ecuaciones repaso

Ecuacionesde

Primer Grado

Ecuaciones de primer grado

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Expresiones algébricas Operaciones algebraicas Simplificación de expresiones iguales Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de expresiones algebraicas.

Simplificación Igualdades y ecuaciones

Contenidos


Largo

Anch

o

2x + 10

x

El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros

Esta información podría expresarse de otra forma:

Llamamos x al ancho del campo.El doble será 2 · xY el doble más 10 m: 2 · x + 10Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol.

Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son:

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar

información.

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico


(Hemos llamado x al número)

Lenguaje ordinario

Un número aumentado en 2

x + 2

Un número disminuido en 5

El número natural siguiente al número n

El cuadrado de un número menos el mismo número

Lenguaje algebraico

x – 5

El cuadrado de un número

x2

Perímetro del cuadrado de lado x

x

xx

x

4x

x2 – x

n + 1

Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá

x + 12

Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x

El lenguaje algebraico: algunos ejemplos


Las fórmulas que se utilizan en Geometría y en otras ciencias son expresiones que contienen sólo letras, o números y letras:

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta,

multiplicación, división, radiación y potenciación.

Observaciones

1. El factor 1 no se escribe.

a

b

Área del triángulo: 2

h · b

b

h

Área de un rectángulo: a · b

La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t

1 · x2 · y

2. El exponente 1 tampoco se escribe.3. El signo de multiplicación no suele ponerse.

x2 · y

x2 · y1 x2 y

5abc2 5 · a · b · c2

(t = tiempo en horas)

Expresiones algebraicas

Ecuaciones de primer grado Operaciones algebraicas

Las operaciones usadas en álgebra siguen las mismas reglas que las usadas en aritmética.

Aritmética

4 + 5 = 5 + 4 a + b = b + a

4 x 5 = 5 x 4

Álgebra

P. Conmutativa

a x b = b x a

2 x (4 x 5) = (2 x 4) x 5 a x (b x c) = (a x b) x c

2 + (4 + 5) = (2 + 4) + 5

a + (b + c) = (a + b) + c

P. Conmutativa

P. Asociativa

P. Asociativa

Ecuaciones de primer grado Simplificación de expresiones iguales

Simplificamos expresiones sumando y restando términos iguales

Aritmética

4 + 4 + 4 = 3 x 4 a + a + a = 3 . a

8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 x 8

Álgebra

n + n + n + n + n = 5 x n

5 x 4 – 2 x 4 = 3 x 4 5 . d – 2 . d = 3 . d

3 x 6 + 4 x 6 = 7 x 6

3 . c + 4 . c = 7 . c

b + 3b + b = 5b


Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.

Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por

números determinados, y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

Ejemplos:

1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6

x

x

Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4:16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.

para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4

2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:

x2

A = x2 = (4cm)2 = 16cm2

para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44

5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180

Valor numérico de una expresión algebraica


Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.

Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla,

sus partes literales (letras) deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.

¿Cómo podríamos expresar su longitud total?

x x x x x x x x

5x 3x

Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:

5x

x x x x x x x x

3x

5x + 3x = 8x

Suma:

¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?x x x x x

5x 3x

x x x

2x5x – 3x = 2x

Resta:

Observación Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes.

Suma y resta de expresiones algebraicas

No se pueden sumar2x + x2

No son semejantes


La balanza está equilibrada.

Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Es una

igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas y solo es verdadera para determinados valores. La incógnita es

la letra cuyo valor se desconoce.

10 + 2 = 4 + 8Tenemos una igualdad

numérica

Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. Cada una de las cantidades de un miembro conectadas a la otra por el signo más o menos se denomina término.

Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=).

10 + 2 = 4 + 8

Armamos la igualdad: x + 4 = 8 + 4

1er miembro 2º miembro

Esta segunda balanza también está en equilibrio, aunque un peso es desconocido: le llamamos x

Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.

Igualdades y ecuaciones


La balanza está equilibrada: el peso de los dos platillos es el mismo.A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x.Tendremos la igualdad: x + 100 = 350

Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita o variable, porque su valor es desconocido y puede tomar cualquier valor (que cumpla la igualdad).

Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades:

a) x + 3 = 7 b) x – 2 = 4 c) 3 · x = 21

x = 4, pues: 4 + 3 = 7

y = 6, pues: 6 – 2 = 4

x = 7, pues: 7 · 3 = 21

El signo “por”, “×”, se sustituye por un

punto: “·” o no ponemos nada.

P a r a p r a c t i c a r

x

Ecuaciones


¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.?

Platillo izquierdo:

La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la

ecuación.La solución de una ecuación es el valor de la incógnita

para el que se verifica la igualdad. Resolver una ecuación encontrar su solución.

Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad.

x + 100

Platillo derecho:500 + 200Como pesan igual, escribimos la

ecuación:x + 100 = 500 + 200

Ejemplo La solución de la ecuación 2x – 2 = 26 es x = 14

pues 2 · 14 – 2 = 26

Solución de una ecuación


La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.

Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:

a) 4 + 4x = 25 – 3x

Sustituyendo:

b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16

7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro

Ecuación dada:

8x = 16

Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)

2ª ecuación:

2 + 8x = 2 + 16

2 + 8x = 18

Le sumamos 2 a cada miembro

3ª ecuación:

2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x

2 + 2x = 18 – 6x

Restamos 6x a cada miembro

Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.

Ecuaciones equivalentes

ecuaciones repaso

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