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ECUACIONES DIFERENCIALES

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INDICE

Introducción

Mapa conceptual

UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales

OBJETIVO 9

TEMARIO 9

MAPA CONCEPTUAL 10

INTRODUCCIÓN 11

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14


1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15


AUTOEVALUACION 20

RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22

UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

4

OBJETIVO 27

TEMARIO 27 MAPA CONCEPTUAL 28

INTRODUCCION 29

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 30


2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS

33


2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 35


2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE 38 ACTIVIDAD

DE APRENDIZAJE 42

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42


2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN 43


AUTOEVALUACION 47


5

UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVO 54

TEMARIO 54 MAPA CONCEPTUAL 55

INTRODUCCION 56

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57


3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA

SOLUCIÓN CONOCIDA 58


3.3 EL WRONSKIANO 60 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 61

3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS 61


3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 63 ACTIVIDAD

DE APRENDIZAJE 64

3.6 SERIES DE POTENCIA 65


AUTOEVALUACION 68


6

UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIVO 72

TEMARIO 72

MAPA CONCEPTUAL 73 INTRODUCCION 74

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75


4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 80 4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS

TRANSFORMADAS DE LAPLACE 80


AUTOEVALUACION 83


Bibliografía 86

Glosario 87

INTRODUCCION

La presente, es una guía teórico-didáctica de la materia de Ecuaciones Diferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptos generales.

7

Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigaciones

bibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase para poder complementar el aprendizaje de la materia.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar situaciones de la vida cotidiana de forma matemática.

Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran el desarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.

El presente libro didáctico está compuesto de cuatro unidades que abarcan los conceptos necesarios para que el estudiante maneje las Ecuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a su carrera profesional.

El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales, en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para no crear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, se retoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde Arquímedes hasta Newton.

Las siguientes dos unidades de forma general realizan un estudio de las ecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer orden hasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversos métodos de solución.

La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere que los conocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logrado construir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables para estudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a la esencia de la representación de una función en su forma algebraica.

Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el curso el estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesional que estudia.

8

MAPA CONCEPTUAL

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES

OBJETIVO

Explicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferenciales

9

TEMARIO

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

10

MAPA CONCEPTUAL

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven implicadas las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos, químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de forma matemática.

El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán a plantear problemas con diferente grado de dificultad.

11

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables.

En cálculo se aprende que la derivada dy / dx (se lee derivada de y con respecto a x) de la función y ��(x) es otra función de x, por ejemplo:

y�ex2

la derivada de esta función es

dydx 2 xex2

�

en ecuaciones diferenciales, al remplazar ex2 por y se obtiene la ecuación diferencial

dy � 2xy

dx

La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integración de una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, las ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya que ahora dada la función

dy � 2xy

dx

hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtener la función desconocida y ��(x).

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.

Clasificación según su tipo: si la función desconocida depende sólo de una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:

12

dy d 2 y dy

� 2x � y o y´� 2x � y � 2 � dx � 6y � 0

dx dx

Normalmente escribimos y � f (x) y llamamos a x la variable independiente, y a y la variable dependientes de x. Para sintetizar la denotación de y en x en una función y � f (x), simplemente podemos escribir y(x) y sus derivadas sucesivas por y'(x), y''(x),..., yn (x) , o también

únicamente y', y'',..., yn .

En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo:

�2V �2V � 2 � 2 y 2 �V x �

V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es una ecuación diferencial parcial. Se escribe V � F(x, y) para hacer más claro que x y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencial parcial, denotamos el valor de V enx y y por V (x, y) .

Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial ya sea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo:

y´� 2x � y

El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólo tiene una derivada de y con respecto a x.

d 2 y dy � dx 2 � dx � 6y � 0

El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con respecto a x.

�2V �2V 2 � 2 y 2 �V

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�x �

Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son de segundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial de segundo orden. Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es lineal cuando puede ser escrita de la forma a0 (x)y(n ) �a1(x)y(n�1) �..�an�1(x)y'�an (x)y � F(x) donde F(x) y los coeficientes a, (x), a1(x),..,a,(x) son funciones dadas de x y a,(x) no es idéntica a cero.

Por ejemplo:

(y � x)dx � 4xdy � 0 y´´�2y´�y � 0

Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma anterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:

(1� y)y´�2y � ex ddx 2 2y � sen ddx4 4y � y2 � 0

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales

1. yy �2y �1� x2

2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx

3. x2 � dy(y � xy � xex )dx � 0

d 2r k 4. dt 2 � � r 2

14

5. (1� y2 )dx � xdy � 0

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustos a cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al principio de la palanca y del empuje. Galileo estudió problemas dinámicos sobre la caída de los cuerpos. Copérnico formuló el sistema heliocéntrico para dar paso a la Mecánica celeste.

La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años, Arquímedes representó procesos de sumas integrales, pero hasta el siglo XVII Fermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentes a la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa de estos procesos y dio la explicación de la antiderivación en la determinación límite de sumas.

El calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis páginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces.

El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.

Leibniz fue el primero en usar el término aequatio differentialis en 1676 para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variablesx y

y . Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cuando Newton publica que “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las fluxiones y viceversa”. Newton dio la primera clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden.

Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con una visión geométrica-euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago y estaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron las bases del cálculo moderno.

En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos de integrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables de una ecuación diferencial.

Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la expresión dy / dx significa para Euler un cociente entre diferenciales y no lo que actualmente expresa. Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

15

Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento del péndulo.

Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas de físicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios y tratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discrimina las aportaciones de algunos matemáticos.


Realizar una investigación documental sobre el origen de las Ecuaciones Diferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayores referencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haber omitido en este trabajo.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad.

Cuando una función �, definida en algún intervalo I , se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria como la ecuación

F(x, y, y´,...,y(n) ) � 0

es una función � con al menos nderivadas y

F(x,�(x),�´(x),...,�(n) (x)) � 0

para todo xen I . Se dice que y ��(x)satisface la ecuación diferencial. El intervalo

I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito (a,�), etcétera. Ejemplo 1. Sea la función y � xex una solución de la ecuación lineal

y''�2y'�y � 0

en el intervalo (��,�) .

Solución: sustituyendo

16

y´� xex

�ex

y

y´´� xex � 2ex

obtenemos

y´´�2y´�y � (xex � 2ex ) �2(xex

�ex ) � xex � 0

Ejemplo 2. La ecuación

d 2 x dx �2 �15x � 0

dt 2 dt

Sean las funciones x � e5t y x � e�3t soluciones de la ecuación ya que al sustituir dan por resultado:

25e5t � 2(5e5t ) �15e5t

� 0

9e�3t � 2(�3e�3t ) �15e�3t � 0 Ejemplo 3. La función definida por:

V � e3xsen2y

es una solución de la ecuación

�2V �2V 2 � 2 y 2 �V

�x �

debido a que sustituyendo encontramos la identidad:

9e3xsen2y � 2(�4e3xsen2y) � e3xsen2y

La solución de ecuaciones diferenciales se divide en soluciones explícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface la educación dentro de un intervalo.

Solución implícita: Sea la ecuación diferencial

dy x � � dx y

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su solución implícita es la función

x2 � y2 � 4 � 0

dentro del intervalo �2� x� 2, derivado la función obtenemos dy 2x � 2y � 0

dx

despejando

dy

dx

se obtiene la ecuación diferencial.

El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuaciones no lineales que son difíciles de resolver bajo los parámetros en los que se encuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posibles de la ecuación.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o más ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una variable independiente.

El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución a una ecuación diferencial que está sujeta a condiciones de la función desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variable independiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.

El problema de valor de frontera busca determinar la solución de la ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. A estas condiciones se les denomina condiciones de frontera.


Verificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.

�x

1. 2y´�y � 0; y � e 2

18

dy 3x ; y � e3x �10e2x 2. � 2y � e

dx

3. x 2dy � 2xydx � 0; y � � x 1 2

1 4. y´� y �1; y � xln x, x � 0

x

5. y´´�y´�12y � 0; y � c1e3x �c2e�4x

19

AUTOEVALUACIÓN

Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.

1. x2 � dy(y � xy � xex )dx � 0

d 2r k 2. dt 2 � � r 2

3. (1� x)y´´�4xy �5y � cos x

4. yy'�2y �1� x2

dy � d 2 y � 2

5. dx � 1� �� dx2 ��

�

Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.

d 2 y dy 2x xe2x 6. dx 2 � 4 dx � 4y � 0; y � e �

20

7. y´´� y; y � cosh x� senhx

d 2 y dy �1, x � 0

8. x 2 � 2 � 0; y � c1 � c2 x

dx dx

9. y´´�(y´)2 � 0; y �

lnx�c1 �c2

10. y´´�25y � 0; y � c1 cos5x

21

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN

Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.

1. x2 � dy(y � xy � xex )dx � 0 Respuesta:

x2 � dy(y � xy � xe x )dx � 0 2

dy (1� x)y � xe x

� x �

dx

la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.

d 2r k 2. dt 2 � � r 2

Respuesta:

d 2r k d 2r k 2 � � r2 � dt2 � r2 � 0

dt

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.

3. (1� x)y´´�4xy �5y � cos x Respuesta:

(1� x)y´´�4xy �5y � cos x

la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.

4. yy'�2y �1� x2

Respuesta:

yy'�2y �1� x2

22

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.

dy � d 2 y � 2

5. dx � 1� �� dx2 �

��

Respuesta:

dy �d2y� 2

� 1�� dx2 � ��

dx �

�d2y� 2 dy �

1�� dx2 ��

dx � 0

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.

Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.

6. ddx2 2y � 4 dydx � 2x xe2x 4y � 0; y � e �

Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuación diferencial para realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo que

y � e2x � xe2x

calculando la primera derivada

dy 2x e2x � 2xe2x � � 2e �

dx

es igual a

dy 2x 2xe2x

23

� � 3e �

dx

calculando la segunda derivada

dy 2x 2e2x � 4xe2x � � 6e �

dx

es igual a

dy 2x 4xe2x � � 8e �

dx

sustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuación diferencial que se desea comprobar, se obtiene

8e2x � 4xe2x

� 4(3e2x � 2xe2x ) � 4(e2x

� xe2x ) � 0

� 8e2x � 4xe2x

�12e2x �8xe2x

� 4e2x � 4xe2x

� 0 � 12e2x

�12e2x �8xe2x

�8xe2x � 0

7. y´´� y; y � cosh x� senhx

Respuesta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma que represente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento se obtiene:

y´´� y � y´´�y � 0

dónde

y´´�y � 0

es ahora nuestra ecuación diferencial inicial y

y � cosh x�senhx

la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera y segunda derivada se obtiene

24

y´� cosh x�senhx y´´�

cosh x� senhx

sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivada en la ecuación diferencial inicial se concluye que

cosh x�senhx� (cosh x�senhx) � 0

8. x ddx 2 2y � dydx � 0; y � c � c2 x �1, x � 0 2 1

Respuesta: siendo la ecuación diferencial

d2y dy x dx 2 � 2 dx � 0

que se desea comprobar con la función

y � c1 � c2 x�1

se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada igual a

dy �2 � � �c2 x

dx

segunda derivada

� d22y � 2c2 x �3

dx

sustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene:

x(2c2 x�3 ) � 2(�c2 x�2 ) � 0

por lo tanto

� 2c2 x�2 � 2c2 x�2 � 0

25

9. y´´�(y´)2 � 0; y � lnx�c1 �c2


y´´�(y´)2 � 0


y � lnx � c1 � c 2

se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada igual a

1 � y´�

x�c 1

segunda derivada

1 � y´´� (x � c1 ) 2

sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación diferencial, se obtiene:

2 1 � 1 �

� (x � c1 ) 2 � �� x � c1 �� 0

concluyendo

1 1 � � � � 0

(x � c1)2 (x � c1) 2

10. y´´�25y � 0; y � c1 cos5x

26


y´´�25y � 0


y � c1 cos5x

se requiere la segunda derivada de dicha función

� y´� �5c1sen5x

como primera derivada y como segunda derivada

� y´´� �25c1 cos5x

sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación diferencial, se obtiene:

� 25c1 cos5x � 25c1 cos5x � 0

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UNIDAD 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVO

Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante diversos métodos.

TEMARIO

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES


2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI

2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

MAPA CONCEPTUAL

28

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden, pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de las ecuaciones diferenciales en problemas reales.

La solución general de una ecuación diferencial de variables separables debe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumno debe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver directamente por no ser de variables separables y para resolver; el alumno tendrá que aprender métodos para separar las variables de la ecuación.

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2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

El matemático y físico Leonhard Paul Euler1 en el siglo XVIII se encargo de sistematizar estudios anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a la primera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones de primer orden, y respectiva clasificación de ecuaciones de variables separables, homogéneas, lineales y exactas, así como también las de orden superior.

Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, en fenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estos fenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender su comportamiento, expresados en una ecuación diferencial; la informática no queda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos, todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardware actual. La ecuación diferencial de primer orden dy

� F(x, y)

dx

considere a

dy

dx

como cociente de diferenciales, puede expresarse también como

M(x, y)dx � N(x, y)dy � 0

para dar paso a la siguiente expresión

M(x, y)dx � N(x, y)dy Ejemplo:

dy x �3y � dx 2y

�5x

puede ser escrita como

(x� 3y)dx� (5x� 2y)dy � 0

1 http://www.eulersociety.org/

30

donde

M � x� 3y, N � 5x� 2y La solución general de una ecuación diferencial de variables separables se puede representar de la forma siguiente:

f (x)dx � g(y)dy � 0

donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable x y el otro a la variable y, la solución de la ecuación puede ser por integración, dando la solución general

� f (x)dx � � g(y)dy � c

donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a la ecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y así eliminar a la constante c, siendo de la siguiente manera:

d � f (x)dx � d � g(y)dy � c

igual a

f (x)dx� g(y)dy � 0

El método de variables separables consiste en separar en dos términos la ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dicha ecuación.

Sea la ecuación diferencial de variables separables

(1� x)dy � ydx � 0

tenemos

(1� x)dy � ydx dy

dx

� y (1� x)

integrando

dy dx

31

� y � � (1� x)

ln y � ln 1� x

�c 1

y�eln 1�x�c1

y � eln 1�x�c1 �ec1

y� 1�xec1 c1 (1� x) 1� x � 1� x, x � �1

y � �e 1� x � �(1� x), x � �1

si la constante c se puede escribir como �ec1 tenemos que

y � c(1� x)

La solución general de

dy x2 �1 � dx 2

� y

pasando la ecuación a función

(x2 �1)dx � (y � 2)dy � 0

donde se requiere integrar ambas partes

�(x2 �1)dx � �(y � 2)dy � c

obtenemos

x3 y2

32

� x � �2y � c 3 2

ahora bien, requerimos determinar una solución particular cuando y=4 y x=-3, sustituyendo en la solución general obtenemos que

�33 42 � (�3) � � 2(4) � �12

3 2


Resuelva la ecuación diferencial por variables separables.

dy 1. � sen5x dx

dy 2 2. � (x �1) dx

3. dx �e3xdy � 0

4. dx � x2dy � 0

x dy 2x 5. e � dx

33

dy y �

1

6. � dx x

dy x2 y2 7. � dx 1� x


Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poder resolver esas ecuaciones tienen que trasformarse en una con variables separables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variables separables es

dy � f �� y � � dx � x �

llamada ecuación diferencial homogénea por la forma en que se escribe y aquellas que se puedan escribir de igual manera se les denominará así. Para cambiar tal ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de

y � v

x

o también y�vx

lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente de y por v conservando la variable independiente x, teniendo entonces

dy dv � v � x

dx dx para que

34

dy � � y �

f � � dx � x �

se transforme en

dv v � x � f (v) dx

de tal manera que

dx dv � x f

(v)�v

obtenemos la ecuación donde las variables se encuentran separadas. Ejemplo: Sea la ecuación

dy x � y � dx x � y y el lado derecho es

una función , por tanto es una ecuación homogénea, x

haciendo y�vx, se tiene

v � x dv � 1 �v dx 1� v

x dv � 1 � 2v �v2

dx 1� v

dx (1� v)dv � 2 x 1� 2v

�v

35

aplicando las reglas de lo logaritmos

ln x � � ln(1� 2v �v2 ) � c 1

o

ln[x2 (1� 2v �v2 )] � c 2

de tal manera que

x2 (1� 2v �v2 ) � c

y reemplazando vpor se obtiene x

x2 � 2xy � y2 � c ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Realizar una investigación documental respecto al tema de ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada para tener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que las ecuaciones diferenciales no sean separables las variables.

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominada ecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones denominadas y las cuales trabajan respecto a dos variable y , que al aplicar las derivadas parciales de las funciones y son iguales, se puede seguir aplicando la segunda, tercer y derivada, las funciones mantendrán el concepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de las ecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, suponga que se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señal inalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los 2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial la transmisión y distorsión es igual dentro de este rango.

36

Una ecuación diferencial

M(x, y) � N(x, y)

es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y)

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

M(x, y)dx � N(x, y)dy � 0

es una ecuación diferencial exacta, si

M(x, y)dx� N(x, y)dy

es una diferencial exacta. Si son continuas

M(x, y)

y

N(x, y) ,

con derivadas parciales continúas en una región rectangular R , definida por los intervalos

a � x � b,

c � y � d

para las variables y y x, la condición única y necesaria para que

M(x, y)dx� N(x, y)dy

sea una diferencial exacta es que

�M �N � .

�y �x

Ejemplo 1: La ecuación

x2 y3dx � x3 y2dy � 0

es exacta, por que

d��1 x3y3 �� x2y3dx � x3y2dy

�3 �

37

aplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exacta

M(x, y)dx � N(x, y)dy

tenemos que

M(x, y) � x2 y3

y

N(x, y) � x3 y2

aplicando la diferencial se tiene que

�M � 3x 2 y2 dy

que es igual a

�N � 3x 2y2 dx

Ejemplo 2: La ecuación

2xydx � (x2 �1)dy � 0

se resuelve igualando primero

M(x, y) � 2xy

y

N(x, y) � x2 �1

realizando las diferenciales respecto a y y xtenemos

�M � 2x

�y

y

�N � 2x

�x

38

por lo tanto

�M �N �

�y �x

con esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio para determinar si la ecuación diferencial es exacta entonces existe una función

f (x, y) tal que

�f � 2xy

�x

y

�f � x2 � 1

�y

al integrar la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene que

f (x, y) � x2 y � g(y)

determinando la derivada parcial con respecto a y

�f � x2 � g´(y)

�y

igualando con N(x, y) se tiene

x2 � g´(y) � x2 �1

despejando g´(y) obtenemos g´(y) � x2 � x2 �1 g´(y)

� �1

y

39

g(y) ��y

la solución es entonces

f (x, y) � c


Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas.

1. (2x�1)dx� (3y � 7)dy � 0

2. (2x� y)dx� (x� 6y)dy � 0

3. (5x � 4y)dx � (4x �8y3)dy � 0

4. (seny� ysenx)dx� (cos x� xcos y � y)dy � 0

5. (2y2x �3)dx � (2yx2 � 4)dy � 0

2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE

El factor integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de una ecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta, para que con esto esa ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por el método de ecuaciones diferenciales exactas.

Si la ecuación

Mdx� Ndy � 0

no cumple con la condición de que �M �N �

40

�y �X

entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requiere multiplicarla por un factor integrante apropiado �, de tal manera que la ecuación que se obtenga sea de la forma

�Mdx ��Ndy � 0

será exacta, debido a que

� � (�M) � (�N)

�y �x

Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes pero el más común es el de separación de variables.

Ejemplo. Sea

dy 3x � xy 2 � 2 y , si y(1) � 3. dx Y �

x

Solución:

(3x � xy2 )dx �(y � x2 y)dy � 0

se obtiene M y N quedando de la siguiente manera

M � 3x � xy2 y N � �y � x2y

aplicando la diferencial obtenemos que

�M �N � 2xy y � �2xy

�y �x

la ecuación no es exacta. Tanto M y N pueden ser factorizadas como producto de una fundón con respecto a y y x, esto es

x(3� y2 )dx � y(1� x2 )dy � 0

un factor integrante es

41

��

que al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a M y N resulta la función x y

2 dx 3 � y2 dy � 0 1� x

que es separable y exacta. Integrando dicha función obtenida tenemos

ln(1� x2 ) � ln(3 � y2 ) � c ó (1� x2 ) � A(3� y2 )

puesto que y � 3cuando x �1, encontramos A � .

Por lo tanto, la solución es

(1� x2 ) � (3 � y2 )

o

y2 � 6x2 � 3

El método de inspección considera que Mdx� Ndy � 0 no es separable o exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante � para volver la ecuación exacta, que dando de la forma:

� � (�M) � (�N)

�y �x

Considerando dos casos en particular, cuando � es una función sólo de x que dando la ecuación como

1 � �M �N �

N �� y � �x �� f (x)

�

entonces

42

e� f (x)dx

es un factor integrante y cuando � es una función sólo de y tomando la función como

1 � �N �M � �

M �� x � �y �� g(y)

entonces

e� g(y)dy

es un factor integrante. Ejemplo: resolver

ydx �(3�3x � y)dy � 0

primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendo M y N de lo que resulta que

M � y

y

N � 3 � 3x� y

aplicando la diferencial

�M �1

�y

y

�N � 3

�x

la ecuación no es exacta.

Ahora

43

1�3

3� 3x � y

no es una función sólo de x. Pero

3 �1 2 �

Y Y

es una función sólo de y. por lo tanto

e�( 2 y)dy � e2ln y � eln y2 � y2

es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por

y2

la solución que se obtiene es

3 y3 � y4 � c xy �

4


Realizar una investigación documental para reforzar la aplicación del factor integrante en ecuaciones diferenciales con la bibliografía señalada, como resultado de esa investigación, el alumno tendrá que entregar un diagrama de flujo donde represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferenciales no exactas a través del uso del factor integrante.

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli representa el principio de la conservación de la energía mecánica, el nombre de tal ecuación es en honor a Daniel Bernoulli, quien plasmó sus estudios en el libro Hidrodynamica, donde trata de la mecánica de fluidos; así, la ecuación de Bernoulli es aquella en la cual la ecuación diferencial en que n es cualquier número real. Cuando n � 0 y n �1 la ecuación

44

dy � P(x)y � f (x)y n dx

es lineal. Cuando n � 0y n �1, la sustitución �� y1�n reduce cualquier ecuación de la forma de la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

dy 2y2. Ejemplo: Resolver x � y � x

dx

Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando:

dy � 1 y � xy 2 dx x

dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con n � 2,

y � u�1

y

dy � �u �2 du dx dx

en la ecuación a resolver sustituyendo tenemos du 1

� u � �x

dx x

el factor integrante para esta ecuación en el intervalo (0,�) , es

dx

e�� x � e�ln x � eln x�1 � x�1

integrando

d �1u] � �1 [x

45

dx

donde se obtiene

x�1u ��x�c

despejando u

u ��x2 �cx

como y � u�1, sustituyendo u , la solución de la ecuación es

1 y � � x2 � cx


Realizar una investigación documental sobre la ecuación de Bernoulli y cómo se aplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de la altura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por el disipador del procesador interno de una computadora.

2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dx

El problema de valor inicial con la ecuación diferencial � kx, x(t0 ) � x0 en dt

donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea en modelos de distintos fenómenos como físicos, químicos, electrónicos, etcétera donde interviene el crecimiento o decrecimiento.

Ejemplo 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando

3 t �1, la cantidad medida de bacterias es N0 . Si la razón de reproducción es 2

46

proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de bacterias.

Solución: Utilizando la ecuación diferencial del valor inicial, sustituyendo las variables iniciales del problema se obtiene dN

� kN dt

sujeta de acuerdo a x(t0 ) � x0 será igual a N(0) � N0 . Donde la condición queda

3 N(1) � N 0

2

para hallar la constante de proporcionalidad k . Al escribir la ecuación

dN � kN dt

de manera lineal para que sea separable obtenemos dN � kN � 0 dt

que al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante es

e�kt , se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la forma

d �e �kt N�� 0 dt

al integrar, se llega a la solución general

e�kt N � c

despejando N por los requerimientos que se plantearon al inicio del problema, la ecuación se puede escribir como

N(t) � ce�kt

Cuando t � 0, N0 � ce0 � c, por consiguiente N(t) � N0ekt

47

3 k , o bien ek � para obtener El caso

cuando t �1, N0 � N0e

2

k � ln � 0.4055, Así N(t) � N0e0.4055t .

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, hay que despejar t de 3No � Noe0.4055t ; por consiguiente 0.4055t � ln3, así

t � � 2.71h

0.

Ejemplo 2: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de henryy una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente i,

si la corriente inicial es cero. Usando la ecuación diferencial que describe la corriente

di L � Ri � E(t) dt

se tiene que

1 di �10i �12 2

dt

sujeta a i(0) � 0 . Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el factor integrante sea e20t , que sustituyéndolo en la ecuación quedaría como

d �e 20ti�� 24e20t

dt

al integrar cada lado y despejar i se obtiene

i � � ce�20t

si i(0) � 0 , entonces 0 � � c, o bien c � � , la respuesta es

48

6 �20t

i(t) �� e

5

a partir de la ecuación

y � yc � yp � ce��P(x)dx �e��P(x)dx �e�P(x)dx f (x)dx

se puede formular una solución general de

i(t) � e �(R/ L)t �e(R/ L)t E(t)dt � ce�(R/ L)t L

Cuando E(t) � E0 es una constante, la ecuación anterior queda como

E 0 ce�(R/ L)t i(t) � � R


Realizar una investigación documental sobre planteamientos de problemas cotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Los problemas cotidianos pueden ir desde los relacionados con la salud, por ejemplo, la forma en que se propago el virus de la influenza H1N1 en nuestro país; también, el alumno puede considerar problemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México del año 2010, problemas en los cuales ya se tienen cifras oficiales pero no un modelo matemático que ayude a determinar tales cifras.

AUTOEVALUACIÓN

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

49

x dy

2x 1. e � dx

2. dy � y �1 dx x

dy x2 y2 3. � dx 1� x

x y dy � e�y � e�2x�y 4. e dx

Determine si las siguientes ecuaciones son exactas

5. (2x�1)dx� (3y � 7)dy � 0

6. (2x � y)dx �(x �6y)dy � 0

7. ��2y � 1 x � cos3x

��

dydx � x y2 � 4x3 � 3ysen3x � 0

� RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

50

x dy

2x 1. e � dx

Respuesta: Es necesario separar las variables, tomando la ecuación

inicial

x dy 2x e � dx

despejando

� dy � 2xe�xdx

ahora hay que aplicar la integral en ambos miembros de la ecuación

� � dy � � 2xe�xdx

integrando se obtiene

� y � �2xe�x � 2xe�x

� c

2. dy � y �1 dx x

Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicial

dy y �1 �

dx x

se obtiene

1 1 � dy � dx y

�1 x

aplicando la integral en ambos miembros

1 1

� y �1dy � � x dx

51

integrando

ln y �1 � ln x � ln c

es igual a

ln y �1 � ln cx obteniendo

y �1� cx

por lo tanto

y �cx �1

dy x2 y2 3. � dx 1� x

Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tenga la forma en la cual permite separar las variables, se obtiene:

dy x2 y2 � dx

1� x

1� x 2dy � x 2 dx � y

� y2dy �1 x �

2x dx

aplicando la integral en ambos miembros de la función

� �y2dy � �1 x�2x dx

52

� � y 2dy � � (x�2 � x�1)dx

integrando la ecuación

� y3 � �x�1 � ln x � c 1

por lo tanto

� y3 � �3x�1 �3ln x�c 1

x y dy � e�y � e�2x�y 4. e dx

Respuesta: De la ecuación

x y dy � e�y � e�2x�y e dx

realizando los despejes

x y dy � e�y (1�e�2x ) e dx

ye ydy � e�x (1� e�2x )dx

separando las variables

ye ydy � (e�x � e�3x )dx

aplicando la integral en ambos miembros

� ye ydy � � (e�x � e�3x )dx

integrando

ye y � e y � e�x � e�3x � c

por lo tanto

� e y � ye y � e�x � e�3x � c

53

Determine si las siguientes ecuaciones son exactas

5. (2x�1)dx� (3y � 7)dy � 0 Respuesta: Sea la ecuación inicial

(2x�1)dx� (3y � 7)dy � 0

que se compone de

M(x, y) � 2x �1

y

N(x, y) � 3y � 7

con

�M �(2x�1) � � 0

�y �y

y

�N �(3y � 7) � � 0

�x �x

esto es igual a tener

�M �N �

�y �x

debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función f

(x, y)

para la que

�f � 2x �1

�x

54

y

�f � 3y � 7

�y

con esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtiene

f (x, y) � x2 � x � g(y)

entonces

�f � g´(y) �y

al igualar con

N(x, y) �3y � 7

se obtiene

g´(y) � 3y � 7

donde

g(y) � y 2 � 7y

que al sustituir en

f (x, y) � x2 � x � g(y)

se tiene

f (x, y) � x2 � x � y2 � 7y

por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:

x2 � x � y 2 � 7y � c

6. (2x � y)dx �(x �6y)dy � 0

Respuesta: De la ecuación diferencial inicial (2x � y)dx �(x �6y)dy � 0

se tiene

55

M(x, y) � 2x � y

y

N(x, y) � �(x � 6y)

quedando como

N(x, y) ��x � 6y

con

�M �(2x � y) � �1

�y �y

y

�N �(�x � 6y) � � �1

�x �x


�M �N �

�y �x

con esto se concluye que la ecuación no es exacta.

7. ��2y � 1 x � cos3x

��

dydx � y2 � 4x3 � 3ysen3x � 0

� x

Respuesta: De la ecuación diferencial inicial

��2y � 1 x � cos 3x�� dydx � y2 � 3 3ysen3x � 0 4x �

56

� x

al despejar el segundo termino para reorganizarlo se tiene

�� x y2 � 4x3 � 3ysen3x

��dx � �

�2y � 1 x � cos3x

�� dy � 0

� � �

para esta ecuación se tiene

y 3 3ysen3x M(x, y) � x 2 � 4x �

y

1 N(x, y) � 2y � � cos 3x

x

con

� y 3 3ysen3x� �

�M � ��x2 �4x � � � 1 � 3sen3x y �y x 2

�

y

� 1 �

��2y� �cos3x� �Nx � � x�x � � x

1 2 � 3sen3x

�


�M �N �

�y �x

con esto se concluye que la ecuación no es exacta.

57

UNIDAD 3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVO

Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior mediante de diversos métodos.

TEMARIO

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS

3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA

SOLUCIÓN CONOCIDA

3.3 EL WRONSKIANO

3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS

3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER

3.6 SERIES DE POTENCIA

MAPA CONCEPTUAL

58

INTRODUCCIÓN

En esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas de orden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas para aplicarlas en problemas de modelamiento.

Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que se categorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen ese requisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevan a que en esta unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a una solución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendrán que aprender.

59

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS Una ecuación lineal de orden nde la forma

d n y d n�1 y dy an (x) dx n � an�1(x) dxn�1 �...� a1(x) dx � a0 (x)y � 0

Se llama homogénea, mientras que una ecuación d n y d n�1 y dy

an (x) dx n � an�1(x) dxn�1 �...� a1(x) dx � a0 (x)y � g(x)

donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea.

Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación

d n y d n�1 y dy an (x) dx n � an�1(x) dxn�1 �...� a1(x) dx � a0 (x)y � g(x)

se llama solución particular de la ecuación no homogénea.

Por ejemplo:

2y��3y��5y � 0

es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que

x3 y�� 6y��10y � ex

es una ecuación diferencial de tercer orden lineal y no homogénea.

Sean

y1, y2,..., yk

soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n, ecuación d n y d n�1 y dy

an (x) dx n � an�1(x) dxn�1 �...� a1(x) dx � a0 (x)y � 0

60

donde x esta en un intervalo I . La combinación lineal

Y � c1y1(x) �c2 y2 (x) �...� ck yk (x)

en donde las

ci , i �1,2,...,k

son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en el intervalo.


Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.

1. x3 � 2xy � y4 / x

2. x� y(4x�3y)

x 3. y2 � x4 � y4

x2 4. cos x � y

x 5. sen x � y

61

3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA Sea el caso k � 2, donde L sea el operador diferencial, y1(x) y y2(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) � 0, definiendo

y � c1y1(x) �c2 y2(x)

aplicando la linealidad de L, resulta

L(y) � L{ c1y1(x)�c2y2(x)}� c1L(y1)�c2L(y2)

L(y) � c1L(y1)�c2L(y2)

L(y) � c1 �0�c2 �0

L(y) � 0

Las funciones y1 � x2 y y2 � x2 ln xson soluciones de la ecuación lineal homogénea x3y�� 2xy�� 4y � 0

para xen el intervalo (0,�), la combinación lineal es

y � c1x2 � c2x2 ln x

es una solución de la ecuación en el intervalo.

Sea L el operador diferencial, Y(x) y yp(x) soluciones particulares de la ecuación no homogénea L(y) � g(x) . Definiendo u(x) �Y(x) � y p (x), por la linealidad de L se debe cumplir

L(u) � L{Y(x)� y p (x)}� L(L(x))� L(y p (x) � g(x)� g(x) � 0

se demuestra que u(x)es una solución de la ecuación homogénea L(y) � 0 Utilizando la sustitución para la función

y p � � � x

es una solución particular de la ecuación no homogénea

d3y d2y dy 3 � 6 dx2 �11 dx � 6y � 3x dx

Para llegar a la solución general de la ecuación anterior, hay que resolver la ecuación homogénea asociada

d3y d2y dy 3 �6 dx2 �11dx �6y � 0 dx

la cual tiene como solución

62

yc � c1ex �c2e2x �c3e3x

en el intervalo (��,�); por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en el intervalo es

y � yc � y p x c2e2x � c3e3x

� 11 � x

y � c1e �

12


Realizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengan soluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida para que el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.

3.3 EL WRONSKIANO

El wronskiano en matemáticas denomina así a una función en honor a el matemático y filósofo Józef Maria Hoene-Wronski, aplicable al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuación tiene una solución algebraica.

Suponga que cada una de las funciones

f1(x), f2 (x),..., fn (x)

posee

n �1

derivadas al menos.

El determinante

f1 f2 ... f n f1� f2� '''

fn �

63

W ( f1, f2,..., fn) �

f1(n�1)

f2(n�1)... f n (n�1)

en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones.

Sean n soluciones y1, y2,..., yn de la ecuación

d n y d n�1 y dy an (x) n � an�1(x) dxn�1 �...� a1(x) dx � a0 (x)y � 0 dx

lineal, homogénea y de orden n, en un intervalo I , si y solo si

W(y1, y2,..., yn � 0

para toda x en el intervalo.


Realizar una investigación documental del uso del método del Wronskiano en la solución de ecuaciones diferenciales y poder calcular el determínate correspondiente.

3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS

La solución particular de una ecuación de diferencial lineal de primer orden dy � P(x)y � f (x)

dx

en un intervalo, se aplica a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden

a2 (x)y�� a1(x)y��a0(x)y � g(x)

es necesario manejar la ecuación diferencial de la forma reducida Y��WY��Q(x)y � f (x)

dy

64

Para hallar una

solución particular de la ecuación � P(x)y � f (x) para dx

la ecuación a2 (x)y�� a1(x)y��a0(x)y � g(x), se debe buscar una solución de la forma:

yp � u1(x)y1(x) �u2 (x)y2 (x)

para que y1y y2 formen un conjunto de soluciones en I .

Aplicando dos veces la regla del producto para diferenciar y p obtenemos

y�p � u1y1� � y1u1� �u2y2� � y2u2�

y�p� � u1 y1�� y1�u�� y1u1��u1�y1� �u2 y2�� y; u2� � y2u2�� u2� y2�

sustituyendo las ecuaciones obtenidas en a2 (x)y�� a1(x)y��a0(x)y � g(x)y

agrupando los términos: y�

p� � P(x)y�

p �Q(x)yp � u1�y1�� Py1�

�Qy1��u2�y2�� Py2� �Qy2�

� y1u1��u1�y1� � y2u2�� u2� y2� � P�y1u1� � y2u2� �� y1�u1� � y2�u2� d d

� �y1u1�� y2u2� �� P�y1u1� � y2u2� ��

y1�u1� � y2�u2� dx dx d � �y1u1� � y2u2� ��

P�y1u1� � y2u2� �� y1�u1� � y2�u2� � f (x) dx

Es necesario determinar dos funciones desconocidas u1y u2 , estas funciones satisfacen a y1u1� � y2u2� � 0, reduciendo la ecuación

d � �y1u1� � y2u2� �� P�y1u1� � y2u2� ��

y1�u1� � y2�u2� � f (x) dx

65

a

y1�u1� � y2u2� � f (x)

se Obtienen las dos ecuaciones que se necesitaban. Aplicando la regla de Cramer y la solución del sistema

y1u1� � y2u2� � 0

y1�u1� � y2u2� � f

(x)

se puede expresar en términos de los determinantes

W1 y u2� � W 2 u 1� �

W W

en donde

y1 y2 0 y2 y1 0 W �,W1 � ,W 2 � y1� y2� f (x) y2� y1� f

(x)

Las funciones u1y u2 se determinan integrando los resultados

W1 y u2� � W 2 u 1� �

W W

donde el determinante W es el wronskiano de y1y y2 , que por la independencia linean entre y1y y2 en I , que W(y1(x), y2 (x)) � 0para toda xen el intervalo.


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.

66

1. y´´�y � sec x

2. y´´�y � senx

e2x 3. y´´�4y �

x

4. y´´�3y´�2y � senex

5. y´´�2y´�y � e�x ln x

3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER

Augustin Louis Cauchy y Leonhard Paul Euler trataron de buscar un factor de integración que transforma ecuaciones diferenciales que no son lineales a ecuaciones diferenciales exactas para poder llegar a su solución.

Toda ecuación diferencial lineal de la forma

n d n y a xn 1 d n�1 y dy an x dx n � n�1 � dxn�1 �...� a1x dx � a0 y � g(x)

donde los coeficientes an ,an�1,...,a0 son constantes, tienen los nombres de ecuación de Cauchy-Euler ó Euler-Cauchy.

La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado

k � n, n�1.....0

de los coeficientes nominales xk coincide con el orden k de la diferenciación

d k y/dxk .

Solución de la forma

67

y � xm

donde mesta por determinar. La primera y segunda derivadas son, respectivamente

dy � mx m�1 dx

y

ddx 2 y 2 � m(m �1)x m�2

en consecuencia

d 2 y dy ax2 � bx � cy � ax2 �m(m �1)xm�2 �bx�mxm�1 � cxm dx2 dx

� am(m�1)xm �bmxm

� xm(am(m�1) �bm� c)

así,

y � xm

es una solución de la ecuación diferencial siempre m que sea una solución de la ecuación auxiliar

am(m�1) �bm�c � 0

ó

am2 � (b � a)m�c � 0


Realizar una investigación documental del empleo de la ecuación de Cauchy Euler en la solución de ecuaciones diferenciales, para reforzar los conocimientos obtenidos en clase; el alumno debe proponer un análisis del algoritmo para solucionar ecuaciones diferenciales a través de la ecuación de Cauchy-Euler.

68

3.6 SERIES DE POTENCIA

Determinar la solución de

dy � 2xy � 0 dx

como una serie de potencias en x. Suponiendo que la solución de la ecuación existe y tiene la forma

�

y � �cnxn n�0

aplicando una derivación a la educación da como resultado

dydx � �n��0 ncn x n�1 � �n

� �1 ncn xn�1

tomando de referencia la ecuación a determinar y la que se derivo obtenemos

dy � � �� nc xn�1 �� 2cn xn�1 2xy n dx n�1 n�0

Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de las sumatorias comiencen con el mismo número y las potencias comiencen igual. Entonces es necesario identificar que en la primera serie k � n�1 y en la segunda serie k � n�1, la anterior ecuación el lado derecho se transforma en

� �

c1 ��(k �1)ck�1xk ��2ck�1xk k�1 k�1

Después de sumar término a término las series, se sigue que

dy �2xy � c 1 ��

� [(k �1)ck�1xk � 2ck�1]xk � 0 dx k�1

69

para que esta ecuación sea idéntica a 0 , los coeficientes de la potencias iguales de xdeben ser cero; es decir,

c1 � 0

y

(k �1)ck�1 � 2ck�1 � 0, k �1,2,3,...

siendo esta última ecuación una relación de recurrencia o relación recursiva que determina las ck . Dado que

k �1� 0 para todos los valores indicados de k

se puede expresar la siguiente ecuación

� 2c k�1 ck 1 � k �1

por interacción, esta fórmula genera los siguientes resultados:

2 k �1, c2 � c0 � c 0

2

2 k � 2, c3 � c1 � 0

3

2 1 1 k � 3, c4 � c2 � c0 � c 0

4 2 2!

2 k � 4, c5 � c3 � 0

5

2 1 1 k � 5, c6 � c4 � c0 � c 0 6

3�2! 3!

70

2

k � 6, c7 � c5 � 0

7

2 1 1 k � 7, c8 � c6 � c0 � c 0 8

4�3! 4!

y así sucesivamente para que de la ecuación

�

y � �cnxn n�0

se obtenga que

� y � �cn xn � c0 �c1x�c2x2 �c3x3 �c4x4

�c5x5 �c6x6�''' n�0

2 0 � 1 c0x4 � 0 � 1 c0x6 � 0�'''

� c0 � 0 �c0x � 2! 3!

� c0��1� x2 � 21! x4 � 31! x6 � ...��

�

� x2n

� c0

�n � n!

0

esta es la solución general ya que la interacción ha dejado a c0 totalmente indeterminado.


71

Realizar una investigación documental para reforzar los conocimientos obtenidos en clase donde aplique el uso de las series de potencia en la solución de ecuaciones diferenciales, como resultado de dicha investigación el alumno será capaz de analizar ecuaciones diferenciales y aplicar la interacción que requiere la solución de educaciones a través de este método sobre todo para comprender si la ecuación diferencial en estudio será convergente o divergente para el intervalo en que se estudie.

72

AUTOEVALUACIÓN


1. x3 � 2xy � y4 / x

2. x�y(4x�3y)

x 3. y2 � x4 � y4

x2 4. cos x � y x

5. sen x � y

73

2 3

2 3

RESPUESTAS AUTOEVALUACION


1. x3 � 2xy � y4 / x

Respuesta: Sea

f (x, y) � x3 � 2xy � y4 / x

� f (tx,ty) � (tx)3 � 2(tx)(ty)2 � (ty)4 / x

� tx3ty3 � 2tx(t 2 y2 ) �t 4 y4 /tx

� t3x3 � 2t3xy2 �t3 y4 / x

� f (tx,ty) � t3(x3 � 2xy2 � y4 / x)

por lo tanto

� f (tx,ty) �t3 f (x, y): f (x, y) � x3 � 2xy2 � y4 / x

resultando ser una función homogénea de tercer grado.

2. x�y(4x�3y)

Respuesta: f (x, y) � x� y(4x�3y)

� f (tx,ty) � tx �ty (4(tx) � 3(ty)) � t x � y �t(4x � 3y)

� f (tx,ty) � t x � y �t(4x �3y) por lo tanto

� f (tx,ty) � t f (x, y) : f (x, y) � x � y �t(4x � 3y)

función homogénea de grado

x 3. y2 � x4 � y4

Respuesta:

74

por lo tanto

�1 f (x, y): f (x, y) x � f (tx,ty) �t

y2 � x4 � y4

es una función homogénea de grado -1

x2 4. cos x � y

Respuesta:

x2 f (x, y) � cos x � y

4 4 2 ) , ( y x y

x y x f

� � �

4 4 2 ) ( ) ( ) ( ) , (

ty tx ty

tx ty tx f

� � �

4 4 4 4 2 2 ) , ( y t x t y t

tx ty tx f

� � �

) ( ) , (

4 4 4 2 2 y x t y t

tx ty tx f

� � �

) ( ) , (

4 4 2 2 2 y x t y t

tx ty tx f

� � �

)) ( ( ) , (

4 4 2 2 y x y t

tx ty tx f

� � �

)) ( ( ) , (

4 4 2 y x y t

x ty tx f

� � �

)) ( ( ) , (

4 4 2 1

y x y

x t ty tx f

� � �

�

75

(tx)2

� f (tx,ty) � cos

tx � ty

t 2 x2 f (tx,ty) � cos

t(x � y)

t x2 f (tx,ty) � cos x � y

entonces

t x2 x2 cos � t cos

x� y x� y

por lo tanto

x2 � f (x, y) � cos

x� y

función no homogénea.

x 5. sen x � y

Respuesta:

x f (x, y) � sen x � y

entonces

tx

76

f (tx,ty) � sen

tx � ty

tx

f (tx,ty) � sen

t(x � y)

x f (tx,ty) � sen x � y x

f (tx,ty) �1� sen x � y

0sen x f (tx,ty) � t

x � y

por lo tanto

� f (x, y) �t 0 f (x, y)

función homogénea de grado 0.

UNIDAD 4

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIVO

Aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales

77

TEMARIO

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE

4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

78

MAPA CONCEPTUAL

INTRODUCCIÓN

79

En esta unidad se aborda la transformada de Laplace, el cual es un método que tiene la finalidad de convertir una ecuación diferencial para su solución a forma algebraica.

La transformada de Laplace sirve para verificar la validez de una ecuación diferencial en un intervalo dado, hay el caso en que las ecuaciones diferenciales dadas en problemas no existen y mediante este método, ya sea en su forma directa o inversa, se comprueba si la ecuación existe.

80

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea

F(t), t � 0

dada. La transformada de Laplace de

F(t)

se define como

f (s) � LLLL{ F(t)}� �0�e�stF(t)dt

donde s es un parámetro real. El símbolo LLLL se llama operador de la transformada de Laplace.

La integral impropia de la ecuación anterior se define como

lím e� �0 2

st

F(t)dt M��

y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límite existe o no. Si

M �st F(t)dt lím

� e M�� 0

existe decimos que la integral converge.

Ejemplo 1. Encontrar LLLL{1} , solución:

LLLL{1)} � �0�e�st (1)dt � blím��0b e�stdt

�e�st b �e�st �1

� lím�� | � lím�� b s o b s

1

2 �(s �a) o M s �a

81

LLLL{1)} �

s

si s � 0 ya que el exponente � sbes negativo, e�sb � 0 cuando b � �. Cuando s � 0se dice que integral es divergente.

Ejemplo2. Encontrar LLLL{ eat} , solución:

LLLL{ eat} � �0�e�st (eat )dt � Mlím��0M e�(s�a)t dt

e�s(s�a)t M 1�e�(s�a)M �1

� lím�� | � lím��

at} � 1

LLLL{ e

s � a

La transformada de Laplace existe si s�a pero no existe si s � a.

En general para las funciones donde s�a, existirá también para s�a, aunque hay funciones cuyas transformadas de Laplace no existen para ningún valor de s , por ejemplo la integral de

�0 x e�st e t2dt

no converge para ningún valor de s , la transformada de Laplace de et2 no existe.


Aplique la transformada de Laplace para determinar LLLL{ f (t)} para los casos cuando f (t)este condicionada por los valores.

82

1. f (t) � ��1,

� 1

0 � t �1

t r 1

2. f (t) � ��t, � 1

0 � t �1

t r 1

sent,

3. f (t) � ��

� 0

0 � t � �

t � �

4. f (t) � ��4 , 0 � t � 2

� 0 t � 2

5. f (t) � ��2t �1, 0 � t � 2

� 0 t rl

4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE

La transformada directa de Laplace es aquella cuando una función f (t)

se transforma en otra función

F(s)

a través de la integral

� �st

�0 e f (t)dt

83

representada de forma general por

LLLL{ f (t)} � f (s)

Algunas transformadas de Laplace de funciones básicas son:

1 a) LLLL{1} �

s n} � s nn�! 1 , n

� 1,2,3,...

b) LLLL{ t

at} � 1 c) LLLL{ e

s � a

k

d) LLLL{ senkt)} � s2 � k2

s

e) LLLL{coskt)} � s2 � k 2

k

f) LLLL{ senhkt)} � s2 � k2

s

g) LLLL{coshkt)}� s2 � k 2

84

La transformada inversa de Laplace, se ocupa en invertir el proceso, es decir, dada

F(s)

hallar la función

f (t)

que corresponde a esa transformación. Se considera que

f (t)

es la transformada inversa de Laplace de

F(s)

expresada como

f (t) � LLLL�1{ f (s)}

Algunas transformadas inversas de Laplace de funciones básicas son

a) 1 � LLLL-1��1�� s�

b) t n � L L L L -1��snn�! 1 � ��, n �1,2,3,... �

c) eat � L L L L -1�� 1 �� s � a�

d) senkt � L L L L -1��s 2 k k2 ��

� �

e) cos kt � L L L L -1��s 2 s k2 ��

� �

85

f) senhkt � L L L L -1��s 2 k k2 ��

� �

g) cosh kt � L L L L -1��s 2 s k2 ��

� �

L L L L -1es una transformación lineal. La transformada de Laplace es una

transformación lineal si � y � son constantes, esto es

LLLL-1��F(s)��(g)��LLLL-1�F(s)��LLLL-1�G(s)� donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que

LLLL{ f1(t)}� LLLL{ f2 (t)}

y

f1 � f 2 ,

pero si f1 y f2 son continuas en el intervalo [0,�), entonces f1 � f2 en dicho intervalo Ejemplo 1: Evalúe

-1 1 L L L L s 5 ,

para dar solución hay que coincidir la ecuación a la forma

t n � L L L L -1�� nn�!1 � �,

� s �

donde se determina que n � 4, para después multiplicar y dividir la ecuación por 4!, resolviendo la ecuación de la siguiente manera.

L L L L -1 s15 � 41 ! L L L L -1��s4

5!�� 24 1 t

86

-1 1 1 t L L L L s 5

� 24

Ejemplo 2: Evalúe

L L L L -1��s2 � 1

64� ��

Solución: como k2 � 64, utilizando

senkt � L L L L -1��s2 � k k2 � ��

se divide la expresión y se multiplica por 8, quedando resulta de la siguiente forma:

L L L L -1��s2 �1 64��

18 L L L L -1��s 2 �8 64� � �

L L L L -1��s 2 1 64�� 8 1 sen 8t

� �


Realizar una investigación documental respecto a la transformada directa e inversa de Laplace para reforzar los conocimientos obtenidos de clase y poder solucionar ecuaciones diferenciales a través de este método. _Debido a que la Transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, el estudiante tiene que conocer a través de esta investigación las condiciones necesarias para la existencia de la transformada de Laplace, las condiciones que puede investigar son la de la transformada de La place en funciones continuas a trozos, en funciones de orden exponencial, funciones acotadas, además, debe investigar el teorema de la existencia de la transformada de Laplace y su linealidad.

87

4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Con condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas para las funciones transformadas.

Ejemplo: Resolver

2x�� y� � y � t

x�� y� � t 2

sujetas a x(0) �1, y(0) � 0.

Solución: Si X (s) �LLLL{ x(t)} y Y(s) �LLLL{ y(t)} , entonces después de transformar cada ecuación se obtiene:

1 2[sX(s)� x(0)]�sY(s)� y(0)�Y(s) � s 2

2

sX(s)� x(0)� sY(s)� y(0) � s 3

es decir

1 2sX(s)�(s�1)Y(s)�2� s 2

2 sX(s)� sY(s) �1� s 3

Al multiplicar por 2 la segunda ecuación y restar se obtiene

1 4 (�s�1)Y(s)� s 2 � s3

es decir

88

Y(s) � s 34 (s��

s 1)

que al desarrollarlo en fracciones parciales da

5 5 4 5

Y(s)� s � s 2 � s3 � s�1

aplicando transformadas inversas la ecuación se transforma en

y(r) � 5L L L L -1��1s�� 5L L L L -1��s12 �� 5L L L L -1� ��s23!�� 5L L L L -

1��s 1�1� � �

y(r) � 5�5t �2t 2 �5e�t

De acuerdo a la ecuación

2 sX(s)� sY(s) �1� s 3

1 2 X(s) � �Y(s) � s � s 4

en consecuencia

x(t) � L L L L -1{ Y(s)}� L L L L -1��1s�� 32!L L L L -1��s34!� ��

�

89

2 1 t 3 �5e�t

x(t) � �4�5t � 2t � 2x�� y�� y � t

2 x�� y� � t

es

2 1 t 3 �5e�t x(t) � �4�5t � 2t �

3

y(t) � 5�5t � 2t 2 �5e�t


Realizar una investigación documental donde se utilicen soluciones de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace, con dicha investigación el alumno deberá presentar el algoritmo en forma de diagrama de flujo donde se especifica los pasos ordenados para hallar la solución de los sistemas de ecuaciones.

AUTOEVALUACIÓN

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de Laplace para determinar LLLL{ f (t)} .

1. f (t) �1, t �o

2. LLLL{ eat}

3 se concluye que la solución del sistema

90

3. f (t) � senh kt

4. f (t) � cos kt

5. f (t) � sen 2t

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la Transformada de Laplace para determinar LLLL{ f (t)} .

1. f (t) �1, t �o

Respuesta:

� �st LLLL{1} �

�e dt 0

1 LLLL{1} � , s � 0

s

2. LLLL{ eat}

Respuesta:

LLLL{ eat} � �0�e�st (eat )dt � Mlím��0M e�(s�a)t dt

e�s(s�a)t M 1�e�(s�a)M �1

91

� lím�� | � lím�� M �(s � a) o M s � a

at} � 1 LLLL{ e

s � a

3. f (t) � senh kt

Respuesta

senkt � L L L L -1��s2 � k k2 � ��

4. f (t) � cos kt Respuesta:

cos kt � L L L L -1��s2 � s k2 � ��

5. f (t) � sen 2t

Respuesta:

� �st LLLL{ sen

2t}� �e dt 0

�estsen2t � 2 � �st

LLLL{ sen 2t} � s 0 � s �0 e cos2tdt

2 � �st

LLLL{ sen 2t} � s �0 e cos 2tdt, s � 0

92

BIBLIOGRAFIA

Blanchard, Paul, Ecuaciones Diferenciales, México, Thomson, 1999.

Braun, Martín, Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones, México, Iberoaméricana, 2000.

Rainville, Earl D., Ecuaciones diferenciales elementales, México, Pearson, 2000.

Richard, Bronson, Ecuaciones diferenciales, México, McGraw-Hill, 2008

Simmons, George, Ecuaciones diferenciales teoría y práctica, México, McGrawHill, 2007.

Spiegel, Murray R., Ecuaciones diferenciales, México, Prentice Hall, 2000.

Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, México, Iberoamérica, 2001.

GLOSARIO

ÁLGEBRA : Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

ARITMÉTICA: Parte de la matemática que se ocupa del estudio elemental de los números, de las relaciones entre ellos y de las técnicas de realización de operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmos.

BASE : Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces como lo indica el exponente.

93

COEFICIENTE: Es el número que va situado a la izquierda de una letra o literal.

Si el coeficiente es la unidad, se omite.

CONSTANTE: Valor de tipo permanente

DERIVADA : La derivada de una función es la representación de un valor sobre la pendiente de la recta tangente que cambia su valor.

ECUACIÓN: Igualdad entre dos expresiones algebraicas.

EXPONENTE: Un exponente es un número que indica cuántas veces debe usarse la base como factor.

FACTORIZACIÓN : Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros primos entre sí.

FUNCIÓN: Usada en matemáticas para modelar situaciones de la dependencia de una variable sobre otra.

IGUALDAD : Expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el mismo valor.

INTEGRACIÓN: Es la suma de infinitos sumados, infinitamente pequeños.

INTERVALO : Conjunto de números reales comprendidos entre otros dos números reales.

LIMITE: Tendencia de una sucesión o función al acercase a un valor.

LOGARITMO : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

94

NÚMERO DECIMAL : Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.

NÚMERO NATURAL : Denota una cantidad entera y positiva de una especie. El conjunto de los naturales se denomina N, excluye al cero y se expresa: N= {1,

2, 3, 4, ...}

NÚMERO RACIONAL : Comprende las cantidades numéricas expresables en forma de fracción. El conjunto de los números racionales se denota por Q e incluye a los números enteros y naturales.

NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos números que solo son divisibles por sí mismos y por la unidad, es decir estos números solamente presentan dos divisores. También son llamados "números primos absolutos" (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.). POTENCIA: Representación de un producto de factores iguales entre sí.

RELACION : Conjunto de pares ordenados.

SISTEMA DE ECUACIONES : Conjunto de ecuaciones que presentan soluciones comunes.

TRANSFORMACIONES : Cambios de escala con el propósito de conseguir linealidad, normalidad en los datos

VALOR ABSOLUTO: Siendo x un número real cualquiera, se llama valor absoluto de x y se representa por | x | al número real que verifica las siguientes condiciones: | x |=x; sí y solo sí x>0 ó x=0; | x |=-x; sí y solo sí x<0. El valor absoluto de un número distinto de cero siempre es un número positivo.

VARIABLE : Objeto matemático que puede tomar diferentes valores. Generalmente asociado a propiedades o características de las unidades de la muestra. Lo contrario de variable es constante.

95

ALFABETO GRIEGO

Alfa �

Beta �

Gamma �

Delta �

Épsilon �

Eta �

Zeta �

Iota �

Kappa � Lambda � Mi �

Ni �

Xi �

Ómicron �

Pi �

Ro �

Sigma �

Tau �

Ípsilon �

Fi �

Ji �

Psi �

Omega �

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