Ecuación de segundo grado 1

Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = o), si loshubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado[1][2] o ecuacióncuadrática es una ecuación que tiene la forma de unasuma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir,una ecuación cuadrática puede ser representada por unpolinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.La expresión canónica general de una ecuacióncuadrática es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes;a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b elcoeficiente lineal y c es el término independiente. Estepolinomio se puede representar mediante una gráfica deuna función cuadrática o parábola. Esta representacióngráfica es útil, porque la intersección de esta gráficacon el eje horizontal coinciden con las soluciones de laecuación (y dado que pueden existir dos, una o ningunaintersección, esos pueden ser los números de solucionesde la ecuación).

Historia

El origen y la solución de las ecuaciones de segundogrado son de gran antigüedad. En Babilonia seconocieron algoritmos para resolverla. El resultado también fue encontrado independientemente en otros lugares delmundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo deecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de que las dos solucionessean positivas). También el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute lasolución de estas ecuaciones.

Fórmula cuadráticaDe una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamentedistintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática[3] a la ecuación queproporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

donde el símbolo ± indica que los valores

y

constituyen las dos soluciones.

Ecuación de segundo grado 2

Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:■ < 0: no posee soluciones reales;

■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raízcuadrada recibe el nombre de discriminante de laecuación cuadrática. Suele representarse con la letra Do bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene obien dos soluciones reales distintas o una sola soluciónreal de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. Eldiscriminante determina la índole y la cantidad deraíces.

•• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminantees positivo (la parábola cruza dos veces el eje de lasabscisas: X):

.

• Una solución real doble si el discriminante es cero(la parábola sólo toca en un punto al eje de lasabscisas: X):

• Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– eldiscriminante es no negativo.

Ecuación bicuadráticaExpresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

(*) con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce comoecuación bicuadrática. Si se hace el cambio de variable , las soluciones de la ecuación (*) puedenreducirse a las soluciones de una ecuación cuadrática. Si son soluciones de la ecuación:

Entonces las otras soluciones, algunas de las cuales pueden ser complejas son:

Ecuación de segundo grado 3

ClasificaciónLa ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]

1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales eiguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula sededuce más adelante.2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Susolución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dosnúmeros imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.Una ecuación cuadrática incompleta:

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad doses x = 0.3. Incompleta mixta. Se expresa así:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es latrivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

Deducción para resolver la ecuación de la forma La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que y la demostración (que es algo más

sencilla) queda como sigue:Desde la ecuación

Transponiendo n

Sumando a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Ecuación de segundo grado 4

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Transponiendo y simplificando la fracción de la raíz

Simplificando a común denominador

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

Demostración

•• Partimos de nuestra ecuación simplificada:

• Pasamos al otro término :

• Sumamos para obtener un binomio desarrollado:

•• El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador elsegundo miembro:

Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos:

Moviendo y aplicando la raíz al denominador:

Simplificando a común denominador:

Ecuación de segundo grado 5

Teorema de Cardano-ViètePartiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces , podemos construir el binomio a partir de estascon

De lo que se deduceSuma de raíces

Demostración

•• Partiendo de igualar los términos delmismo grado

•• Se despeja la suma y se divide por x

Demostración

•• Partiendo del uso de la fórmula resolvente

•• Se suman los numeradores. Las raíces desaparecen, porser opuestas

•• Simplificando, queda:

Producto de raíces

Demostración

•• Partiendo de igualar los términos delmismo grado

•• Se despeja el producto de raíces

Demostración

Ecuación de segundo grado 6

•• Partiendo del uso de la fórmula resolvente

• Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugadosen el numerador:

•• Resolviendo las potencias, resulta:

• Distribuyendo el signo «menos» y sumando en el numerador

•• Simplificando, queda

Para obtener la diferencia de raíces se puede hacer uso de la identidad de Legendre.

Demostración

•• Solo es necesario desarrollar los binomios

•• Donde finalmente queda

Referencias

Enlaces externosWikilibros• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.• Ecuaciones cuadráticas (http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ algebra/ ecuaciones-cuadraticas. html).

Disfruta las matemáticas, Pierce, Rod.• La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es (http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/

Ecuacion_de_segundo_grado/ index. htm)• Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática (http:/ / audiovisuales. uned. ac. cr/ mediateca/ videos/ 146/

ecuación-cuadrática-(ecuaciones-de-segundo-grado))• Calculadora Ecuación de segundo grado (http:/ / www. elektro-energetika. cz/ calculations/ kvadrov.

php?language=espanol)

Fuentes y contribuyentes del artículo 7

Fuentes y contribuyentes del artículoEcuación de segundo grado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=68872167  Contribuyentes: Abece, Acratta, Airunp, Aleposta, Alhen, Alucard De León, Alvaro qc, Amadís,Andreasmperu, Andy yoan, Angel GN, Angel verde, Antonorsi, Antur, Arilaloye, Armando-Martin, Armonizador, Atibays, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, BlackBeast, Boanerges1001,BuenaGente, Charly genio, Cobalttempest, Danielba894, Dark, Davius, Desenredando la maraña, Diegusjaimes, Dodo, Dreitmen, EAD39Laura, Edslov, Faustino xyz, Ferbr1, Fernando H,Foundling, Fran89, Francisco Valdez Mendoza, GNM, Gaddy, GermanX, Ggenellina, Gsrdzl, GuidoGS, Guilleralpoder, HUB, Halfdrag, Helmy oved, Heylan, HiTe, Hichokei, Hiperfelix, Hosg,Hprmedina, Humberto, Ialad, Interwiki, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jecanre, Jerowiki, Jesús González Álvaro, Jkbw, JoseA, Juan Mayordomo, Juan Miguel Torre, Jurgens, Jynus, Kismalac,Kved, L30nc1t0, Lalotaker, Leibniz Newton, Leonpolanco, Lffallas, Lourdes Cardenal, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Manuel Trujillo Berges, Manuelt15, Manwë, Mar del Sur,Marianov, Matdrodes, Mcetina, Mel 23, Morgul, Moriel, Mpinomej, Navarroaxel, Netito777, Nixón, ObscurO, Pan con queso, PasabaPorAqui, Pedro Nonualco, Petruss, Raulshc, Rcamacho,Rockr24, Romero Schmidtke, Rosarino, Rovnet, Rubpe19, Rαge, Sabbut, Saladinmad, Santga, Santiperez, Savh, Sebrev, Sergio Andres Segovia, Shark DJ, SuperBraulio13, Tano4595, Taty2007,Technopat, Thormaster, Tirithel, Trousy, UA31, Ucevista, Vitamine, Waka Waka, Xenoforme, Xobra, Xosema, Youssefsan, 534 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Ecuación cuadrática.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ecuación_cuadrática.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike  Contribuyentes:DriniArchivo:Quadratic equation discriminant.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Quadratic_equation_discriminant.png  Licencia: Creative CommonsAttribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes: KSmrqArchivo:Wikibooks-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikibooks-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:Bastique, User:Ramac et al.

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