RAZONAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO PARA ENTRAR

A LA U

Camila Aldana 1101

Definición de conjunto Elementos BIEN DEFINIDOS, es decir que

pertenecen o no a un conjunto.Se expresan por: Comprensión: es dar un nombre especifico que se

conoce globalmente. Ejemplo: abecedario Extensión: nombrar cada uno de los elementos del

conjunto. Ejemplo: [a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z] Ejemplo: A=[las vocales] = [a,e,i,o,u] B= [comidas rápidas] = [perro caliente,

hamburguesa, pizza, salchipapas]

Tipos de conjunto

Universal: A=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] A=[-3,-2,-1,0,1,2,3]

Unitario: B=[9] B=[-3]

Vacío: C=[ ] C=[ ]

Subconjunto: D=[1,3,5,7,9] D=[-3,-2,-1]

Operaciones entre conjuntos

Unión: z U y = [x/ x€z v x€y] ejemplo: U=[a,e,i,o,u] Z=[a,e,i] Y=[e,o]Z U Y= [a,e,i,o]U=[perro, gato, vaca, caballo, cerdo]Z=[perro, gato, cerdo] Y=[cerdo, caballo]ZUY= [perro, gato, cerdo, caballo] Intersección: es el termino medio entre Z y Y ZnY=[e] ZnY=[cerdo] Complemento:Z’=[o, u] Y’=[a,i,u]Z´=[vaca, caballo] Y´=[perro, gato, vaca]

Relación entre diagrama de ven y operaciones entre conjuntos

2

4

8 6

10

12 5

31

A B

C

AnB=[12]A=[2, 4, 8, 12] B=[6, 10, 12] Universal= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12]CnB=[ ] (conjunto vacío)CnA=[ ] (conjunto vacío)C=[1, 3, 5]A=[números pares]B= [números pares]C=[números impar del 1 al 5]

Conjuntos numéricos parte I

Números naturales: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, …} se dieron, a partir de que el ser humano empezó a contar todo.

Números enteros: {…, -10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} se dieron, a causa de los trueque, o cambios que se hacían anteriormente.

Números racionales: {a/b, b/c, c/d, d/e, …} se dieron, a causa de que no había un resultado exacto.

Números irracionales: es todo numero primo divisible por uno y por si mismo.

Un ejemplo es el numero:¶ (pi)

Conjuntos numéricos parte 2

Números naturales: 3, 1, 7, 29, 32, 45, 58, … Números enteros: 0, 3, -5, -15, 1, 7, -29,… Números racionales: , -, …

Números irracionales: 2, 3, 5, ¶(pi)= 3,14159…, ℮= 2,718...

Conjuntos Numéricos: números reales y complejos

Números reales: son todos los números existentes, utilizados en la matemática clásica.

Ejemplo: la unión entre enteros positivos, 0 y enteros negativos, a partir de los números naturales. La unión entre los racionales y los irracionales, son los números reales. Números complejos: es un conjunto numérico formado por

una parte de números reales y otra, de números imaginarios.Ejemplo: √4= 2√-4= para que de, hay que hacer esto = √4*(-1)= √4*√-1 numero imaginario.a+bi0+2i

Conjuntos numérico: números reales y números complejos parte 2

Suma: Resta:(5)+ (4i) (5)+(4i)(7)- (6i) (7)- (6i) 12 – 2i -2 + 10i multiplicación: (5+4i) (7-6i)35 - 30i + 28i - 24 35 – 2i – 24 (-1) 35 – 2i + 24 59 – 2i

Suma, multiplicación y potenciación y sus inversos

Suma: 5+4=9 8+13=21 (inverso aditivo) Resta: 5-3=2 8-13=-5 Multiplicación: 5+5+5+5+5 = 5*5 = 258+8+8+8+8+8+8+8 = 8*8 = 64 (inverso multiplicativo) División: = 5 = 8 Potenciación: 5*5*5*5 = = 6258*8*8 = = 512 (inverso potencial) Radicación: = 5 = 8

Suma, multiplicación y sus propiedades

P. conmutativa: el orden de los números, no altera el resultado

9+8+5=22 8+9+5=22 5+8+9=229*8*5=360 8*9*5=360 5*8*9=360 P. asociativa:(9+8)+5=22 (8+9)+5=22 (5+8)+9=22(9*8)*5=360 (8*9)*5=360 (5*8)*9=360 P. distributiva:9*(8+5)=(9*8)+(9*5)=1178*(9+5)=(8*9)+(8*5)=117 P. modulativa:9+0=9 8+0=8 5+0=59*1=9 8*1=8 5*1=5

Potenciación y propiedades entre potencias de igual base

* =

(Ej.: = = 15625 = = 15625 / =Ej.: /= = 5 = = 5 = /=Ej.: = = 1000 =125*8 = 1000 Ej.: = = 15625 = 125/8 = 15625 = 1/Ej.: = 1/= = = 1 Ej.: =1 =x Ej.: = 4

RESTA, DIVISIÓN Y RADICACIÓN. PROPIEDADES A PARTIR DE SUS OPERACIONES INVERSAS

Resta: a – b= a + (-b)15 - 9=6 o 9 -15=9+(-15) = -6 División: a b= a*1/b =a/b9 ÷ 2= 9* = = 4.5 Radicación: =y = 2 = 64 =

NÚMEROS PRIMOS Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA EN NÚMEROS NATURALES

N. primos: son los divisibles por uno y por si mismos. Ej.: (2,3,5,7,11,13,17,19,…)

Teorema fundamental de la aritmética: son los números naturales, no primos, pero resultado de ellos. Ej.: (30=2*3*5)

480 2 2*2*2*2*2*3*5 = 480240 2 *3*5 = 480120 2 32*3*5 = 48060 2 96*5 = 48030 2 480 = 480 15 3 5 51

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

MCD32/ 1,2,4,8,16 El numero Mayor que tienen en 24/ 1,2,3,4,6,8 común es 8

MCM5*1=5 7*1=75*2=10 7*2=145*3=15 7*3=215*4=20 7*4=285*5=25 7*5=35 El MCM entre 5 y 7 5*6=30 es 355*7=35

MAYOR, MENOR O "IGUAL QUE" Y TRANSITIVIDAD EN LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN

Suma7<11 8+3<9+5 Multiplicación8*5>7*35*(-2)<3*(-3) Transitividad3<5 4<7 3<7Suma= 4+2>2+1

FRACCIONES PROPIAS, IMPROPIAS Y MIXTAS

propias= 2/4 5/7

Impropias= 9/3

Mixtas= 1 3/6

SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 1

Simplificación=36 = 18= 9 = 3 = 148 24 12 6 2 Suma/resta= a ± c se saca el MCM del denominador y se suman b d los numeradores Multiplicación= a x b c d División= a/c b/d

SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 2

Suma y resta=4 + 8 – 2 = (60/5)*3 + (60/4)*8 – (60/3)*2 =

116/4=5 4 3 60

60/4 29 15Multiplicación y división = 116 / 60 = 116 * 4 = 116*4 = 116 4 4 4 60 4*60 60

SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 3

Multiplicación=9 * 3 = 27 9 * 4 = 36 = 18 = 95 4 20 5 2 10 5 5 División=5 / 4 = 5/6 25 5 / 4 = 5*5 = 256 5 4/5 24 6 5 6*4 24 Ejemplo=2 * 5 = 2 * 5 / 10 2 / 5 = 2 / 5 8 1 8 8 8 1 82 * 8 = 16 2/1 = 161 5 5 5/8 5

PROPORCIONES Y SUS PROPIEDADES

a*d = b*c 30 = 5 30*1=6*5 30=30 6 1 a = b 30 = 6 6=6 c d 5 1 b = d 6 = 1 a*d=c*b = d=b 1 = 6 1=

1 a c 30 5 c a 5 30 5 5 a ± b = c ± d 30+5 = 35 = 5 b d 6+1 7 a + c = a = 30 = 5 b + d b 6

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Directa= si x aumenta, y aumenta; si x disminuye, y disminuye.X = V*t V= 2 m/s t(s) x(m) V 0 0 1 2 2 4 3 6 P 4 8 Inversa= si x aumenta, disminuye y; si y aumenta, x disminuye.PV= RTn V= RTn p VA= 12 molT= 298 ° k R= 0,08206 PV= 293.44656 P 1 2 3 4

V 293,4 122,26

81, 51 61,133

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA

Simple directa: X = V*t x ÷ 40 x= 40 seg 30 m = 60 m30 ÷ 20 20 seg Simple inversa: V = x/t x 60 = x ÷ 40 = X= 60 m/s* 20 seg= 30 s20 40 20 ÷ 60 40 m/s

REGLA DE TRES COMPUESTA

Días 25 X

Horas 12 6

Dinero 190 340

X = 6 * 340 25 12 190 X= 12 h * 340 $ * 25 d 6 h * 190$X = 89.473

maquinas

días Medios

A 50 30 6000

B x 15 9000

X 15 9000 50 30 6000X 30 900051 15 6000X = 30 días * 9000 m * 50 maq. 15 días * 6000 m13500000 90000X = 150 maquinas

TABLAS DE FRECUENCIAS RELATIVA Y ABSOLUTA

Edad fi hi Fi hi%

16 15 0.555 15 55.5

17 8 0.296 23 29.6

18 4 0.148 27 14.8

Alumnos de grado decimo

= fi / total de datos∑fi = numero de personas que tiene esa edadhi% = fi * 100% total de datos

DIAGRAMAS CIRCULAR Y DE BARRAS

Diagrama de barras: X ° 16 = 55.5% * 360°/100% = 199.8X ° 17 = 29.6 * 360°/100% = 106.56X ° 18 = 14.8 * 360°/100% = 53.28 Diagrama circular:

0

alumnos

alumnos

hi%55.529.614.8

POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

Año fi

2003 220

2004 198

2005 303

2006 296

Muertes en accidente de automóvil

2003

2004

2005

2006

0

200

400

cantidad

cantidad

Menor porcentaje de caída:198 ÷ 100%178 X % X % = 178 * 100/198 = 89.89%

HISTOGRAMAS

% trabajadores

Salario mínimo

28 1 ≤ SM ‹ 2

34 2 ≤ SM ‹ 3

46 3 ≤ SM ‹ 4

6 4 ≤ SM

1 2 3 40

1020304050

SM

SM

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

F(x)6 - 8 + 5x -1Literal= xConstantes= 6 x.. -8 x.. 5xTermino 1= 6 2= -8 3= 5x 4= 1Grado= 3 (mayor exponente) F(x, y)2 – 3+ 4 – 10 +6Constantes= 2 … -3 … 4 … -10 … 6Términos 1 = 2 2= -3 3= 4 4= -10 5= 6Grado= (3,3)

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS, AGRUPACIÓN POR TÉRMINOS SEMEJANTES. PARTE 1

Suma/ resta (5 -7 + 4x – 1) + (2 - 2x) 2 - 2x 5 - 5 + 2x - 1 Multiplicación ( -7 + 4x – 1) * ( 2 - 2x )-14 + 14 + 8 – 8 – 2 + 2x-14 + 22 – 10 + 2x

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS, AGRUPACIÓN POR TÉRMINOS SEMEJANTES. PARTE 2

Suma / resta( 6 + 5 + 8x – 5 ) + ( 15 - - 6x + 6) RESULTADO= 15 + 6 + 4 + 2x + 1 (4 + 5 - 4xy -) – ( 5 + 2 - 2 5xy – 5) RESULTADO= -5 + 2 – 9xy + 3 + y + 5

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

(4 + 2x – 5) * (x – 3)(4 - 2 - 5x) – (12 + 6x – 15)Rta/ 4 - 10 - 11x + 15 (4 + 5 - ) * (3y – x)(12 + 15 - 3) – (4 + 5 - )Rta/ - 4 - 7 + 15 + - 3

DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE LA DIVISIÓN POLINOMIAL

4-5+2-x+2 x – 5 4-12 4 + 7 - 33x - 166 7+2 7-35 -33-x -33+165x -166 x+2 -166x+830 - 828

P (x) = ( 4 + 7 - 33x – 166) + (- 828)D (x)

DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA. PARTE

X3 – x2 – 10x – 8 = 0 divisores de 8= (x+1) (x+2) (x-4) P (x) = - - 10x – 8 = 1¶ d(x) (x+1) (x+2) (x-4) = (x+2)(x-4) (x+1)

DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA. PARTE 2

4 + 3 - 5x + 2 x – 3 -4 + 12 4 + 5x + 40 15-5x -15+45x 40x+2 -40x+120 122 p(x) = Q(x) d(x)

PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUADRADO

(4+(5*3) = (4 + 15 = = 361 ( 4+ (5*3) = (4 + (5*3)) (4 + (5*3))16 + 4 (5*3) + (5*3) 4 + (5*3) (5*3)16 + 4*15 + 4*15 + 15*1516 + 60 + 60 + 225 361 ( 4 – (5*3) = (4 – (5*3)) (4 – (5*3))16 – 60 – 60 + 225 121

PRODUCTOS NOTABLES: DIFERENCIA DE CUADRADOS

( 4 – 5 ) ( 4 + 5 ) = (-1) (9) = -9 - = 16 – 25 = -9 (4- (5*5)) (4+ (5*5) = (4 – 25) (4 + 25) ( -21 ) ( 29 ) = -609 ( - (5*5 = 16 – (25 = 16 – 625 = -609

PRODUCTOS NOTABLES: BINOMIO AL CUBO

(4x + 5y = (+3(4x*(5y)+3(4x)*(5y 64 + 240+ 300x + 125 64(4 + 240(4 + 300 (4) (5 + 125 (5 4096 + 19200 + 30000 + 15625 68921 (4*4)+(5*5 = (16+25 = = 68921 (4x – 5y = (4x - 33(4x)^2*(5y) )+3(4x)*(5y)^2 –

(5y)^3 64 ^3 + 240 ^2 + 300x ^2 + 125 ^3𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 4096 – 19200 + 30000 + 15625 - 729(16 – 25 = (-9 = - 729

BINOMIO DE NEWTON Y TRIANGULO DE PASCAL

(4x + 5y(4x + 5(4x 10(2x*(5y+ 10(2x*(5y + 5(2x)*(5y + (5y1024+

FACTOR COMÚN, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Factor común 2 términos f. C. agrup. de términos binomio Diferencia de cuadrados trinomio cuadrado perfecto 3 términos T. C. de la forma +bx+c trinomio T. C. de la forma a+bx+c T. C. perfecto por adi./sustra. 4 o mas Suma/diferencia de cubos perfectos términos Cubo perfecto de binomios polinomio

FACTOR COMÚN (MONOMIO) Y DIFERENCIA DE CUADRADOS

F(x, y, z) = 52 2 - yz52 (1 2(1 - (1) (2)(F. común) F(x,y,z)= 13x (4 2- yz(D, de cuadrados) F(x, y, z)= 13x (2 2yzF(x, y, z)= 13x (+ yz) = 13(1) /2 (1 + (1*2)/ = 13 (2 + 2) = 48

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN. DIFERENCIA DE CUADRADOS

5 - 12x + 19 = 0 X = -(-12) ± 2 (5) X = 12 ± 10 X = 12 ± 49 10 X = 12 + 7 = 19 10 5 X = 12 – 7 = 5 10 5 (5x – 19) (x – 5)= 0

TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA AX^2+BX+C

F(x)= -(-7) ± √(-7-(4*5*2)/2(5)7 ± √49 – 40 / 107 ± √9/10 7+3/10 = 10/10 = 1/57-3/10 = 4/10 = 2/5 5 - 7x + 225- 5(7x) + 10/5(5x – 2) (5x-5)1(5x-1)5(x-1)

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Y DIFERENCIA DE CUADRADOS

Sea X=5 y Y=29 (9/x-4y(/x-4y9x( /x-4y(9x-2y) (-16 /x-4y(9x-2y) (x-4y) (x + 4y)/x-4y(9x-2y) (x+4y)(9*5 – 2*2) (5 + 4*2)(45 – 4) (13) = 533

DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUBO, DIFERENCIA DE CUBOS Y FACTOR COMÚN

318 - 6 = =250(- 6= -18( * No?= 6 = 6(-6= = 125= 17318 – 216= 102( /(/6( (6)(+17

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Se trata de igualar las ecuaciones: F1(x) = ax+b f2(x)= cx+d f1(x)= 7x+6 f2(x)=5x-4 7x+6 = 5x-4 7x-5x = -4-6 2x = -8 X= -8 -47(-4)+6 5(-4)-4-28 + 6 -20-4 -22 -24

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

F(x)= 3-6x-2=0 a=3; b=-6; c=-2+6±√(-4(3)(-2)/2*36 ± / 66 ± /6 = 6± /6 = 6 ± 2√15 /6X= 3 ±√15 x1= 3±√15 x2= 3±√15 3 3 3

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN EN SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

4x – 5y = 8 5x +y = 13/194x – 5(1-3x) = 8 4x – 5 + 15x = 84x + 15x = 8+519x=13 = X=13/19Y= 1-3 (13/19) = 1 – 39/19 = -20/19=y 5 (13/19) + (-20/19)= 65/19 – 20/19= 45/19

MÉTODO DE IGUALACIÓN EN SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

4x – 5y = 6 y= 3-5 (29/21) = 3 – 145/21

5x + y= 3 y= -82/21 4x – 6 = 5y 4(29) -6(-82)=6 4x-6/5 =y 21 21 y= 3-5x 116 + 492 = 6084x-6/5 = 3-5x 21 21 214x-6 = 15-25x4x+25x = 15+6 29x = 21X= 29/21

MÉTODO DE ELIMINACIÓN EN SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

2x – 3y = 4 2(7/11) -3(-10/11) 3x+y = 1 14 + 30 = 449x + 3y = 4 11 11 112x – 3y = 3 11x = 7 =4X= 7/113(7/11) +y =1 Y= 1 -21/11Y= -10/11

MÉTODO GRÁFICO EN SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

2x-3y=4 3x+y=13y= 4-2x y2Y1= 2x-4 3 y2= 1-3x y1 (7/11)

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

M (a o b) + m (F o B) = 360 oo´ // AF oA // O´F m(ao´b) +m (fo´b) = 180 m(ao´b) = 180- m(Fo´B) 180 -m(Fo´B) + m(Lo´B) = 180 -m(Fo´B) +m(Co´B)=0 m(Co´B) = m(Fo´B)

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

Todo par de ángulos alternos externos son congruentesM(A o´B)+m(B o´C) = 180AD// εo´ ^ Aε // 0´0 m(A o´D)+m(ε o´D)=180 m(A o´D)=180° -m(o´D) m(A o´D)= = m(B o´C) Opuestos por vértice m(A o´B)+180-m(ε o´D)=180 m(A o´B) = m(ε o´B) m(ε o´B) = opuesto x el vértice m(A o´ B)=

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

M(A o´ D)+m(o´D) =180 m(A o´ D) =m(B o´ C) m(A o´ D) =180 - m(εo´ D) m(B o´ C) +m(ε o´ C) = 180 m(B o´ C)= 180 -m m(A o´ B) + 180 -m ( o´ D) = 180 m(A o´ B)= m(ε o´ D) =

EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA DE ÁNGULOS. PARTE 1

ε o´ G = 180 = ε o´ D+ D o´ G m(D o´ G) = 180 - = 180 – 130 = 50 (D o´ G) (ε o´ f) opuesto vértice m(D o´ G) =m(ε o´ F) = 50° m() =m(G o´ F) opuesto vértice m(G o´ F) =130 m()=m(A o´ B) 130° =m(A o´ B)

m()=m(C o´ D) alternativos internos130=m(C o´ D) (A o´ D) /= (B o´ C) opuesto vértice m(A o´ D) = 180 -m() 180 – 130 = 50° = ( ε o´ F) m(B o´ C) = 50

EJERCICIOS SOBRE CONGRUENCIA DE ÁNGULOS. PARTE 2

m() m(3) opuestos x vertice m(3)=40 B´ x c´ y corresp. m(xzy)=110° xc´y = xc´z +´ m(xc´z)=m(xc´y)-m() =110-40 m(xc´z) =70° xc´z corresp. m(1) = 70 180=m(xc´y)+m(yc´w) m(yc´w)= 180-110° = 70° yc´w 2 corresp. m(2) = 70°

INTRODUCCIÓN A LOS POLÍGONOS

Es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos que cierran una región en el espacio.

A= * √3/4 A= b*h/2 = h= 2A/B h= 2 √3/4 /l= l√3/2 x= √ = √(l/+(l√3/2 x= √ + *(√ x= √ + * 3 = √ = √4 = √X= l = equilátero= la medida de todos sus lados es igual.

TRIÁNGULO ESCALENO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS

x2= h2 + (l/2 x= √ x=√ - ( a ±b/c = a*c+b/c x= √ (4+1/4) = √ √x*y = √x * √y √x/y = √x/√y a= l-l/2 = 2l-l/2 = l/2 x1=x2= √5l/2 1.12l triangulo isósceles= tiene solo dos lados de la misma longitud.

TRIÁNGULO ISÓSCELES Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS

h=√ x= √ =√(l/4 x1= √ x2= √ b2= l –l/4 * 4l-l/4 b2= ¾l h= 2b1 = 2 * 1l/4 = 1/2l x2= √) + x2= √13 * √ = √13*l = ¼ √13l √16 4 triangulo escaleno= todos sus lados tienen longitudes diferentes.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS

x1=√ = √ =2b2 √2 x2= √ =l√5 √2/2) =45 1= 180 - - h 1= 45 sen= h/ = 2l/l√5 = 2/√5 = (2√5/5) = 63.4 2= 26.6 total= 45 + 26.6 =71.6 todo ángulo es menor a 90

TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Y SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS

DEFINICIÓN DE CUADRILÁTERO Y CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS

TRAPEZOIDES O TRAPECIOS IRREGULARES. PARTE 1

TRAPEZOIDES O TRAPECIOS IRREGULARES. PARTE 2

EL RECTÁNGULO Y SUS PROPIEDADES

EL ROMBO Y SUS PROPIEDADES

EL CUADRADO Y SUS PROPIEDADES. PARTE 1

EL CUADRADO Y SUS PROPIEDADES. PARTE 2

EL ROMBOIDE Y SUS PROPIEDADES. PARTE 1

EL ROMBOIDE Y SUS PROPIEDADES. PARTE 2

LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN RECTÁNGULO

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CUADRADO

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRIÁNGULO

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRAPECIO

PERÍMETRO DE UNA CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DE UN CÍRCULO

ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS REGULARES

VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO

X= 12 h= √ - 4 *5 v= ? h= √124 = √31 * 4cm v= Abase * h = √31 * √4 cm Abase= 4cm * 8cm = 2√31cm Abase= 32 v= 4cm * 8cm * 2√31 cm x= v= 64 √31 ch= + (4 = = = = cm = 4 cm x= √ h= √

VOLUMEN DE UN CILINDRO

x= 12cm D= 6cm v= *h d= 3r r=D/2 v= (D/2 * h v= *h/4 v= ** √ v= /4 *(6 * √(12 - (6cm v= √144 – 36 v= 6 √108 = 6 √4 * √27 v= 12 √27 = 5.1961

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

V= 1/3 Abase * h Abase= 7cm * 8cm sen 60 = √3/2 = √3 Abase= 56 cos 60 1/2 cos = ca/co tan = h/ca v= 56 * √113 * √3 = 9.3 √339 ca= ½ h h= √ V= 171.23 h= √49+64 h= √ ca= ½ √113 cm h= (tan ) * ½ √113 v= 1/3 56 * ½ √113cm * tan 60

VOLUMEN DE UNA ESFERA

ri = 4cm vi= 4/3 rVf= 10 viVf= 4/3 r rf= rf= 3 /3 rf= 3 rf= * rf= ri rf= 4 rf= 8.6 cm

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

RANGO DE UNA FUNCIÓN

FINNNNNNNNNNN ;)