A (t )=Vd CA (t )dt

Lo que se busca es llevar esta ecuación a la forma de una ecuación de segundo orden

τdY 2(t)dt

+2 τεdY (t)dt

+Y (t)=K i X ( t)

f sCAi (t )+[c Ais−c As ]F ( t )−V C1Γ ( t )=VdC A (t )dt

+[V C2+ f s ]CA ( t )

f sV C2+f s

C Ai ( t )+[c Ais−c As ]V C2+ f s

F (t )−V C1

V C2+f sΓ ( t )= V

V C2+f s

dC A ( t )dt

+C A ( t )

(6)

(7)

K1CAi ( t )+K2 F (t )−K3 Γ (t )=τ1

d CA (t )dt

+CA (t )

Definiendo los parámetros dinámicos:

τ1=V

V C2+ f s=2.07min

K1=f s

V C2+ f s=0.209

K2=[c Ais−c As ]V C2+ f s

=0.0612lbmol / ft3

ft3/min

K3=V C1

V C2+ f s=0.00248

lbmol / ft3

° R

Aplicando transformada de la place, tenemos:

K1

τ1

CAi (s )+K 2

τ1

F (s )−K3

τ1

Γ ( s)=sC A ( s)−CA (0 )+C A (s )τ1

C A (s )=K1

τ1 s+1C Ai (s )+

K2

τ1 s+1F ( s )−

K3

τ1 s+1Γ ( s )

Seguimos necesitando otra ecuación, específicamente, una ecuación para obtener temperatura. Usualmente un balance de energía sería una ecuación necesaria. Entonces escribimos un balance de energía en estado dinámico del reactor:

f ( t ) ρC pT i ( t )−V r A (t )∆ H r−UA [T (t )−T c (t ) ]−f (t ) ρCpT ( t )=V pC v

dT (t)dt

(9)

3ecuaciones ,4 incognitas [T c (t)]

donde ∆ H r, es el calor de reacción

Las funciones de transferencia se pueden obtener a partir de las ecuaciones (1) y (4); sin embargo antes de hacerlo se deben linealizar todas las ecuaciones, cuyos términos no lineales son específicamente el primero y último del miembro izquierdo.


f (t ) ρC pT i (t )−V ∆ H r rAs−V ∆ H rC1 (T (t )−T s )−V ∆ H rC2 (c A(t )−c As )−UA [T (t )−T c (t ) ]−f (t ) ρCpT ( t )=V pC v

dT (t)dt

(8)

(10)

Linealizando el primer y el ultimo término del lado izquierdo de la ecuación (10)

f (t )T i (t )=f sT is+ f s [T i (t )−T is ]+T is [ f (t )−f s ]

f (t )T (t )=f sT s+ f s [T (t)−T s ]+T s [ f (t )−f s ]


ρC p f sT is+ρCp f s [T i (t )−T is ]+ρCpT is [ f (t )−f s ]−V ∆ H r rAs−V ∆ H rC1 (T (t )−T s)−V ∆ H rC2 (cA (t )−c As)−UAT (t )+UAT c (t )−ρC p f sT s−f s [T ( t )−T s ]− ρC pT s [ f ( t )−f s ]=V pC v

dT ( t)dt

Evaluando (11) en estado estacionario

ρC p f sT is+ρCp f s [T is−T is ]+ρC pT is [ f s−f s ]−V ∆ H r r As−V ∆ H rC1 (T s−T s )−V ∆ H rC2 (cAs−c As)−UAT s+UAT cs−ρC p f sT s− ρC p f s [T s−T s ]−ρC pT s [ f s−f s ]=V pC v

dT s

dt

ρC p f sT is−V ∆ H r r As−−UAT s+UAT cs− ρC p f sT s=V pC v

d T s

dt

Restando (11) y (13)

ρC p f s [T i ( t )−T is ]+ρC pT is [ f (t )−f s ]−V ∆ H rC1 (T (t )−T s )−V ∆ H rC2 (cA (t )−cAs )−UA [T (t )−T s ]+UA [Tc (t )−Tcs ]−f s [T (t )−T s ]−ρC pT s [ f (t )−f s ]=V pC v

d [T (t )−T s ]dt


F ( t )=f ( t )−f s

Γ ( t )=T ( t )−T s

C A (t )=c A ( t )−c As

Γ i (t )=T i (t )−T is

Γ c (t )=T c (t )−T cs

ρC p f s Γ i (t )+ρC pT isF ( t )−V ∆ H rC1Γ (t )−V ∆ H rC2C A ( t )−UAΓ (t )+UA Γc (t )−f sΓ ( t )−ρC pT s F ( t )=V pC v

d Γ (t )dt


τdY 2(t)dt

+2 τεdY (t)dt

+Y (t)=K i X ( t)

(11)

(12)

(13)

(14)

Reordenando términos:

[ ρC pT is−ρCpT s ]F (t ) +ρCp f sΓ i (t )−V ∆ H rC2C A ( t )−[V ∆ H rC1+UA+ f s ]Γ ( t )+UAΓ c ( t )=V pC v

dΓ (t )dt

[ ρC pT is−ρCpT s ]F (t ) +ρCp f sΓ i (t )−V ∆ H rC2C A (t )+UAΓ c (t )=V pC v

dΓ (t )dt

+ [V ∆H rC1+UA+ f s ]Γ (t )

[ ρC pT is−ρCpT s ][V ∆ H rC1+UA+ f s ]

F ( t )+ρCp f s

[V ∆ H rC1+UA+ f s ]Γ i ( t )−

V ∆ H rC2

[V ∆ H rC1+UA+ f s ]CA (t )+ UA

[V ∆H rC1+UA+ f s ]Γ c (t )=

V pC v

[V ∆ H rC1+UA+ f s ]dΓ (t )dt

Γ (t )

+Γ ( t )

K4 F (t )+K5 Γ i ( t )−K 6C A ( t )+K 7Γ c ( t )=τ 2

dΓ ( t )dt

Γ ( t )+Γ ( t )

Definiendo los parámetros dinámicos:

τ 2=V pC v

[V ∆ H rC1+UA+f s ]=7.96min

K4=[ ρCpT is−ρC pT s ]

[V ∆ H rC1+UA+ f s ]=26.35

° Rft3

K5=ρC p f s

[V ∆ H rC1+UA+ f s ]=−0.802

K6=V ∆ H rC2

[V ∆ H rC1+UA+f s ]=751.48

° Rlbmol / ft3

K7=UA

[V ∆H rC1+UA+ f s ]=−0.558

Aplicando transformada de la place, tenemos:

sΓ (s )+Γ (0 )+ Γ ( s)τ2

=K4

τ2

F (s )+K5

τ2

Γ i ( s )−K 6

τ2

CA (s )+K7

τ2

Γ c ( s )

Γ ( s)=K4

τ2 s+1F (s )+

K5

τ2 s+1Γ i ( s )−

K 6

τ2 s+1CA ( s )+

K7

τ 2 s+1Γ c ( s )

(15)

(16)

Como tenemos tres ecuaciones y cuatro incógnitas necesitamos una ecuación más para que nuestro sistema esté totalmente especificado. Para esto se lleva a cabo un balance de energía en la chaqueta de enfriamiento.

ρcCpc f c (t)T ci(t)+UA [T ( t )−T c (t ) ]−ρ cC pc f c (t)T c (t)=V c ρcC vc

dT c (t)dt

Linealizando el primer y el ultimo término del lado izquierdo de la ecuación (10)

f c (t )T ci (t )=f csTcis+ f s [T ci (t )−T cis ]+T cis [ f c (t )−f cs ]

f c ( t )T c (t )=f csT cs+ f s [Tc (t )−Tcs ]+Tcs [ f c (t )−f cs ]


ρcCpc f csT cis+ ρcC pc f s [T ci (t )−T cis ]+ ρcC pcT cis [ f c (t )−f cs ]+UAT ( t )−UAT c (t )−ρ cCpc f csT cs− ρcC pc f s [T c (t )−T cs ]−ρcC pcT cs [f c ( t )−f cs ]=V c ρcC vc

dT c (t)dt

Evualuando (18) en estado estacionario

ρcCpc f csT cis+ ρcC pc f s [T cis−T cis ]+ρcCpcT cis [ f cs−f cs ]+UAT s−UAT cs−ρcC pc f csT cs−ρcCpc f s [T cs−T cs ]−ρcC pcT cs [ f cs−f cs ]=V c ρcC vc

dT cs

dt

ρcCpc f csT cis+UAT s−UAT cs−ρcC pc f csTcs=V c ρcC vc

d T cs

dt


ρcCpc f s [T ci ( t )−T cis ]+ρcCpcT cis [ f c ( t )−f cs ]+UA [T ( t )−T s ]−UA [T c (t )−T cs ]− ρcC pc f s [T c (t )−T cs ]−ρcC pcT cs [f c ( t )−f cs ]=V c ρcC vc

d [T c (t )−T cs ]dt


F c ( t )=f c ( t )−f cs

Γ ( t )=T ( t )−T s

Γ ci ( t )=T ci ( t )−T cis

Γ c (t )=T c (t )−T cs

ρcCpc f s Γci ( t )+ρcC pcT cisFc (t )+UA Γ ( t )−UAΓ c ( t )−ρ cC pc f sΓ c (t )−ρcCpcT cs Fc ( t )=V c ρ cC vc

d Γc ( t )dt


(17)

(18)

(19)

(20)

τdY 2(t)dt

+2 τεdY (t)dt

+Y (t)=K i X ( t)

Reordenando términos:

ρcCpc f s Γci (t )+[ ρcC pcT cis−ρcCpcT cs ]Fc (t )+UA Γ (t )−[UA+ ρcC pc f s ]Γ c (t )=V c ρcC vc

d Γ c (t )dt

[ ρcCpcT cis−ρ cC pcTcs ]Fc ( t )+ρcC pc f s Γci (t )+UA Γ ( t )=V c ρcC vc

d Γ c ( t )dt

+[UA+ ρcC pc f s ]Γ c ( t )

[ ρcC pcT cis−ρcCpcT cs ][UA+ρcC pc f s ]

Fc (t )+ρcCpc f s

[UA+ ρcC pc f s ]Γ ci (t )+ UA

[UA+ρcC pc f s ]Γ (t )=

V c ρcC vc

[UA+ρcC pc f s ]d Γc (t )dt

+Γc (t )

K8 Fc (t )+K 9Γ ci (t )+K10Γ (t )=τ3

d Γc (t )dt

+Γc (t )

Definiendo los parametros dinamicos

τ3=V c ρcC vc

[UA+ ρcC pc f s ]=0.976min

K8=[ ρ cCpcT cis− ρcC pcTcs ]

[UA+ ρcC pc f s ]=−39.23

° Rft3/min

K9=ρcC pc f s

[UA+ρ cC pc f s ]=0.5488

K10=UA

[UA+ρcCpc f s ]=0.4512

Aplicando transformada de La place

s Γc (s )+Γc (0 )+Γ c (s )τ3

=K8

τ3 ❑Fc ( s )+

K9

τ3

Γ ci (s )+K10

τ3

Γ ( s )

Γ c (s )=K8

τ3 s+1❑Fc ( s)+

K9

τ3 s+1Γ ci ( s )+

K10

τ3 s+1Γ ( s )


(21)

Γ ( s)=K4

τ2 s+1F (s )+

K5

τ2 s+1Γ i ( s )−

K 6

τ2 s+1CA ( s )+

K7

τ 2 s+1 [ K8

τ3 s+1Fc (s)+

K 9

τ3 s+1Γci (s )+

K10

τ3 s+1Γ (s)]

Γ ( s)−K7

τ2 s+1

K10

τ3 s+1Γ ( s )=

K4

τ2 s+1F (s )+

K 5

τ2 s+1Γ i (s )−

K6

τ2 s+1C A (s )+

K7

τ2 s+1

K8

τ3 s+1Fc (s )+

K7

τ2 s+1

K9

τ3 s+1Γ ci (s )

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K 7K10

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )Γ (s )=[( 1

τ2 s+1 )(K 4F (s )+K5Γ i (s )−K6CA ( s )) ]+[ K7

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 ) ] (K8 Fc (s )+K9 Γci (s ) )

Γ (s)=[( ( τ3 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10

)(K4 F ( s)+K5 Γ i (s )−K6CA (s ) )]+[ K7

( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7K 10 ] (K8 Fc (s )+K9 Γci ( s) )


Γ (s)=[( ( τ3 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10

)(K4 F ( s )+K 5Γ i ( s )−K 6[ K1

τ1 s+1C Ai ( s )+

K2

τ1 s+1F ( s )−

K 3

τ1 s+1Γ (s )])]+[ K7

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K7K10 ] (K8Fc (s )+K9Γ ci (s ) )

Γ (s)=[( ( τ3 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10

)(K4 F ( s )+K 5Γ i ( s )−K 6[ K1

τ1 s+1C Ai ( s )+

K2

τ1 s+1F ( s )])]+( (τ3 s+1 )

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K7K10) K6K 3

τ1 s+1Γ (s )+[ K7

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K7K10 ] (K8Fc (s )+K9Γ ci (s ) )

Γ ( s)−( ( τ3 s+1 )K6 K3

(( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10 )τ1 s+1 )Γ ( s )=[( ( τ3 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10

)(K 4F (s )+K5Γ i ( s)−K6[ K1

τ1 s+1C Ai (s )+

K2

τ1 s+1F (s )])]+[ K7

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K 7K10 ](K8Fc (s )+K9Γ ci (s ) )

Γ ( s)( (τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K7K10 ) ( τ1 s+1 )−(τ3 s+1 )K6 K3

(( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10 ) (τ1 s+1 )=[( ( τ3 s+1 )

( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10)(K4 F ( s )+K 5Γ i ( s)−K 6[ K1

τ1 s+1C Ai ( s )+

K2

τ1 s+1F (s )])]+[ K7

( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10 ] (K8Fc ( s )+K 9Γ ci (s ) )

Γ ( s)=K 4−K 6K1

( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10

F (s )+K5

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K 7K10

Γ i ( s)−K6K1

( τ2 s+1 ) ( τ3 s+1 )−K7 K10

CAi (s )+K7K 8

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K7 K10

Fc ( s)+K7 K9

(τ2 s+1 ) (τ3 s+1 )−K7K 10

Γ ci (s )

De las ecuaciones anteriores y sus respectivos arreglos, obtenemos:

Γ (s)Γ i(s)

=1.31 (2.07 s+1 ) (0.976 s+1 )

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

Γ (s)F (s)

=−31.79 (0.976 s+1 ) (2.77 s+1 )26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

Γ (s)CAi(s)

=256 (0.976 s+1 )

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

Γ (s)Fc (s)

=−35.77 (2.07 s+1 )

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

Γ (s )Γci(s)

=0.5 (2.07 s+1 )

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

Todas las funciones de transferencia desarrolladas son de tercer orden. Sin embargo la dinamica de las variables responden a un comportamiento que varía significativamente dependiendo de la función o cambio que presente. Estas diferencias se pueden ver en los diferentes valores de los numeradores.

Fig. 1: Diagrama de bloque, tomando las otras perturbaciones como constantes.

TSP(s) E(s) M(s) F(s)

T(s)

Fc(s)

GF(s)=−31.79 (0.976 s+1 ) (2.77 s+1 )26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

G (s )= −35.77 (2.07 s+1 )26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1

KSP GC(s) GF(s)GV(s)

G(s)

H(s)

Sensor – Función de Transferencia

La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico despriciable. Siendo el rango del sensor – transmisor de 700a640 ° R, entonces la ganancia es dada por

KT=100 %¿−0%¿ ¿700 ° R−640 ° R

=1.6666 %¿ ¿° R

Entonces la función de transferencia del sensor – transmisor es:

H (s )=1.666 % ¿ ¿° R

Válvula – Función de Transferencia

La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico de primer despreciable. Podemos asumir:

∆ pv=5 psi

Para estimar la ganancia estacionaria de la válvula se tiene en cuenta que es de características de flujo lineales y que su tamaño debe ser el doble del necesario en condiciones nominales (100 % de sobredimensionamiento).

f p=1.3364ft3

min=8.3242 gal /min

Para un flujo de líquido el coeficiente de la válvula máximo es (asumiendo Gf=1¿:

C v ,máx=2 f p√ G f

∆ p=2 ( 8.3242 )√ 1

5=7.4454

gpmmin∗psi1/2

A partir de la siguiente figura seleccionamos un diámetro comercial

Se selecciona una válvula de ½ pulgada (in) cuyo

C v ,máx=11gpm

min∗psi1 /2

Tenemos entonces

f v ,max=C v ,max √∆ pv

f v ,max=11gpm

min∗psi1 /2 √5 psi=24.5967 gpm /min

La válvula es de falla cerrada y, por lo tanto, el signo del valor de la ganancia es positivo. La fórmula para hallar la ganancia de una válvula de características de flujo lineales es:

K v=f v . max

100%CO=

2∗1.3364ft3

min100 %CO ( 7.4454

11 )=0.02

ft3

min%CO

Y la función de transferencia de la válvula es:

Gv (s)=0.02

Controlador Proporcional – Función de Transferencia

Para un controlador proporcional la función de transferencia es la de un sistema de ganancia pura. La acción del controlador debe ser inversa porque es un control de la temperatura de la corriente de salida manipulando el flujo de la corriente de entrada de los reactantes. Por lo tanto, la ganancia del controlador proporcional es positiva y se escribe entonces que:

Gc (s )=K c (18)

Lazo de Control Feedback – Diagrama de bloques

La Figura 3 muestra el tanque de dilución con el lazo de control de concentración de la corriente de salida en donde se ha seleccionado el flujo de la corriente de concentración diluida para manipularse de acuerdo a las decisiones en el controlador. CT representa el sensor – transmisor de temperatura y CF representa el controlador de flujo, SP representa el valor deseado de control de la ctemperatura de la corriente de salida. Las líneas trazadas con pequeños segmentos paralelos y diagonales indican señales de transmisión neumática

La Figura 4 muestra el diagrama de bloques del lazo de control de concentración de la corriente de salida. En cada bloque se despliega la función de transferencia correspondiente y en cada una de las conexiones las señales y las unidades correspondientes. Aparecen las variables de entrada al lazo de control feedback como cambios pasos pero es claro que no es la única variación que se puede aplicar a cada una de ellas.

Lazo de Control Feedback – Parámetros últimos

La ecuación característica de un lazo cerrado de control está dada por:

1+K cK vK TGF (s)=0

Remplazando las funciones de transferencia se tiene que:

1+K cK vK T(−31.79 (0.976 s+1 ) (2.77 s+1 )26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1 )=0

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1−1.0554 K c (0.976 s+1 ) (2.77 s+1 )=0

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1−1.0554 K c (2.7035 s2+3.737 s+1 )=0

26.27 s3+36,31 s2+10.14 s+1−2.7848K cs2−3.8494K c s

❑−1.0301K c=0

26.27 s3+[36.31−2.7848K c ]s2+[10.14−3.8494K c ] s−1.0301K c=0

Evaluando para s = jwu, entonces Kc = Kcu se obtiene que:

26.27 jwu3+ [ 36.31−2.7848K cu ] jw u2+ [ 10.14−3.8494K cu ] jw u−1.0301K cu=0

26.27 j3wu3+ [36.31−2.7848K cu ] j2wu2+ [10.14−3.8494K cu ] jwu−1.0301K cu=0

Resultan entonces las siguientes ecuaciones:

−26.27wu3+[ 10.14−3.8494K cu ]wu=0 (Parte imaginaria)

−[ 36.31−2.7848K cu ]wu2+1.0301K cu+1=0 (Parte real)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (A) y (B) se obtienen los siguientes resultados para los parámetros últimos del lazo cerrado de control feedback:

Frecuencia última de la respuesta: wu=0.3981 rad /min

Ganancia última del controlador: K cu=1,91%CO%¿

¿

Periodo último de la respuesta: T u=2πwu

=15.78min

La Figura 5 muestra la respuesta oscilatoria de amplitud constante del lazo de control de concentración con un controlador proporcional y a cuya ganancia se le ha asignado un valor de

1.91%CO%¿

¿ para un cambio paso unitario en el valor deseado de la concentración.

Figura 2: Diagrama de bloques en Simulink

Figura 3: Cambio paso en el flujo de reactantes

CONTROL Y SIMULACIÓN DE PROCESOS

Ejercicio 6.22. Considere en sistema mostrado en la figura 1. En cada uno de los tanques la reacción que toma lugar es A→E . La velocidad de reacción esta dado por:

r (t )=k C A(t), lbmol/gal*min

Donde k es el coeficiente de la velocidad de reacción min-1 y Ca(t) es la concentración lbmol/gal. Las perturbaciones en este proceso son f i(t) y C Ai( t), la concentración de salida del segundo reactor es controlado manipulando una corriente de A puro en el primer reactor. La densidad de esta corriente es ρA en lb/gal. La temperatura en cada reactor puede ser asumida constante. Los siguientes datos de diseño son conocidos.

Volumen del reactor V1=500 gal V2= 500 galCoeficiente de velocidad de reacción k1= 0.25 min-1 k2= 0.50 min-1Propiedades de la corriente A ρA=2.0 lb/gal MWA=25Condiciones de diseño

C Ai=0.8 lbmol/galf i=50 gal/minf A=50 gal/min

Válvula de control ∆ pv=10 psi Característica linealRango de concentración del transmisor 0.05 – 0.5 lbmol/gal

La dinámica de este sensor puede ser representado por una dinámica de primer orden con un τ=0.5min

a. La válvula de control está sobredimensionada en un 100%. Calcule Cv,y la ganancia de la válvula.

b. Deducir, a partir de principios básicos, el conjunto de ecuaciones que describen la composición del lazo de control. Indique todos los supuestos

c. Linealice las ecuaciones de la parte (b) y dibuje un diagrama de bloques de la composición del lazo de control. Muestre todas las funciones de transferencias con sus valores numéricos y unidades y todas las ganancias y constantes de tiempo, excepto para el controlador.

d. Obtengas las funciones de transferencia de lazo cerrado


C A2(s)CSET

A2(s )C A2(s)F i(s)

CA 2(s )CAi(s)

e. Calcule la ganancia y el periodo ultimo del lazo

Solución:

Se realizan primero los balances necesarios para poder encontrar un modelo matemático.

Modelo Matemático:

Presunciones:o Se considera que los reactores son de mezcla completao Que la temperatura, densidad y volumen son constante, es decir, ρA=ρi= ρ

o Negligible transportation lags

Balance de masa en el reactor 1

VdcA 1(t)dt

=f A (t ) ρA+ f i ( t ) c Ai ( t )−V k1 c A1(t)−f ( t)cA 1(t)


VdcA 2(t)dt

=f (t)c A1(t)−V k 2c A2(t )−f (t)c A2(t)

Balance global

d (ρV )dt

= ρA f A (t)+ρi f i( t)−ρf (t )

Como V y ρ son constantes, entonces (3), queda

(1)

(2)

(3)


0=f A (t)+ f i(t)−f (t )

f (t)=f A (t)+f i( t)


VdcA 1(t)dt

=f A (t ) ρA+ f i ( t ) c Ai ( t )−V k1 c A1(t)−[ f A (t)+ f i(t)] c A1(t)

Evaluando (6) en estado estacionario, tenemos

0=f As ρA+ f is cAis−V k1 c A1 s−f As cA 1 s−f isc A1 s

Valor de los parámetros en estado estacionario

f As=50gal /min

ρA=2.0 lb /gal

f is=50gal /min

c Ais=0.8 lbmol /gal

V=500 gal

k 1=0.25min−1

f As ρA+ f is c Ais−[V k 1+ f As+f is ] c A1 s=0

c A1 s=f As ρA+ f isc Ais

[V k 1+ f As+f is ]

c A1 s=0.6222lbmol /gal

Linealizando los términos no lineales en (5)

f i (t ) cAi (t )=f isc Ais+ f is [c Ai (t )−cAis ]+c Ais [ f i ( t )−f is ]

f A (t ) c A1 (t )=f As c A1 s+ f As [c A 1 (t )−c A1 s ]+cA 1 s [ f A (t )−f As ]

f i (t ) cA 1 ( t )=f isc A1 s+ f is [ cA 1 ( t )−c A1 s ]+c A1 s [ f i (t )−f is ]


VdcA 1(t)dt

=f A (t ) ρA+ f isc Ais+ f is [c Ai (t )−c Ais ]+cAis [ f i (t )−f is ]−V k 1c A1 ( t )−f As c A1 s−f As [c A1 ( t )−cA 1 s ]−c A1 s [ f A ( t )−f As]−f is c A1 s+f is [c A1 (t )−c A1 s ]−cA 1 s [ f i ( t )−f is ]

(4)

(5)


Evaluando en estado estacionario

VdcA 1 s

dt=f As ρA+ f isc Ais+ f is [cAis−cAis ]+c Ais [ f is−f is ]−V k1 c A1 s−f As cA 1 s−f As [c A1 (t )−c A1 s ]−c A1 s [f A (t )−f As ]−f isc A1 s−f is [c A1 s−cA 1 s ]−c A1 s [ f is−f is ]

VdcA 1 s

dt=f As ρA+ f isc Ais−V k1 c A1 s−f isc A 1 s

Restando (6) y (7)

Vd [c A1 ( t )−c A1 s ]

dt=f is [c Ai (t )−c Ais]+c Ais [ f i (t )−f is ]−V k1 [c A1 (t )−cA 1 s ]−f As [ cA 1 ( t )−c A1 s ]−c A1 s [ f A (t )−f As ]−f is [ cA 1 ( t )−c A1 s ]−c A1 s [ f i (t )−f is ]

Definiendo las variables desviación

C Ai (t )=c Ai (t )−cAis

F i (t )=f i ( t )−f is

C A1 ( t )=cA 1 ( t )−c A 1 s

F A (t )=f A (t )−f As

VdC A1 (t )

dt=f isC Ai (t )+c AisF i (t )−V k1C A1 (t )−f sC A1 (t )−c A1 sF A (t )−f isC A1 (t )−cA 1 sF i (t )

Reordenando términos con el fin de llegar al modelo de segundo orden

VdC A1 (t )

dt=f isC Ai (t )+ [c Ais−cA 1 s ]F i (t )−[V k 1+ f s+ f is ]C A1 (t )−c A1 sF A (t )

VdC A1 ( t )

dt+ [V k1+ f s+ f is ]C A1 ( t )=f isCAi (t )+[ cAis−c A1 s ]F i ( t )−c A1 sF A (t )

V

[V k1+ f s+ f is ]dC A1 (t )

dt+C A1 (t )=

f is[V k1+f s+f is ]

C Ai (t )+[cAis−cA 1 s ]

[V k 1+ f s+ f is ]Fi (t )−

c A1 s

[V k 1+ f s+ f is ]FA (t )

τ1

dC A1 (t )dt

+CA 1 ( t )=K1CAi ( t )+K2 Fi ( t )−K3F A ( t )

Determinando los parámetros dinámicos

(7)

(8)

(9)

(10)


τ1=V

[V k1+ f s+ f is ]=1.8181min

K1=f is

[V k1+f s+f is]=0.1818

K2=[c Ais−c A1 s ]

[V k1+ f s+f is]=0.00064 lbmol∗min/ gal2

K3=cA 1 s

[V k1+ f s+ f is]=0.00226 lbmol∗min/ gal2

Aplicando transformada de la place en (10), nos quedan las funciones de transferencia para este proceso

C A1 ( s )=K 1

τ1 s+1CAi (s )+

K 2

τ1 s+1F i (s )−

K3

τ1 s+1F A (s )

Llevando a cabo el mismo procedimiento para el reactor dos


VdcA 2(t)dt

=f (t)c A1(t)−V k 2c A2(t )−f (t)c A2(t)

Balance global

d (ρV )dt

= ρA f A (t)+ρi f i( t)−ρf (t )

Como V y ρ son constantes, entonces (3), queda

0=f A (t)+ f i(t)−f (t )

f (t)=f A (t)+f i( t)


VdcA 2(t)dt

=f A(t)c A1(t)+ f i(t)c A1(t )−V k2 cA 2(t)−f (t)c A2(t )

Evaluando (6) en estado estacionario, tenemos

0=f As c A1 s+ f isc A1 s−V k2 cA 2 s−f s c A2 s

Valor de los parámetros en estado estacionario

(2)

(3)

(4)

(11)

(11)


f As=50gal /min

f is=50gal /min

c A1 s=0.6222lbmol /gal

V=500 gal

k 2=0.50min−1

f Asc A1 s+ f is cA 1 s−[V k2+ f s ] c A2 s=0

c A1 s=f As cA 1 s+f is c A1 s

[V k2+ f s ]

c A2 s=0.1777 lbmol / gal

Linealizando los términos no lineales en (11)

f (t ) c A2 (t )=f s c A2 s+ f s [c A2 (t )−c A2 s ]+c A 2 s [ f (t )−f s ]

f A ( t ) c A1 ( t )=f As c A1 s+ f As [c A 1 ( t )−c A1 s ]+cA 1 s [ f A (t )−f As ]

f i (t ) cA 1 (t )=f isc A1 s+ f is [ cA 1 (t )−c A1 s ]+c A1 s [ f i (t )−f is ]


VdcA 2(t)dt

=f Asc A1 s+ f As [ cA 1 ( t )−c A1 s ]+cA 1 s [ f A ( t )−f As ]+ f is cA 1 s+f is [c A1 ( t )−c A1 s ]+c A1 s [ f i (t )−f is ]−V k2 cA 2 ( t )−f s c A2 s−f s [c A 2 ( t )−c A2 s ]−c A2 s [f (t )−f s ]

Evaluando en estado estacionario

VdcA 2 s

dt=f As c A1 s+ f As [c A1 s−c A1 s ]+c A1 s [ f As−f As ]+ f isc A1 s+ f is [ cA 1 s−c A1 s ]+cA 1 s [ f is−f is ]−V k2 cA 2 s−f s c A2 s−f s [c A2 s−c A2 s ]−cA 2 s [ f s−f s ]

VdcA 1 s

dt=f As c A1 s+ f isc A1 s−V k2 cA 2 s−f s c A2 s


Vd [c A 2 ( t )−c A2 s ]

dt=f As [ cA 1 ( t )−c A 1 s ]+c A1 s [ f A ( t )−f As ]+f is [c A1 (t )−cA 1 s ]+c A1 s [ f i ( t )−f is ]−V k2 [ cA 2 ( t )−c A 2 s ]−f s [c A2 (t )−cA 2 s ]−cA 2 s [ f ( t )−f s ]

Definiendo las variables desviación

C A2 (t )=cA 2 ( t )−cA 2 s

(12)

(8)

(13)

(14)


F i (t )=f i ( t )−f is

C A1 ( t )=cA 1 ( t )−c A 1 s

F A (t )=f A (t )−f As

F ( t )=f ( t )−f s

VdC A2 ( t )

dt=f AsC A1 (t )+c A1 sF A (t )+ f isC A1 ( t )+c A1 sF i ( t )−V k2CA 2 (t )−f sCA 2 ( t )−cA 2 sF (t )

Reordenando términos con el fin de llegar al modelo de segundo orden

VdC A2 (t )

dt=[ f As+ f is ]C A1 (t )+cA 1 sF A (t )+c A1 sF i (t )− [V k2+ f s ]C A2 (t )−c A2 sF (t )

VdC A2 ( t )

dt+[V k2+f s ]C A2 (t )=[ f As+ f is ]C A1 ( t )+c A1 s FA ( t )+c A1 sF i ( t )−c A 2 sF ( t )

V

[V k2+ f s ]dC A2 ( t )

dt+CA 2 (t )=

[ f As+ f is ][V k2+f s ]

CA 1 (t )+cA 1 s

[V k 2+ f s ]F A (t )+

c A 1 s

[V k 2+ f s ]F i (t )−

c A2 s

[V k2+ f s ]F (t )

τ 2

dC A2 (t )dt

+C A2 ( t )=K 4C A1 ( t )+K 5F A ( t )+K5 F i ( t )−K6 F ( t )

Determinando los parámetros dinámicos

τ 2=V

[V k 2+ f s ]=1.4285min

K4=[ f As+ f is ][V k2+ f s ]

=0.2857

K5=c A1 s

[V k2+ f s ]=0.00017 lbmol∗min/ gal2

K6=c A2 s

[V k2+ f s ]=0.00051 lbmol∗min /gal2

(8)(15)

(16)


Aplicando transformada de la place en (16), nos quedan las funciones de transferencia para este proceso

C A2 (s )=K 4

τ2 s+1CA 1 ( s)+

K5

τ2 s+1F i ( s)+

K5

τ2 s+1F A (s )−

K6

τ2 s+1F ( s )

Reemplazando el valor de Ca1(s) en (17), tenemos

C A2 (s )=K 4

τ2 s+1

K 1

τ1 s+1CAi (s )+[ K 4

τ2 s+1

K 2

τ1 s+1

+K5

τ2 s+1❑ ]F i (s )−[ K4

τ2 s+1

K3

τ1 s+1−

K5

τ2 s+1 ]FA ( s )−K6

τ2 s+1F (s )

C A2 (s )=K4 K1

(τ2 s+1 ) (τ1 s+1 )C Ai ( s)+

K4 K2+K5 (τ1 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

F i ( s )−K 4K 3+K 5 ( τ1 s+1 )

(τ2 s+1 ) (τ1 s+1 )F A ( s)−

K6

τ2 s+1F (s )

CA 2 ( s)C Ai ( s )

=K4 K1

(τ2 s+1 ) (τ1 s+1 )

CA 2 ( s)Fi (s )

=K4 K2+K5 ( τ1 s+1 )

( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

CA 2 ( s)F A ( s)

=K4 K3+K5 (τ1 s+1 )

( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

CA 2 ( s)F (s )

=K6

τ2 s+1

(17)

(18)


CAi(s)

Fi(s)

CA2SP(s) E(s) M(s) FA(s) CA2(s)

KSP GC(s) G1(s)GV(s)

H(s)

G3(s)

G2(s)


G1=K4 K3+K5 (τ1 s+1 )

( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

G2=K4 K2+K5 (τ1 s+1 )

( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

G3=K4 K1

( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

Válvula – Función de Transferencia

La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico de primer despreciable. Podemos asumir:

∆ pv=10 psi

Para estimar la ganancia estacionaria de la válvula se tiene en cuenta que es de características de flujo lineales y que su tamaño debe ser el doble del necesario en condiciones nominales (100 % de sobredimensionamiento).

f p=50 gal /min

Para un flujo de líquido el coeficiente de la válvula máximo es:

G=ρAMW A

C v ,máx=2 f p√ G f

∆ p=2 ( 8.3242 )√ ρAMW A

10=77.4754

gpmmin∗psi1/2

A partir de la siguiente figura seleccionamos un diámetro comercial


Se selecciona una válvula de 3 pulgada (in) cuyo

C v ,máx=110gpm

min∗psi1 /2

Tenemos entonces

f v ,max=C v ,max √∆ pv

La válvula es de falla abierta y, por lo tanto, el signo del valor de la ganancia es positivo. La fórmula para hallar la ganancia de una válvula de características de flujo lineales es:

K v=C v . max

100%CO √ ∆ pvG

=1.42galmin

∗%CO

Y la función de transferencia de la válvula es:

Gv (s)=1.42

Sensor – Función de Transferencia

La función de transferencia es la correspondiente a un sistema con atraso dinámico 0.5 min. Siendo el rango del sensor – transmisor de 700a640 ° R, entonces la ganancia es dada por


KT=100%¿−0%¿ ¿

0.5lbmolgal

−0.05 lbmol / gal=222.22 %¿ ¿

lbmol /gal

Entonces la función de transferencia del sensor – transmisor es:

H (s )= 1.6660.5 s+1

Funciones de tranferencia en lazo cerrado

C A2(s)

CSETA2(s )

=

K spGCGV

K 4 K3+K5 ( τ1 s+1 )(τ 2 s+1 ) (τ1 s+1 )

1+H sGcG v

K4 K3+K5 (τ1 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

CA 2(s)Fi(s)

=

K 4 K2+K5 ( τ1 s+1 )(τ 2 s+1 ) (τ1 s+1 )

1+H sGcG v

K 4 K3+K5 ( τ1 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

CA 2(s)C Ai(s )

=

K4 K1

(τ 2 s+1 ) (τ1 s+1 )

1+H sGcG v

K 4 K3+K5 ( τ1 s+1 )( τ2 s+1 ) ( τ1 s+1 )

Lazo de Control Feedback – Parámetros últimos

La ecuación característica de un lazo cerrado de control está dada por:

1+K cK v

KT

τT s+1

K 4K 3+K 5 ( τ1 s+1 )(τ2 s+1 ) (τ1 s+1 )

=0

Hacemos:

τ A=τ t τ1 τ2=1.587min

τ B=τ t τ1 +τT τ2+τ1τ 2=5min2

τC=τ1 +τ2+τT=4.151min


τ D=KT KV K4 τ1=0.89min

K p=K T KV (K4 +K4 K3 )=0.935min

Sustituimos s = jwu, entonces Kc = Kcu se obtiene que

−τ A jw3u−τ B jw

2u+(τ c+τDK cu ) jwu+1+K pK cu

(Parte real) τ Bw2u+1+K p K cu=0

(Parte imaginaria) −τ Aw3u+( τ c+τ DK cu )wu=0

Resolviendo estos dos sistemas encontramos que la frecuencia ultima es un valor imaginario, lo que se traduce a que no hay ganancia ultima. Esto es debido a que en el proceso hay dos polos y un cero.

Figura 4: Diagramas de bloque en simulink

ejercicios de control y simulaciÓn de procesos (listo)

Documents