ecuaciones regimen permanente

24/08/2013

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CURSO:

AGUAS SUBTERRANEAS

DOCENTE:

ING° CARLOS LUNA LOAYZA

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA ACADEMICO PROFESIONAL DE

INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCION A LAS AGUAS SUBTERRANEAS

1.0 Ecuaciones en régimen PERMANENTE

1.1 Ley de Darcy y su validez.

1. Ley de DarcyLey básica (macroscópica) de la hidrología subterránea e

indica que la velocidad de Darcy es proporcional al gradiente

hidráulico.

Donde:

v= velocidad de flujo

i= gradiente hidráulico

k= conductividad hidráulica

dh= pérdida de carga

ds= recorrido del agua

s

hkikv

∂∂−== ..

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2. Validez de la ley de DarcyPredominio de fuerzas viscosas (régimen laminar)Para velocidades elevadas, el gradiente es proporcional ala velocidad al cuadrado

El régimen de flujo se determina mediante el numeroadimensional de Reynolds, el cual es el cociente entre lasfuerzas de inercia y las fuerzas viscosas:

. .Re

dν ρµ

=




2. Validez de la ley de Darcydonde:

v= Velocidad de flujo.

d= Tamaño medio de las partículas (d50).

ρ= Densidad del fluido.

µ = Viscosidad dinámica

La Ley de Darcy es válida si Re<1 a 10

dependiendo del material y de los valores

que se adopten para definirlo, y en general

debe ser Re < 4

. .Re

dν ρµ

=

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3. Conductividad hidráulica

La conductividad hidráulica es una característica intrínseca del

terreno (naturaleza) y el fluido circundante (viscosidad, densidad,

temperatura), que indica la mayor o menor resistencia que ofrece

el terreno al desplazamiento del fluido.

ko es la permeabilidad intrínseca o coeficiente de permeabilidad y

depende solo de las propiedades del medio:

Siendo:

ϒ = Peso específico

μ = Viscosidad cinemática

0k kγµ

= ×[ ]v = k . i

Lk

T=

4. Transmisibilidad

Es el caudal que circula en un acuífero por unidad deamplitud bajo un gradiente unidad. En acuíferoshomogéneos es igual al producto de la conductividadhidráulica y el espesor de la zona saturada.

TixkibxkiAvAQ ====

Si i=1, y

x=1Q=T

( )díammdíamKbT /))(/( 2===

b

x

Q

SEGUNDA UNIDADINTRODUCCION A LAS AGUAS SUBTERRANEAS



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5. Coeficiente de almacenamiento

Volumen de agua cedida o absorbida por unidad de

superficie de acuífero para que el nivel piezométrico

aumente en una unidad. Parámetro adimensionado.

Se distinguen dos casos:

•Acuíferos libres

•Acuíferos confinados

mS≈




5. Coeficiente de almacenamiento

En acuíferos libres el coeficiente de almacenamiento (S)

equivale al rendimiento especifico del material desecado

durante el bombeo (porosidad del suelo).

En acuíferos cautivos es el resultado de dos efectos elásticos:

La compresión del material granular de las formación

acuífera

La expansión del agua contenida en el material granular




mS≈

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1.2 Ecuaciones Generales de Flujo.

Para flujo horizontal, la ley de Darcy puede generalizarse considerando el

flujo en un elemento cuadrado, siendo:

a = lado del cuadrado

T = transmisividad

h =carga hidráulica

qy,i

qx,i

qy,o

qx,o

a

oxox x

haTq

∂∂−=,

ixix x

haTq

∂∂−=,




Con ecuaciones similares para la dirección “y”, y haciendo un balance de

masa con un coeficiente de almacenamiento S:

t

hSaqqqq oyiyoxix ∂

∂−=−+− 2,,,, )()(

t

hS

a

yhyhT

a

xhxhT oi

yoi

x ∂∂−=∂∂−∂∂−∂∂−∂∂− )/()/()/()/(

t

hS

y

hT

x

hT yx ∂

∂=∂∂+

∂∂

2

2

2

2

t

hS

z

hK

y

hK

x

hK sxyx ∂

∂=∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

2

Que con “a” infinitésimo:

Para tres dimensiones, y razonando análogamente con unelemento cúbico :

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0=∂∂

t

h02

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

z

hK

y

hK

x

hK zyx

02

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

z

h

y

h

x

h

t

h

T

S

r

h

rr

h

∂∂=

∂∂+

∂∂ 1

2

2

01

2

2

=∂∂+

∂∂

r

h

rr

h

En flujo estacionario:

y si además el medio es

homogéneo e isótropo:

En coordenadas cilíndricas, en

medio homogéneo e isótropo:

y para flujo estacionario:




con

h= carga hidráulica.F= aportes de agua (m3/m3/s)k= conductividad hidráulica.T= transmisividadS= coeficiente de almacenamiento.

t

h

T

S

k

Fh

∂∂×=+∇2

Así, considerando un acuífero homogéneo y una posible aparición

de agua de F cm3/cm3.seg, se tiene:

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� Galería: perforaciones horizontales de poca pendiente, que se construyen para alcanzar desde la superficie del terreno un nivel freático situado a una cota mas alta.



1.3. Tipos de Captaciones

� Galería:




250

Lutitas Limolitas Areniscas DiqueLEYENDA

200 150 100

85

75Tapón

Falla

Galeria

50

300

140

102

S.E.V 5

Formacion Chilca

Formacion QuilqueS.E.V 1

S.E.V 12

S.E.V 11

NESO

1500

800

181

5080 0m

A´A

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� Zanja: excavación de poca profundidad, realizadas sobre acuíferos de bajo espesor, con nivel freático a baja profundidad y en acuíferos donde no es conveniente provocar grandes descensos.




ESTRATO SEMICONFINANTE

ESTRATO ACUIFERO PRODUCTOR

m.

m.

6.00 m.

SELLO DE ARCILLA

PANTALLA DE REGULACIÓN CHAMPAS REPUESTAS0 m.

0 m.

ENROCADO PARA FILTRO

LIMO ORGANICO.

INTERCALACIONES EN BANDAS DE

ARENA FINA SATURADADE AGUA.

GRAVAS ARENOSA.

ARENA LIMO Y ARCILLA.

DIRECCION DE LOS FLUJOS INTERNOS DE AGUA SUBTERRANEA.

N.F.

ARPILLERACHAMPAS REPUESTAS

3m

.

0.0 3.0

1,8

1,2

0,80,8

� Zanja:




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� Pozo: perforaciones verticales de sección circular, que se componen de dos partes fundamentales: acceso al acuífero y zona de admisión.




� Manantes: Captación de surgencias de aguassubterráneas en zonas de ladera con finalidadesantrópicas.




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1.4. Características de los pozos.

� La zona de acceso es la parte de la perforaciónnecesaria para llegar al acuífero. En ella se disponede una entubación ciega que sostiene las paredes dela perforación e impide la caída del material en suinterior.

� La zona de admisión esta formada por una rejilla otubería ranurada en todo el espesor del acuífero a finy efecto de que el agua tenga una vía de acceso alpozo.




Parámetros a definir en un pozo� Profundidad L� Diámetro/s de la perforación ØP� Diámetro/s de la entubación ØE� Espesor de la entubación e� Longitud de la rejilla o zona

ranurada λ� Diámetro de la rejilla Ør� Porcentaje de huecos de la rejilla y

tamaño de las ranuras� Tipo de material de la rejilla y de la

entubación

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Parámetros a definir en un pozoPerdidas en el pozo (Pe)

Eficiencia (E)

Caudal especifico (Qs)

pr pPe S S= −

p

pr

SE

S=

sp

QQ

S=



1.5. Objetivos de una evaluación hidrogeológica.

Objetivos:� Determinar el movimiento del agua subterránea al

bombear en un pozo o captación� Obtener métodos para determinar las características

hidrogeológicas de los acuíferos� Predecir el comportamiento a corto y largo plazo de una

captación de agua� Evaluar la eficiencia y correcta construcción de las

captaciones.

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Métodos:

Ensayo en pozo

Pozo� Bomba� Sistema de toma de niveles piezométricos� Medición de caudal� Toma de muestra

AforoBombeoBombeo escalonado




Hipótesis:� Acuífero homogéneo o isótropo� Acuífero de extensión infinita� Acuífero con base horizontal y espesor constante� Niveles iniciales horizontales� Flujo horizontal y radial� Se cumple la ley de Darcy� Pozo totalmente penetrante y de radio pequeño� Caudal constante

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Ensayos en pozos:Se realizan para determinar los parámetros ycaracterísticas hidrogeológica de los acuíferos.

� Ensayo de descensos: consiste en bombear acaudal constante ,y observar en función deltiempo los descensos del nivel de agua en elpozo de bombeo y en algún piezómetro.




Ensayos en pozos:� Ensayo de recuperación: se ejecuta a

continuación del anterior. Consiste en medir larecuperación de los niveles una vez que se hadetenido el bombeo.

� Ensayo escalonado: consiste en bombeardurante unos tiempos fijos e iguales a caudalesdistintos, observando los descensos en elmismo pozo de bombeo (3 ensayos).

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Descensos en pozos:El descenso encualquier punto vieneexpresado en formasimplificada por laecuación de Jacob:

2.25 *

2 ²

Q T tS Ln

T r Sπ =




Descensos en pozos:Donde:

s = Descenso en un punto a una distancia r del pozoQ = Caudal de bombeo (m³/día)T = Transmisibilidad (m²/día)t = Tiempo desde el inicio del bombeo (días)S = Coeficiente de almacenamiento

2.25 *

2 ²

Q T ts Ln

T r Sπ =

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Conos de descenso enpozos:Cuanto mayor es latransmisibilidad,menores son losdescensos.A igualdad detransmisibilidad, losconos serán masprofundos cuandomenor sea el coeficientede almacenamiento.



1.1. Ecuaciones.

Tipos de Acuíferos:� Acuífero Confinado

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1.1. Ecuaciones.

Tipos de Acuíferos:� Acuífero semi confinado



1.1. Ecuaciones.

Tipos de Acuíferos:� Acuífero libre.

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1.1.1 Ecuaciones Acuífero Confinado.

Ecuación general del flujo:

En régimen permanente(dh/dt=0), flujo horizontal(d²h/dz²=0) y sin recarga(F=0):

t

h

T

S

k

Fh

∂∂×=+∇2

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

h

x

h




En coordenadas cilíndricas:(1)

Condiciones de borde:h=H0 para r=R

2

20

h s h

r r r

∂ ∂+ =∂ ∂

* *2 * *dh

Q K r bdr

π=

2 * * *dh

Q r Tdr

π=

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La integración de (1) conduce a:

y como Ho-h = s

Ecuación de Thiem:

Donde:

R = Radio de influenciaAcuífero confinado R=500 a 5000mAcuífero libre R=100 a 500m

0 2

Q RH h Ln

T rπ − =

2

Q Rs Ln

T rπ =

0.366 logQ R

sT r

=




Problema directoA través de la ecuación de Thiem podemos hallar eldescenso estabilizado del nivel piezométrico en cualquierpunto de un acuífero si conocemos los parámetroshidrogeológicos del acuífero y el caudal de bombeo.

Problema inversoSabiendo los descensos producidos por un bombeodeterminado, se pueden hallar los parámetroshidrogeológicos del acuífero.

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Representación gráfica: descensos (s) vs distancias (r)

Con lo cual representamos los valores de s vs Log(r), los puntosdeberían estar sobre una recta.

0,366 log

0,366 log 0,366 log

Q Rs

T rQ Q

s R rT T

=

= −




La ecuación de una recta es: y=a+bx

Eligiendo:

La pendiente de la recta m es igual a b=0,366Q/T. Obteniendo elvalor de m del grafico, el valor de la transmisibilidad se calculacomo T= 0,366Q/m. R se determina como el punto de corte dela recta con el eje de la abscisa.

sy = RT

Qa log366,0=

T

Qb 366,0= rx log=

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0.366Q

m bT

= =

0.366Q

Tm

=




Ejemplo 01

Un acuífero de espesor promedio de 20 m está

cubierta por una capa impermeable de 30 m de

espesor. Se perforan sobre el acuífero un pozo de

prueba de 0.5 m de diámetro y dos pozos de

observación a una distancia de 10 m, y de 60 m.

Después de bombear a un ritmo de 0.1 m³/s durante

mucho tiempo, se miden los siguientes descensos: 4 m

para el primer piezómetro, y 3 m para el segundo.

Determinar la conductividad hidráulica de los acuíferos

y el descenso en el pozo de prueba.

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Ejemplo 01




Solución 01

Si H = Z-3 y

h = Z-4 con lo cual

H-h = Z-3-(Z-4) =1 m

Utilizando:0 2

Q RH h Ln

T rπ − =

30,1 / 601

2 (20 ) 10

m s mm Ln

m k mπ =

T ki=

3

1

0.1 / 60

2 (20 )1 10

1.43*10 /

m s mk Ln

m m m

k cm s

π−

=

=

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Solución 01

Aplicando nuevamente la ecuación entre el pozo de

prueba y el primer piezómetro:

H = (Z-4)

h = (Z-s) por lo tanto

H-h = s-4

3

3

0.1 / 104

2 (20 *1.43.*0 / ) 0.25

2,05

m s ms Ln

m m s m

s m

π − − =

=



1.1.2 Ecuaciones Acuífero Semi Confinado.

Supongamos un acuífero semiconfinado por un techo queconstituye un acuitardo o formación de baja permeabilidad y queeste a su vez esta en contacto con un acuífero libre

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Hipótesis:� En el acuífero semiconfinado los niveles freáticos y

piezómetros coinciden� Acuífero superior bien alimentado (nivel constante)� Recarga proporcional a la conductividad k’/b’ del

semiconfinante y a la diferencia de niveles entre los dosacuíferos

� Recarga suficientemente pequeña para que las líneas decorriente, verticales en el acuitardo, pasen a ser horizontalesen el acuífero (Dupuit-Forchheimer).




Teniendo en cuenta:a) Régimen estacionariob) Flujo radial y plano

Por lo tanto:

)(''

0 hhTb

k

kF −=

rdrb

kb

hhrdr

Fπ

π

2

''

2 0 −

=

( ) 0''1

0 =−+

hh

Tb

k

dr

dhr

dr

d

r

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La ecuación anterior se resuelve con las siguientes condicionesde contorno:

h=ho para

Se define el factor de goteo:

∞→r

Qdr

dhrTlim

prr =→ π2

'' bk

TB =




Fórmula de De Glee oJacob-Hantush vale para:

K0(x) está tabulada

Si r/B<0.1 puede admitirseque :

Ec. Hantush- - Jacob

02

Q rs K

T Bπ =

1.123ln

2

Q Bs

T rπ =

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A los efectos prácticospuede asumirse válida conun error menor al 1% parar/B<0.33.

Puede observarse que lafórmula anterior es la deThiem si se considera .

1.123R B= ×




Otra formaEl caudal que horizontalmente entra por la pared lateral del cilindroexterior (de radio r), mas el caudal que verticalmente entra por lacorona circular entre los dos cilindros ha de ser igual al caudal quepasa por la pared lateral del cilindro interior (de radio r-dr).

Aplicando Darcy:

Pero kb=T

)(''

.2)( 0 drrQkb

hhdrrrQ −=−+ π

)()()( rdQdrrQrQ =−−

dr

dhrkbrQ π2)( =

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Otra forma

Realizando el c.v.

Siendo

El factor de goteo y s=ho-h, queda una ecuación del tipo:

drdr

dhT

dr

hdrTrdQ

+= ππ 22)(

2

2

B

r

T

bkrx == '/'

'/' bk

TB =




Otra formaEl factor de goteo y s=ho-h, queda una ecuación del tipo:

Cuya solución es del tipo:

Finalmente se obtiene:

De Glee

)()( 00 xCkxAIs +=

)/(2

BrkT

Qs oπ

=

01

2

2

=−+ sdx

ds

xdr

sdCondiciones de borde

•H = ho cuando

•

cuando

∞→r

QdrdhT =)/(2lim π

prr →

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1.1.3 Ecuaciones Acuífero Libre.

Aplicando la ley de Darcy enla pared lateral del cilindro:

Integrando la relación anterior : fijando que

para r=R, H=Ho

Formula de Dupuit

dr

dHrHkQ π2=

Ark

QH += ln2

π

)/ln(22 rRK

QHH o π

=−




Formula de Dupuit

Si s<<Ho

2 2 lno

Q RH H

K rπ − =

2 2 ( ).( ) ln

ln2

o o o

o

Q RH H H H H H

K r

Q Rs

K H r

π

π

− = + −

=

2 2 0.73 logo

Q RH H

K r − =

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; pero luego

Formula de Thiem

Corrección de Jacob:

sHHHHH ooo =−≈+ ;2 oo TKH =

ln2 o

Q Rs

T rπ =

( ) ( )( ) ( )( )

( )

2 20 0 0

20 0 0 0

20 0

2

2

H H H H H H

H H H H H H

H s H s

− = − +

= − − −

= −




Corrección de Jacob:

Con esta corrección la formula de Dupuit se puede escribir como:

csH

ss

H

HH =−=−

0

2

0

220

22

=r

R

T

Qsc ln

2 0π

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Problema 02Un pozo totalmente penetrante, de 30.5cm de diámetro, cuyopiso se encuentra a 24.4 m por debajo de su nivel estático,presenta un descenso de 3.05m luego de ser bombeadodurante 24 horas a un caudal de 69.4l/s.

En un piezómetro ubicado a 97.5m del pozo, se registró undescenso de 1.11m.

Determinar la conductividad hidráulica del acuífero.




Problema 02

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Solución 02Q = 0.0694m3/sH = 24.4m-1.11m = 23.29 mh = 24.4m-3.05m = 21.35 m

Utilizando la formula de Dupuit:

Se despeja la conductividad hidráulica:

)/ln(22 rRK

QhH

π=−

)/ln()( 22

rRhH

QK

−=

π




Solución 02Remplazando obtenemos:

)15.0/5.97ln()35.2129.23(

/0694.022

3

mmm

smK

−=

π

scmK /10.65,1 1−=

ecuaciones regimen permanente

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