ejercicios resueltos aplicaciones de la derivada.1º bach

“Aplicaciones de la derivada”. Matemáticas. 1ºBach.

Profesor: Marta Pérez Página | 1

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Ejercic ios y problemas resueltos de ap l icaciones de la derivada

1

Calcu lar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones

s iguientes :

1.

2.



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3.

4.



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5.

6.



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2

Calcu la los máximos y mínimos de las funciones s igu ientes :

1.

2.



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3.

4.



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3

Hal lar los intervalos de concav idad y convexidad, y los puntos de inf lex ión

de las funciones :

1.

2.



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3.



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4

La cot ización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la

Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días , responde a la s igu iente ley :

C = 0 .01x 3 − 0.45x 2 + 2 .43x + 300

1. Determinar las cot izaciones máxima y mínima, así como los día s en que

ocurr ieron, en días dist intos de l pr imero y de l ú lt imo.



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2. Determinar los períodos de t iempo en e l que las acciones subieron o

bajaron .

De l 1 a l 3, y de l 27 a l 30 las acciones subieron, y del 3 a l 27 bajaron.

5

Supongamos que e l rendimiento r en % de un a lumno en un examen de una

hora v iene dado por:

r = 300t ( 1−t) .

Donde 0 < t < 1 es e l t iempo en horas. Se p ide :

1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye e l rendimiento?

r = 300t − 300t²

r ′ = 300 − 600t

300 − 600t = 0 t = ½

2. ¿En qué momentos e l rendimiento es nu lo?



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300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nu lo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

3. ¿Cuando se obt iene e l mayor rendimiento y cuál es?

r″ (t ) = − 600

r (´)= 300 (´) − 300 (´)²= 75

Rendimiento máximo: (½, 75 )

Ejercic ios de ap l icaciones de la derivada

1 . Hal lar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:



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2

Hal lar los máximos y mínimos de la función:

3.

Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inf lex ión a la

curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1 .

f ′ (x ) = 3 x 2 − 6x + 7

f ′ ′ (x) = 6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1



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f ′ ′ ′ (x ) =12 f′ ′ ′ ( 1) ≠ 0 f( 1)= 6

Punto de inf lexión: ( 1, 6)

m t = f ′ ( 1) = 4 m n = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

4. La cant idad (y) expresa e l d inero acumulado en una máquina tragaperras

durante un día y s igue una ley de l t ipo:

y = 1/3 x 3 — 19 x 2 + 352x + 100

donde la variab le x representa e l t iempo en horas (de 0 a 24) . Responde a

las s igu ientes preguntas:

1. ¿Se queda a lguna vez vacía de dinero la máquina?

Entre 0 y 24 la función es dist inta de cero, por lo cual la máquina s iempre

t iene monedas.

Hay un mín imo absoluto en (0, 100) .

2. Si se real iza la "caja" a las 24 horas . ¿Arroja ganancias para los dueños

de la máqu ina?

Ganancia: f(24) − f(0)= 2212 − 100 = 2112

3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

f ′ (x)= x² − 38x + 352 x² − 38x + 352 = 0



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x = 16 x = 22

f ′ ′ (x )= 2x − 38

f ′ ′ ( 16) = 32 − 38 < 0Máximo (16, 6700/3)

f ′ ′ (22) = 44 − 38 > 0Mínimo (22, 6592/3)

4. ¿Cuándo entrega e l mayor premio?

E l mayor premio será igual a l punto de inf lex ión.

f ′ ′ ′ (x ) = 2

2x − 38 = 0x = 19

5. Sea f(x) = x 3 + ax2 + bx + 7 . Hal lar a y b de manera que la gráf ica de la

función f(x) tenga para x= 1 una inf lex ión , y cuya recta tangente en ese punto

forme un ángu lo de 45° con e l eje OX.

f' (x) = 3x 2 + 2 ax + b f′ ′ (x) = 6x + 2a

f ′ ( 1) = 1 3 + 2a + b = 1

f ′ ′ ( 1) = 0 6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4

6. Obtener la ecuación de la tangente a la gráf ica de f(x) = 2x 3 − 6x 2 + 4 en

su punto de inf lex ión.

f ′ (x) = 6x 2 − 12xf ′ ′ (x) = 12x − 121

2 x − 12 = 0x = 1



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f ′ ′ ′ (x ) = 12 f ′ ′ ′ ( 1 ) ≠ 0 f( 1) = 0

Punto de inf lexión: ( 1, 0)

f ′ ( 1) = 6 − 12= − 6 = m

y − 0 = −6(x − 1 )y = −6x + 6

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Determinar a , b y c para que la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c tenga un

máximo para x = −4, un mín imo, para x = 0 y tome e l va lor 1 para x = 1 .

f (x) = x3 + ax 2 + bx + c f ′(x) = 3x 2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a + b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

8 . Determinar e l va lor de a , b , c y d para que la función f(x) = a x 3 + bx2 + cx + d

tenga un máximo en (0 , 4) y un mínimo en (2, 0) .

f (x) = ax3 + bx 2 + cx +df ′(x) = 3ax 2 + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f ′ (0) = 0 c = 0



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f ′ (2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

9 . Determinar a , b, c , d y e , de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx 3 + c x 2 + dx + e,

tenga un punto cr ít ico en ( 1 , 3) y un punto de inf lexión con tangente de

ecuación y = 2x en (0, 0) .

f ′ (x) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d f ′ ′ (x) = 12ax 2 + 6bx + 2c

f ′ (x) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d f ′ ′ (x) = 12ax 2 + 6bx + 2c

f(1) = 3a + b + c + d = 3

f(0) = 0 e = 0

f ′ ( 1) = 3 4a + 3 b + 2c + d = 3

f ′ (0) = 2 d = 2

f ′ ′ (0) = 0 2c = 0

a = −5 b = 6 c = 0 d = 2 e = 0

10 .La curva f(x) = x 3 + a x 2 + b x + c corta a l eje de abscisas en x = 3 y

t iene un punto de inf lex ión en (2/3, 1/ 9) . Hal lar a , b y c.



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Dada la función:

11 .Calcu la a , b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que

la curva pase por e l or igen de coordenadas .



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12.

Hal lar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos

x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos va lores de a y b, ¿qué t ipo de extremos t ienen la función en 1

y en 2?

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