vertidos hipersalinos superficiales teoría y problemasiagua/licom_archivos/drtema3.pdfsi integramos...
TRANSCRIPT
Vertidos hipersalinos
superficiales
Teoría y problemas
Objetivos 1.- Describir, de forma cualitativa, el comportamiento los fluidos hipersalinos en el mar, al ser vertidos en canales superficiales (ramblas o canales) 2.- Derivar las ecuaciones de gobierno que permiten describir (de forma cuantitativa) el comportamiento de fluidos hipersalinos. 3.- Establecer expresiones que nos permitan cuantificar la dilución entre el vertido hipersalino y el agua mar, como función de variables del entorno - Vertidos confinados lateralmente � Derivación - Vertidos no-confinados lateralmente
“Si nos limitamos a utilizar fórmulas, sin conocer los procesos
y principios fundamentales que hay detrás de ellas, terminamos perpetuando los errores de nuestros
predecesores”
(Von Kármán)
Corrientes de gravedad
¿Hasta donde profundiza la corriente de gravedad?
Al llegar a la profundidad de flotabilidad neutra, la corriente abandona el fondo, se introduce lateralmente en el medio, y, a efectos prácticos, no se mezcla con el medio.
Balance entre fuerzas de flotabilidad (gravedad) e inercia Número de Froude interno Fi ó número de Richardson Ri.
Rigd
u
dg
uFi
1
'
20
22
=∆
==ρ
ρ
Podemos definirlo a la entrada
0
202
'0 dg
uFi =
ó en cualquier punto de la corriente de densidad, … en particular, en el punto de hundimiento.
Localización del punto de hundimiento
3/1
2
20
3/1
232
20
22
'
1
''
=⇒==
pip
p
ppp
p
ipWg
Q
Fd
dWg
Q
dg
uF
Wp = anchura del canal dp = prof. en el p. hundimiento Q0 = caudal vertido Experimentos en laboratorio muestran que
11.0 << ipF
Mezcla en el punto de hundimiento
γ+=Γ=
1
0Q
Qp
ó
γ
γ
+
+=
10CC
C amp
C0 = concentración de sales en el flujo de entrada Cam = concentración ambiente Cp = concentración después del punto de hundimiento Qp = caudal después del punto de hundimiento Q0 = caudal inicial (= en el punto de hundimiento)
Γ
U
U=0
Mezcla en la zona dominada por flotabilidad
■ Conservación de volumen (continuidad)
Eubuadx
d=)(
E = coeficiente de incorporación (entrainment)
bLEuauauQQ ×=−=− )( 112212
Q1= u1a1
E u bL
L
b
Q2= u2a2
Área = a2
■ Conservación de masa
0)()(0
=∆
=′ uagdx
duag
dx
d
ρ
ρ
0)()(0)()(
(1)en (3)y (2) dosustituyeny );( )3(
);( )2(
; )1(
11122211012202110220111222
1102200
11122212
012
=∆−∆=−−−⇒=−−−
−=×
−=−
×=−
auauauauauauauau
auaubLEu
auauQQ
bLEuQQ
MM
MM
ρρρρρρρρρρ
ρρρ
ρρ
ρ
Q1M= ρ1u1a1 Q2M= ρ2u2a2
E u ρ0bL
L T
Área = a2
■ Conservación de cantidad de movimiento (c.m.)
{ } θρθρρρ sincos)()( 22gahhag
dx
dPuCua
dx
dcD ∆+−∆−−=
(1) (2) (3) (4)
CD es el coeficiente de arrastre en las paredes P es el perímetro que moja la corriente de gravedad h la profundidad de la lámina de agua en la corriente de gravedad hc elevación del centroide de la sección a
θ pendiente
(1) Inercia o advección de momento (2) Fricción en las paredes (3) Gradiente de presiones en las caras del elemento de control (4) Componente de la gravedad en la dirección de avance del flujo
Dilución para corrientes confinadas lateralmente
Suponed una sección rectangular con db/dx=0 y b >> h (i.e. P ~ b). Suponed, además, que los perfiles de densidad ρ(z) no son uniformes � coeficientes de uniformidad (S1 y S2, que suponemos independientes de x). En esas condiciones, la ecuación de c.m. es
{ } )sin(')cos('2
1)( 020
21
22ShgSShgS
dx
duChu
dx
dD +−−=
Trabajaremos con esta ecuación, para llegar a Q/Q0 = f(E)
S1 ~ 0.2-0.3 S2 ~ 0.6-0.9
Paso 1.- Recordad, primero, que en las corrientes de gravedad hay un balance entre fuerzas de flotabilidad e inercia. Lo que sugiere que, el número adimensional que controla su comportamiento es Fi, ó el número de Richardson Ri
2
cos'
u
hgRi
θ=
Su derivada en espacio podemos, puede ser expresada como
( )
( )
+−=
+−
=+−
=+
=
dx
hgd
hgdx
du
uRi
dx
hgd
hgdx
du
uu
hg
hgdx
d
u
hg
hgdx
du
u
hg
u
hgdx
d
uudx
dhg
dx
dRi
)'(
'
12)'(
'
12cos'
'cos'
'
1cos'2
'cos1
cos'
2
22
22
θ
θθ
θθ
Esta expresión incluso podemos reducirla más aún considerando la ecuación de conservación de masa
dx
ud
udx
hgd
hgdx
udhg
dx
hgdu
dx
hugd )(1)(
'
10
)()()(−=
′⇒=′+
′=
′
Y, por tanto, la derivada espacial de Ri admite otras dos expresiones alternativas
−
=
=
+−=
dx
du
uRi
dx
hgd
hgRi
dx
hgd
hgdx
du
uRidx
dRi
13
)'(
'
13
)'(
'
121
Paso 2- Trabajaremos con la ecuación de c.m. Dividimos por u2, y desarrollamos cada uno de los términos teniendo en cuenta las expresiones de d(Ri)/dx,
{ }2
2212
22
sin'cos'
2
1)(
1
u
hgShgS
dx
d
uChu
dx
d
uD
θθ +−−=
(1) (2) (3) (4)
dx
dRi
Ri
h
dx
dh
dx
du
u
h
dx
dhhu
dx
d
u 3
22)(
1)1( 2
2−=+=
dx
dRihS
dx
dhRiS
dx
hgd
hg
RihS
dx
dhRiS
dx
hgd
u
hS
dx
dh
u
hgShgS
dx
d
u
1111
21
212
12
6
1
2
1)'(
'2
1
2
1
)'(
2
cos
2
cos')cos'(
2
1)3(
−−=−−
=−−=−θθ
θ
θθ
tansin'
)4( 222 RiS
u
hgS=
Sustituyendo estos desarrollos en la ecuación de c.m. tenemos
θtan6
1
2
1
3
2211 RiS
dx
dRihS
dx
dhRiSC
dx
dRi
Ri
h
dx
dhD +−−−=−
y reagrupando, tenemos
ó tan6
1
3
2
2
11 211 θRiSC
dx
dRihS
Ri
h
dx
dhRiS D +−=
−−
+
θtan3
)2(
2
11 2
121
1 RiSCdx
dRi
Ri
hRiS
dx
dhRiS D +−=
−−
+
Paso 3.- Ahora la ecuación de conservación de volumen (continuidad) podemos utilizarla para obtener una relación entre dh/dx y dRi/dx,
Edx
dRi
Ri
h
dx
dh
dx
du
uh
dx
dhEuh
dx
d
u=−=+⇒=
3
1)(
1
que utilizamos en la ecuación de c.m.
( )
( )
( )RiS
ERiSRiSC
dx
dh
ERiSRiSCdx
dhRiS
RiSCEdx
dhRiS
dx
dhRiS
D
D
D
1
121
2
121
21
2121
121
1
)2(tan
)2(tan1
tan)2(1
−
−+−=
⇒−−+−=+−
⇒+−=
−−−+
θ
θ
θ
Paso 4.- Si sustituimos en la ecuación de c.m. dh/dx = f(dRi/dx)
( )
( ) ( )
( )( )RiS
RiSCERiS
dx
dRi
Ri
h
ERiSRiSCdx
dRi
Ri
hRiS
RiSCdx
dRi
Ri
hRiS
dx
dRi
Ri
hERiS
D
D
D
1
2121
121
21
212
1
121
1
tan1
3
1tan3
1
tan3
)2(
31
−
−++=
⇒+−+−=+−
⇒+−=−
−
++
θ
θ
θ
¿Recordáis lo que es un régimen de flujo NORMAL, de hidráulica (No. Froude = constante)? Pues bien, ¡también en flujos estratificados existe este régimen normal! Como era el caso en el movimiento de lámina libre, a este régimen tienden naturalmente las corrientes de gravedad. Como en el movimiento en lámina libre, donde F = cte., el régimen normal en corrientes de densidad, se caracteriza por Ri = cte, que identificaremos como Rin. En estas condiciones, la ecuación de conservación de volumen se simplifica
E
dx
dh=
La experimentación demuestra que el coeficiente E tiene la forma
nRiE
0015.0≈
Una expresión para el número de Richardson normal puede derivarse como sigue. Definimos un régimen ‘normal’ de flujo por la condición Rin = cte (i.e. dRi/dx=0)
( )( )
( )
)tan()tan(
0tan1
01
tan1
3
121
212
12
2121
1
2121
ESS
ECRiECESSRi
RiSCERiS
RiS
RiSCERiS
dx
dRi
Ri
h
DD
D
D
−
+=⇒+=−
⇒=−++
⇒=−
−++=
θθ
θ
θ
En pendientes suaves E ≈ 0, y obtenemos la expresión
0.1-0.01 fricción) de te(coeficien C donde tan D
2
≈≈θS
CRi D
n
Si integramos la ecuación de continuidad entre el punto de hundimiento xp y otro punto a una distancia x de la entrada
pp hxxEh +−= )(
donde hp es la profundidad en el punto de hundimiento. La distancia xp se obtiene como = (hp-h0)/S0, siendo S0 la pendiente del fondo y h0 = calado en la desembocadura Cálculo de la dilución (Q/Q0) y concentración de sal
1) Estimamos el calado y posición del punto de hund. (hp y xp) 2) Calculamos Rin y, a partir de él, el coeficiente E 3) Estimamos h = E(x-xp)+hp, aguas abajo del punto de hund. 4) Utilizamos la ecuación de conservación de volumen para
estimar u, d(uh)/dx = Eu; y la de masa para calcular ρ(x) 5) Calculamos Q = u h, y la dilución Q/Q0
Ejemplo 1 Encontrar la evolución espacial del calado de una corriente de gravedad en un canal rectangular de anchura fija, con las siguientes condiciones. •Q0 = 1 m3/s (86400 m3/d) •h0 = 0.25 m •b = 4 m •CD = 0.02 •S0 = 0.02 •∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu);
Onondaga Lake – (www.cormix.info/picgal/lakes.php)
Embalse de Béznar (Diciembre, 2004)
Un modelo analítico para corrientes no confinadas
Hauenstein & Dracos, 1984 – Journal of Hydraulic Research
x
S0
b0
h0
Ua=0, ρ0
U0, ρ0+∆ρ
¿Qué parámetros controlan el flujo?
Caudal inicial
0000 hbuQ =
Flujo inicial de cantidad de movimiento
002
00 hbuM =
Flujo inicial de flotabilidad
0000 hbugBρ
ρ∆=
Número densimétrico de Froude inicial ( ) 2/1
00
00
hg
uFi
ρρ∆=
Número de Froude inicial ( ) 2/1
0
00
gh
uF =
Campo cercano (dominado por fuerzas de inercia)
Ecuaciones de gobierno
uhEubhdx
dh2)( =
Continuidad
0)( 2 =bhudx
d
Conservación de la cantidad de mov.
xShh 00 += Geometría
0)( =∆
gubhdx
d
ρ
ρ Conservación de masa
Condiciones de frontera (en x = 0)
000 ; ; bbuuhh ===
Campo lejano (dominado por fuerzas de flotabilidad)
Ecuaciones de gobierno
ubEuhEubhdx
dvh += 2)( Continuidad
022
2
1)( gbhSgbh
dx
dbhu
dx
d
ρ
ρ
ρ
ρ ∆−
∆=
Cantidad de mov.(x)
2
2
1)( ghuvbh
dx
d
ρ
ρ∆=
Cantidad de mov.(y)
0)( =∆
gubhdx
d
ρ
ρ Conservación de masa
Condiciones de frontera
Los flujos volumétricos calculados con las ecuaciones del campo cercano y las del campo lejano deben coincidir.
Soluciones en el campo cercano (para h >> h0) **
022
11
2/1
0
03
13
,
2,
2,
SIxIh
EIxIb
SE
MIxIu
v
hv
h
v
==
==
== −
0
0
S
hxxv +=
Eh ~ 0.1 (Turner, 1973)
** Se obtienen suponiendo que la solución es auto-similar
h(x)
b(x)
Eh u
Eh uh h(x)
b(x)
Ev ub
Soluciones en el campo lejano **
( )
( )
( )
5/3
0
0
321
321000
132105
3/55
1343/1
4
3/1
12
1
03
3/13
22
2/1
0
211
y ,),,,(
,
22
1,
22
3,
5
3,
25
6,
+−+===
==∆
−==
−==
==
−++==
−−
−
−
S
hx
KKK
IIIxxxcteSFFBfE
KKgKBKxK
EKKKxKv
EKK
BKxKu
EKxKh
ES
EEEKxKb
ppviov
v
hv
h
v
vv
v
vhhv
ρ
ρ
** Se obtienen suponiendo que las variables son auto-similares
Localización del punto de hundimiento (xp) El punto de hundimiento marca un punto de equilibrio entre fuerzas de flotabilidad y de inercia, expresado el equilibrio en el número densimétrico de Froude
( ) ( )4/1
2/10
2/12/3
2/1 086.1 −≈=∆
= h
pp
pp
p
ip EB
bu
hg
uF
ρρ
Si introducimos los valores de u y b, en el campo cercano,
≈
>>
=
02
02
000
00
0 1
,2
1
hhFC
hhbhE
SF
C
h
h
ti
t
h
it
u0 = 1 m/s ; b0 = 4 m ; h0 = 0.25 m; S0 = 0.01 ; ∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu); Vertical entrainment Ev = 0.0022
650 m
Foto - Manuel Antequera Ramos y Ana Jauregui Ponte Ensayos del comportamiento de vertidos hipersalinos al mar – (CEDEX – Congreso AEDyR, 2001)
u0 = 1 m/s ; b0 = 4 m ; h0 = 0.25 m; S0 = 0.005 ; ∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu); Ev = 0.0011
u0 = 1 m/s ; b0 = 4 m ; h0 = 0.25 m; S0 = 0.02 ; ∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu); Vertical entrainment Ev = 0.0045
Eh = 0.1 !