ecuación-de-la-continuidad y cantidad de movimiento.grupo03

INDICEINTRODUCCION.......................................................................................................................2

OBJETIVO:.................................................................................................................................3

OBJETIVO ESPECIFICO:........................................................................................................3

ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD........................................................................................3

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE FLUIDOS............................................................3

Teorema de Lagragiano.......................................................................................................3

Teorema de Euler..................................................................................................................4

ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD....................................................................................6

PRINCIPIO DE BERNOULLI.............................................................................................10

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO........................................................11

APRENDIZAJE ESPERADO.............................................................................................11

CANTIDAD DE MOVIMIENTO..............................................................................................11

Ejemplos de aplicación:......................................................................................................18

CONCLUSIONES......................................................................................................................27

MECANICA DE FLUIDOS I Página 1

INTRODUCCION

La carrera de ingeniería civil es una rama muy amplia; en la actualidad realiza todo tipo de proyectos los cuales incluyen toda clase de conocimientos, que se adquieren a lo largo de la carrera; uno de los conocimientos más grandes que debemos adquirir son la mecánica de fluidos, esta rama es necesaria para todo tipo de proyectos: una vivienda (instalaciones sanitarias), carreteras (canales), abastecimientos (diques, tanques, compuertas), muros de contención, represas, pilares de puentes, etc.

El objetivo principal de los siguientes dos capítulos es exponer los principios básicos del movimiento de los fluidos: ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento.

Estos principios se ilustran con ejemplos de flujos unidimensionales en régimen permanente.

En este capítulo, se consideran las ecuaciones de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento, pero antes se presentan algunas herramientas para describir el movimiento de los fluidos, incluyendo los conceptos de trayectoria, líneas de corriente, partículas de fluido, elementos de fluido y volúmenes de control.


OBJETIVO:Determinar la ecuación de continuidad y la ecuación de cantidad de movimiento

OBJETIVO ESPECIFICO: Realizar una introducción a la dinámica de fluidos. Analizar las leyes que rigen el movimiento de los fluidos.

ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE FLUIDOSPara determinar la ecuación de continuidad primero tenemos que describir una introducción a la dinámica de fluidos.

La dinámica de fluidos estudia y describe las leyes que rigen el movimiento de los fluidos.

Para ello vamos analizar cómo describir un fluido en el espacio.

Teorema de Lagragiano

En el sistema lagragiano se usan partículas de fluido, que son elementos de fluido pequeños de masa fija y, se llaman partículas por analogía con la dinámica de los sólidos.se sigue una partícula de flujo individual conforme se mueve a través del flujo, la cual se identifica por su posición en algún instante y el tiempo que transcurre hasta ese instante. Si tenemos una velocidad descrita por:

V= ui + vj + wk

Donde i, j, k son los vectores unitarios en un sitema cartesiano de coordenadas [x, y, z], entonces, en términos lagragianos, la velocidad de una partícula de fluido situada en el punto [x0 , y0 , z0] en el instante t=t 0 , esta dada por v=∂(x−x0)/∂ t y su


aceleración por ∂V /∂ t . Este es el sistema que se usa en la dinámica de cuerpos rígidos, dado que las partículas tienden a ser pocas y se pueden identificar con facilidad. Sin embargo, para describir el flujo de un fluido donde hay movimiento relativo, es necesario seguir muchas partículas y las resolverlas los detalles más pequeños del flujo se requiere seguir un número enorme de partículas. El movimiento de cada partícula se describe por separado con una ecuación diferencial ordinaria (EDO), como la segunda ley de newton y cada ecuación se acopla a todas las demás (es decir, la solución de una ecuación depende de la solución de todas las otras). La solución de estas EDO acopladas es en general muy difícil de encontrar, de modo que la aproximación lagrangiana no se emplea con frecuencia en mecánica de fluidos, aunque es muy útil en algunos tipos de problemas particulares.

Teorema de Euler En el sistema euleriano el propósito es encontrar una descripción que de los detalles de campo del campo de flujo completo en cualquier tiempo y posición. En lugar de describir el movimiento del fluido en términos del movimiento de las partículas individuales, lo que se busca es una descripción de “campo”. En otras palabras, para la partícula que está en posición [x, y, z]en un tiempo t, se busca una descripción que proporcione su velocidad, aceleración, cantidad de movimiento y energía en cualquier otra posición y tiempo. Por ejemplo, si se diera el campo de velocidad por V=2x2i – 3tj + 4xyk, en cualquier instante conoceríamos la velocidad en cualquier dentro del flujo.

A primera vista, esta aproximación parece ser muy directa. Sin embrago en un punto dado del flujo, ya no se están siguiendo de manera explícita las partículas de fluido con masa fija, pues todo tiempo están llegando nuevas partículas. Esto hace difícil aplicar la segunda ley de newton, la cual solo se utilizan con partículas de masa fija. Por lo tanto, necesitamos una relación que de la aceleración de una partícula de fluido en términos del sistema euleriano y con ello, podremos ver, se complica el análisis.

Euler considera un punto en el espacio y dice lo siguiente:

Densidad ρ=ρ (x , y , z , t )

Posición r⃗=r⃗ (x , y , z , t )

Presión p=p ( x , y , z ,t )

Velocidad v⃗=v⃗ ( x , y , z , t )


Analizando en un tubo de corriente.

Como estamos haciendo una introducción, entonces hacemos una Simplificación del tema.

1. El fluido es incomprensibles: significa que la densidad es constante (ρ=cte).

2. Nota: En lo anterior la densidad puede variar al capricho de la naturaleza y de la posición del observador en el sistema de referencia y del tiempo.

3. El fluido es irrotacional: se lama irrotacional cuando el fluido no rota con respecto a un punto o el fluido no posee cantidad de movimiento angular.

RECUERDA: la cantidad de movimiento angular

I o=I c x w⃗

Donde:I o=cantidad de movimiento angular

I c=momento de inercia

w⃗=rapidez angular

4.-El fluido no viscoso: entendemos que un fluido es no viscoso cuando se desprecia la fuerza de fricción entre el fluido mismo y la interacción con la superficie.

Ejemplo: El agua en cual se desplaza con mayor facilidad que cualquier otro fluido

5.-El fluido estacionario o permanente: eso implica que la densidad, la velocidad y la presión no dependen del tiempo.


ECUACIÓN DE LA CONTINUIDADLa ecuación de continuidad es un importante principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en la hidrodinámica.

Definiciones de algunos conceptos importantes que nos serán útiles para poder comprender mejor el tema asignado:

1. Líneas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como líneas de corriente.

2. Flujo laminar: Cuando las líneas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las líneas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.

3. Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las líneas de corriente pueden cruzarse y se producen cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.

4. Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.


La ecuación de continuidad parte de las bases ideales siguientes:

El fluido es incompresible.

La temperatura del fluido no cambia.

El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del tiempo.

El flujo es laminar. No turbulento.

No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.

No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

Explicando cómo se obtiene las fórmulas:

La conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A1 y A2) de un conducto (tubería) o tubo de corriente establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale.

La ecuación de continuidad se puede expresar como:

ρ1 . A1.V 1=ρ2 . A2 .V 2

Cuando ρ1= ρ2, que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene:

A1 .V 1=A2 .V 2

o de otra forma:

Q1=Q2

(El caudal que entra es igual al que sale)

Donde:

Q = Caudal (metro cúbico por segundo; m3

s)

V = Velocidad (ms

)

A = Área transversal del tubo de corriente o conducto (m2)

Se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto


su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua.

PREVIOS A ESTOS CONCEPTOS VAMOS A DETERMINAR LA ECUACION DE CONTINIDAD

De la figura mostrada deducimos lo siguiente:

En el espacio la:ds1=V 1 . dt

ds2=V 2 . dt

Variación infinitesimal de masa:

dm1=ρ1 . A1 .V 1 . dt

dm2=ρ2 . A2 .V 2 . dt

Razón de cambio de la masa por unidad de tiempo en el tubo de corriente:

dm1

dt= ρ1 . A1 .V 1

dm2

dt= ρ2 . A2 .V 2

Como no hay entradas ni salidas extras entonces quiere decir que hay una conservación:

dm1

dt=dm2

dt


ρ1 . A1.V 1=ρ2 . A2 .V 2

Como el fluido es incompresible, la densidad es constante:

A1 .V 1=A2 .V 2

Esto quiere decir que el área multiplicada por la magnitud de la velocidad es la misma en todos los puntos:

A2 .V 2−A1 .V 1=0

∆ (AV )=0

Dónde:

∆=cambio

AV=constante

Por lo tanto:

Q=AV Donde “Q” es caudal y también es una magnitud escalar. “Q” es constante

w⃗ .n̂=V (1 ) .cos θ

w⃗ .n̂=V .cosθ=V x .V n

Q=V⃗ . n̂ . A ; A⃗=n̂ . A


Q=V⃗ . A⃗=VA

Las unidades que le corresponde al caudal son la siguiente:

[Q ]=m2 .ms

[Q ]=m3

s Q= volumen

tiempo=V

t

PRINCIPIO DE BERNOULLI.El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica...) esta ha de permanecer constante.

La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes.

El teorema considera los tres únicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son; energía cinética, energía potencial gravitatoria y la energía debida a la presión de flujo (hidrostática).

Energía cinética (hidrodinámica), debida a la velocidad de flujo(mv2

2)

Energía de flujo (hidroestática), debida a la presión a la que es sometido el fluido (pv).

Energía potencial gravitatoria. Debida a la altitud del fluido.(mgh).

Por lo tanto el teorema de Bernoulli se expresa de la siguiente forma:

Donde

v es la velocidad de flujo del fluido en la sección considerada.


mv2

2+mgh+ pv=cte

g es la constante de gravedad.

h es la altura desde una cota de referencia.

p es la presión a lo largo de la línea de corriente del fluido.

ρ es la densidad del fluido.

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

APRENDIZAJE ESPERADO

Aplica la ecuación de la cantidad de movimiento, empleando “la segunda ley de newton”

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Se deriva de la segunda ley de newton.

Se conoce como la cantidad de movimiento de un elemento de masa “m”, al producto de esta por su velocidad.

La suma vectorial de todas las fuerzas “F” que actúan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio de vector lineal cantidad de movimiento de la masa de fluido.

Las fuerzas externas son:


F=d (mv)dt

Fp = Fuerzas de presión, normales a la frontera de la masa.

Ft = Fuerzas tangenciales a las fronteras de la masa, que se mide en esfuerzo tangencial a la misma.

Fc = Fuerza del cuerpo, que son las del peso propio.

Se deduce la ecuación de la cantidad de movimiento para un volumen de control fijo.

∑ F x=∂∂ t ∫VC

ρV X dV 0+∫SC

ρV X (V .dA )

que es la expresión mas amplia de la ecuación de la cantidad de movimiento para el volumen de control.

Si se considera que el flujo ocurre únicamente a través de porciones de superficie de control (SC).

∑ F x=∫SC

ρV X (V .dA )

En tuberias y canales es posible elegir el volumen de control de modo que el flujo de cantidad de movimiento que sale y que entra sea normal a las


secciones transversales.

∑ F x=C .M Salidad x (2)− C .M entrada x (1)

Donde :C :M=βρQV x………….Cantidad deMovimiento

Como en cada sección hay una distribución de velocidades es necesario corregir los flujos de cantidad de movimiento, de un modo similar a cómo se corrigen las alturas de velocidad. Se usa el coeficiente de Boussines q β, cuyo valor, como el de α , depende unicamente de la distribución de velocidades en la sección.

∑ F x= β2 ρQ V 2X − β1 ρQ V 1 X

APLICACIÓN 1: Calcular la fuerza de un fluido imcompresible sobre un tubo curvo:


APLICACIÓN 2: La fuerza que se necesita para que el álabe permanezca en su sitio, cuando el fluojo permanente de un chorro de agua golpea sobre el.

• Para este tipo de problemas se supone que no hay cambios en la velocidad y en el área transversal del chorro.


P1 A1−P2 A2cos θ−Fx= ρQ(v2 cosθ−v1)

F x=ρQ ¿) + P1 A1 - P2 A2cos θ

F y−P2 A2 senθ−w=ρQ v2 senθ ; donde: w=0

F y=ρQ v2 senθ+P2 A2 senθ

A1=A2=A0 Tambien:

V 1=V 2=V 0 P1=P2=Patm=0

Entonces de las ecuaciones de la aplicación 1:

Ejemplo de la aplicación 2:

Para este caso se asume el eje “x” en la dirección del chorro.


F x=ρQ ¿) + P1 A1 - P2 A2cos θTambien :Q=v0 A0

F x=ρQ v0 ¿)

F x=ρ v02 A0 ¿)

F y=ρQ v2 senθ+P2 A2 senθ

F y=ρ v02 A0 senθ

θ

F x=ρQ v0 ¿)F x=ρQ v0 ¿

APLICACIÓN 3: Si el álabe se mueve a una velocidad constante (V 0>V a )

Entonces de las ecuaciones de la aplicación 2:


F x=ρQ v0 ¿) F x=ρQ v0 ¿) F x=ρQ v0 ¿)

F x=ρQ v0 F x=1.5 ρQ v0 F x=2 ρQ v0

F x=ρ v02 A0 ¿) F y=ρ v0

2 A0 senθ


F x=ρ (v¿¿0−va)2 A0¿¿) F y=ρ(v¿¿0−va)

2 A0 senθ ¿

EJERCICIOS

Ejemplos de aplicación:

Un líquido está fluyendo a través de una tuberia de radio, R=20cm. La distribución

de velocidades esta dada por la expresión v=V 0(1− r2

R2 ). Determinar:

a) Una expresión pára calcular el caudal en función de π ,R ,V 0

b) La velocidad media en el tubo después que el radio R, se reduce a la mitad del radio inicial, considerando una velocidad V 0=2.00m /s


EJERCICIO N°01:

La expresión general del caudal es:

Q=∫A

❑

v da

Como el diferencial de área es da=2πr dr y la velocidad instantánea es

v=V 0(1− r2

R2 ) se obtiene al sustituir en la expresión anterior

Q=∫0

R

V 0(1− r2

R2 )2πr drQ=2π

V o

R2∫0

R

(R2−r 2) r dr

Q=2πV o

R2 [ R2r2

2− r4

4 ]R0Q=2π

V o

R2 [ R2R2

2− R4

4 ]Q=

V o

2π R2

Determinación de la velocidad en la sección reducida

V 2=QA2

−(V o

2π R2)

π R22

Al sustituir los valores numéricos se obtiene

V 2=

2.002

π 0.202

π 0.102=4m/ s


La distribución de velocidades para un flujo en una tubería puede expresarse

por la fórmula v=V max(1− rR )

17

Determinar el caudal y la velocidad media para V max=2.00m /s y D=40cm .

La expresión general del caudal es:

Q=∫A

❑

v da

Como el diferencial de área es da=2πr dr y la velocidad instantánea es

v=2(1− rR )

17 se obtiene al sustituir en la expresión anterior

Q=∫0

R

2(1− rR )

17 2πr dr

Para realizar la integral se hace el cambio de variable

1− rR

=u r=R (1−u) d r=−R du

Cambio de limites de integración:

Para r=0.u=1y para r=R .u=0

Q=4 π∫1

0

u17 R (1−u ) (−Rdu )−¿−∫

1

0 (u17−u

87)du¿

Q=−4 π R2[ 7u878 −7u157

15 ]−4 π R2[ 78− 715 ]

Q= 4930

π R2

Para R=0.20m, se tiene

Q= 4930

π 0.202

Q=0.205m3/ s

Determinación de la velocidad media

V=QA

V= 0.205π40.402

V=1.63m / s

MECANICA DE FLUIDOS I Página 20EJERCICIO N°02:

Por un caño horizontal (ver figura) circula un caudal de 10m3/s de agua (

ρ=1000kg/m3. Calcular: a) La velocidad del agua en una parte donde el caño

tiene una sección de 2m2 y en otra parte donde la sección es de 1m2. b) calcular la diferencia de presión que existe entre estas dos secciones. c) ¿Dónde es mayor la presión, en la sección de 2m2 o de 1m2?

Solución:

a) Sabemos que el caudal está dado por la expresión: Q=v .S

v=QS……….(1)

Para S=2m2 v=10m3/ s

2m2

v=5m /s

Para S=1m2 v=10m3/ s

1m2

v=10m /s

b) Para calcular la diferencia de presión tenemos en cuenta la ecuación de Bernoulli:

P1+12ρ v1

2+ ρ .g .h1=P2+12ρ v2

2+ρ .g .h2

Y teniendo en cuenta que para un tubo horizontal h1=h2

Entonces de (1): P1−P2=12ρ(v2

2−v12)

P1−P2=121000

kgm3

(102−52) m2

s2


P1−P2=37500N

m2

P1−P2=37500Pa

Determine las componentes de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre el codo de salida doble que ilustra la figura. El volumen del agua dentro del codo es de 1m3 y la velocidad en el punto 1 de una presión de 25 kpa es de 5m/s. El flujo es permanente.

SOLUCIÓN:

1.- Diagrama del cuerpo libre.

2.-Ecuaciones a emplear:

a) Ecuación de Continuidad,

Q = Constante = V1A1 = V2 A2 =…………..VnAn (I)


EJERCICIO N°03:

b) Ecuacion de la Cantidad de Movimiento,

Dado que “ρ” es constante y el flujo implica características de permanente

y uniforme,

ΣF = ρ Q ΔV………………(II)

c) Definición de Presión

p = F/A……………………..(III)

d) Definición de Peso Especifico (γ )

γ=WV

.………………(IV)

3.- Desarrollo y Cálculos.

Aplicando la ecuación (I) se calculan los gastos en el tubo (1), (2) y (3);

obteniéndose:

Q1 = 0.982 m3/s

Q2 = 0.254 m3/s

Aplicando la ecuación de continuidad en el nudo: Q3 = Q1 – Q2

Q3 = 0.728 m3/s

Por requerirse además la velocidad del tubo 3, esta se calcula aplicando la

ecuación (I), resultando,

V3 =23.18 m/s

Aplicando la Ecuación (II), descompuesta según la dirección de las

coordenadas, utilizando el diagrama del cuerpo libre,

ΣFx = ρ Q ΔVx ………… (V)

ΣFy = ρ Q ΔVy…………… (VI)

Previamente calculamos la fuerza debido a la presión en la sección (1),

aplicando la ecuación (III), encontrando,

F1 = 4.91 KN


Aplicando la Ecuación (V)

ΣF x=ρ(Q¿¿3V 3 cos45 °−Q 2V 2)¿

F x=1000Kg /m3(0.728 m3

s∗23.18m

scos 45 °−0.254 m

3

s∗10m /s)

F x=9.392KN

Por lo tanto la acción de la componente “x” de la fuerza que ejerce el agua sobre el codo es 9.32 KN

Aplicando la Ecuación (VI)

ΣF y= ρQ3V 3 sen 45°−Q1V 1

γ=W∀

Fy = (-11.93 + 4.91+9.81+4.91) KN

Fy = 7.70 KN

Por lo tanto la acción de la componente “y” de la fuerza que ejerce el agua sobre el codo es 7.70 KN

4.- Hallamos la resultante de las fuerzas.

FR=√ (9.392 )2+(7.70 )2

FR=12.13KN

5.- Por lo tanto la acción de la fuerza que ejerce el agua sobre el codo es 12.13 KN

Los pilares de un puente está separados una distancia entre ejes de 6.10 m. Aguas arriba el tirante es 3.05 m. y la velocidad media del agua 3.05 m/sg.


W=9.81KN

−W+F y−F1=103 Kg /m3(0.728 m3s ∗−23.18 m

ssen45 °−0.982 m

3

s∗−5m /s)

EJERCICIO N°04:

Aguas abajo el tirante es 2.90 m. Despreciando la pendiente del río y las pérdidas por fricción, encontrar el empuje del agua sobre cada pilar.

Se elige un volumen de control, como el indicado, de 6.10 m de ancho y

limitado por las secciones (1) y (2).

Q=A1V 1=bY 1 .V 1=56.745m3/sg

V 2=QA2

= QbY 2

=3.208m /sg

Suponiendo distribución hidrostática de presión en las secciones 1 y 2, la

ecuación de la cantidad de movimiento escrita en la dirección de la corriente

es:

F1−F−F2=γgQ (V 2−V 1)

Asumiendo que sobre el agua actúa la fuerza F hacia la izquierda.

Despejando:

F=F1−F2−γgQ (V 2−V 1)

Reemplazando:

F1=12γ bY 1

2=28372.6kg


F2=12γ bY 2

2=25650.5kg

y los valores conocidos de Q, V 1 Y V 2

Se obtiene: F=1808.16kg .

El signo positivo indica que el sentido es el correcto. Naturalmente el agua

ejerce una fuerza igual y contraria sobre el pilar, es decir F=1807kg . Hacia

la derecha.

En un canal rectangular de fondo horizontal y ancho 3 m se halla instalada una puerta deslizante. Aguas arriba el tirante de agua es de 2.40 m y aguas abajo 0.60 m. Despreciando las pérdidas calcular.

a) el gasto en la compuerta.

b) el empuje sobre la compuerta.

ecuación de la energía.

Y 1+V 12

2g=Y 2+

V 22

2g

Ecuación de continuidad:

bY 1V 1=bY 2V 2

Resolviendo el sistema para V 1:

V 1=1.534m /seg

V 2=6.138m / seg


EJERCICIO N°05:

Es decir:

Q=bY 1V 1=11.04m3/seg

Reemplazando Eligiendo un volumen de control como el indicado y suponiendo distribución hidrostática de presiones en la sección (1) y (2), le ecuación de la cantidad de movimiento en la dirección del flujo es:

F1−F−F2=γgQ (V 2−V 1)

Asumiendo que sobre el agua actúa la fuerza F hacia la izquierda.

Despejando:

F=F1−F2−γgQ (V 2−V 1)

ando:

F1=γ (Y 12 )(bY 1 )=8640kg

F1=γ (Y 22 )(bY 2 )=540kg

Y los valores conocidos de Q ,V 1 y V 2

Se obtiene:

F=−13281kg

CONCLUSIONES


• La ecuación de cantidad de movimiento, es muy importante en nuestra carrera, ya que con esta podemos diseñar y conocer as fuerzas que actúan sobre una estructura.

• Se aprendió y analizó de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, y sus aplicaciones.

• Se desarrolló la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento.

• Se proporcionó información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo.


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