ejercicio resuelto: integral por cambio de variable
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Integral resuelta paso a paso aplicando el cambio de variable para facilitar su resolución.TRANSCRIPT
HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de la función
∫
√
2 + 9 3√
x3√
x2dx
Solución:Se reorganiza la integral de esta forma (ya se verá la razón):
∫
√
2 + 9 3√
x ⋅dx
3√
x2
Dado que se tiene una raíz cuúbica en numerador y denominador, se recomienda un cambio de variable
u = 3√
x, de donde se deduce que du =dx
3 3√
x2y despejando 3du = dx
3√x2 , entonces la integral queda:
∫
√
2 + 9u ⋅ 3du
Se extraen los coeficientes de la integral para reducirla a:
3 ⋅ ∫√
2 + 9u du
Se puede hacer un nuevo cambio de variable (solo con fines ilustrativos, para visualizar mejor la integral),
t = 2 + 9u, de donde se deduce que dt = 9du y despejandodt
9 = du, entonces la integral se reescribe como:
3 ⋅ ∫√
t ⋅dt
9Extrayendo los coeficientes nuevamente:
3 ⋅ 19 ∫√
t dt
Cambiando√
t = t12 y aplicando la integral (de tabla) ∫ xndx =
xn+1
n + 1 +C se obtiene:
13 ⋅ (
t32
32+C)
Esta integral se puede simplificar en:
13 ⋅ (
2√
t3
3 +C)
Al simplificar expresiones y deshacer los dos cambios de variable:
2√
t3
9 +2C
9 =2√
(2 + 9u)3
9 +C1 =2√
(2 + 9 3√
x)3
9 +C1