fluidodinámica: estudio de los fluidos en...
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Fluidodinámica: Estudio de los fluidos en movimiento
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Rosario
Curso Promoción Directa Física I
Año 2013
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Bernoulli
Ecuaciones unitarias en el flujo de fluidos
HIPOTESIS: fluido ideal
El fluido es incomprensible.
La temperatura no varía.
El flujo es estable, y entonces la velocidad y
la presión no dependen del tiempo.
El flujo no es turbulento, es laminar.
El flujo es irrotacional, de modo que no hay
circulación.
El fluido no tiene viscosidad
La figura representa un fluido que fluye en el interior de
un tubo de tamaño no uniforme, en un flujo estable.
En un intervalo de tiempo pequeño t, el fluido
que entra por el extremo inferior del tubo
recorre una distancia X1 = v1 . t donde v1 es
la rapidez del fluido en ese punto.
Si A1 es el área de la sección transversal en
esa región, entonces la masa contenida en la
región interior más oscura es,
M1 = . vol1
M1 = . A1 . X1
M1 = . A1 . v1 . t
Donde es la densidad del fluido.
Ecuación de continuidad
Análogamente, el fluido que sale del extremo superior del tubo en
el mismo intervalo t, tiene una masa
M2 = . A2 . V2 . t
Dado que la masa se conserva y el flujo es
estable, la masa que entra por el fondo del tubo a
través de A1 en el tiempo t debe ser igual a la
masa que sale a través de A2 en el mismo
intervalo.
M1 = M2
. A1 . V1 . t = . A2 .v2 . t
A1 . v1 = A2 . v2
Ecuación de continuidad
A1 . v1 = A2 . V2
La condición A . v = constante, equivale al hecho
de que la cantidad de fluido que entra por un
extremo del tubo en un intervalo de tiempo dado
es igual a la cantidad de fluido que sale del tubo
en el mismo intervalo, suponiendo que no hay
fuentes ni sumideros entre ambas secciones.
El producto A . v representa el caudal volumétrico:
A . v = Q
En 1738 el físico Daniel Bernoulli
(1700–1782) dedujo una expresión
fundamental que correlaciona la
presión con la rapidez del fluido y la
elevación.
A medida que un fluido se desplaza a
través de un tubo de sección
transversal y elevación variables, la
presión cambia a lo largo del tubo.
La ecuación de Bernoulli no es una
ley física independiente, sino una
consecuencia de la conservación
de la energía aplicada al fluido
ideal.
Ecuación de Bernoulli Considérese el flujo a través de un tubo no
uniforme, en el tiempo t, como muestra la
figura.
Aplicaremos la ecuación de la energía a la
porción de fluido contenida entre las secciones
1 y 2, en el intervalo correspondiente a un
intervalo t, en el que el fluido se desplaza x1
en la parte inferior y x2 en la parte superior del
tubo.
ΣW = Ec
O bien:
ΣW F no cons. = Ec + Ep
La fuerza que se ejerce sobre el extremo
inferior del fluido es P1 . A1, donde P1 es la
presión en el extremo inferior.
El trabajo realizado sobre el extremo inferior
del fluido por el fluido que viene atrás de él es:
W1 = F1 . X1 = P1 . A1 . X1 = P1 . Vol
De manera análoga, el trabajo realizado sobre el fluido de la
parte superior en el tiempo t es
W2 = - P2 . A2 . X2 = - P2 . Vol
Recuérdese que el volumen que pasa a través de A1 en el tiempo t
es igual al volumen que pasa a través de A2 en el mismo intervalo.
Por lo tanto el trabajo neto realizado
por estas fuerzas en el tiempo t es
W = P1 . Vol - P2 . Vol
Una parte de este trabajo se invierte
en cambiar la energía cinética del
fluido, y otra modifica su energía
potencial gravitatoria.
Si m es la masa del fluido que pasa a través del tubo en el intervalo de
tiempo t, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido
es:
Ec = ½ . m . v22 - ½ . m . v1
2
El cambio de energía potencial gravitatoria es:
Si aplicamos que:
A este volumen de fluido tendremos:
Dividiendo ambos miembros por el Vol.:
Ep = m . g . y2 - m . g . y1
W Ec Ep
P1 . Vol - P2 . Vol = ½ . m . v22 - ½ . m . v1
2 + m . g . y2 - m . g . y1
P1 - P2 = ½ . . v22 - ½ . . v1
2 + . g . y2 - . g . y1
P1 + ½ . . v12 + . g . y1 = P2 + ½ . . V2
2 + . g . y2
Entonces:
La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la
presión, la energía cinética por unidad de volumen y la
energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo
valor en todos los puntos a lo largo de una línea de
corriente.
P + ½ . . v2 + . g . y = constante
Aplicaciones Ecuación de Bernoulli
Tubo de Venturi:
Tubo horizontal que presenta un estrangulamiento
Sirve para determinar la rapidez del flujo de los fluidos
Comparemos la presión en el punto 1 con la presión en el punto 2.
Puesto que el tubo es horizontal
La ecuación de Bernoulli nos dará
Dado que el agua no retrocede en el tubo, su rapidez en el
estrechamiento, v2, debe ser mayor que v1.
Como
v2 > v1 significa que P2 debe ser menor que P1
P1 + ½ . . v12
= P2 + ½ . . v22
P1 + ½ . . v12
= P2 + ½ . . v22
y1 = y2
Aplicaciones Ecuación de Bernoulli
Atomizador:
Corriente de aire que pasa sobre un tubo abierto reduce la presión encima del tubo
Disminuye la presión
Sube el líquido por el tubo y sale en forma de fino rocío
P1 + ½ . . v12
= P2 + ½ . . v22
Aplicaciones Ecuación de Bernoulli
Sustentación del ala de un avión:
La velocidad del aire por encima del ala es mayor que la velocidad por la parte inferior. Esto se logra por la forma del ala
La presión hidrodinámica en la parte superior es menor que en la parte inferior
La sustentación es una fuerza neta orientada hacia arriba
Aplicaciones Ecuación de Bernoulli
Tubo de Pitot:
Permite determinar la velocidad de un fluido
Es utilizado para determinar la velocidad de un avión
P1 + ½ . . V12
= P2 + ½ . . V22
Análisis usando Continuidad y Bernoulli
¿Con qué velocidad sale el agua por un orificio?
La presión en la superficie será la atmosférica.
La presión justamente fuera del orificio será la
atmosférica.
Como el área del orificio es mucho más pequeña
que el área de la superficie, la velocidad del agua
en la superficie es despreciable comparada con la
velocidad del agua fuera del orificio.
Ejemplo: Un tanque abierto al ambiente
A1 . v1 = A2 . V2 V2 = A1 . v1
A2
1
2
P1 + ½ . . v12 + . g . y1 = P2 + ½ . . v2
2 + . g . Y2
po + . g . h = po + ½ . . v22
. g . h = ½ . . v22
v22
= 2 . g . h
Análisis usando Continuidad y Bernoulli
Dada la diferencia en presión y las áreas, ¿cuál es el flujo?
Nuestro punto de partida son las fórmulas generales
Ejemplo: Una Tubería Horizontal que cambia de Diámetro
Los términos en “y” se cancelan.
p1 > p2 . Conozco (p1 - p2) > 0. Tengo dos ecuaciones y dos incógnitas. Puedo resolver.
A1 . v1 = A2 . V2
P1 + ½ . . v12 + . g . y1 = P2 + ½ . . v2
2 + . g . y2
A1 . v1 = A2 . V2 P1 -P2 = ½ . . (v22 - v1
2 )
Pérdida de carga en flujo real
Si el fluido es viscoso, se producen pérdidas
de energía mecánica por la fricción interna,
entre capas del propio fluido (trabajo de
fuerzas internas), y por la fricción con las
paredes del conducto (trabajo de fuerzas
exteriores).
La ecuación de Bernoulli, que representa la
conservación de la energía, puede
“corregirse” para considerar estos efectos…
Si el fluido fluye desde la sección 1 hacia la
sección 2, entonces se incluye un término pf en el
2º término de la ecuación, que contempla las
pérdidas de energía por unidad de volumen entre
ambas secciones:
P1 + ½ . . v12 + . g . y1 = P2 + ½ . . V2
2 + . g . y2 + pf
Si además entre las secciones 1 y 2, se intercala una bomba (que entrega energía al fluido) o una turbina (que extrae energía del fluido), se incluyen los términos correspondientes según corresponda: pB y pT…
Cada uno de esos términos tiene unidades de energía por unidad de volumen (o presión). Expresados en términos del caudal volumétrico Q, y de la potencia P de la bomba (B) o de la turbina (T), resultan:
pT = PT . Q
P1 + ½ . . v12 + . g . y1 = P2 + ½ . . V2
2 + . g . y2 + pf + pt