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EcuacionesEcuaciones diferencialesEjerciciosTRANSCRIPT
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ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES HOMOGENEAS E100
Obtener la solucion general de las edos:
(1)xy =
x2 y2 + y
(2)(x2 + xy + 3y2) dx (x2 + 2xy) dy = 0
(3)3x 4y + (2x y)y = 0
(4)
dydx =
y + x cos2(yx
)
x ; y(1) =pi4
(5)y dx+ x(ln x ln y 1) dy = 0; y(1) = e
canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.1
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2 ECUACIONES HOMOGENEAS E100
Respuestas(1) Obtener la solucion general de las edo:
xy =x2 y2 + y
Dividiendo entre x
dydx
=x2 y2x
+yx=
=
x2 y2
x2 +yx
=
x2
x2 y
2
x2+
yx
dydx =
1
(yx
)+
yx(A)
Se efectua un cambio de variable
Siyx= w y = xw
De donde
dydx = x
dwdx + w
Sustituyendo en (A)
xdwdx + w =1 w2 + w
xdwdx =1 w2
Separando variables
dw1 w2
=dxx
Integrando
dw1 w2
= dx
xarcsenw = ln x+ c1 = ln x+ ln carcsenw = ln(cx)
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ECUACIONES HOMOGENEAS E100 3
De donde
w = sen(ln cx)
Pero w = yx , entonces
yx = sen(ln cx)
Por lo que
y = x sen(ln cx)
(2) Obtener la solucion general de las edo:
(x2 + xy + 3y2) dx (x2 + 2xy) dy = 0
(x2 + 2xy) dy = (x2 + xy + 3y2) dxdydx =
x2 + xy + 3y2
x2 + 2xy
=x2(1 +
yx+ 3
y2
x2
)
x2(1 + 2
yx
)
dydx =
1 +yx+ 3
(yx
)2
1 + 2(yx
)(B)
siyx = w y = xw
dydx = x
dwdx + w
Sustituyendo en (B) se obtiene
xdwdx + w =1 + w + 3w2
1 + 2w
xdwdx
=1 + w + 3w2
1 + 2w w = 1 + w + 3w
2 w 2w2
1 + 2w
xdwdx =w2 + 12w + 1
Separando variables
2w + 1w2 + 1 dw =
dxx
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4 ECUACIONES HOMOGENEAS E100
Integrando
2w
w2 + 1 dw + dw
w2 + 1 = dx
xln(w2 + 1) + arctanw = ln x+ c
Pero
w = yxEntonces
ln(y2
x2 + 1)+ arctan
yx = ln x+ c
ln(y2 + x2
x2
) ln x + arctan yx = c
ln(y2 + x2) ln x2 ln x+ arctan yx= c
ln(x2 + y2) 3 lnx + arctan yx= c
ln(x2 + y2) ln x3 + arctan yx= c
ln(x2 + y2
x3
)+ arctan
yx= c
(3) Obtener la solucion general de las edo:
3x 4y + (2x y)y = 0
(2x y)dydx
= 4y 3x
dydx =
4y 3x2x y =
=x(4yx 3
)
x(2 yx
)
dydx =
4(yx
) 3
2(yx
)(C)
Si
yx= u y = xu dy
dx= xdu
dx+ u
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ECUACIONES HOMOGENEAS E100 5
Sustituyendo en (C) se tiene que
xdudx + u =4u 32 u
De donde
xdudx
=4u 32 u
u = 4u 3 2u+ u2
2 u
xdudx =u2 + 2u 3
2 uSeparando variables
2 uu2 + 2u 3 du =
dxx
Integrando (mediante fracciones parciales el primer miembro)
u+ 2(u+ 3)(u 1) du =
dxx
54ln(u+ 3) + 1
4(u 1) = ln x+ c1
Multiplicando por 4
5 ln(u+ 3) + ln(u 1) = 4 lnx+ c2ln(u 1) ln(u+ 3)5 = ln x4 + ln c
ln[
u 1(u+ 3)5
]= ln(cx4) u 1
(u+ 3)5 = cx4
u 1 = cx4(u+ 3)5; pero u = yx
Entonces
yx 1 = cx4
(yx+ 3
)5 y x
x=(y + 3x
x
)5
y x = cx5 (y + 3x)5
x5 y x = c(y + 3x)5
(4) Obtener la solucion general de las edo:
dydx =
y + x cos2(yx
)
x ; y(1) =pi4
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6 ECUACIONES HOMOGENEAS E100
dydx =
yx + cos
2(yx
)(D)
Si
yx = w y = wx
dydx = x
dwdx + w
Sustituyendo en (D) se obtiene
xdwdx + w = w + cos2w
xdwdx
= cos2w
Separando variables
dwcos2w =
dxx
Integrando
sec2w dw =
dxx tanw = ln x+ c
Pero w = yx , entonces
tan(yx
)= ln x + c
Considerando que y(1) = pi4se tiene que
tan(pi4
)= ln 1 + c
de donde c = 1, por lo tanto
tan(yx
)= ln x + 1 = ln x+ ln e = ln(ex)
yx = arctan(ln ex) y = x arctan(ln ex)
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ECUACIONES HOMOGENEAS E100 7
(5) Obtener la solucion general de las edo:
y dx+ x(ln x ln y 1) dy = 0; y(1) = e
x(ln x ln y 1)dy = y dx
dydx =
yx(ln x ln y 1)
=
yx
ln y + 1 ln x
=
yx
ln y + ln e ln x
dydx
=
yx
lnyex
dydx =
yx
ln e(yx
)(E)
Si
yx = u y = xu
dydx = x
dudx + u
Sustituyendo en (E) se obtiene
xdudx + u =u
ln eu =u
1 + ln u
xdudx =u
1 + ln u u =u u u lnu
1 + lnu
xdudx = u lnu1 + ln u
Separando variables
1 + ln uu lnu
du = dxx
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8 ECUACIONES HOMOGENEAS E100
Integrando
duu lnu +
duu =
dxx
ln(ln u) + ln u = ln x + cln(ln u) + ln u+ ln x = c
ln(xu lnu) = c
Pero u = yx, entonces
ln[x yx ln
(yx
)]= c ln
[y ln yx
]= c
Considerando que y(1) = e, se tiene que
ln[e ln e
1
]= c c = 1
Por lo que
ln[y ln y
x
]= 1
De donde
y ln yx = e