ECUACIONESActualizado agosto 2010 por Guiomar Mora de Reyes

GENERALIDADES

Una Ecuación Algebraica es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas, en la que intervienen variables y constantes.

4x +5 = 22

Una Igualdad es un enunciado en el que se establece que las expresiones matemáticas son iguales:

3 + 7 = 10

variable

GENERALIDADES

Resolver una ecuación es encontrar los valores del conjunto de referencia que puede tomar la variable para que se cumpla la igualdad.

Toda ecuación de la forma ax + b = 0, a ≠ 0, tiene UNA y SOLO UNA solución.

Los valores que cumplen la relación de igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación y el conjunto formado por estas soluciones o raíces se llama conjunto solución.

Mientras no se diga lo contrario el conjunto de referencia serán los Reales

GENERALIDADES

Una relación de igualdad de la forma ax + b = 0 es una ecuación de primer grado en una variable ó también conocida como ecuación lineal.

La forma ax + b = 0, es conocida como forma estándar.

De primer grado, porque el mayor exponente de la variable es 1

GENERALIDADES

Para tener presente…

4 3 2 5 7x x x

Es una expresión algebraica

4 3 2 5 7 0x x x

Es una relación de igualdad

Ecuación de primer grado

Polinomio de primer grado.

GENERALIDADES

Dos o más ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución, se denominan ecuaciones equivalentes.

Cuando el conjunto solución es igual al conjunto de referencia, se dice que la relación de igualdad es una Identidad, es decir, que independientemente del valor que tome(n) la(s) variable(s), la igualdad se satisface.

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades:

Propiedad de la suma: Si a, b, c, Є R, y a = b, entonces a + c = b + c

Propiedad de la multiplicación: Si a, b, c, Є R, y a = b entonces a x c = b x c

Ejemplo 1Resolver la ecuación 6 7 2 5x x

6 7 7 2 5 7x x

6 2 12x x

6 2 2 12 2x x x x

4 12x

4 124 4x

3x

6 7 2 5x x Ecuación dada

Propiedad de la Suma en Igualdades

Propiedad de la multiplicación en igualdades (dividir por 4 equivalente a multiplicar por ¼)

Propiedad de la Suma en Igualdades

Agrupar términos semejantes

Agrupar términos semejantes

Verificación de la solución para 6 7 2 5x x 3x

Para verificar si la solución encontrada es correcta, sustituimos la variable x de la ecuación inicial por el valor encontrado: 3.

6 3 7 2 3 5

18 7 6 5

11 11

Ejemplo 1 continuación

Ejemplo 2Resolver la ecuación

Ecuación dada

Ley distributiva

Restar 14x

8 2 3 4 4 3 6 1x x x x

8 2 3 4 4 3 6 1x x x x

2 224 32 6 8 24 4 18 3x x x x x x 26 8 14 3x x

12 8 3x

12 5x

512

x

Sumar 8

Dividir por 12

Agrupar términos semejantes , restar y simplificar224x

Ejemplo 2 continuación

Verificación de la solución para 512

x

8 2 3 4 4 3 6 1x x x x

5 5 5 58 2 3 4 4 3 6 1

12 12 12 12

10 5 5 52 4 3 1

3 4 3 2

10 6 5 16 5 9 5 23 4 3 2

4 21 14 33 4 3 2

213

142

7 7

Ejemplo 3Resolver la ecuación

Ecuación dada

Ley distributiva - Simplificación términos semejantes

Restar 4

2 2 4 1 2x x x

2 4 2 1x x

2 2 3x x

0 3

2 2 4 1 2x x x

Cuando se presenta este tipo de situaciones, se dice que NO hay solución; por tanto el conjunto solución es

Restar 2x

ES FALSO

Ejemplo 4

Resolver la ecuación

Ecuación dada

Propiedad distributiva - Simplificación términos semejantes

Sumar 9y

Obtuvimos como resultado una IDENTIDAD. Siendo el conjunto de referencia los Reales, cualquier número real satisface la ecuación.

9 3 6 15 3 12y y y

9 27 9 27y y

27 27

9 3 6 15 3 12y y y

Ejemplo 5

Encontrar la solución de 3 5 45 7 x x

Esta ecuación es de tipo polinomial de grado 1 y es equivalente a

3 5 45 5 7 7

x x

5 345 7 7 5

x x

35 5 20 2135 35 x x

40 135 35

x

40 1x1

40x

Ejemplo 6

Encontrar la solución de 4 2 3 6 8 6x x x

4 2 3 6 8 6x x x Prioridad de operaciones

4 2 3 12 8x x Agrupación términos semejantes

8 12 12 8x x Propiedad distributiva

12 12 8 8

0 0

x xAgrupación términos semejantes

Como llegamos a una expresión verdadera, concluimos que todo número real es solución de la ecuación.