eje 2. razonamiento lógico matemático

Eje 2. Razonamiento lgico matemtico

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Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

UnADM

Curso Propedutico para el Aprendizaje

Autogestivo en un Ambiente Virtual


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[] Se ha convertido casi en un comentario clich, que nadie hoy en da alardea de ser

un ignorante en literatura, pero es aceptable socialmente alardear de ignorar la ciencia y

afirmar orgulloso que se es un incompetente en matemticas.

Richard Dawkins

Dentro del razonamiento lgico-matemtico se pretende medir habilidades para

contextualizar las matemticas en nuevas situaciones, lo cual propicia generar nuevos

conocimientos y aplicarlos en trabajos prcticos. Estas habilidades permiten adems,

procesar, analizar y utilizar gran cantidad de informacin en las reas de las matemticas

como la aritmtica, el lgebra, la geometra y otros campos del conocimiento.

El razonamiento matemtico est relacionado con la habilidad matemtica, lo que permite

comprender conceptos y proponer algoritmos para resolver problemas, ya sean stos

contextualizados o abstractos. En este apartado te presentamos problemas de

razonamiento lgico-matemtico, puesto que el dominio de estas reas es indispensable

para iniciar tus estudios en la Universidad Abierta y a Distancia de Mxico (UnADM).

En la primera unidad se explican los mtodos y tcnicas para resolver problemas,

partiendo del razonamiento inductivo, complementado con el razonamiento deductivo. Los

problemas se presentan de acuerdo al grado de complejidad, pero, si se toman en cuenta

los procedimientos presentados, dicha complejidad no ser impedimento para resolver los

problemas. En la segunda unidad se muestran mtodos de Polya para resolver problemas

matemticos, as como diversos ejemplos correspondientes a stos.

Otra parte fundamental que revisaremos, es el razonamiento lgico y abstracto, donde se

podrn desarrollar mecanismos para la solucin de secuencias de figuras. Para

comprender mejor estos elementos, es necesario prestar mucha atencin a los ejemplos

que se presentan a lo largo del curso, ya que stos ayudarn a resolver aquellas

situaciones que se proponen dentro de la actividad.


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Competencias

A travs de este eje desarrollars la siguiente competencia especfica:

Desarrolla la habilidad de resolver problemas mediante los conceptos generales de

matemticas bsicas para su representacin dentro de la vida cotidiana.

Propsitos

Los propsitos de este eje son los siguientes:

Utilizar el razonamiento lgico-matemtico para crear estructuras de conocimientos.

Desarrollar la capacidad de anlisis y construccin de esquemas que permitan la

solucin de un problema.

Resolver problemas mediante el uso del razonamiento lgico-matemtico.

Metodologa: cmo vas a desarrollar las competencias?

La forma en que recomendamos cursar este eje es revisar y analizar los ejemplos que

proponemos, dado que ellos permitirn resolver los diferentes planteamientos que se

presentan en cada una de las unidades que estudiaremos. Adems, es indispensable que

revisemos los recursos que se sugieren, ya que son una herramienta valiosa para lograr

la competencia del curso.

Este eje, aunque se asemeja al rea de matemticas, ser de utilidad para la realizacin

de la actividad integradora, donde nos permitir razonar, estructurar y tomar decisiones al

momento de eleccin o determinacin del giro de tu lectura final. As que te invitamos a

analizar y resolver los diferentes planteamientos que presentamos en este eje.


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Mapa general del eje


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Unidad 1. Razonamiento inductivo y deductivo

En la vida cotidiana utilizamos el razonamiento para tomar decisiones en alguna situacin.

Dicho razonamiento nos permite estructurar diferentes enunciados que, a su vez,

permiten determinar un curso de accin, sea correcto o incorrecto.

Lo mismo sucede en la escuela, constantemente debemos tomar decisiones dentro del

mbito estudiantil, para lo cual utilizamos dos tipos de razonamiento: el inductivo y el

deductivo. Pero, te has preguntado

Cul es la estructura del pensamiento al razonar para determinar el resultado a un

problema?

Pones en juego, por ejemplo, procesos de solucin para resolver un problema o

simplemente intuyes el resultado?

Para profundizar sobre los tipos de razonamiento, revisa la siguiente lectura

Razonamiento inductivo y deductivo.

Razonamiento deductivo e inductivo

La historia de las matemticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la necesidad de resolver problemas a travs de errores y victorias, estas culturas lograron determinar tcnicas que despus utilizaron constantemente, como recetas de cocina, lo cual se repiti una y otra vez en problemas similares. Al observar que esta tcnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron que este mtodo funcionaba para problemas del mismo tipo. Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solucin conjetura, que es una hiptesis que se fundamenta en observaciones repetidas de un proceso o patrn determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama razonamiento inductivo. El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusin general, o conjetura, a partir de observaciones repetidas en ejemplos especficos; dicha conclusin puede llegar a ser verdadera o no. Es fcil demostrar que la solucin a estos ejemplos es falsa, pues basta con encontrar un ejemplo que as lo compruebe; a ese tipo se le conoce como contraejemplo. Podemos mencionar, adems, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor el punto. Conjetura. Todos los nmeros primos son impares: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Si observamos el conjunto de nmeros, todos son nmeros primos, mas no todos


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son impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura. Contraejemplo El nmero 2 es un nmero primo, pero no un nmero impar. Este tipo de razonamiento inductivo es un mtodo potencialmente fuerte para llegar a una conclusin, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razn, algunos matemticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo. El razonamiento deductivo inici con los matemticos griegos, como revelan los trabajos de Pitgoras, Arqumedes y Euclides, entre otros, quienes aplicaron conceptos generales a problemas especficos, lo que dio como resultado un desarrollo lgico y estructurado de las matemticas. Un razonamiento deductivo se define como la aplicacin de principios generales a ejemplos especficos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un razonamiento inductivo y otro deductivo. Observa los siguientes ejemplos de razonamiento inductivo: Conjetura 1: Alberto tiene 25 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por partidos de izquierda. Conjetura 2: Juan tiene 23 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por partidos de Izquierda. Conjetura 3: Alberto tiene 22 aos, vive en la ciudad de Mxico y siempre vota por partidos de izquierda. Conclusin: Los ciudadanos entre 20 y 25 aos que viven en la ciudad de Mxico siempre votan por partidos de izquierda. Estas premisas pueden ser refutadas y demostrarse su falsedad, dado que no todas las personas que viven en la ciudad de Mxico votarn por partidos de izquierda. Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el ms utilizado en problemas lgico-matemticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas. Conjetura 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse. Conjetura 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno. Conclusin: Los panecillos estarn listos a las 3:00 pm. Veamos algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales utilizaremos los nmeros naturales o nmeros cardinales. Considera la siguiente secuencia de nmeros: 1, 8, 15, 22, 29. Cul es el nmero que sigue en la lista?, cul es el patrn? Si observamos y analizamos los nmeros, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. Sumamos 15 y 7 para


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obtener 22?, sumamos 22 y 7 para obtener 29? S, efectivamente. Sumamos 7 a todo nmero precedente, de modo que el nmero siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente nmero de la secuencia, utilizamos la observacin, y se determina tanto el patrn como el nmero que sigue en la secuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo. Usando el razonamiento inductivo se concluye que 41 era el nmero siguiente, pero, qu pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses Junio y Julio?

Junio D L M M J V S

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30

Julio

D L M M J V S

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

Entonces, la secuencia quedara de manera diferente:

1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27 Si analizamos la secuencia, el patrn sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aqu se muestra una falla importante del razonamiento inductivo, el cual no nos garantiza que la verdad en un caso especfico ser verdad en lo general. Por lo tanto, el razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer una conjetura. En matemticas es comn utilizar la expresin exponencial, que no es otra cosa que representar la multiplicacin repetida:

Base = 3.3.3 = 27 Exponente

En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en situaciones especficas, por ejemplo el teorema de Pitgoras:

En un tringulo rectngulo, la suma del cuadrado de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.


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Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente Si los catetos miden 4 y 6 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa, representada por .

( ) ( )

Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros, aplicando la regla general del teorema de Pitgoras. El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual puede ser un supuesto, una ley, un teorema, una definicin matemtica, observacin o idea. Despus, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solucin, misma que se vuelve un argumento lgico. Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir la respuesta de ejercicios de clculo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Predice la multiplicacin y el producto que sigue en esta lista de operaciones:

Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto que en el segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicacin sera:

- por lo cual es verdadero.

Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados al razonamiento. Un ejemplo clsico es el de dividir por regiones una circunferencia, partiendo de puntos. Veamos la siguiente grfica:


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Si observamos la figura, en la primera se coloc un punto sobre la superficie, y se denota una regin; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos con una lnea recta, formamos dos regiones. Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio de lneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por medio de una progresin geomtrica

Qu pasara si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, cuntas regiones tendramos? Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedaran de la siguiente manera:

Si volvemos a representarlo en la progresin geomtrica, quedara de la siguiente manera:

Analicemos Cul sera el nmero de regiones si colocamos 6 puntos en la circunferencia? Si respondemos por medio de una conjetura tomada de un razonamiento inductivo, la progresin quedara de la siguiente manera:


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Representndolo grficamente, sera:

Nos han robado! Slo tenemos 31 regiones. Ahora probemos con siete puntos en la circunferencia. Razonando inductivamente, tendramos:

Representndolo grficamente, tendramos:

Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57 regiones, cuando deberamos tener 64. Conclusin: Este tipo de ejemplos ilustran que en matemticas no podemos simplemente guiarnos por observaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lgicos y rigurosos que constituyen una prueba que demuestra la veracidad del proceso.


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Una vez que hayas analizado la lectura recomendada, observa con atencin los

siguientes videos, en los que encontrars una explicacin clara de los conceptos de

induccin y deduccin.

Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo y deductivo parte 1 y 2. [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y

https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A

Despus de haber analizado el documento y el video, te invitamos a leer la siguiente

reflexin, donde comprobaremos que, algunas veces, actuar de manera inductiva nos

lleva a resultados equivocados si no demostramos antes lo que solamente asumimos.

Para ampliar la informacin y tener ms argumentos para responder a la actividad 1, te

recomendamos revisar el siguiente vnculo electrnico, donde encontrars diversos

ejemplos sobre razonamiento inductivo y deductivo, as como de razonamiento lgico,

tomado de la siguiente referencia:

El cientfico y las pulgas

Un cientfico tena dos frascos grandes frente a l sobre la mesa del laboratorio. El

frasco de la izquierda contena 100 pulgas, en tanto que el frasco de la derecha estaba

vaco. El cientfico sac con cuidado una pulga del frasco de la izquierda, la coloc

sobre la mesa en medio de los dos frascos, dio un paso hacia atrs, y con voz fuerte

dijo salta. La pulga salt y luego la coloc en el frasco de la derecha. El cientfico

sac entonces cuidadosamente una segunda pulga del frasco de la izquierda y la

coloc sobre la mesa entre los dos frascos. De nuevo dio un paso hacia atrs y, con

voz fuerte, dijo salta. La pulga salt y fue colocada en el frasco de la derecha. El

cientfico trat del mismo modo a cada una de las 100 pulgas del frasco de la izquierda

y cada pulga salt como se le orden.

Aplic la misma mecnica nuevamente con las pulgas de la derecha, nicamente con

un cambio. El cientfico sac una pulga del frasco de la derecha, le arranc las patas

traseras, y coloc la pulga sobre la mesa, dio un paso hacia atrs y dijo con voz fuerte

salta. La pulga no salt y fue colocada en el frasco de la izquierda. El cientfico hizo lo

mismo con las 100 pulgas y ninguna de ellas salt cuando se les orden, por lo que el

cientfico lleg a la siguiente conclusin:

Cuando se arrancan las patas traseras a una pulga, se vuelve sorda.


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Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lgico - 17 Problemas Resueltos -

(Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) Solucionario [El blog del

profe Alex]. Recuperado de http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-

17-problemas.html

Recordemos que los problemas se resuelven con la resolucin de problemas

similares.

Actividad 1. Razonamiento inductivo o deductivo

Revisa en el aula virtual en qu consiste la actividad.

Lee el siguiente planteamiento

En un congreso de la ciudad de Mxico se reunieron diferentes personalidades del

mundo, un presidente de la asociacin petrolera Ramiro Paredes, su mujer e hija; un

jeque Musulmn Muh y sus tres mujeres; una bonita tibetana, la seora Chen y sus dos

maridos; y un cura de la catedral de Mxico. La seora Paredes est sentada a la

izquierda de su marido, las tres musulmanas estn tmidamente juntas y han procurado

que no haya ningn hombre sentado junto a ellas. El jeque se niega a sentarse junto

alguno de los tibetanos, cuyo rgimen matrimonial no aprueba. Don Ramiro, muy tmido

con las mujeres, evita su cercana. La hija del alcalde, muy alegre y divertida, evita

sentarse junto a sus padres y dice al odo de la seora Chen: Cmo da lata tener dos

maridos?, mientras que roza con la rodilla a su vecino de forma tan provocativa que ste

vuelca su vaso de vino.

Cmo estn sentados los once personajes alrededor de la mesa?

Actividad 2. Deduccin e induccin


Cierre de la unidad

A lo largo de esta unidad revisamos que, antes de resolver un problema, ya sea de mbito

matemtico o cualquier situacin, debemos estructurarlo para poder identificar los

elementos necesarios para resolverlo. El razonamiento inductivo y el razonamiento

deductivo nos permiten formar estas estructuras; el primero determina inicialmente un

resultado que puede o no tener validez, en tanto que el segundo verifica este resultado,

por lo cual ambos resultan tiles.


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Este principio nos ayuda no slo a resolver cualquier tipo de problemas, sino a desarrollar

diferentes habilidades, as como la capacidad de razonar, tomar decisiones y generar

nuevas ideas en cualquier mbito educativo.

Fuentes de consulta

Castro, L. (s/f). Diez plataformas para crear un blog [About.com]. Recuperado de

http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/Diez-Plataformas-Para-Crear-

Un-Blog.htm

Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo, deductivo parte 1 y 2 [archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y

https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A

Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lgico - 17 Problemas Resueltos -

(Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) Solucionario [El blog del

profe Alex]. Recuperado de: http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-

17-problemas.html


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Unidad 2. El arte de resolver problemas

Antes de iniciar con el arte de resolver problemas, te presentamos una actividad que

podrs ir resolviendo en el transcurso de esta unidad. Para realizarla, es necesario

analizar y determinar los elementos ms contundentes en cada punto de la revisin del

tema.

Te brindamos los mtodos de solucin de problemas, tomados desde la aportacin de

George Polya, quien fue uno de los autores que propusieron el mtodo de resolucin de

problemas. Adems, mostramos diferentes ejemplos y tcnicas por los cuales podemos

resolver problemas.

Te invitamos a revisar el siguiente reto matemtico.

Telsita, Thalesa, Hipotenusia, Aritmtica y Restarin tienen un montn de 100 tarjetas

enumeradas del 1 al 100. Como son muy hbiles con los nmeros, se dedican a incluir o

quitar del montn aquellas tarjetas segn le gusten o no.

Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los nmeros pares, los descarta y

pasa las tarjetas a Thalesa; ste, que es un amante de los mltiplos de 5, se da cuenta

de que le faltan algunos, y los coge de los que Telsita haba eliminado, y luego le entrega

las tarjetas a Hipotenusia.

Hipotenusia, como est enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y

coger las tarjetas que stos haban descartado, y se los pasa a Aritmtica.

Aritmtica, tras observarlas, elimina aquellas que son mltiplos de 6 y de 8 porque las

considera de mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin.

A Restarin no le agradan los nmeros primos mayores a 7, as que elimina las tarjetas

que tienen como divisor alguno de estos nmeros.

Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan. Cuntas tarjetas tiene ahora

en su poder? Cul es el mayor nmero escrito en esas tarjetas?

Actividad 3. Razonamiento lgico matemtico



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Como hemos visto en el primer apartado, el razonamiento inductivo puede ser til para

iniciar la solucin de un problema, pero tambin debemos utilizar el razonamiento

deductivo para comprobar si la solucin es veraz o falsa.

Pero, realmente podemos resolver problemas?

Tenemos una estructura hecha para resolverlos?

Para resolver problemas debemos tener una organizacin al momento de comprender,

analizar, clasificar y determinar el resultado, puesto que si slo nos guiamos por

conjeturas o premisas, podemos caer en errores que no permitan solucionarlo

adecuadamente. Es por ello que existen procesos o tipos de estrategias para resolver un

problema, a continuacin te mostramos algunos de stos.

Mtodo de cuatro pasos de Polya

La estrategia ms conocida es la de George Polya. Nacido en Hungra en 1887, Polya

fue un matemtico que desarroll diversas tcnicas para la solucin de problemas. Su

publicacin ms famosa fue How to solve it (Cmo resolverlo), donde propuso un

mtodo de cuatro pasos para la solucin de problemas.

Revisa y reflexiona sobre el mtodo de cuatro pasos que propuso Polya, expuesto en el

documento Mtodo de cuatro pasos y relacinalo con cada uno de los cinco ejemplos que

mostramos despus.

Mtodo de cuatro pasos de Polya A continuacin te presentamos en qu consiste el mtodo de cuatro pasos de Polya para la solucin de problemas:

Paso 1 Comprenda el problema. Usted no puede resolver un problema

si no entiende qu le pidieron calcular. Se debe leer y analizar el

problema cuidadosamente. Tal vez sea necesario leerlo varias


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veces. Despus de eso, pregntese, qu debo calcular?

Paso 2 Elabore un plan: Existen muchas maneras de enfrentar un

problema. Elija un plan adecuado para el problema especfico

que est resolviendo.

Paso 3 Aplique un plan: Una vez que sabe cmo enfocar el problema,

ponga en prctica ese plan. Tal vez llegue a un callejn sin

salida y encuentre obstculos imprevistos, pero debe ser

persistente.

Paso 4 Revise y verifique: Revise su respuesta para ver que sea

razonable. Satisface las condiciones del problema? Se han

contestado todas las preguntas que plantea el problema? Es

posible resolver el problema de manera diferente y llegar a la

misma respuesta?

El paso 2 del mtodo para la solucin de problemas de Polya aconseja elaborar un plan. Aqu se presentan algunas sugerencias y estrategias que han demostrado ser tiles.

Sugerencias para la solucin de problemas

Elabore una tabla o diagrama

Busque un patrn

Resuelva un problema similar ms

sencillo

Elabore un bosquejo

Use el razonamiento inductivo

Formule una ecuacin y resulvala

Si una frmula aplica, sela

Trabaje hacia atrs

Suponga y verifique

Use ensayo y error

Use el sentido comn

Busque la trampa que se le

tiende en el caso de que una

respuesta parezca demasiado

evidente o imposible

Cuando a George Polya se le preguntaba cmo lleg a ser matemtico, l contestaba que no era lo suficientemente inteligente para ser fsico, y demasiado para ser filsofo, as que eligi matemticas, que es una cosa intermedia. Ahora que conociste los mtodos propuestos por Polya, es momento de revisar algunos ejemplos para que te vayas familiarizando con estos procesos. Recuerda que esto te ser til durante toda la carrera profesional que curses. El desarrollo del plan que nos propone Polya requiere el uso de varios mtodos.


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Ejemplos de Mtodos para resolver problemas

Existen muchos mtodos mediante los cuales se resuelven problemas. Veamos algunos

ejemplos de los que ms se utilizan:

1. Uso de tabla o diagrama

Se tomar un ejemplo del libro Liber Abaci del matemtico Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci. Ejemplo 1. Un hombre coloc un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes los conejos no se reprodujeron, pero cada mes a partir de entonces tuvieron una nueva pareja de conejos. Si cada nueva pareja se reprodujera de la misma manera, cuntas parejas de conejos habra al cabo de un ao? Solucin: Se comenzar con el mtodo que propone George Polya: Paso 1. Comprende el problema: la intencin es comprender qu es lo que solicita el problema, y la mejor manera de hacerlo es redactando el problema para entenderlo correctamente. Por ejemplo, cuntas parejas de conejos tendr el hombre al final del ao, si inicia con una pareja de conejos que no procrea durante el primer mes, pero cada mes siguiente cada pareja que tuvieron procrea un nuevo par? Paso 2. Elabora un plan: en el ejemplo se identifica un patrn definido de cmo se reproducen los conejos, as que podras construir la siguiente tabla: Mes Nmeros de parejas al inicio Nmero de nuevas

parejas

procreadas

Nmeros de

parejas al final del

mes

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 La respuesta estar

aqu.


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Paso 3. Aplica el plan: al inicio del primer mes slo hay una pareja de conejos, y no se reproducen durante este periodo; es decir, 1+0 = 1. Este patrn contina, pero al segundo mes hay dos parejas; es decir, 1+1 =2. Al tercer mes solamente se reproduce una pareja, porque la segunda no se reproduce durante su primer mes de vida; es decir 2+1=3. Al seguir el patrn, la tabla quedara de la siguiente manera. Mes Nmeros de

parejas al inicio

Nmero de

nuevas parejas =

procreadas

Nmeros de

parejas al final

del mes

1 1 0 1

2 1 1 2

3 2 1 3

4 3 2 5

5 5 3 8

6 8 5 13

7 13 8 21

8 21 13 34

9 34 21 55

10 55 34 89

11 89 55 144

12 144 89 233

Habr 233 parejas de conejos al final del ao. Paso 4. Revisa y verifica: regresa y asegrate de que la interpretacin del problema fue correcta; verifica si la suma de los nmeros coincide con los resultados.

2. Trabajar hacia atrs Planteamiento Alberto asiste cada semana al Hipdromo de las Amricas para las carreras de caballo con sus amigos. En una semana duplic su dinero, pero luego perdi $300. Regres con su dinero la siguiente semana, lo triplic, y luego perdi $600. La siguiente semana volvi a llevar su dinero y lo intent nuevamente. En esta ocasin cuadruplic su dinero, y luego jug lo suficiente para llevarse a su casa un total de $6,000. Con cunto inici la primera semana? Solucin Como el problema requiere determinar la cantidad de dinero con que inici Alberto, y se conoce la cifra final, se puede aplicar el mtodo de trabajar haca atrs. La cantidad final es $6,000, y representa cuatro veces la cantidad con la que inici la tercera semana. Se divide $6,000 entre 4, para saber la cantidad que tena la tercera semana, lo que resulta ser $1,500. Antes de perder $600 la segunda semana, tena 1500 + 600, o sea, 2,100. Es decir, triplic su dinero, pues la segunda semana inici con 2,100 dividido entre 3, es decir, 700. Al repetir este proceso en la primera semana, sera:


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Lo cual representa el doble de la cifra con la que inici, por lo tanto: - Respuesta Para verificar si el procedimiento es correcto, se puede representar en ecuaciones: Primera semana, ( ) Segundo semana, ( ) Tercera semana, ( )

3. Uso de ensayo y error Pedro, Ral y Ana son amigos, y cada uno es dueo de slo uno de los siguientes animales: perro, gato y tortuga. Identifica el nombre de la persona propietaria de cada animal con base en los siguientes datos: 1.- El sobrino de Ana tiene un gato 2.- Pedro tiene un perro 3.- Pedro no es el dueo de la tortuga Solucin: Se parte por medio de ensayo y error. Se proponen cada uno de los datos y todas las combinaciones posibles, y se eliminan aquellas que contradicen alguno de los datos hasta obtener asignaciones completas. El anterior sera un ejemplo de combinaciones posibles, aunque se podran colocar otras, como:

1. Pedro tiene la tortuga Falso 2. Pedro tiene el perro Verdadero 3. Ral tiene la tortuga Falso 4. Ral tiene el perro Falso 5. Ral tiene el gato debe ser cierta por que no contradice ninguna

informacin y es la nica opcin disponible 6. Ana tiene la tortuga no contradice ninguna informacin 7. Ana tiene el perro Falso 8. Ana tiene el gato Falso, ya que un animal no puede tener dos dueos 9. Ana tiene el gato Falso 10. Ana tiene la tortuga Verdadero

4. Suposicin y verificacin Planteamiento A las orillas de un ro se vio a la cuarta parte de una manada de borregos. El doble de la raz cuadrada de esa manada se fue al establo; y 3 por 5 camellos permanecieron a la orilla del rio en espera del pastor. Cul es el nmero de camellos en esa manada?


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Solucin Si te das cuenta, en este problema el resultado es un nmero natural. Como en el planteamiento del problema se menciona un cuarto de la manada, y la raz cuadrada de esa manada, el nmero de borregos debe ser un mltiplo de 4, como un cuadrado perfecto. Se inicia con una ecuacin donde representa el nmero de borregos en la manada, el cual se sustituye por 4, para ver si es la solucin. Un cuarto

de la

manada + El doble de la

raz cuadrada

de la manada + 3 veces 5

camellos

= Nmero de

camellos en

la manada

+

+

=

( ) +

+

15 =

4

1 +

4 +

15 =

4

20

4

Si observas el proceso, 4 no es la solucin, por lo que se intenta con el siguiente nmero perfecto, que es mltiplo de 4.

( )

Observas que 16 tampoco es la solucin al problema, as que se utiliza el siguiente nmero cuadrado perfecto, y que es mltiplo de 4.

( )


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Aqu se cumple la igualdad y se encuentra el resultado al problema. La ecuacin permite verificar el resultado.

5. Elaboracin de un boceto Planteamiento: La copa y el botn De la siguiente figura, y moviendo solamente dos palillos, deja el botn fuera de la copa. No puedes mover el botn. La copa puede quedar en cualquier orientacin, pero debe mantenerse formada.

Solucin Para solucionar este tipo de problemas, debes realizar procesos y dibujarlos.

Para profundizar un poco ms sobre la resolucin de problemas, a travs de la creatividad

y el juego, te invitamos a consultar el siguiente vnculo electrnico, donde se muestran

ms ejemplos de razonamiento:

Tomado de: Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos

[Museo del juego] Recuperado de: http://museodeljuego.org/wp-

content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf


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Actividad 4. Ingenio lgico matemtico


Constante de Kaprekar

Revisa la siguiente reflexin que aporta un conocimiento muy til en diferentes momentos

de tu vida estudiantil.

Alguna vez has escuchado de la constante de Kaprekar?

Si no la conoces, realiza la siguiente

actividad para identificarla.

Selecciona un nmero de tres dgitos

diferentes. Primero, ordnalos de manera

descendente, y resta los mismos tres

dgitos, pero ahora ordenados de manera

ascendente. Por ejemplo, selecciona los

dgitos 4, 6 y 9, de modo que, en primera

instancia, obtienes 964.

964 954

- 469 - 459

495 495

Observa que obtuviste 495. Repitiendo el

proceso, vuelves a obtener el nmero 495.

A este nmero se le conoce como la

constante de Kaprekar, en la cual el

resultado siempre ser 495, si el proceso se

aplica a cantidades de tres dgitos.

Te invitamos a realizar el mismo proceso de

Kaprekar a un nmero de dos dgitos

diferentes (interpreta 9 como 09, si es

necesario) y compara los resultados. Qu

parece ser verdad?

Realiza lo mismo, pero, en lugar de dos

dgitos, utiliza cuatro dgitos Qu conjetura

se puede formar respecto a esta situacin?


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Cierre de la unidad

Hasta ahora nos hemos dado cuenta de que la resolucin de problemas no se aplica slo

a las matemticas, sino que se amplan en otras ramas de la educacin universitaria.

Adems, cuando se presenta un problema, algunas veces lo resolvemos por medio de la

intuicin y su resultado nos convence, pero existen otros que necesitan ms de una

prediccin inductiva; necesitan estructuras, mtodos, tcnicas y dems herramientas que

permiten llegar a su solucin.

Te exhortamos a revisar la ltima unidad de este eje, donde fortalecers todo lo aprendido

hasta el momento.

Fuentes de consulta

Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos [Museo del

juego]. Recuperado de http://museodeljuego.org/wp-

content/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf

Miller, C. D., Heeren, V. E., y Hornsby, J. (2013). Matemtica: Razonamiento y

aplicaciones. 12 Edicin. Mxico: Editorial Pearson Educacin.


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Unidad 3. Razonamiento lgico y abstracto

Muchos de los ejercicios que hemos revisado en las dos unidades anteriores han sido

para orientarte y proporcionarte mtodos para la solucin de problemas, mtodos que te

sirven para determinar procesos y tcnicas. Los ejemplos tratados en esta unidad nos

muestran situaciones relacionadas con el pensamiento creativo y a medida que los

vayamos resolviendo, mejorar notablemente tu capacidad de razonamiento.

Reflexionemos en lo siguiente:

Has realizado algn test psicotcnico?

Cmo detectas caractersticas en un patrn de figuras o en un problema?

La forma de resolverlos es ir sacando conclusiones con un criterio lgico, sin hacer uso de

conocimientos matemticos o de lgica.

Por su parte, el razonamiento abstracto se constituye por series de figuras, y debemos

escoger cul de las figuras es la que contina; para ello, tenemos que notar ciertas

caractersticas como el cambio de posicin, rotacin y analogas de las figuras.

Para precisar, reforzar y continuar con el aprendizaje dentro de esta unidad, te

recomendamos leer la siguiente presentacin sobre ordenamiento y clasificacin

jerrquica.

Para verificar a travs de videos algunos procesos de solucin, te sugerimos revisar los

ejemplos en el siguiente par de vnculos electrnicos sobre razonamiento lgico y

abstracto:

Zevallos, A. (2013). Razonamiento lgico 152 - verdades y mentiras [video]. Recuperado

de

https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Zevallos, A. (2013). Analogas grficas problema 201 - razonamiento abstracto [video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Por ltimo, te brindamos un documento donde revisars diversos ejemplos y ejercicios

sobre razonamiento lgico y abstracto, tomado de la siguiente referencia:

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de

http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf


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Despus de que hemos tenido un acercamiento al razonamiento lgico y al razonamiento

abstracto, te mostramos ciertos ejemplos que pueden ayudarte en la realizacin de la

actividad de aprendizaje:

1. Razonamiento Lgico

Relacin de tiempo

Ordenamiento lineal

Parentesco

2. Razonamiento abstracto

Relacin de tiempo Si el ayer del pasado maana del maana de anteayer de maana es jueves, qu da fue ayer? Para solucionarlo, lo ms conveniente es crear una recta numrica para representar los das.

Si el ayer: -1 Del pasado maana: +2 Del maana: +1 De anteayer: -2 De maana: +1 Entonces:

Del resultado se deduce que maana (+1) es jueves, y hoy es mircoles; as que ayer fue martes.

Ordenamiento lineal Jorge es mayor que Sandra y ella es menor que Fidel. Marco es mayor que Jorge y Fidel, y ste es menor que Jorge. Cul de los siguientes enunciados es verdadero? a) Fidel es mayor que Jorge y menor que Sandra b) Jorge es mayor que Sandra y Fidel c) Marco es menor que Jorge y mayor que Fidel


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Para resolver este problema, puedes relacionarlos de acuerdo a los enunciados:

Por lo tanto,

El enunciado verdadero es el de la opcin b).

Parentesco En un restaurante estaban presentes: un padre, una madre, un to, una ta, un hermano, una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos. Si cada uno consumi $350, cunto gastaron en total como mnimo? Solucin: Analizando el problema, puedes determinar que cada integrante de la familia puede desempear diferentes papeles. Representado en un esquema, quedara de la siguiente manera.

Por consiguiente, estuvieron cuatro personas, as que ( )

Ejemplos de razonamiento abstracto 1.- Cul es la figura que sigue en la secuencia?


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Solucin: Suprimiendo las puntas de la flechas, la respuesta correcta sera C). 2.- Cul es la figura que sigue en esta serie?

Solucin: Si analizas el movimiento de las figuras, stas van rotando 90, por lo tanto, la solucin es B).

Revisa los siguientes planteamientos:

Planteamiento 1

Al derrotar a la bruja Morgana, el rey Arturo y sus tres caballeros de la mesa redonda

(Lanzarote, Gauvain y Tristn) regresan al castillo de Camelot. De pronto se encuentran

con cuatro caminos (A, B, C y D), y todos llevan a Camelot. Feliz por la victoria, Arturo y

sus caballeros deciden hacer una competencia, cada uno por un camino diferente;

adems, cada uno montaba un caballo de distinto color (blanco, plateado, marrn y

negro).

Se sabe que:

El caballero de caballo blanco toma el camino D.

El camino D y B presentan muchas dificultades, al contrario de A y C, que son

caminos ms sencillos.

El caballero de caballo marrn toma el camino A.

Gauvain toma el camino B.

Al estar muy cansados, Lanzarote y el caballero de caballo negro toman los

caminos ms sencillos.

Antes de comenzar la competencia, el rey Arturo, Gauvain y Lanzarote escuchan

al caballero de caballo negro tocar la lira.


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Planteamiento 2

Almorzaban juntos tres polticos: el seor Blanco, el seor Rojo y el seor Amarillo. Uno

llevaba corbata blanca, otro, corbata roja, y el otro, corbata amarilla, pero no

necesariamente en ese orden.

-Es curioso- dijo el seor de corbata roja- Nuestros apellidos son los mismos que

nuestras corbatas, pero ninguno lleva la que corresponde al suyo.

-Tiene usted razn- dijo el seor Blanco.

De qu color llevaba la corbata el seor Amarillo, el seor Rojo y el seor Blanco,

respectivamente?

a) Blanco, rojo, amarillo.

b) Rojo, amarillo, blanco.

c) Amarillo, blanco, rojo.

d) Rojo, blanco, amarillo.

e) Blanco, amarillo, rojo.

Actividad 5. Razonamiento lgico y abstracto


Actividad 6. Razonamiento abstracto


Cierre de la unidad

A travs de esta unidad revisamos diferentes ejemplos que nos permitieron desarrollar el

razonamiento lgico-matemtico, crear estructuras, resolver problemas no tan comunes

en una asignatura como las matemticas pero que contienen fundamentos matemticos.

No se abordaron contenidos matemticos de manera especfica porque la principal

intencin es aportar herramientas fundamentales para la creacin de textos, utilizando el

anlisis y la toma de decisiones. Debers considerar estos elementos para los

conocimientos que vas a adquirir en el futuro.

xito!


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Fuentes de consulta

Zevallos, A. (2013). Razonamiento lgico 152 - verdades y mentiras. [Archivo de video].

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE

Zevallos, A. (2013). Analogas grficas problema 201 - razonamiento abstracto. [Archivo

de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de:

http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf

eje 2. razonamiento lógico matemático

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