ejercicio resuelto: derivadas e^sqrt(x)
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Ejercicio resuelto sobre derivadas por definición.TRANSCRIPT
HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo diferencial
Obtener la derivada por definición def(x) = e
√
x
Solución:
Dado que la deficinión de derivada equivale al límite lımh→0
f(x + h) − f(x)
h, entonces debemos calcular:
lımh→0
e√
x+h − e√
x
h
Es evidente que al evaluar el límite directamente se obtendrá una indeterminación, razón por la cual, nose agrega dicha evaluación en esta solución. Al factorizar e
√
x del numerador se obtiene (recuerden lapropiedad de potencias que enuncia am ÷ an = am−n):
lımh→0
e√
x (e√
x+h−√
x − 1)h
Como e√
x no depende de h se puede “sacar” del límite:
e√
x ⋅ lımh→0
e√
x+h−√
x − 1h
Haciendo el cambio de variable u =√
x + h, se tiene que cuando h→ 0⇔ u→√
x. Además, h = u2 − x,entonces se tiene:
e√
x ⋅ lımu→√
x
eu−√
x − 1u2 − x
factorizando√
x en el denominador y “sacándolo” del límite se obtiene:
e√
x
√x⋅ lım
u→√
x
eu−√
x − 1u2√
x−√
x
e√
x
√x⋅ lım
u→√
x
√x (eu−
√
x − 1)u2 − x
Restableciendo el cambio de variable se transforma en el límite:
e√
x
√x⋅ lım
h→0
√x (e
√
x+h−√
x − 1)h