ecuanes en difecias 3 r

ECUACIONES EN DIFERENCIA

El análisis del tiempo es de manera discreta t=1,2,3,4………..n.

Orden.-

Mayor numero de diferencia que tiene la variable endógena

Grado.-

Es la potencia más alta que tiene la variable endógena.

Diferencia.-

Es la variación que sufre una variable endógena entre dos periodos consecutivos en el tiempo.

Nota: se debe mantener la secuencia consecutiva

∆ x t=x t+1−xt

∆ x t=x t−xt−1

Donde:

x t+1 = Valor de la variable en el periodo t+1

x t = Valor de la variable en el periodo t

∆ = Operador de diferencia. (Variación)

EJEMPLO:

2 X t2−3 X t−1−2 X t−2=8

Sufre dos variaciones en el tiempo al igual que el orden y el grado.

¿Qué es una ecuación en diferencia?

Es una estructura matemática conformada por variables, parámetros y operadores matemáticos y se caracteriza por presentar valores de variables endógenas en diferentes instantes del tiempo.

ANALISIS INTUITIVO DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA

Dada la ecuación en diferencia:

x t+1−x t=5→∆ x t=5

Resolver la ecuación diferencial, es encontrar una función para x en términos de t, es decir:

x t=f (t )→t=0,1,2,3 ,………

Para resolver la expresión 1 utilizaremos el “MÉTODO ITERATIVO”. Para ello consideraremos la siguiente condición inicial:

x0=10

De (1) despejaremos x t+1

x t+1=5+x t

O rezagando un periodo:

x t=5+x t−1……… (2 )

Observe en (2)

t=1→x1=5+x0

t=2→x2=5+x1=5+5+x0

x2=5 (2 )+x0

t=3→x3=5+ x2=5+5 (2 )+ x0

x3=5 (3 )+x0

t=4→x4=5+x3=5+5 (3 )+x0

x3=5 (4 )+x0

t=5→x5=5+ x4=5+5 (4 )+x0

x4=5 (5 )+x0

En general:

x t=5 ( t )+x0

Pero: x0=10

x t=5+10

Gráfico:

EJEMPLO:

K0 X t−K1 X t−1=0K 0 , K1 ϵ R

x t=f ( t )

Despejando:

x t=k 1 x t

k 0−1

Desarrollo a través del tiempo:

t=1→x1=k1 x0k0

t=2→x2=k1 x0k 1k0 . k1

x2=(k1k 0

)2

. x0

t=3→x3=( k1k0 )2 k1k0

. x0

x3=(k1k0

)3

. x0

En general:

x t=( k1k0 )t

. x0

Asumiendo:

x0=A

k1k0

=b

Entonces:

x t=A bt

Se puede observar que la expresión es la solución complementaria dado que se ha resuelto una ecuación en diferencia homogénea.

METODO DE SOLUCIÓN GENERAL

Dada la ecuación en diferencia lineal de primer orden con coeficiente y termino constante

x t+1+a x t=ca , c ϵ R

La solución general está conformada por la solución complementaria (Xc) y solución particular (Xp)

x t=xc+x p

x t=f ( t )

Solución complementaria

x t+1+a x t=0…………. (3 )

Reponemos la siguiente solución de prueba.

(4 )……. xc→x t=Abt=0 A ,bϵ R

Luego adelantado un periodo:

x t+1=Abt+1………………… (5 )

(4) y (5) en (3)

Abt+1+aA bt=0

Abt (b+a )=0

Dado que Abt≠0 se exige:

b+a=0…………………. (6 )

Resolviendo la ecuación característica

b=−a………………… .. (7 )

Se obtiene la raíz característica:

(7) en (4)

xc→x t=A ¿

Comprobación:

x t=A ¿

x t+1=A ¿

Luego:

x t+1+a x t=0

A ¿

A ¿


Sea la ecuación característica:

b−1=0

Raíz característica:

b=1

Luego:

xc→x t=Ab t

xc→x t=A

SOLUCIÓN PARTICULAR

Dada la ecuación

x t+1+x t=c…… .. . (1 )

a) solución particular si a≠1

Solución de prueba

x p→x t=k kϵ R………... (2 )

x t+1=k……………….…… (3 )

Reemplazando (2) y (3) en (1)

k+ak=c

k= c1+a

…… ..(4)

(4) en (1)

x p→x t=c1+a

si a≠1

b) solución particular si a=1

Planteamos como solución de prueba

x p→k t=kt

k t=k ( t+1 )

(6) y (7) en la (1)

k (t+1 )+akt=c

Simplificando

k=c

Reemplazando ala solución de prueba

x p→k t=ct si a=1


Sabemos

xc→x t=Ab t……… .. (1 )

La ecuación característica es la siguiente:

b−1=0

Cuya raíz característica:

b=1………….… ..(2)

(2) en (1)

xc→x t=A…………. (3 )

Solución particular

x p→k t=kt………… (4 )

Solución general

x t ¿ xc+x p… ..(4 ´ )

(4) y (3) en (4´)

x t=A+5 t……. (5 )

Dada la condición inicial

EJEMPLO:

x t+1−x t=5CInical x0=10

Resolviendo:

b−1=0b=1

S. complementaria

xc⟶ x t=A

S. particular

x p⟶ x t=ct

Finalmente la solución general será:

x t=10+5 t

Es un gráfico no convergente porque es paralela a su estado estacionario, ahora si hacemos la prueba de que b=−1, el grafico será:

Fluctuara si será más divergente cada vez más, de la misma manera será cuando el valor de la raíz característica será divergente; con todo esto podemos afirmar que la divergencia o convergencia no depende de la raíz característica y lo otro para llegar a una convergencia el valor debe oscilar entre 0 y 1.

Convergencia y divergencia dinámica

Es el comportamiento de la trayectoria dinámica se aleja o se acerca a su estado estacionario a través del tiempo. Depende del valor de la raíz característica.

La divergencia o convergencia depende del valor de la raíz característica.

A. Si b>1→ limt→+α

x t=α ; divergente a su estado estacionario, x t

diverge de x p

Si b←1→ limt→+α

x t=+α ; x t diverge de x p de manera cíclica.

B. Si 0<b<1→ limt →+α

x t=¿ x p ¿ ;x t es convergente a x p.

Si −1<b<0→ limt →+α

x t=¿ x p ¿;x t es convergente a x p de manera

cíclica.

C. Si b=1→ limt→+α

xt=+α;x t es no convergente de x p

D. Si b=−1→ limt→+α

xt=+α; x t es no convergente a x p de manera

cíclica.

ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Consideremos la expresión:

x t+2+a1 x t+1+a2 x t=c……. (1 )

a1 , a2 , c∈ R

La solución consiste en encontrar una función

x t=f ( t )………………….… (2 )

Conocido por solución general la misma que está conformada por dos componentes:

x t ¿ xc+x p…………………… (3 )

Solución complementaria xc

Se requiere resolver la ecuación en diferencia homogénea

x t+2+a1 x t+1+a2 x t=0… .. (4 )

x t=A bt≠0……………… .. (5 )

Luego

x t+1=Abt+1……………….(6)

x t+2=Abt+2………………. (7 )

(5), (6) y (7) en (4)

Abt+2+a1bt+1+a2 Ab

t=0

Abt (b2+a1b+a2)=0

Pero Abt≠0

Se exige:

(b2+a1b+a2 )=0………(8)

Conocida con “ecuación característica” cuya solución son las raíces características.

b=−a±√a12−4 a2

2… .. (9 )

Dependiendo del valor de la discriminante se tendrá tres casos de la solución:

1. Raíces reales diferentes Si a1

2−4 a2>0Entonces se obtendrá de (9)

b1≠b2La solución será:

xc→x t=A1b1t+A2b2

t …………. (10 )2. Raíces reales repetidas

Si a12−4 a2=0

Se tendrá dos raíces repetidasb1=b2=b

La solución complementaria es:xc→x t=A1b

t+A2bt…………. (11 )

3. Raíces imaginarias Ocurre si a1

2−4 a2<0

Replanteando (9)

b=−a2

±√4a2−a1

2

2√−1

Asumiendo

h=−a12

v=√4a2−a1

2

2i=√−1Luego:

b=h±vi……….………… (12 )Además

R=√h2+v2

La solución complementaria es:xc→x t=R t ¿

Solución particular x p

Se debe resolver la ecuación en diferencias no homogénea.

x t+2+a1 x t+1+a2 x t=c…………………(1)

Planteamos la siguiente solución

x p→x t=k ;k∈R………………(14)

Adelantando dos periodos

x t+1=k……… (15)x t+2=k……… (16 )

(15), (16) y (17) en (1)

k+a1 k+a2k=c

k= c1+a1+a2

…..….(17)

(17) en (14)

x p→x t=c

1+a1+a2a1+a2≠−1…… (18 )

Comprobación

Interesa verificar el cumplimiento de (1)

x t+2+a1 x t+1+a2 x t=c………….. (1 )

Sabemos que la solución es:

x t=c

1+a1+a2………… ..……… (2)

Además

x t+1=c

1+a1+a2……………… ..(3)

x t+2=c

1+a1+a2……………… .. (4 )

(2), (3) y (4) en (1)

c1+a1+a2

+a1c

1+a1+a2+a2

c1+a1+a2

=c

c1+a1+a2

(1+a1+a2)=c=c

¿Cuál es la solución particular si a1+a2=−1?

Planteamos la solución de prueba:

x p→x t=kt…………….. (19 )


k t+1=k (t+1 )………… (20)

k t+2=k (t+2 )………… (21 )

(19), (20) y (21) en (1)

k (t+2 )+a1 [k ( t+1 ) ]+a2 .k ( t )=c

Factorizando k

k [ (t+2 )+a1 (t+1 )+a2t ]=c

k [2+a1 ]=c→k= c2+a1

…… ..(22)

(22) en (19)

x p→x t=ct2+a1

a1≠−2 ;a1+a2=−1

¿Cuál es la solución particular si a1≠−2;a1+a2=−1?

Planteados como solución de prueba:

x p→x t=k t2…………… (24 )


k t+1=k (t+1 )2…………(25)

k t+2=k (t+2 )2…………. (26 )

(24), (25) y (26) en (1)

k (t+2 )2+a1 [k ( t+1 )2 ]+a2 . k ( t )2=c

k [ ( t+2 )2+a1 ( t+1 )2+a2t2 ]=c

k [4−2 ]=c→k=c2…………… (27 )

EJEMPLO:

Resuelva la siguiente ecuación en diferencias

y t−2−2 yt−1+2 y t=1

y0=3

y1=4

Debemos estandarizar la ecuación en diferencia.

ecuanes en difecias 3 r

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