1.- Defina, enuncie teoremas, propiedades y de un ejemplo de cada una de las secciones cónicas:

A.- PARÁBOLA.

Definición:

En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de

excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de

inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El

plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.

La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de

los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada

directriz, observando la figura, FP = PQ = r.El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La

distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del

segmento FD, es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma

se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas

las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de

la gravedad.

Teoremas:1.- Teorema: La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es:

En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = - p. 

Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:

En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. 

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. En cada

caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del

término de primer grado.

2.- Teorema: La ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje x, es de la forma: (y – k)² = 4p

(x – h) Siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p >

0, la parábola se abre hacia la derecha, p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda. Si el

vértice es el punto (h,k) y el eje y su ecuación es de la forma:(x – h)² = 4p (y – k)Si   p > 0 la

parábola se abre hacia arriba, si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.

3.- Teorema: Una ecuación de segundo grado en las variables X y Y que carezca del término

en xy puede escribirse en la forma

Si A = 0, C ǂ 0 y D ǂ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o

coincide con) el eje X.

Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje

X, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje X, o ningún lugar geométrico, según que

las  raíces de  

Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas. Si A ǂ 0, C = 0 y E ǂ 0, la

ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en

cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje Y, dos rectas

coincidentes paralelas a1 eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de:

Sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

Propiedades:

La parábola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vértices se encuentra

en el infinito, así como el centro de la curva. Partiendo de esta consideración, comprobaremos

que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la parábola.

La circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la curva, y dado que el centro

de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta

perpendicular al eje en el vértice V. La circunferencia principal, se define como el lugar

geométrico de los pies de las perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes

(t) de la parábola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen

el foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son

tangentes a la parábola.

La única circunferencia focal Cf de la parábola, tendrá su centro en el infinito, y deberá

pasar por el punto D, simétrico del foco respecto a la tangente el en vértice de la curva,

resultando por tanto, una recta coincidente con la directriz de la parábola. La circunferencia

focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F, respecto a las

tangentes (t) de la parábola.

Observando la figura, también podemos definir la parábola, como el lugar geométrico

de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia

focal.

.

Ejemplo: Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de la parábola,

indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la

directriz.

B.- ELIPSE.

Definición:Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la

superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de

la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor

genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal

genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los

puntos del plano cuya suma de distancias r+r’, a dos puntos fijos F y F’, denominados focos,

es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

La elipse tiene dos ejes, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D,

ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O de la elipse.

La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple

que a² = b² + c². La elipse es simétrica respecto a los dos ejes. Las rectas que unen un punto

cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r’, y por definición

se cumple que r + r’ = 2a.

Teoremas:1.- Teorema: La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia

focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los

focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están

ligados por la relación a2= b2+c2.

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es  , y la

excentricidad e está dada por la fórmula e

NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar

fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los

términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje

coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

2.- Teorema de Dandelin: Postula que, dada una superficie cónica y un plano que la

secciona formando una curva cónica, siempre se pueden dibujar una o dos esferas (una en el

caso de la parábola) tangentes interiores a la superficie cónica y a su vez tangentes al plano

de corte.

El Teorema de Dandelin aplicado a la elipse enuncia que los puntos de tangencia F1 y

F2 de las esferas con el plano de corte son los focos de la cónica, y los planos que contienen

a las circunferencias de contacto de las esferas con la superficie cónica intersectan al plano

de corte en dos rectas d1 y d2, que son las directrices de la elipse.

En la figura siguiente se representa la interpretación plana del Teorema de Dandelin en

la Elipse, mediante una vista en la que el plano de corte queda perpendicular al papel, y se

representa por una recta. El plano secante corta a las generatrices aparentes (las más

exteriores) en los puntos A y B, que serán vértices del eje mayor de la elipse.

En esta interpretación las esferas tangentes aparecen como circunferencias tangentes

a la recta que representa al plano secante y a las generatrices aparentes, de forma que se

obtienen dos circunferencias de contacto de dichas esferas con la superficie cónica (que

aparecen aquí como las rectas T1-T2 y T3-T4). Los puntos de tangencia de las esferas con el

plano de corte son los puntos F1 y F2, que serán los focos de la elipse.

Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan a las circunferencias de la

solución tridimensional (hemos visto que T1-T2 es una circunferencia y T3-T4 es la otra). Los

planos en los que se encuentran estas circunferencias definen las directrices d1 y d2 de la

elipse.

En la figura también puede verse la cónica resultante abatida sobre el papel. El eje

menor puede obtenerse fácilmente a partir del eje mayor y los focos.

3.- Teorema de Apolonio: Dice que la suma de los cuadrados de dos pares de diámetros

conjugados cualesquiera (incluso los ejes) es constante (en la figura, AB2 + CD2 = DF2 +

GH2 = constante).

Propiedades:

Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y

diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las

perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se

puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia

focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse.

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos

de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La

circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco

(F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de

los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal

del otro foco.

Ejemplo: Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos,

de los vértices y la excentricidad de la siguiente el ipse.

C.- HIPÉRBOLA- Definición:

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos

ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo

menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

La hipérbola es una curva abierta y plana, con dos ramas, que se definen como el lugar

geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias r’–r, a dos puntos fijos F y F’,

denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje real A–B de la

hipérbola. Al eje CD, se le denomina eje imaginario, siendo su longitud 2b. Ambos ejes se

cruzan perpendicularmente en el centro O, punto medio de los dos ejes. Por lo tanto, la

hipérbola es simétrica, respecto a los dos ejes.

Si, como vemos, la distancia focal F–F’ es igual a 2c, se cumplirá que c² = a² + b². Las

rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios

vectores r y r’, y por definición se cumple que r’–r = 2a.

Según las dimensiones de los semiejes, se obtendrán tres tipos de parábolas:

1.- Si a > b, se obtendrá una curva de ramas cerradas.

2.- Si a = b, se obtendrá una hipérbola equilátera.

3.- Si a < b, se obtendrá una curva de ramas abiertas.

Teoremas:

1.- Teorema de Dandelin en la Hipérbola.

Dada una superficie cónica y un plano que la secciona formando una cónica, siempre

se pueden dibujar una o dos esferas (una en el caso de la parábola) tangentes interiores a la

superficie cónica y a su vez tangentes al plano de corte.

El Teorema de Dandelin para la hipérbola enuncia que los puntos de tangencia F 1 y

F2 de las esferas con el plano de corte son los focos de la hipérbola, y los planos que

contienen a las circunferencias de contacto de las esferas con la superficie cónica intersectan

al plano de corte en dos rectas que son las directrices de la cónica.

En la figura siguiente se representa la interpretación plana del Teorema de Dandelin en

la Hipérbola, mediante una vista en la que el plano de corte queda perpendicular al papel, y se

representa por una recta. El plano secante corta a las generatrices aparentes (las más

exteriores) en los puntos A y B, que serán los vértices de la hipérbola.

En esta interpretación las esferas tangentes aparecen como circunferencias tangentes

a la recta que representa al plano secante y a las generatrices aparentes, de forma que se

obtienen dos circunferencias de contacto de dichas esferas con la superficie cónica (que

aparecen aquí como las rectas T1-T2 y T3-T4).

Los puntos de tangencia de las esferas con el plano de corte son los puntos F1 y F2,

focos de la hipérbola.

Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan a las circunferencias de la

solución tridimensional (hemos visto que T1-T2 y T3-T4 son dos circunferencias).Los planos en

que se encuentran definen las directrices de la hipérbola.

En la figura siguiente también puede verse la cónica resultante abatida sobre el papel.

2.- Hipérbola con focos.

TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos

F (-c, 0) y F(c, 0) viene dada por: 

Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada, se tiene de

acuerdo a la definición i. que:

Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir: 

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de

simplificar y factorizar se puede escribir:

  3. Hipérbola con focos en:

TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F"

(0, -c) y F(0, c) viene dada por:  

  La demostración es similar a la anterior.

Propiedades:Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y

diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las

perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la hipérbola. También se

puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia

focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hipérbola.

Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos

de la hipérbola, y radio 2a. En una hipérbola se podrán trazar dos circunferencias focales. La

circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco

(F1), respecto a las tangentes (t) de la hipérbola.

Observando la figura, también podemos definir la hipérbola, como el lugar geométrico

de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia

focal del otro foco.

.

Ejemplo: Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de

los focos, de los vért ices y la excentricidad de la siguiente hipérbola:

2.- Investigue en you tube sobre las secciones cónicas mencionadas anteriormente, y coloque en el enlace o dirección electrónica de un video donde se resuelvan cada uno de ellas.

Parábolahttps://www.youtube.com/watch?v=ira6fc3zuRg

Elipse

https://www.youtube.com/watch?v=GbUg3Iw8YYo

https://www.youtube.com/watch?v=Jb_9ZKXWPrE

Hipérbola

https://www.youtube.com/watch?v=ORQ_XfVXA2Q

3.- Resolver cada uno de los siguientes Problemas.

Hallar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica.

a) y2 = 4x b) (x+3)2 = -2(y-2)

Hallar la ecuación y la gráfica de la parábola con; Vértice: (2,3); foco (1,2)

a) y2 = 4x Ecuación de la forma y2 = 4px

V = (0,0) en el origen

y2 = 4px

y2 = 4x; por comparación es igual a y2 = 4px

luego 4p = 4 Foco = (1,0)

p = 4/4 Directriz x + p = 0

p = 1 Distancia Focal x = - p

x = - 1

Y

1

- X X

F (1,0)

V (0,0)

- Y

x = - 1 Directriz

b) (x+3)2 = -2(y-2)

Ecuación General (x-h)2 = -4p (y-k)

(x-(3))2 = -4p (y-(-2))

(x-3)2 = -4p (y+2)

V = (-3,2)

Sabemos que:

-4p = -2 --------- lo que significa que la longitud del lado recto (LR) es -2 por lo tanto:

-4p = -2

p = -2/-4

p = ½ La Distancia Focal es igual a ½

Coordenadas del Foco: Directriz:

F = (h,k-p) y – k – p = 0 y – 2 – ½ = 0

F = -3, 2 – ½ y = 2 + ½ y = 5/2

F = (-3, 3/2)

Y

y = 5/2

V = (-3,2) 3

F = (-3, 3/2)

2

3/2

1

- X X

-3 -2 -1 -1 1 2

- 2 - Y

4.- Curvas planas y ecuaciones paramétricas.

a) Curva Plana: es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada.

La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana. Una

curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que

representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el

término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los

casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave.

Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Sin embargo, utilizando la

definición matemática, una línea recta es un caso particular de curva.

https://www.youtube.com/watch?v=VfAaL4FWML8

b) Ejemplo de Trazado de una Curva.Dibujar la curva representada por la función vectorial

Solución:

c) Eliminación del Parámetro: Dada una curva en su representación paramétrica, a veces,

resulta conveniente expresarla en su forma rectangular o polar, para esto, será necesario

eliminar el parámetro t. Desafortunadamente no existe un método único para eliminar el

parámetro t y tendremos que aplicar alguno de los vistos en álgebra o aplicar identidades

trigonométricas que hagan posible su eliminación.

d) Ejemplos de Eliminación del Parámetro.

1.- Eliminar el parámetro t de las siguientes ecuaciones:  x = t -2  y    y = t2 - 4

Despejando a t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos:

la cual representa a una parábola con vértice en (-2,-4) y eje focal paralelo al eje X.

2.- Eliminar el parámetro de las ecuaciones:

Solución: Al dividir la segunda ecuación entre la primera obtenemos:

sustituyendo este resultado en la primera ecuación:

esta ecuación representa a una circunferencia con centro en (1,0) y radio igual a 1. Para

obtener la circunferencia completa, t debe tomar valores tales que t (-,).https://www.youtube.com/watch?v=Rqc64bYR82g

e) Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro.https://www.youtube.com/watch?v=ofTPEnam7BI

f) Empleo de la trigonometría para eliminar un parámetro.https://www.youtube.com/watch?v=BUKfWJjxrz8

g) Cálculo de las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada.https://www.youtube.com/watch?v=CCzgJKAl2XU

h) Curva Suave.

Aprovechamos para definir curva suave. Una curva C representada por x = f (t) y y = g(t) es

un intervalo I, se dice que es suave si f ' g' son continuas en el intervalo y no son

simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo. Es suave a

trozos si es suave en subintervalos del intervalo I.

https://www.youtube.com/watch?v=XaPHg29R6BM

https://www.youtube.com/watch?v=Z5FFLdn8gHM

https://www.youtube.com/watch?v=7SSMhscfbH8

Souquet G., Ernesto J.

C.I: 28.396.245

Sección: IV