ejercicio resuelto: entretenimiento
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Resolución de un ejercicio de geometría utilizando el teorema de Pitágoras para el cálculo de áreas.TRANSCRIPT
HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: TGM: Problema del día
Hallar las áreas del cuadrado ◻ABCD y del triágulo equilátero △A′B′C ′ que satisfacen:
AP = 2 = A′P ′, BP = 3 = B′P ′ y CP = 4 = C ′P ′
Siendo P y P ′ puntos interiores del cuadrado y del triángulo, respectivamente.
Primer solución:Sean n, x y y, la medida del lado del cuadrado, la abscisa yla ordenada del punto P , respectivamente. El problema estáenfocado en determinar el área del cuadrado, n2.
No obstante, debemos expresarla en términos númericos,para ello, se expresará primero en términos de n y expresarlacomo un número real.
Por el teorema de Pitágoras, se tienen las ecuaciones:
(a) x2 + y2 = 4(b) x2 + y2 − 2nx + n2 = 9(c) x2 + y2 − 2nx − 2ny + 2n2 = 16
Utilizando la ecuación (a) en las ecuaciones (b), y esta en (c), se reducen estas últimas a las ecuaciones:
n2 − 2nx = 5 ∧ n2 − 2ny = 7
De las cuales, se obtienen los valores de x y y en términos de n:
x =n2 − 5
2n∧ y =
n2 − 72n
Sustituyendo estos valores de x y y, en la ecuación (a), se obtiene la ecuación:
n4 − 20n2 + 37 = 0
Todas las soluciones de esta ecuación bicuadrática son:
n = −
√
10 − 3√
7 ∧ n = −
√
10 + 3√
7 ∧ n =
√
10 − 3√
7 ∧ n =
√
10 + 3√
7
Dado que se trabaja un enfoque euclidiano, las raíces negativas son desechadas como posibles distanciasy se obtienen las soluciones:
n =
√
10 − 3√
7 ∧ n =
√
10 + 3√
7
HKV TEXVictor Solano Mora
2Ahora, haciendo énfasis en que la distancia debe satisfacer la desigualdad triangular, es decir, la diagonaldel cuadrado debe satisfacer:
d < 6 ⇔ n√
2 < 6 ⇔ n < 3√
2
No obstante, el interior de un cuadrado solo puede albergar una distancia máxima, para un segmento,igual a su diagonal; es decir, si alguna de las distancias de los vértices mencionados al punto P es mayora la diagonal, entonces dicha medida del lado debe desecharse, por ende, se realizan los cálculos:
n√
2 =√
10 − 3√
7 ⋅√
2 ≈ 2,0311 ⇒ no es mayor a las distancias a P .n√
2 =√
10 + 3√
7 ⋅√
2 ≈ 5, 9895 ⇒ sí es mayor a las distancias a P .
Se concluye que el único valor del lado del cuadrado corresponde a la solución√
10 + 3√
7 y cuya áreacorresponde a la expresión:
n2 = 10 + 3√
7 ≈ 17,9372
Segunda solución:Sean 2n, x y y, la medida del lado deltriángulo equilátero,la abscisa y la ordenada del punto P , respectivamente. Elproblema está enfocado en determinar el área del triánguloequilátero, n2 ⋅
√3.
No obstante, debemos expresarla en términos númericos,para ello, se expresará primero en términos de n y expresarlacomo un número real.
Por el teorema de Pitágoras, se tienen las ecuaciones:
(a) x2 + y2 = 4(b) x2 + y2 − 4nx + 4n2 = 9(c) x2 + y2 − 2nx − 2
√3ny + 4n2 = 16
Utilizando la ecuación (a) en las ecuaciones (b) y (c), se reducen estas últimas a las ecuaciones:
4n2 − 4nx = 5 ∧ 4n2 − 2nx − 2√
3ny = 12
De la primer ecuación se obtiene x en términos de n y la en la segunda se despeja y en términos de n y sesustituye el valor de x de la primer ecuación, de las cuales, se obtienen los valores de x y y en términosde n:
x =4n2 − 5
4n∧ y =
4n2 − 2n (4n2−5
4n ) − 12
2√
3n
Amplificando la segunda ecuación por 4n se simplifica en:
x =4n2 − 5
4n∧ y =
4n2 − 194√
3n
HKV TEXVictor Solano Mora
3Ahora se sustituyen estos valores en la ecuación (a), se obtiene la ecuación:
(4n2 − 5
4n)
2
+ (4n2 − 194√
3n)
2
= 4
Distribuyendo el exponente y amplificando la ecuación por 48n2 se reduce a:
3(4n2 − 5)2 + (4n2 − 19)2 = 192n2
Desarrollando los binomios al cuadrado e igualando a 0 se obtiene la ecuación bicuadrática:
16n4 − 116n2 + 109 = 0
Todas las soluciones de esta ecuación bicuadrática son:
n = −
√
29 − 9√
58 ∧ n = −
√
29 + 9√
58 ∧ n =
√
29 − 9√
58 ∧ n =
√
29 + 9√
58
Dado que se trabaja un enfoque euclidiano, las raíces negativas son desechadas como posibles distanciasy se obtienen las soluciones:
n =
√
29 − 9√
58 ∧ n =
√
29 + 9√
58
En un triángulo equilátero, la mayor distancia posible es la altura de este, es decir, las medidas de lossegmentos formados desde P hasta cada uno de los vértices ha de ser menor a n
√3 entonces:
n√
3 =√
29 − 9√
58 ⋅
√3 ≈ 1,8243 ⇒ no es mayor a las distancias a P .
n√
3 =√
29 + 9√
58 ⋅
√3 ≈ 4,2920 ⇒ sí es mayor a las distancias a P .
Se concluye que el único valor del lado del triángulo equilátero corresponde a la solución
√29 + 9
√5
8 y
cuya área corresponde a la expresión:
n2 ⋅√
3 = 29 + 9√
58 ⋅
√3 ≈ 10,6357